Joaquim Neto [email protected] neto · Modelos discretos Distribui˘c~ao geom etrica Exemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado sem aforo aberto e igual a 20%

Modelos discretos e contınuos

Joaquim [email protected]

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Departamento de Estatıstica - ICEUniversidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)

Versao 3.0

Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 1 / 55

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Sumario1 Informacoes gerais

ContatoReferencias Bibliograficas

2 Modelos discretosDistribuicao uniforme discretaDistribuicao de BernoulliDistribuicao binomialDistribuicao geometricaDistribuicao binomial negativa (Pascal)Distribuicao hipergeometricaDistribuicao de PoissonProcesso de PoissonValor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas

3 Modelos contınuosUniformeNormalBetaGamaGama invertidaChi-quadradot de StudentF de SnedecorValor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuasJoaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 1 / 55

Informacoes gerais


Informacoes gerais

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Informacoes gerais Referencias Bibliograficas

Referencias Bibliograficas

Barry, R. James(1981)Probabilidade: um curso em cıvel intermediario.Rio de Janeiro: Instituto de Matematica Pura e Aplicada (Projeto Euclides).

Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A.(2005)Estatıstica Basica, 5a ed. edn.Sao Paulo: Saraiva.

Degroot, M. H. & Schervish, M. J.(2001)Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn.Addison Wesley.

Meyer, P. L.(2000)Probabilidade: Aplicacoes a Estatıstica, 2 ed. edn.LTC.


Modelos discretos

Modelos discretos


Modelos discretos Distribuicao uniforme discreta

Distribuicao uniforme discreta

Definicao 1: Uma variavel X tem distribuicao uniforme discreta no conjunto {1, 2, ..., n} se suafuncao de probabilidade for:

p(x) =

{1n

, se x ∈ {1, 2, ..., n}0, caso contrario

0 1 2 3 4 5 6

0.15

0.20

0.25

x

p(x) ● ● ● ● ●

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Funcao de probabilidade

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.4

0.8

xF(x

)

●

●

●

●

●

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Funcao de distribucao acumulada

Figura: Funcao de probabilidade e funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. X comdistribuicao uniforme discreta no conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.


Modelos discretos Distribuicao de Bernoulli

Distribuicao de Bernoulli

Suponhamos um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes (comosucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Seja X uma v.a. que assume apenas osvalores 0 e 1, onde o 1 e associado a uma das classificacoes e o 0 e associado a outraclassificacao. Dizemos entao que X tem distribuicao de Bernoulli com parametro θ ∈ [0, 1],onde θ = P([X = 1]). Para indicar a distribuicao de Bernoulli, podemos tambem usar a notacaoX ∼ Ber(θ).

Resultado 1: Se X ∼ Ber(θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por

p(x) =

θ, se x = 11− θ, se x = 00, caso contrario


Modelos discretos Distribuicao de Bernoulli

−1.0 0.0 1.0 2.0

0.0

0.4

0.8

x

p(x)

●

●

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−1.0 0.0 1.0 2.0

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

●

●

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Figura: Funcao de probabilidade e funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. X , tal queX ∼ Ber(0.3).


Modelos discretos Distribuicao binomial

Distribuicao binomial

Suponhamos agora n realizacoes independentes de um experimento com resultados queassumem apenas duas classificacoes (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa,etc). Associando uma das classificacoes ao numero 1 (sucesso) e a outra ao numero 0(fracasso), seja X a variavel aleatoria associada ao numero de sucessos (uns) obtidos nas Nrealizacoes do experimento. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizacoes e amesma e igual a θ, dizemos que X tem distribuicao binomial com parametros n ∈ {1, 2, ...} eθ ∈ [0, 1] ou usamos a notacao X ∼ Bin(n, θ).

