a exigência deas ondas serem emergentes no infinito faz com queA,"' = O na Eq.(16.37). Assim, escolhemos fikr) = gdkr) = Irpl(kr) na Eq.(16.46) como a representaçáo de E e de B fora das fontes. Em seguida, consideramos a representação de onda esférica (16.22) para a funçiío de Green iia Eq.(16.87) e admitimos que o ponto x está fora de urna superfície esférica que envolve completamente as fontes. Entáo, nas integrações d a Eq.(16.87), r, = r ' , r, = r. A projeção da onda esférica, necessária para a Eq.(16.47), é

onde os rnoinentos de rnultipolo sáo

Mediante esta projeçáo, vemos quecl,,il, />I) e ndl , m) são dados em termos dos integrandos na Eq.(16.87) por

O momento e,,,, aparece tendo a mesma Iòrrna que O momento de rnultipolo eletrostáti~oq~,,~, Eq.(4.3). O ~nomcntoQ'~,,, é um rnoinento de rnultipolo elétrico indiizido devido à inagnetizac;ão. Em geral, é nienor que o momento normal Q,,,, pelo mcnos pelo fator kr . Pura o cocficienttt de niultipolo magnéticoa,,,(l, m), a aproximação correspondente de grandes comprimentos de onda é

As expressões na Eq.(16.89) dáo as intensidades dos diversos campos de rnultipolo na regi50 externa às fontes, em termos das integrais sobre a s densidades J e A d a s fontes. Estas expressões podem ser transformadas em relações maisúteis, mediante as seguintes identiclades. Seja A(x) urn campo vetorial bem comportado. Entáo,

onde os momentos de miiltipolo magnético são

Estas identidades são conseqüências da definiçiio (16.25) de L e de identidades vetoriais simples. Com A =A na primeira equação e A = J na segunda, a integral para adl, rn) na Eq. (16.89) fica

Em contraste com os momentos de multipolo elétrico Q,,, e Q',,,, para um sistema com magnetização intrínseca os momentos magnéticos M1, e MrI,, são, em geral, da mesma ordem de grandeza.

No limite dos grandes comprimentos de onda, vemos claramente que os campos de multipolo elétricos estão relacionados com a densidade de carga elétricap, enquanto os campos de multipolo magnético são determinados pelas densidades de momento magnético, (r x Jjlk e A.

aE(l , m) = -- 1 i l a 4"k3 I j l ( k r ) ~ [ v . (rx&)+- v 2 ( r . J) ---- (rzp)] d3x Jio ck2 k r a r

onde tisarnos a Eq.(16.82) para exprimir V . J em termos de p. A integraçáo por partes no segundo termo substitui V2 por -k" enquanto que uma integração radial por partes no terceiro termo transforma a derivada radial numa função esférica de Bessel. O resultado para o coefi- ciente tie mirltipolo el6tric.o é

16.6 ~ad iação de multipolo em sistemas atômicos e nucleares .4

Embora uma discussão completa exija um tratamento quântico apropriado dos estados envolvidos, é possível apresentar, com argumentos simples. os traços essenciais da radiacao de ni~iltipolo nos átomos e nos núcleos.§ Da Eq.06.78) e dos coeficientes de multipolo (36.93) e (16.95), a potência total irradiada por um multipolo de ordem (1, t71) é

A manipulação anlíloga com a segunda equação em (16.89) leva ao coclficierzte de multipolo ttlagtiético,

Em termos quânticos, estamos interessados na probabilidade de transiçáo (inverso da msia- vida), definida como a potência dividida pela energia de um fóton:

Estes resultados sáo expressões exatas, válidas para freqüências arbitrárias e dimensões da fonte também arbitrárias.

Em muitas aplicações da física atômica e nuclear, a s dimensões da fonte sáo muito pequenas em comparaçáo com um comprimento de onda (krma, << 1). Então, os coeficientes de multipolo podem ser consideravelmente simplificados. Podemos usar o limite (16.12) para pequenos argumentos das funções esféricas de Bessel. Guardando somente as potências mais baixas em kr nos termos que envolvem p ou J e d , encontramos o coeficiente aproximado do multipolo elétrico,

PVerBlart e Wcisskopf, págs. 597-599, para as definiçóes quânticas dos momentos de multipolo. Observe os fatores de 2 que estabelecem uma diferença entre os momentos que definirnos e os que lá são definidos, em virtude dasequac;óesr7.1) e (3.2) que estão na pág. 590 da obra, referentes as densidades das fontes, e que sáo diferentes das nossas, Eq. (16.80). Ver o Problema 9.1 sobre a relaçfio entre as formas fatorizadas na Eq. (16.80) e as fontes clássicas p(x, r ) , etc.

Uma vez que estamos preocupados apenas com estimativas de ordem de grandeza, vamos f z = r o seguinte modelo esquemático da fonte. A densidade de carga oscilante é, por hipótese,

Er.t:o, uma estimativa do momento de multipolo elétrico Q l , é

3 Qim -- ea' 1+ 3

independente de 171. Analogamente, para as divergências das magnetizações vamos admitir a foma esquemática

on2c g é o fator g efetivo para os momentos magnéticos das partículas no sistema atômico ou nuzlcar, eefilmc é odobro do magneton de Bohr para estas partículas. Assim, uma estimativa da ~ 0 . ~ 2 dos momentos de rnultipolo magnéticos é

Da definição Q',, Eq.(16.94), vemos que

Urr.2 vez que as energias das transições radiativas nos átomos e nos núcleos são sempre muito pecctnas em comparação com as energias de repouso das partículas envolvidas, Q',, é sempre corzyletamente desprezível em relação a Q,,.

Para as transições de multipolo elétrico de ordem I , a estimativa (16.100) leva a uma probzbilidade de transiçáo (16.98):

A mcnos de fatores da ordem da unidade, a probabilidade de transição dos multipolos magnéti- cos i. de acordo com a Eq.(16.102),

A presença do fator (ka)?' na probabilidade de transição (16.104) significa que, no limite dos grandes comprimentos de onda (kn <c I), a taxa de transição cai rapidamente com o cresci- menx da ordem do rnultipolo, sendo a freqüência fixa. Por isso, numa transição atômica ou nuclmr, o multipolo mais baixo niio-nulo será, emgeral, oúnicoa ter importância. A razãoentre as probabilidades de transição para ordens sucessivas dos multipolos elétrico ou magnético de mesma frcqiiéncia é

onde oniitin~os fatores numiricos de ordem relativa (111). Sos sistemas atomicos, são os elétrons as partículas envolvidas nos processos de rxiiação.

As d!.iiensões da fonte podern ser igiialatlas a n = (a,/Z,J onderro é o raio dc Bohr eZ,,é uma cnrm nuclear efetiva (Z,,? 1 para transições dos elétrons de valência;Z,, 5 Z para transições de raios SI. Para estimarka, observamos que aenergia da transição atômica é, em geral, da ordem de

de modo que

Da Eq.(16.106), vemos que os multipolos sucessivos estarão na razão (Z,d137)*. A razão entre as taxas de transição de multipolo magnético e as de multipolo elétrico pode ser estimada pela Eq.(16.105). O fatorg é da ordem daunidade para elétrons. Com n = n,/Z,, = 137(ti/111cZ,J, vemos que a taxa do I-ésimo multipolo magnético é menor, por um fator (Z,,4137)2, que a do multipolo elétrico correspondente. Concluímos que, nas transições atõmicas, as de dipolo elétrico serão mais intensas, e as de qiiadrupolo elétrico e de dipolo magnético serão mais fracas por um fator (Z,,4137)2. Somente nas transições de raios X nos elementos mais pesados haverá possibilidade de con~petição entre outros multipolos que não os elétricos de ordem mais baixa.

Voltainos agora a nossa atenção para as transições radiativas nos núcleos atômicos. Em virtude de as energias das transições nucleares radiativas variarem fortemente (desde cerca de 10 keV até vários MeV), os valores de ka cobrem uma ampla faixa. Isto quer dizer que, para uma dada ordem de multipolo, as probabilidades de transição (ou as meias-vidas) estarão numa faixa de várias potências de 10, de acordo com a energia libertada, com superposições de multipolos em ambas as extremidades dos intervalos correspondentes. Apesar disto, as estima- tivas redondas das Eqs.(l6.104) e (16.105) sáo úteis para catalogar as transições de multipolos nucleares pois, para uma energia libertada fixa, as estimativas para os diferentes multipolos são muito diferentes.

A Fig. 16.2 mostra um gráfico log-log da estimativa da Eq.(l6.104)para as meias-vidas das

Fig. 16.2 Meias-vidas estimadas dos estados nucleares excitados contra a emissão de radiação de multi- polo, em função da energia do fóton, para 1 = 1, 2, 3 , 4.

transições de multipolo elétrico, utilizandoe corno a carga do próton eu = 5,6. 10-l3 cm. Este é um raio nuclear apropriado a um número de massa A = 100. Vemos que, embora as curvas tendam a convergir nas altas energias, as meias-vidas para diferentes niultipolos na mesma energia diferem por fatores que sáo, nos casos típicos, da orderii de 10í. Isto quer dizer que os irionientos de multipolo reais nas transições individuais podem desviar-se fortemente das nossas estimativas grosseiras, sem que se perca a utilidade destas estimativas como guias para determinar as ordens de rnultipolo. Experimentalmente,§ o diagrama de energia contra meia- vida mostra faixas largas, porém bem definidas, nas vizinhanças das retas que aparecem na Fig. 16.2. Há urna tendência geral para usar a estimativa (16.104) como um limite inferior do momento de inultipolo, enquanto que a Eq.(16.100) dá um limite superior; porém, para algurnas transições de quadnipolo elétrico, denominadas "realçadas". as meias-vidas podem ser até 100 vezes mais curtas que as dadas na Fig. 16.2.

Podem-se comparar os miiltipolos magnético e elétrico de mesrna ordem pela Eq.(16.105). Para núcleons, o fator g efetivo é tipicamente da ordem de 3, em virtude dos seus momentos magnéticos nn8n1nlos. Entáo, com urna estimativa das dimensões da fonte a = R = 1,2A ' I 3 . I O-IJ cm, eticontrarnos

Os fatores numiricos vão de 4.10-l2 até 0,8.10-"ara 20<A<250. Podemos assim prever que, para uma dada ordem de inultipolo, as transições elétricas serão de 25 a 120 vezes mais intensas que as transições magnéticas. Para a maior parte dos multipolos, isto é, em geral, verdadeiro. Porém, para I = 1, existem circunstâncias especiais nos núcleos (forças intensas, atrativas, independentes das cargas) que inibem as transições de dipolo elétrico (pelo menos nas energias baixas). Então, a estimativa da Eq.(16.109) não funciona; as transições de dipolo magnético são nestes L ~ S O S muito mais comuns, e táo intensas quanto as transiçóes de dipolo elétrico.

Na Seção 16.3, discutimos a paridade e as regras de seleção do momento angular, e ~

mencionamos que poderia ocorrer, nas transições entre dois estados quânticos, uma mistura de multipolos, como, por exemplo, de multipolos magnéticos I, (I + 2). ... e multipolos elétricos (I + I ) , (I + 3), ... No limite dos comprimentos de onda grandes, basta considerar o multipolo de ordem mais baixa em cada tipo. As razões (16.105) e (16.106) podem ser combinadas para dar as taxas relativas de transição do multipolo elétrico (I + 1) para o multipolo magnético1 (usada mais comumente para I = I ) ,

ondeE é a energia do fóton, em MeV. Para as transições energéticas nos elementos pesados, a rrniplitrrde do quadrupolo elétrico é da ordem de 5% da amplitude do dipolo magnético. Porém, se houver um reforço do momento de quad~upolo efetivo por um fator de 10, como ocorre realmente nos núcleos das terras raras e dos elementos transurânicos, a transição do quadrupolo elétrico compete favoravelmente com a transição do dipolo magnético.

Parauma misturade niultipolo magnético (1 + 1) e multipolo elétricol, a raz- ao entre as taxas de transiçáo é

Mesmo em transições energéticas, um multipolo magnético (I + 1) nunca se aproxima competi- tivamente de um multipolo elétrico I.

16.7 Radiação de uma antena linear com alimentação central

Como ilustração do uso de um desenvolvimento de multipolo para uma fonte cujas dimen- sões são comparáveis a um comprimento de onda, vamos considerar a radiação de uma antena delgada, linear, com alimentação central, conforme está na Fig. 16.3. Já vimos, no Cap. 9, uma

- -

$Ver as Figs. 1 e 2 do artigo de M. Goldhaber e J . Weneser, Annual Review of Nuclear Science, Vol. 5 , J . G. Beckerley (ed.), Annual Revieas. Stanford (1955). pág. 1-24.

Fig. 16.3 Antena linear, com alimentação central.

solução direta para os campos, no caso em que a distribuição de corrente era senoidd. Isto servirá de base de comparaçáo para testar a convergência da expansão de rnultipolo. \-amos admitir que a antena esteja no eixo dosz, no intervalo -(d/?) < z 6 (d/2), e tenha uma pzquena fenda central, de modo que possa ser convenientemente excitada. A corrente ao longo da antena é nula nos pontos terminais, e é uma função par dez. Não vamos, por enquanto, especiticá-Ia mais detalhadamente, e escreveremos apenas

I(z, t) = I(] z 1) e-'"',

Uma vez que a corrente flui radialmente, (r x J) = O. Além disto, náo há magne?ização intrínseca. Por isso, todos os coeficientes de multipolo magnético, a,,(/, nz), seráo nulos. Para calcular o coeficiente de multipolo elétrico aE (1, nz), Eq.(16.91), necessitamos de expressões para as densidades de carga e de corrente. A densidade de corrente J é uma corrente ~ d i a l , confinada no eixo dosz. Em coordenadas esféricas, esta densidade de corrente pode ser escrita, para r < (d/2), como

I(r) J(X) = E , - [ ~ ( C O S o - I) - ~ ( C O S e + i)] 2 r r 2

onde as funçóes delta determinam que a corrente tenha o fluxo somente para cima (ou para baixo) ao longo do eixo dosz. Da equação da continuidade (16.82), verificamos que a dens:dade de carga é

Estas expressões para J e para p podem ser inseridas na Eq.(16.91) para dar

A integral sobre os ângulos é

J' d n = ~TS~,~[Y,~(O) - Y,(T)I

mostrando que ocorrem somente multipolos com tn = O. Este fato é óbvio pela simetria cilíndrica da antena. Os polinômios de Legendre são pares (ímpares) em torno de 0 = r12 para1 par (ímpar). Portanto, os únicos multipolos não-nulos são os que têm I ímpar. Então, a integral sobre os ângulos tem o valor-.

Com uma pequena manipulaçáo, a Eq.(16.115) pode escrever-se

Para estimar a Eq.(l6.118), devemos especificar a corrente I(z) ao longo da antena. Se não hout.esse radiação, a variação senoidal no teriipo, com a freqiiência o, implicaria uma variação senoidal no espaço, com o número de onda k = olc. Porérii, conforme se discutiu na Seção 9.qb) , a emissão de radiaçáo modifica a distribuição de corrente, a menos que a antena seja infinitamente delgada. A corrente corretaI(z) s6 pode ser encontrada resolvendo-se um compli- cado problema de condições de contorno. Uma vez que o nosso objetivo é comparar o desenvolvimento em multipolo com unia forma fechada de solução para urna distribuição co~il~eciiia de corrente, fazemos sobre I(z) a mesma hipótese que fizemos na Seção 9.4(a), ou seja. que

onde I é a corrente de pico, e a fase foi escolhida de modo que a corrente se anule nas extremidades da antena. Com uma corrente senoidal, a segunda parte do integrando na (16.1 18) se anula. A primeira parte é uma diferencial exata. Por isso, obtemos imediatamente, coml(z) vindo da Eq.(16.119),

41 47~(21+1) ~ ) = ~ [ ~ ] ~ " [ ( ~ ) ~ j ~ ( ~ ) ] , í ímpar

De vez que queremos verificar a expansl-io em multipolos quando as dimensões da fonte são comparáveis a um comprimento de onda, vamos analisar os casos especiais de uma antena de meia-onda (kcf = v) e uma antena de onda inteira (kd = 2 ~ ) . Para estes dois valores de kd, o coeficiente para 1 = 1 está tabelado, juntamente corn os valores relativos para 1 = 3 e 5. Da tabela, é evidente que(u) os coeficientes diminuem rapidamente em m6dulo quando1 cresce, e (h) quanto maiores as dimensões da antena, mais importantes são os coeficientes 1 mais elevados. Porém, mesmo para a antena de onda inteira é possivelmente adequado manter somente1 = 1 e1 = 3 na distribuição angular, e é certamente adequado paraa potência total (que envolve os quadrados dos coeficientes).

Com apenas os termos de dipolo e de octopolo na distrib;iição angular, vemos que a potência irradiada por unidade de ângulo sólido (16.74) é

Os diversos fatores no quadrado do módulo são

Com estes fatores angulares, a Eq.(16.121) fica

onde o fator A é igual a 1 para a antena de meia-onda, e a (n2/4) para a antena de onda inteira. O coeficiente de (5 cosZ 0 - I ) na Eq.(16.123) é 0,0463 e 0,304 para a antena de meia-onda e para a antena de onda inteira, respectivamente.

