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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
BANCO DE QUESTÕES Operações com funções reais
JOÃO CARLOS MOREIRA
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
2 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
DEFINIÇÕES: LIMITES (NÍVEL II) Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão de funções. Dê exemplos. Defina limite (no ponto, lateral e no infinito) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos. Defina derivada (no ponto e função) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos. Defina integral (indefinida, definida e imprópria) da soma, subtração, produto, quociente, composta e inversa de funções. Dê exemplos.
PROPRIEDADES: LIMITES (NÍVEL III) Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→𝑥0𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim
𝑥→𝑥0𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→𝑥0(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→𝑥0𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀
b) lim𝑥→𝑥0
(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→𝑥0
𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝑥→𝑥0
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→𝑥0
𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→𝑥0
𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝑥→𝑥0
(𝑓
𝑔) (𝑥) = {
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
lim𝑥→𝑥0
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀
e) lim𝑥→𝑥0
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀
𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim𝑥→𝑥0
𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀
b) lim𝑥→𝑥0
+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓
𝑔) (𝑥) =
{
lim
𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑥0
+𝑔(𝑥)
=𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
lim𝑥→𝑥0
+
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀
e) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→𝑀𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀
b) lim𝑥→𝑥0
−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 1
Exercício 4
Exercício 2
Exercício 3
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
3 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
c) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓
𝑔) (𝑥) = {
lim𝑥→𝑥0
−𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑥0
−𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
lim𝑥→𝑥0
−
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀
e) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→𝑀𝑓 (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se +∞ = lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞
b) lim𝑥→𝑥0
+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {
+∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0
c) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0+
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→𝑥0+𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑥0+𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→+∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se −∞ = lim
𝑥→𝑥0+𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim
𝑥→𝑥0+𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→𝑥0+(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞
b) lim𝑥→𝑥0
+(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {
−∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0+∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0
c) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0+
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→𝑥0+𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑥0+𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→𝑥0
+(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→−∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se +∞ = lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):
f) lim
𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞
g) lim𝑥→𝑥0
−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {
+∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0
h) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
i) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0−
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→𝑥0−𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑥0−𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
j) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→+∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se −∞ = lim
𝑥→𝑥0−𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim
𝑥→𝑥0−𝑔 (𝑥):
f) lim
𝑥→𝑥0−(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞
g) lim𝑥→𝑥0
−(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = {
−∞, 𝑠𝑒 𝑘 > 0+∞, 𝑠𝑒 𝑘 < 0
h) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
i) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→𝑥0−
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→𝑥0−𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑥0−𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
j) lim𝑥→𝑥0
−(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim
𝑦→−∞𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
4 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
