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1 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Professor: Neury Boaretto Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Números Complexos ? 4 Unidade imaginária: Desta forma: ou 2 4 1 4 1 4 j . ). ( Definição: 1 j 1 2 j Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Deduções: j j j j j ). ( . 1 2 3 1 1 1 2 2 4 ) ).( ( . j j j j j j j j j ). ).( ( . . 1 1 2 2 5 1 1 1 1 2 2 2 6 ) ).( ).( ( . . j j j j Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Formas de Representação de um Numero Complexo •Forma Cartesiana (Retangular) •Forma Polar •Forma Trigonométrica Forma Cartesiana a e b são números reais j é a unidade imaginária Z=a+jb Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Plano Cartesiano Z(a,b) Eixo Imaginário (Im) Eixo Real (R) b a Forma Cartesiana (Retangular) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exemplos: Representar os números complexos no plano cartesiano Z1=4+j4 4 4 Im R Z1

j 1).( 1). j 1).( 1).( 1 1 - joinville.ifsc.edu.brneury/Apostila Análise de Circuitos CA.pdf · 1 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Professor: Neury Boaretto

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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Professor: Neury Boaretto

Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br

Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Números Complexos

? 4

Unidade imaginária:

Desta forma:

ou

241414 j .).(

Definição:

1j 12 j

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Deduções:

jjjjj ).(. 123

111224 )).((. jjj

jjjjjj ).).((.. 11225

11112226 )).().((.. jjjj

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Formas de Representação de um Numero Complexo

•Forma Cartesiana (Retangular)•Forma Polar •Forma Trigonométrica

Forma Cartesiana

a e b são números reais

j é a unidade imaginária

Z=a+jb

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Plano CartesianoZ(a,b)

Eixo Imaginário (Im)

Eixo Real (R)

b

a

Forma Cartesiana (Retangular)

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Exemplos:Representar os números complexos no plano cartesiano

Z1=4+j4

4

4

Im

R

Z1

2

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Z2=7 (não tem parte imaginária)

Im

R

Z2

7

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Im

R

Z3=j3 (não tem parte real)

3Z3

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Z5=3+j3

Im

R

-1-2 1

1

2

-1

-2

-3

3

2 3-3

Z4

Z5

Z4=-3+j2

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Im

Ra

b

o

P

Z

Z=a +jb forma cartesiana

Segmento de reta

ZOP Representa o MODULODo numero complexo z

O ângulo representa o ARGUMENTO ou ÂNGULO DEFASE de z

MÓDULO

FASE

Forma Polar

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Na forma polar um numero complexo é representado por:

z = Z

Numero complexo é representado por letra minúscula, z

E o seu módulo por letra maiúscula, Z

Z= Z

Z é o móduloe

é a fase do numero complexo

Forma alternativa

Forma Polar

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Transformação da Forma Cartesiana para Polar

Im

Ra

b

Z

22 baZ Dado: z=a+jb

Determinar: Z e

z = Z

ab

tg

ab

arctg

3

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Exemplos: Transformar os números para a forma polar

Z1=4+j4

Im

R

4

4

Z1

z1

1

24441 22 Z

01 45

44 arctg

z1 = 24045

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Z2=7 (não tem parte imaginária)

Im

R7

Z2z2

2 z2 = 7 00

2=00

Z2=7

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z3=j3 (não tem parte real)

Im

R

z3

Z3 3

Z3=3

3

3=900

z3 = 3 090

Ou..........

z3 = 3 0270

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Z4=-3+j2

Im

R

z4

Z4

631323 224 ,)( Z

03432 arctg'2

-3

4 4=180-34=1460

z4 = 3,6 0146

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Z5=-5

Im

Rz5

Z5=5

Z5

5

5=1800

z5 = 5 0180

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Z6=-4-j3

Im

R

-4

-3z6

Z6

534 226 )()(Z

6

03743 arctg'

6=180+37=2170

z6 = 5 0217

4

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Z7=-j4

Im

R

z7 -4

Z7=4

77=2700

z7 = 4 0270

Ou.....

z7 = 4 090

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Z8=4-j3

Im

R

z8Z8

4

-3

534 228 )(Z

8

03743 arctg'

