CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

JADER MARTINS PEREIRA DE LIMA

NMEROS COMPLEXOS: UM MELHOR CONCEITO INTRODUTRIO

Campina Grande 2010

JADER MARTINS PEREIRA DE LIMA

NMEROS COMPLEXOS: UM MELHOR CONCEITO INTRODUTRIO

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao curso de Licenciatura Plena em Matemtica do Departamento de Matemtica do Centro de Cincias e Tecnologia da Universidade Estadual da Paraba em cumprimento s exigncias legais para a obteno do ttulo de licenciado em Matemtica.

ORIENTADORA: Prof. Esp. Nbia do Nascimento Martins

Campina Grande 2010

JADER MARTINS PEREIRA DE LIMA

NMEROS COMPLEXOS: UM MELHOR CONCEITO INTRODUTRIOTrabalho de Concluso de Curso apresentado ao curso de Licenciatura Plena em Matemtica do Departamento de Matemtica do Centro de Cincias e Tecnologia da Universidade Estadual da Paraba em cumprimento s exigncias legais para a obteno do ttulo de licenciado em Matemtica.

Comisso Examinadora

Prof. Esp. Nbia do Nascimento Martins Departamento de Matemtica - CCT/UEPB Orientadora

Prof. Esp. Roberto Aroldo Pimentel Departamento de Matemtica - CCT/UEPB Examinador

Profa. Dra. Katia Elizabete Galdino Departamento de Matemtica - CCT/UEPB Examinador Campina Grande 2010

AGRADECIMENTOSAo nico Deus eterno, que me fez viver at agora e sentir uma das maiores alegrias que j pude ter . A minha famlia que um sustentculo na minha vida e uma das razes para que eu pudesse concluir este curso. A meus parentes que me aconselharam e dividiram comigo ansiedades, sofrimentos e alegrias. Meus colegas e amigos participantes desta batalha que se mostrava ter um bom desfecho. Meus mestres que contriburam de forma sensacional para minha formao me deixando no somente parte de seus conhecimentos, mas tambm suas vidas como exemplo.

RESUMO

A necessidade de contar faz com que a humanidade d seus primeiros passos para a formulao dos conceitos matemticos mais complicados que hoje podemos aprender. Passando pelo conjunto dos nmeros naturais e inteiros, o homem e sua curiosidade sem limites percebem que estes horizontes numricos podem aumentar devido a complexidade dos clculos que eram necessrios para a compreenso de estudos que at ento envolviam a geometria, a lgebra e a aritmtica. Meditaremos na evoluo do conceito dos nmeros complexos, iniciando por Baskara e sua famosa frmula para obteno de razes de equaes quadrticas. Chegando at sculo XVI onde veremos as primeiras descobertas mais concretas a respeito dos nmeros complexos. Tartaglia, Cardano, Fior, Scipione Del Ferro, Bombelli foram pioneiros ao verificarem nos seus estudos sobre equaes de terceiro grau e que estes seriam satisfeitos com solues no ainda desconhecido campo dos complexos. Fermat e Ren Descartes abriram os horizontes com seus trabalhos sobre Geometria Analtica que fazem parte do compndio conceitual dos nmeros. Logo aps vemos um dos maiores nomes da matemtica de todos os tempos, responsvel por vrias descobertas Euler deixa sua contribuio para a teoria dos nmeros complexos. E finalmente Sir William Rowan Hamilton nos apresenta os nmeros complexos como um par ordenado de nmeros reais (a, b) e reescrevendo as definies geomtricas de Gauss na forma algbrica. Veremos como esses nmeros nos so introduzidos no ensino mdio. Evidencia-se neste trabalho principalmente o conceito de nmeros complexos com uma abordagem introdutria diferente da maioria dos livros de ensino mdio, onde no nos apresentada inicialmente a real necessidade dos nmeros complexos. Ao analisarmos tais nmeros veremos que no so to complexos assim, e nos depararemos com uma gama de aplicaes para o seu uso, como: aerodinmica, fsica, engenharia, geometria. Na aerodinmica com o aeroflio de Joukowski que permite uma explicao matemtica para o vo. Na engenharia a anlise dos circuitos de corrente alternada feita com a ajuda dos nmeros complexos. Na fsica com a lgebra dos Quatrnions. Na geometria com o uso dos complexos na forma trigonomtrica que possibilita a rotao de coordenadas no plano. Palavras-chave: Nmeros Complexos. Geometria Analtica. Equaes. Conjunto.