Mostre que se +∞ = lim
𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim
𝑥→+∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞
b) lim𝑥→+∞
(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim
𝑥→+∞𝑘 (𝑥) > 0
+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→+∞
𝑘 (𝑥) < 0
c) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→+∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→+∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→+∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→+∞
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se −∞ = lim
𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim
𝑥→+∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞
b) lim𝑥→+∞
(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim
𝑥→+∞𝑘 (𝑥) > 0
+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→+∞
𝑘 (𝑥) < 0
c) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→+∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→+∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→+∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se +∞ = lim
𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim
𝑥→−∞𝑔 (𝑥):
a) lim𝑥→−∞
(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞
b) lim𝑥→−∞
(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim
𝑥→−∞𝑘 (𝑥) > 0
+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→−∞
𝑘 (𝑥) < 0
c) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→−∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→−∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→−∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se −∞ = lim
𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e − ∞ = lim
𝑥→−∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→−∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = −∞
b) lim𝑥→−∞
(𝑘 ∙ 𝑔) (𝑥) = {−∞, 𝑠𝑒 lim
𝑥→−∞𝑘 (𝑥) > 0
+∞, 𝑠𝑒 lim𝑥→−∞
𝑘 (𝑥) < 0
c) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = +∞
d) lim𝑥→−∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 lim
𝑥→−∞𝑓 ´(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→−∞𝑔´ (𝑥) = 𝑀 ≠ 0
e) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→−∞
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e + ∞ = lim
𝑥→+∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = +∞
b) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = {+∞, 𝑠𝑒 𝐿 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝐿 < 0
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
5 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
c) lim𝑥→+∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = 0
d) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→+∞
𝑓 (𝑦) = 𝐿, se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→+∞𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim
𝑥→+∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→+∞𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→+∞𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀
b) lim𝑥→+∞
(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→+∞
𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝑥→+∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = {
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
lim𝑥→+∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀
e) lim𝑥→+∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Mostre que se ∃ L = lim
𝑥→−∞𝑓 (𝑥) e ∃ M = lim
𝑥→−∞𝑔 (𝑥):
a) lim
𝑥→−∞(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = lim
𝑥→−∞𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→−∞𝑔 (𝑥) = 𝐿 + 𝑀
b) lim𝑥→−∞
(𝑘 ∙ 𝑓) (𝑥) = k ∙ lim𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = lim𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) ∙ lim𝑥→−∞
𝑔 (𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝑥→−∞
(𝑓
𝑔) (𝑥) = {
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
lim𝑥→−∞
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
lim𝑥→−∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀
e) lim𝑥→−∞
(𝑓 ∘ 𝑔 ) (𝑥) = lim𝑦→𝑀
𝑓 (𝑦), se 𝑦 = 𝑔(𝑥)
(Teorema do Confronto) Mostre que se
∃ 𝑟 > 0, L = lim𝑥→𝑥0
𝑓 (𝑥) = lim𝑥→𝑥0
𝑔 (𝑥) e 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝑟, então
L = lim
𝑥→𝑥0ℎ (𝑥).
Mostre que se ∃ 𝑟 > 0,
0 = lim𝑥→𝑥0
𝑓 (𝑥) 𝑒 𝑎 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑏, 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝑟, então
lim𝑥→𝑥0
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥) = 0.
(Teorema Fundamental) Mostre que se
lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥= 1.
Mostre que se
lim𝑥→+∞
(1 +1
𝑥)𝑥
= e.
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 17
Exercício 18
Exercício 16
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
6 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
CÁLCULO DE LIMITES: NÍVEL 1 Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:
a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→
1
2
2𝑥−1
16𝑥4−1+
3
4𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥):
a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→0
(3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ ln (|𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥|):
a) 1 b) 0 c) 3 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→3