Do Cap. 9, sabe-se que as distribuições angulares exatas (para correntes motrizes senoi- dais) são

cos2 (; cos 8) kd= n

d P - f senZ 8 '

COS< (;cor e ) sen2 e , kd=2rr

(a) kd = n ( b ) kd = 27r

Flg. 16.4 Comparação entre as configurações de radiação exatas (curvas cheias) para antenas de meia- onda (kd = r) e de onda inteira (kd = 2n), com alimentação central, e os desenvolvimentos em multipolos, com dois termos (curvas tracejadas). Mostra-se também, na configuração de meia-onda, a aproximação de dipolo (curva pontilhada). A concordinciaentre a configuração exatae a daaproximação dos dois termosde multipolos é excelente, especialmente para kd = n-.

Uma comparação gráfica das distribuições angulares exata e aproximada aparece na Fig. 16.4. As curvas cheias são os resultados exatos, as curvas pontilhadas são os desenvolvimentos em multipolos, com dois termos. No caso da meia-onda (Fig. 16.4a), o resultado com apenas o dipolo [primeiro termo na Eq.(16.123)] também aparece como curva pontilhada. A expansão em multipolo com dois termos é quase indistinguível do resultado exato para kd = rr. Mesmo a aproximação de ordem mais baixa não está, neste caso, muito longe da exatidão. Para a antena de onda inteira (Fig. 16.46), a aproximação de dipolo é, evidentemente, muito ruim. Porém, a expansão em multipolo com dois termos é razoavelmente boa, diferindo em menos de 5% na regi50 de radiação apreciável.

A potência total irradiada é, de acordo com a Eq.(16.79),

Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), utilizamos a ortogonalidade dos harmô- nicos esféricos vetoriais X,,. Apenas para termos uma referência, resumimos a seguir a relação básica (16.44), além de outras relações úteis:

Ib( r )~ i~ . , ]* [g[(r)Xi.] da= fT8 8 1 1 . 6 . ~ ~ 1 Para a antena de meia-onda, os coeficientes na tabela estampada anteriormente mostram que a potência irradiadaé maior, por um fator 1,00245, que ado resultado do dipolo, (12Z2/rr2c). Paraa antena de onda inteira, a potência é 1,114 vezes maior que a forma do dipolo, (312/c).

16.8 Desenvolvimento em ondas esféricas de uma onda plana vetorial

Na discussão do espalhamento ou da absorção de radiação eletromagnética por objetos esféricos, ou por sistemas localizados em geral, é útil ter um desenvolvimento de uma onda eletromagnética plana em ondas esféricas.

Para um campo escalar +(x) que satisfaça à equação de onda, a expansão necessária pode ser obtida usando-se as propriedades de ortogonalidade da solução esférica básica jl(kr) Yl, ( O , + ) . uma dedução alternativa utiliza a expansão em onda esférica, Eq.(16.22), da função de Green [exp(ikR)/4rrR]. Vamos fazer Ix'l tender param nos dois membros da Eq.(16.22). Então, podemos fazer Ix - x'l = r ' - n .x no primeiro membro, onde n é um vetor unitário na direção de x'. NO segundo membro, r, = r ' e r, = r. Além disto, podemos usar a forma assintótica (16.13) para h{l' (kr'). Então, encontramos

Nestas relações, fdr) e gdr) são combinações lineares de funções esféricas de Bessel que satisfazem à Eq.(16.5). A segunda e a terceira relações podem ser provadas mediante a identidade operacional (16.49), a representação

v,!2-i r x L r a r r

para o operador nabla, e a equação diferencial radial (16.5). Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), tomamos o produto escalar dos dois

membros daEq.(16.13 1) porXS,, e integramos sobre os ângulos. Então, a primeira e a segunda relações de ortogonalidade na Eq.(16.132) levam a

eikr' - e'"' 4,, e-"""= i k p (-i)'"h(kr) YL(B', 4') yIm(g, 4 )

Cancelando o fator exp(ikr1)lr' em ambos os membros e tomando o complexo conjugado, temos o desenvolvimento de uma onda plana, r?'

Com a (16.130) para o campo elétrico, a (16.133) fica onde k é o vetor de onda com coordenadas esféricas k, O ' , $I'. O teorema da adição (3.62) pode ser usado para tornar a equação mais compacta,

onde os operadores L, são definidos por (16.26), e os resultados das suas operaçóes por (16.28). Assim, obtemos

onde y é oângulo k e x. Com a Eq.(3.57) paraP, cos(y), esta expressão pode também ser escrita como

Se inserirmos o desenvolvimento (16.129) para exdikz), a ortogonalidade de Y,, leva, eviden- temente, ao resultado Queremos agora fazer um desenvolvimento equivalente para uma onda plana circular-

mente polarizada, incidente ao longo do eixo dos z,

Das Eq~(16.134) e (16.130), é claro que

Uma vez que uma onda plana é finita em todos os pontos, podemos escrever a sua expansão em multipolos (16.46) envolvendo somente as funções radiais regulares jdkr):

594

Então, a expansão da onda plana (16.130) em multipolos é

595

Para tal onda circularmente polarizada, os valores de m correspondentes a +- I têm a interpreta- ção óbvia de , 1 unidade de momento angular por fóton paralelo à direção de propagação. Isto já foi estabelecido nos Problemas 7.20 e 7.21.

16.9 Espalhamento de ondas eletromagnéticas por uma esfera

Se uma onda plana de radiação eletromagnética incide sobre um obstáculo esférico,' conforme o esquema da Fig. 16.5, ela é espalhada de modo que, nos pontos distantes do centro difusor, os campos sejam representados por uma onda plana mais ondas esféricas emergentes. Poderá haver absorção pelo obstáculo, além de espalhamento. Então, o fluxo total de energia para longe do obstáculo será menor que o fluxo total de energia que incide sobre ele, sendo absorvida a diferença entre os dois. O nosso objetivo é analisar o exemplo simples do espalha- mento por uma esfera de raio n e condutividade infinita; vamos, porém, de início, manter o problema em termos mais gerais.

Onda incidente

Fig. 16.5 Espalhamento de radiação por um objeto localizado.

Os campos externos à esfera podem ser escritos como uma soma de ondas incidente e espalhada,

onde E,,, e B,,, sáo dados pela Eq.(16.139). Uma vez que os campos espalhados são ondas emergentes no infinito, as suas expansões devein ter a forma

OS coeficicntes a,(/) c pJ/) serão determinados pelas con&ões de contorno sobre a superfície dodifusor. A priori, é preciso manter uma soma completa sobret?~ e sobre1 naEq.(l6. 141), mas, para a classe restrita de problemas com simetria esférica que estamos analisando, somente ocorrém os valores i~ 1 para r u .

Podem-se deduzir expressks formais para a potência total espalhada e absorvida eni termos dos coeficientes 41) e Byl) a partir dos campos espalhado e total sobre a superfície de uma esfera de raioa em torno do difusor, conforme as expressões (9.184) e (9.185). Estas expressões

podem ser escritas I

Aqui, n é uma normal externa na direção radial, E,,,e B,,, são dados pela Eq.(16.141), enquanto E e B são a soma dos campos de onda plana (16.139). e dos campos espalhados (16.141). Nestas equações, entram somente as partes transversais dos campos. Já sabemos que XI,, é transversal. O outro tipo de termo nas Eqs.(l6.139) e (16.141) é

onde f, é qualquer função esférica de Bessel de ordem 1 que satisfaz à (16.5). Quando os desenvolvimentos dos campos em multipolos são inseridos nas Eqs.(16.142) e (16.1431, aparece uma soma dupla sobre 1 e 1' de diversos produtos escalares da forma X& .X,,,,, XI*, .(nxXlrmt) e (n xX],) .(nxXItmt). A integraçiio sobre os ângulos reduz a soma dupla a uma soma simples, em virtude das relações de ortogonalidade (16.132). Cada termo da soma envolve produtos de funções esféricas de Bessel e derivadas de funções esféricas de Bessel. O uso dos wronskianos (16.15) permite a eliminação de todas as funções de Bessel e leva as seguintes expressões para as seçóes totais de espalhamento e de absorção (a potência espalhada ou absorvida dividida pelo fluxo incidente, c/4n):

A seçáo total, ou seção de extinção, é a soma de a,,, e cr,,,.

Não é surpresa que estas expressões das seções dos processos sejam bastante semelhantes aos desenvolvimentos ondulatórios parciais do espalhamento quântico.9

A seçáo diferencial de espalhamento é obtida calculando-se a potência irradiada num dado elemento d a de ângulo sólido ou, de forma equivalente, tomando-se o quadrado absoluto da amplitude de espalhamento normalizada f, Eq.(9.188). Usando o resultado do Problema 16,l ](a), concluímos que a seção de espalhamento para a polarização incidente (E, +1 ie) é

A radiação espalhada é, em geral, elipticamcntc polarizada. Somente quando adl) = P-.[l) para todos os 1, ela seria circularmente polarizada. Isto quer dizer que, se a radiação incidente for linearmente polarizada, a radiação espalhada será elipticamente polarizada; se a radiação incidente não for polarizada, a radiaçiio espalhada terá uma polarização parcial, dependendo do ângulo de observação. No Cap. 9 (ver as Figs. 9.6 e 9.7), descrevemos estes efeitos no limite dos grandes comprimentos de onda.

Os coeficientes adl) e PJl ) na Eq.(16.14 1) sáo determinados pelas condições de contorno dos campos em r = a. Normalmente, isto envolveria a solução das equações de Maxwell no interior da esfera e o acoplamento apropriado das soluções através der = a . Porém, se o difusor for uma esfera de raio a, cujas propriedades eletromagnéticas possam ser descritas por uma

rd 80s nossos resultados não sáo completamente gerais. Se se incluísse a soma sobre rn na Eq.(16.141), a seção de espalhamcnto teria uma soma sobrei e m com os quadrados absoluios de 41, m) e Hl, fn). A seçáo total ficariacomo está, com a(/) -+ 41, rn = +. 112) e p(1) -P B(I. rn = -C 1/2), dependendo do estado de polan7ação da onda incidente (16.130). A seçáo de absorção pode ser reduzida fazendo-se a difercric;a entre u, e o,,,

impedância superficialZ, (para isto, a variação radial dos campos na parte interna da superficie deve ser rápida em comparação com o raio), então as condições de contorno assumem a forma relativamente simples

onde E e B são estimados na parte imediatamente externa da superfície esférica. Das Eqs. (16.139), (16.141) e (16.144), temos

t;,

ondex = ka é o argumentox de todas as funções esféricas de Bessel. A condição de contorno (16.148) exige que, para cada valor de I e para cada termo Xl, e n x Xl,, separadamente, os coeficientes de E,,, e de n x B sejam proporcionais, de acordo com

i i(%)!. O I X ( j , + y

4-r x d x (16.149)

i d v+

Mediante a relação 2j1 = h,(" + hi2), os coeficientes adl) e pdl) podem escrever-se

com Pdl) tendo a mesma forma, porém comcZ,/4~ substituído pelo seu inverso. Notamos que, com a condição de contorno da impedância superficial, os coeficientes são os mesmos para ambos os estados de polarização circular.

Para uma dada impedânciaz,, todos os coeficientes de multipolo são determinados, e , pelo menos em princípio, o espalhamento é conhecido. Tudo o que resta é colocar os números. Antes de passarmos para um limite determinado, faremos algumas observaçóes. Em primeiro lugar, se 2, for um imaginário puro (ausência de dissipação) ou seZ, = O ou 2, -+ @, então [a& -t 11 e [PJl) + 11 são números com módulo unitário. Istoque dizer que adi) e Pd1) podem ser escritos como

onde os ângulos de fase 61 e 6'1 são denominados os deslocamentos de fase do espalhamento. Especificamente, têm-se

quando 2, = O (esfera perfeitamente condutora) e 61 t, 6'1 para Z , t m.

A segunda observação é a de que a Eq,(l6.150) pode ser simplificada nos limites de baixa e alta freqüência. Para ka <<i, as funções esféricas de Bessel podem ser aproximadas de xo rdo com a Eq.(16.12). Obtemos, então, a aproximação dos grandes comprimentos de o n h

e a mesma forma para &(i), com ( ~ 2 ~ 1 4 ~ ) substituído pelo seu inverso. Para ka >> i, usamos a Eq.(16.13) e obtemos

com Pdl) = -adl) mediante a substituição usual. No limite dos grandes comprimentos dc onda, os coeficientes de espalhamento a,(/) e pdl) ficam rapidamente muito pequenos q~ando 1 cresce, independentemente do valor de 2,. Usualmente, para cada série de multipolos. basta guardar o termo de ordem mais baixa (1 = 1). No limite oposto, ka >> 1, a Eq.(16.154) nostra que, parai << ka, os coeficientes sucessivos têm módulos comparáveis, mas fases que futuam amplamente. Para1 da ordem de irna, = ka, há uma região de transição e , para i >> i,,,. vale a Eq.(16.153). O uso de um desenvolvimento em multipolos ou em ondas parciais paraum r.úmero tão grande de termos é uma questão complicada, exigindo computadores digiuis ou esquemas de aproximação como os que foram discutidos na Seção 9.13.

Vamos particularizar agora a análise para o limite dos grandes comptimentos de o ~ d a (ka << 1) com uma esfera perfeitamente condutora (2, = O) e deixar para os problemas os ex:mplos com complexidade ligeiramente maior. Somente os termos em I = 1, na Eq.(16.147, são importantes. Da Eq.(16.153), encontramos

-1 2i a.(l) =2 &(I)= -- (ka)' 3

,Neste limite, a seção de espalhamento é

~ ' ( k a ) ~ (Xl..I ~ 2 i n x X , . ~ J ' d a 3

Da tabela apresentada na Seção 16.4, obtemos os quadrados dos módulos

3 I I I X X ~ , ~ , ~ ~ = I x ~ , ~ ~ ~ ~ = - (I+COS~ e)

1 6 ~ (16.156)

Os termos mistos podem ser calculados com facilidade:

-3 [f i(nxX,,,,)* Xi,,,]=- cos 8 8rr (16.157)

Assim, no limite de grandes comprimentos de onda, a seção diferencial de espalhame~io é

independente do estado de polarização da radiação incidente. A distribuição angular da radia- ção espalhada aparece na Fig. 16.6, na forma de um diagrama polar equivalente ao da Fig. 3.7. O espalhamento é predominantemente para trás. A assimetria acentuada que aparece nãs vizi- nhanças de 90° é provocada pelo termo da interferência dipolo elétrico-dipolo magnétko.

A seção total no limite dos grandes comprimentos de onda é

Fig. 16.6 Distribuição angular da radiação espalhada poruma esfera perfeitamente condutora no limite dos grandes comprimentos de onda (ka << 1).

No final do Cap. 9, citaram-se diversos livros sobre antenas e também sobre o espalhamento. Nenhum deles, no entanto, discute com rigor os desenvolvimentos em multipolos.

O espalhamento de radiação por uma esfera perfeitamente condutora está tratado resumidamente em Morse e Feshbach, págs. 1882-1886, Panofsky e Philiips, Seção 12.9.

Discussões muito mais completas, com propriedades dielétricas e condutoras arbitrárias para a esfera, são as de

Born e Wolf, Seção 13.5, Stratton, Seção 9.25.

A informação matemática sobre as funções de Bessel, etc. encontra-se em Morse e Feshbach, págs. 1573-6.

Outras referências sobre o espalhamento já foram citadas no final da Seção 16.9.

PROBLEMAS

16.1 Três cargas estão localizadas ao longo do eixo dosz. Uma carga +2q está na origem, e duas outras -q estão em z = t a cos d. Determinar os momentos de multipolo não-nulos, de ordem mais baixa, a distribuição angular da radiação e a potência total irradiada. Admitir que ka é muito menor que 1.

16.2 Uma superfície quase esférica, definida pela equaçgo

Este é um resultado bastante conhecido, obtido pela primeira vez por Mie e Debye (1908-1909), e já discutido de u m ponto de vista diferente na Seção 9 . q ~ ) .

O problema geral d o espalhamento de ondas eletromagnéticas por esferas com proprieda- de s elétricas e magnéticas arbitrárias, quando ka não é pequeno, é complicado. Foi atacado de maneira sistemática pela primeira vez por Mie e Debye, em 1908-1909. Até hoje, há centenas de artigos publicados sobre o assunto. Os detalhes d e muitos aspectos deste importante problema podem ser encontrados nos livros d e Kerker, King e WU, Bol.r,rnan, Senior e Uslenghi, além de outras fontes citadas no final do capítulo. O livro de Bowman, Senior e Uslenghi discute o espalhamento por out ros corpos de formas regulares, além dos esféricos.

Para difusores diferentes de esferas, cilindros, etc., há muito pouco de teona formal. Recentemente, houve um progresso interessante no desenvolvimento d e u m esquema d e aproximação por Purcell e Pennypacker, no qual s e substitui um difusor com forma e proprie- dades eletromagnéticas arbitrárias por uma rede grosseira de difusores dipolares elementares, cujas propriedades reproduzem as do difusor. Procura-se uma solução coerente para os campos no interior e no exterior d o "difusor" mediante métodos numéricos com computadores digitais rápidos. Este trabalho está citado nas sugestões para leitura no final d o Cap. 9.

