Upload
ruteconceicao
View
47
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Ministrio da Educao
Secretaria de Educao a Distncia
Universidade Aberta do Brasil
Fernando Haddad Ministro da Educao
Carlos Eduardo Bielschowsky Secretrio SEED/MEC
Celso Costa Diretor da UAB
Maria Lcia Cavalli Neder Reitora UFMT
Francisco Jos Dutra Souto Vice-Reitor
Valria Calmon Cerisara Pr-Reitora Administrativa
Elizabete Furtado de Mendona Pr-Reitora de Planejamento
Luis Fabrcio Cirillo de Carvalho Pr-Reitor de Cultura, Extenso e Vivncia
Myrian Thereza de Moura Serra Pr-Reitora de Ensino e Graduao
Leny Caselli Anzai Pr-Reitora de Ps-Graduao
Adnauer Tarqunio Daltro Pr-Reitor de Pesquisa
Carlos Rinaldi Coordenador UAB/UFMT
Ozerina Victor Oliveira Diretora do Instituto de Educao
Curso de Especializao para professores do Ensino Mdio de Matemtica
Matem@ticana Pr@tica
Ministrio da Educao MECPlano de Desenvolvimento da Educao PDE
Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior Capes
Curso de Especializao para professores do Ensino Mdio de Matemtica
Mdulo I
Jogo dos Discos
Matem@ticana Pr@tica
Paulo Antonio Silvani CaetanoRoberto Ribeiro Paterlini
Produo Editorial - Central de TextoEditora: Maria Teresa Carrin CarracedoProduo grfica: Ricardo Miguel Carrin CarracedoProjeto grfico: Helton BastosPaginao: Ronaldo Guarim TaquesReviso para publicao: Henriette Marcey Zanini
ndices para catlogo sistemtico:
1. Professores de matemtica : Formao :
Educao 370.71
Caetano, Paulo Antonio Silvani
Jogo dos discos : mdulo I. -- Cuiab, MT :
Central de Texto, 2010. -- (Matem@tica na
pr@tica. Curso de especializao para
professores do ensino mdio de matemtica)
Bibliografia.
ISBN 978-85-88696-90-7
1. Matemtica - Estudo e ensino 2. Matemtica -
Formao de professores 3. Prtica de ensino
I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Ttulo.
III. Srie.
10-11743 CDD-370.71
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)
(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Curso de Especializao para Professores do Ensino Mdio de Matemtica
Equipe de especialistas em formao de professores de MatemticaCoordenao: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)Especialistas: Cludio Carlos Dias (UFRN), Joo Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM- UFRJ)
Desenvolvimento InstrucionalCoordenao: Cristine Costa BarretoDesigners instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff
Responsveis por este fascculoAutores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini.Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo.Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner BeffReviso: Paulo Alves
Apresentao
O Matem@tica na Pr@tica um Curso de Especializao para Professores do Ensino M-
dio de Matemtica na modalidade de Educao Distncia, que est inserido no Plano de
Aes Articuladas do Ministrio da Educao. Esse plano tem como um de seus objetivos
promover uma importante atividade de formao continuada dirigida a voc, professor
do ensino bsico, incentivando a renovao da sua prtica pedaggica e propondo cami-
nhos para que voc possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus
estudantes e colegas de trabalho.
O primeiro mdulo de nosso curso consiste em trs atividades prticas sobre temas
que trazem importantes significados para a Matemtica do ensino bsico. Em seguida, voc
ter a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se aplicao
de uma delas em sua sala de aula.
Neste fascculo, apresentamos a atividade prtica denominada jogo dos discos, que
um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lanamento aleatrio de
discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geomtrica
e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade,
obteno de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados
atravs de uma funo.
Seja bem-vindo ao jogo dos discos!
Equipe do Matem@tica na Pr@tica
Abril, 2010
Sumrio
Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos 9
1. Um dia de co... possvel prever ou no? 11
2. A probabilidade em nosso cotidiano 14
3. E o improviso virou Matemtica 16
4. Estudo do jogo dos discos 17
5. Da cartolina para o cho da escola 30
Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33
1. Recapitulando 35
2. O que h de novo neste Ciclo? 37
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
4. Probabilidade geomtrica 42
5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 46
6. Nem tudo so parbolas 52
7. Lucrando com o jogo dos discos 54
8. Abordando outras situaes especficas no jogo dos discos 56
Concluso 59
Resumo 59
Orientaes sobre avaliao 60
Encerramento 60
Referncias 61
Svile
n M
ilev
/ S
XC
Ciclo I
Experimentando o Jogo dos Discos
Como utilizar jogos para estudar probabilidade?
Qual a influncia das regras no favorecimento de um jogador?
Como o modelo matemtico do jogo ajuda a fazer previses?
1. Um dia de co... possvel prever ou no?1. Um dia de co... possvel prever ou no?
ABRO OS OLHOS ASSUSTADA E ME DOU CONTA DE QUE PERDI A HORA. TENHO MENOS DE 10 MINUTOS PARA SAIR DE CASA. PULO DA CAMA, PENSANDO NA REUNIO MARCADA H SEMANAS POR MEU CHEFE, QUE NO VAI COM A MINHA CARA. SE ME ATRASAR, PERCO MEU EMPREGO! OLHO PELA JANELA E NUVENS CINZAS NO CU SUGEREM FRIO E CHUVA.
MEIAS... PRECISO DE MINHAS MEIAS DE L. MORRO DE FRIO NAQUELA SALA DE REUNIES, SEMPRE COM O AR-CONDICIONADO NO MXIMO. MEIAS NA GAVETA DE MEIAS, CONFORME ESPERADO. VISTO A PRIMEIRA ROUPA QUE VEJO, CORRO PARA A SALA, PEGO MINHA BOLSA E PENDURO NO PESCOO O PEN-DRIVE (NO POSSO ESQUECER A APRESENTAO EM SLIDES QUE PASSEI A MADRUGADA PREPARANDO PARA ABRIR A REUNIO). BUSCO, FRENETICAMENTE, MEU GUARDA-CHUVA! ONDE DEIXEI MESMO? NOSSA, PODE ESTAR EM QUALQUER LUGAR DA CASA! POR QUE DEIXO O GUARDA-CHUVA CADA DIA EM UM LUGAR DIFERENTE?
DEIXA PRA L, VOU ARRISCAR SAIR ASSIM MESMO. TOMARA QUE NO CHOVA LOGO... ABRO A PORTA DE CASA E TROPEO NO JORNAL. MESMO ATRASADA, LEIO A MANCHETE E FICO CHOCADA COM A NOTCIA SOBRE UM AVIO QUE CAIU, NO MEIO DO ATLNTICO, COM MAIS DE 200 PASSAGEIROS A BORDO. QUE TRAGDIA! AINDA ATORDOADA COM O DESASTRE, OLHO O RELGIO E ME DOU CONTA DE QUE TENHO QUE CORRER PARA O PONTO DE NIBUS E QUE, SE O DANADO ATRASAR MAIS DE CINCO MINUTOS, EU NO CHEGO NO TRABALHO A TEMPO. COM A CHUVA COMEANDO A CAIR, AGORA MESMO QUE A CONDUO NO TEM HORA PRA PASSAR...
1. Um dia de co... possvel prever ou no? 11
MIRACULOSAMENTE, O NIBUS CHEGA. SUBO OS DEGRAUS VOANDO E SENTO NO LTIMO LUGAR VAGO. NO MEIO DO CAMINHO, CEDO MEU LUGAR PARA UMA MULHER GRVIDA, IMAGINANDO SE O BEB QUE ELA CARREGA MENINO OU MENINA. VOU PARA O CORREDOR DO NIBUS. QUE CONFUSO!
CHEGO NO TRABALHO E A CHUVA APERTA. PERCEBO QUE PERDI O PEN-DRIVE NO EMPURRA-EMPURRA DO NIBUS E, COM ELE, A APRESENTAO DA REUNIO, O EMPREGO, O ALUGUEL, AS FRIAS, TUDO... QUE DIA DE CO! ENSOPADA, ATRASADA E DESOLADA.
SUBO AS ESCADAS APRESSADA E LOGO ENCONTRO UM COLEGA, SAINDO DA SALA DE REUNIES, COM UMA EXPRESSO DE INCREDULIDADE NO ROSTO. PENSO: FUI DEMITIDA! MEU COLEGA OLHA PRA MIM E DIZ, COM A VOZ FALHA: VOC NO VAI ACREDITAR... O CHEFE GANHOU SOZINHO NA LOTERIA... DESCOBRIU HOJE, ASSIM QUE ENTROU NA SALA... SUBIU NA MESA DE REUNIO, DANOU UM TANGO COM O VENTILADOR DE P, E PEDIU DEMISSO! FOI DIRETO PRO AEROPORTO, PEGAR O PRXIMO VOO PARA O EGITO. DISSE QUE QUERIA CONVERSAR COM A ESFINGE, E QUE VOC SERIA A NOVA CHEFE...