Resultado 2: Se X ∼ Bin(n, θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por

p(x) =

(

nx

)θx (1− θ)n−x , se x = 0, 1, 2, ..., n

0, caso contrario

OBS: Suponhamos uma sequencia X1, X2, ..., Xn de v.a. independentes tais que Xi ∼ Ber(θ),

∀i ∈ {1, 2, ..., n}. A variavel Y =n∑

i=1Xi ∼ Bin(n, θ).



Exemplo 1: Sabe-se que 30% dos animais submetidos a um certo tratamento nao sobrevivem.Suponhamos que 10 animais sao submetidos a este tratamento. Seja X o numero de naosobreviventes.

a) Construa o grafico da funcao de probabilidade de X .

b) Construa o grafico da funcao de distribuicao acumulada de X .

Solucao: Como X ∼ Bin(10, 0.3), sua funcao de probabilidade e dada por

p (x) =

(10x

)0.3x (1− 0.3)10−x .

Com esta funcao, podemos construir a tabela abaixo.

x p(x) F(x)0 0.028247 0.0282471 0.121060 0.1493082 0.233474 0.3827823 0.266827 0.6496104 0.200120 0.8497315 0.102919 0.9526516 0.036756 0.9894077 0.009001 0.9984098 0.001446 0.9998569 0.000137 0.999994

10 0.000005 1.000000



A partir da tabela, podemos construir os graficos.

a)

0 2 4 6 8 10

0.00

0.10

0.20

x

p(x)

●

●

●

●

●

●

●

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b)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

●

●

●

●

●

●● ● ● ● ●

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Para explorar um aplicativo da distribuicao binomial, clique aqui.


http://www.google.com.br


Exemplo 2: Um lote de componentes eletronicos e recebido por uma firma. Vinte componentessao selecionados, aleatoriamente e com reposicao, para teste e o lote e rejeitado se pelo menos 3forem defeituosos. Sabendo que 1% destes componentes sao defeituosos, qual e a probabilidadeda firma rejeitar o lote.

Solucao: Seja X uma v.a. associada ao numero de componentes defeituosos dentre osselecionados e p(x) sua funcao de probabilidade. Como X ∼ Bin(20, 0.05), temos que

p (0) =

(200

)0.010 (1− 0.01)20 = 0.817907

p (1) =

(201

)0.011 (1− 0.01)19 = 0.1652337

p (2) =

(202

)0.012 (1− 0.01)18 = 0.01585576

Sabemos tambem que o lote e rejeitado se X ≥ 3 e, portanto, a probabilidade de rejeicao edada por

P ([X ≥ 3]) = 1− P ([X < 3]) = 1− P ([X ≤ 2])

= 1− (P ([X = 0]) + P ([X = 1]) + P ([X = 2]))

= 1− (p (0) + p (1) + P (2))

= 1− (0.817907 + 0.1652337 + 0.01585576)

= 0.0010035


Modelos discretos Distribuicao geometrica

Distribuicao geometrica

Suponhamos que um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes(como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) e realizado sucessivas vezes. SejaX a v.a. associada ao numero de fracassos ate obter o primeiro sucesso. Se a probabilidade desucesso em cada uma das realizacoes e constante e igual a θ, dizemos que X tem distribuicaogeometrica com parametro θ ∈ [0, 1].

Resultado 3: Se X tem distribuicao geometrica com parametro θ, sua funcao de probabilidadee dada por

p (x) =

{(1− θ)x θ, se x = 0, 1, 2, ...0, caso contrario



0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.10

0.20

x

p(x)

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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0 5 10 20 30

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

●

●

●

●

●

●●

●●

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Figura: Graficos para X com distribuicao geometrica de parametro θ = 0.2.

Para explorar um aplicativo da distribuicao geometrica, clique aqui.




Exemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado semaforoaberto e igual a 20%. Qual e a probabilidade de passar pelo semaforosucessivas vezes e encontra-lo aberto pela primeira vez na quintapassagem?

Solucao: Sejam X o numero de passagens antes de encontrar o semaforoaberto pela primeira vez e p(x) a funcao de probabilidade de X . Como Xtem distribuicao geometrica de parametro θ = 0.2, temos

p(4) = (1− 0.2)40.2 = 0.08192.