16.10 Problemas de contorno com campos de multipolos

O espalhamento d a radiaçáo por uma esfera condutora é um exemplo de um problema de contorno com campos de multipolo. Outros exemplos sã8 a s oscilações livres de uma esfera condurora, a cavidade ressonante esférica e o espalhamento por uma esfera dielétrica. A possibilidadede perdas resistivas nos condutores aduz novos problemas, como o s dos valores(! das cavidades e d a s seções de absorçáo, que j á mencionamos antes. As técnicas gerais para enfrentar estes problemas são a s mesmas que já encontramos na Seção 16.9 e no Cap. 8. O instrumental matemático necessário foi desenvolvido neste capítulo. Deixamos para o s pro- blemas no final do capítulo a discussão destes exemplos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E SUGESTÓES PARA LEITURA

A teona dos harmônicos esféricos vetoriais e dos campos vetoriais de multipolo está discutida com profundidade em

Blatt e Weisskopf, Apêndice B, hlorse e Feshbach, Seção 13.3.

As aplicações à radiação de multipolo nuclear estão dadas em Blatt e Weisskopf. Cap. XII, Siegbahn, Cap. X111, p0r.S. A. Moszkowski e Cap. XVJ (ll) , por M. Goldhaber e A. W. Sunyar.

tem iio seu interior uma distribuição volumar de carga uniforme e totalizandoQ. O pequeno parárnetro /3 varia harmonicamente com o tempo, com afrequência o. istocorresponde a ondas superficiais numa esfera. Calcular os momentos de multipolo não-nulos, a distribuição angular de radiação e a poténcia total irradiada, guardando somente os termos de ordem mais baixa em /3, e fazendo a aproximação dos grandes comprimentos de onda.

16.3 Substitui-se a densidade uniforme de carga do Problema 16.2 por uma densidade uniforme de magneti- zaçáo intrínseca, paralela ao eixo dos z e tendo um momento magnético total M . Com as mesmas aproximações que antes, calcular a radiação dos momentos de multipolo não-nulos, a distnbuiçáo angular de radiação e a potência total irradiada.

16.4 Umaantenaé constituída por um aro metálico circular, de raioa. localizado no planoxy, com o centro na origem. A corrente no condutor é

. I = 1, cos o t = Re Ioe-'"'

(a) Calcularas expressões de E e de B na.zona de radiação sem aproximações quanto i grandeza de ka. Determinar a potência irradiada por unidade de ângulo sólido. (b) Qual é o momento de multipolo de ordem mais baixa e não-nulo (Q,,, ou M,,,)? Estimar este momento no limite ka << 1.

16.5 Dois dipolos elétricos fixos, de momento de dipolop, estão localizados num plano, separados pela distância 2a, tendo os eixos paralelos entre si e perpendiculares ao plano, mas os momentos em direções opostas. Os dipolos giram, com velocidade angular constante w , em torno de um eixo paralelo, localizado a meia distSncia entre eles (o << cla). (a) Calcular as componentes do momento de quadrupolo. (b) Mostrar que a distribuição angular de radiaçáo é proporcional a

e que a potência total irradiada é

16.6 No limite dos grandes comprimentos de onda, calcular todos os momentos de multipolo elétrico não-nulos para a distribuição de carga

e determinar a distribuição angular e a potência total irradiada para cada multipolo. Esta distribuição de carga é apropriada para uma transição entre os estados n = 3 , l = 2 ( 3 4 e n = 2,l = 1 (2p) no átomo de hidrogênio.

16.7 Os campos que representam uma onda magnética transversal se propagando num guia de onda cilíndrico, de raio R , são

onde rn é o índice que determina a dependência angular, /3 é a constante de propagação, = kZ - P2 (k = olc), onde y é tal que J,(y R) = O. Calcular a razão entre a componente z do momento angular eletromagnético e a energia do campo. Pode ser vantqjoso efetuar algumas integraçóes por partes e usar a equação diferencial satisfeita por E, para simplificar os cálculos.

16.8 Um orifício esférico de raioa num meio condutor pode funcionar como uma cavidade eletromagnética ressonante. (a) Admitindo uma condutividade infinita, determinar as equaçóes transcendentes para as frequên- cias caractensticas o,, da cavidade, para os modos TE e TM. (b) Calcular os valores numéricos para o comprimento de onda A,, em unidades do raio a , para os quatro modos mais baixos das ondas TE e TM. (C) Calcular explicitamente os campos elétrico e magnético no interior da cavidade para o modo TE mais baixo e para o modo TM mais baixo.

16.9 A cavidade ressonante esférica do Problema 16.8 tem paredes não-permeáveis de condutividade grande, porém finita. Fazendo a aproximação de a profundidade de penetração 6 ser pequena em relação ao raio a da cavidade, mostrar que o Q da cavidade, definido pela Eq.(8.86), é dado por

Q=! 6 ' para todos os modos TE

e por

I ( l t l ) ) , para todos os modos TM

onde

para os modos TM. 16.10 Discutir os modos normais de oscilação de uma esfera maciça perfeitamente condutora, com o raioa,

no vácuo. (Este problema foi resolvido por J. J. Thomson, na década de 1880.) (a) Determinar as equações características para as autofrequências dos modos de oscilação TE e TM. Mostrar que as raízes para o têm sempre uma parte imaginária negativa, admitindo uma dependência com o tempo da forma exp(-i&). (b) Calcular as autofrequências para I = 1 e I,.: 2 dos modos TE e TM. Tabelar o comprimento de onda (definido em termos da parte real da frequencia) em unidades do raio a e o tempo de decaimento (definido como o intervalo de tempo necessário para a energia cair a I/e do seu valor inicial) em unidades do tempo de trânsito (alc) para cada um dos modos.

16.11 (a) Mostrar que, paraa ondaespalhada(l6.141), aampitude de e~~aihamentonormaizada (9.188) 6

onde o vetor polarização da onda incidente é (r, -c i r z ) / S (b) Deduzir uma expressão para a seção total crt a partir do teorema óptico (9.189) e da expressão mencionada para f.

16.12 Uma onda plana circularmente polarizada, de radiação com a freqüência o = ck, incide sobre uma esfera condutora, não-permeável, de raio a. (a) Admitindo que a condutividade da esfera seja infinita, escrever expressões explícitas para 0s campo: elétrico e magnético nas vizinhanças da esfera e na sua superfície, no limite dos grandes compnmentos de onda, ka << 1. (b) Usando as técnicas do Cap. 8, calcular a potência da onda incidente absorvida pela esfera, admitindo que a condutividade seja grande, porém finita. Exprimir o resultado como uma seção de absorção em termos do número de onda k , do raio a e da profundidade dè penetração S. Admitir ka << 1.

16.13 Discutir O espalhamento de uma onda plana de radiação eletromagnética por uma esfera dielétnca, não-permeável, de raio a e constante dielétrica é.

(a) Determinar os coeficientes de multipolo na onda espalhada mediante O cálculo d ~ s campos no interior da esfera e o acoplamento destes campos A onda incidente mais a onda espalhada no exterior da esfera. Definir os deslocamentos de fase apropriados ao problema. (b) Considerar0 limite dos grandes comprimentos de onda (ka << I), e determinar explicitamente as seçóes diferencial e total de espaihamento. Comparar os resultados com os da Seção 9.6(b). (C) No limite c -+ m, comparar os resultados com os de uma esfera perfeitamente condutora.

16.14 Analisar o espalhamento de uma onda plana por uma esfera não-permeável, de raioa e boa, mas não perfeita, condutora. Admitir que ka << 1 e que a profundidade de penetração S é menor que a . (a) Mostrar, com a análise da Seção 8.1, que

(b) No limite dos grandes comprimentos de onda, mostrar que, para1 = 1, os coeficientes adl) e Pdl) da Eq.(16.149) são

(c) Escrever explicitamente a seção diferencial de espalhamento, correta até aprimeira ordem em Sla e na ordem mais baixa em ka. (d) Estimar, usando a Eq.(16.145), a seção de absorção. Mostrar que, na primeira ordem em 6, ela vale

Como será esta seção se 6 = a ?

Amortecimento Radiativo, Campos Próprios de uma Partícula, Espalhamento e Absorção de Radiaçao por um Sistema Ligado

17.1 Considerações iniciais

Nos capítulos anteriores. os problemas da eletrodinâmica foram divididos em duas classes; numa delas, as fontes de carga e de corrente eram especificadas e os campos eletromagnéticos resultantes eram então calculados: na outra, especificavam-se os campos eletromagnéticos externos e calculavam-se os movimentos das partículas carregadas ou das correntes. Exemplos do primeiro tipo de problemas são os guias de onda, as cavidades e a radiaçáo de fontes determinadas de multipolos, enquanto o segundo tipo é exemplificado pelo movimento de cargas em campos elétrico e magnitico e pelos fenomenos de perda de energia. Ocasional- mente. como na discussáo da radiação de frcnamento, combinaram-se os dois problemas. O tratamerito, no entanto, foi gr:idunl -em primeiro lugar, determinava-se o movimento de uma pnr!ícula num campo externo, desprezando-se o emissao de r;idiação; depois, calculava-se a radiação a partir da trajetória, como se cstri fosse umii drida distribuição de fontes.

E evidente que esta maneira de abord~ir os problemas da eletrodinâmica só pode ter validade aproximada. O movimento de partícul:is carregadas em campos externos envolve nccessari:in~ente a emissáode radiaçrio seriipre que as cargas sáoacelerndas. A radiação emitida transporta energia, momento linear e niorncnto angular, e por issodeve influenciar o movin~ento subseqüente das partículas carregadas. Portanto, o iiiovin~ento das fontes de radiação é deter- minado. em parte, pela fornin de ernissáo da rndiaçáo. Um tratamento correto deve incluir a reação da radiiiçáo sobre o movimento das fontcs.

Por que entáo levamos tanto tempo para, na nossa análise da eletrodinâmica, encarar este fato:' Por que muitas das respostas, cnlculadns desta forma aparentemente errônea, concordam trio bem com a experiência? Uma resposta parcial da primeira pergunta está contida na segunda. E.ristem muitos problemas na eletrodinâmica que podem ser incluídos, com erro desprezív.el, numa das dii:is categorias mencionadas no primeiro parágrafo. Por isso, vale a pena discuti-los sem as complicaçóes adicionais e desnecessárias decorrentes da inclusáo dos efeitos da reação. A pai-te qlJe fiiltii para responder à primeira questão 6 a de que riáo existe unl tratamento completamente satisfritório dos efeitos reativos da r2idi;içáo. As dificuldades apresentadas por este problema a1canç:irn um dos aspectos niais fundamentais da física, o da natureza de uma partíciila elemcntrir. Embora se possam forniular soluc;ões parciais, tratáveis em Areas limita- das, o problema básico permanece insolúvel. Podia-se esperar que a tr;insiçáo da abordagem clássica para a quâritica removesse as dificuldades. Embora ainda existam esperanças de que

isto finalmente ocorra, as discussões quânticasatuais estão assoberbadas por dificuldades ainda mais complicadas que as clássicas. Um dos triunfos dos anos mais recentes (- 1948-1950) foi o de que os conceitos da covariância de Lorentz e da invariância de calibre puderam ser explora- dos com suficiente habilidade de forma a evitar estas dificuldades da eletrodinâmica quântica, possibilitando assim o cálculo de efeitos radiativos niuito pequenos, com precisão muito alta e em completa concordância com os resultados e.\perimentais. De um ponto de vista fundamen- tal, porém, as dificuldades ainda subsistem. Neste capítulo. consideraremos somente os aspec- tos clássicos, mas indicaremos, de passagem. algumas analogias quânticas.

A pergunta sobre o motivo de tantos problemas poderem ser, aparentemente, tratados com o desprezo dos efeitos radiativos tem a resposta óbvia de que os efeitos devem ter importância pequeníssima. Para ver, qualitativamente, quando isto ocorre, e obter estimativas semiquanti- tativas dos intervalos de parâmetros para os quais os efeitos radiativos são ou náo são importan- tes, precisamos de um critério simples. Um deles pode ser obtido através da análise da energia. Se, num campo de forças externo, uma partícula de carga e é acelerada até uma grandeza de ordem típica u , durante um período de tempo T. a energia ii-r5diada é da ordem de

conforme a fórmula de Larmor, Eq. (14.22). Se esta energia, perdida como radiação. for desprezível em comparaçáo com a energia E, relevante para o problcrna. podemos esperar que os efeitos radiativos sejam desprezíveis. Mas, seE,,,,$E,. os efeitos da reação de i-adiação serão apreciáveis. O critério para o ponto em que os efeitos radiativos principiam a ter importância pode, assim, ser expresso por

A especificaçio da energia relevante E. exige um certo cuidado. Vamos distinguir duas situações aparentemente diferentes, uma delas em que a partícula está inicialmente em repouso e é atuada por uma força, aplicada somente durante urn intervalo de tempo finito T, e outra na qual a partícula sofre uma aceleração contínua. por exemplo, o movimento quase-periódico a unia freqüência característica a,. Para a partícula inicialmente em repouso, uma energia típica é, evidentemente, a sua energia cinktica depois da aceleração. Assim.

O critério (17.2) fica entáo

2 e2a2T i n a 2 ~ 2 --- 3 c'

É conveniente definir o tcn~po crir-uctcrístico nesta relação como

Assim, a conclusão é a de que, para intervalos de tempo T longos em relaç5o a 7, OS efeitos radiativos náo são importantes. Somente quando a força é aplicada de maneira tão súbita e durante um intervalo de tempo táo curto que T-7. OS efeitos rridiativos modificar50 apreciavel- mente o movimento. É útil observar que o tempo caracten'stico mais longo para as partículas carregadas é o dos elétrons, e que o seu valoré ;=6,26. 10-"S. Este intervalo de tempo é da ordem d e grandeza do necessário para a luz percorrer a distância de l O - I 3 c n ~ . Somente nos fenómenos que envolvem estas distâncias ou estes intervalos de tempo, podemos esperar que os efeitos radiativos tenham importância clccisivo.

Se o movimento da partícula carregada é quase-periódico, com uma amplitude típica d e uma freqüência característica w,, a energia mecânica do movimento pode ser identificada com E,, e é d a ordem de

As acelerações são, tipicamente, a-wo2d, e os intervalos de tempo, T-(llw,). por isso, o critério (17.2) é

onde7 é dado por (17.3). Uma vez quemo-' é o intervalo de tempo apropriado para o movimento mecAnico, vemos de novo que, se o intervalo de tempo que tem relevância mecânica for longo em comparação com o tempo caractenstico~dado pela Eq. (17.3), os efeitos da reação radiativa sobre o movimento não terão importância.

Os exemplos dos dois últimos parágrafos mostram que os efeitos reativos da radiaçáo sobre o movimento de uma partícula carregada serão, possivelmente, importantes se as forças externas forem capazes de provocar modificações apreciáveis do movimento em intervalos de tempo da ordem de r OU sobre distâncias da ordem de CT. Este é um critério geral nos quadros da eletrodinâmica clássica. Para movimentos menos violentos, os efeitos reativos são bastante pequenos para que tenham efeito desprezível sobre o movimento em intervalos curtos. Os efeitos cumulativos, a longo prazo, podem ser estimados de forma aproximada, conforme veremos imediatamente.

17.2 Força da reação radiativa a partir da conservação da energia

Agora temos o problema de saber como incluir os efeitos reativos da radiação nas equações do movimento de uma partícula carregada. Principiamos com uiii argumento simplesmente plausível, baseado na conservação da energia para uma partícula carregada não-relativística. . Uma dedução mais fundamental e a incorporação de efeitos relativísticos serão transferidas para seções mais adiante.

Desprezando-se a emissão de rediação, uma partícula carregada de massa m e carga e, sobre que atua uma força externa FeXt, movimenta-se de acordo com a equação do movimento de Newton:

Uma vez que a partícula está acelerada, ela emite radiação a uma taxa dada pela fórmula da potência de Larmor, Eq. (14.22):

Para levar em conta esta perda de energia radiativa e o seu efeito sobre o movimento da partícula, modificaremos a equação de Newton (17.5) pela adição de uma força de reação radiativa Frad:

rnv = F,,, + Frnd (17.7)

Embora Frad nâo esteja, nesta altum, determinada, podemos perceber algumas condições a que ela "deve" satisfazer:

Frad "deve" (1) anular-se para v = 0, pois nesse caso não haverá radiação; (2) ser proporcional a e2, pois (a) a potência irradiada é proporcional a e2 e

(b) o sinal da carga não pode entrar nos efeitos radiativos; (3) envolver, na realidade, o tempo característico r (17.3), pois é este

aparentemente o único parâmetro significativo disponível.

