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7/24/2019 Jeovaldo Dias.pdf

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Universidade Federal do Tocantins

Campus Universitario de Arraias

Curso de Matematica

Jeovaldo Dias Ferreira

A envolvente de uma famlia de Curvas

Arraias

2015


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Monografia apresentada ao Curso de

Matematica da UFT, como requisito

para a obtencao parcial do grau de

LICENCIADO em Matematica.

Orientador: Elis Gardel da Costa Mesquita

Mestre em Matematica - UnB

Arraias

2015


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Monografia apresentada ao Curso de

Matematica da UFT, como requisito

para a obtencao parcial do grau de

LICENCIADO em Matematica.

Aprovado em 13 de marco de 2015

BANCA EXAMINADORA

Elis Gardel da Costa Mesquita


Adriano Rodrigues


Robson Martins de Mesquita

Doutor em Matematica - USP


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A meus pais e irmaos.

A Jeferson Dias Ferreira, pelo apoio e compa-

nheirismo.


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2

Resumo

Neste trabalho apresentaremos uma introducao ao estudo de geometria diferencial das

curvas planas de forma elementar, com o objetivo de definir formalmente uma famlia de

curvas e demonstrar o teorema que nos permite saber se um ponto pertence a envolvente

de uma determinada famlia de curvas. As principais referencias para o desenvolvimento

deste trabalho sao [1], [5] e [6].

Palavras-chaves: Evolutas e Involutas de curvas planas, Envolventes de Famlia de curvas.


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Sumario

Resumo 2

Introducao 4

1 Curvas Planas 5

1.1 Curva Parametrizada Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Vetor Tangente; Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Reparametrizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Teoria local das curvas planas, Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . 12

2 A envolvente de uma famlia de Curvas 20

2.1 Raio de curvatura, Crculo osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Evolutas e involutas de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Envolventes de famlias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Referencias Bibliograficas 32


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4

Introducao

Iniciamos os estudos com Curvas Planas, onde apresentamos a nocao intuitiva e em

seguida a definicao formal de curva em R2. Seguimos comCurva Parametrizada Dife-

renciavel, Vetor Tangente e Curva Regular, apresentamos definicoes, ilustracoes e exem-

plos. O ob jetivo e que fique claro a definicao de Curva Regular, pois prosseguiremos os

nossos estudos somente com essas curvas; curvas que possuem vetor tangente em todos

os seus pontos.

Na secao seguinte vemos que dada uma curva regular e possvel obter varias curvas

com o mesmo traco, utilizando o processo deReparametrizacao. EmCurva Parametrizada

pelo Comprimento de Arco, aprendemos a calcular a distancia entre dois pontos da curva,

e tambem a reparametrizar uma curva regular pelo seu Comprimento de Arco, que e o

foco principal da secao. Em seguida estudamos a Teoria local das curvas planas, onde

deduzimos as formulas de Frenet e aprendemos a calcular a curvatura de uma curva

regular.

Fazemos um estudo importante para o foco principal do trabalho sobre Raio de cur-

vatura, crculo osculador e Evolutas e involutas de curvas planas. Vemos que o lugar

geometrico dos centros de curvatura de uma curva regular e uma nova curva com o nome

de evoluta, e que em algumas situacoes as evolutas sao envolventes de famlia de curvas.

Iniciamos a ultima secao com alguns exemplos e em seguida definimos formalmente

uma famlia de curvas. Demonstramos o teorema 2.3.2 e apresentamos aplicacoes. As

envolventes, que inicialmente foram estudadas por Leibniz e Bernoulli interessados nos

chamados problemas de tangencia, atualmente possuem aplicacoes importantes para o

mundo atual, como a que apresentamos no ultimo exemplo; encontramos a regiao atingida

pelo barulho de um aviao supersonico.


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5

1 Curvas Planas

De forma intuitiva, uma curva plana deve descrever uma trajetoria contnua do movi-

mento de uma partcula sobre o plano. Por exemplo figuras desenhadascom um unico

traco, sem tirar o lapis do papel.

Figura 1.1: Traco de uma curva no plano.

Um ponto de vista inspirado na Geometria Analtica, seria considerar uma curva

em R2 como o conjunto de pontos (x, y) R2, tais que satisfazem uma equacao dotipo F(x, y) = 0. Um exemplo sao as funcoes definidas por F(x, y) = x2 +y2

1 e

F(x, y) =y x2.(veja a Figura 1.2)

Figura 1.2: Traco de uma curva no plano que satisfaz F(x, y) = 0.

Muitos exemplos que gostaramos de considerar como curvas esta nessa classe de

subconjuntos do plano. Mas mesmo para funcoes muito bem comportadas, esse tipo de

conjunto pode ficar muito longe da ideia do que consideramos como curva. Por exemplo

a funcao definida por F(x, y) = xy, a equacao F(x, y) = 0 descreve o conjunto formado


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1.1 Curva Parametrizada Diferenciavel 6

pelos eixos coordenados, que aparentemente nao se enquadra na nossa ideia original, ou

seja, de uma figura tracadasem tirarmos o lapis do papel. Por outro lado, existem

conjuntos que gostaramos de considerar como curvas e que nao podem ser descritos desse

modo.

Vamos agora introduzir a definicao formal de curva.