−𝑥3+2𝑥2−4𝑥+12
cos (𝑥−3):
a) 12 b) 9 c) -9 d) 2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→−1(−𝑥4 + 𝑥2 − 1)10:
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
𝑥 −1
2+
1
𝑥+1:
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
7 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0−𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 1):
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→𝜋
2
− 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 1):
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→
𝜋
2
+
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥:
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1+𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1−𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1:
Exercício 7
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
8 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0+𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥𝑐𝑜𝑠(
1
𝑥2), se 𝑥 ≥ 0
𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0−𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥𝑐𝑜𝑠(
1
𝑥2), se 𝑥 ≥ 0
𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0𝑓(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥𝑐𝑜𝑠(
1
𝑥2), se 𝑥 ≥ 0
𝑥7 − 7𝑥, se 𝑥 < 0:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0+(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0
e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙
𝜋
2, se 𝑥 ≥ 0
𝑥4, se 𝑥 < 0 :
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 16
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
9 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0−(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0
e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙
𝜋
2, se 𝑥 ≥ 0
𝑥4, se 𝑥 < 0 :
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→0(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), sendo
𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0
e 𝑔(𝑥) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙
𝜋
2, se 𝑥 ≥ 0
𝑥4, se 𝑥 < 0 :
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
𝑥 −1
2+
1
𝑥−1:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
𝑥 −1
2+
1
𝑥−1:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
−2𝑥−1
(1−𝑥)+
1
𝑥−1:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
−2𝑥−1
(1−𝑥)+
1
𝑥−1:
a) +∞ b) −∞ c) ∄
Exercício 18
Exercício 17
Exercício 19
Exercício 20
Exercício 21
Exercício 22
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
10 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
−2𝑥−1
(1−𝑥)+ 2−𝑥:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
−2𝑥−1
(1−𝑥)+ 2−𝑥:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) ∞ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
−2𝑥−1
(1−𝑥+𝑥2)+
−𝑒−𝑥
𝑥:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
−2𝑥−1
(1−𝑥+𝑥2)+
−𝑒−𝑥
𝑥:
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
𝑥2+4𝑥−2
𝑥−1∙ cos (
1
𝑥) :
a) +∞ b) −∞ c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1
√𝑥3
:
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Exercício 28
Exercício 23
Exercício 24
Exercício 25
Exercício 26
Exercício 27
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
11 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥):
a) 𝜋
2
b) 𝜋
3
c) 𝜋
4
d) 𝜋
6
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥):
a) 𝜋
2
b) 𝜋
3
c) 𝜋
4
d) 𝜋
6
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→1
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):
a) 𝜋
2
b) 𝜋
3
c) 𝜋
4
d) 𝜋
6
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥):
a) 𝜋
2
b) 𝜋
3
c) 𝜋
4
d) 𝜋
6
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1
2𝑥−1−𝑥2+2𝑥−2
3𝑥−1:
a) log3 √23
b) log2 √23
c) log3 2 d) log2 3 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
𝑒1− 𝑥2
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞
Exercício 29
Exercício 30
Exercício 31
Exercício 32
Exercício 33
Exercício 34
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
12 Todos os direitos reservados
João Carlos Moreira
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim
𝑥→+∞5𝑥 − 3𝑥:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
2√𝑥+5
3𝑥+2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
2𝑥 − √𝑥 + 2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
(2𝑥 − 1) (𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1):
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
(1 +1
4𝑥)𝑥
:
a) e b) +∞ c) −∞ d) 𝑒4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de limℎ→0+
(1 + ℎ)2
ℎ:
a) e b) +∞ c) −∞ d) 𝑒2 e) N.D.A.
Exercício 35
Exercício 36
Exercício 37
Exercício 38
Exercício 39
Exercício 40
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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PROPRIEDADES: DERIVADA (NÍVEL III)
Mostre que se ∃ (𝑑𝑓
𝑑𝑥) (𝑥0) e ∃ (
𝑑𝑔
𝑑𝑥) (𝑥0), então:
a) ∃ (𝑑(𝑓+𝑔)
𝑑𝑥) (𝑥0) = (
𝑑𝑓
𝑑𝑥) (𝑥0) + (
𝑑𝑔
𝑑𝑥) (𝑥0)
b) ∃ (𝑑(𝑓∙𝑔)
𝑑𝑥) (𝑥0) = (
𝑑𝑓
𝑑𝑥) (𝑥0) ∙ 𝑔(𝑥0) + 𝑓(𝑥0) (
𝑑𝑔
𝑑𝑥) (𝑥0)
c) ∃ (𝑑(𝑘∙𝑔)
𝑑𝑥) (𝑥0) = 𝑘 ∙ (
𝑑𝑓
𝑑𝑥) (𝑥0), ∀ 𝑘 ∈ ℝ
d) ∃(𝑑(
𝑓
𝑔)
𝑑𝑥) (𝑥0) =
(𝑑𝑓
𝑑𝑥)(𝑥0)∙𝑔(𝑥0)−𝑓(𝑥0)(
𝑑𝑔
𝑑𝑥)(𝑥0)
(𝑔(𝑥0))2 , se 𝑔(𝑥0) ≠ 0
e) ∃ (𝑑(𝑓∘𝑔 )
𝑑𝑥) (𝑥0) = (
𝑑𝑓
𝑑𝑥) (𝑔(𝑥0)) ∙ (
𝑑𝑔
𝑑𝑥) (𝑥0), se 𝐼𝑚𝑔 ⊂ 𝐷(𝑓)
f) ∃ (𝑑(𝑓−1 )
𝑑𝑥) (𝑦0) =
1
(𝑑𝑓
𝑑𝑥)(𝑓−1(𝑦0))
, 𝑦0 = 𝑓(𝑥0), 𝑠𝑒 ∃ 𝑓−1.
DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1
, sendo
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:
a) −1 + ln (2) b) 1 − ln (2) c) −2 + ln (3) d) −2 + ln (2) e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1
, sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 +1
𝑥2:
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=−1
, sendo 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 4𝑥 +
1) ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ:
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=2
, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥3
3𝑥:
a) -3 b) 3
c) −1 +𝑙𝑛3
3
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 1
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d) 1 −𝑙𝑛3
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=−1
, sendo 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥):
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑥𝑛|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = {𝑒− 1
𝑥, se x > 00, se x ≤ 0
:
a) 2 b) 0 c) 1 d) −1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0+
, sendo
𝑓(𝑥) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0−
, sendo
𝑓(𝑥) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 8
Exercício 9
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Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1+
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1−
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥:
a) 1
2
b) −1
2
c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=−1
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥39
:
a) 1
3
b) −1
3
c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 14
Exercício 13
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e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥):
a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):
a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 :
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1
, sendo
𝑓(𝑥) = log5 √𝑥3:
a) 2 b) −2 c) ∄
Exercício 15
Exercício 16
Exercício 18
Exercício 17
Exercício 19
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d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=2
, sendo
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)1000:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
INTEGRAIS: NÍVEL 1
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 2 +1
2𝑥−5𝑑𝑥
1
0:
a) 4+ln (
7
5)
2
b) 4−ln(
7
5)
2
c) −4+ln(
7
5)
2
d) −4−ln(
7
5)
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥
1
0:
a) ln(2)−cos(2)−1
2-1
b) ln(2)+cos(2)−1
2
c) ln(2)−cos(2)+1
2
d) −ln(2)−cos(2)−1
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ (6𝑥 + 4)𝑒3𝑥2+4𝑥+1𝑑𝑥
1
0:
a) 𝑒8 − 𝑒 b) 𝑒3 − 𝑒 c) 𝑒4 − 𝑒 d) 𝑒−1 − 𝑒 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥1
0:
a) 2𝑒−1 − 1 b) 2𝑒−1 + 1 c) −2𝑒−1 − 1 d) −2𝑒−1 + 1 e) N.D.A.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 20
Exercício 4
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Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥1
0:
a) 5𝑒−1 − 2 b) 5𝑒−1 + 2 c) −5𝑒−1 + 2 d) −5𝑒−1 − 2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥1
0:
a) 𝑒
2(−𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) + 1)
b) 𝑒
2(𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) + 1)
c) 𝑒
2(𝑠𝑒𝑛(1) + cos(1) + 1)
d) 𝑒
2(𝑠𝑒𝑛(1) − cos(1) − 1)
e) N.D.A.
GRÁFICO: NÍVEL 1
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 +1
𝑥−1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ − {1}.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(1
𝑥 ), ∀ 𝑥 ∈ ℝ+
∗ .
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
{
−2, ∀ 𝑥 ≥
𝜋
2
𝑡𝑔(𝑥), ∀ − 𝜋
2< 𝑥 <
𝜋
2
𝑥3 − 1, ∀ 𝑥 ≤ −𝜋
2
.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {3𝑥, ∀ 𝑥 ≥ 0
1 + 2𝑥, ∀ 𝑥 < 0.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {−𝑥5, ∀ 𝑥 ≤ 0
√𝑥, ∀ 𝑥 > 0.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ≥ 0𝑐𝑜𝑠(𝑥), ∀ 𝑥 < 0
.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, onde ⟦𝑥⟧ denota o maior inteiro que é menor ou igual a 𝑥.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ+∗ .
Exercício 3 Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −√𝑥3, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 14
, ∀ 𝑥 ≥ 1. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = (1
3)𝑥
, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 5−𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥
2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = − ln(𝑥 − 3) , ∀ 𝑥 > 3.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, ∀ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2
2 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 − log1
3𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ+
∗ .
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 16
Exercício 17
Exercício 18
Exercício 19
Exercício 20