Jogos Matix e Senha:

motivando conteúdos da 2ª série do Ensino Médio

Ermínia de Lourdes Campello Fanti, Depto de Matemática, IBILCE, UNESP 15054-000, São José do Rio Preto, SP

E-mail: fanti@ibilce.unesp.br

Amal Rahif Suleiman

EE Monsenhor Gonçalves –SJRP Mestre em Educação Escolar - UNESP-Araraquara

E-mail: amal.rahif@terra.com.br Resumo: É grande a dificuldade encontrada, em geral, pelos alunos na aquisição de conteúdos de Matemática em todos os níveis de ensino. A maneira como se trabalha certos conceitos é muito importante para a contribuição do ensino e da aprendizagem. O jogo é uma maneira de conciliar aprendizado e diversão podendo ser usado com sucesso para minimizar tal dificuldade. Por meio do jogo, os alunos vivenciam situações, aprendem a usar símbolos, pensam por analogias, aprendem a seguir regras, desenvolvem estratégias e aprendem a usar um raciocínio lógico. Este trabalho tem por objetivo apresentar os jogos Matix e Senha e mostrar como tais jogos foram usados em escolas públicas em projetos do Núcleo de Ensino- PROGRAD/UNESP coordenados pela Profª. Ermínia de L. C. Fanti no estudo/motivação dos conteúdos Matriz e Combinatória, com classes de 2ª série do Ensino Médio. Introdução A Matemática recreativa é constituída por uma vasta composição de problemas, anedotas, charadas, quebra-cabeças e jogos. Para Gallagher (1997), quando se usa a Matemática recreativa para a resolução de problemas, ocorre uma transferência de “habilidades” para problemas genuínos, afirmando que: “... as habilidades adquiridas sob condições agradáveis de aprendizagem, geralmente, ficam retidas por longos períodos de tempo.” (GALLAGHER, 1997, p. 244), e conclui que o professor deve oportunizar o sucesso dessa “transferência”. O jogo, como elemento da Matemática recreativa, tem sido estudado por diversos teóricos, sob várias correntes metodológicas, elegendo-o como uma forma desafiadora e prazerosa de se adquirir conhecimento. No Brasil, nas últimas décadas, ocorreram numerosas pesquisas científicas, enfocando o jogo na educação escolar, como intervenção, ou para melhor compreender os processos cognitivos dos sujeitos, enquanto estão jogando. Quanto a esse aspecto, ressalta Dell’Agli (2002): “As pesquisas, de maneira geral, têm procurado fazer uma relação dos jogos com o desenvolvimento cognitivo e/ou buscar por meio deles melhorar a aprendizagem de conceitos escolares.” (DELL’AGLI, 2002, p. 48). Durante o processo de ensino-aprendizagem, o jogo propicia aliar o desenvolvimento cognitivo a uma dimensão lúdica e relacional. No que se refere ao aspecto cognitivo, solicita o pensar operatoriamente e permite fixar conceitos ou introduzir conceitos novos. Quanto à sua dimensão lúdica, promove o prazer de brincar, sendo que, ao valorizar o lúdico na aprendizagem se valoriza o sentido que os alunos dão às coisas. O uso de jogos tem se apresentado como um favorecedor para a aquisição do conhecimento matemático, conforme demonstram as produções cientificas que associaram o jogo como recurso pedagógico nas aulas de Matemática. Tal recurso, segundo Macedo (2000): “... é adotar uma metodologia de ensino que considere o aluno como um ser que pensa e que pode aprender qualquer matéria desde que o conteúdo trabalhado tenha algum significado ou possa remetê-lo a algo já conhecido.”(MACEDO, 2000, p. 33).

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Assim, o jogo, nas aulas de Matemática, propicia “um espaço para pensar” (BRENELLI, 1996), e sem pensar, não há como aprender Matemática. O trabalho com jogos desenvolve diversas habilidades, pois cria condições para o progresso da linguagem, de diferentes processos de raciocínio e de interação entre os alunos, dando a possibilidade de defender pontos de vista, ser crítico e obter confiança em si mesmo. Essas características são fundamentais para aprender Matemática. Quanto à prática do professor, Kamii (1992) propõe 5 princípios para trabalhar com jogos, de forma didática e planejada: escolher os jogos, introduzir os jogos na sala de aula, aplicar os jogos, encerrar um jogo e avaliar os seus resultados. Tais princípios podem facilitar a atuação do professor, para que a atividade com jogos seja satisfatória e eficiente. O cuidado com o jogo em sala de aula é essencial para não se tornar apenas jogo pelo jogo, mas buscar uma intenção pedagógica, com objetivos à aprendizagem do conteúdo matemático, que não deve estar no jogo, mas no ato de jogar. Tem sido objeto de nossas pesquisas/projetos (em Ensino de Matemática) conhecer/estudar jogos (e softwares, especialmente os livres) visando relacionar a eles conteúdos matemáticos de modo que os mesmos possam ser usados como ferramenta auxiliar no ensino - aprendizagem de tais conteúdos. Neste trabalho serão abordadas as relações entre os jogos Matix e Senha e, respectivamente, os assuntos Matriz e Análise combinatória.

Os conteúdos “Matrizes, determinantes e sistemas lineares” e “Análise combinatória (princípios multiplicativo e aditivo) e probabilidade”, de acordo com o Currículo do Estado de São Paulo – Matemática, estão propostos na 2ª série do Ensino Médio, 2º e 3º bimestre, respectivamente (SÃO PAULO, 2010). Dentre as habilidades esperadas encontramos, por exemplo: “compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na representação de tabelas ...” (p. 67) e “compreender os raciocínios combinatórios aditivo e multiplicativo na resolução de situações-problema de contagem indireta do número de possibilidades de ocorrência de um evento” (p. 68).

Análise combinatória e matriz são tópicos de matemática bastante interessantes e com várias aplicações no cotidiano. A análise combinatória tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. É de grande importância em ciências aplicadas, em especial no cálculo das probabilidades. Matrizes são frequentemente utilizadas para organizar dados, sendo usadas, por exemplo, em tabelas comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, apresentar o resultado de uma pesquisa de opinião. As matrizes, além das aplicações acima mencionadas, estão fortemente relacionadas com sistemas lineares, pois a todo sistema podemos associar uma matriz, denominada matriz completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes. Matrizes também são úteis na teoria de códigos e em computação.

Metodologia / Desenvolvimento

Utilizamos metodologias baseadas em teoria pedagógica direcionada à aplicação de

jogos e o uso de informática. Acrescentam-se obviamente pesquisas bibliográficas, estudos, e discussões entre a coordenadora, bolsistas e professores da rede pública envolvidos nos projetos que tem sido desenvolvidos em parceria com as escolas.

Os jogos Matix e Senha foram aplicados nas escolas estaduais de São José do Rio Preto: E.E. Profa. Amira Homsi Chalella e E.E. Monsenhor Gonçalves, com a colaboração direta dos alunos bolsistas dos projetos do Núcleo de Ensino/PROGRAD/UNESP e dos professores das escolas envolvidas, dentre eles, a Profa. Amal Rahif Suleiman da E.E. Monsenhor Gonçalves. Os dois jogos foram aplicados em 2009 em 8 classes de 2ª série do Ensino Médio da E.E. Profa Amira (4 do diurno e 4 do noturno) e em 2010, em 8 classes da E.E. Monsenhor Gonçalves e 4 classes da E.E. Profa. Amira, todas do período da manhã. Em 2011, trabalhou-se com o jogo Senha com 8 classes da E.E. Monsenhor e 2 da E.E. Profa. Amira. As classes tinham, em média, 30 alunos. O jogo Senha tem sido usado também em oficinas (Etec Philadelpho Golveia Neto – SJRP, 2009) e feiras/exposições como as ocorridas

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no saguão do IBILCE, nestes casos com a colaboração dos bolsistas do projeto do Programa Ciência na UNESP.

Jogos Matix e Senha: I. O Matix é um jogo de tabuleiro que, segundo CAVALCANTE e ORTEGA (2008),

foi criado na Alemanha, e possui duas versões: uma com 36 casas e outra com 64 casas. Neste trabalho utilizamos o jogo formado de 64 casas, composto assim de um tabuleiro 8x8 (igual ao de damas ou xadrez) e de 64 peças/fichas como as relacionadas na tabela seguinte, a primeira linha indica os números (e um coringa) que estão marcados nas fichas e correspondem ao valor/pontuação de tal ficha, e a segunda a quantidade de fichas existentes com esse valor:

coringa -10 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +10 +15

1 4 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 5 3 3 3 1

Tabela 1: Fichas do jogo Matix

Um modelo de tabuleiro e fichas pode ser obtido, por exemplo, no site do Laboratório de Matemática do IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto: http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/img/jogos/pdf/matix.pdf (consulta: 20/01/2011). Originalmente, o Matix é um jogo que explora expressões numéricas com números inteiros. Objetivos do jogo: que os alunos aprendam a soma algébrica de números inteiros e desenvolvam o cálculo mental. Indicado para ser aplicado no 7º ano do Ensino Fundamental, quando ocorre a abordagem do conteúdo dos números inteiros relativos e suas operações. Como jogar: Para iniciar o jogo você deve distribuir aleatoriamente as peças sobre o tabuleiro (viradas para cima, vide Figura 1). Depois se deve decidir quem irá começar o jogo. O iniciante (Jogador 1) deve escolher entre linha ou coluna (sentido horizontal ou vertical). Em seguida ele tira o coringa e começa a jogar. Se, por exemplo, o Jogador 1 começar o jogo sendo “coluna”, ele deverá tirar a sua primeira peça da coluna onde estava o coringa. O outro jogador (que, no exemplo, será “linha”) deve tirar sua primeira peça da linha onde estava a peça retirada pelo primeiro jogador. Termina o jogo quando não houver mais peças a serem retiradas na coluna ou linha. Ganha o jogo aquele que acumular mais pontos. Para cada grupo de 2 ou 4 alunos da sala foi entregue um jogo (que foi confeccionado em EVA pelos alunos/bolsistas do projeto) e para direcionar o jogo de modo a motivar/explorar o conceito de matriz foram desenvolvidas as seguintes atividades: Atividades: 1) Depois de montar o tabuleiro, podemos associar a ele uma matriz A. Represente abaixo essa matriz.

2) Complete (após decidir quem será linha ou coluna):

Jogador 1

coluna)(

linha)(

..... :Nome

Jogador 2

coluna)(

linha)(

..... :Nome

O coringa estava na linha ______ e na coluna ________. 3) É usual representar uma matriz A na notação matricial A= (aij), onde aij indica o elemento que está na linha i e coluna j. Preencha a tabela abaixo de acordo com as peças retiradas do tabuleiro ao longo

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do jogo (nas 9 primeiras jogadas de cada um), usando na 3ª coluna a representação matricial. Preencha também (*) abaixo, Jogador 1: _________ (linha/coluna) Jogador 2: __________ (linha/coluna)

(*) O último elemento que foi retirado antes de terminar a partida foi ...... = ...... (Exemplo a54 = -3).

Figura 1. Jogo Matix (em EVA)

II. O jogo Senha (ou da Senha) também conhecido como Mastermind, possui muitas

variações tanto no material concreto como em jogos virtuais (softwares), vide Figura 2. Resumidamente, o objetivo do jogo é descobrir a “senha” que foi anteriormente estabelecida pelo adversário ou o computador. Essa senha é, em geral, formada por uma sequência de quatro círculos coloridos, números ou pinos. É necessário descobrir as cores (ou números) e a ordem que elas aparecem. As cores utilizadas são as que estão disponíveis no jogo que se está trabalhando (que variam, em geral, de quatro a seis cores). Para cada tentativa, uma dica será dada indicando se existem cores corretas na proposta apresentada (isto é, que pertencem à senha), e se estão no lugar certo. Segundo informações encontradas em sites, o jogo foi inventado em 1971 por Mordechai Meirovitz - Israel, e lançado posteriormente no Brasil pela Grow. O jogo computacional pode ser obtido para download, por exemplo, nos sites

http://sitededicas.ne10.uol.com.br/software_senha.htm (acesso em 23/01/2011) (1), http://www.baixaki.com.br/download/jogo-da-senha.htm (acesso em 23/01/2011) (2).

Nos dois casos a senha é formada por 4 círculos de cores distintas. No primeiro caso existem 6 cores possíveis e no segundo caso existem 8 cores. Existem ainda outros sites que oferecem “jogos da senha” on-line (com algumas variações). Para um jogo cuja senha é formada por números (ao invés de círculos) ver, por exemplo, http://www.usinadejogos.com.br/senha.html O jogo da Senha em Material Concreto (Mastermind) é formado por pinos coloridos e possui regras similares ao jogo da Senha virtual. Os jogos da Senha, em material concreto, usados em sala de aula foram confeccionados em EVA e foi feita uma adaptação – ao invés de pinos usaram-se quadradinhos coloridos (Figura 2).

Como jogar: (estamos considerando aqui os jogos obtidos nos sites em (1) ou (2)) 1) Decida por uma “possível senha” (que você acha ser a correta). Essa provável senha deverá ser submetida para ver/conferir se a mesma está correta. Para isso: 2) Escolha um dos quatro círculos a ser colorido no “painel de círculos” que se encontra próximo da barra de cores, e clique primeiro sobre o círculo que você quer colorir.

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3) Escolha a cor para esse circulo dentre as cores disponíveis na barra de cores, clicando sobre

a cor desejada/escolhida. 4) Repita a operação para os outros três círculos. 5) Quando colorir os quatro círculos, submeta a sua “possível senha” para avaliação, para isso dê um clique no botão Submeter (ou Verificar Senha) Para cada tentativa você receberá uma resposta (que dará dicas para você descobrir a senha): Cada círculo branco (ou vermelho no caso do software (2)) que aparecer significa que você acertou a cor de um círculo, mas errou sua posição. Cada círculo preto apresentado significa que você acertou a cor de um círculo e acertou também a sua posição. Continue jogando até obter quatro círculos pretos o que significa que você descobriu a senha (cores e posições dos círculos). A ordem de colocação dos círculos no painel de respostas é aleatória. Você pode mudar a cor de qualquer peça já colorida antes de submeter para avaliação. As cores escondidas (isto é, usadas na senha) não se repetem para alguns jogos, mas para outros isso pode ocorrer. A regra no caso do jogo concreto é similar (o segundo jogador é que fornece a resposta, colocando os pinos (pretos ou brancos)).

As atividades propostas para serem realizadas durante o jogo foram: (aqui estamos supondo que o número de cores disponíveis seja 6, como no jogo obtido no site em (1)) Atividades: 1) Quantas senhas diferentes (de quatro círculos/peças) podem ser criadas utilizando as seis cores disponíveis, admitindo que as senhas sejam formadas utilizando círculos de cores distintas?_____________. 2) Fixando a cor amarela no 1º círculo, quantas senhas diferentes (com círculos de cores distintas) podem ser obtidas usando as cores restantes disponíveis (sabendo-se que existem seis cores no total)? _______________. 3) Quantas senhas diferentes (de quatro círculos/peças) podem ser obtidas utilizando as seis cores disponíveis admitindo que as senhas sejam formadas utilizando círculos de cores não necessariamente distintas? ___________________. 4) Inicie uma certa jogada: Descreva abaixo a primeira “possível senha” que você escolheu indicando as cores (na ordem) 1ª ___________; 2ª ___________; 3ª____________; 4ª ____________. Responda: quantas senhas distintas de quatro cores (diferentes) podemos obter utilizando apenas essas mesmas cores que você escolheu? ___________. 5) Efetue as jogadas e submeta-as. Jogue até acertar, ou terminar as possibilidades de tentativas. Você conseguiu descobrir a senha? _________. Se sim, após quantas tentativas você descobriu?___________.

Figura 2: Jogos Senha – material concreto e tela do software/jogo

Conclusão/Resultados O trabalho desenvolvido está de acordo com os PCNs uma vez que nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 28) encontramos:

O jogo oferece o estímulo e o ambiente propícios que favorecem o desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e permite ao professor ampliar seu conhecimento de técnicas ativas de ensino, desenvolver capacidades pessoais e profissionais para estimular nos alunos a capacidade de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova maneira, lúdica e

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prazerosa e participativa, de relacionar-se com o conteúdo escolar, levando a uma maior apropriação dos conhecimentos envolvidos.