Determinaremos a forma desta força, Frad. exigindo que o trabalho realizado por elasobre a partícula, no intervalo de tempo tl<t<t2, seja igual ao negativo da energia irradiada neste intervalo de tempo. Então a energia será conservada, pelo menos no intervalo ( t l , t z ) . Com o resultado (17.6) de Larmor, esta exigência escreve-se

A segunda integral pode ser feita por partes, e da

Se o movimento for periódico, ou for tal que (v.v)=O em r=t, e em t =i,, podemos escrever

Assim, é possível identificar a força da reação radiativa como

2 e 2 F rad =-- C3 V= m ~ v

A equação do movimerito modificada fica, então,

m(v-TV)= F,., (17.9)

A Eq. (17.9) é denominada, as vezes, equação do movimento de Abraham-Lorentz. Pode ser considerada como uma equação que inclui, de forma aproximada e promediada no tempo, os efeitos reativos da emissão de radiação. A equação pode ser criticada pelo fato de ser de segunda ordem no tempo, em lugar de ser de primeira ordem e estar, assim, ao revés das exigências bastante conhecidas para uma equação dinâmica do movimento. Esta dificuldade se manifesta imediatamente nas chamadas soluções "divergentes". Se a força externa for zero, é evidente que a Eq. (17.9) terá duas soluções possíveis:

onde a é a aceleração no instante t=0. Somente a primeira solução é razoável. O método de dedução mostra que a segunda solução é inaceitável, pois ( v . v ) f O em t, e r,. É claro que a equação só é útil no domínio em que o termo reativo é uma pequena correção. Então a reação radiativa pode ser tratada como uma perturbação que produz modificações lentas ou pequenas no,estado do movimento da partícula. O problema das soluções "divergentes" pode ser evitado pela substituição da Eq. (17.9) por uma equação íntegro-diferencial (ver a Seção 17.6).

Para ilustrar o uso da Eq. (17.9) na explicação de efeitos radiativos pequenos, vamos analisar uma partícula em movimento num campo de forças centrais, conservativo e atrativo. Na ausência de reação de radiação, a energia e o momento angular da partícula conservam-se e determinam o movimento. A emissão de radiação provoca modificações destas quantidades. Desde que as acelerações não sejam muito violentas, a energia e o momento angular modificar- se-ão apreciavelmente apenas durante um intervalo de tempo que seja longo em comparação com o período caractenstico do movimento. Assim, o movimento será, instantaneamente, essencialmente o mesmo que na ausência da reação da radiaçáo. As modificações em intervalos longos podem ser descritas por médias sobre a órbita não-perturbada da partícula.

Num campo de força central conservativo, descrito por um potencial V(r). a aceleração, desprezando-se efeitos reativos, é dada por

Pela conservação da energia, a taxa de variação da energia total da partícula é dada pelo negativo da potência de Larmor:

Com a definição (17.3) de r, esta fórmula pode ser escrita

CTma vez que a modifícação de energia é, por hipótese. pequena num ciclo da órbita, o segundo membro pode ser substituído pelo seu valor médio no tempo, em termos da órbita newtoniana. Obtém-se, assim,

A variação secular do momento angular pode ser encontrada pela consideração do produto vetorial da Eq.(17.9) pelo raio votor r. Uma vez que o momento angular é L = mr x v, encontramos

Como a força externa é central, o torque aplicado se anula. Porém, o termo do torque radiativo .pode sei L,.,--~?sso como

O momento angular, por hipótese, modifica-se lentamente com o tempo, com toda a certeza quando o tempo estiver sendo medido em unidades r. Por isso, é coerente omitir, na Eq.(17.15), a derivada segunda de L em relação a r e substituir v pelo valor dado na equação do movimento sem perturbação (1 7.1 I). Então, a taxa de variação do momento angular pode escrever-se como

onde se calculou a média sobre o tempo. na órbita instantânea, como na Eq.(17.13). As Eqs.(l7.13) e (17.16) determinam como a órbita da partícula varia em função do tempo

em virtude da reação da radiação. Embora o comportamento detalhado dependa da lei especí- fica da força, podemos fazer alguns juízos qualitativos. Se a freqüência característica do movimento for w,, o valor médio na Eq.(17.16) pode ser escrito como

1 ( L 07-T mo"2 = Wo2T m r d r m

com um coeficiente numérico adirnensional da ordem da unidade. Isto mostra que o tempo característico durante o qual o momento angular se modifica é da ordem de l/(w,r)w,. Este intervalo de tempo é muito longo em comparaçáo com o período orbital 2rrlw0, desde que w07<<.1. Argumentos seme1h;tntes podem ser usados em torno das equações da energia.

Estas equações incluindo efeitos radiativos podem ser usadas para discutir problemas práticos como os da tempo de moderação de um múon ou de um rnéson pi no processo de cascatear de uma órbita de número quântico muito grande, em torno de um núcleo, até uma órbita de ordem baixa. Durante a maior pai-te do tempo, os números quânticos são suficiente- mente grandes para que a descrição cl,?ssicu do movimento em forma contínua seja uma aproximação adequada. Deixamos para os problemas a discussão de exemplos desta espécie.

17.3 Cálculo de Abraham-Lorentz para a força própria

A dedução que fizemos na seçáo anterior da força da reação da,radiação, embora plausível, não é, com toda a certeza, nem rigorosa nem fundamental. O problema consiste em explicar satisfatoriamente.a reação que, sobre a partícula, exerce o seu próprio campo de radiação. Assim, qualquer discussáo sistemática deve levar em contaaestruturadacarga da partícula e os seus campos próprios. Abraham (1903) e Lorentz (1904) fizeram a primeira tentativa de estabelecer um modelo puramente eletromagnético para uma partícula carregada. A nossa discussáo está moldada segundo a de Lorentz, no seu livro Theory of Electrons, Nota 18, pág. 252.

Consideremos uma única partícula carregada. com a carga total e e com uma densidade de

carga p ( x ) nitidamente localizada no referencial de repouso da partícula. A partícula está nos campos eletromagnéticos externos E,,,(x,t) e B,,,(x.t). Vimos. nas Seções 6.8 e 12.10, que a taxa devariaçãodomomento mecânico maiso momento eletromagnético. nuni dadovolume, se anula desde que não haja fluxo de momento para dentro ou para fora do volume. Abraham e Lorentz propuseram que o momento aparentemente mecãnico de uma partícula carregada tivesse, na realidade, uma origem eletromagnética. Entáo, a lei da conservação do momento pode ser parafraseada como

dG-( , -- d t

ou, equivalente, em termos da densidade da força de Lorentz, Eq.(12.121).

Nesta equação, os campos são os campos totais e a integração se efetua sobre o volume da. partícula.

Para que a Eq.(17.17) assuma a forma da equação do movimento de Newton,

vamos decompor os campos totais em campos externos e campos próprios E,, e B,, que são provenientes das densidades de carga e de corrente da própria partícula, p e J:

Entáo, a Eq.(17.17) pode ser escrita como as equações do movimento de Newton, com a força externa dada por

e a taxa de variaçáo do moniento da partícula dada por

Desde que os campos externos variem apenas ligeiramente sobre 3s dimensões da partícula, a força externa(l7.19) transfoi-ma-se na força de Lorentz comum sobre uma partículade cargae e velocidade v .

Para calcular af0rç.a própria [airitegral do segundo membro da Eq.(17.20)]. é necessário ter um modelo da uartícula carregada. Vamos admitir, por simplicidade, que: w

(a) A partícula está instantaneamente em repouso; ( b ) A distribuição de carga é rígida e esferossirnétrica.

Os nossos resultados serão, portanto. restritos necessariamente aos movimentos não- relativísticos e não terio as propriedades transformativas de Lorentz. Estas deficiências pode- rão ser remediadas mais tarde.

Para uma partícula que está instantaneamente em repouso, a Eq.(17.20) fica

O campo próprio pode ser expresso em termos dos potenciais próprios, A e 4>. de modo que

*= 1 p(x, 1) [v<P(x, r)+; $ (x, t ) ] d 3 x dt

Os potenciais são dados por A" = (4, A):

com .im = ( c p , J) e K = x - x' . Na I;q.(17.23), :i qu:iclricorrente deve sei. calculada no instante retardado t ' . Este difere do

instante I por um intervalo Af da ordem de (nlc), ondc ( I é a diiiiensão da partícula. Para uma distribiiiçio de carga riiiiito localizada. ebte intcrvalo de tempo é cxtrernamente curto. Iliirnnte este curto intervalo de tempo. o movimento da partícula modifica-se, por hipótese, apenas ligeiramente. Poi'isso, é natural fazer um desenvolviniento eni série de Taylor na Eq.(17.23), em torno do instantcr' = r. Uma vez que [ I,,, rignifica calcular no instante I ' = 1 - (Rlc), qualquer grziiideza retardada tcin o dcsenvolvimento

- (-1)" R "a" [ l r e [ = ~ , - ~ - ( ~ ) arn l t r Z t

Com este descnvolviriientoapliciido àqiiadricorrcnte retaríiada(17.23). a expressão (17.22) fica

Consideremos os termos cm 11 = O e ti = I no potencial escalar do segundo membro (o primeiro termo entre colchetes). Pnra ti = O, o termo é proporcional a

Esta é exatamente a força própria eletrostática. Para uma distribuição de carga esferossimé- trica, ela se anula. O termo com tl = I é idcnticamente nulo, pois envolve VRn-I. Assim, a primeira contribuiçáo náo-nula da parte do potencial escalar provém de r1 = 2. Isto quer dizer qiie podemos modificar os índices de somação, de modo que a soma agora fica

onde

Com a equação da continuidade para as densidades de carga e de corrente, as chaves que aparecem na expressáo ( 17.25) podem ser escritas

S a integral sobre c l : ! ~ ' , podemos resolver o segundo termo por partes. Temos, então,

Isto quer dizer que a expresslio entre cha\.es na Eq.(17.25) é efetivamente igual a

Para uma distribuição rígida de carga. a corrente é

Se a distribuição de c;irg;i for esferossimétrica, a única direçáo relevante no problema; a de v(() . Por isso, na integraçáo sobre d:l~ e d:'xl, Sobrevive somente a componente da Eq.(17.26) na direçáo de v(!). Daí a Eq.(17.26) ser equivalente a

AIPm disto, todas as direçóes de R são igiialmente prováveis. Isto quer dizer cliic o \e:undo termo na expressáo aciinn pode ser siibstituído pclo sei1 valor mcdio 113. Corn isto sc chcgaa forma final simples para as chaves que aparecem na Eq.(17.25):

Com ;i Eq.(17.27) na Eq.(17.25). n força pr<ípria sc torna, desprezando-sc termos não-linear-c\ nas derivadas de v crn relnçáo ao teinpo (que aparecem para ri r 4),

Pnra coriipreender o significado da Eq.(17.28). considerenios os pi-iriieiros termos d o desenvolviincnto:

Na terceira expressáo, ( I é um comprimento característico da extensáo da distribuição de crirga da partícula. Observamos que, para ti r 2, os termos na expansão anulam-se no limite dc un-ia partícula puntiforme (c1 -+ O). Assim. para distribuições de carga muito localizadas, precisamos considerar somente as contribuições de n = O e n = I . ,O termo em 11 = 14 exatamente a f~r\ ; ; f da reação de radiação que já encontramos na Eq.(17:9). E independente da estrutura da partícula e depende somente da sua carga total. A nossa dedução de agora pode ser considerada como uma justificativa muito mais fundamental do que a realizada na Seção 17.2.

O termo em n = O, na Eq.(17.29), merece uma atenção especial. A integral dupla é proporcional a auto-energia eletrostática U da distribuição de carga,

Por isso, o termo em t2 = O pode ser expresso como

Esta expressão tem a forma geral esigida de uma taxa de variação de momento. A auto-erergia eletrostática, dividida porcZ, pode ser identificada com a massa eletromagnética da partícula:

Então, a equação do movimento, de Newton, para o modelo de Xbraham-Lorentz assume a forma,

desde que se desprezem os termos de ordem mais elevada no desenvolvimento (17.28). Esta

equaçáo é a mesma que a (17.9). els!roniaçnética.

exceto pelo estranho fator 413 que multiplica a massa

17.4 As dificuldades do modelo de Abraham-Lorentz

Embora a abordagem de .4braham-Lorentz seja uni avanço significativo para a descriçáo fundamental de uma partícula carregada, ela é deficiente sob vários aspectos.

1. Uma deficiência evidente é a da natureza não-relativística do modelo. Para o termo da força reativa, isoladamente, pode-se fazer uma generalizaçáo relativística (ver o Pro- blema 17.4), mas esta correção. em si mesma. náo é suficiente.

2 . A massa eletr-omagnética aparece com um coeficiente incorreto na Eq.(17.33). Este é urn sintoma das propriedades covariantes impróprias inerentes ao modelo, conforme ficará mais evidente na seçáo seguinte.

3. Se quisermos ignorar os termos de ordem superior na expansão da força própria em série. devemos tomar a -+ O. Porém, a massa eletromagnética é da ordem de (e21ch). Daí, no liriiite n -+ O a massa se tornar infinita. Se quisermos manter a niassa da ordem da massa tu observada para a partícula, a extensáo da disti-ibuiçáo de carga deve ser tal que <r - r.,,. onde

Para elctrons, esta distância, denominada oraia clcjssic,o cio elkfro)l, é de 2,82- lO-'%cm. Embora este raio seja muito pequeno. pode-se imaginar que os movimentos sejam suticientemcnte violentos para que, nesta extensão finita. os termos de ordem superior da expansão se tornem importantes.§ Assim, se a partícula tiver uma dimensão finita, a teoria com o desenvolvimento em série truncado deve ser considerada, somente, como lima descrição aproximada.

4. A distribuição localizada de carga deve ter- forças de riatureza náo-eletromagnética para rn:inter-se estável. Por isso, a idéia de iirn modelo pui.amente eletromagnético para a rii;itéria deve ser abandonada nos marcos das equações de Maxnrell e da relatividade r-estrita. Sabemos que existem na nattrrezaforr;;~~ intensas. não eletromagnéticas. Estas interações atribuem às partículas que as exercem. chamadas hádrons, extensões finitas no espaço. A distribuição de carga e de magnetizaçáo podem ser verificadas experimen- talmente pelo espalhamento dos elétrons e dos múons. com a hipótese de que estas partículas de prova sejam puntiformes e de que as leis da eletrodinâmica tenham validade a curtas distâncias. No caso dos nêutrons e dos prcítons, com detalhes, e no dos outros hádrons, de forma mais fragmentária, descobriu-se que a extensáo da carga e da magnetizac;áo é da ordem de (0.5 a 1 ,O). 10-i"cm. Esta dimensáo é um tanto menor que o raio cl,'issico do elétronr,. mas tem a rnesmp ordem de grandeza. Pode ser que exista um significado pi-ofundo nestaocori-ência, mas. no nível atual do nosso conhecimento, é um frito muito mais relevante o de que o cornpriniento de onda Corilpton do niéson pi, que é o qiiantuin mais leve do campo de força nuclear. é hlm&= 1.4. 10-13cm. Presumivel- mente ele e outras dimensões dos hiídrons governar11 as dimensões observadas nas experiências de espalhamento de elétrons.

O j Iéptons carregados (elétrons e múons) parecem sofrer exclusivamente interações ele- tromagnéticas e intcrnçiies fracas. Sáo por isso candidatos a uma generalização quântica do modtlo de Abralian-i-L.orcntz. Conforme se mencionou na Introduçáo, as experiências com elétrons mostram. pclo menos, que não há evidências de estruttira ou de extensão finita no nível de I O L k m . Este fato é completamente inexplicável no contcxto cliíssico de umadistribuiçãode carga estcnsa. Snbemos, naturalmente, que os efeitos quánticos principiam a ser notáveis a distâncias da ordem de til~nc = 137ro. Um inotlelo eletromagnético puramente clássico, por- tanto. teni pequena importância para o murido real.

.A existência de forças não-eletromagnéticas implica uma c o n t r i b u i ç ã ~ n ~ ~ i massa de uma pnrticul;i. proveniente destas forças. Nos limites tio inodelo de' Abraham-Lor-entz. conforme .. . discutimos até agora. esta massa adicional aparece simplesmerite como um coeficiente aposto a :iceien$ào na Eq.(17.33).

a dn+'v 6 0 s i e : ~ . o s sucessivos no dc~envolvimento estão na razio ( c - - d i n , 2 / din+l). Isto quer dizer que o movimento dcve

modifi:z-$C apreci;iveliiientc tluranic u m intervalo de tempo (a/c). Com n - e 2 / t ~ i c 2 , este intervalo é exataincnte igual a 7, dado r,!3 Eq.(17.3) . Retorn;imos. assim. ao mesmo critério inicial.

17.5 Definições covariantes da energia e do momento eletromagnéticos

Um problema importante no modelo de Abraham-Lorentz é o da falta da covariância apropriada da auto-energia e do automomento elrtroniagnéticos. conforme se percebe pelo fator anômalo 413 que aparece na inércia, e que foi encontrado pcla primeira vez por J . J . Thomson (1881). A raiz desta dificuldade pode ser localizada no uso acntico das densidades usuais de energia e de momento

É habitual (ver a Seçáo 6.8) definir a energia e o momento eletr.omagnético totais como as integrais tridimensionais de volume, destas densidades, em instantes fixos. Istoé permissível na discussão d o teorema de Poynting para um obser-vador em repouso no referencial incrcial no qual os campos são definidos. mas não é defensável em geral, qiizindo se considera o quadrimo- mento eletromagnético total em referenciais inerciais diferentes. As densidades da Eq.(17.34) são elementos d o tensor eletromagnético simétrico das tensões, Eq.(l7.115). Conforme j6 se mencionou na Segão 12. IO(a), a integral tridimensional espacial de @"O e de 0'' num instante fixo não se transforma como as componentes de um quadrivetor, ;i menos que o tensor satisfap a d,0"4=0, ou seja, que os campos não tenham fontes. Para uma partícula carregada clássica, com uma densidade de carga e de corrente não-nula e extensa, o tensor eletromagnético das tensões @""não é solenoidal [ver a Eq.(12.1 I$)]. Por isso, as integrais tridimensionais usuais de 11 e de g não podem representar coerentemente, em todos os referenciais inerciais. a energia e o momento eletromagnéticos.

