104 CAPíTULO 2 Sistemas de Equações üneares

2 ohms c lohm

Para os três circuitos básicos, a lei da voltagem nos dá

Circuito ABEDA:

Circuito BCEB:

14 + 215= 10

2ft + 2h - 14=O

Circuito CDEC: lz =215 - 2h = O

(Observe que o ramo DAB não possui resistor e, portanto, não tem queda de voltagem; logo, não há termo Ina equação para o circuito ABEDA. Note também que tivemos que mudar de sinal três vezes porque fomos"contra a corrente". Isso não causa problema, já que o sinal da resposta determinará o sentido do fluxo dacorrente.)

Agora, temos um sistema de sete equações e seis incógnitas. O método de escalonamento por linhas nos dá

+ (Use sua calculadora ou CAS para conferir esse resultado.) Assim, a solução (em amperes) é1= 7, II = 15 = 3, 12= 14 = 4 e 13= - 1. O significado do valor negativo aqui é que a correnteque passa através do ramo CE está fluindo no sentido oposto ao marcado no diagrama. ~

Observação: . Há apenas uma fonte de energia neste exemplo. Portanto, a única bateria de 10 voltsfornece uma corrente de 7 amperes à rede. Se substituirmos esses valores na lei deOhm, E = RI, obteremos 10 = 7R, ou R = ~. Assim, toda a rede se comporta como se hou-vesse um único resistor de ~ohms. Esse valor é chamado de resistênciaefetiva (Rer)da rede.

Jogos Lineares Pinitos

Há muitas situações nas quais devemos considerar um sistema físico que tem apenas um número finito de es-tados. Às vezes esses estados podem ser alterados por meio da aplicação de certos processos, cada um dosquais produzindo uma quantidade finita de efeitos. Por exemplo, uma lâmpada pode estar acesa ou apagada,

liil 2 ohmsI !/2

14 13! 15- -B D

lohm E 2 ohmsA

II+-- +--1 10 volts 1

Figura 5 Um circuito ponte

1 -1 O O -1 O O 1 O O O O O 7O 1 -1 -1 O O O O 1 O O O O 31 O -1 O O -1 O O O 1 O O O 4O O O 1 1 -1 O O O O 1 O O -1O O O O 1 2 10 O O O O 1 O 4O 2 O 2 -1 O O O O O O O 1 3O O 1 -2 O -2 O O O O O O O O

2.5 Aplicações 105

euminterruptor pode mudar o estado da lâmpada de acesa para apagada e vice-versa. Sistemas digitais quesurgemem ciência da computação muitas vezes são desse tipo. Muitos jogos de computador retratam que-bra-cabeçasnos quais um certo esquema deve ser manipulado por vários interruptores a fim de produzir oefeitodesejado. A natureza finita de tais situações é perfeitamente adequada a análises que fazem uso dearitméticamodular, e freqüentemente sistemas lineares sobre 7Lpentram em cena. Problemas que envolvemessetipo de situação são chamados jogos linearesfinitos.

EXEMPLO7 Uma fileira de cinco lâmpadas é controlada por cinco interruptores. Cada interruptor muda oI

1

estado(ligado ou desligado) da lâmpada diretamente sobre ele e os estados das lâmpadas imediatamente ad-jacentesà esquerda e à direita.

. I

- - - àI:i àI:i

1~)-'!kJ

, A- -- B

~

- . ..: "ftJ

A B-- -- C

(a) (c)

I Figura6II

Por exemplo, se a primeira e a terceira lâmpadas estão acesas, como na Figura 6(a),ao ser pressionado ointerruptorA, muda-se o estado do sistema para o mostrado na Figura 6(b).Se depois pressionarmos o inter-ruptorC, o resultado será o mostrado na Figura 6(c).

Suponha inicialmente que todas as luzes estejam apagadas. Podemos pressionar os interruptores em al-gumaordemde modo que a primeira, a terceira e a quinta lâmpadasfiquem acesas?Podemospressionar osinterruptoresem alguma ordem de modo que só a primeira lâmpada fique acesa?

SOLUÇÃO:A natureza liga/desliga deste problema sugere que a notação binária será útil e que deveremostrabalharem 7Lz.Assim, representamos os estados das cinco lâmpadas por um vetor em Z~, de modo que Orepresentadesligado e 1, ligado. Por exemplo, o vetar

o11OO

corresponde à Figura 6(b).Podemos também usar vetores em Z~ para representar a ação de cada interruptor. Se um interruptor

: mudao estado de uma lâmpada, a componente correspondente é um 1; caso contrário, ela é O.Com essaconvenção,as ações dos cinco interruptores são dadas por

I

Asituação ilustrada na Figura 6(a)corresponde ao estado inicial

.. àI:i 81 - -'1'Itt r - t )A B C D E

.. - -I

,../ ,.., \rC D .E----(b)

l81 ....