12 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
O significado dos termos previsvel e aleatrio tem a ver com a noo de incerteza.
Quanto maior a chance de ocorrncia de um evento, maior nossa certeza em relao a
ele. o caso de chover em um dia nublado, de o nibus atrasar em dias de chuva, com
trfego intenso, ...
Atividade 1 O que e o que no pode ser
Na histria em quadrinhos, diversos acontecimentos
do-se ao longo de uma tumultuada manh. Do ponto de
vista da personagem, selecione um acontecimento que voc
considera ser previsvel e um acontecimento que voc consi-
dera ser no previsvel ou aleatrio. Justifique sua resposta.
Acontecimento previsvel
Justificativa
Acontecimento no previsvel ou aleatrio
Justificativa
Resposta comentada
Dentre os possveis acontecimentos que a personagem
poderia prever, voc pode ter identificado:
A perda do emprego devido sua chegada atrasada
na reunio, justificada pelo conhecimento das pol-
ticas da empresa e da personalidade de seu chefe;
O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens
cinzentas;
Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade
para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver
um lugar especfico onde ela guarda suas meias.
Dentre os acontecimentos aleatrios que a personagem
no poderia prever, voc pode ter identificado:
O sexo do beb, pois as chances so iguais para
menino ou menina;
A manchete do jornal sobre a queda do avio, por se
tratar de um evento raro, no esperado.
O nibus ter chegado rpido, por se tratar de um dia
chuvoso e horrio de trfego intenso;
O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de
um acontecimento extremamente raro, de natureza
imprevisvel.
A promoo para o cargo de chefia, pois dependeu
do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria.
Atividade 1
1. Um dia de co... possvel prever ou no? 13
Figura 1: Como avaliar uma incerteza?
Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatrio, relacionado com eventos
ocorridos em uma conturbada manh. Esperamos que voc tenha entendido melhor o
que um evento aleatrio.
A chance de ocorrncia de um evento aleatrio medida atravs de uma probabilida-
de. Um dos objetivos desta atividade compreender ainda melhor este conceito e buscar
novas maneiras de apresent-lo em sala de aula.
2. A probabilidade em nosso cotidianoA probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por
exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de sade e o valor da mensalidade
envolve clculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de sade recebe men-
salidades de diferentes usurios, desde crianas recm-nascidas at pessoas idosas. Com
os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas,
operaes e procedimentos diversos solicitados por eles.
Figura 2: Alguns procedimentos cobertos por planos de sade
Alm disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionrios, prdios,
veculos, impostos, etc. Os donos da empresa tambm querem que, no final do ms, sobre
um lucro para eles mesmos.
Saiba Mais O que evento aleatrio?
um acontecimento com resultado imprevisvel. Por exemplo, se lanamos para cima uma
moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, no temos como prever qual a posio
em que ela vai ficar, aps cessar seu movimento. quase certo que ela fique sobre uma de suas
faces, mas no temos como prever qual.
Saiba Mais
Foto
s: R
icar
do M
igue
l Car
rin
Carr
aced
oFo
tos:
Fer
nand
o A
udib
ert
Ju
lie E
lliot
t-A
bshi
re
Je
inny
Sol
is S
. /
SXC
Eva
Schu
ster
/ S
XC
14 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso
seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quan-
tos clientes vo ter um determinado problema de sade, quantas consultas vo solicitar,
exames clnicos, operaes, etc?
Ao fazer esses clculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a
ocorrncia de problemas e necessidades de sade na populao. Calculando essas proba-
bilidades, e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provvel
despesa que ter em um determinado ms. Por exemplo, no faz sentido esperar que um
homem faa uma operao de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha cncer
de prstata. Tambm pouco provvel que uma criana utilize os servios relacionados a
doenas do corao e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse.
Como voc j deve ter percebido, a probabilidade est presente em nossas vidas e
possui importncia na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura
do primeiro mdulo do curso Matem@tica na Pr@tica.
Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais so os recursos e
mtodos que voc mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula?
Figura 3: O valor da mensalidade de um plano de sade determinado pela probabilidade de utilizao de seus servios, variando de acordo com a localidade, idade, sexo, etc. de seus clientes.
Figura 4: Estes objetos sempre marcam presena nas aulas de probabilidade
Diria que h uma grande chance de voc ter respondido que usa dados, domin ou
cartas. Estes instrumentos so muito importantes e bastante teis. Mas ser que podemos
ir mais alm? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabili-
dade, polgonos regulares, funes quadrticas e grficos?
A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a voc, professor, uma oportu-
nidade de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito
interessante.
A aprendizagem da probabilidade fundamental para a compreenso de
fenmenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referncia para
o Enem-2009 indica que, ao trmino do Ensino Mdio, o aluno deve ter
desenvolvido a seguinte competncia: Compreender o carter aleatrio e
no determinstico dos fenmenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos
adequados para medidas, determinao de amostras e clculos de proba-
bilidade para interpretar informaes de variveis, apresentadas em uma
distribuio estatstica. Os Parmetros Curriculares Nacionais sugerem que o
desenvolvimento da temtica probabilidade seja abordado atravs de situaes
de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar
informaes. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas
24% dos estudantes conseguem compreender o clculo da probabilidade de
um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais forte-
mente essa habilidade, principalmente para atender s demandas da matriz
de referncia para o Enem-2009.
A aprendizagem da probabilidade fundamental para a compreenso de
Janela Pedaggica Documentos de referncia e probabilidade
Foto
s: A
mr S
afey
J
ean
Sche
ijen
J
einn
y So
lis
S. /
SXC
R
icar
do M
igue
l Car
rin
Carr
aced
o
Van
gelis
Tho
mai
dis
/ S
XC
2. A probabilidade em nosso cotidiano 15
3. E o improviso virou Matemtica
Na Frana, no sculo XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins.
As crianas no perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro.
Inventaram o jogo dos discos, lanando moedas aleatoriamente no piso e apostando na
parada da moeda no interior de um ladrilho.
Mas que fatores contribuam para uma criana ganhar a aposta e ver sua moeda intei-
ramente dentro de um ladrilho, num lanamento aleatrio, sem tocar nenhuma de suas
bordas? As crianas mais espertas logo perceberam que o dimetro da moeda e o tamanho
dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo.
Figura 5: O Jogo dos Discos ganha quem lanar o disco no
interior de um ladrilho, sem tocar nenhuma de suas bordas.
As crianas gostam de jogos que envolvam lanamentos de objetos em pisos quadri-
culados.
O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianas e, ainda por cima, ajudar
nossos estudantes a aprender Matemtica. No acredita? Ento, leia o texto a seguir, onde
feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemtica.
Formandos antenados!
Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino
Mdio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realizao da to
sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces,
outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em
bolar um jogo de apostas. S faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e
interessante.
Depois de muita discusso e nenhuma definio, a turma resolveu pedir
ajuda ao professor de Matemtica. O professor, lembrando-se do
Conde de Buffon, levou a turma para o ptio da escola
e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos
quadrados de 30 cm de lado. Neste momento,
o professor fez a seguinte sugesto:
Que tal construir discos com um certo dime-
tro para serem comprados pelos convidados e jo-
gados aleatoriamente no piso? Se o disco, depois
Foto
s: M
arce
lo d
os S
anto
s
M
icha
ela
Mas
lars
ka
Val
ber C
orte
z /
SXC
Saiba Mais Probabilidade e Geometria, um casamento perfeito
A imagem do naturalista e matemtico Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon
(17071788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em
1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a Histria que este livro o
primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geomtrica.
Saiba Mais
Dor
a Pe
te /
SXC
16 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de
separao do ladrilhamento, o convidado receber um prmio.
Posies favorveis ao jogador Posies favorveis aos formandos
Figura 6: Regra bsica para o jogo dos discos
Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, comearam a pensar qual seria o melhor
dimetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram...
O professor completou:
Vocs s precisam tomar cuidado na hora de determinar o dimetro desses discos, pois
os convidados da festa somente iro se interessar pelo jogo se acharem que tm chance
de ganhar o prmio. Agora me digam: qual seria o dimetro ideal? Vamos resolver este
problema em sala de aula?
Ento, voc gostou da sugesto do professor? Ele foi bem esperto, no acha? Conseguiu
motivar os estudantes para suas aulas e ainda props o ensino de probabilidade de forma
ldica, agradvel e significativa.
Voc tambm pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa ati-
vidade d certo, voc precisa dominar todo o processo de construo do conhecimento
proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando.
E vamos comear agora!
4. Estudo do jogo dos discosNosso primeiro objetivo determinar qual a influncia do dimetro do disco e do
tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lanamentos
aleatrios no jogo dos discos.
Para estudar os conceitos matemticos envolvidos, vamos fazer vrios experimentos
considerando discos de dimetros variados. Faremos muitos lanamentos aleatrios e
anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas.