Modelos discretos Distribuicao binomial negativa (Pascal)

Distribuicao binomial negativa (Pascal)

Suponhamos que um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes(como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) e realizado sucessivas vezes. SejaX a variavel aleatoria associada ao numero de fracassos ate observar r sucessos. Se aprobabilidade de sucesso em cada uma das realizacoes e a mesma e igual a θ, dizemos que Xtem distribuicao binomial negativa com parametros r ∈ {1, 2, 3, ...} e θ ∈ [0, 1] ou usamos anotacao X ∼ BN(r , θ).

Resultado 4: Se X ∼ BN(r , θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por

p (x) =

(

x + r − 1r − 1

)θr (1− θ)x , se x ∈ {0, 1, 2, ...}

0, caso contrario

OBS: Note que a distribuicao geometrica e um caso particular da distribuicao binomial negativa,para r = 1.



0 10 20 30 40

0.00

0.02

0.04

0.06

x

p(x)

●

●

●

●

●

●

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●

●

●

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0 10 20 30 40

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

●●●●

●●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●●

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Figura: Graficos para X ∼ BN(5, 0.3).

Para explorar um aplicativo da distribuicao binomial negativa, clique aqui.




Exemplo 4: Em uma linha de producao, a probabilidade de um determinado componente serdefeituoso e de 0.1%. Qual e a probabilidade de se produzir 4 componentes defeituosos antes de20 perfeitos.

Solucao: Sejam X uma v.a. associada ao numero de componentes defeituosos antes de 20perfeitos e p(x) a funcao de probabilidade de X . Como X ∼ BN(20, 0.9), temos que

p (x) =

(x + 20− 1

20− 1

)0.920 (1− 0.9)x , para x ∈ {0, 1, 2, ...}.

Logo, a probabilidade procurada e dada por

p (4) =

(4 + 20− 1

20− 1

)0.920 (1− 0.9)4 , para x ∈ {0, 1, 2, ...} = 0.1076561.


Modelos discretos Distribuicao hipergeometrica

Distribuicao hipergeometrica

Suponhamos que n elementos sao selecionados aleatoriamente e sem reposicao de umapopulacao finita com A elementos do tipo I e B elementos do tipo II . Seja X uma v.a.associada ao numero de elementos do tipo I selecionados. Neste caso, dizemos que X temdistribuicao hipergeometrica com parametros A, B e n.

Resultado 5: Se X tem distribuicao hipergeometrica com parametros A, B e n, entao suafuncao de probabilidade e dada por

p (x) =

(Ax

)(B

n − x

)(

A + Bn

) , se x ∈ {max (0, n − B) , ...,min (n,A)} ∩ N

0, caso contrario



Exemplo 5: Uma firma compra lampadas por lotes de 30 unidades. Suponha que em umdeterminado lote ha 25 lampadas perfeitas. Sete lampadas deste lote sao selecionadasaleatoriamente e sem reposicao.

a) Qual e a probabilidade de selecionar menos de 4 lampadas perfeitas?

b) Construa o grafico da funcao de probabilidade de X .

c) Construa o grafico da funcao de distribuicao acumulada de X .

Solucao:a) Sejam X uma v.a. associada ao numero de lampadas perfeitas selecionadas e p(x) suafuncao de probabilidade. Como X tem distribuicao hipergeometrica, temos que

p (x) =

(25x

)(5

7− x

)(

25 + 57

) , se x ∈ {max (0, 7− 5) , ...,min (7, 25)} ∩ N

0, caso contrario

Logo, a probabilidade de selecionar menos de 4 lampadas perfeitas e dada por

P[X < 4] = p(2) + p(3) = 0.57962%



b)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

p(x)

● ● ● ●

●

●

●

●

● ● ●

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c)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

● ●

●

●

●

●

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Para explorar um aplicativo da distribuicao hipergeometrica, clique aqui.