Em 1906, Poincaré deu uma solução para o problema da covariância da energia e do momento da partícula de Abraham-Lorentz e também da sua estabilidade, contornando a questào das propriedades transforniativas da energia e do momento c1etrot~lcrg)iiticos separa- damente. Poincaré observou que aexistência de uma partíciila carregada puramente eletromag- nética e ra impossível (classicamente), pois a distribuição de carga elétiica seria. por si mesma. instável. SSo necessárias forças nào-elétricas para manter localizadas as cargas. Poincaré postulou, por isso, um tensor de tensões não-eletromagnEtico,Pafi, que deveria ser adicionado a O"" para dar o tensor total das aiitotensões, S"":

O quadrimoincnto total da partícula foi então definido por

onde a integral sc estende a todo o espaço tridirnensional num instante fixo. Pude-se mostrar que a Eq.(17.35) transforma-se como um qundrivetor desde que, no referencial de repouso da partícula (P=O), se tenha

ondei, j = 1,2,3, e o índice superior (0) indica o referencinl de iepoiiso. E\tii e\ig;nciaé n de que a autotensão total (no sentido tridimensional) anula-se, o que é exatamente n condiçáo de estabilidade mecânica. O anulamento das nutotensões totais no i-efcrencial de rcpoilso pode \er relacionado à exigência diferencial

Voltamos, entáo, à mesma situ;içrio que prira r;idiaçri» livre de fontes. Se o tcnsor das tcnsóes covariante de Lorentz tiver iiina qundridivergência nula, entrio as integrais sobre as cor>^-dena- das espaciais, num instante fixo, com a forma da (17.35), podem ser reprcscntad:is apropriada- mente pelo qiixirivetor energia-momento conservado.

A solução de Poincaré tem algiimas virtudes, mas tem taml~ém suas deficiincias. Ela exige tensóes d e Poincurk, desconhecidas, para que se tenha ;i est;ibilid;idc. Ao me5mo tempo, evita o problema das propriedades transforrnativas da parte eletromagnética da energia e do niornento de qualquer sistema.

t

+

O caráter quadrivetorial correto para a energia e o momento eletromagnético, mesmo em presença de fontes, pode ser assegurado com um certo cuidado. As expressões

podem ser consideradas como definindo a energia e o momento num certo referencial inercial particular K'. Os integrandos na Eq.(l7.37) são elementos do tensor de segunda ordem OaB. Evidentemente, devemos contrair um dos índices do tensor por um quadrivetor, e o quadrivetor deve ser tal que se reduza ad.!rt no referencial inercial K t . Definimos o quadrivetor d o gênero i 4 tempo por h 3

* ! du' = n@d3u (17.38)

onde d 'u é unl elemento invariante da "área" tridimensional sobre um hiperplano do gênero espaço em quatrodimensóes. A normal ao hiperplano, no, tem as componentes (1,0, O, O) em K'. O invarianted'ué evidentementedJu = n,dff = d:?Y I . Seo referencial inercial K t move-se com a velocidade c.P em relaçáo n iim referencial inercial K , então, em K, o quadrivetor no é

A definição geral do quadrimomento eletromagnético em qualquer referencial é, portanto, 1

Em K', r i , tem apenas uma componente temporal. Com d"u = d3,r', esta expressáo covariante se reduz a (17.37). Porém, no referencial K. n, = (y, -yB), e a definiçáo covariante tem as componentes temporal e espaciais dadas por

cP,O=? (rc-v-g) d ' u I cP,i = (cg' + TY'B') d 'a J

onde Tij6") é o tensor das tensões de Maxivell 3 por 3, Eq.(6.120). Se se desejar, o elemento invariante de volume dJu = d3x' pode ser suprimido em favor do elemento de volume d3x no referencial K, mediante a igualdade d3xt = yd% (integração num instante fixo 1 ) .

As definições (17.40) ou (17.41) do quadrimomento eletromagnético oferecem uma defini- ção covariante que parte das expressões simples (17.37) em qualquer referencial K'. Como é natural, escolhas diferentes do referencial K' levam a quadrivetores diferentes, mas isto não é razáo de alarme.§ Há uma escolha natural do referencial K t se a massa eletromagnética dos campos não for nula, ou seja, o referencial de repouso no qual

Vamos denominar este referencial. onde o momento eletromagnético P,' é igual azero, de K'O', e caracterizar pelos índices superiores zero as grandezas neste referencial, para tornar claro que se trata de uma escolha especial do referencial K'. De acordo com a Eq.(17.37), a energia de repouso eletromagnética é entáo

$Uma escolha possível para K' é o "laboratório", onde o observador está em repouso. A discussão das leis da conservaçáo. no Cap. 6 , pode ser interpretada neste sentido.

NO referencial K , a energia e o momento eletromagnéticos são dados pela Eq.(17.41). onde agora v é a velocidade do referencial de repouso K'O' em K.

Para configurações eletromagnéticas nas quais todas as cargas estejam em repouso num certo referencial (o modelo de Abraham-Lorentz dc uma partícula cai-I-egnda constitui um exemplo), a s fórmlilas gerais podem ser reduzidas a formas mais atraentes e transparentes. Conforme é evidente, o referencial no qual todas as cargas estão em repouso é K'O', pai\ nele todos os campos eletrostáticos e magnéticos se anulam ern todos os pontos clo espaço ti-idirnen- sional. Para estas configurações eletrostáticas, o carnpo inagnético é dado sem nproxiniac;io rio referencial K por

Esta equação pode ser verificada pela Eq.( l l . 149). O integrando na primeira equação de (17.4 I) é, assim,

um invariante de Lorentz. Eiitáo, a energia em K é d:ida por

Analogamente, a segunda equação na (17.41) fica

Com.0 integrando invariante (E2 - B2), é claro que temos um quadrivetor P:,' = (ynlg. >mpv), onde a massa eletromagnética é

em concordância com a Eq.(17.43) e também com as Eqs(17.30) e (17.32). A Eq.(17.45) para a energia foi usada por ButlerP para discutir a experiência de Trouton-

Noble, que foi um teste sobre a teoria da relatividade restrita, envolvendo o problema de um torque sobre um capacitor suspenso, em movimento em relaçáo ao éter.

Talvez seja instrutivo examinar os termos na expressão de P, para verificar o fator 1:3 e a sua remoção. Escrevendo o primeiro termo d o momento na Eq.(17.41),

encontramos

No limite não-relativístico, E modifica-se em relação ao seu valor no referencial de repouso somente por termos de ordem /I2. Admitindo que o campo seja esferossimétrico no referencial de repouso, o segundo termo tem como média 113 do primeiro na integração sobre os ângulos. Tem-se, então, o coeficiente numérico (2/3)/47T = ( 4 / 3 ) / 8 ~ , ou P,(') - 4m,v/3. A contribuição do

5J. W. Butler, Am. J. Phys. 36, 936 (1968)

inexistência de causalidade inerente ii Eq.(I7.51) não pode ser observada no laboratório. Descrevemos esta situação afirmando que, embora a Eq.(17.51) implique a falta de causalidade microscópica, o modelo satisfaz às exigências da causalidade macroscópica. Outro ponto importante é o de que ele é um modelo clríssico, que seguramente não funciona a distâncias e em intervalos de tempo muito maiores que e2/rncZ e r. Em conseqüênciado princípio da incerteza, a aplicação de uma força externa num intervalo de tempo AI é acompanhada por incertezas AE na energia da ordem de hlAt. Se estas incertezas na energia forem da ordem da energia de repouso da partícula, rnc2, o comportamento se14 muito diverso do clrissico. Com isto se estabelece um limite quântico sobre os intervalos de tempo, T,, - filnzc2 - 1377. Uma vez que T, >> T, chegamos à conclusão de que, no domínio onde a equação clássica presumivelmente se man- tém, os movimentos são suficientemente suaves para que (I) os efeitos acausais tenham importância bem secundária e (2) a reação radiativa provoque somente pequenas correções ao movimento.

Se a força aplicada F for dada em função da posição, e não em função do tempo, a solução da eqiiaçáo íntegro-diferencial fica um tanto mals complicada, embora não seja, em princípio, diferente.

17.7 Largura d a raia e deslocamento de níveis n u m oscilador

Os efeitos da reação radiativa são de grande importância no coniportamento detalhado dos sistemas atômicos. Embora uma discussão completa envolva o formalismo muito elaborado da eletrodinâmica quântica, os aspectos qualitativos sáo aparentes no tratamento clríssico. Como exemplo típico, vamos considerar uma partícula carregada ligada por uma força restauradora linear unidirnensional, com a constante de força k. = mwO2. Na ausência de amortecimento radiativo, a partícula oscila com amplitude constante na frequência característi~aw~. Quando se incluem os efeitos reativos, a amplitude da oscilação diminui gradualmente, pois a energia do movimento converte-se em energia radiante. Este modelo é o análogo clássico da emissão espontânea, na qual um átomo faz uma transição de um estado excitado para um estado de menor energia pela emissão de um fóton.

Se o deslocamento da partícula carregada em relação ao equilíbrio for ~ ( t ) , a equação do . niovimento (17.51) para este problema é

Uma vez que a solução, quando T = 0, é x ( t ) - exp(-iod). é natural admitir uma solução da forma

Vamos antecipar. com base em argumentos físicos, que a parte imaginária de cu será muito aproximadamente igual a o,, pelo menos para 007 << i , mas que a terá uma parte real positiva para descrever o efeito dissipativo da emissão de radiação. Quando a Eq.(17.55) é substituída na Eq.(17.54), fica-se com

xoe-"[a2+ o 0 ~ ~ é - ( l + ~ ds] = O

A existência da integral exige que se tenha Re(l + a ~ ) > O. Com esta restrição, a fica determinado por uma equação cúbica

Esta é a mesma cúbica que aparece da Eq.(17.9), mas ternos a condição Re(l + a r ) > O para eliminar a soluçáo "divergente" [a = -(I + w~~T')/T]. AS duas raizes que têm sentido físico podem ser obtidas em forma fechada parar e w,arbitrários, mas as fórmulas são suficientemente complicadas para qiie o seu valor seja pouco, exceto quanto à computação numérica. Estamos interessados no domínio de parâmetros em que wOr << I. Entáo. é simples mostrar diretamente da Eq.(17.56) que, até a ordem (w,~)? inclusive, a é dada corretamente por

onde

A constante r é conhecida como a constante. de decaimento, enquanto que Ao é denominado o deslocamento de nível. 0

A energia do oscilador decai exponencialmente, na forma exp(-r[), em virtude do amortecimento radiativo. Isto quer dizer que a radiaçáo emitida aparece como um pacote de ondacom um comprimento real da ordem decll?. Este pulsofinito de radiação não é exatamente monoclromático, mas tem um espectro de frequência que cobre uni intervalo da ordem de r. A forma exata do espectro de frequência é dada pelo quadrado da transformada de Fourier do campo elétrico ou da aceleraçáo. Desprezando-se um transiente inicial (de duraçáo díi ordem de T), a amplitude do espectro é assim proporcional a

1 E(o) E( 1)- e-"ei" dr = -

a-iw

A energia irradiada por unidade dc intervalo de frequência é, portanto,

onde i, é a energia total irradiada. Esta distribuição espectral é denominada uma crtr-vrr de rtricr ressonante. A largura da distribuiçáo na intensidade semimáxima é denominada amcin-lorgurcl ou a largura da raia, e é igual a r. Na Fig. 17.2, aparece esta raia espectral. Em virtude dos efeitos reativos da radiação, a raia está rrlnrgada e deslocadi em frequência.

A largura clássica da raia para os osciladores de elétrons é uma constante universal quando expressa em termos do comprimento de onda

Do ponto de vista quântico, as larguras naturais das raias espectrais são variáveis. Para se estabelecer uma conexão com o tratamento clássico, a largura quântica da raia é às vezes escrita como

Fig. 17.2 Alargamento e deslocamento de uma raia espectral provocados pela reação radiativa. A curva de ressonância tem uma largura r. O deslocamento do nível vale Aw.

. --

$Convida-se o leitor, neste ponto. adeter-se um pouco e meditar sobre a constante de decaimento r sob diversos pontos de vista. Um deles é o de usar a fórmula (17.6) dapotência de Larmor e a conservação da energia de maneira direta. para relacionar apotência irradiada média no tempo f à energi total do oscilador, E(?). Outro aspecto é ode indagar sobre a energia e a amplitudexoiniciais do oscilador que f = Plfiw,. correspondente à emissáo de um único fóton de energia ho,. Estes resultados podem ser comparados aos valores de um oscilador quantico no seu n-ésino estado.

Fig. 17.3 Seçáo total de espalha- rnento da radiaçáo por um oscilador em função da frequência. A seçáo de espalharnento da partícula livre, de Thomson, é o,.

ou núcleo numa transição do estado fiindamcntal para um estado excitado, seguido pela reernissão da radiação em outras direçóes no processo de desexcitaçào. O fator &Xo2 no mríximo da seçáo de espalhamento é siibstitiiído, na mecânica qiiântica, pelo fator estatístico

onde J , e J,, são os momentos angulares dos estados fundamental e excitado, e 4 d 0 2 é o espalhamento máximo permissível para qualquer estado quântico. Os fatores restantes repre- seotam urna soma sobre todos os subestridos magnéticos finais e tima média sobi-e os iniciais, com o fator 2 representando n peso estatístico associado às polarizações da radiação incidente. O resultado clássico cor-responde a J , = O e .I,., = I.

A absorção de radiação, que é diferente do espalhamento, jri foi discutida para um oscilador na Seçao 13.7. Os campos motrizes eram então os de Lima partícula carregada rápida, mas o tratamento [de acoruo com as Eqs.(l3.15) até (13.24)J foi suficientemente geral para que se possa fazer a transcrição direta. As únicas diferenças est io em que o r da Seçáo 13.2 deve ser substituído por r,, Eq.(17.61), e o campo elétrico incidente deve ser tomado como essencial- mente monocromático. Da Eq.(13.24), vemos que, na aproximação de dipolo, a energia absor- vida por unidade de intervalo de frequência é

Esta energiaé removida do feixe incidente e convertida em movimento mecânico do oscilador. Parte dela é reemitida. Este é o espalhamento que acabamos de discutir. Parte do restante é dissipada em outras formas, descritas esquematicamente pelo termo de atrito na Eq.(17.59). Este efeito é o de umaabsorção real, no sentido em que usamos o termo naseção 16.9 e no Cap. 9. Uma vez quea Eq.(17.68) representa o total do espalhamento e dadissipação não-radiativa, é apropriado definir a seção rorri1 como a energia (17.68) absorvida por unidade de intervalo de frequência, dividida pela energia incidente por unidade de área e por unidade de freqüência. O fluxo incidente é ( ~ 1 2 ~ ) (E,(w)(~. Pai-tanto, a seção total é

Usando a definiçáo r = w , , ? ~ . pode-se escrever esta equaçáo como

Nas três regiões w << a, , o - w0 e w >> w,, a seção total pode ser aproximada por

Vemos que, nas vizinhanças da frequência ressonante w,,, a seção total tem a mesma forma de ressonância qiie a seção dc espalhamento, mas é maior por um fritcir T,/T. Nas freqiiências elevadas, r, -, co i., de modo que a seção total se aproxima do valor constante de Thonison (novamente ignoramos WT em comparação com a unidade).

A diferença entre u seção total e a seçáo de espalhainento c a seq5o de absorção. algumas vezes denominada a s s G o c/c rcciçao, a,.(w). Todas a s três seções podeni ser cscritas numa forma sugestiva, base:id;r na Eq.(17.70):

O denominador ressonnntc é o mesmo em todas as trcs seções. O processo radiativo é proporcional a (w2lwo2)T = w%. Os outros processos dissipativos (reaçóes) são proporcioniiis a I". O fator cornum ( w ' l ~ , , ~ ) r representa n radiação incidente. No espalhamento, aparece iim segundo fator (w2lwO2)I' enquanto que, para as reações, o fritor qiie aparece é I". A seção total envolve a largura total r,. Este produto característico de constantes de decaimento, ou de larguras, apropriadas aos estados inicial e final do processo, também ocorre na teoria quântica das reações de ressonância.

A integral sobre todas as frequências da seção total leva a uma relação denominada arcgrrr da soma do dipolo. Desprezam-se os efeitos do amortecimento radiativo. Esta circunstância é necessária se quisermos ter um comportamento causal. A raiz sem significado físico da equação cúbica (17.56) tem a sua contrapartida. no caso. num polo da Eq.(17.62) no plano complexo o, afastado da origem e no semiplano superior em w = i / ~ . Numa integraçiio sobre todas as frequências. este pólo sem sentido físico contribui significativa e erroneamente. O abandono dos efeitos de reação radiativa é equivalente à hipótese de que a largura r, na Eq.(17.70) é uma constante, independente da frequência. A integral de u,(o) sobre todas as frequências. nesta aproximação, é, conforme se vê com facilidade.