SUMRIO1. Introduo .......................................................................................................... 2. A Histria .......................................................................................................... ............................................................................... 8 10 10 10 12 13

2.1. Da Babilnia Baskara 2.2. Sculos XVI e XVII 2.3. De Euler Hamilton

.................................................................................... ................................................................................... ................................................................

3. Conjunto dos Nmeros Complexos

3.1. Conjuntos........................................................................................................ 13 3.2. Forma Algbrica dos Nmeros Complexos ................................................. 3.3. Conjugado, Oposto e Igualdade de um Nmero Complexo 3.4. Diviso de Nmeros Complexos ....................... 13 16 17 19 20 21 23 25 26 27

................................................................ ...............................

3.5. Representao Geomtrica dos Nmeros Complexos 3.6. Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos

...................................... ..............

3.7. Potenciao de Nmeros Complexos na Forma Trigonomtrica

3.8. Radiciao de Nmeros complexos ............................................................ 4. Aplicao dos Nmeros Complexos ............................................................. 5. Concluso .......................................................................................................

Bibliografia

.....................................................................................................

1 IntroduoOs nmeros naturais despontaram da necessidade do homem de arrolar objetos a quantidades, os elementos pertencentes a esse conjunto so: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, o zero surgiu posteriormente, com a meta de exprimir algo nulo no preenchimento posicional. O conjunto dos nmeros naturais emergiu simplesmente com o propsito da contagem, no comrcio sua utilizao esbarrava nas situaes em que era preciso expressar prejuzos. Os matemticos da poca, no intuito de resolver tal situao, criaram o conjunto dos nmeros inteiros, simbolizado pela letra Z. Z = {... , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... } Operaes comerciais representando lucros ou prejuzos podiam ser calculadas, por exemplo: 20 25 = 5 (prejuzo) 10 + 30 = 20 (lucro) 100 + 70 = 30 (prejuzo) Com a evoluo dos clculos, o conjunto dos nmeros inteiros no estava satisfazendo algumas operaes, assim foi estipulado um novo conjunto numrico: o conjunto dos nmeros racionais. Esse conjunto consiste na unio entre o conjunto dos nmeros naturais com os nmeros inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de frao ou nmeros decimais. Q = { ... , -5; ...; - 4,7; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 2,65; ...; 4; ... } Alguns nmeros decimais no podem ser escritos na forma de frao, dessa forma no pertencem ao conjunto dos racionais, eles formam o conjunto dos nmeros irracionais. Este conjunto possui nmeros importantes para a Matemtica, como o nmero pi (~3,14) e o nmero de ouro (~1,6). A unio dos conjuntos dos nmeros Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais formam o conjunto dos nmeros Reais. A criao do conjunto dos nmeros Reais se deu ao longo de todo o processo de evoluo da Matemtica, atendendo s necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemticos esbarraram em uma situao oriunda da resoluo de uma equao do 2 grau. Vamos resolver a equao x + 2x + 5 = 0 aplicando o Teorema de Bhskara:

Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um nmero negativo, sendo impossvel a resoluo dentro do conjunto dos nmeros Reais, pois no existe

nmero negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado nmero negativo. A resoluo destas razes s foi possvel com a criao e adequao dos nmeros complexos, por Leonhard Euler. Os nmeros Complexos so representados pela letra C e mais conhecidos como o nmero da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentao: i = -1. Esses estudos levaram os matemticos ao clculo das razes de nmeros negativos, pois com a utilizao do termo i = -1, tambm conhecido como nmero imaginrio, possvel extrair a raiz quadrada de nmeros negativos. Observe o processo:

Os

nmeros Complexos constituem o maior conjunto numrico existente. Os nmeros complexos, via de regra, so apresentados como solues no reais para equaes de segundo grau, nmeros do tipo a + bi , com a e b sendo nmeros reais e i igual a -1 ou ainda como pares ordenados (a,b), porm tais nmeros surgiram realmente como questionamentos equaes de terceiro e quarto graus.

2 Histria dos nmeros complexos2.1 Da Babilnia Baskara Historicamente um dos assuntos que chamaram ateno dos matemticos foi a resoluo de equaes. Os gregos utilizavam rgua e compasso para resoluo de certos tipos de equaes. Babilnios foram os responsveis por solucionar tais problemas com o que hoje conhecemos por completamento de quadrados. A conquista da Grcia por Roma praticamente acabou com o domnio da Matemtica Grega. Com o fim do Imprio Romano e a ascenso do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas e o desenvolvimento da Matemtica ficou nas mos dos rabes e dos hindus. Os matemticos hindus avanaram nas pesquisas em lgebra e Baskara o nome que imediatamente vem nossa memria quando falamos de equaes do 2 grau. Entretanto a frmula de Baskara no foi realmente descoberta pelo prprio, mas sim pelo matemtico hindu Sridhara, no sculo XI. Relembrando, dada a equao ax2 + bx + c = 0 com a0 a frmula de Baskara garante que suas razes so: x1 = [-b+(b2-4ac)]/2a e x2 = [-b-(b2-4ac)]/2a Dependendo da equao, poderia acontecer que o nmero = b2-4ac fosse negativo. Entretanto isso no perturbava muito os matemticos da poca. Neste caso eles simplesmente diziam que o problema no tinha soluo. 2.2 Sculos XVI e XVII Retornando Europa, mais especificamente na Itlia, no sculo XVI e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resoluo da equao do 3grau, que se percebeu que os nmeros reais eram insuficientes e as primeiras idias da criao do conjunto dos nmeros complexos surgiram. Relembremos um pouco desta conturbada histria. Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que era excepcional cientista, mas que tambm era violento, traidor, invejoso e outras qualificaes no muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a idia de probabilidade e tambm ensinou maneiras de trapacear nos jogos. Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna, publicada na Alemanha em 1545, que na poca era o maior compndio algbrico existente. Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, s tinha em comum com Cardano a nacionalidade italiana e o talento matemtico. Nascido em Brscia em 1500, na infncia, pobre, foi gravemente ferido por golpes de sabre e, por causa deste incidente, ficou com profunda cicatriz na boca que lhe provocou um permanente defeito na fala. Da ter sido apelidado de Tartaglia, que significa gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras mas o que o colocou definitivamente nos anais da Matemtica foram suas disputas com Cardano. Consta que, por volta de 1510, um matemtico italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equaes do tipo x3 + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal soluo e tentou ganhar notoriedade com ela. Na poca eram comuns os desafios entre sbios. Como Tartaglia era um

nome que comeava a se destacar nos meios culturais da poca, Fior props a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar de no saber resolver ainda tais equaes, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo que Fior conhecia a soluo das equaes acima citadas, no s deduziu a resoluo para este caso, como tambm resolveu as equaes do tipo x + px + q = 0. O resultado deste desafio foi que Fior saiu humilhado. Nesta poca Cardano estava escrevendo a Pratica Arithmeticae Generalis, que continha ensinamentos sobre Algebra, Aritmtica e Geometria. Ao saber que Tartaglia achara a soluo geral da equao de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu prximo livro. Tartaglia no concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Cardano acusou-o de mesquinho e egosta, e no desistiu. Aps muitas conversas e splicas este, jurando no divulgar tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a soluo. Conforme qualquer um poderia prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a frmula deTartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade no fez justia a Tartaglia: sua frmula at hoje conhecida como Frmula de Cardano." A frmula que gerou tanta controvrsia esta : X=(-q/2+[(q/2)2+(p/3)3]1/2)1/3 +(-q/2-[(q/2)2+(p/3)3]1/2)1/3 q e p R. Esta frmula pode ser obtida atravs dos clculos que desenvolveremos agora. Considere a equao geral do segundo grau x3 + ax2 + bx + c = 0, com a,b e c R. Note que podemos transformar a equao geral numa outra equao geral da forma y3 + py + q = 0, para tal basta-nos substituir y = x+m com algum m conveniente. Tomando a equao y3 + py + q = 0 e substituindo y =A+B notamos que y 3 = A3 + B3 + 3ABy, conclui-se que 3AB = -p e A3 + B3 = -q. Portanto: A3 B3 = -p3/27 e A3 + B3 = -q Logo A3 e B3 so solues da equao t2 + qt p3/27 = 0 e suas solues so: A3 = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2 e B3 = -q/2 [(q/2)2 + (p/3)3]1/2 Sendo assim y =(-q/2+[(q/2)2+(p/3)3]1/2)1/3 +(-q/2-[(q/2)2+(p/3)3]1/2)1/3 Rafael Bombelli, ao tentar resolver a equao: "Seja x3 o volume de um cubo de aresta x e 15x o volume de um paraleleppedo retngulo cuja rea da base 15 e cuja altura igual aresta do cubo, determinou x de modo que x3 = 15x + 4, para a qual ele j conhecia a soluo (que x = 4), chegou ao seguinte resultado:3

x=

2 + 121

+

3

2 121

A Aritmtica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendo descobertas relaes entre nmeros e formas. A idia de empregar sistemas de coordenadas para definir posies de pontos no plano e no espao j havia sido utilizada da no sculo III a.C. por Apolnio, em seus trabalhos sobre seces cnicas. Entretanto, foi na primeira metade do sculo XVII que os geniais matemticos franceses Pierre de Fermat e Ren