Modelos discretos Distribuicao de Poisson

Distribuicao de Poisson

A distribuicao de Poisson e utilizada para explicar probabilisticamente o numero de ocorrenciasem um experimento aleatorio.

Definicao 2: Uma v.a. X tem distribuicao de Poisson com taxa media de ocorrencias θ > 0, sesua funcao de probabilidade for

p (x) =

{exp(−θ)θx

x!, se x = 0, 1, 2, ...

0, caso contrario.

Para indicar a distribuicao de Poisson, podemos usar a notacao X ∼ Poiss(θ).


Modelos discretos Distribuicao de Poisson

0 5 10 15

0.00

0.10

0.20

x

p(x)

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●● ● ● ● ● ●

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0 5 10 15

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

●

●

●

●

●

●

●●

● ● ● ● ● ● ● ●

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Figura: Graficos para X ∼ Poiss(4).

Para explorar um aplicativo da distribuicao de Poisson, clique aqui.



Modelos discretos Processo de Poisson

Processo de Poisson

Consideremos o numero de ocorrencias de um determinado evento por regiao ou intervalo.

Hipotese 1 (incrementos estacionarios) A probabilidade de x ocorrencias em uma regiao

depende apenas do tamanho da regiao (e nao de sua localizacao).

Hipotese 2: (incrementos independentes) O numero de ocorrencias em regioes disjuntas saoindependentes.

Hipotese 3: Os ocorrencias sao registradas sozinhas e nao simultaneamente.

Se as hipoteses acima sao satisfeitas, entao o numero de ocorrencias X em uma regiao detamanho t tem distribuicao Poiss(θt), onde θ e a taxa media de ocorrencias por unidade demedida da regiao e θt e a taxa media de ocorrencias da regiao.



Exercıcio 1: Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson,com numero medio de chegadas em 6 horas igual a 12.a) Qual e a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas.b) Qual e a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem chegarem em 2 horas.

Solucao:a) Seja X o numero de navios que chegam em 3 horas. Como chegam em media 12 navios em 6horas, a taxa media de ocorrencias por hora e de θ = 12/6 = 2 navios por hora. Assim,X ∼ Poiss(θt), ou seja, X ∼ Poiss(2× 3) e

P([X = 2]) =exp(−6)62

2!= 4.461754%.

b) Seja Y o numero de navios que chegam em 5 horas. Consequentemente,Y ∼ Poiss( 12

62) ∼ Poiss(4) e

P([X ≥ 2]) = 1− P([X = 0])− P([X = 1])

= 1−exp(−4)40

0!−

exp(−4)41

1!

= 1− 9.157% = 90.843%.



Exemplo 6: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(3, 0.4). Calcule o valor esperado de X ?

Solucao: Temos que

p (x) =3!

(3− x)!x!0.4x 0.63−x para x = 0, 1, 2, 3.

Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064.

Assim,E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3)

= 0× 0.216 + 1× 0.432 + 2× 0.288 + 3× 0.064

= 1.2



Exemplo 7: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(3, 0.4). Calcule a variancia de X ?

Solucao: Temos que

p (x) =3!

(3− x)!x!0.4x 0.63−x para x = 0, 1, 2, 3.

Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064.

Alem disso,E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3)

= 0× 0.216 + 1× 0.432 + 2× 0.288 + 3× 0.064

= 1.2

Por fim,

Var (X ) = (0− 1.2)2 p (0) + (1− 1.2)2 p (1) + (2− 1.2)2 p (2) + (3− 1.2)2 p (3)

= 0.72.


Modelos discretos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas

Valor esperado e variancia de algumas distribuicoesdiscretas

Se X ∼ U({1, 2, ..., n}), entao

E(X ) =n + 1

2e Var(X ) =

n2 − 1

12.

Se X ∼ Ber(θ), entaoE(X ) = θ e Var(X ) = θ(1− θ).