Definicao 1.0.1. Uma curva continua no plano R2 e uma aplicacao continua : I R2,definida num intervalo I R.

A plicacao , dada por (t) = (x(t), y(t)), e continua se cada funcao coordenada

x, y: I R e uma funcao continua.

Exemplo 1.0.1. SejaF(x) =x2. Parametrizando essa curva obtemos uma curva (t) =

(t, t2), e e continua. De fato, limtt0

(t) = (t0) para t0 I R, ou seja, limtt0

t = t0 e

limtt0

t2 =t20.

Figura 1.3: Traco de (t) = (t, t2).

E importante observar que a funcao , para cada valor t R, tem-se um correspon-dente em R2, em outras palavras a funcao lancat em R2.

1.1 Curva Parametrizada Diferenciavel

Uma curva no plano e descrita dando-se as coordenadas de seus pontos como funcoes

de uma variavel independente.

Definicao 1.1.1. Uma curva parametrizada diferenciavel do plano e uma aplicacao di-

ferenciavel de classe C, de um intervalo aberto I R em R2. A variavel t e dita


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1.2 Vetor Tangente; Curva Regular 7

parametro da curva e o subconjunto de R2 dos pontos (t), t I, e chamado traco dacurva.

Se escrevemos como (t) = (x(t), y(t)) entao e diferenciavel, se somente se, x(t)

e y(t) sao diferenciaveis de classe C, isto e, se x(t) e y(t) possuem derivadas continuas

de qualquer ordem em todo ponto de I.

Exemplo 1.1.1. Se considerarmos a equacaox2 +y2 = 1, cujo traco e uma circunferencia

centrada na origem e de raio igual a 1, a aplicacao que para cada t R associa

(t) = (cos t, sen t),

e sua parametrizacao pois cos2 t+ sen2 t = 1. A curva e de fato diferenciavel ja que

x(t) = cos t e y(t) = sen t possuem derivadas continuas de todas as ordens em todo

t I= [0, 2].

Exemplo 1.1.2. A aplicacao : R R2 dada por

(t) = (t, |t|), t R,

nao e uma curva parametrizada diferenciavel, ja que y(t) =|t| nao e diferenciavel emt= 0. De fato,

y(0) = l imh0

y(0 h) y(0)h

= limh0

y(h)h

= limh0

| h|h

= 1.

A derivada lateral a direita em t = 0 e igual a +1 e a esquerda1, logo os limiteslaterais sao diferentes e portanto y(t), em t = 0, nao existe (verja Figura 1.4).

1.2 Vetor Tangente; Curva Regular

Definicao 1.2.1. Seja uma curva parametrizada diferenciavel, que a cadat Iassocia

(t) = (x(t), y(t)). O vetor(t) = (x(t), y(t)),

e chamado vetor tangentea em t.


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Figura 1.4: Modulo

A velocidade escalar de em t0 I e dada pelo modulo do vetor velocidade (t0),isto e

(t0) =

(x(t0))2 + (y(t0))2.

Quando (t0)= (0, 0), tal vetor esta contido na reta tangente a em (t0), veja afigura 1.5.

Figura 1.5: Vetor tangente a em t0.

Exemplo 1.2.1. Consideremos a curva

(s) = (a+b coss

b, c+b sen

s

b), s R, b >0,

cujo traco e uma circunferencia de centro (a, c) e raio b. Assim

(s) = ( sensb

, coss

b),

e o vetor tangente a no ponto s(verja a Figura 1.6).

Para o desenvolvimento da teoria local das curvas e preciso que exista uma reta

tangente a uma curva para cada valor do parametro s, ou seja, curvas que nao tenha

quinas; para isto, e suficiente que o vetor tangente a seja nao nulo para todos. Portanto

restringiremos o nosso estudo apenas as curvas que definiremos a seguir satisfazendo esta

condicao.


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Definicao 1.2.2. Uma curva parametrizada diferenciavel : I R2 e dita regular separa todo t I, (t) = (0, 0), ou equivalentemente,(t) = 0.

Exemplo 1.2.2. A curva parametrizada diferenciavel que a cada s (2

, 2

) associa

(s) = (2 sen2 s, 2sen2 s. tg s),

nao e regular pois temos que

(s) = (4 sen s cos s, 4sen s cos s tg s+ 2 sen2 s sec2 s)

para s = 0, tem-se

(0) = 0.

dizemos que e singular em s= 0 e (0) e chamada uma singularidade de .

Como definimos anteriormente, se for uma curva regular, o vetor (s) esta contido

na reta tangente a curva no ponto (s), e podemos entao definir a reta g tangente a

curva em (s) por

g(r) =(s) +r(s),

onde r R. A mesma esta ilustrada na figura 1.6.

Figura 1.6: Vetor e reta tengente a em (s).


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1.3 Reparametrizacao 10

1.3 Reparametrizacao

Dada uma curva regular , podemos obter varias curvas regulares que tem o mesmo

traco que , da seguinte forma:

Definicao 1.3.1. Sejam I e Jintervalos abertos de R, : I R2 uma curva regular eh : J Iuma funcao diferenciavel (C), cuja derivada de primeira ordem e nao nulaem todos os pontos de Je tal que h(J) =I. Entao a funcao composta

= h: J R2

e uma curva regular, que tem o mesmo traco que , chamada reparametrizacao de por

h. A funcao h e dita mudanca de parametro. Veja figura 1.7

Figura 1.7: Reparametrizacao

Exemplo 1.3.1. Dada a curva

(t) = (t, 2t), t R

e

h(r) = 2r+ 1, r R

a curva

(r) = h= (h(r)) = (2r+ 1, 4r+ 2)

e uma reparametrizacao de por h. Observamos que e tem o mesmo traco (veja a

Figura 1.8)


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1.4 Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco 11

Figura 1.8: A curva e sua reparametrizacao .

