JOÃO CARLOS MOREIRA · João Carlos Moreira DEFINIÇÕES: LIMITES (NÍVEL II) Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

BANCO DE QUESTÕES Operações com funções reais

JOÃO CARLOS MOREIRA

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO

2 Todos os direitos reservados

João Carlos Moreira

DEFINIÇÕES: LIMITES (NÍVEL II) Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão de funções. Dê exemplos. Defina limite (no ponto, lateral e no infinito) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos. Defina derivada (no ponto e função) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos. Defina integral (indefinida, definida e imprópria) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos.

PROPRIEDADES: LIMITES (NÍVEL III) Mostre que se ∃ L = lim

𝑥→𝑥0𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim

𝑥→𝑥0𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→𝑥0(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→𝑥0𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→𝑥0

(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

c) lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→𝑥0

𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝑥→𝑥0

(𝑓

𝑔) (𝑥) = {

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

lim𝑥→𝑥0

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀

e) lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀

𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim𝑥→𝑥0

𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Mostre que se ∃ L = lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→𝑥0

+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

c) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) ∙ lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓

𝑔) (𝑥) =

{

lim

𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑥0

+𝑔(𝑥)

=𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

lim𝑥→𝑥0

+

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀

e) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→𝑀𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→𝑥0

−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim

𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 1

Exercício 4

Exercício 2

Exercício 3




c) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) ∙ lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓

𝑔) (𝑥) = {

lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑥0

−𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

lim𝑥→𝑥0

−

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀

e) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→𝑀𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Mostre que se +∞ = lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞

b) lim𝑥→𝑥0

+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0

c) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0+

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→𝑥0+𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→𝑥0+𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→+∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Mostre que se −∞ = lim

𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim

𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞

b) lim𝑥→𝑥0

+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {

−∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0+∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0

c) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0+

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→𝑥0+𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→𝑥0+𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→𝑥0

+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→−∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):

f) lim

𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞

g) lim𝑥→𝑥0

−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0

h) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

i) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0−

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→𝑥0−𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→𝑥0−𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

j) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→+∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim

𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):

f) lim

𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞

g) lim𝑥→𝑥0

−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {

−∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0+∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0

h) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

i) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→𝑥0−

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→𝑥0−𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→𝑥0−𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

j) lim𝑥→𝑥0

−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim

𝑦→−∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7





𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim

𝑥→+∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞

b) lim𝑥→+∞

(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim

𝑥→+∞𝑘 (𝑥) > 0

+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→+∞

𝑘 (𝑥) < 0

c) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→+∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→+∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→+∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→+∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→+∞

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim

𝑥→+∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞

b) lim𝑥→+∞

(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim

𝑥→+∞𝑘 (𝑥) > 0

+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→+∞

𝑘 (𝑥) < 0

c) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→+∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→+∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→+∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→+∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim

𝑥→−∞𝑔 (𝑥):

a) lim𝑥→−∞

(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞

b) lim𝑥→−∞

(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim

𝑥→−∞𝑘 (𝑥) > 0

+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→−∞

𝑘 (𝑥) < 0

c) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→−∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→−∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→−∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→−∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim

𝑥→−∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→−∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞

b) lim𝑥→−∞

(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim

𝑥→−∞𝑘 (𝑥) > 0

+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→−∞

𝑘 (𝑥) < 0

c) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞

d) lim𝑥→−∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→−∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 lim

𝑥→−∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim

𝑥→−∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0

e) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim

𝑥→+∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞

b) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = {+∞, 𝑠𝑒 𝐿 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝐿 < 0

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12




c) lim𝑥→+∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = 0

d) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→+∞

𝑓 (𝑦) = 𝐿, se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim

𝑥→+∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→+∞𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→+∞

(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→+∞

𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

c) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→+∞

𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→+∞

𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝑥→+∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = {

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

lim𝑥→+∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀

e) lim𝑥→+∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)


𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim

𝑥→−∞𝑔 (𝑥):

a) lim

𝑥→−∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim

𝑥→−∞𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→−∞𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→−∞

(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→−∞

𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

c) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→−∞

𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→−∞

𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝑥→−∞

(𝑓

𝑔) (𝑥) = {

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

lim𝑥→−∞

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀

e) lim𝑥→−∞

(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀

𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)

(Teorema do Confronto) Mostre que se

∃ 𝑟 > 0, L = lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑔 (𝑥) e 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝑟, então

L = lim

𝑥→𝑥0ℎ (𝑥).

Mostre que se ∃ 𝑟 > 0,

0 = lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥) 𝑒 𝑎 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑏, 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝑟, então

lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = 0.

(Teorema Fundamental) Mostre que se

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥= 1.

Mostre que se

lim𝑥→+∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= e.