8=360-37=3230

z8 = 5 0323

ou............... z8 = 5 037

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Operações com Números Complexos

SOMA e SUBTRAÇÃO

Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana

z1=10+j10 z2=5+j4

z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14

z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6

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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Na multiplicação e divisão é usada a forma polar

z1=4+j4=5,65 450

z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200

Z3=-j4=4 -900

Operações com Números Complexos

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Exercícios Propostos

Dados os complexo:

Z3=-j4=4 -900

z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600

Z4= -5+j8,66= 10 1200

Obter:

a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4

b) z2.z4 z2.z3

c) z2/z4 z2/z3

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS

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Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade

Tensão Alternada

Símbolo Uxt

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Tensão Alternada

É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão:Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc

VPVPP

VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V

T=Período

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Tensão SenoidalÉ uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal

v(t) = VP.sen(w.t +θ0)

VP é o valor de pico

ω é a freqüência angular

θ0 é o ângulo de fase inicial

θ = ω.t +θ0

VPP é valor de pico a pico

Representação Gráfica e Expressão Matematica

v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V)No exemplo

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v(θ) = VP.sen θ

θ=w.t=ângulo descrito

Representação Gráfica e Expressão Matemática

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Período (T) e Frequência (f)

Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir(completar um ciclo)

Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo

)(ssegundoT

segundocicloouHzf /

Tf 1

fT 1

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Frequência Angular (ω)

Representa a variação angular em função do tempo

sgrausousrd //θ = ω.t

Se θ=2.π, o tempo será t= T

2.π = ω.T fouT

... 22

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Movimento Circular Uniforme

A=amplitude do segmento

A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandezasenoidal de amplitude A e fase inicial θ0

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Movimento Circular Uniforme

Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portantoa expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)

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Movimento Circular Uniforme

Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempoque representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)

Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A seráO valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada comA frequencia por w=2.π.f

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Analise do sinal

Período: T=0,25sFrequência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s

Hzf 42501

,

V(V)

5

t(s)

-5

00,125

0,2500,375

0,500

Analise de um sinal senoidal

Tensão de pico: VP=5V

Ângulo de fase inicial: θ0=0

Tensão de pico a pico: VPP=10V

Expressão em função do tempo:

V(t)=5.sen(8.π.t) (V)

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Determinando um valor de tensão

V(t)=5.sen(8.π.t) (V)

Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V

5V

-5V

0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000

0,6

2,94

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v(V)

w.t(rd)

VP

-VP

Ângulo de Fase Inicial

Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem umafase inicial.

v(t) = VP.sen(w.t +θ0)

Sinal adiantado Θ0 > 0

θ0

Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)

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v(V)

w.t(rd/s)

VP

-VP

Sinal atrasado Θ0 < 0

θ0

Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)

Ângulo de Fase Inicial

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Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüênciac) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente f) Indicar o valor da tensão para t=0

1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)

a) w=20.000. π rd/s

KHzHzf 1000010200020

2 .

...

.

smssT 1001000010000101

,,.

Θ0= π/3=600

b)

c)

d)

Exemplos

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600

f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V

e)

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V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)

a) w=8.000. π rd/s

KHzHzf 4000420008

2 .

...

.

smssT 25025000025000041

,,.

Θ0=-300

b)

c)

d)

300

e)f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V

-7,5V

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Defasagem

A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüênciaé chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinaiscomo referencia

Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir

v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)

Δθ=θ1 – θ2=90-0=90

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Δθ

v1 está 900 adiantado em relação a v2

Os sinais estão em QUADRATURA

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v1(t)=10sen(w.t+900) (V)v2(t)=5.sen(w.t+900) (V) Δθ=90 – 90=0

Sinais estão em FASE

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v1(t)=10sen(w.t) (V)v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180

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Representação Através do Diagrama Fasorial

É uma outra forma de representar uma tensão senoidal.

Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um determinado instante.