t )-1D E I

1 1 O O O1 1 1 O O

a = 10, b= 1, c= 1, d= 1, e= OO O 1 1 1

O O O 1 1

106 CAPíTULO 2 Sistemas de Equações Lineares

1

O

s = 11OO

seguida por

11

a = I OOO

A soma (em Z~)é

O1

s+a=llOO

Observe que esse resultado corresponde à situação encontrada na Figura 6(b).Começando com qualquer configuração s, suponha que pressionemos os interruptores na ordem A, C, D, A,C, B. Isso corresponde à soma vetorial s + 3 + c + d + 3 + c + b. Como em Z~ a adiçãoé comutativa,temos

s + 3 + c + d + 3 + c + b = s + 23 + b + 2c + d = s + b + d. já que 2 =Oem 7L2.Assim, poderíamos chegar ao mesmo resultado pressionando apenas B e D- não importando a ordem. (Verifique que essa afirmação está correta.) Logo, neste exemplo,não precisamos pressionar nenhum interruptor mais de uma vez.Para decidir se é possível chegar a uma configuração-alvo t, começando de uma configuraçãoinicial s, precisamos determinar se existem escalares XI, . . . , Xs em 7L2tais que

s + X13 + x2b + . .. + xse =t

Em outras palavras, precisamos resolver (se possível) o sistema linear sobre 7L2que corresponde à equaçãovetorial

X13 + x2b + . .. + xse =t - s = t + s

Neste problema, s = O,e nossa primeira configuração-alvo é

1O

t = 11O1

A matriz completa desse sistema tem os vetores dados como colunas:

1 1 O O O 11 1 1 O O OO 1 1 1 O 1O O 1 1 1 OO O O 1 1 1

2.5 Aplicações 107

Reduzindo-asobre 7Lz,obtemos

1 O O O 1O 1 O O 1O O 1 O OO O O 1 1O O O O O

O111O

Vemosque Xs é uma variável livre. Portanto, há exatamente duas soluções (correspondentes a Xs = O e Xs = 1).Resolvendoo sistema para as outras variáveis em termos de Xs, obtemos

Xl = Xs

Xz = 1 + Xs

X3 = 1

X4 = 1 + Xs

Logo,quando Xs = Oe Xs = 1, temos respectivamente as soluções

+ (Verifiqueque essas duas soluções funcionam.)Analogamente, no segundo caso, temos

1O

t = I OO

O

A matrizcompleta se reduz da seguinte maneira:

mostrandoque não há solução neste caso; é impossível começar com todas as lâmpadas apagadas e acenderapenasa primeira.

o Exemplo 7 mostra o poder da álgebra linear. Embora pudéssemos ter descoberto por tentativa e erroquenão havia solução, testar todas as possíveis maneiras de ligar os interruptores teria sido extremamentetedioso.Além disso, poderíamos ter deixado de notar o fato de que nenhum dos interruptores precisa seracionadomais do que uma vez.

EXEMPLO8 Considere uma fileira com apenas três lâmpadas, que podem estar apagadas, acesas com luzazul-claraou acesas com luz azul-escura. Sob as lâmpadas estão três interruptores, A, B e C; cada um deles

x, lO

Xl 1

X2 1 X2 O

X3 = 1 e X3 = 1

X4 1 X4 O

Xs O Xs 1

1 1 O O O 1 1 O O O 1 O1 1 1 O O O O 1 O O 1 1O 1 1 1 O O -----+ O O 1 O O 1O O 1 1 1 O O O O 1 1 1

O O O 1 1 O O O O O O 1

108 CAPíTULO 2 Sistemas de Equações Lineares

muda o estado das lâmpadas para o próximo estado, na ordem mostrada na Figura 7. O interruptor A muda oestado das duas primeiras lâmpadas, o interruptor B muda todas as três lâmpadas e o interruptor C muda as úl-timas duas. Se todas as três lâmpadas estiverem inicialmente desligadas, é possível pressionar os interruptoresde um jeito que as lâmpadas fiquem nesta ordem: desligada, azul-clara e azul-escura (como na Figura 8)?

("lig,~?

Azul-escura Azul-clara

~Figura 7

SOLUÇÃO:Enquanto o Exemplo 7 utilizou Zz, este exemplo claramente (está claro?) utiliza Z3. De acordocom isso, os interruptores correspondem aos vetores

a~mb~m.e~m

em ZJ,e a configuração final que queremos obter é. ~ [U (Desligado é O,azul-claro é 1 e azul-escuro é 2.)Queremos encontrar escalares xI, xz, X3em Z3 tais que

Xla + xzb + x3c =t

(onde xi representa o número de vezes que o i-ésimo interruptor é pressionado. Essa equação faz surgir amatriz completa [a b c It], que se reduz em Z3da seguinte maneira:

[

1 1 O111011

O

] [

1 O O1 ~ O 1 O2 O O 1 :]

...Logo,há uma única solução para o sistema:Xl = 2, X2 = 1, X3 = 1. Em outras palavras, devemospressionar duas vezes o interruptor A e uma vez cada um dos outros dois interruptores.(Verifique isso.) .

. EXERCíCIOS2.5 .

Alocação de Recursos1. Suponha que, no Exemplo 1, 400 unidades de alimentoA, 600 unidades de alimento B e 600 unidades de ali-mento C sejam colocadas no tubo de ensaio a cada dia, eque os dados sobre o consumo diário de alimentos pelasbactérias (em unidades por dia) sejam como mostra aTabela 3. Quantas bactérias de cada espécie podemcoexistir no tubo de ensaio e consumir todo o alimento?

An .. ....

Ttr IrJ .Lr

A B C--- -Figura 8

I

... a.. \.

r rt I IkrA B C--

Tabela3

Bactéria da Bactéria da Bactéria da

Espécie I Espécie 11 Espécie III

Alimento A 1 2 O

Alimento B '1 1 1

Alimento C 1 1 2