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 17

Exercício 18

Exercício 16




CÁLCULO DE LIMITES: NÍVEL 1 Assinale a alternativa que descreve o valor de lim

𝑥→1𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:

a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→

1

2

2𝑥−1

16𝑥4−1+

3

4𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥):

a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→0

(3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ ln (|𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥|):

a) 1 b) 0 c) 3 d) -4 e) N.D.A.


−𝑥3+2𝑥2−4𝑥+12

cos (𝑥−3):

a) 12 b) 9 c) -9 d) 2 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim

𝑥→−1(−𝑥4 + 𝑥2 − 1)10:

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+

𝑥 −1

2+

1

𝑥+1:

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6





𝑥→0−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 1):

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.


𝑥→𝜋

2

− 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 1):

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→

𝜋

2

+

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥:

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.


𝑥→1+𝑓(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1

−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→1−𝑓(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1

−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→1𝑓(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1

−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12




a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→0+𝑓(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑥𝑐𝑜𝑠(

1

𝑥2), se 𝑥 ≥ 0

𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→0−𝑓(𝑥), sendo


1

𝑥2), se 𝑥 ≥ 0

𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→0𝑓(𝑥), sendo


1

𝑥2), se 𝑥 ≥ 0

𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→0+(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0

e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙

𝜋

2, se 𝑥 ≥ 0

𝑥4, se 𝑥 < 0 :

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16





𝑥→0−(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0

e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙

𝜋

2, se 𝑥 ≥ 0

𝑥4, se 𝑥 < 0 :

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥→0(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo

𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0

e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙

𝜋

2, se 𝑥 ≥ 0

𝑥4, se 𝑥 < 0 :

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑥 −1

2+

1

𝑥−1:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−

𝑥 −1

2+

1

𝑥−1:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


−2𝑥−1

(1−𝑥)+

1

𝑥−1:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


−2𝑥−1

(1−𝑥)+

1

𝑥−1:

a) +∞ b) −∞ c) ∄

Exercício 18

Exercício 17

Exercício 19

Exercício 20

Exercício 21

Exercício 22




d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞

−2𝑥−1

(1−𝑥)+ 2−𝑥:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞

−2𝑥−1

(1−𝑥)+ 2−𝑥:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) ∞ e) N.D.A.


−2𝑥−1

(1−𝑥+𝑥2)+

−𝑒−𝑥

𝑥:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


−2𝑥−1

(1−𝑥+𝑥2)+

−𝑒−𝑥

𝑥:

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑥2+4𝑥−2

𝑥−1∙ cos (

1

𝑥) :

a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1

√𝑥3

:

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.

Exercício 28

Exercício 23

Exercício 24

Exercício 25

Exercício 26

Exercício 27





𝑥→1𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥):

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 𝜋

4

d) 𝜋

6

e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de lim

𝑥→1

2

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥):

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 𝜋

4

d) 𝜋

6


𝑥→1

2

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 𝜋

4

d) 𝜋

6


𝑥→2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥):

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 𝜋

4

d) 𝜋

6

e) N.D.A.


2𝑥−1−𝑥2+2𝑥−2

3𝑥−1:

a) log3 √23

b) log2 √23

c) log3 2 d) log2 3 e) N.D.A.


𝑒1− 𝑥2

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞

Exercício 29

Exercício 30

Exercício 31

Exercício 32

Exercício 33

Exercício 34




d) 0 e) N.D.A.


𝑥→+∞5𝑥 − 3𝑥:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


2√𝑥+5

3𝑥+2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


2𝑥 − √𝑥 + 2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


(2𝑥 − 1) (𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1):

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


(1 +1

4𝑥)𝑥

:

a) e b) +∞ c) −∞ d) 𝑒4 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de limℎ→0+

(1 + ℎ)2

ℎ:

a) e b) +∞ c) −∞ d) 𝑒2 e) N.D.A.

Exercício 35

Exercício 36

Exercício 37

Exercício 38

Exercício 39

Exercício 40




PROPRIEDADES: DERIVADA (NÍVEL III)

Mostre que se ∃ (𝑑𝑓

𝑑𝑥) (𝑥0) e ∃ (

𝑑𝑔

𝑑𝑥) (𝑥0), então:

a) ∃ (𝑑(𝑓+𝑔)

𝑑𝑥) (𝑥0) = (

𝑑𝑓

𝑑𝑥) (𝑥0) + (

𝑑𝑔

𝑑𝑥) (𝑥0)

b) ∃ (𝑑(𝑓∙𝑔)

𝑑𝑥) (𝑥0) = (

𝑑𝑓

𝑑𝑥) (𝑥0) ∙ 𝑔(𝑥0) + 𝑓(𝑥0) (

𝑑𝑔

𝑑𝑥) (𝑥0)

c) ∃ (𝑑(𝑘∙𝑔)

𝑑𝑥) (𝑥0) = 𝑘 ∙ (

𝑑𝑓

𝑑𝑥) (𝑥0), ∀ 𝑘 ∈ ℝ

d) ∃(𝑑(

𝑓

𝑔)