Exemplo 1.3.2. Dada a curva

(t) = (t, et), t R

e

h(r) = ln r, r (0, )

a curva

(r) = h= (h(r)) = (ln r, r), r (0, )

e uma reparametrizacao de por h.

Figura 1.9: A curva e sua reparametrizacao .

1.4 Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco

A distancia entre dois pontos P eQ de R2 e definida comod(P, Q) = P Q. Dadauma curva : [t0, t] R2, o que faremos agora e definir a distancia entre (t) e (t0),


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1.4 Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco 12

que sera medida ao longo da curva e nao sera em geral(t) (t0).

O paragrafo a baixo pode ser visto com mais detlhes em ([3], pag.416).

Seja y = f(x) com derivada contnua em [a, b], o comprimento do grafico de f de

a a b e dado pela integralba

1 +

dydx

2dx, mas podemos obter uma curva regular :

[t0, t1] R2, tal que (t) = (t, f(t)) tenha o mesmo traco de y = f(x). Em verdadetemos y(t) = f(t) e x(t) = t, dai segue que y(t) = f(t) =

dy

dt e x(t) = 1, logo s(t) =t

t0

(x(t))2 + (y(t))2dt=

tt0

(t) dt. Esta integral existe pois(t) e continua.

A aplicacao s(t) =tt0

(t) dt e denominada funcao comprimento de arco da curva. Essa funcao e diferenciavel de classe C, pois e uma curva regular.

Definicao 1.4.1. Uma curva regular : I R2 e dita parametrizada pelo comprimentode arco, se para cada t0, t I, t0 t o comprimento da curva de t0 a t e igual a t t0.Isto e t

t0

(t) =t t0.

Proposicao 1.4.1. Uma curva regular : I R2 esta parametrizada pelo comprimentode arco , se e so se, t I, (t) = 1.

Demonstracao.) Suponhamos parametrizada pelo comprimento de arco e fixemost0 I. Consideremos a funcao s: I R, que para cada t Iassocia

s(t) =

tt0

(t) dt.

Se t0 t, entao por hipotese tt0

(t) dt= t t0.

Se t t0, entaos(t) =

t0t

(t) dt= t0 t.

Portanto para todot I,s(t) =t t0, dondes(t) = 1. Comos(t) = (t), conclumosque(t) = 1, t I.) Por outro lado se(t) = 1 entao t

t0(t) dt = t t0, para quaisquer t0, t I,

t0 t.

Exemplo 1.4.1. Consideremos a curva (t) = (a+b cos t, c+b sen t), cujo traco e umacircunferencia centrada em (a, c) e raio b, o comprimento de arco de a partir de t0 = 0

e dado por,


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1.5 Teoria local das curvas planas, Formulas de Frenet 13

s(t) =

t0

(t) dt

= t

0(b cos t)2 + (

b sen t)2dt

=

t0

b2 cos2 t+b2 sen2 tdt

=

t0

b2dt

=

t0

bdt

=bt.

A funcao inversa de s(t) e dada por h(s) =

s

b , sR

. Portanto = h, que a cada sassocia

(s) = (a+b sens

b, c+b cos

s

b)

e uma reparametrizacao de pelo comprimento de arco.

1.5 Teoria local das curvas planas, Formulas de Fre-

net

Nesta secao definimos a nocao de curvatura de curvas planas e desenvolvemos as

formulas de Frenet para essas curvas. A curvatura e uma funcao que mede em cada ponto

o quanto a curva deixa de ser uma linha reta, quanto ela se desvia da linha tangente.

Consideramos uma curva regular

(s) = (x(s), y(s)), s

I,

parametrizada pelo comprimento de arco s. Para cada sI, (s) e um vetor unitario,que denotamos por T(s), isto e

T(s) = (x(s), y(s)).

Seja N(s) um vetor unitario ortogonal a T(s), tal que a base ortogonal de R2 formada

por T(s) e N(s) tem a mesma orientacao que a base canonica e1 = (1, 0) e2 = (0, 1) de

R

2

, ou seja, o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vetores T(s) e N(s)e maior que zero, isto e,

N(s) = (y(s), x(s)).


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Definicao 1.5.1. O conjunto de vetores{T(s), N(s)} e dito referencial de Frenet dacurva em s.

Figura 1.10: Referencial de Frenet.

Proposicao 1.5.1. (i) Se(t) e constante, entao (t) e perpendicular a (t) paratodo t I, isto e,

(t), (t) = 0.

(ii) Se(t) e(t) sao perpendiculares para todo t I, entao

(t), (t)

=

(t), (t)

.

Demonstracao. (i) Temos que(t), (t) =(t), (t)2 = (t)2 =m , onde m e

uma constante. Derivando(t), (t) =m, segue que,

(t), (t) + (t), (t) = 02 (t), (t) = 0(t), (t) = 0

o que prova a primeira parte, no lado esquerdo da igualdade utilizamos a defini cao de

derivada de produto interno que pode ser vista em ([1], p ag.39).