Descartes inventaram, independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analtica. Fermat no se preocupou em publicar suas idias, ao contrrio de descartes que, no apndice de seu mais famoso livro Discurso Sobre o Mtodo de Bem Utilizar a Razo e de Encontrar a Verdade nas Cincias, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que considerado a pedra fundamental da Geometria Analtica. Com o domnio da geometria Analtica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaes algbricas. Em uma passagem do Discurso do Mtodo Descartes escreveu a seguinte frase: Nem sempre as razes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equao so reais. As vezes elas so imaginrias. Por esse motivo, at hoje o nmero -1 chamado de nmero imaginrio, termo que se consagrou juntamente com a expresso nmero complexo. Infelizmente, so designaes um tanto inadequadas e subjetivas para objetos matemticos. Depois de Bombelli, em 1530, outros personagens importantes da Histria da Matemtica deram contribuies ao desenvolvimento da teoria dos nmeros complexos, dentre os quais o matemtico francs Abraham de Moivre, amigo de Isaac Newton, e tambm os irmos Jacques e Jean Bernoulli. Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto foi Euler. 2.3 De Euler Hamilton Leonhard Euler nasceu em Basilia, Suia, no ano de 1707, quando o Clculo Diferencial e Integral, inventado por Newton e Leibniz, estava em expanso. Foi um dos matemticos que mais produziu e publicou em todos os tempos, alem de ter sido muito boa pessoa. Aos 28 anos perdera a vista esquerda e viveu totalmente cego os ltimos 18 anos de sua vida, perodo em que continuou produzindo, guiado pela sua memria. Faleceu em 1783. Seu nome ficou ligado para sempre ao nmero irracional e, conhecido como nmero de Euler, cujo valor aproximadamente 2,71828, e que aparece frequentemente em equaes que descrevem fenmenos fsicos. A descoberta deste nmero ocorreu devido a uma pergunta de Jacques Bernoulli sobre juros compostos. Dentre as inmeras contribuies de Euler foi notvel seu empenho na melhoria da simbologia. Muitas das notaes que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representaes propostas por Euler destacamos o i substituindo -1. Euler passou a estudar nmeros da forma z = a + bi onde a e b so nmeros reais e i = -1. Esses nmeros so chamados de nmeros complexos. A grande obra a favor dos nmeros complexos apareceu em 1831, na qual Gauss inventou o termo nmeros complexos. Nesse trabalho ele apresentou uma detalhada explicao de como os nmeros complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representao desses nmeros no plano cartesiano. Gauss j visualizava os nmeros complexos dessa forma desde 1811. Antes dele, matemticos como o suo Argand (Jean Robert Argand, 1768-1822) e o noruegus Wessel (Caspar Wessel, 1745-1818) j haviam escrito sobre a representao geomtrica dos complexos no plano, porm a pouca representatividade desses matemticos fez com que seus trabalhos no alcanassem a notoriedade merecida na poca. Finalmente, em 1837, Hamilton (Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865) galgou o ltimo degrau dessas descobertas reconhecendo os nmeros complexos como um par ordenado de nmeros reais (a, b) e reescrevendo as definies geomtricas de Gauss na forma algbrica.

3 Conjunto dos Nmeros Complexos3.1 Conjuntos N: conjunto dos nmeros Naturais Z: conjunto dos nmeros Inteiros Q: conjunto dos nmeros Racionais I: conjunto dos nmeros Irracionais R: conjunto dos nmeros Reais C: conjunto dos nmeros Complexos

Ao resolver uma equao do 2 grau podemos obter trs resultados, dependendo do valor do discriminante: > 0, duas razes reais diferentes. = 0, < 0, nenhuma raiz real. uma raiz real.