Se X ∼ Bin(n, θ), entao

E(X ) = n · θ e Var(X ) = nθ(1− θ).



Se X tem distribuicao geometrica com probabilidade de sucesso θ (definicao baseada nonumero de realizacoes ate o primeiro sucesso), entao

E(X ) =1

θe Var(X ) =

1− θθ2

.

Se X tem distribuicao geometrica com probabilidade de sucesso θ (definicao baseada nonumero de fracassos ate o primeiro sucesso), entao

E(X ) =1− θθ

e Var(X ) =1− θθ2

.

Se X tem distribuicao hipergeometrica com A elementos do tipo I, B elementos do tipo IIe n realizacoes, entao

E(X ) = n

(B

A + B

)e Var(X ) =

nAB

(A + B)2·

A + B − n

A + B − 1.



Se X tem distribuicao Poiss(θ), entao

E(X ) = θ e Var(X ) = θ.

Se X tem distribuicao BN(r , θ), entao

E(X ) =rθ

1− θe Var(X ) =

rθ

(1− θ)2.


Modelos contınuos

Modelos contınuos


Modelos contınuos Uniforme

Uniforme

Definicao 3: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicaouniforme no intervalo (a, b) se tem densidade p(x) dada por

p (x) =

{1

b−a , se a < x < b

0, caso contrario.

Notacao: X ∼ U(a, b).


Modelos contınuos Normal

Normal

Definicao 4: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao normalde media µ e variancia σ2 > 0 se tem densidade p(x) dada por

p (x) =(2πσ2

)− 12 exp

(−1

2

(x − µ)2

σ2

), com x ∈ R.

Notacao: X ∼ N(µ, σ2).



−6 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

p X(x

)

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Densidade de uma N(0, 1).

−6 −2 0 2 4 60.

00.

10.

20.

30.

4x

p X(x

)www.uf

jf.br

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eto

Densidade de uma N(0, 1) empreto e densidade de uma

N(3,1) em azul.

−6 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

p X(x

)

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Densidade de uma N(0, 1) empreto e densidade de uma

N(0,4) em azul.

Figura: Densidades de distrinuicoes normais.



−6 −2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

FX(x

)

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Funcao de distribuicao de umaN(0, 1).

−6 −2 0 2 4 60.

00.

20.

40.

60.

81.

0x

FX(x

)www.uf

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eto

Funcao de distribuicao de umaN(0, 1) em preto e funcao de

distribuicao de uma N(3,1) emazul.

−6 −2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

FX(x

)

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Funcao de distribuicao de umaN(0, 1) em preto e funcao de

distribuicao de uma N(0,4) emazul.

Figura: Funcoes de Distribuicao Acumulada.



Propriedades da normal

Se X ∼ N(µ, σ2), entao E (X ) = µ e Var(X ) = σ2.

Se uma v.a. X tem distribuicao normal, entao Y = aX + btambem tem distribuicao normal, ∀a, b ∈ R.

Resultado 6: Como consequencia das propriedades acima, temos que

Se X ∼ N(µ, σ2), entao aX + b ∼ N(aµ+ b, a2σ2),

Se X ∼ N(0, 1), entao aX + b ∼ N(b, a2) e

Se X ∼ N(µ, σ2) entao X−µσ ∼ N(0, 1).

Prova: ...


Modelos contınuos Beta

Beta

Definicao 5: Dizemos que uma v.a. tem distribuicao beta de parametrosα > 0 e β > 0 se tem densidade p(x) dada por

p (x) =

{B (α, β)−1 xα−1 (1− x)β−1 , se 0 < x < 10, caso contrario

, onde

B (α, β) =Γ (α) Γ (β)

Γ (α + β)

e

Γ (α) =

∫ ∞0

βαxα−1 exp (−βx) dx .

Notacao: X ∼ Be(α, β).