Vetor girante

Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante

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10.sen(θ)

Diagrama Fasorial (DF)

O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com frequencia angula w

Tensão senoidal representada no DF

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V1 (t)=10.sen(w.t + 900)

Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)

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V2 (t)=10.sen(w.t - 90o)

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V1 está adiantada em relação a V2

Defasagem entre as duas tensões

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Exercício Proposto

1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:

v1(t)=10.sen(w.t+600) (V)

v2(t)=15.sen(w.t-300) (V)

2) Qual defasagem entre as tensões?

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Representação na Forma Complexa

Numero Complexo tem: Modulo e fase

Tensão Senoidal tem: Modulo e fase

Portanto..........................

Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ0)

Forma Complexa: v=VP θ0 VP.cos θ0 + j VP.sen θ0

a b

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Dadas as tensões

v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)

Pede-se: a) v3= v1+V2 b) Representar V3 no diagrama fasorial

c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e cartesiana

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Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal

Expressão Trigonométrica v(t)=12.sen(w.t+600) (V)

Diagrama Fasorial

Numero Complexo

Forma de Onda

)V(39,10j6v

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Circuitos Resistivos em CA

Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é :

V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)

)t.(sen.IR

)t.(sen.VR

)t(v)t(i 0P0P

RVI P

P

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Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:

Uma resistência pode ser representada por um numero complexo

Com parte imaginaria nula

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Valor Eficaz (VRMS)

Definição matemática: T

0

2RMS dttv

T1V )(.

Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento

Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz

RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio

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RMSEficazP VV2

VV

Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?

A Tensão Alternada é senoidal

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IVP .

RVP

2

2I.RP

Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?

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Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoidepara que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?

E no caso de uma tensão senoidal?

Vp

RMSRMS IVP .

R2VP RMS

2RMSIRP .

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Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?

V2202V310

2VV P

EF

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Potencia em Circuito Resistivo em CA

A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela correnteinstantânea:p(t)=v(t).i(t)

p(t)=v(t).i(t)

A potência dissipada no resistor será igual ao valor médio da potencia instantânea

No exemplo:P=12V.3A=36W

P=VRMS.IRMS

Vp=17V e VRMS=12V

Ip= 4,25A IRMS=3A

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Genericamente para qualquer circuito

cos.I.VP RMSRMS

é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão

No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO00

10cos 0

RMSRMS I.VP

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Dado as tensões:

v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 00 (V)

V3=20+j15(V)

1) Representar as três tensões no DF

2) Obter

2a) v4=v1+v3 2b) v5=v1+v2+v3

3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipadamm cada caso.

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Capacitor

Dispositivo usado para armazenar cargas elétricas

Placas de area S(m2)

d(m)

terminais

Dielétrico (isolante)

Símbolo

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Capacitância (C)

É a medida da capacidade que tem o dispositivo de armazenar cargas elétricas

O seu valor é especificado em Farads (F) e depende das dimensões (S, d) e do material de que é feito o dielétrico (isolante que separa as duas placas).

dSKC .. 0

Para um capacitor de placas planas e paralelas de área S, separadas porUma distancia d, a capacitância será dada por:

Onde ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo

K é a constante dielétrica do material. Por exemplo: Vidro K=4,5, vácuo K=1

ε0=8,85pF/m

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Relação entre tensão (U), carga elétrica (Q) e capacitância (C) em um capacitor

+ +

- -Q C

U Q=U.C

Q é a quantidade de cargas em Coulombs (C)

U é a tensão aplicada em volts (V)

C é a capacitância em Farads (F)

Ex: se C=100µF e U=10V qual a carga armazenada?

Q=100.10-6.10= 10-3C=1mC

A quantidade de carga é diretamente proporcional a U e a C

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Tântalo

EletrolíticoCerâmico

Poliéster

Tipo de Capacitores

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Capacitores Polarizados (Valor maior que 1uF)

Símbolo

Eletrolíticos

Tântalo

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Capacitores Não Polarizados (Valor menor que 1uF)

10 Numero: Primeiro Digito (1)

20 Numero: Segundo Digito (0)

30 Numero: Numero de zeros (00)

0.1=0.1uF

100n=100nF=0,1uF

C=1000pF=1nF

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Usando Código de Cores (Poliester)

Valor=270000pF=270nF=0,27uF

Vermelho=2

Violeta=7

Amarelo=4

Tolerância

20%

5%

10%

Máxima Tensão

100V

250V

400VAnalise de Circuitos em Corrente

Alternada - Ed. Erica

Qual o valor da capacitância? Da tolerancia? Da máxima tensão?