Podemos sair por a e procurar pisos ladrilhados para fazer os lanamentos. Mas fica
mais prtico se adotarmos algumas simplificaes, principalmente se quisermos executar
os lanamentos em sala de aula. Nossa sugesto construir um quadriculado, com qua-
drados de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm
combina bem com moedas pequenas e botes de camisa.
4. Estudo do jogo dos discos 17
Uma vez construdo o quadriculado, vamos inicialmente lanar moedas de 10 centavos
como discos. O inconveniente das moedas que, embora existam muitos tipos, elas no
tm grande variao no dimetro. Por isto, mais adiante, ser preciso lanar tambm bo-
tes de camisa com dimetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos
lanamentos.
Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lanar, aleato-
riamente, moedas de 10 centavos da segunda famlia de moedas do real, que possuem 2
cm de dimetro.
Voc pode lanar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um
exemplo de lanamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com
quadrados de 3 cm de lado.
Como vimos nas regras do jogo, um lanamento (tambm denominado evento)
favorvel se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e no favorvel se tocar
ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como voc pode ver na figura a seguir, os
eventos C e D so favorveis, e os eventos A, B e E so no favorveis.
A
B
C D
E
Figura 7: Quadriculado com cinco lanamentos, sendo dois favorveis e trs no
favorveis
cm de dimetro.
Foto
s: P
aulo
Vas
ques
de
Mira
nda
Foto
s: A
fons
o Li
ma
/ S
XC
Foto
s: A
fons
o Li
ma
/ S
XC
Aps realizar os passos anteriores, est pronto o quadriculado formado por
quadrados de 3 cm de lado.
Com o auxlio da rgua e um esquadro (ou utilizando um par de esquadros), comece a construir o
quadriculado, traando segmentos de reta verticais e
horizontais, partindo dos pontos marcados na folha.
Material cartolina j recortada em 42 cm x 42 cm; rgua; par de esquadros; fita adesiva e lpis
Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construo
Marque, com o auxlio da rgua, pontos distantes 3 cm um do outro, ao
longo de duas bordas da folha (uma
horizontal e outra vertical).
18 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
Antes de iniciarmos os lanamentos, importante fazermos algumas reflexes. Faa a atividade a seguir e pense nas
questes propostas.
Foto
s: R
icar
do M
igue
l Car
rin
Carr
aced
o
htt
p://w
ww
.bcb
.gov
.br/
?REC
OLH
EMO
EDA
Foto
s: M
oham
ed A
ly
Jul
io C
ezar
Z
suzs
anna
Kili
an
San
ja G
jene
ro /
SXC
Foto
s: R
icar
do M
igue
l Car
rin
Carr
aced
o
htt
p://w
ww
.bcb
.gov
.br/
?REC
OLH
EMO
EDA
1 F
amli
a de
Moe
das
do R
eal
Valor Facial (R$)
Dimetro (mm)
Peso (g)
Espessura (mm)
Bordo Material
0,01 20,00 2,96 1,20 Liso Ao inoxidvel
0,05 21,00 3,27 1,20 Liso Ao inoxidvel
0,10 22,00 3,59 1,20 Liso Ao inoxidvel
0,25 23,50 4,78 1,40 Liso Ao inoxidvel
0,50 23,00 3,92 1,20 Liso Ao inoxidvel
1,00 24,00 4,27 1,20 Liso Ao inoxidvel2
Fam
lia
de M
oeda
s do
Rea
l
0,01 17,00 2,43 1,65 Liso Ao revestido de cobre
0,05 22,00 4,10 1,65 Liso Ao revestido de cobre
0,10 20,00 4,80 2,23 Serrilhado Ao revestido de bronze
0,25 25,00 7,55 2,25 Serrilhado Ao revestido de bronze
0,50 (1998 a 2001)
23,00 9,25 2,85 Legenda* Cupronquel
0,50 (2002 em diante)
23,00 6,80 2,85 Legenda* Ao inoxidvel
1,00 (1998 a 2001)
27,00 7,84 1,95Serrilha
intermitenteCupronquel (ncleo)
e Alpaca (anel)
1,00 (2002 em diante)
27,00 7,00 1,95Serrilha
intermitente
Ao inoxidvel (ncleo)e Ao revestidode bronze (anel)
* ORDEM E PROGRESSO BRASILFonte: Banco Central do Brasil
Multimdia
Em 1998, o Banco Central lanou a
2 famlia de moedas do Real. Em vez
do ao inoxidvel, que reveste a 1
famlia, as moedas da 2 famlia so
feitas de ao carbono, revestidas de
cobre ou lato, com exceo da mo-
eda de 50 centavos, que feita com
uma liga de cobre-nquel. A 2 famlia
de moedas tem cores, formatos e
tamanhos diferentes das moedas da
famlia anterior.
Veja, nas tabelas ao lado, as carac-
tersticas tcnicas que diferenciam
essas duas famlias de moedas.
Para obter mais informaes, voc
pode acessar o site:
Multimd
Foto
s: M
oham
ed A
ly
Jul
io C
ezar
Z
suzs
anna
Kili
an
San
ja G
jene
ro /
SXC
Atividade 2 Algumas questes para pensar
Como proceder com os lanamentos para que sejam aleatrios?
Um jogador, ao lanar uma moeda, chega bem perto e mira no centro de um quadrado. Seu lanamento aleatrio?
O que acontece se fizermos 1.000 lanamentos com uma moeda cujo di-
metro maior do que o lado do quadrado
do quadriculado?
Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda?
Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200 lanamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte
ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguais
e lanava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20
lanamentos, mas contou 200. Isso pode?
Se for vlido o lanamento de vrias moedas de uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em
um determinado lanamento, duas moedas ficarem so-
brepostas?
metro maior do que o lado do quadrado
Atividade 2
e lanava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20
lanamentos, mas contou 200. Isso pode?
Se for vlido o lanamento de vrias moedas de
uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em
um determinado lanamento, duas moedas ficarem so-
4. Estudo do jogo dos discos 19
AB
C D
E
As questes que voc acabou de responder tm a ver com aspectos comumente levan-
tados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e sempre bom refletir sobre
elas antes de iniciar o desenvolvimento deste contedo. Alm destes aspectos, h ainda
alguns pontos que desejamos relembrar com voc, antes de iniciarmos nosso experimento
propriamente dito. Vamos l?
Voc sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favorveis e
dividir esse nmero por todos os casos possveis.
No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um deter-
minado disco, devemos realizar um grande nmero de lanamentos com este disco, contar
quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lanamento favorvel)
e dividir esse nmero de lanamentos favorveis pelo nmero total de lanamentos reali-
zados. O resultado dessa diviso uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho
com o disco em questo.
Por exemplo, a figura ilustra um lanamento aleatrio de 5 moedas idnticas de 10 cen-
tavos num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situao, podemos estimar
a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos,
calculando a razo entre os lanamentos favorveis (C e D)
e o total de lanamentos (A, B, C, D e E).
Na situao da figura acima, a probabilidade aproxima-
da de ganho com a moeda de 10 centavos :
20,4%
5
lanamentos favorveisp
total de lanamentos= = = ou 40%
A probabilidade de ganho com um disco depende do
seu dimetro. Indicando o dimetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p ser uma
funo de d, e, assim, escrevemos ( )p d .
Foto
s: A
fons
o Li
ma
/ S
XC
Resposta comentada
Sentiu alguma dificuldade para responder s questes
anteriores? Ento preste ateno nas explicaes a seguir.
Perceba que, se a moeda for lanada horizontalmente e a
certa distncia do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar
que o lanamento aleatrio. A distncia no precisa ser
muito grande. Deve-se evitar mirar em um quadrado, ou
deixar cair verticalmente a moeda. prefervel que no se-
jam colocados obstculos nos lados
do quadriculado e nem colocar o
quadriculado junto a paredes.
Observe tambm que, ao lanar
uma moeda ou um disco com dimetro maior do que o lado
dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocar algum
lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha.
importante que a espessura das linhas do quadriculado
seja a mais fina possvel, caso contrrio o tamanho dessa
espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do
jogador. No Ciclo 2, esta questo ser tratada com maior
profundidade.
Para acelerar a contagem, voc pode lanar vrias moe-
das ou discos idnticos de uma s vez, desde que haja um
razovel espalhamento. Se dois discos carem sobrepostos,
pode-se retirar o de cima e fazer novo lanamento apenas
com ele.
20 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de dimetro, na situao da
Figura 7 temos ( )2 40%p .Mas ser que essa informao corresponde realidade? Em breve, voc ir descobrir.
Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de ( )p d para
outros valores de d. Deste modo, voc pode fazer outros lanamentos com moedas de 25
centavos da segunda famlia de moedas do real, que possuem 2,5 cm de dimetro,
com botes idnticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de dimetro, e com botes
idnticos de roupinhas de beb, com cerca de 0,8 cm de dimetro.
Agora sim! Na atividade a seguir, voc vai fazer o experimento por completo. Faa
a atividade com cuidado e ateno. No se esquea que tudo deve ser registrado.
A atividade experimental de lanamentos de moedas e botes em uma cartolina
quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, tambm foi realizada pela equipe
do Matem@tica na Pr@tica.
Atividade 3 Costurando conhecimento
Com o quadriculado sugerido anteriormente (com qua-
drados de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42
cm x 42 cm), faa 200 lanamentos com cada um dos quatro
tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas
de 10 centavos, botes idnticos de camisa e botes idnticos
de roupinhas de beb).
Com isso, voc ir estabelecer a relao existente entre
o dimetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar,
lanando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm
de lado.
Lembre-se de que, ao lanarmos 200 vezes um disco de
dimetro d, a probabilidade estimada ( )p d de ganho com o
disco :
( ) 200
nmero de lanamentos favorveisp d
Deste modo, siga as instrues passo a passo:
1 passo Realize um lanamento com dez moedas de 10
centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de dimetro).
Repita esse procedimento 20 vezes.
Sugerimos, para esse incio do experimento, organizar
os dados na tabela a seguir. Aps registrar os dados obtidos,
calcule a probabilidade de ganho com essa moeda.
Tabela 1: Dados obtidos no lanamento das moedas de 10 centavos
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis
Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas
Wag
ner M
eira
Be
Foto
s: D
anie
l Wild
man
J
ohn
Net
tles
hip
S
lavo
mir
Ulic
ny
Tro
y N
ewel
l
Fau
sto
Gili
bert
i
Pam
Rot
h /
SX
C
Pau
lo V
asqu
es d
e M
iran
da
Wag
ner M
eira
Be
Ric
ardo
Mig
uel C
arri
n C
arra
cedo
Atividade 3
4. Estudo do jogo dos discos 21
2 passo Prossiga a experincia, fazendo lanamentos
simultneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5
cm de dimetros).
Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir
e no se esquea de calcular a probabilidade de ganho com
essa moeda.
Tabela 2: Dados obtidos no lanamento das moedas de 25 centavos
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis
Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas
3 passo Faa agora lanamentos simultneos, utilizando
dez botes de camisa idnticos (discos com cerca de 1,1 cm
de dimetro).
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de
ganho com esse boto.
Tabela 3: Dados obtidos no lanamento dos botes de camisa
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis
Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas
22 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
4 passo Finalmente, faa lanamentos simultneos, utili-
zando dez botes de roupinha de beb idnticos (discos com
cerca de 0,8 cm de dimetro).
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de
ganho com esse boto.
Tabela 4: Dados obtidos no lanamento dos botes de roupinhas de beb
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis
Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas
Imaginamos que voc, professor, realizou todos os passos
indicados anteriormente. Sugerimos, ento, organizar os
dados em outra tabela, como a que est a seguir:
Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lanamentos experimentais de discos com dimetros variados
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo de disco
Dimetro (cm)
Quant. de lanamentos
Eventos favorveis
Probabilidade de ganho
Agora, responda:
Qual foi a probabilidade encontrada no lanamento de 200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor
encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados esto
muito diferentes? Por que isso aconteceu?
Como voc pode decidir se 200 lanamentos so su-ficientes para obter uma preciso de uma casa decimal no
valor de ( )p d ? No seriam necessrios mais lanamentos?
Ser que 100 lanamentos no seriam suficientes?
Imaginamos que voc, professor, realizou todos os passos
4. Estudo do jogo dos discos 23
Imagine que voc est realizando esse experimento em sala de aula. Um dos seus estudantes, ao
lanar os discos no tabuleiro, conjecturou que
essa probabilidade seria a razo entre a rea
da superfcie do disco pela rea do quadrado.
Com os conhecimentos obtidos at o momento,
como ser possvel ver se o estudante fez uma
boa conjectura?
Que dificuldades podemos encontrar para medir o dimetro de uma moeda ou de botes, usando uma rgua?
Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Voc
pode fazer uma estimativa para o erro em seu mtodo de
medio?
Voc deve ter observado que o texto d a entender que, ao lanar discos em um quadriculado com quadrados
de 3 cm de lado, melhor escolher discos com dimetros
espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso?
Considerando que a probabilidade um quociente, qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor?
Resposta comentada
Agora, vamos responder s questes propostas:
1 O valor encontrado com o lanamento de 200 moe-
das provavelmente foi diferente daquele encontrado
na situao da Figura 7, com apenas 5 moedas. Difi-
cilmente, com 5 lanamentos, voc obtm uma boa
estimativa da probabilidade em questo.
2 Como no conhecemos o valor exato da probabilida-
de, no temos como precisar quantas casas decimais
Uma conjectura uma ideia baseada em suposies, com fundamento no ve-rificado, ou seja, no foi provada como verdadeira.
24 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
exatas encontramos com 200 lanamentos. Quanto
mais lanamentos fizermos com discos de um de-
terminado dimetro d, maiores sero as chances
de obtermos uma estimativa melhor de ( )p d . Esta
experincia, com grupos de estudantes que realiza-
ram essa atividade, sugere que 200 lanamentos
uma quantidade adequada. Voc, professor, tambm
pode investigar isto.
3 Os experimentos no confirmam essa conjectura. Por
exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio
1r = cm e quadrados de lado 3= cm, pela conjec-
tura do estudante teramos ( )
2
22 0,349
9
rp
= =
,
mas nos experimentos obtivemos (2) 0,135p .
4 Uma boa forma de medir dimetros de discos usar
um paqumetro. Se usarmos uma rgua numerada
com centmetros, a preciso obtida ser de 1 mm,
isto se a rgua foi bem fabricada. Uma
forma de melhorar essa preciso en-
fileirar dez discos, colocando-os bem
alinhados, medir o total dos dimetros
e dividir por 10. Isto d uma preciso
de 0,1 mm.
5 Geralmente, o conhecimento dos va-
lores assumidos por uma funo em
pontos bem espalhados em seu domnio
fornece uma boa ideia da funo.
6 Revendo a definio de probabilidade dada nesse
texto, vemos que ela um quociente em que o nume-
rador sempre menor que ou igual ao denominador.
Portanto, o maior valor possvel da probabilidade 1.
A probabilidade pode ser zero se no houver eventos
favorveis, pois nesse caso o numerador zero.
Os dados obtidos pela equipe esto organizados nas tabelas a seguir.
Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos
L Q F L Q F
1 10 4 11 10 3
2 10 1 12 10 1
3 10 2 13 10 2
4 10 1 14 10 0
5 10 1 15 10 1
6 10 1 16 10 2
7 10 0 17 10 2
8 10 0 18 10 0
9 10 3 19 10 2
10 10 1 20 10 0
T 100 14 T 100 13
L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis
Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas
Paqumetro um instrumento de pre-ciso para medio de espessuras, di-metros e pequenas distncias.
4. Estudo do jogo dos discos 25
Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lanamentos com moedas de
10 centavos, dos quais 14 13 27+ = foram favorveis, obtendo uma estimativa para a pro-
babilidade de ganho com esta moeda de:
270,135 13,5%
200
nmero de eventos favorveis
nmero total de eventos= = =
Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de dimetro, a equipe do
Matem@tica na Pr@tica obteve
(2) 0,135p
O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que tm 2,5 cm de dimetro,
com botes de camisa de 1,1 cm de dimetro e com botes de roupinha de beb de 0,8
cm de dimetro. Foram feitos 200 lanamentos para cada tipo de disco, e os resultados
obtidos esto dispostos na tabela a seguir.
Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica.
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo de disco
Dimetro (cm)
Quant. de lanamentos
Eventos favorveis
Probabilidade de ganho
Botozinho 0,8 200 117 0,585 58,5%=
Boto 1,1 200 78 0,39 39%=
Moeda R$ 0,10
2,0 200 27 0,135 13,5%=
Moeda R$ 0,25
2,5 200 10 0,05 5%=
Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Ma-
tem@tica na Pr@tica obteve as seguintes estimativas:
(0,8) 0,585p
(1,1) 0,39p
(2) 0,135p
(2,5) 0,05p
Retomando nosso estudo...
Agora que voc j percebeu que existe uma relao entre o dimetro do disco e a pro-
babilidade de ganho com este disco, podemos caminhar na direo da questo levantada
pelo professor de Matemtica para os formandos da escola:
Vocs s precisam tomar cuidado na hora de determinar o dimetro desses discos,
pois os convidados da festa somente iro se interessar pelo jogo se acharem que tm
chance de ganhar o prmio. Agora me digam: qual ser o dimetro ideal? Vamos resolver
este problema em sala de aula?
26 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
Nesta direo, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a
probabilidade de ganho de 50%, num quadriculado com quadrados de
3 cm de lado. Qual deve ser o dimetro do disco ?
J sabemos que devem ser considerados apenas dimetros entre 0 cm e 3 cm, corres-
pondentes a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. J que 50% ponto mdio entre
0% e 100%, a primeira ideia para o clculo desse dimetro considerar o ponto mdio de
0 cm e 3 cm, no acha professor? Sendo assim, o dimetro do disco que ofereceria uma
probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Ser que esta considerao est correta?