Modelos contınuos Beta

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

x

p X(x

)

α = 10 e β = 10α = 0.1 e β = 0.1α = 4 e β = 0.1α = 4 e β = 2

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

xF

X(x

)

α = 10 e β = 10α = 0.1 e β = 0.1α = 4 e β = 0.1α = 4 e β = 2

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Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Be(α, β), para diferentes valores de α e β.


Modelos contınuos Gama

Gama

Definicao 6: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao Gamacom parametros α > 0 e β > 0 se tem densidade p(x) dada por

p (x) =

{βα

Γ(α) xα−1 exp (−βx) , se x > 0

0, caso contrario, onde

Γ (α) =

∫ ∞0


Notacao: X ∼ Ga(α, β).


Modelos contınuos Gama

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

x

p X(x

)

α = 1 e β = 2α = 2 e β = 2α = 3 e β = 2α = 5 e β = 1α = 9 e β = 0.5

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aquim

_neto

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

xF

X(x

)

α = 1 e β = 2α = 2 e β = 2α = 3 e β = 2α = 5 e β = 1α = 9 e β = 0.5

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aquim

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Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Ga(α, β), para diferentes valores de α e β.


Modelos contınuos Gama invertida

Gama invertida

Definicao 7: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao GamaInvertida (ou Gama Inversa) com parametros α > 0 e β > 0 se temdensidade p(x) dada por

p (x) =

{βα

Γ(α)

(1x

)α+1exp

(−β(

1x

)), se x > 0

0, caso contrario,

onde

Γ (α) =

∫ ∞0


Notacao: X ∼ GI (α, β).



0.0 1.0 2.0 3.0

0.0

1.0

2.0

x

p X(x

)

α = 1 e β = 0.5α = 2 e β = 1α = 3 e β = 1α = 3 e β = 5

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aquim

_neto

0.0 1.0 2.0 3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

xF

X(x

)

α = 1 e β = 1α = 2 e β = 1α = 3 e β = 1α = 3 e β = 5

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_neto

Figura: Densidades e funcoes de distribuicao GI (α, β), para diferentes valores de α e β.



Propriedades da Gama

Se X ∼ Ga(α, β) e a ∈ R entao aX ∼ Ga(α, βa

).

Relacao entre a Gamma e a Gamma Invertida

Se X ∼ Ga(α, β) entao 1X ∼ GI (α, β).


Modelos contınuos Chi-quadrado

Chi-quadrado (χ2)

Definicao 8: Uma v.a. X tem distribuicao chi-quadrado (χ2) com n > 0graus de liberdade se tem densidade p(x) dada por

p (y) =

( 12 )

n2

Γ( n2 )

xn2−1 exp

(−1

2 x), se x > 0

0, caso contrario,

onde

Γ(n

2

)=

∫ ∞0

(1

2

) n2

xn2−1 exp

(−1

2x

)dx .

Notacao: X ∼ χ2n.

OBS: X ∼ χ2n se, e somente se, X ∼ Ga

(n2 ,

12

). Assim, podemos dizer

que a distribuicao χ2 e um caso particular da gama.



Sejam X1,X2, ...,Xn variaveis aleatorias independentes, de modo queXi ∼ N(0, 1) ∀i ∈ {1, 2, ..., n}. A variavel aleatoria

X =n∑

i=1

X 2i

tem distribuicao χ2 com n graus de liberdade.



0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

x

p X(x

)

n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5

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_neto

0 2 4 6 8

0.0

1.0

2.0

xF

X(x

)

n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5

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_neto

Figura: Densidades e funcoes de distribuicao χ2n, para diferentes graus de liberdade (n).



Propriedades da χ2

Se X ∼ χ2n e Y ∼ χ2

m entao (X + Y ) ∼ χ2m+n.

Se X ∼ χ2n e Y ∼ χ2

m entao (Z = X − Y ) ∼ χ2m−n, desde que

Z ≥ 0 e n > m


Modelos contınuos t de Student

t de Student

Definicao 9: A distribuicao t de Student (ou simplesmente t) com n > 0 graus de liberdade edefinida pela razao de duas variaveis aleatorias.