(ii) Para demonstrar a segunda parte, basta derivar(t), (t) = 0, da

(t), (t) + (t), (t) = 0(t), (t) = (t), (t) .


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Observamos queT(s) e unitario, assim pela proposicao 1.5.1 temos queT(s) e

ortogonal aT(s) e portantoT(s) e proporcional a N(s). Esse fator de proporcionalidade

e denotado por k(s), ou seja,

T(s) =k(s)N(s).

Definicao 1.5.2. k(s), e denominada curvatura de em s.

Proposicao 1.5.2. Seja: I R2 uma curva regular parametrizada pelo comprimentode arco s definida por(s) = (x(s), y(s)), a curvaturak(s) e dada por

k(s) = T(s), N(s) = N(s), T(s) .

Demonstracao. Considerando a curva (s) = (x(s), y(s)), s

I,segue que,

T(s), N(s) = k(s)N(s), N(s) T(s), N(s) =k(s) N(s), N(s) T(s), N(s) =k(s),

da,

k(s) = T(s), N(s)= (s), N(s)= (x(s), y(s)), (y(s), x(s))= x(s)y(s) +y(s)x(s).

Analogamente comoN(s) e unitario, segue queN(s) e ortogonal a N(s) e portantoN(s)

e proporcional a T(s).Como

N(s), T(s) = (y(s), x(s)), (x(s), y(s))=

x(s)y(s) +x(s)y(s)

= (x(s), y(s)), (y(s), x(s))= T(s), N(s)= T(s), N(s)= k(s)

Portantok(s) = N(s), T(s) k(s) = N(s), T(s)


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Proposicao 1.5.3. As derivadas dos vetoresT(s) eN(s) de uma curva parametrizada

pelo comprimento de arco s, satisfazem as seguintes equacoes

T(s) =k(s)N(s). (1.1)

N(s) = k(s)T(s). (1.2)

Demonstracao. Como T(s) = N(s) = 1, pela proposicao 1.5.1 temos que T(s), T(s) =N(s), N(s) = 0. Como T(s), N(s) = 0, tambem temos que T(s), N(s) = N(s), T(s).Lembramos agora que dados dois vetores ortonormaisT(s) eN(s), qualquer vetorw pode

ser escrito como w= w, T(s) T(s) + w, N(s) N(s). Assim temos que

T(s) = T(s), T(s) T(s) + T(s), N(s) N(s)= 0T(s) +k(s)N(s)

=k(s)N(s).

por outro lado

N(s) = N(s), T(s) T(s) + N(s), N(s) N(s)

= T

(s), N(s) T(s) + 0N(s)= T(s), N(s) T(s) + 0= k(s)T(s).

As equacoes que acabamos de deduzir sao denominadasequacoes de Frenet.

Da proposicao anterior conclumos que k : I

R e uma funcao de classe C quando

for de classe C.

Ate aqui definimos a curvatura de uma curva parametrizado pelo comprimento de

arco, a seguir definiremos a funcao k(s) para curvas nao necessariamente parametrizadas

pelo comprimento de arco.

Definicao 1.5.3. Seja : I R2 uma curva regular de parametro qualquerr I, e seja :J

R

2 uma reparametrizacao de pelo comprimento de arcos, isto e(s(r)) =(r).

Definimos a curvatura de em r Ipela curvatura deno pontos J, que correspondea r I, ou seja, k(r) =k(s(r)).


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Proposicao 1.5.4. Seja : I R2 uma curva regular definida por = (x(r), y(r)).Entao a curvatura de emr I e dada pela expressao

k(r) = x(r)y(r) x(r)y(r)((x(r))2 + (y(r))2)3

.

Demonstracao. Consideremos:J R2 uma reparametrizacao positiva de pelo com-primento de arco, entao, se escrevemos(s(r)) =(r) = (x(r), y(r)),

(x(r), y(r)) =(r) =d(s(r))

ds s(r) (1.3)

e

(x(r), y(r)) =(r) =d2(s(r))

ds2 (s(r))2 +

d(s(r))

ds s(r). (1.4)

usando a primeira equacao acima e o fato de que s(r)> 0,temos que,

s(r) = (r) . (1.5)

onde

(r) =

(r), (r) = ((r), (r)) 12 .

segue que,

s

(r) =

1

2(

(r),

(r))

1

2

(

(r),

(r) +

(r),

(r)).portanto,

s(r) =(r), (r)

(r) . (1.6)

Considerando que(r) = (x(r), y(r)) segue-se de (1.3) e (1.5) que

T(r) = (x(r), y(r))

(x(r))2 + (y(r))2.

Pela definicao de vetor normal temos

N(r) = (y(r), x(r))

(x(r))2 + (y(r))2.

Como

k(s(r)) =

d2(s(r))

ds2 , N(r)

.

conclumos, usando (1.3) a (1.6), que

k(r) = x(r)y(r) x(r)y(r)

((x(r))2 + (y(r))2)3.


21/37


Exemplo 1.5.1. Consideremos a curva

(s) = (a+b coss

b, c+b sen

s

b), s R, b >0.

cujo traco e uma circunferencia de centro (a, c) e raio b. A curva esta parametrizadapelo comprimento de arco, de fato

(s) =

( sensb

)2 + (coss

b)2 =

sen2

s

b+ cos2

s

b= 1.