Resolvendo a equao do 2 grau dentro do universo dos nmeros reais, os casos em que < 0 no podem ser resolvidos, pois no existe raiz de nmero negativo dentro do conjunto dos nmeros reais. O surgimento dos nmeros complexos possibilitou obter solues para casos em que necessrio descobrir novos conjuntos numricos, onde o quadrado de um nmero negativo tem como resultado um nmero negativo. Iremos representar essa proposio utilizando uma unidade imaginria i, assim poderemos dizer que o quadrado de um nmero um nmero negativo, ento i * i = - 1, isto , i = - 1 . 3.2 Forma Algbrica dos Nmeros Complexos Representamos um nmero complexo z = (x,y) sendo x R e y R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algbrica) , onde a a parte real de z e b a parte imaginria de z. Exemplos: z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4 z = 5 2i : Re (z) = 5 Im (z) = 2

A equao do 2 grau x + 25 = 0 impossvel de ser resolvida no conjunto dos nmeros Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos nmeros Complexos, da seguinte forma: x + 81 = 0 (Equao incompleta do 2 grau) x = 81 x = 81 Temos (9i) = (9) * i = 81 * ( 1 ) = 81 x = 9i 2x - 16x + 50 = 0 (Equao completa do 2 grau) a = 2, b = -16, c = 50 = b - 4ac = (-16) - 4 * 2 * 50 = 256 400 = -144 Temos (12i) = 144i = 144*(-1) = -144.

x = 4 + 3i e

x = 4 3i

Os nmeros complexos so escritos na sua forma algbrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b so nmeros reais e que o valor de a a parte real do nmero complexo e que o valor de bi a parte imaginria do nmero complexo. Podemos ento dizer que um nmero complexo z ser igual a a + bi (z = a + bi). Com esses nmeros podemos efetuar as operaes de adio, subtrao e multiplicao, obedecendo ordem e caractersticas da parte real e parte imaginria. Dado dois nmeros complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z1 + z2 (a + bi) + (c + di) a + bi + c + di a + c + bi + di a + c + (b + d)i (a + c) + (b + d)i Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. Exemplo 3.2.1 Dado dois nmeros complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 i, calcule a sua soma: (6 + 5i) + (2 i)

6 + 5i + 2 i 6 + 2 + 5i i 8 + (5 1)i 8 + 4i Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i. Dado dois nmeros complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtramos teremos: z1 - z2 (a + bi) - (c + di) a + bi c di a c + bi di (a c) + (b d)i Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i. Exemplo 3.2.2 Dado dois nmeros complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtrao: (4 + 5i) (-1 + 3i) 4 + 5i + 1 3i 4 + 1 + 5i 3i 5 + (5 3)i 5 + 2i Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i. Dado dois nmeros complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: z1 . z2 (a + bi) . (c + di) ac + adi + bci + bdi2 ac + adi + bci + bd (-1) ac + adi + bci bd ac - bd + adi + bci (ac - bd) + (ad + bc)i Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)i. Exemplo 3.2.3 Dado dois nmeros complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicao: (5 + i) . (2 - i) 5 . 2 5i + 2i i2 10 5i + 2i + 1

10 + 1 5i + 2i 11 3i Portanto, z1 . z2 = 11 3i. 3.3 Conjugado, Oposto e Igualdade de um Nmero Complexo Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer nmero complexo precisamos conhecer alguns fundamentos. Oposto O oposto de qualquer nmero real o seu simtrico, o oposto de 10 -10, o oposto de -5 +5. O oposto de um nmero complexo respeita essa mesma condio, pois o oposto do nmero complexo z ser z. Por exemplo: Dado o nmero complexo z = 8 6i, o seu oposto ser: - z = - 8 + 6i. Conjugado Para determinarmos o conjugado de um nmero complexo, basta representar o nmero complexo atravs do oposto da parte imaginria. O conjugado de z = a + bi ser:

Igualdade Dois nmeros complexos sero iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condio: Partes imaginrias iguais Partes reais iguais Dado os nmeros complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, sero iguais se, somente se, a = d e bi = ei. Observaes: A soma de nmeros complexos opostos ser sempre igual a zero. z + (-z) = 0. O conjugado de um nmero complexo ser o prprio nmero complexo.

No existe relao de ordem no conjunto dos nmeros complexos, ento no podemos estabelecer quem maior ou menor. Exemplo 3.3.1 Dado o nmero complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado. Oposto - z = 2 - 6i

Conjugado

Oposto do conjugado

Exemplo 2 Determine a e b de modo que .