Amarelo=4Violeta=7

Laranja=3

Preto=20%

Vermelho=250V

Valor=47000pF=47nF=0,047uF

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Capacitores Variáveis

Trimmer

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Capacitor em CC

Vcc

VR

VC

No circuito, a chave é fechada em t=0, considerando que o capacitor está inicialmentedescarregado, VC(0)=0

t=0

VR=VCC

VC=0I

IVCC

De acordo com a 2a Lei de Kirchhoff: VCC=VR + VC (em qualquer instante)

Em t=0 VR(0) + VC(0)=VCC >>>>>>> VR(0)=VCC

RV

RVI CCR

)()( 00 C começa a se carregar, VC começa a aumentar......

...e VR começa a diminuir, conseqüentemente I

Depois de um tempo (que depende de C e R), o capacitor estará carregado

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Gráficos

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Conclusões:

•Do ponto de vista físico não existe movimento de cargas (corrente) através docapacitor (as cargas se movimentam no circuito externo)

•A corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão

•O tempo de carga depende da constante de tempo do circuito definida comosendo =R.C, sendo C em Farads (F) R em Ohms ( em segundos(s)

VCC + +- -

I=0

R

C

VC=VCC

VR=0

•Na pratica bastam 4 constantes de tempo para carregar um capacitor

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VR VC

Equações: Tensão no Capacitor e Resistor

7,56V

t=s

vc(t)=VCC.(1-e-t/RC) (Função Exponencial)

vR(t)=VCC.e-t/RC

na expressão de vC(t) vc(R.C)=VCC.(1-e-1)=0,63.VCC=7,56V

e=base do logaritmo neperiano=2,71828........

na expressão de vC(t) vc()=VCC.(1-e-0)=0

na expressão de vR(t) vR(0)=VCC.e-0=VCC=12VPara t=0

Para t= R.C=2s

na expressão de vR(t) vR(R.C)=VCC.e-1=0,37.VCC=4,44V

4,44V

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Carga Total

Teoricamente, de acordo com a equação de vC(t), o capacitor estará totalmente carregado para um tempo infinito.

Na prática podemos considerar o capacitor carregado para t=44.R.C

vc(4.R.C)=VCC.(1-e-4)=0,98.VCC=11,76VPara t=4.R.C

t= t=4.

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Descarga do Capacitor

Considerando o capacitor totalmente carregado com VC=VCC=12V

Como fazer para descarregar o capacitor ?

Deve haver um condutor entre as placas para que ocorra a descarga

Se for um fio a descarga será instantânea, caso contrario o tempo de descargadependerá da resistência.

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

4,4V

Vc=12.e-t/RC

Curva de Descarga

Para t=RC a tensão em C cai para v(RC)=0,37.Vcc=0,37.12=4,4V

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Associação de Capacitores

Serie

321

1111CCCCeq

Para dois em serie:21

21

CCCC

Ceq

.

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Paralelo

21 CCCeq

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Capacitores Polarizados

++

--100uF

++

--100uF

++

--50uF 50uF

++

--100uF

+ +

- -100uF

++

--100uF

++

--100uF

++

--200uF

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Capacitor em CA

Se a um capacitor ideal for aplicada uma tensão senoidal, a corrente resultante será senoidal e adiantada de 900 em relação à tensão aplicada.

v(t)= vC(t) =VP.senwt

Neste caso v(t)=VP.senw.t ou v=VP 00

IC(t)=IP.sen(w.t+900) ou IC=IP 900

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Reatância CapacitivaÉ a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternadaé calculada por:

com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (Ω)

CCCC

C jXIV

IV

IVX

90900

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Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenheo diagrama fasorial, se a fase inicial da tensão é zero.

Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos calcular areatância capacitiva (Xc) :

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V= 120V

I=4,5mA

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110V/60Hz

A

B

Calcular a intensidade da corrente para cada posição da chave.