Neste caso

T(s) = ( sensb

, coss

b),

N(s) = ( cossb

, sensb

).

Segue que

k(s) = T(s), N(s)=

1

b( coss

b)( coss

b) +

1

b( sens

b)( sens

b)

=1

bcos2

s

b+

1

bsen2

s

b

=1b

.

No exemplo anterior utilizamos o resultado da proposicao 1.5.2, a seguir resolveremos

o mesmo exemplo mas utilizando o resultado da proposicao 1.5.4.

k(s) =( sens

b )

1

b ( sens

b ) ( coss

b )

1

b (cos

s

b)(( sen s

b)2 + (cos s

b)2)3

=1bsen2 s

b+ 1

bcos2 s

b(sen2 s

b+ cos2 s

b)3

=1b1

=1

b.

em ambos os resultados utilizados obtemos k(s) = 1b

o que ja era previsto (veja a Figura

1.8).


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Figura 1.11: Referencial de Frenet.

Se considerarmos uma reparametrizacao dedada por(s) =

a+b cos sb

, c b sen sb

,

entao k(s) =1b

, observamos que o sinal da curvatura depende da orientacao da curva.

Nao estudaremos nesse trabalho a interpretacao geometrica do sinal da curvatura, fica a

cargo do leitor, esse estudo pode ser visto em ([6], pag.49).

Exemplo 1.5.2. Consideremos a espiral logartmica

(r) = (er

cos r, er

sen r), r R.Entao

(r) =er(cos r sen r, sen r+ cos r),(r) =er(2sen r, 2cos r),

Segue que,

k(r) =er(cos r sen r)er2cos r+er2sen r(sen r+ cos r)er

((er cos r e2 sen r)2 + (e2 sen r+e2 cos r)2)3

= 2e2r(cos2 r sen r cos r) + 2e2r(cos r sen r sen2 r)

(e2r cos2 r 2e2r cos r sen r+e2r sen2 r+e2r sen2 r+ 2e2r sen r cos r+e2r cos2 r)3

=2e2r(cos2 r+ sen2 r sen r cos r+ cos r sen r)

(2e2r cos2 r+ 2e2r sen2 r)3

= 2e2r

(2e2r)3

= 2e2r

8.e6r

= 2e2r

8.e3r=

12.er

.


23/37


Proposicao 1.5.5. A curvatura de uma curva regular e identicamente zero se, e so-

mente se, o traco de esta contido em uma reta.

Demonstracao. Suponhamos k(s) = 0. Como 0 =|k(s)| =T(s), temos que T(s) =(0, 0). ComoT(s) esta definida num intervaloI, conclumos queT(s) e um vetor constante

V0. Isso implica que

(s) =(s0) +

ss0

T()d=(s0) +V0(s s0).

Portanto o traco de esta contido na reta que passa por (s0) e e paralela ao vetor V0.

Reciprocamente, se o traco de esta contido em uma reta e esta parametrizada pelo

comprimento de arco, temos que

(s) =P0+sV0, V0 = 1.

Logo T(s) =V0 e, portanto, T(s) = (0, 0). Assim conclumos que k(s) = 0.

Exemplo 1.5.3. Consideremos a curva (t) = (t, 2t+ 1) com t R, em que seu traco euma reta, assim

(t) = (1, 2) = 0

e

(t) = (0, 0),

a curvatura de e dada por

k(t) = 0.(2) + 0.1

((1)2 + (2)2)3

= 0

(1 + 4)3= 0.


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21

2 A envolvente de uma famlia de Curvas

Neste captulo vamos estudar a situacao em que uma curva e tangente a uma famlia

de curvas. Tambem estudaremos uma aplicacao deste fenomeno a um problema de Fsica.

Calcularemos a zona na terra ja atingida num certo momento pelo barulho de um aviao

supersonico Concorde.

2.1 Raio de curvatura, Crculo osculador

Nesta secao veremos que em qualquer ponto de curvatura nao nula de uma curva ,

existe uma circunferencia que passa nesse ponto, com mesma curvatura e a mesma reta

tangente a curva. O centro e o raio dessa circunferencia sao denominados respectivamente

centro de curvatura e raio de curvatura de nesse ponto e a circunferencia e denominada

circunferencia osculadora.

Definicao 2.1.1. Se : I R2

e uma curva regular de curvatura k(t) = 0, a quantidade(t) =

1

|k(t)| e denominada raio de curvaturade em t. O crculo de raio (t) e centro

D(t) =(t) + 1

k(t)N(t)

e denominado crculo osculador e D(t) e dito centro de curvatura.

O crculo osculador tem a propriedade de ser o crculo tangente a em (t) que

melhor aproxima a curva . O crculo osculador tem a mesma tangente e curvatura que

em (t)(veja a Figura 2.1).

2.2 Evolutas e involutas de curvas planas

Falaremos constantemente de curvas tangentes e ortogonais, por isso definiremos as-

seguir essas duas situacoes de duas curvas no plano.

Definicao 2.2.1. Duas curvas esao tangentes em um ponto (a) =(b), se e so se,

(a) =m(b), onde m e uma constante real.