Os experimentos feitos at agora so suficientes para decidir isto?
Examinando a Tabela 7, fcil perceber que no. Os valores tabelados indicam que
o dimetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informao
mais precisa, voc pode fazer lanamentos com discos de dimetros intermedirios, por
exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento.
Existe outra forma de obter essa informao. Que tal fazer um grfico? isso mesmo,
podemos plotar os pontos ( ; ( ))d p d que j temos em um grfico. Supondo que o grfico da
funo ( )p d seja uma curva contnua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste
aos pontos plotados. Vamos fazer?
Atividade 4 Visualizando probabilidades
Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que voc
obteve na Tabela 5.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Resposta comentada
Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Ma-
tem@tica na Pr@tica, conforme Tabela 7.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Observe que o eixo horizontal deste grfico refere-se ao
dimetro d dos discos. Como nosso quadriculado feito de
quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3.
O eixo vertical deste grfico refere-se probabilidade ( )p d ,
Atividade 4
Ada
m C
iesi
elsk
i /
SXC
Plotar significa dese-nhar, especialmente um grfico, basean-do-se em informa-es fornecidas.
4. Estudo do jogo dos discos 27
O prximo passo desenhar a curva contnua que melhor se ajusta a esses pontos.
Depois de traar a curva, e isso ns vamos deixar por sua conta, voc vai observar que ela
no uma reta, parecendo ser parte de uma parbola com vrtice em (3;0). A partir da,
fica fcil descobrir o dimetro ideal dos discos para que o jogo seja justo.
que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for
expresso em porcentagem).
O grfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimen-
tos (ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no gr-
fico que no foram obtidos no experimento? A explicao
simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de dimetro, a
probabilidade de ganho do jogador 0. Por isto. acrescenta-
mos o ponto (3,0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admi-
tindo que se o disco tem dimetro 0, ento a probabilidade
de ganho total ( igual a 1). Portanto, no grfico mostrado
anteriormente foram marcados os pontos:
(0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0,05) (3;0)
Atividade 5
Utilize os eixos a seguir para fazer um esboo da curva
( )p d que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe
do Matem@tica na Pr@tica.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Agora, responda:
Qual deve ser o dimetro aproximado do disco, para uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%?
Voc se lembra de que as funes 2( )p d ad bd c= + + so as que possuem grfico na forma de uma parbola?
Vamos supor que o grfico seja, de fato, uma parbola, com
vrtice no ponto (3;0). Nestas circunstncias, encontre os
valores dos coeficientes a, b e c.
Resposta comentada
A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica
apresentada a seguir:
Atividade 5
28 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
10.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
7 Usando o grfico, podemos resolver o problema,
pensando de forma inversa, isto , qual deve ser a
abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5.
Observe que podemos traar uma linha horizontal
com ordenada 0,5 (essa a probabilidade de ganho
que desejamos). Ela toca o grfico em um ponto A.
Deste ponto, traamos uma linha vertical, que inter-
cepta o eixo das abscissas no ponto 0,9.
Veja:
A
0.50 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
1
0.8
0.6
0.40.5
0.2
-0.2
0
A
0.5
0.9
0 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
1
0.8
0.6
0.40.5
0.2
-0.2
0
Portanto, ser preciso um disco com 0,9 cm de dimetro
para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta
uma soluo aproximada.
8 Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun-
o 2( )p d ad bd c= + + . Assumindo que (0;3) o
vrtice da parbola, segue que 3d = uma raiz dupla
e a expresso de ( )p d se simplifica na forma 2 2( ) ( 3) 6 9p d a d ad ad a= = + . Como o grfico
passa pelo ponto (0;1), segue que 9 1a = e, conse-
quentemente, 1
9a = ,
2
3b = e 1c = .
SER QUE ESSE JOGO PODE SERVIR DE TRANSIO ENTRE
O ESTUDO DE FUNES LINEARES E FUNES
QUADRTICAS?
4. Estudo do jogo dos discos 29
5. Da cartolina para o cho da escolaProfessor, vamos agora variar nosso experimento?
Os lanamentos no jogo dos discos tambm podem ser realizados no cho da escola,
em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em reas pblicas so aqueles
feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experincia com esses pisos, podem ser
construdos discos de vrios dimetros. Uma forma cmoda comprar anis de vedao
de canos de esgoto, disponveis em lojas de material de construo em vrios dimetros.
Figura 8: CDs ou argolas tambm so boas opes de discos para tabuleiros de grandes dimenses
Figura 9: Os anis de vedao de canos de esgoto so timos discos
para o nosso jogo
Saiba Mais
Suponha que o jogo dos discos acontea em um quadriculado com os
quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura direita. Voc
acha que essa disposio acarreta resultados diferentes dos anteriores?
Como se pode verificar isso?
Uma forma de verificar fazer experimentos com esse novo quadriculado
e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os
quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado.
Mas, vamos pensar...
Imagine que a posio do disco, depois de lanado, depende apenas de seu centro. Isso bem razovel, pois
bastante provvel que o disco caia deitado. Assim, quando o disco lanado, podemos imaginar que seu centro
escolhe um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado).
Ento no importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relao ao que est abaixo ou acima.
No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro.
Saiba Mais
Paul
o V
asqu
es d
e M
irand
a Foto
s: M
igue
l Uga
lde
H
azel
Moo
re /
SXC
30 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I
ConclusoVoc gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso?
Entendemos que o jogo dos discos uma atividade prtica que aproxima os contedos
acadmicos do cho da escola. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os
estudantes, facilmente aplicvel pelo professor em sala de aula.
Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geomtrica. O jogo dos discos,
que acabamos de experimentar, apenas um exemplo. Voc pode pesquisar outros pro-
blemas interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplic-las com os
seus alunos.
No decorrer deste mdulo, voc tambm poder fazer uma interao do jogo dos
discos com o desafio dos polgonos regulares.
Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentao do jogo dos discos.
Esperamos que voc tenha gostado da nossa proposta.
At a prxima!
ResumoDurante este Ciclo:
Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lanar aleatoriamente discos em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos qua-
drados do quadriculado;
Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um quadrado depende do lado do quadrado e do dimetro do disco;
Construmos um grfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um trao que indica ser um pedao de parbola.
Por fim, atravs do grfico que representa a probabilidade em funo do dimetro do disco, vimos que possvel determinar a chance de o jogador realizar uma jogada
favorvel.
Informaes para o prximo cicloProfessor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abor-
dagem mais terica e obteremos uma expresso exata para a funo p(d).
Figura 10: Imagine s como ficaria
interessante o jogo dos discos em
um ladrilhamento hexagonal.
Paul
o V
asqu
es d
e M
irand
a
5. Da cartolina para o cho da escola 31
Svile
n M
ilev
/ S
XC
Ciclo II
Explorando o Jogo dos Discos
Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos.
No Ciclo 1 voc experimentou o jogo dos discos e percebeu como ele pode ajud-lo a pensar sobre probabilidade e a trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo vamos desenvolver uma abordagem mais terica para o jogo dos discos, explorando questes ligadas probabilidade geomtrica.
Para comear, reflita sobre as seguintes questes:
Como podemos construir uma anlise matemtica mais elaborada para o jogo dos discos?
Como podemos obter uma expresso algbrica para a probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da geometria de seus elementos?
De que forma a articulao entre uma abordagem experimental e uma abordagem terica pode enriquecer suas aulas de probabilidade?
O QUE VOC ACHOU DO CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS?EU ADOREI ESSA PROPOSTA DE ENSINAR MATEMTICA
ATRAVS DE EXPERIEMENTOS.
OI, MEU NOME JOS E EU TAMBM ESTOU
FAZENDO MATEM@TICA NA PR@TICA.
ACHO QUE VOU APROVEITAR ESSA IDEIA E CRIAR UM PROJETO SOBRE O DESAFIO DO JOGO
DOS DISCOS L NA ESCOLA
lEMBRA QUE CONSTRUMOS UM QUADRICULADO COM 3 CM DE LADO? DEPOIS FIZEMOS VRIOS LANAMENTOS COM MOEDAS E
BOTES DE DIVERSOS DIMETROS?
COM ESSE GRFICO CONSEGUIMOS
DETERMINAR O DIMETRO APROXIMADO DO DISCO
PARA UMA PROBABILIDADE
DE 50%.
DETERMINAMOS A PROBABILIDADE APROXIMADA DAS
MOEDAS E BOTES FICAREM DENTRO DE UM QUADRADO EM LANAMENTOS
ALEATRIOS NO QUADRICULADO.
MAS, QUE TAL RELEMBRARMOS RAPIDAMENTE O
QUE FIZEMOS NO CICLO 1?
DEPOIS, COM OS DADOS OBTIDOS,
CONSTRUMOS O GRFICO DA PROBABILIDADE EM FUNO DO DIMETRO
DO DISCO.