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Circuito RC SérieNum RC serie a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do que 90º. Seja a fase da corrente igual a 900 (arbitrariamente).

I

vVR

VC

V

Ângulo de defasagem

logo = arccos(VR /V) cos = VR / V

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VR

VC

V

Triangulo das Tensões

Dividindo todos os lados por I teremos um triangulo chamado de Triangulo de Impedâncias

VR/I

VC/I

V/I

222CR VVV

Triangulo das Impedâncias

ZIV

Impedância do circuito

RI

VR Resistência do circuito

CC XI

V Reatância do circuito

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CX

RZ 222

CXRZ

ZRCos

Zz Z=R-jXC

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Triangulo das Potências

Se no triangulo das tensões os lados forem multiplicados por I obtemos o que É conhecido como Triangulo das Potências

VR.I

VC.I

V.I

IVPAp .IVP R.

IVP CR .

222RAp PPP

PAp=potência aparente (VA)

P=potência real (ativa)(W)

PR= potência reativa (VARC)

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Indutor

Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite.

Força Eletromotriz InduzidaPara que uma tensão seja induzida em uma espira ou em um enrolamento, é necessário que haja variação do fluxo magnético através da espira ou do enrolamento. A figura a seguir mostra um exemplo de indução de tensão em um enrolamento (bobina).A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida deverá ter orientação de tal forma que origine um campo magnético variável que se opõe à variação do fluxo magnético original.

Fig04: Indução de tensão provocada pela variação da intensidade do campo magnético de um imã

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Indutor em Corrente ContínuaO que acontece quando no circuito da Fig. 02 fechamos a chave no

instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução que faz aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente.

Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, fazendo aparecer uma tensão e com a polaridade tal que se opõe à diminuição da corrente. Observe que isso faz aparecer uma tensão nos terminais da chave que é igual a E + e, que pode causar uma arco de corrente.Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente começa a aumentar).

A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se chama Henry (H).

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( a ) ( b )

( c )Fig02: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b )

Corrente em regime ( c ) Instante que a chave é aberta

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Indutor em Corrente Alternada SenoidalA corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um

indutor ideal (não tem resistência ôhmica) de indutância L com uma tensão alternada senoidal de freqüência f ?Obs: Um indutor ideal (que não existe) não tem resistência ôhmica (R).

No circuito da Fig04, a corrente continua atrasada em relação à tensão e de um angulo bem definido, no caso 90º.Observe que a fase da tensão foi considerada arbitrariamente igual a 0º.

Fig04: Indutor em CA - (a) circuito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; fasor preto: tensão)

(b)(a)

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1.4. Reatância IndutivaComo vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância indutiva (XL), sendo calculada por:

IMPORTANTE !!!!!

Com L especificado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms ( ).Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a uma tensão de 110V, 60Hz. Determinar: a) Reatância da bobina (XL) b ) Valor da corrente no c ircuito ( I )

Solução: a) XL = 2. .60.0,1 = 37,7b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A

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Circuito RL Serie

Na prática um indutor apresenta resistência ôhmica, portanto, em umIndutor a corrente sofre dois tipos de oposição:

•A resistência ôhmica do fio (R) que tende a manter tensão e corrente em fase

•A reatância indutiva (XL) que tende a defasar tensão e corrente em 900

A corrente ainda continua atrasada em relação à tensão mas de um ângulo menor do que 900

A combinação dos efeitos da resistência com da reatância é chamado de.......

Impedância (Z)

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Circuito RL serie Diagrama Fasorial

Considerando a fase da corrente nula

IVR

VL

V

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Impedância Indutiva (ZL)

A oposição que um indutor real oferece à passagem de uma correnteAlternada é uma combinação da resistência ôhmica com a reatânciaIndutiva sendo chamada de impedância

v v

II

IVZ

Numero complexo

Numero complexo

Numero complexo

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IVR

VL

V

i=I 00

vL=VL 900

vR=VR 0o

Relações no Circuito RL Serie

xL=XL 900 = jXL =

r = R 00 = R =

V=VR + VL dividindo por I IV

IV

IV LR

LjXRZ

IVL

IVR

Ou na forma polar.........IMPEDANCIA NA FORMA CARTESIANA

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Impedância na Forma Polar

Modulo: 22LXRZ

Fase:R

Xarctg L ouZRarccos

IVR

VL

V

Portanto..............

z=Z

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Exemplo: Dado o circuito pedem-se:

a) Valor da impedância e sua representação nas formas polar e cartesiana

c) Valor da corrente e sua representação nas formas polar e cartesiana

e) Diagrama fasorial

b) Valor de da indutância

d) Valor de VR e VL e suas representações na forma polar e trigonométrica

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a) A impedância na forma cartesiana é Z=30+j40 (Ω)

Na forma polar:

O modulo de Z A fase de Z

0533040

arctg 504030 22Z

Z=50 530 (Ω)

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b) Pela reatância indutiva tira-se L

LfX L ...2 mHL 106602

40

..

c) Corrente no circuito

)(, AZvI 0

0

03722

535090110

i=2,2.cos370 + j2,2.sen370 =1,75 +j1,32 (A)

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d) VR=R.I= 30 00 . 2,2 370 = 66 370 (V)

VR = 66 370 (V)

VL=XL.I= 40 900 . 2,2 370 = 88 1270 (V)

VL= 88 1270 (V)

))(.(..)...(..)( VtsentsentvR00 3737726637602266

))(.(..)( VtsentvL0127377288

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e) Diagrama Fasorial

V(110V)

VL(88)V

VR(66V)

I(2,2A)

530

370

1270

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Potencia Em um Circuito RL Serie

Para a analise da potencia seja o triangulo de tensões do diagrama fasorial

IVR

VL

V

Multipliquemos cada um dos lados por I, resultará o triangulo de potencia

IVR.I

VL.I

V.I

P=VR.I=V.I.cos é a potência real ou ativa do circuito (W)

PAP=V.I é a potencia aparente do circuito (VA)

PR=VL.I=V.I.sen é a potencia reativa do circuito (VARi)

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Triangulo de Potencias

P=VR.I

PR=VL.I

PAP =V.I222

RAP PPP

Fator de potencia

É UMA MEDIDA DO APROVEITAMENTO DA ENERGIA

È definido como sendo FP= cosΦ=P

PAP

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P=PAP.cosΦ=V.I.cos Φ

Carga Puramente ResistivaΦ=0 portanto cos Φ=1 a carga aproveita toda a energia fornecida

Pelo gerador

Φ=90 portanto cos Φ=0 não há potencia ativa a carga troca energia entre o gerador.

Carga Puramente Indutiva

Carga Indutiva e ResistivaΦ<90 portanto cos Φ<1 há potencia ativa a carga aproveita apenas uma parte da energia fornecida.

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b) FP=0,6

1) A potencia consumida (ativa) por uma instalação elétrica

é de 2400W. Se a tensão de alimentação é 220V, calcular a potencia aparente e corrente quando:

a) FP=0,9

2) Um circuito consome 10A, quando ligado em 220V. Um wattimetro ligado ao circuito indica 2000W. Calcular o fator de potencia do circuito e a potencia reativa.

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3) No circuit0 a leitura dos instrumentos é V=220V. I=55A e P=10KW.

Calcular: a ) Impedância do circuito b) Valor da resistência e indutância (f=60Hz) c) Potencia aparente e reativa d ) FP

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4) No circuito VR(t)=10.sen(ω.t-300)(V). Determinar:

a) i(t) b) v(t)

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Circuitos Mistos

Para resolver um circuito misto, deveremosprimeiramente calcular a impedância equivalente,para em seguida calcularmos todas ascorrentes e tensões. Portanto é um procedimentosemelhante ao adotado na analise de circuitosresistivos, somente que agora temos elementosreativos presentes, sendo necessário usar comoferramenta de analise os números complexos.