Especificamente, se Y ∼ N(0, 1) e Z ∼ χ2n com Y e Z independentes, entao

X =Y√

Zn

(1)

tem distribuicao t com n graus de liberdade.

Notacao: X ∼ tn.

Se X ∼ tn, entao sua densidade e dada por

p (x) =Γ(

n+12

)√

nπ

(1 + x2

n

)− (n+1)2

Γ(

n2

) , para x ∈ R


Modelos contınuos t de Student

−4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

p X(x

)

n = 1n = 2n = 5n = 1000

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−4 −2 0 2 4 6

0.0

0.4

0.8

tF

X(x

)

n = 1n = 2n = 5n = 1000

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Figura: Densidades e funcoes de distribuicao tn, para diferentes valores de n.


Modelos contınuos F de Snedecor

F de Snedecor

Definicao 10: A distribuicao F de Snedecor (ou simplesmente F) com n > 0 e m > 0 graus de

liberdade e definida pela razao de duas variaveis aleatorias independentes com distribuicao χ2

central, ambas divididas pelos seus respectivos graus de liberdade.

Especificamente, se Y ∼ χ2n e Z ∼ χ2

m com Y e Z independentes, entao

X =YnZm

tem distribuicao F com n e m graus de liberdade.

Notacao: X ∼ Fn,m.

Se X ∼ Fn,m, entao sua densidade e dada por

p (x) =

Γ( n+m2 )

Γ( n2 )Γ( m

2 )

(nm

) n2 x( n

2−1) (1 + n

mx)− (n+m)

2 , se x > 0

0, caso contrario.



0 1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

p X(x

)

n1 = 1 e n2 = 1n1 = 2 e n2 = 1n1 = 5 e n2 = 2n1 = 100 e n2 = 1n1 = 100 e n2 = 100

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aquim

_neto

0 1 2 3 4 5

0.0

1.0

2.0

xF

X(x

)

n1 = 1 e n2 = 1n1 = 2 e n2 = 1n1 = 5 e n2 = 2n1 = 100 e n2 = 1n1 = 100 e n2 = 100

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aquim

_neto

Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Fn,m, para diferentes valores de n e m.



Relacao entre a t e a F

Elevando ao quadrado a equacao (1), temos

T 2 =X 2

1Yn

Como X 2 ∼ χ21 e Y ∼ χ2

n, entao T 2 ∼ F1,n.

Ou seja, o quadrado de uma v.a. com distribuicao tn tem distribuicao F1,n.


Modelos contınuos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuas

Valor esperado e variancia de algumas distribuicoescontınuas

Se X ∼ U(a, b), entao

E(X ) =b + a

2e Var(X ) =

(b − a)2

12.

Se X ∼ N(µ, σ2), entaoE(X ) = µ e Var(X ) = σ2.

Se X ∼ Be(α, β), entao

E(X ) =α

α+ βe Var(X ) =

αβ

(α+ β)2(α+ β + 1).

Se X ∼ Ga(α, β), entao

E(X ) =α

βe Var(X ) =

α

β2.

Se X ∼ GI (α, β), entao

E(X ) =β

α+ 1e Var(X ) =

β2

(α− 1)2(α− 2).



Se X ∼ χ2n, entao

E(X ) = n + λ e Var(X ) = 2(n + 2λ).

Se X ∼ tn, entao

E(X ) = µ para n > 1 e Var(X ) =n

n − 1para n > 2.

Se X ∼ Fn,m, entao

E(X ) =m

m − 2para m > 2 e Var(X ) =

2m2(n + m − 2)

n(m − 4)(m − 2)2para n > 4.



Fim!



(Barry, 1981) (Bussab and Morettin, 2005) (Meyer, 2000) (Degroot andSchervish, 2001)


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Joaquim Neto [email protected] neto · Modelos discretos Distribui˘c~ao geom etrica Exemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado sem aforo aberto e igual a 20%