MAS... E AGORA?O QUE SER QUE
NOS ESPERA PARA O CICLO 2?
ESSA ATIVIDADE FOI BEM LEGAL!
1. Recapitulando
1. Recapitulando 35
Figura 1: A imagem do lanamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favorveis (indicadas por setas), onde os discos esto inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e
jogadas no favorveis, onde os CDs esto sobrepostos borda do ladrilhamento
A histria em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentao do
jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questes
especficas que foram trabalhadas?
Estas questes nos ajudaro a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste
Ciclo 2.
No Ciclo 1 vimos a histria de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino
Mdio que precisava arrecadar fundos para a realizao da sua festa de formatura e pediu
ajuda ao professor de Matemtica da escola... Voc lembra qual foi a sugesto do professor
para a turma de formandos?
Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa
da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lanamentos de discos e receberiam
prmios pelos lanamentos favorveis.
Mas voc lembra o que um lanamento favorvel?
No jogo dos discos, um lanamento considerado favorvel quando o disco, lanado
aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem
tocar ou ficar sobreposto s linhas do quadriculado.
Assim, na histria dos formandos, se o participante fizesse um lanamento favorvel,
ele lucraria. Se, ao contrrio, no conseguisse fazer este tipo de lanamento, os formandos
lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura.
O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o
ptio e mostrou que o cho era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse
modo, a turma s precisaria construir os discos.
Mas qual o dimetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes
teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que voc resolvesse essa mesma questo dos
estudantes formandos...
Mig
uel U
gald
e /
SXC
E
quip
e do
Mat
em@
tica
na P
r@tic
a
36 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
... e para resolver voc fez vrios experimentos lanando discos de dimetros varia-
dos em um plano quadriculado. Ao comparar esses lanamentos, foi possvel entender,
experimentalmente, como o dimetro do disco influencia na probabilidade de ele cair
inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado.
No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos
quadrados de um quadriculado depende no s do dimetro do disco, mas tambm do
lado do quadrado.
Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 ser de grande importncia na nova abor-
dagem que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso comeamos com esta recapitulao!
Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algbrico ao jogo dos discos,
resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente.
Agora que nossa memria foi atiada, vamos pensar sobre a nova abordagem que
iremos desenvolver no Ciclo 2?
2. O que h de novo neste Ciclo?Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lanamento ser
favorvel no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geomtrica.
No Ciclo 1 voc obteve, atravs de experimentos, estimativas para a probabilidade de
lanamento favorvel no jogo dos discos em funo do dimetro. Neste Ciclo iremos fazer
uma abordagem terica para obter uma frmula algbrica exata para essa funo ( ( ))p d .
Voc deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem terica se j resolve-
mos o problema experimentalmente?
A abordagem terica ir fornecer uma expresso exata para a funo probabilidade, e
no estimada, como no mtodo experimental. Alm disso, a teoria pode evitar a necessi-
dade da construo do experimento. No o nosso caso, mas um experimento pode ser
muito custoso. Lembramos que a expresso exata pode conter parmetros (como o lado
varivel do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do
jogo dos discos em qualquer quadriculado.
Mas como faremos isso?
J que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratgia de reso-
luo, que voc tambm pode adotar com seus estudantes.
ETAPA Para resoluo do problema
Wag
ner M
eira
Be
D
eniz
Ong
ar /
SXC
2. O que h de novo neste Ciclo? 37
Estratgia para resoluo de problemas
Identificar o problema e formular o que desejamos saber.
Procurar, selecionar e interpretar informaes relativas ao problema.
Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas.
Validar a interpretao recorrendo a informaes conhecidas.
Aplicar a teoria e interpretar o problema atravs de linguagem
adequada (funes, frmulas, grficos, tabelas, etc.)
Utilizar o modelo construdo para explicar, fazer previses, etc.
p(d)
P
00
1
10 20 30
d
0
L
02
04
06
08
1
Den
iz O
ngar
/ S
XC
Ove
Tp
fer
/ SX
C
Mig
uel U
gald
e /
SXC
H
arris
on K
eely
/ S
XC
Gui
llerm
o A
lvar
ez /
SXC
38 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Essa foi a estratgia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebrica-
mente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que voc se identifique com ela!
Ao longo desse desafio, voc encontrar as imagens acima nas margens de algumas
pginas. Essas imagens indicaro as etapas da resoluo do problema pela qual voc estar
passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificao e formulao do
problema, j apareceu... Volte algumas pginas e a encontre. Ela est mostrando exata-
mente qual o problema que iremos resolver!
Ento, vamos comear a pensar sobre este problema?
3. Posicionamento dos discos no quadriculadoVoc deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que ns mesmos construmos. No entanto,
na sugesto do professor de Matemtica para a turma de formandos, o quadriculado era
o prprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado.
Foto
s: P
aulo
Vas
ques
Mira
nda
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por
quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos
quadrados do quadriculado? Isto , como podemos generalizar a probabilidade do jogo
dos discos?
A generalizao em Matemtica fundamental quando pretendemos validar os dados
obtidos a partir de um determinado experimento. Este um aspecto muito importante da
Matemtica que merece ser trabalhado com os alunos da Educao Bsica, voc no acha?
Neste Ciclo buscaremos essa generalizao. Ou seja, mais uma novidade desta aborda-
gem! Esperamos que voc consiga aproveit-la em sua sala de aula.
Mas vamos por partes...
Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrer em um plano quadriculado com
quadrados, todos de mesmo lado L.
Figura 2: Ao generalizar nosso estudo, L pode ter qualquer valor
Figura 3: Impossvel fazer uma cesta com uma bola
maior do que o aro
LL
Vamos refletir sobre a relao entre o tamanho do lado
do quadrado L e o dimetro do disco lanado d?
Para entendermos a probabilidade de lanamentos favorveis em um quadriculado
qualquer, precisamos pensar no dimetro do disco que ser lanado. A probabilidade p
de um lanamento aleatrio ser favorvel uma funo do dimetro d do disco que est
sendo lanado e depende tambm do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indica-remos esta funo probabilidade por ( )p d .
O tamanho L, neste caso, funciona como um parmetro da funo ( )p d .
Uma informao obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com
dimetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa
caracterstica nunca proporcionaro jogadas favorveis em lanamentos aleatrios, pois
sempre tocaro as linhas do quadriculado. Na lgica matemtica, esse fato representado
pela seguinte sentena:
se d L , ento ( ) 0p d =
Fica claro, ento, que os valores interessantes para o dimetro d esto no intervalo
0 d L < . Lembre-se de que, quando d L= , a jogada nunca favorvel, e, portanto, ( ) 0p L = .
Ento, professor, qual a condio geomtrica para que um disco de dimetro d esteja
contido num quadrado de lado L?
Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema,
sem nos preocuparmos se o lanamento ou no favorvel.
Imagine a figura de um disco que foi lanado e est parando sobre um dos quadrados
Maa
rten
Uile
nbro
ek /
SXC
Mic
hael
Fae
s /
SXC
40 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Figura 4: Exemplos de discos de dimetro d confinados em um quadrado de lado L. d/2
L
do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posies poss-
veis, tocando ou no as bordas do quadrado.
Observando a Figura 4, voc consegue visualizar que a localizao do centro de um
disco confinado no quadrado determina a posio desse disco no quadrado?
Em nossa abordagem terica, podemos considerar que lanar um disco em um quadri-
culado o mesmo que lanar um ponto (que o centro do disco) em qualquer um dos
quadrados do quadriculado.
Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande nmero desses discos lana-
dos no interior do quadrado do quadriculado, voc consegue observar que seus centros
geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor?
Voc saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em funo do lado L do
quadrado do quadriculado e do dimetro d do disco?
ETAPA Para resoluo do problema
Gui
llerm
o A
lvar
ez /
SXC
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 41
Atividade 1 Que quadrado menor esse?
Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado
do quadrado menor formado pelos centros dos discos de
dimetro d confinados no quadrado de lado L.
L
d/2
Resposta comentada
A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos
discos de dimetro d confinados em um quadrado de lado
L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado
menor do que L.
L
d/2
L-dd2
d2
Note que a distncia entre o lado do quadrado menor e
o lado paralelo mais prximo do quadrado maior tem a
mesma medida do raio do disco, que 2
d, e, portanto, o lado
do quadrado menor 2 2
d dL L d = .
Atividade 1
Voc j conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior
pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos
pensar sobre isso...
4. Probabilidade geomtricaPara discutirmos a relao entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de
probabilidade geomtrica. Voc o conhece?
Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge
a superfcie S do planeta em um ponto aleatrio.
Fotos: Henry Hingst Lars Sundstrom / SXC
42 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
AB
Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfcie terrestre formada pelos
oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme :
1 14
4
Ssuperfcie terrestre formada por terra firme
superfcie total da Terra S =
Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geomtrica.