Notamos que a regra da soma depende da carga e da massa da particula, mas não de outras propriedades especiais. como o, e r'. A regra é equivalente a expressão (13.26) para a energia

I total absorvida, pelo sistema, dos campos que passam por ele. É tambSm equivalente a regra da

I soma de Kramers-Kronig, (7.122), para a frequência de plasma [w Im ~ ( w ) = c N c,].

i Conforme se pode inferir da sua conexão com as relações de dispersão de Kramers-Kronig,

a regra da soma do dipolo é uma afirmação geral que é válida náo só clássica, mas também

I quanticamente, qualquer que seja a complicação da resposta do sistema à radiação incidente, em funçáo da frequência. A regra depende somente de três exigências físicas: (a) vale a aproximação do dipolo; (6) os modos normais de oscilação do sistema devem decair no tempo (mesmo que muito lentamente) pela presença inevitável de perdas resistivas; e (c) os efeitos de ligação são desprezíveis nas frequências elevadas, e a partícula responde como se estivesse livre

' (ver o Problema 17.8). Para um sistemade partículas independentes, com as cargas ej e as massas mj, ligadas a um

centro fixo, a regra da soma tem uma generalização evidente,

Se as partículas estão ligadas entre si por interações mútuas, o movimento do centro de massa deve ser removido. É fácil mostrar que se consegue este efeito subtraindo-se da somaem (17.74) um termo QzlM, onde Q é a carga total do sistema de partículas e M é a massa total. Para um núcleo com Z prótons e N (= A - Z) nêutrons, a regra da soma fica, então,

< A excentricidade 5 da elipse é dada pela raiz quadrada que multiplica o co-seno. ( a ) Mostrar, realizando O cilculo apropriado das médias tempcrais sobre a órbita, qiie a i varia- ções beculares da energia e do monieiito angular srio

onde e é a carga do prótnn e m a massa de um núc1eon.G

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS E SUGESTÓES PARA LEITURA

A história das tentativas de estabelecer modelos clássicos para as partículas carregadas e das questões correlatas é tratada. com detalhes interessantes, por

Whittaker. (b) S e os valores iniciais de E e de L s;io 6, e L,. mostrar qiie

As idéias de Abraham, Lorentz. Poincaré e outros estáo presentes em Lorentz, Seções 76-37, 179-184. Nota 18.

,A . - - - =- - -- - --y-v YI.L.L' I u O U V UPUL13 IJUI

Abraham e Becker, Vol. 11. seções 13, 14 e 66, Landau e Lifshitz. Classical Theorv of Fields. Secãi, 9.9.

Abordagens claras. embora resumidas, dos efeitos da auto-energia e da reação radiativa são dadas por Abraham e Becker, Vol. 11. Seções 13, 14 e 66, Landau e Lifshitz. Classical Theory of Fields, SeGo 9.9, Panofsky e Phillips, Caps. 20 e 2 1 .

Calcular a cscei1tricid:ide da clipse e inostrar que ela diminui segundo (L/L,,Y2 a partir do seu v;il»r inicial, o que indica a tendencia de a órbita tornar-se circular com a passagem do tempo. (c) Cornparar os resultados com o caço especial de Lima órbita circ~ilar do Problema 17.2. S i r ~ r s t á o : .A» realizar 0 c;ilculo elas ii16dins sobre os tempos, empregiir a lei de Keplcr das 5reas iguais ((I! = t?lr2 de/ ! ) . para converter as integrais sobre o ternpo em integrais sobre OS ingiilos.

17.4 A teoria relativística do elétrori clássico puritiforme. de Dirac (1938). tem. como equação de niovi- Inento,

Sommerfeld, ~ l e c r r o d y h m i c s , Secão 36. A teoria relativística clássica do elétron puntiforme foi desenvolvida pela primeira vez por

P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc., A167, 148 (1938). .?i teoria de Lorentz-Dirac está discutida em

Barut, Rohrlich,

onde também se abordam com detalhes outros aspectos da teoria relativística clássica do campo. .i equação íntegro-diferencial do movimento, (17.51), parece ter sido escrita pela primeira vez por

Iwanenko e Sokolow. Secão 35. Exemplos da resolução da equação íntegro-diferencial do movimento são dados por

G. N. Plass, Revs. Modern Phys., 33, 37 (1961). onde p, é o quadrimomento da partícula, T é o tempo próprio da partícula e f-',""' é a generalizaçrio covariante da força de reação radiativa (17.8).

Usando a exigência de que qualquer força deve satisfazer a F , p" = 0. mostrrir que

PROBLEMAS

17.1 Uma partícula não-relativística. de carga e e massanz. está ligada por urna força restauradora linear e isotrópica, cuja constante de força é rnwn2. 17.5 (o) Mostrar que, para movimento relativístico cin tima dimensio, n cquaçio do rnovimento do

Problenia 17.4 pode ser escrita na forma Usando a s Eqs. (17.13) e (l7.16), da.Seção 17.2. mostrar que a energia e o momento angular da partículadecrescem ambos rxponencialinente, a partir dos respectivos valores iniciais, com exp(-r&), onde r = ~ " ~ 7 .

17.2 u m elétron não-relativístico. de carga -e e massam, está ligado por um potencial atrativo de Coulomb (-Ze2/r) e desloca-se numa órbita circular na ausência de reação radiativa. Ia) Mostrar que tanto a equação da energia como a do momento angular, (17.13) e (17.16), levam à solução seguinte para o raio da órbita, que se altera lentamente, o n d e p é o momento na direção d o movimento.j'(~) c a fnrc;ri newtoni~ina usii~il ciii fiinçno do icmpo

próprio, e o ponto simboliza a derivaçáo em rel:ição ao tempo próprio. (b) Mostrar que ;r substituiçSo d e p por t>ic senh y rcdur a eqiiação relativí\tica à forma (17.9) de Abraham-Lorentz em y e em 7. Escrever a soliic;ão geral para p ( ~ ) , com a conclic;ão inicial

onde r , é o valor de r(!) em r = 0. (b) Para órbitas circulares num átomo de Bohr, o raio da órbita e o número quântico principal n estão relacionados por r = n2a,/Z. Admitindo que a probabilidade de transição para as transições de n para (11 - 1) seja definida por -dt~ldr. mostrar que o resultado da parte ( R ) concorda com o que se achou no Problema 14.10.

17.6 Uma partícula não-relativísticir, de carga c massa r t i , é acelerada em moviniento ~iniJiinensioniil. através de uma fenda de largura t f , por uin ciinipo elftrico constante. A ide:ilizaçr?» miitemktica é a de que n partícula tem aplicada sobre ela tima força cxterri;i r ~ i a , enquanto as siias coordenadas estHo no intervalo (0, d). Não havendo amortccimei~t« radiativo. a partíciilíi, corii a vclocitlride iniciiil v,. acelcratla uniformemente durante o intervalo de tcnipo

'r- (-~,,/0i)+J(u72-)

( c ) A partir do item (a). calcular o valor numérico d o tempo que um múon, de massa m = 207m,, leva para cair de uma órbita circular com número quântico principal n , = 10 para outra com n , = 4, e também para outra com r i , = I . Sào razoáveis estas estimativas para o tempo que leva um múon para cascatear até a sua Órbita mais baixa depois da captura por um átomo isolado.

17.3 Um elétron, movendo-se num campo) coulombiano atrativo ( -Ze2 / r ) , com a energia de ligação c e momento angular L, t e d uma órbita eliptica, emergindo em x = d com a velocidade final

Com aniortcciinento radiativo, o mbviinento se altera de modo que a partícu1:i leva um tcn~po 7' para atravessar o intervalo e emergir com uma velocidade v , ' . (0) Resolver a equação íntegro-diferencial de movimento. incluindo O amortecimento, admitindo que T e 7' são grandes cm comparaç50 com 7, Fazer o gráfico da velocidade contra o ternpo para os movimentos com e sem amortecinicrito. (O) Mostrar que, ate a ordem mais baixa em r, §Na redidade. a regra da soma para o fotoefeito nuclear tem um fator extra(! + x), ondex - 112 é a contribuição devida às

forças de troca no núcleo. Um procedimcnio físico para compreender csre aumcnto é imaginar que as forças de troca são pros-adas pela transferência de mésons pi virtuais carregados entre os núcleons. Estes mésons carregados virtuais contribuem para a corrente nuclear total. Lima vez que a razão e/m destes mésons é maior que a mesma razáo para os núclmns, eles provocam um aumento da soma acima do seu valor usual dado pela regra da Eq.(17.75).

( c ) Verificar que a soma da energia irradiada com a variação da energia cinéticada partícula é igual ao trabalho realizado pelo campo aplicado.

17.7 Um modelo clássico para a descrição do alargamento das raias espectrais devidoa colisões é O de que O

oscilador tem as oscilações interrompidas por uma colisão depois de oscilar durante o intervalo de tempo T, de modo que se perde a coerência do trem de onda. (a) Tomando O oscilador usado na Seção 17.7, e admitindo que a probabilidade de que uma colisão ocorra durante o intervalo de tempo (T, T + d Q seja dada por [v exp(- v T)dT], onde vé a freqüência média de colisão, inostrar que a distribuição espectral média é

de modo que a largura da raia é (2v + I?. (h) Para o diibleto do sódio, em 5.893 A , a constante de força do oscilador é f = 0,975, de modo que a largura natural é, essencialmente, o valor clássico, Ah = 1,2. 10-i A. Estimar a largura Doppler daraia, admitindo que os átomos de sódio estejam em equilíbrio térmico a uma temperatura de 500 K, e comparar o resultado com a largura natural. Admitindo que a seção de colisão seja de 10-'6cm2, determinar a largura da colisão do dubleto de sódio em funçáo da pressáo do vapor de sódio. Para qual pressáo a largura da colisão é igual à largura natural? E igual à largura Doppler?

17.8 O momento de dipolo de um oscilador constituído por uma única partícula sob a ação de um campo elétrico aplicado E, exp(-id) é dado por

(a) Mostrar que a seçáo total do dipolo pode ser escrita como

(h ) Usando somente os fatos de que todos os modos normais de oscilação devem ter um certo amortecimento e de que a polarizabilidade a(o) deve aproximar-se do valor correspondente ao da partículalivre (-e2/nio2) nas freqüências altas, mostrar que a secão satisfazi regra da soma do dipolo .

(É claramente relevante, no caso, a discussão das relações de dispersáo de Kramers-Kronig, do Cap. 7.)

Apêndice Sobre Unidades e Dimensóes

A questão das unidades e das dimensões na eletricidade e no magnetismo ocupou grande número de físicos e de engenheiros durante muitos anos. Esta situação conflita, marcadamente, com a concordância quase universal sobre as unidades básicas de comprimento (centímetro ou metro), de massa (grama ou quilograma) e de tempo (segundo solar médio). A razão, talvez, está em que as unidades mecânicas foram definidas quando a idéia de padrões "absolutos" era uma concepção nova (pouco antes de 1800), e foram defendidas, junto às esferas profissionais e comerciais, por um grupo de gigantes científicos (Borda, Laplace e outros). Quando o problema das unidades'eletromagnéticas apareceu, já existiam (e ainda existem) muitos especialistas. O objetivo deste apêndice é juntar um pouco de lenha à fogueira, fazendo tanta luz quanto possível, sem confundir as respostas.

1 Unidades e dimensões, unidades fundamentais e unidades derivadas

A arbitrariedade no n~ímero de unidades fundamentais e nas dimensões de qualquer grandeza física em termos destas unidades foi realçada por Abraham, Planck, Bnd-eman,§ Birge,§§ e por outros. O leitor interessado nas unidades em si mesmas fará bem em se familiarizar com a excelente série de artigos de Birge.

' Os traços desejáveis de qualquer sistema de unidades, em qualquer campo, são a conve- niência e a clareza. Por exemplo, os físicos teóricos ativos no campo da teona quãntica relativística do campo e na teoria das partículas elementares acham conveniente escolher as constantes universais, como o quantum de ação de Planck e a velocidade daluz no vácuo. como adimensionais e com a grandeza unitária. O sistema de unidades resultante (denominado de unidades "naturais") só tem unja unidade básica, usualmente escolhida como a de compri- mento. Todas as outras grandezas, comprimento ou tempo, força ou energia, etc., são expressas em termos desta única unidade e têm dimensões que são potências das dimensiks desta unidade. Não há nada de artificial, ou de menos fundamental, neste sistema do que num outro que envolva o metro, o quilograma e o segundo como as unidades básicas. E simplesmente uma questão de comodidade.*

É preciso dizer uma palavra sobre as unidades ou padrões fundamentais, considerados como grandezas independentes, e os derivados, que são definidos, em grandeza e dimnsão,

' através da teona e da experiência, em termos das unidades fundamentais. A tradição requer sejam tratadas como fundamentais a massa (m) , o comprimento ( I ) e o tempo ( r ) . Para as grandezas elétricas, porém, não há tradição dominante. Consideremos, por exemplo, a unidade de corrente. O ampère "internacional" (durante um longo período aceito como a unidade prática de corrente) define-se em termos da massa de prata depositada por unidade de tempo num coulômetro de prata sujeito a uma eletrólise padronizada. Esta unidade de corrente é considerada, apropriadamente, uma unidade fundamental, independente das unidades de

&P. W. Bndgman, Dimensional Analysis, Yaie University Press (1931). 55R. T. Birge.Am. Phys. Teacher (agoraAm. J . Phys.), 2,41 (1934); 3. 102, 171 (1935). *Na teoriaquântica do campo, as potências da constante de acoplamento fazem o papel de outras unidades basica.5, ao se fazer a análise dimensionai.

massa, de comprimento e de tempo, pois a quantidade de corrente que serve de unidade encontra-se mediante uma experiência de eletrólise, supostamente reprodutível.

Por outro lado, a unidade que se aceita atualmente para a corrente, o ampère "absoluto". define-se como a corrente que, ao fluir em cadaum de dois fios infinitamente longos. paralelos, de área de seção reta desprezível, separados por uma distância de I m no vácuo, provoca, entre os condutores, uma força transversal de 2.IO-' N por metro de condutor. Isto quer dizer que o ampère "absoluto" é uma unidade derivada, pois a sua definição se faz ein termos da força mecânica entre os dois condutores por intermédio da Eq. (A.4) que aparece adiante. 0 O ampère -'absoluto" é. por esta definição. igual exatamente a um décimo da unidade eletromagnética de corrente, o abampère. Desde 1948, o sistema de unidades eletromagnéticas internacionalmente aceito esta baseado no metro, no q~iilugrama, no segundo e na detinição acima do ampère "absoluto", além de outras unidades derivadas para a resistência, a voltagem, etc. A situação Farece ser uma situação conveniente. Ela evita dificuldades como as que apareceram em 1894, ;~iando, por um Ato do Congresso (dos Estados Unidos)- baseado nas recomendações de urna :omissão internacional de engenheiros e cientistas -, definiram-se unidades fundamentais :ridependentes d e correrite. de voltagem e de resistência. em termos de três experièncias iridependentes (coulômetro de prata, pilha padrão de Clark e coluna de mercúrio bem determi- :?da).* Logo depois, percebeu-se que. eiii virtude de erros sisteniáticos iias experiências. foni 23 exatidão a elas atribuída, a lei de Ohrn não mais era válida. em virtude de um Ato do Congresso!