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2.2 Evolutas e involutas de curvas planas 22

Figura 2.1: Circulo osculador.

Definicao 2.2.2. Duas curvas e sao ortogonais em um ponto(a) =(b), se e so se,

(a)

(b), ou seja,

(a), (b)

= 0.

O lugar geometrico dos centros de curvatura de uma curva regulare uma nova curva

com o nome de evoluta.

Definicao 2.2.3. Se : I R2 e uma curva regular com curvatura nao nula, entao suaevoluta e a curvaD: I R2 definida por

D(t) =(t) +

1

k(t)N(t) =(t) + (t)

2

(t), N(t)N(t). (2.1)A evoluta tem a propriedade de ser tangente a cada instante a uma das linhas normais

a . Esta situacao sera examinada com mais detalhes na secao 2.3(Diremos que D e a

envolvente da famlia de linhas normais a ).

Suponhamos agora que esteja parametrizada pelo comprimento de arco, temos que

a derivada de D e

D

(s) =

(s) + 1

k(s)

N(s) +

1

k(s) N

(s),

como

N(s) = k(s)T(s) = k(s)(s),

logo temos

D(s) =(s) +

1

k(s)

N(s) + 1

k(s)(k(s)(s))

= 1

k(s)

N(s)

=k(s)(k(s))2

N(s).


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Segue entao que a evoluta e uma curva regular se e somente sek(s) = 0. Um pontoonde k(s) = 0 sera denominado uma singularidade de D.

Exemplo 2.2.1. Se o traco de uma circunferenciadescreve um crculo de raioRe centro

emP0= (x0, y0), sua evoluta e uma curva constante D(t) =P0. De fato, parametrizandoa curva pelo comprimento de arco temos

(s) = (x0, y0) +

R cos s

R, R sen

s

R

=

x0+R cos s

R, y0+R sen

s

R

, s [0, 2R],

vimos na secao 1.5 que k(s) = 1

R, pela equacao 2.1 a evoluta de e dada por,

D(s) =(s) + 11

R

cos s

R, sen s

R

=

x0+R cos sR

, y0+R sen sR

+R cos s

R, R sen s

R

= (x0, y0)

=P0.

Exemplo 2.2.2. Considere a curva : [0, 2] R2, definida por

(t) = (a cos t, b sen t),

seus pontos satisfaz a equacao de uma elipsex2

a2+

y2

b2 = 1.

De fato, fazendo x(t) =a cos t e y(t) =b sen t, temos que,

(a cos t)2

a2 +

(b sen t)2

b2 =

a2 cos2 t

a2 +

b2 sen2 t

b2 = 1.

assim,

T(t) = (

a sen t, b cos t)

N(t) = (b cos t, a sen t)

A curvatura de e dada por

k(t) =(a sen t)(b sen t) (a cos t)(b cos t)

((a sen t)2 + (b cos t)2)3

= ab sen2 t+ab cos2 t

(a

2

sen2

t+b2

cos2

t)3

= ab

(a2 sen2 t+b2 cos2 t)3= 0


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Pela equacao 2.1, a evoluta de , e dada por

D(t) = (a cos t, b sen t) +

(a2 sen2 t+b2 cos2 t)

2ab cos2 t+ab sen2 t

(b cos t, a sen t)

= (a cos t, b sen t) +a2 sen2 t+b2 cos2 t

ab (b cos t, a sen t)= (a cos t, b sen t) +

(ba2 sen2 t cos t b3 cos3 t, a3 sen3 t ab2 cos2 t sen t)ab

=

a2 b2

a cos3 t,

b2 a2b

sen3 t

.

O traco da evoluta da elipse e descrito pelo astroide (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 b2)2/3,

D

(t) =a

2

b2

a 3cos2 t sen t,

b2

a2

b 3sen2 t cos t

logo D(t) nao e regular nos pontos, com t= 0, /2, e 3/2(veja a Figura 2.2).

Figura 2.2: Elipse e sua evoluta.

Em geral, a evoluta de uma curva parametrizada pelo comprimento de arco nao esta

parametrizada pelo comprimento de arco. O comprimento de um arco regular de D,

digamos de D(s0) a D(s1) e dado por

s(s) =

s1s0

D(s) ds= s1s0

1

k(s)

ds=

1k(s1) 1

k(s0)

.

Aqui usamos o teorema fundamental do calculo e o fato quek(s) nao e zero em [s0, s1].

A curva pode ser obtida de volta da curva D pela formula

(s) =D(s) + 1

k(s)

D(s)

D(s) (2.2)


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2.3 Envolventes de famlias de Curvas 25

Definicao 2.2.4. Uma involuta de uma curva regular : I R2 e a curva i: I R2,dada por

i(t) =(t) + (m s(t))T(t)

sendo T o vetor tangente a , m uma constante real positiva e s(t) o comprimento dearco de .

E importante observar que para cada valor de m, obtemos involutas distintas para

(verja Figura 2.3).

A curva recuperada pela equacao 2.2 e uma involuta de D.

Figura 2.3: Involuta i de .

Pela proriedade de uma involuta e evoluta de uma curva plana, resulta que a curva

e uma evoluta de qualquer uma de suas involutas, isto e,

Di(t) =(t).