Como voc pode ver na figura ao lado, se tivermos uma regio B do plano contida em
uma regio A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse
ponto pertena a B :
rea de Bp
rea de A=
Este conceito de probabilidade geomtrica se aplica mesmo quando a rea de regio
B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc.
Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de-
pende apenas da rea da superfcie do planeta coberta por terra e da rea total do planeta.
O conceito de Probabilidade Geomtrica pouco trabalhado no Ensino Mdio. Na
escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas contagem de
casos favorveis e casos possveis. Porm, o trabalho com Probabilidade Geomtrica pode
ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conheci-
mentos geomtricos.
ETAPA Para resoluo do problema
Considerando este conceito, voc consegue deduzir qual seria a
Probabilidade Geomtrica de um lanamento favorvel?
Aplicando o conceito de probabilidade geomtrica ao jogo dos discos para 0 d L < , a
regio A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a regio B corres-
ponde ao interior do quadrado de lado L d , ou seja, regio dos lanamentos favorveis.
Quando 0d = , o disco um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L, que nesse
caso corresponde regio B.
Observando que a rea de um quadrado igual rea de seu interior, vemos que a
probabilidade de um lanamento ser favorvel :
Ove
Tp
fer
/ SX
C
Maa
rten
Uile
nbro
ek /
SXC
4. Probabilidade geomtrica 43
Atividade 2 Descobrindo a expresso polinomial da funo p (d)
Voc acabou de descobrir que os centros dos discos de
dimetro d, no interior de um quadrado de lado L, onde
d L< , geram outro quadrado de lado L d .
Utilizando essa informao e o conceito de probabilida-
de geomtrica, obtemos:
2
2
( )( )
rea do quadrado de lado L d L dp d
rea do quadrado de lado L L
= =
Agora desenvolva ao mximo essa frmula e tente des-
cobrir a expresso polinomial da funo ( )p d .
Resposta comentada
Desenvolvendo ( )p d , temos:
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 1 2 11
L d L Ld d L Ld d d d
L L L L L L L
+= = + = +
da,
22
1 2p(d)= d - d+1
L L
Portanto, ( )p d uma funo quadrtica da forma 2( )p d ad bd c= + + , com
2
1a
L= ,
2b
L= e 1c = .
ETAPA Para resoluo do problema
Atividade 2
( )rea do quadrado de lado L d
p drea do quadrado de lado L
=
Nessa frmula, L um parmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadricu-
lado, e d uma varivel que corresponde ao dimetro do disco lanado, como explicamos.
Quer ver mais claramente que tipo de funo ( )p d ?
Mig
uel U
gald
e /
SXC
Ada
m C
iesi
elsk
i /
SXC
44 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Figura 5: Grfico de ( )p d .
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0d
p
L
Com essa atividade, pudemos perceber que ( )p d uma funo quadrtica. Esse tipo de
funo trabalhado com frequncia no Ensino Mdio. O jogo dos discos uma ferramen-
ta interessante para voc desenvolver esse tipo de funo com seus estudantes de forma
contextualizada e significativa.
No jogo dos discos, temos uma funo quadrtica na varivel d:
2 22 2
1 2 1( ) 1 ( )p d d d L d
L L L= + =
com (0) 1p = e ( ) 0p L = .
Note que d L= uma raiz dupla dessa funo. Assim, o grfico de ( )p d parte de uma
parbola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa
d L= .
J vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando voc construiu um grfico como este
a partir do lanamento de discos com dimetros variados, lembra? Repetimos na figura
anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado.
Agora que voc conhece a expresso polinomial da funo ( )p d , que nesse caso uma
funo quadrtica, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos
de vrios dimetros e comparar com os valores assumidos pela funo ( )p d para esses
mesmos dimetros.
4. Probabilidade geomtrica 45
Atividade 3 Valores exatos para a probabilidade
Vamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi-
mentos com um quadriculado com quadrados de
3 cm de lado ( 3)L = . Nossos primeiros lanamen-
tos foram feitos com uma moeda de dez centavos,
com dimetro de 2 cm ( 2)d = .
Expresse a funo ( )p d nesse caso e calcule o valor exato
da probabilidade de uma jogada favorvel para 2d = .
Resposta comentada
Utilizando a expresso polinomial que deduzimos ante-
riormente e considerando 3L = , obtemos:
2 22
1 2 1 2( ) 1 1
9 3p d d d d d
L L= + = +
Calculando o valor assumido por ( )p d quando 2d = ,
obtemos:
1 2 1(2) 4 2 1 0,111
9 3 9p = + =
Portanto, para um disco com dimetro de 2 cm e um
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabili-
dade de uma jogada favorvel exatamente 1
9 (a cada 9
lanamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorvel), ou,
aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade
de aproximadamente 11%.
Atividade 3
Ada
m C
iesi
elsk
i -
Afo
nso
Lim
a /
SXC
Agora que j encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorvel a partir de
uma abordagem terica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade expe-
rimental obtida no Ciclo 1.
5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica
A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos expe-
rimentalmente a probabilidade de um lanamento favorvel de uma moeda de 2 cm de
dimetro lanada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado.
46 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Figura 6: Alguns lanamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1.
Voc lembra que a probabilidade experimental :
( )quantidade de lanamentos favorveis
p dquantidade total de lanamentos
=
L fizemos 200 lanamentos com a moeda e obtivemos 27 lanamentos favorveis,
resultando numa probabilidade estimada de
27(2) 0,135
200p = .
Neste Ciclo, atravs da probabilidade terica ou geomtrica, obtivemos, por meio da
funo quadrtica, o valor exato:
(2) 1/ 9 0,111p =
Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser
considerado. Este erro pode ser calculado pela diferena positiva entre o valor exato e o
experimental, ou seja:
experimental exato( ) ( )E p d p d=
Nesse caso:
1135 0,0238
9E =
Foto
s: A
fons
o Li
ma
/ S
XC
Ilker
/ S
XC
5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 47
Atividade 4 Calculando erros
Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os
dados que voc obteve no Ciclo 1 ao lanar moedas e botes
no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em segui-
da, assumindo 3L = na expresso exata de ( )p d , preencha
a prxima coluna com os valores exatos da probabilidade.
Compare os resultados e preencha a coluna dos erros.
Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental com a probabilidade exata e estimando o erro
Tipo de disco
Dimetro cm
Prob
abili
dade
ex
peri
men
tal
Prob
abili
dade
ex
ata
Erro
Boto de roupinha de
beb
Boto camisa
Moeda R$ 0,10
Moeda R$ 0,25
Atividade 4
Foto
s: T
erri-
Ann
Han
lon
D
avid
Siq
ueira
/ S
XC
Ou seja, temos um erro menor do que 3%.
Professor, por que existe essa diferena?
O mtodo experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois
leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que dada pelo nmero de lan-
amentos que fizemos. J o conceito de probabilidade geomtrica considera como pos-
sibilidades um conjunto infinito de pontos, que medido pela sua rea, servindo como
referncia para o valor exato da probabilidade em questo.
Agora voc j capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorvel com
a probabilidade experimental encontrada usando como referncia a expresso polino-
mial de ( )p d . Com isto, voc pode validar ou no a abordagem terica, utilizando os
resultados j conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens.
A atividade a seguir bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus
alunos. Nela, voc pode calcular a probabilidade exata para lanamentos de discos de di-
ferentes dimetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( 3)L = . E ainda pode comparar
com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental
e a probabilidade exata.
ETAPA Para resoluo do problema
p(d)
P
00
1
10 20 30
d
0
L
02
04
06
08
1
48 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi apli-cado em seu piso, formado por peas quadradas de 30
cm de lado. Os estudantes lanaram discos de borracha
de vrios dimetros e obtiveram as probabilidades dis-
postas na tabela (ii).
Sua tarefa completar essa tabela, comparando a
probabilidade exata com a experimental e calculando
o erro.
Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula
Dimetro (cm)
Probabilidade experimental
Probabilidade exata
Erro
4 0,755 75,5%=
6 0,685 68,5%=
8 0,62 62%=
10 0,5 50%=
12 0,38 38%=
14 0,32 32%=
Resposta comentada
Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar descobrir qual o valor da probabilidade exata para
cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que: 2
2
1 2( ) 1p d d d
L L= + . Como o lado do quadriculado
igual a 3 cm ( 3)L = , a expresso da probabilidade exata
:
2 22
1 2 1 2( ) 1 1
(3) (3) 9 3p d d d d d= + = +
Imaginando um boto de roupinha de beb de
0,8 cm de dimetro, o valor exato determinado da
seguinte forma:
2 21 2 1 2( ) 1 (0,8) (0,8) 1 0,53777...9 3 9 3
p d d d= + = + =
Para esse mesmo boto, a equipe do Matem@tica
na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma
probabilidade de 0,585. Repare que o valor que voc
obteve pode ter sido um pouco diferente!
Agora j podemos comparar as duas probabilidades
para o boto de 0,8 cm, calculando o valor do erro.