Como já mencionado, o Matix foi aplicado na 2ª série do Ensino Médio e possibilitou explorar os conceitos: de matriz como tabela, de linha, de coluna, da localização de um elemento aij e sua posição na matriz, do tipo da matriz (mxn; retangular ou quadrada), de diagonal da matriz, do total de elementos da matriz. Boa parte da “ideia” do conceito de matriz e seus elementos foi aprendida/compreendida pelos alunos, quando tiveram a oportunidade de jogar o Matix, e isso foi verificado quando respondiam prontamente aos monitores/bolsistas, na avaliação, às questões/atividades que lhes foram propostas. O jogo da Senha foi aplicado quando foi trabalhado o P.F.C. (Princípio Fundamental da Contagem e Arranjos Simples). Após o trabalho pode-se observar que o mesmo contribuiu para desencadear o desenvolvimento do raciocínio para a resolução de problemas de Contagem. O jogo da Senha utilizado em 2009 e 2011 foi o virtual, já em 2010, como na época da aplicação do mesmo os laboratórios das duas escolas trabalhadas estavam em reforma, utilizou-se o jogo Senha confeccionado em EVA pelos bolsistas. Com base na experiência vivenciada em sala com os alunos (em 2010 e 2011), a Profa. Amal, registra: o trabalho com o jogo foi extremamente proveitoso, de muita participação, prazeroso, os alunos estavam estimulados, uma vez que foi aplicado antes de abordarmos o conteúdo de Análise Combinatória e eles se sentiram desafiados a encontrar a senha e a resolver as problematizações que os monitores/bolsistas lançaram a eles. Quando eu fui trabalhar o conteúdo, muitos deles resolveram os problemas de Contagem, fazendo a associação com as questões que os monitores haviam proposto durante o jogo. Alguns diziam: “Ah, igual no jogo.” Houve a transferência de forma satisfatória e facilitou muito a aprendizagem de Análise Combinatória. Ter a oportunidade de aplicar o jogo das duas formas, no material concreto e no computador, foi bastante interessante, pois foi possível observar que o jogo virtual tem suas vantagens sobre o manual em alguns aspectos: o tempo, a organização da sala, e a aplicação é menos ruidosa. Os alunos apreciam mais porque o computador é parte fundamental da vida deles, e uma atividade de Matemática que venha do virtual torna-se mais apreciada. No jogo virtual, eles puderam fazer mais tentativas de melhorar cada vez mais seu desempenho. As turmas que participaram gostaram muito. Muitos queriam repetir. Sentiram-se muito mais à vontade diante do jogo virtual, e aprenderam as regras do jogo com mais facilidade do que as turmas do jogo manual. Alguns deles baixaram o jogo na sua casa. Houve um aluno que disse assim: “Eu nunca tinha ido à uma sala de informática – adorei – Não vamos de novo?” Outros diziam: “é da hora esse jogo”. Para verificar (de um modo mais tradicional) se o jogo trouxe algum benefício no aprendizado do aluno, foi elaborado, em 2009 para o conteúdo de combinatória, e em 2010 para o conteúdo de matriz, duas provinhas que foram aplicadas para algumas classes, uma antes e a outra depois do uso dos jogos. Por exemplo, em 2010, nas duas provas envolvendo conteúdos básicos de matriz, para uma turma do 2ª série do Ensino Médio (com 34 alunos da E.E. Monsenhor Gonçalves) a média geral da classe, na provinha aplicada antes de utilizar o jogo foi 7,09 e a média geral da classe na prova aplicada após o uso do jogo subiu para 9,23. Relativo ao jogo da senha, em 2009 na E.E. Profa Amira, nas duas provas envolvendo conteúdos de combinatória para uma turma de 2ª série do E.M., as médias foram 5,5 na 1ª prova aplicada anteriormente à apresentação do jogo e 6,3 após a aplicação do jogo.

Em 2010 e 2011, adotou-se um outro procedimento, o jogo Senha foi usado como uma maneira para introduzir o assunto combinatória. Foi feita uma 1ª provinha (em 2010) mais como uma sondagem, sem os alunos terem visto o conceito (PFC) e uma outra depois. Na EE Profa Amira nas duas provas envolvendo conteúdos de combinatória para uma turma da 2ª série do E.M., as médias foram 1,62 referente a 1ª prova e 7,14 após a aplicação do jogo. Na E.E. Monsenhor Gonçalves numa das classes avaliadas, a media da classe com relação a 1ª prova foi 4,38 e na 2ª foi 6,67, noutra classe a média na 1ª prova foi 0,23 e a média na 2ª prova foi 8,91. Foi possível observar que os alunos, em geral, não gostam de realizar avaliações no estilo tradicional, muitos se recusam a fazer simplesmente porque não querem. Já nas

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atividades elaboradas durante o desenvolvimento dos jogos os questionamentos/perguntas são melhor recebidos. Com base no trabalho realizado entendemos que a junção da aula conceitual dada pelo professor e a dinamicidade e descontração das atividades desenvolvidas com os jogos contribuiu/motivou para uma melhor absorção pelos alunos, dos conceitos matemáticos relacionados. A princípio o que foi explorado parece bastante simples, mas o fato dos conceitos básicos serem abordados de uma forma mais palpável leva o aluno a aceitar melhor as idéias, conteúdos que se seguem e que são mais bem elaborados. Pode-se verificar que durante os exercícios de reforço (após ter trabalhado Análise Combinatória com eles) muitos alunos identificavam a semelhança com as perguntas/atividades desenvolvidas durante o jogo.

Referências:

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