2.3 Envolventes de famlias de Curvas

Antes de apresentar a definicao exata de envolvente, veremos algums exemplos ele-

mentares porem clarificadores. Na sessao anterior estudamos a evoluta de uma curva com

curvatura k= 0, esta nova curva tem a propriedade de ser em cada ponto tangente aalguma reta normal a curva original. Neste caso podemos pensar que as linhas normais

formam uma famlia de curvas e que a evoluta e a envolvente dessa famlia.

E precipitado pensar que nosso trabalho se resumira em encontrar evoluta de curvas

planas, para tal seria necessario que tivesemos sempre uma curva ortogonal a todas as

curvas da famlia.


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Exemplo 2.3.1. Consideremos tres circunferencias concentricas C1 : x2 +y2 = (3R)2,

C2:x2+y2 = (2R)2 eC3:x

2+y2 =R2. As circunferencias de raio Rcentradas em pontos

da extremidade de C2 formam uma famlia de curvas, que e definida implicitamente pela

funcao F(x,y,) = (x(2R)

2

2)2 + (y

)2

R2, com

2R

2R, assim C1

e C3 sao as envolventes dessa famlia de circunferencias (veja a Figura 2.4).

Figura 2.4: As envolventes C1 eC3 e a famlia de circunferencias centradas em pontos na

extremidade de C2.

Outro exemplo de famlia de curvas sao os crculos osculadores de uma curva com

k= 0, como foi estudado na secao 2.1, a curva tem a propriedade de ser em cada pontotangente a algum dos crculos da famlia, ou seja, a curva e a envolvente dessa famlia

de crculos osculadores.

Para definir uma famlia de curvas precisaremos do seguinte teorema:

Teorema 2.3.1. SejaF :V R uma funcao diferenciavel definida num aberto V deR2

eF

x2

(x0,y0)+F

y2

(x0,y0)= 0, F(x0, y0) = 0. entao existe uma aberto U V deR2

contendo (x0, y0) e uma curva regular: (x0 , y0+) R2 tal que

1. F((t)) = 0 set (x0 , y0+),

2. se F(x, y) = 0 com (x, y) U, entao existe t (x0 , y0 +) tal que (t) =(x(t), y(t)).

Alem do mais, a curva e biunivoca e seu vetor normal e(Fx

, Fy

)(t)

|(Fx

, Fy

)(t)|


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Existem certas curvas que satisfazem equacoes de duas variaveis: por exemplo os

pontos do crculo (t) = (cost, sent) satisfazem a equacao F(x, y) = x2 +y2 1 = 0.O que o teorema 2.3.1 nos permite fazer o inverso. Dada uma funcao diferenciavel F :

R2

R e possvel encontrar uma curva regular : [t0, t1]

R

2 tal que o conjunto

{(x, y) R2 :F(x, y) = 0} e imagem dessa curva.

Corolario 2.3.1. SeF1(0)(superfcies de nvel zero deF) e compacto e conexo e para

todo (x, y) F1(0) temos que

F

x

2(x,y)

+

F

y

2(x,y)

= 0, entao existe uma curvafechada simples: [t0, t] R2 tal que([t0, t]) =F1(0).

Definicao 2.3.1. Seja F : V R uma funcao diferenciavel real definida num abertoV

R

3, tal que para todo (x,y,)

V, Fx

2

(x,y,)

+ Fy

2

(x,y,) = 0. A funcao

F(x, y) = F(x,y,), obtida fixando , satisfaz as condicoes do teorema 2.3.1; logo

obtemos uma curva D do plano cujos pontos p = (x, y) satisfazem F(p, ) = 0. As

curvas D obtidas desta maneira formam uma famlia de curvas.

Exemplo 2.3.2. SejaF : R3 Rdefinida comoF(x,y,) = (x + )2 + y2 R2, ondeRe uma constante. As curvas D da famlia gerada por F, sao crculos de raio R e centro

(, 0) no plano. Essa famlia tem duas envolventes, as retas y = R e y =R. A retaC(t) = (t, R) e tangente a curva Dt1 no ponto C(t1) = (t1, R). Logo nesta caso, (t) =t

e (t) = 1 = 0(veja a Figura 2.5).

Definicao 2.3.2. Uma curva C :I R2 e a envolvente de uma famlia de curvasD, separa cada t existe um parametro (t) tal que a curca C seja tangente a D(t) no ponto

C(t), onde (t) e diferenciavel com(t) = 0, para todo t.

Como

(t) = 0, podemos reparametrizar Cusando o parametro . Isto e, definimosa reparametrizacao Cpela equacao C((t)) =C(t). Agora daremos condicoes para saber

se um ponto esta na envolvente da famlia.

Teorema 2.3.2. Um ponto da envolventeC() satisfaz as equacoes

F

C(),

= 0. (2.3)

F

C(),

= 0. (2.4)

Reciprocamente se, uma curvaC() satisfaz as equacoes 2.3 e 2.4 entao C e a envolvente

da famliaF.


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Figura 2.5: As envolventes y = R e y = Rda famlia de crculos centrados em ((t), 0)e raio R.

Demonstracao. Escrevendo C() = (x(), y()) e usando a regra da cadeia na composicao

(x(), y(), ) F(x(), y(), ),

derivando inplicitamente, temos que C() satisfaz 2.3 e 2.4 se e somente se,

x()

F

x

(C(),)

+y()

F

y

(C(),)

+ 1

F

(C(),)

=

x()F

x +y()

F

y =

F

x,

F

y

, C()

= 0

Pelo teorema 2.3.1

F

x,

F

y

(C(),)

e o vetor perpendicular a curvaD no ponto

C(). Logo neste ponto C e D sao tangentes.