Precisamos estabelecer a propriedade da relao de igualdade entre eles. Ento: a=-2 b=-9 3.4 Diviso de Nmeros Complexos Ao dividirmos dois nmeros complexos devemos escrev-los em forma de frao e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como: Dado dois nmeros complexos z1 e z2, para efetuarmos a diviso dos dois devemos seguir a seguinte regra: z1 : z2 = z1 . z2

De uma forma geral podemos demonstrar a diviso de dois nmeros complexos por: Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a diviso de z1 : z2 ser:

O inverso de um nmero a troca do numerador pelo denominador e vice-versa, desde que essa frao ou nmero seja diferente de zero. Em um nmero complexo acontece da mesma forma: um nmero complexo para ter seu inverso preciso ser no nulo, por exemplo: Dado um nmero complexo qualquer no nulo z = a + bi, o seu inverso ser representado por z1. Veja o clculo do inverso do nmero complexo z = 1 4i.

Portanto, o inverso do nmero complexo z = 1 4i ser:

Conclumos que o inverso de um nmero complexo no nulo ter a seguinte generalidade: z = a + bi

Quando multiplicamos um nmero complexo pelo seu inverso o resultado ser sempre igual a 1, z * z1 = 1. Observe a multiplicao do complexo z = 1 4i pelo seu inverso:

3.5 Representao Geomtrica dos Nmeros Complexos A cada nmero complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginria por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginrio. A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representao da interpretao geomtrica dos nmeros complexos:

Atualmente, o plano dos nmeros complexos conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distncia (letra grega: r), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitgoras no tringulo retngulo, dessa forma temos:

O mdulo de z representado pela grandeza , mas tambm pode ser representado por |z|. A ngulo (0 < 2), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, chamado de argumento de z (z 0) e indicado por Arg(z). Baseado nessas definies podemos estabelecer as seguintes relaes na interpretao geomtrica dos complexos:

Exemplo3.5.1 Calcule o mdulo e o argumento do nmero complexo z = 1 + 2i. Mdulo a=1eb=2

Argumento = Arg(z)

3.6 Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos Veja como ficaria o grfico representativo do nmero complexo z = 1 + 2i.

Sabemos que um nmero complexo possui forma geomtrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominao de parte real e b parte imaginria de z. Por exemplo, para o nmero complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os nmeros complexos tambm possuem uma forma trigonomtrica ou polar, que ser demonstrada com base no argumento de z (para z 0). Considere o nmero complexo z = a + bi, em que z 0, dessa forma temos que: cos = a/p e sen = b/p. Essa relaes podem ser escritas de outra forma, acompanhe: cos = a/p a = p*cos sen = b/p b = p*sen Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. z = p*cos + p*seni z = p*( cos + i*sen) Essa forma trigonomtrica de grande utilidade nos clculos envolvendo potenciaes e radiciaes. Exemplo 3.6.1 Represente o nmero complexo z = 1 + i na forma trigonomtrica. Resoluo: Temos que a = 1 e b = 1

A forma trigonomtrica do complexo z = 1 + i z = 2*(cos45 + sen45 * i).

Exemplo 3.6.2 Represente trigonometricamente o complexo z = 3 + i. Resoluo: a = 3 e b = 1

A forma trigonomtrica do complexo z = 3 + i z = 2*(cos150 + isen150 ). 3.7 Potenciao de Nmeros Complexos na Forma Trigonomtrica Consideremos o nmero complexo no nulo z = p*(cos + i*sen) e o nmero n N, dessa forma escrevemos: zn = z*z*z*...*z ou zn = p*p*p*...*p *(cos + i*sen)* (cos + i*sen).... (cos + i*sen), da, zn = pn*[cos(+++...+) + i*sen(+++...+)], onde conclumos que: zn = pn *[cos(n) + i*sen(n)] Essa expresso um recurso muito importante nas situaes envolvendo a expresso (a + bi)n, caso no existisse, deveramos usar o binmio de Newton, o que acarretaria em clculos trabalhosos. Obs.: para calcularmos a potncia de um nmero complexo utilizando a 1 frmula de Moivre, devemos escrever o complexo na sua forma trigonomtrica. Exemplo 3.7.1 Dado o complexo z = 2 2i, calcule z10.

Exemplo 3.7.2 Dado o nmero complexo z = 1 3i, determine z15.