Neste caso, o erro aproximado :
experimental exato( ) ( ) 0,585 0,538 0,047 0,05E p d p d= =
Novamente, repare que a sua probabilidade experi-
mental pode ter sido diferente e, ento, seu erro ser Adam
Cie
siel
ski
/ SX
C
Dam
ion
Mor
gan
/ S
XC
5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 49versus
tambm um pouco diferente, j que ele depende da
probabilidade experimental!
Seguindo esse mesmo raciocnio, preenchemos a
tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do
Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma:
Tipo de disco
Dimetro cm
Probabilidade experimental
Probabilidade exata
Erro
Boto de roupinha de beb
0,8 0,585 0,538 0,05
Boto de camisa
1,1 0,39 0,401 0,01
Moeda de R$ 0,10
2,0 0,135 0,111 0,02
Moeda de R$ 0,25
2,5 0,05 0,027 0,02
O raciocnio desta resposta bem parecido com o anterior. O que muda em relao ao item (a) que o
piso da escola formado por quadrados de 30 cm de
lado. Logo, se 30L = , a expresso exata da probabilidade
diferente da que foi encontrada no item (a), pois:
2 22
1 2 1 1( ) 1 1
(30) (30) 900 15p d d d d d= + = +
Considerando um disco de 4 cm de dimetro, o valor
exato da probabilidade pode ser calculado de forma
anloga ao anterior:
( ) 21 1 1694 (4) (4) 1 0,75111...900 15 225
p = + = =
Para esse disco obtivemos em nossos experimentos
uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos
comparar as probabilidades calculando o valor do erro:
0,755 0,751 0,004E =
Seguindo esse mesmo raciocnio, voc deve ter pre-
enchido a tabela (ii) da seguinte forma:
Dimetro (cm)
Probabilidade experimental
Probabilidade exata
Erro
4 0,755 75,5%= 0,751 0,004
6 0,685 68,5%= 0,640 0,045
8 0,62 62%= 0,540 0,082
10 0,5 50%= 0,450 0,050
12 0,38 38%= 0,360 0,020
14 0,32 32%= 0,284 0,036
Agora que j aprendemos a calcular a probabilidade de um lanamento favorvel ( )p d
a partir do dimetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questo trazida
pelo professor de Matemtica aos formandos da escola l do Ciclo 1.
Voc lembra que, na situao-problema de uso do jogo dos discos como forma de ar-
recadar fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o dimetro do disco
em funo de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um
certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores.
Ao retomar esta questo estaremos avanando em nossos estudos. Vamos utilizar todo
o conhecimento desenvolvido at agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem terica
a esta situao-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Proba-
bilidade Geomtrica e sobre a frmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade
exata de lanamentos no jogo dos discos...
... e vamos relacionar este conhecimento situao-problema levantada pelo professor
de Matemtica.
50 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
Parece muita coisa de uma vez? Ento, vamos devagar...
Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o dimetro d a partir de uma
dada probabilidade p. Note que a situao-problema levantada pelo professor da turma
de formandos inverte o que vnhamos fazendo, pois at agora sempre calculamos p a
partir de d.
Para resolvermos uma situao-problema como esta, temos que olhar a expresso
obtida para ( )p d : 2
2
1 2( ) 1p d d dL L
= +
Isolando d nessa expresso, podemos encontrar o dimetro do disco a partir de uma
dada probabilidade p. Esta conta fica mais fcil se partimos da definio de probabilidade
geomtrica dada pelo quociente de reas:
2
2
( )L dp
L
=
Manipulando esta equao temos 2 2( )p L L d= . Extraindo a raiz quadrada em ambos
os lados, vamos encontrar L p L d= . Finalmente, isolando o dimetro d obtemos:
( )1d L p=
Esta a frmula do dimetro do disco em funo da probabilidade requerida, tendo
como parmetro o lado L do quadriculado.
Por exemplo, fixado 3L = , se quisermos uma probabilidade de 50%, isto , 0,5p = , o
dimetro precisa ser:
( )3 1 0,5 0,88d =
Note que esse valor terico e exato muito prximo do valor experimental 0,9d
obtido para esta mesma situao, no Ciclo 1.
Usando este procedimento, voc pode descobrir a medida ideal do dimetro do disco
para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%,
80%... Enfim, voc quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a
situao-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade
deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje
os jogadores a participar do jogo dos discos!
Com as informaes e expresses encontradas at aqui, os formandos j poderiam
decidir o valor do dimetro dos discos que utilizaro no jogo do ptio da escola.
ETAPA Para resoluo do problema
Har
rison
Kee
ly /
SXC
H
arris
on K
eely
/ S
XC
5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 51
Com o auxlio do conceito de Probabilidade Geomtrica, podemos abordar outras
situaes em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos qua-
drados do quadriculado.
Veremos isso na prxima seo.
6. Nem tudo so parbolasImagine a seguinte situao:
Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns
de 12 cm de dimetro. Decidiram, depois de muita discusso, que o jogo deve ter uma
Atividade 5 Um estudante esperto...
Imagine que, em uma aula de Matemtica, na qual o
professor j vinha usando o jogo dos discos para explicar
o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual
seria o dimetro do disco correspondente a uma probabilida-
de de 40% para um lanamento favorvel, em um piso com
quadrados de 30 centmetros de lado.
Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estu-
dante respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse di-
metro est entre 10 cm e 12 cm. Se voc fosse esse professor,
como verificaria se essa resposta est correta?
Considere, em sua resposta, que na aula passada os
alunos construram e copiaram em seu caderno a tabela a
seguir, aps jogarem discos de diferentes dimetros no piso
da sala.
Dimetro (cm) Probabilidade experimental
4 0,755 75,5%=
6 0,685 68,5%=
8 0,62 62%=
10 0,5 50%=
12 0,38 38%=
14 0,32 32%=
Resposta comentada
Provavelmente, o estudante que respondeu de bate-
-pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno,
a tabela feita na aula passada. E viu que o dimetro estaria
entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectiva-
mente s probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, no?
Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula
tm lados iguais a 30 cm, ento o dimetro d que resulta em
uma probabil idade de 40% determinado por:
( )1d L p= . Substituindo os valores da probabilidade e do
lado, temos: ( )30 1 0,4 11,03d = . Esta uma outra for-
ma de verificar que a resposta que o estudante deu est
correta.
Atividade 5
Pam
Rot
h /
SXC
52 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II
probabilidade de 40% para um lanamento favorvel ao jogador. Depois disso, alguns
estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo.
Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado?
Para responder isso, precisamos calcular a funo que fornece a probabilidade de uma
jogada favorvel tendo como varivel o lado do quadrado do quadriculado.
A funo que estamos procurando obtida substituindo o valor 12d = dos dimetros
dos CDs na definio de probabilidade geomtrica dada pelo quociente de reas:
2
2
( )L dp
L
=
Com isso, temos:
2 2
2 2 2
( 12) 24 144 1 1( ) 1 24 144
L L Lp L
L L L L
+= = = +
Note que essa funo bem definida para qualquer 0L . Porm, no interessa o caso
em que o lado dos quadrados do quadriculado menor do que o dimetro dos CDs, certo?
Logo, no faz sentido para o problema valores 12L .
Diferentemente de ( )p d , a expresso ( )p L no polinomial, e sim o quociente de duas
funes quadrticas. Voc observou que, quanto maior for L, mais prximo de 1 estar
p? O grfico a seguir, da funo ( )p L , nos mostra esse fato. Note que esse grfico no
parte de uma parbola.
Qual ser a medida do lado dos quadrados desse quadriculado para resultar em uma probabilidade de ganho de 40% favorvel ao jogador?
6. Nem tudo so parbolas 53
Figura 7: Grfico da probabilidade de uma jogada favorvel em funo do lado dos quadrados do quadriculado.
0
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
p
L
Afonso Lima / SXC
Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade
de 40% favorvel ao jogador, basta resolver a equao
( ) 20,45
p L = = , ou seja, 2
2 1 11 24 144
5 L L= + .
Multiplicando esta equao por 25L e cancelando os denominadores, obtemos a se-
guinte equao de segundo grau: 2 22 5 120 720L L L= + .
Ou, equivalentemente,
2 40 240 0L L + =
Esta equao apresenta as seguintes solues:
20 4 10 7,35L = e 20 4 10 32,65L = +
Descartamos a primeira soluo por ela ser menor do que 12.
Assim, a partir desses clculos, os alunos descobrem que poderiam utilizar um quadri-
culado com quadrados de 32,6 cm de lado.
7. Lucrando com o jogo dos discosVamos retomar a situao do jogo dos discos apresentada no Ciclo 1, onde os estudan-
tes de uma turma decidiram montar uma barraquinha na festa da escola. O objetivo dessa
barraquinha era arrecadar fundos para a formatura da turma, a partir do jogo dos discos.
J trabalhamos neste Ciclo com esta situao-problema para calcul