Atualmente, o Systèltze ltzternntiorial (SI) tem a massa definida em termos do qriilogrnt?la z d r ã o , guardado em Paris. o comprimento em termos do tmrro, que corresponde a um certo ZJmero de comprimentos de onda no vácuo de uma determinada transição atômica do átomo do

Kr, e 0 tempo em termosdosegxndo, que é igual a um certo número inteiro de períodos de uma :rs,nsiçáo hiperfiina no 133Cs. Em virtude da precisão extremamente elevada com que se pode ,~,cd!r a velocidade da luz mediante lasers estabilizados (na realidade é urna medida tanto da fkquência como d o compriniento de onda de uma mesma raia espectral), é provável que em bxve adefiniçáo d o metro será feita em termos da unidade de tempo ('"3Cs) e de um valor defini- do para avelocidade da luz no vácuo (ver a Introdução. com os valores mais recentes de c).$$

2 Lnidades e equações eletromagnéticas

Para disciitir a s unidades e as dimensões do eletromagnetisnio, partiremos da escolha tr~dicional das dimensões fundamentais de comprimento (1). massa (/)i) e tempo (r) como g r ~ d e z a s independentes. Além disto, faremos a definição, comurnente aceita, de a corrente ser a kxa de variação da carga com o tempo (I = dqldr). Isto quer dizer que a dimensão da razão enze a carga e a corrente é a de temp0.i- A equaçáo da continuidade para as densidades de carga e 62. corrente assume, então, a forma:

PLI simplificar a questão, analisaremos, inicialmente. apenas os fen6nienos eletromagnéticos no bácuo, na presença de cargas e correntes. .-I lei física fundamental qiicgovernii a eletrost5tica é a lei de Coulomb. que da a força entre

dues cargas puntiforrnes (1 e q' . separadas pela distância r . Em símbolos, esta lei é

§ A c??slante de proporcionalidade k, na Eq (A. 4) tem por isso o valor k, = 10-' no sistema MKSA. As dimensões do ampr;r: "absoluto", em contraste com a su'a grandeza', depend'crn das dimensões atribuídas a k,. No sistema MKSA c o n ~ c x i o n a i de unidades eletromagnéticas, a corrente elétrica(1) é escolhida arbitrariamente como umaquarra dimensão básicz Conseqiientemente. a carga tem as dimensbes 0, e k, tem as dimensões mll-2~-2. Se k, for escolhido como adimmionai, entáo a corrente tem as dimensóes m1'Y112~-1. A questão de introduzir uma quarta dimensáo fundamental comorcorrente, ou de asgrandezas eletromagnéticas terem dimensões dadas porpotências (às vezcsfracionárias) das ti& grarurzas mecânicas fundamentais, c uma questáo puramente subjetiva e não tem significado fundamental. *Ver. px exemplo, F. A. Laws, Elecrrical iVeasurrmenrs, McGraw-Hill. New York (1917), págs. 705-706. $gPa.~ ,ma discussáo do uso de fenômenos quânticos para definir os p a d r e ver oartigo sobre metrologiaquântica, de E, W. P c k i , in J. Thewlis, Ed., Encyclopac<iic Dicrionaty of Physics, Volume Suplementar4, págs. 354 e segs., Pergamon, Oxfor~ (1 97 1). ?Do p z t o de vista da relatividade restrita seria mais natural dar a corrente as dimensóes de carga dividida por compf.=cnto. Entáo, a densidade de correnth J e a densidade de carga P teriam as mesmas dimencões e formariam um quad=ac:or "natural". Esta é a escolha que se faz num sistema gaussiano modificado (ver o rodapé da Tabela 4).

A constante k, é uma constante de proporcionalidade cuja grandeza e dimensóes ou são deterninadas pela equação - no caso de a unidade de carga ter sido especificada independen- temente -, ou são escolhidas arbitrariamente - para que se defina, então, a unidade de carga. Dentro do nosso esquema, tudo o que está determinado, até agora, é que o produto (kuq') tem as dimensões ( ~ n l ~ r - ~ ) .

O campo elétrico E é uma grandeza derivada, definida habitualmente como a força por unidade de carga. Uma definição mais geral seria a de que o campo elétrico fosse numerica- mente proporcional à força por unidade de carga, com uma constante de proporcionalidade que fosse urna constante universal, possivelmente com dimensões que fizessem com que o campo elétrico não tivesse as dimensões de força por unidade de carga. Não há, no entanto, nada a ganhar nesta liberdade extra na definição de E. pois E é a pnnieira granciez'a do c a p o , deduzida a partir da lei fiindamental. que se tem que definir. Somente quando definirmos outrasgrandezas do campo, pode ser conveniente inserir constantes de proporcionalidade dimensionais nas definições, para que se ajustem ao campo elétrico as dimensões e as grandezas destes parâme- tros do campo. Portanto, sem perda significativa de gei-ieralidade, o campo elétrico de urna carga puntifornie q pode ser definido a partir de (A. 2) como a força por unidade de carga,

Todos os sistemas de unidades conhecidos pelo autor usam esta definição de campo elétrico. Para os fenômenos magnéticos em regime permanente, as observações de Ampère consti-

tuem uina base para caracterizar a interaçáo e definir a indução magnética. De acordo com Ampère, a força por unidade de comprimento entre dois fios condutores infinitamente longos e paralelos, separados por uma distância d, percorridos pelas correntes I e I ' . é

A constante k, é uma constante de proporcionalidade aparentada ak , , na Eq.(A. 2). O número adimensional 2 é inserido em (A. 4), para se ter uma vantagem que aparecerá depois, na determinação de kZ. Em virtude da nossa escolha das dimensòes da corrente e da carga, implícita em (A. I ) , a s dimensões dek? relativamente a k , são determinadas. De (A . 2) e (A . 4), verifica-se facilmente que a razão k,lk, tem a dimensão de uma velocidade ao quadrado(12r-9. Além disto, comparando-se a grandeza das duas forças mecânicas (A. 2) e ( A . 4), para cargas e correntes conhecidas, é possível encontrar a grandeza da razão k,/k2 no vácuo. O valor numérico é dado muito aproximadamente pelo quadrado da velocidade da luz no vácuo. Portanto. ein simboli~s. podemos escrever

onde c é a velocidade da luz, em grandeza e em dirnensões. A indiiçao magnética B é deduzida da lei de força de Ampère como numericamente

proporcional i força por unidade de corrente, com uma constante de proporcionalidade a que pode ter certas dimensões escolhidas ein razáo de conveniências. Assim, para um fio retilíneo comprido, percorrido.por uma corrente I, a indusão inagnktica B a tinia distância d tem a grandeza (e a s dimensões)

As dimensóes da razão entre o campo elétrico e a induçâo magnética podem ser encontradas a partir de (A. 1). (A.3). (A.5) e (A.6). O re~ultado e que (EIB) tem as dimensões (llta).

A terceira e última i-elaçio para se especificarem as unidades e dimensões eletromagnéticas C a lei da incluçáo de Fnraday, que relacioii;i os fenornenoç elétricos e rniignéticos. A lei observntl:i, de que a força eletrornotriz iiic1uzid:i ao longo de iiin circuito é proporciorinl à taxa de vari;iç50 do fluxo magnético que p;iss:i através dele, assiime a fornia diferencial

onde k , é uma constante de proporcionalidade. Uma vez que as dimensões de E em relação a B estão estabelecidas, as dimensões de k, podem ser expressas em termos das grandezas definidas anteriormente, fazendo-se a exigência simples de ambos os membros de (A. 7) terem as mesmas dimensões. Verifica-se, então, que k, tem as dimensões de a-'. Na realidade, k, é igual a a-'. Este resultado é fundamentado com base na invariância galileana, na Seção 6.1. Porém, a forma mais fácil de provar a igualdade é a de escrever todas as equações de Maxwell em termos dos campos que foram definidos aqui:

Tabela 1 Grandezas e dimensões das constantes eletromagnéticas em diversos sistemas de unidades

As dimensões sáo dadas depois dos valores numéricos. O sínibolo c representa a velocidade da luz no vácuo (c = 2,998. 101° cmls = 2,998. 10H mls). Os quatro priinciros sistemasde unidades usani o centímetro, o grarna e o segundo como unidades fundamentais de comprimento, de massa e de tempo (I, rn, t), respectivainente. O sistema MKSA usa o nietro, o quilogrania e o segundo, mais a corrente (1) como uma quarta dimensão, com ampère como unidade.

Sistema k , k2 (Y k ,

Eletrostático (esu) 1 1 1 c- 2(t2.1-2)

Eletromagnético (emu) c2(I=t ') 1 1 1

Gaussiano 1 c2( t212) ~( l t - ' ) c-I(t[-l) Assim, nas regiões livres de fontes, as duas equações do rotacional podem ser combinadas na equação de onda, Heaviside-Lorentz

MKSA

A velocidade de propagação das ondas descritas por (A. 9) está relacionada à conibinação de constantes que aparece na equação. Uma vez que esta velocidade é, conforme se sabe, a da luz, podemos escrever

racionalizado (mlt-21.2)

I

! onde E,, pO, A e A' são constantes de proporcionalidade. Nada se ganha fazendo-se D e P ou H e M terem dimensões diferentes. Por isso, A e A' podem ser escolhidos como númerosadimensio- nais (A = A' = 1 nos sistemas racionalizados, e A = A' = 47r nos sistemas não-racionalizados).

I Há, porém, uma escolha a fazer, a de De P terem dimensões diferentes ou não de E, e de H e SI I diferirem ou náo de B. Esta escolha é feita tendo em vista a comodidade e a simplicidade, j habitualmente de maneira a fazer com que as equações macroscópicas de Maxwell tenham uma I forma relativamente simples e compacta. Antes de tabelar as escolhas que se fazem para os I

I diferentes sistemas, observamos que. para meios lineares e isotrópicos, as relaçóes constituti-

I vas são sempre escritas

k A= C 2 (A. 10) k3kza

Combinando-se (A. 5) com (A. 10). encontramos,

(A. 11)

e a igualdade vale não só em grandeza, mas também em dimensões. (A. 13)

3 Os diversos sistemas de unidades eletromagnéticas Assim, na Eq. (A. 12) as constantes E , e p0 são OS valores de E e de p para o vácuo. A permissividade relativa de uma substância (muitas vezes denominada a constante dielétrica) é definida como a razão adimensional (EIE,), enquanto que a permeabilidade relativa (muitas vezes denominada a perrneabilidade) é definida como ( p l ~ ) .

A Tabela 2 mostra os valores de E, e de po, as equaçóes de definiçáo para D e H, as formas macroscópicas das equações de Max~vell e a equação da força de Lorentz, nos cinco sistemas comuns de unidades que aparecem na Tabela 1. Para cada sistema de unidades, a equação da continuidade para a carga e a corrente é dada por (A. l), conforme se pode verificar, em cada caso, a partir do primeiro par das equações de Maxwell na tabela.§ Analogamente, em todos os sistemas, a equação da lei de Ohm é J = wE, onde a é a condutividade.

Os diversos sistemas de unidades eletromagnéticas diferem nas escolhas das grandezas e das dimensões das várias constantes mencionadas acima. Em virtude das relações (A. 5) e (A. 1 I ) , existem somente duas constantes (por exemplo, k , e k,) que podem (e devem) ser escolhidas arbitrariamente. E conveniente, no entan,to, tabelar todas as quatro constantes (k,, kz, a, kJ para os sistemas mais usuais de unidades. E o que aparece na Tabela 1. Observamos que, fora as dimensões, as unidades eletromagnéticas e as MKSA são muito semelhantes, diferindo so- mente em potências de 10 nas unidades mecânicas e eletromagnéticas. Os sistemas gaussiano e de Heaviside-Lorentz diferem somente por fato,res de 47r. Somente o sistema gaussiano (e o de Heaviside-Lorentz) têm k, com dimensões. E evidente da Eq. (A. 7) que, se k, tiver as dimensões do inverso de uma velocidade, E e B têm a mesma dimensão. Alem disto, com k, = c-', a Eq. (A. 7) mostra que, para as ondas eletromagnéticas no vácuo, E e B têm também a mesma grandeza.

Até agora, discutimos somente os campos eletromagnéticos no espaço vazio. Por isso, foram somente dois, E e B, os campos fundamentais que apareceram. Resta a tarefa de definir as variáveis macroscópicas do campo, D e H. Descrevendo-se as propriedades eletromagnéticas médias de um meio material mediante a polarização macroscirpica P e a magnetização macros- cópica M, a forma geral das definições de D e de H é

4 Conversão de equações e de grandezas entre as unidades gaussianas e as unidades MKSA

Os dois sistemas de unidades eletromagnéticas em uso mais corrente, nos dias de hoje, são os sistemas gaussiano e o MKSA racionalizado. O sistema MKSA tem a virtude de ser globalmente cômodo em fenômenos práticos, de grande escala, especialmente nas aplicações de engenharia. O sistema gaussiano é mais conveniente para problemas microscópicos que envol- vem a eletrodinârnica das partículas carregadas, etc. Uma vez que, neste livro, os problemas

-

%Alguns autores usam um sistema gaussiano modificado, no qual a corrente é definida por I = (IlcXdqldt). Então. a densidade de corrente J na tabela deve ser substituída porcJ, e a equação da continuidade passaa ser V . J+(i/c)(apl&) = O. Ver também a nota de rodapé da Tabela 4.

microscópicos relativísticos são importantes, julgamos mais conveniente usar sistematica- mente as unidades gaussianas. No Cap. 8, sobre guias de onda e cavidades, tentamos apaziguar os engenheiros escrevendo cada fórmula fundamental de modo que a omissão do fator colocado

I entre colchetes transformasse a equação na equação equivalente no sistema MKSA (desde que 1 todos os símbolos fossem reinterpretados como variáveis do MKSA). t As Tabelas 3 e 4 visam ao uso geral na conversão de um sistema para outro. A Tabela 3 é um ,

esquema de conversão para sírnbolos e eq i i~çóes que permite ao leitor converter qualquer equação do sistema gaussiano para o sistema MKSA. e vice-versa. Existem esquemas mais

I simples somente para aconversão no sentidocio sistema MKSApnra o sistemagaussiano, e são possíveis outras tabelas. Conservando-se, no entanto, todas as grandezas mecânicas sem alteração, a receita da Tabela3 possibilita uma conversáo direta de grandezas que aparecem nas inter-relaçóes de forças eletromagnéticas e mecânicas (por exemplo, a constante de estrutura fina e21hc e a freqüência de plasma w,' = 4~ne~l in)sem considerações adicionais. A Tabela 4 é uma tabela de conversão de unidades, para permitir que o leitor exprima uma certa grandeza de qualquer entidade física como um certo número de unidades MKSA ou de unidades cgs-

\ gaussianas. I

Tabela 3 Tabela de converdo para símbolos e fórmulas - - - - - -- - -

Os símbolos de massa, comprimento. tempo, força e de outras grandezas que não sejam especificamente eletromagnéticas perma- necem imutáveis. Para converter qualquer equação nas variáveis gaussianas para a equação correspondente nas grandezas MKSA, substituem-se, em ambos os membros da equação, os símbolos rele- vantes que são listados abaixo, na coluna "gaussiana", pelos símbo- 10s correspondentes listados na coluna 'SIKSA" à direita. A trans- formação inversa também é permitida. Uma vez que os símbolos de comprimento e de tempo permanecem imutáveis, as grandezas que diferem dimensionalmente uma da outra apenas por potências do comprimento elou do tempo são agrupadas, sempre que possível.

Grandeza Gaussiano MKSA

Velocidade da luz C ( P ~ E ~ ) - " ~

Campo elétrico E(@, V) &E(@, V) (potencial, voltagem)

Deslocamento elétrico D

Densidade de carga 1 (carga, densidade de cor- p(q, J, I, P) r p(q, J, I, P) rente, corrente, polari- v€o zação)

Indução magnética

Campo magnético ZI H

Magnetização

Condutividítde

Constante dielétrica

Rcsistêiiciu (inipetlância)

Indutância

Cnpacitância

Tabela 4 Tabela de conversão para quantidades dadas de uma grandeza física

A tabela está organizada de modo que uma dada quantidade de uma certa grandeza física, expressa em tantas unidades MKSA ou gaussianas desta grandeza, possa ser expressa num nú- mero equivalente de unidades de outro sistema. Assim, as entradas de cada linha referem-se à mesma quantidade, expressa em unidades diferentes. Todos os fatores 3 (fora os expoentes) de- vem ser substituídos, em trabalhos exatos, por 2,99792456, que provém do valor numérico da velocidade da luz. Por exemplo, na linha do deslocamento (D), a entrada ( 1 3 ~ x 105) é, na reali- dade, (2,99792 x 47r x I05). Onde há concordância sobre o nome da unidade, ou onde ele se em- prega comumente, este nome é consignado. Nos outros casos, diz-se simplesmente tantas uni- dades gaussianas, ou tantas unidades MKSA ou SI.

Bibliografia Grandeza física Símbolo MKSA racionalizado Gaussiano

Comprimento I 1 metro (m) 1 O' centímetros (cm) Massa m 1 quilograma (kg) 10:' . gramas (g) Tempo t 1 segundo (s) I segundo (s) Freqüência v I hertz (Hz) 1 hertz (Hz) Forca F 1 newton (N) 10" dinas (dyn) ~ r a b a l h o r) I joule (J) 1 o7 ergs Energia ~ o t ê i c i a P 1 watt (W) 1 0' erg.s-I Carga 9 1 coulomb (C) 3 x 1 0 ~ t a t c o u l o m b s (stC) Densidade de carga P l ~ . m - ~ 3 x 10" stC.cm-" Corrente I 1 ampère (A) 3 x 109 , statampères ( s t ~ ) Densidade de corrente J 1 A. m-2 3 x l O \ t A . ~ m - ~ Campo elétrico E 1 V. m-I l / ,3 x 10-4 stV.cm-I Potencial <P, V I volt (V) '1300 statvolt (stV) Polarização P I C.m-2 3 x 1 0 momentodedipolo

C m-3 Deslocamento D 1 C.m-' 127r x 10" stV. cm-I

( ~ t C . c m - ~ ) Condutividade u 1 mho m-' 9 x 10\-' Resistência R 1 ohm (a) '1s x 10-" s.cm-' Capacitância C 1 farad (F) 9 x 1 0 " cm Fluxo magnético +, F 1 weber (Wb) I OR gauss.cm2 OU max-

wells Indução magnética B 1 tesla (T) 1 o4 gauss (G) Campo magnético H 1 ampère-espira.m-I 47r x 1 0 - h e r s t e d Magnetização M 1 A.m-I 1 o-3 momento magnéti-

c0 cm-3 *Indutáncia L 1 henry (H) l/s x 10-'I

*Háuma certa confusão em torno daunidade de indutância no sistema gaussiano. Esta confusão provém do uso, por alguns autores, de um sistema de unidades gaussianas modificado, no qual a corrente é medida em unidades eletromagnéticas, de modo que a ligação entre a carga e a corrente éZ, = (Ilc) (dqldt). Umavez que a indutância é definida mediante a voltagem induzida, V = L(dIldt), ou mediante a energia, U = L12/2, a escolha da corrente definida na Seção 2 indica que a nossa unidadegaussiana de indutância é igual, em grandeza e dimensões (r?-'), àunidade eletrostática de indutância. A corrente eletromagnética I, está relacionada à nossa corrente gaussiana I pela relação I, = (1lc)l. A partir da definição da indutância mediante a energia, vemos que a indutância eletrornagnéticaL, está relacionadaà nossa indutânciagaussiana L por L, = cZL. Assim, L, tem as dimensões de comprimento. O sistema gaussiano modificado usa. emgeral, aunidade eletromagnética de indutância, e também a de corrente. Então, aequação da voltagem é V = (L,/c)(dI,/dt). Aconexão numérica entre as unidades de indutância é 1 henry = (10-'l/9) unidades eletrostáticas = 109 unidades eletromagnéticas.