Exemplo 2.3.3. Considere a famlia de curvas geradas por F(x,y,) = x py 2

2 ,

onde p e uma constante diferente de 0. As curvas D sao linhas retas. Para encontrar a

envolvente de D presisamos resolver as equacoes 2.3 e 2.4, ou seja,

i. x py 2

2 = 0

ii. F

=x = 0


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Isto e, isolando xem ii e substituindo emi obtemos

x2 py x2

2 = 0 x

2

2py= 0 y= x

2

2p.

Logo a envolvente e uma parabola de R2(veja a Figura 2.6). Observe que F

y = p = 0.

Figura 2.6: A envolvente y= x2

2p da famlia de retasD.

Uma aplicacao util e um pouco mais realista sobre toda essa teoria de envolventes de

famlia de curvas pode ser vista no problema que apresentaremos no exemplo a seguir o

qual foi extraido do livro [5].

Exemplo 2.3.4. Um aviao viaja a uma velocidade constantev maior que a velocidade do

som , em linha reta a uma altitude constante hsobre a terra. O problema e o seguinte:

achar a regiao da terra que ja foi atingida pelo barulho do aviao quando ele encontra-se

sobre um determinado ponto Pda terra.

Para simplificar a solucao do problema consideraremos a terra como o plano z= 0, e

que o pontoP e a origem (0, 0) deste plano, e que o aviao viaja da direita para a esquerda

sobre o eixo dos xs. Neste instante o aviao esta no ponto (0, 0, h), mas a um tempo

antes encontrava-se no ponto (v, 0, h)(v = s onde s e a distancia percorrida pelo

aviao; a velocidade e medida em km/horas e o tempo em horas). O som propaga-se a uma

velocidade constante , irradiando-se em esferas concentricas no ponto onde se origina o

som. Logo o barulho que o aviao faz quando estava no ponto (v, 0, h) tem sido ouvido

ate agora dentro da esfera de raio e centro (v, 0, h). Se

h, o son atingiu a terra

e cobriu o interio de um crculo D de centro (v, 0) e raio

()2 h2 na terra (veja aFigura 2.7).


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Figura 2.7: Deslocamento do aviao e a irradiacao do barulho.

Estes crculosD satisfazem a seguinte equacao em R2, (z= 0),

(x v)2 +y2 = ()2 h2.

O problema entao se reduz a achar a envolvente desse famlia de crculos. Esta famlia

esta dada pela funcao

F(x,y,) = (x v)2 +y2 ()2 +h2, 0.

Pelo teorema 2.3.2 a envolvente satisfaz as seguintes equacoes:

i. (x v)2 +y2 ()2 +h2 = 0

ii. F

= 2xv+ 2v2 22= 0 = xv

v2 2

Subistituindo ii em i, obtemos:

x2

x2 2v2

v2 2+x2 v4

(v2 2)2 x2 2v2

(v2 2)2 +y2 = h2,ou seja,

x2

1

2v2

v2 2

+

v4

(v2 2)2

2v2

(v2 2)2

+y2 = h2,

x2

(v2 2)2 2v2(v2 2) +v4 2v2(v2 2)2

+y2 = h2

x2 v4 2v22 +4 2v4 + 2v22 +v4 2v2

(v2

2

)2 +y2 =

h2

assim,

x2(4 2v2)(v2 2)2 +y

2 = h2.


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x22(2 v2)(v2 2)2 +y

2 = h2.

x2 2

v2 2 +y2 = h2.

Em resumo , temos que a curva envolvente satisfaz a seguinte equacao:

2

v2 2 x2 y2 =h2, x 0,

isto e, a envolvente e parte de uma hiperbole. Logo, os pontos da terra atingidos pelo

son(barrulho!) do aviao sao B ={(x, y) R2 : x 0 e 2

v2 2 x2 y2 h2}(veja a

Figura 2.8).

Figura 2.8: Regiao atingida pelo barulho do aviao.

Portanto, o limite da zona de audibilidade do son do motor do avi ao supersonico

concorde quando esta sobre o ponto P = (0, 0) e a envolvente, no 1 e 4 quadrantes

dessa famlia de crculos.


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ajuste


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ajuste


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Referencias Bibliograficas

[1] ALENCAR, H.; SANTOS, W.Geometria diferencial das curvas planas, 24 Coloquio

Brasileiro de Matematica. IMPA, 2003.

[2] BOLDRINI, Jose Luiz. Algebra Linear, vol. 1, 3 ed. Sao Paulo: Harper & Row do

Brasil 1980.

[3] GUIDORIZZI, Hamilton L.Um curso de calculo, vol. 1, 5

ed. Rio de Janeiro: LTC2001.

[4] GUIDORIZZI, Hamilton L.Um curso de calculo, vol. 3, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC

2002.

[5] RODRIGUES, Lucio. Introducao a geometria diferencial. 1977. Instituto de Ma-

tematica Pura e Aplicada, IMPA.

[6] TENENBLAT, K. Introducao a geometria diferencial, 2 ed. Sao Paulo: Blucher,

2008.

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