3.8 Radiciao de Nmeros complexos Define-se raiz ensima de um nmero complexo z = |z|.(cos + isen), aos nmeros w = | w|.(cos + isen) tal que w n = z. w n = z |w| n .(cos n + isen n) = |z|.(cos + isen) dessa igualdade temos:

portanto = /n + k.360/n. Vamos atribiuir valores a k e observar os valores de .

Observe que para k = n, teremos cos n+1 = cos 1 e sen n+1 = sen 1:

Para k = n+1 teremos:

Portanto teremos n valores diferentes para os argumentos de w e conclumos que o nmero z possui n razes ensimas, todas com mdulo igual a n|z| e cujos argumentos so:

Ou seja os argumentos formam uma P.A. de primeiro termo 1 = /n e razo 360/n. Exemplo 3.8.1 Dado z = 1 + i, determine w tal que w3 = z. a=1 b=1 |z| = (12 + 12) = 2 cos = 1/2 = 2/2 sen = 1/2 = 2/2 implica = /4 z = 2.( cos /4 + isen /4) w1 = 62.(cos /12 + isen /12) w2 = 62.(cos 3/4 + isen 3/4) w3 = 62.(cos 17/12 + isen 17/12)

4 Aplicao dos Nmeros ComplexosOs nmeros complexos so muito teis na Aerodinmica. Joukowski (1906), utilizando transformaes geomtricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avio (aeroflio de Joukowski) e, usando o princpio de Bernoulli (1738) e a teoria das funes complexas, deduziu a frmula

F = x + yi = -iei (VkL ) , que permite calcular a fora de levantamento responsvel pela sustentao do vo de um avio. Os nmeros complexos permitiram uma explicao matemtica para o vo. Da em diante o progresso aeronutico foi rpido. Na eletrnica e na eletricidade, a anlise de circuitos de corrente alternada feita com a ajuda de nmeros complexos. Grandezas como a impedncia (em ohms) e a potncia aparente (em volt-ampre) so exemplo de quantidades complexas.

A impedncia o nmero complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cos +jsen ). Os nmeros complexos tambm foram de fundamental importncia para a construo da Fsica moderna atravs da lgebra dos Quatrnions. Uma aplicao importante da multiplicao de nmeros complexos na forma trigonomtrica possibilitar a rotao de coordenadas no plano.

5 ConclusoEvidencia-se que a curiosidade e a necessidade so essenciais para o desenvolvimento de novos conceitos e tecnologias desde a fundao do mundo. Um dos questionamentos mais ouvidos por professores secundaristas o: Onde surgiu isto?ou Para que serve ?. Estudar algo sem conhecer as reais motivaes que levaram os pioneiros a desenvolver e aprofundar os conhecimentos acerca de determinado assunto tornase enfadonho, ao ponto que o estabelecimento de uma razo(propsito) para aquele surgimento gera um interesse e at, as vezes, a mesma curiosidade inicial dos precursores. Sendo assim fundamental uma introduo histrica para um melhor entendimento acerca dos nmeros complexos. Nem sempre os conceitos para aplicao da matemtica aprendidos so de fcil compreenso, alguns envolvem teorias que esto fora do alcance intelectual do indivduo apesar dos conceitos bsicos serem de absoro descomplicada como, por exemplo, a lgebra dos Quatrnions. Embora seja um assunto de grandes aplicaes para o desenvolvimento de vrias reas do conhecimento e principalmente da matemtica, a apresentao dos nmeros complexos para os alunos se d de forma errada. A grande maioria dos livros didticos faz uma abordagem puramente algbrica, deixando o aluno pensar que esses nmeros no possuem aplicao alguma. No somente os complexos mas a matemtica em sua grande parte tem uma aplicabilidade que poderia ser melhor aproveitada como introduo ou exerccio de estudos, que certamente provocariam maior interesse, aprendizado e prazer no momento de instruo dos alunos.

BIBLIOGRAFIADANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico: 1. Ed. So Paulo, tica, 2005. MORGADO, Augusto Csar et alii. Trigonometria e nmeros complexos. Rio de Janeiro, SBM, 1992. (Coleo do Professor de Matemtica). DAVIS, Harold T. Tpicos de histria da Matemtica para uso em sala de aula. So Paulo, Atual, 1992. http://www.profezequias.net/complexo.html http://hermes.ucs.br/lavia/pro/complex.html BOYER, Carl B., Histria da Matemtica. Editora Edgard Blucher Ltda. So Paulo, 1974.