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Índice Alfabético r -

Oj números em nqr i to referem-se a locais onde o assunto é abordado niais extensamente. Os números em irálico refereni-se a localizaçócs fora do texto (legendas, quadros, dísticos. notas etc.).

A C condiitorii mantida em poten-

Abraham-Lorcnrz. equação do mi?rimento de. 607, 612

Absorção ressonante, 221 Adm-itincia do campo, dcfinisào.

1s- Ain. integral de. 248 Ala-mento de um pulso alie se . .

propaga num meio dispersor, 233 A l f ~ i n - o d s de, 374 - \.elxidade de. 375 Amonecimcnto - de Landau, 382 - ra&c?rivo. 604 Arnprc "internacional". 627 Am+re. lei de. 134. 135. 136 Amp5re-hlaxwell. lei de. 13, 183 Amplitude de esprilhamcnto nor-

rn2izada. 350 Ãnguiu - de Brsustcr, 2 18 - dc espalhamento niédio qu;idrii-

tico. 501 A n t c x 1ine;ir. 306 - com. alimcntaçâo central. 3 10.

5 W . 591 - como problema de contorno. 31 1 Apareho de Cavendish. 5 Aproxirnaçào - dc B~) rn . 325 - de dipolo. 482 - de Ki:chhol'f, 331 - dc Ru:herford. 500 - de Sn)the-Kirchhon', 342 ÁtomL\s) - com elitrons, 9 - espdh~mcnto el;istico de particu-

ias rápiilas por. 498 - muhri<os, 9 A u l o f u ~ ò c s , 92 Auto\L!ores, 92

Calibre - dc Coiilomb, 137, 171. 459 - de Lorcntz, 171 - de radiação, 173 - invariância de , 171 - transformação de, 137, 171 - transversal, 173 Campo(s). I - arbitr;írios, deserivolvimcnto de,

287 - comportamento dos. em cavida-

des c0nicas oii nas vizinhanças de pontas agudas. 72

- de acclcraçáo, 509 - de dipolo magnético. 307 - de multipolo. 572-603 - - problemas de contorno com, 600 - - propriedades, 578 - de qii;idriipolo elétrico. 307 - de r~idiação, 473 . - de um dipolo elétrico. 304 - de uma carga puntiformc. 507 - de uma fonte oscilante locali~ada,

302 - de vclocidade. 509 - elftrico, 2, 20 - - distribuições superficiais de

ciirg;is e dipolos e dcsconti- iiiiidadcs no, 26

- clclroniagnéiicos, 163, 441 - - 1:igriingiana para o, 460 - - náo-lincaridiidc quintica. 8 - - niiliircza qiiântica dos, 3 - cm c;rntos e cm arestiis, 57 - cspiilhados, 349 - interno, 119 - niacrosciípicos, I0 - mngnéiico, 2, 147 - - de uma distribuição localiznda

de correntes. 140 - - cncrgin num. 166

I3 - ,,. .i supeificie . e no interior de um condutor, 258

Babinct. principio de. 338 Bessel. funções de, 79, 247, 573 Bethe. f6rmula de. 486 Biot e Slrart, lei de, 132 Blindagtrn - comp;cta. 555 - efeiros de, 554 Boltzrn~in. fator de, 12 I Born. 2.;:oximação de, 325 Born e Infeld, teoria dc, 7 Breuster. ingulo de, 218 Bnlloui;. precursor de, ou segundo

percunor. 246

- perpendiculares, 449 - variáveis, 163 Capacitância. 34 Carga(s) - densidades de, e m cantos e em

arestas, 57 - irnagcns. 41 - puntiforme - - em presença d e uma esfera con-

diitora, isolada e carregada, 44

- - em presença de uma esfera con- dutora ligada à terra, 41

- - nas vizinhanças d e uma esfera

cial fixo, 45 C~i~ichy - condições de contorno de, 32 - tcorcina de, 492 Cauchy-Kiemann, eqi~ações de, 57 Cavcndish. experiência de, 3 . 6 Cavidades - cilíndricas, 262 - perdas de potència numa, 275 - ressonantes, 258, 272 - - a teoria e a ionosfera como, 278 Ccrcnkov. radiaçáo de. 494, 4% C1ieg:tda de um sinal depois dii pro-

p;igação em iim meio dispersor. 24 1

Cinemática relativistica. notiição e unidades na, 432

Circiiito infinitcsimal de Stokes. 14 Clausius-hlossolti, equaqào de.

I 20 Coeficiente - de absorçào (ou coeficiente linear

de ab~orçáo) , 326 - - da água do m;ir. 2'5 - dc mullipolo - - elétrico. 586 - - niagnético. 586 - de transmissào. 342 Colisão(ócs) - coiilombiana, 479 - - ,- .r< 1' iasao de frcniimento nas. 548 - cfcito da dcnsidiicle sobre a pcrda

de ci)ergi;r cni, 489 - entre paniciilas c;irregad;is, 478 - r:idiação eniititi~r dur;iiite, 544 Coriiponcntcs 1;ingcnciais. 14 Comprimento - de form;içào, 532 - de i-adiaqiio. 556 Compton - cspiilliamenlo. 528 - fórmiila de. 0 8 ~ o n d i ~ ã o ( & ) -- - de contorno - - de Cauchy, 32 - - de Dirichlet. 32 - - de Neumann, 32 - - mistas, 94 - - nas intcrfaces de diferentes

meios, 13 - - no lcnipo. 175 - - perturbação d;is. 270 - de Lorcntz, 172 - de quantização de Dirac, 197 - de radiação, 330 Condutor perfeito, 258 Cone de luz. 399 Conscrvaçáo, leis de, 163, 464

Constante - de decaimento. 619 - dc f o q a do oscilador. 485 - de Planck, 236 - de pm;iorcionaiidade, 629 - dielétnca, 113, 63 1 - total de decaimento, ou largura to- tal. 621

Contorno - condi~ões d e (v. Condições) - ~roblemasde.comdielétricos, 113 C;)nversão - de eqiiaç6es e de grandezas entre

a s iinidiitles gaussianas e as cnidades MKSA. 631

- p;ira qu;intidndes dadas de uma gr;iiidez;l íisica. tabela de, 634

- p;irn síinbolos e fórmulas. tabela de. 6-73 r

Convoliiqão. teorcina da, 237 Corpo "em trrr:i", 17 Correçóes rc1;itivisticas de ordem

mais baixa para a Iagrangiana de pnrticiilas carregadas qiic intcra- gcm. 458

Corrente - de deslocamento. lh9 - longitudin;il oii irrcitacional. 172 - Iriinsversal ou solenoid:il. 172,

173 Coulomb - calibre de, 137. 171. 459 - lei de, 20. 628 Covariincia d;i eletrodinimica, 422 Covariantes. 410 Curva de r:u;i ressoiiante. 619

D;rrwin, lagrangi~ina de. 458 Dcbye - numero de onda de. 382 - riUo de blindagem de. 363. 381 Debye-Huckel, teoria de. 384 Delbrüch. espalhamento, 8 Desaparição d e carga e de mo-

mento magnético. 563 - Dcscontinuidades, I5 Deslocament«(s) - de nivel, 619 - Doppler - - foriniilas do, 553 - - relativístico, 401 - elétrico. 112 - Lamb, 620 L)iclétricos, 105 Difraçao, 302 - de Fraunholer. 340 - de Frcsncl, 340 - figura de, 330 - por uma abertura circular. 340 - teoria escalar da. 329 . Difusão (v. Espalhamento) - magnética, 364 Dimensões, 627 Dipolo - nproximaç'io de. 482 - regra da soma do, 623 Dirac - condição d e quantização de. 197 - funçáo delta dc, 22 - monopolos de, 1% Dirichlet, condições de contorno

de. 32 Dirictilct Grccn, função de. 331 Dispersão - an6mala. 221 - dii freqüência em diclétricos,

condutores e plasmas, caracte- risiicas da , 220

- normal. 22 1 Divcrgéncia. teorema da. 24 Uoppler, fórmulas de. 393 Dupla camada

- geometria da; 28 - processo de passagem ao limite

usado para construir uma, 27

Efeito - da massa d o fóton, 462 - de blindagem. 554 - dc confínamento. 364. 370 - fotelétrico, 3 - Mossbaucr. 393 - pclicular ;in6malo. 238 Einstein, postulados de, 388 Eletrodinâmica quintica, 8 Elcti.om;ignetismo. idc~ilizaçoes

do. 16 Elttron - módulo d a carga do. 3 - rluo clássico do. 527, 612 Elctrostática - dos meios macroscópicos. I05 - equação da. 25 - in t rodu~ão à. 20-40 - lei de Gaiiss da. 24 - problemas de contorno na, 41.64 - t ra tamento elementar da. em

mcios materiais. 11 I E n c r i a - de<idade de, 34 - ele'tromagnética, definiçóes cova-

riantes, 613 - eletrostática em mcios dielitri-

cos, 123 - força da rcaçiio radiativa a partir

da conservaçáo da, 606 - irradiada por cargas aceleradas,

distribuiçsona freqüência edis- tribuição angulxr da. 517

- niirn campo magnético. 166 - perda de. 478 - - em colisões, efeito da densidade

. sobre a, 489 - - em funçáo da cnerpa cinética.

487 - - fórmulas clássica e quintica

para a, 485 - - num plasma eletrónico, 497 - potencial eletrostitica. 34 - radiativa. perda relativística de.

554 - rclativística de uma partíciilu, 404 - tr;insferf ncia de - - a uma carga lignda harmonica-

mente, 482 - - numa colisão coulombiana, 479 Eqiiação(ões) - BMT, 431 - d a eletrostática. 25 - d;i força de 1,oreniz. 2 - - nos diversos sistemas de unida-

des, 632 - d;i m;ignetoi<lrodinimica. 363 - das Jescontiniiidades. 15 - de Cauchy-Kiemann. 57 - de Cluusius-koss»lii. 120 - d e Hamilton, 446 - d e Laplace, 29 - - em coordenadas cartcsi~inas, 52 - - em coordenadas cilíndricas, 79 - - em coordenadas esféric;is, 63 - de Legendre, 65 - de Lorentz-Lorcnz. 120 - de Maxwcll, 163. 169 - - macroscóoicas. I0 - - - nos diversos 'sistemas de iini-

dadcs, 632 - - nos meios m:icroscópicos, 10

- de onda - - as funçóes de Green pnraa. 173 - - em forma cov;iri;intc. 470 - - escalar - - - de Helmholtz. 330

- - - soluções bisicas. em ondas es- féricas, da. 572 - - não-homogênea de Helmholtz,

174 - de Poisson. 29, 383 - de Sturrn-Liouville. 91 - diferencial - - da magnetostática. 135 - - ordinária, 52 - - piircial. 52 - do movimento - - de Abraham-Lorcntz. 607. 612 - - de Euler-Lagrange. 442 - - de Ncuton. 193, 609 - clctromagnéticas, 628 - intcgrais duais. 96 - íntegro-diferencial d o movi-

mento. incluindo o nmortcci- mcnto radiativo, 616

- macroscópicas, 146 - - do eletromagnetismo, dcdução

diis. 176 - rclntivística d e movimento para o

spin num campo externo uni- forme ou lentamente variável, 429

Esc;ilar(es), 191, 192, 41 1 Esfera - conduton - - com hemisfério's a potenciais di-

ferentes, 48 - - num campo elétrico iiniformc

pelo método das imagens. 46 - de raio R. 105 - espalhamento d e ondas eletro-

magnéticas por uma. 596 - função de Green para a. 47 Espalhamento. 302. 478 - amplitude de, 324 - cocrcnte. 529 - Compton. 528 - da luz pela luz. 9 - da radiação por cargas qii;ise li-

vres. 529 - Dclbrück. 8 - de ondas eletromagnéticas por

uma esfera, 5% - deslocamentos de fase do. 598 - de Thomson da radiaçáo, 526 - cl;ístico de particiilas rápidas por

;itomoç. 498 - em comprimentos d e onil;r griin-

dcs, 317 - f6ton-fóton. 9 - incoerenie. 529 - médio qiiadrático. ângulo de, 501 - niúltiplo. distribiiição angular do.

50 1 - no limite de pequenos coinpri-

mcntos de onda, 344 - por g;fses e liquidas, 323 - Rayleiyh, 326 - seção diferencial de (oii de difii-

são), 318 - teoria tla psrturb:rçiio no, 323 Espelhos magnéticos, 145 Espessura pelicular ou profiindi-

dade de penetração, 230 Éter, arraste do, 391 Euler-Lagrange, equações do mo-

vimento de, 442 Expansáo(6e~). 50 - em niiiltipolos para uma fonte lo-

calizada ou uma ;ibertur;i niim guia de ond;i. 3 12

Experiência - da gota de óleo de Millikan, 3 - de Cavendish. 3, /,

Fiiraday. lei de, 13, 145, 163 Fator - de Boltzmann, 121

Teoremas do Cálculo Vetorial

Nas fórmulas seguintes, cp , I+!J e A são funções escalares oii vctoririis bem comporta- das, V é um volume tridirnensional com o elemento de volume ci:!r, S é uma s~iperfície fechada bidimensional limitando V, com o elemento de áreatla e a normal unithria externa n em da.

(Teorema da divergência)

(+v2++v+ . V+) d3x = +n . V$ da (Prinieira idcntidadc clc Green) L Jv ($v2+- +V2+) d3x = ($V$- +V$) n da (Teorema de Green) h

Nas fórmulas seguintes, S é uma superfície aberta e C um contorno que a limita, com o elemento de arco til. A normal n a S está definida pela regra da mâo direita em relação ao sentido da integral de linha ao longo de C.

(Teorerna de Stokes)

Onde Encontrar o Material Básico sobre Funçóes Especiais

PolinGmios de Legcndre Pl(x) Futiçõcs associadas de Legendre P,"'(x) Harriicinicos esféricos Y1,,,(O, 4)

Funções clc Bessel J , (.r), N , (x) Funções de Hessel inodificadas 1, (.r), K, (x) Funç8es de Bessel e s fé r i~as j~fx) , lilfx), h?'2'(x) Raízes de J,,, Is) = O ... , ,

Kaízes de J ; (x) = O Identidades envolvendo funç8es de Bessel Integrais de Airy, relaçáo com as funções de Bessel

DESENVOLVIMENTOS EM FUNÇÓES ORTOGONAIS

Fiinção de Bessel (intervalo finito em p ) Função de Bessel (intervalo infinito em p) Autofiinção da função de Green Série de Founer Integral de Fourier PolinGri-iio de Legendre Harmônico esférico

- ---- - - . - r l) &Ic>j/> \

Formas Explícitas das Oper'ações Ve t oriais Sejam e,, e,, e, os vetores unitários ortogonais associados às direções das coordenadas identificadas pelas entradas à esquerda da tabela, e A ,, A?. A , as coniponentes correspon- dentes de A. Entiio,

a+ a+ aiC, e V g = e , -+e2-+e3- ax, ax2 ax3

3 2 .$ 2- V. A=?!!!+%+?& 2 1; ax, ax, ax3 % L z aA aA d A aA aA dA 3 $ V x A Z e , -L!-- + e - +e --- a a ' ( a x : ax:) 3(ax: a,,')

Y V a2g a2g a2g

v2g=-+-+- axi2 axZ2 ax3'

ail, 1 a+ ViI,=ei-+e2--+e3- ap pa+ az

i a 1 a~~ aAs 2 V O A = - - ( p A , ) + - - + - N 4 + P ap

P a4 az

L,

ag i a+ i ag V$=ee , -+e2--+e3-- ar r ae rseii e a4

i a v . A = - - ( 1 a i a~~ r2

r2 A,)+- - (sen 0A2)+- - rsen 8 ae r sen0 a4

V x A = e , - d A 5, [O (sen 0 ~ 3 ) -L] 0 -

r seri 9 a0 L a-

a 4 ": i a A 4 - +e, [I*-ia r s e n e a 4 rdr ' TA,) ] +e3 i r dr ( r ~ 2 ) - - ] a9

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