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Exemplo: Resolver o circuito

I1=IT

I2

I3

IT

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Z5 = Z3 + Z4 = 10 -j10 ( ) = 14,1 -45º() Z2 = 20 90º ()

Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5 )= (20 90º x14,1 - 45º )/(j20 + (10- j10) =(282 45o )/(10+j10)

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Z6= (282 45º )/14,1 45º ) =20 0º =20 ()

ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36 -26,5º()

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I2 =( 44,8 26,5º )/(20 90º)=2,24 - 63,5º (A)

I3 =( 44,8 26,5º )/(14,1 -45º ) = 3,17 71,5º (A)

O Fator de potencia do circuito é:

FP=coscos26,5º=0,895

E a Potencia real:

P = U. I.cos = 50.2,24.cos26,5º = 100W

Calculo das Correntes

I1 = V/ZE =( 50 0º )/(22,36 -26,5º) = 2,24 26,5º (A)

I1U6 =Z6.I1=20 0º x 2,24 26.5º = 44,8 26.50 (V) e como

U6 = U2 =U5 então U6 I2

I3

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Correção do Fator de Potência

Situação Atual: Antes da correção

FP=cosΦ1<0,92 INADEQUADO

POR QUE CORRIGIR?

•DIMINUIÇÃO DA CORRENTE NA LINHA DE ALIMENTAÇÃO.

•MULTA DA CONCESSIONARIA

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Correção do Fator de Potência

Situação Desejável

FP=cosΦ2>0,92 ADEQUADO

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O FP aumenta de cosΦ1 para cos Φ 2

P é a potência ativa (Watts) do circuito,

w é a frequência angular

V é o valor eficaz da tensão

Cálculo do Capacitor

)21.(. 2 tgtgVwPC

Obs: ver a dedução na bibliografia

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Calcular C no circuito para que o FP do circuito aumente para 0,94

Exemplo

Deseja-se cosΦ1 =0,662 >>>>>> cosΦ2 =0,94 P = UxIxcos Φ 1 =220x14,46x0,662 =2108W

Faça download do arquivo Exemplo usando microcap e execute no seu PC se tiver instalado o software MicroCap9

Calcule o FP

F.P atual =0,662

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Observe o que acontece quando ligamos o capacitor de 75uF. A corrente na carganão muda, mas a corrente na linha diminui. Esse é o objetivo, diminuir a

corrente na LINHA, mantendo as condições da carga (por exemplo um motor continuaráoperando com a mesma potência) e consumindo a mesma corrente

Conclusão

A corrente de linha diminui para 10,56A

Mas a corrente na carga se mantem no mesmo valor 14,47A

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Circuitos Trifásicos

SÃO NECESSARIOS QUANDO A CARGA CONSOME MUITA POTENCIA (CORRENTE E TENSÃO ALTA).

AS TRES TENSÕES SÃO DEFASADAS ENTRE SI DE 1200

CARGA E GERADOR PODEM SER LIGADOS DE DUAS FORMAS: ESTRELA E TRIANGULO.

CONSIDERAREMOS SOMENTE CARGA BALANCEADA (AS TRES IMPEDANCIAS SÃO IGUAIS)

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LIGAÇÃO ESTRELA

VA=VF

VC

VB

VCA

VAB=VL

VCB

Tensões de Fase (TENSÃO DO GERADOR): VA=VB=VC=VF

Tensões de Linha( TENSÃO ENTRE AS LINHAS): VCA=VCB=VAB=VL

IN

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Corrente de Fase: IA,IB,IC

Corrente de Linha: corrente na linha que liga o gerador à carga

Para a Ligação estrela: IF=IL

Relação entre tensão de fase (VF) e tensão de linha (VL)

FL V.V 3

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Considere que no circuito Z1=Z2=Z3= 10 Ohms resistiva

Calcular: a)Tensões de fase e de linha

b) Correntes de fase, de linha e no neutro

120V/fase 0IN

120V/fase -120

120V/fase 120

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LIGAÇÃO TRIANGULO

Tensões de Fase: VCA, VAB, VBC VF=VL

RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTE DE LINHA E DE FASE

A

B CIAC=IF

IF.IL 3

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No circuito Z1=Z2=Z3= 20 Ohms (Resistiva)

380V fase 0

380V fase -1200

380V fase1200

a) Calcular a corrente na carga em cada fase

b) Calcular a corrente de linha