𝑑𝑥) (𝑥0) =

(𝑑𝑓

𝑑𝑥)(𝑥0)∙𝑔(𝑥0)−𝑓(𝑥0)(

𝑑𝑔

𝑑𝑥)(𝑥0)

(𝑔(𝑥0))2 , se 𝑔(𝑥0) ≠ 0

e) ∃ (𝑑(𝑓∘𝑔 )

𝑑𝑥) (𝑥0) = (

𝑑𝑓

𝑑𝑥) (𝑔(𝑥0)) ∙ (

𝑑𝑔

𝑑𝑥) (𝑥0), se 𝐼𝑚𝑔 ⊂ 𝐷(𝑓)

f) ∃ (𝑑(𝑓−1 )

𝑑𝑥) (𝑦0) =

1

(𝑑𝑓

𝑑𝑥)(𝑓−1(𝑦0))

, 𝑦0 = 𝑓(𝑥0), 𝑠𝑒 ∃ 𝑓−1.

DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:

a) −1 + ln (2) b) 1 − ln (2) c) −2 + ln (3) d) −2 + ln (2) e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 +1

𝑥2:

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 4𝑥 +

1) ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=2

, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥3

3𝑥:

a) -3 b) 3

c) −1 +𝑙𝑛3

3

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 1




d) 1 −𝑙𝑛3

3

e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥):

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) = {𝑒− 1

𝑥, se x > 00, se x ≤ 0

:

a) 2 b) 0 c) 1 d) −1 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0+

, sendo

𝑓(𝑥) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0−

, sendo

𝑓(𝑥) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9





𝑑𝑥|𝑥=1+

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1−

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥:

a) 1

2

b) −1

2

c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥39

:

a) 1

3

b) −1

3

c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 14

Exercício 13




e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo


1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥):

a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):

a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo


1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo

𝑓(𝑥) = log5 √𝑥3:

a) 2 b) −2 c) ∄

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 18

Exercício 17

Exercício 19




d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=2

, sendo

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)1000:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

INTEGRAIS: NÍVEL 1

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 2 +1

2𝑥−5𝑑𝑥

1

0:

a) 4+ln (

7

5)

2

b) 4−ln(

7

5)

2

c) −4+ln(

7

5)

2

d) −4−ln(

7

5)

2

e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥

1

0:

a) ln(2)−cos(2)−1

2-1

b) ln(2)+cos(2)−1

2

c) ln(2)−cos(2)+1

2

d) −ln(2)−cos(2)−1

2

e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ (6𝑥 + 4)𝑒3𝑥2+4𝑥+1𝑑𝑥

1

0:

a) 𝑒8 − 𝑒 b) 𝑒3 − 𝑒 c) 𝑒4 − 𝑒 d) 𝑒−1 − 𝑒 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥1

0:

a) 2𝑒−1 − 1 b) 2𝑒−1 + 1 c) −2𝑒−1 − 1 d) −2𝑒−1 + 1 e) N.D.A.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 20

Exercício 4




Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥1

0:

a) 5𝑒−1 − 2 b) 5𝑒−1 + 2 c) −5𝑒−1 + 2 d) −5𝑒−1 − 2 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥1

0:

a) 𝑒

2(−𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) + 1)

b) 𝑒

2(𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) + 1)

c) 𝑒

2(𝑠𝑒𝑛(1) + cos(1) + 1)

d) 𝑒

2(𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) − 1)

e) N.D.A.

GRÁFICO: NÍVEL 1

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 +1

𝑥−1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ − {1}.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(1

𝑥 ), ∀ 𝑥 ∈ ℝ+

∗ .

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) =

{

−2, ∀ 𝑥 ≥

𝜋

2

𝑡𝑔(𝑥), ∀ − 𝜋

2< 𝑥 <

𝜋

2

𝑥3 − 1, ∀ 𝑥 ≤ −𝜋

2

.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {3𝑥, ∀ 𝑥 ≥ 0

1 + 2𝑥, ∀ 𝑥 < 0.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {−𝑥5, ∀ 𝑥 ≤ 0

√𝑥, ∀ 𝑥 > 0.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ≥ 0𝑐𝑜𝑠(𝑥), ∀ 𝑥 < 0

.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, onde ⟦𝑥⟧ denota o maior inteiro que é menor ou igual a 𝑥.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ+∗ .

Exercício 3 Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −√𝑥3, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7




Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 14

, ∀ 𝑥 ≥ 1. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = (1

3)𝑥

, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 5−𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥

2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = − ln(𝑥 − 3) , ∀ 𝑥 > 3.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, ∀ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2

2 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 − log1

3𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ+

∗ .

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18

Exercício 19

Exercício 20

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JOÃO CARLOS MOREIRA · João Carlos Moreira DEFINIÇÕES: LIMITES (NÍVEL II) Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão