JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010 - ift.unesp.br · à la Heisenberg à la ... RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ

Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 11

JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010

INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P.

19 a 23-07-2010


CAMPOS CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE CALIBRE E POR AÍ AFORA …

JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010Instituto de Física Teórica/UNESP

Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki


Do I have to explain the relationship and equivalence of general relativity and quantum mechanics again? Didn't you get it the first time?


2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOSNTICOS


MECÂNICA QUÂNTICA




Diferentes formas da mecânica quânticaDiferentes formas da mecânica quântica

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

à la Heisenberg

à la Schrödinger

BA

à la Dirac

A

B

à la Feynman


Elementos formais da mecânica quântica simbólica de Dirac

B A

B

OB O A

Vetor de estadoVetor de estado

Vetor de estado no espaVetor de estado no espaço dualço dual

Amplitude de probabilidade para a Amplitude de probabilidade para a transição do estado A para o estado B transição do estado A para o estado B

Operador (Hermitiano, autoOperador (Hermitiano, auto--adjunto)adjunto)

Elemento de matriz do operador Elemento de matriz do operador OO

A


RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ

• ESPAÇO DE HILBERT, H

, , ,H a b c

vetores



• H: Espaço vetorial linear sobre CC, tal que

0 ,

0

a b b a

a b c a b c

a a a

a a



• H: Espaço vetorial linear sobre CC, tal que

, , ,

a b a b

a a a

a a



• PRODUTO ESCALAR DE VETORESPRODUTO ESCALAR DE VETORES

*a b b a

a b c a b a c

a b a b



• OPERADORES LINEARES OPERADORES LINEARES MAPEIAM MAPEIAM HH EM EM H H OU SUBOU SUB HH

se e somente se A a

O a b O a O b

A B B a



• OPERADORES LINEARES EM OPERADORES LINEARES EM H H

1

0 0

a a

a

A B a A a B a

AB a A B a

BA a B A a



• OPERADORES LINEARES EM OPERADORES LINEARES EM H H

,AB BAA B AB BA

Em geral Em geral AA e e BB não comutamnão comutam

COMUTADOR ENTRE COMUTADOR ENTRE AA e e BB



• OPERADORES ADJUNTOS EM OPERADORES ADJUNTOS EM H H

*†

† : adjunto de

a A b b A a

A A



• OPERADORES ADJUNTOS EM OPERADORES ADJUNTOS EM H H

† * †

† † †

† † †

††

A A

A B A B

AB B A

A A



• OPERADORES HERMITIANOS EM OPERADORES HERMITIANOS EM H H

†

* *†

A A

b A b b A b b A b



• AUTOVETORES E AUTOVALORESAUTOVETORES E AUTOVALORES

Sejam Sejam AA um operador e | a um operador e | a | 0 | 0 tal quetal que

AA a a = = αα a a com com αα CC

então então | | a a é dito ser um é dito ser um autovetorautovetor de de AA com com autovalorautovalor αα



• AUTOVALORES REAISAUTOVALORES REAIS

ParaPara operadoresoperadores hermitianoshermitianos::

Autovalores são Autovalores são reaisreais;;

Se | a Se | a e | b e | b são dois autovetores de um são dois autovetores de um operador hermitiano A = Aoperador hermitiano A = A†† e α e α β β

então então a a b b = 0= 0



• AUTOVETORES E BASES EM EM H H

•• Qualquer vetor pode ser expresso em termos de um Qualquer vetor pode ser expresso em termos de um conjunto linearmente independente de vetores de baseconjunto linearmente independente de vetores de base

bb b

1b

b b



• AUTOVETORES E BASES EM EM H H

•• Produto escalar então pode ser expressoProduto escalar então pode ser expresso

1b

b b

1b

b b



• OPERADORES UNITOPERADORES UNITÁÁRIOS E RIOS E TRANSFORMATRANSFORMAÇÕÇÕES ES UNITUNITÁRIASÁRIAS

1 †

1 † 1

U U

U U U U



• TRANSFORMATRANSFORMAÇÕÇÕES DE VETORES E ES DE VETORES E OPERADORESOPERADORES

novo antigo

† 1novo antigo antigo

U

A UA U UA U



• PRODUTO ESCALAR E PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SAUTOVALORES SÃO INVARIANTESÃO INVARIANTES

†novo novo antigo antigo

antigo antigo

U U



• PRODUTO ESCALAR E PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SAUTOVALORES SÃO INVARIANTESÃO INVARIANTES

†novo antigonovo antigo

antigo antigo

antigo novo

A UA U U

UA

U



• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.

O O estadoestado de um sistema físico corresponde de um sistema físico corresponde ao ao vetorvetor raio de um espaço de Hilbert raio de um espaço de Hilbert H. H. Portanto, tanto Portanto, tanto ψψ quanto µ quanto µ ψψ H H representam o mesmo estado.representam o mesmo estado.




Os Os observáveis dinâmicosobserváveis dinâmicos de um sistema de um sistema físico correspondem aos físico correspondem aos operadores operadores observáveis em observáveis em H: Operadores observáveis H: Operadores observáveis sãosão hermitianoshermitianos, , i.e., i.e., autovalores reaisautovalores reais, , cujos cujos autovetores autovetores formam uma base em H. formam uma base em H.




O resultado de qualquer medida de um O resultado de qualquer medida de um observávelobservável pode ser somente um dospode ser somente um dosautovaloresautovalores desse operador observável. O desse operador observável. O estado do sistema físico, é representado estado do sistema físico, é representado pelopelo autovetorautovetor ψψ HH




Se o Se o estadoestado do sistema físico é do sistema físico é representado pelo representado pelo autovetorautovetor ψψ H H a a probabilidade de uma medida de B probabilidade de uma medida de B resultar num valor resultar num valor β β é dada por:é dada por:

2( , )P B B




Os Os operadoresoperadores AA e e BB que correspondem às que correspondem às variáveis dinâmicas variáveis dinâmicas clássicasclássicas A A e e BBsatisfazem a relação de comutaçãosatisfazem a relação de comutação

operadores

,

,

A B AB BA

i A B




operadores,i i i i i

A B A BA Bq p p q




, 0

, 0 ,

,

i j

i j

i j ij

q q

p p

q p i

,




0

00

0

( )

( )t t

i H t tt

U t t

e

A evolução temporal dos estados é A evolução temporal dos estados é realizada por um operador unitário;realizada por um operador unitário;




Considerando uma variação Considerando uma variação infinitesimal do tempo, infinitesimal do tempo, e a variação infinitesimal dos e a variação infinitesimal dos estados e estados e desde quedesde que

0t t dt

0 0t dt t d

1i Hdt i Hdt

e




00 0

0 0

00

( )1

i H t tt t t

t t t

tt

i Hdt

i Hdt

d i Hdt

e




Hi t




Usando a representação de HeisenbergUsando a representação de Heisenberg

0 01 1

H S S St t tU U U





0 0

1H S

( ) ( )S

( ) t ti iH t t H t t

A t U A U

e A e





H H H

H

( )

,

i A t A H HAt

A H




Classicamente, associamos Classicamente, associamos

CAMPOSCAMPOS com com INTERAÇÕESINTERAÇÕES. .

Ex.: Campo elétrico. Ex.: Campo elétrico.

( , )E t x Função vetorial de três Função vetorial de três

componentes definidos em componentes definidos em cada ponto do espaçocada ponto do espaço--tempotempo




Quanticamente, associamos Quanticamente, associamos

CAMPOSCAMPOS com com PARTÍCULASPARTÍCULAS..


2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS

PARTÍCULASPARTÍCULAS: Essência da matéria que se descreve : Essência da matéria que se descreve por meio de funções de onda;por meio de funções de onda;

ONDASONDAS: Funções dependentes do espaço: Funções dependentes do espaço--tempo que tempo que descrevem as partículas!descrevem as partículas!

•• DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:



Na concepção da física atual, partículas e ondas são Na concepção da física atual, partículas e ondas são expressões que se sobrepõem entre si;expressões que se sobrepõem entre si;

A natureza da matéria é vista como de caráter dual A natureza da matéria é vista como de caráter dual –– seja ora partícula, seja ora onda. seja ora partícula, seja ora onda.

•• DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:



Invariância de Lorentz (RR);Invariância de Lorentz (RR);

Interpretação probabilística Interpretação probabilística dos vetores de estado (MQ)dos vetores de estado (MQ)

•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:



Para Para cadacada partículapartícula háhá umauma antianti--partículapartículaassociadaassociada, com , com cargacarga elétricaelétrica opostaoposta; ;

As As partículaspartículas obedecemobedecem a a conexãoconexão spinspin--estatísticaestatística: : BósonsBósons (spin (spin inteirosinteiros) e ) e férmionsférmions (semi(semi--inteirosinteiros))




Campo Campo quânticoquântico é o campo é o campo clássicoclássico queque foifoiquantizadoquantizado..

A A quantizaçãoquantização é um é um processoprocesso queque utilizautiliza::a. a. PostuladoPostulado dada quantizaçãoquantização;;b. b. PrincípioPrincípio de de correspondênciacorrespondência..




a.a. Postulado da quantização:Postulado da quantização:As funções canônicas que satisfazem o parenteses As funções canônicas que satisfazem o parenteses de Poisson obedecem agora os comutadores:de Poisson obedecem agora os comutadores:


qpiqp ,,




b. Princípio da correspondência:b. Princípio da correspondência:As variáveis dinâmicas clássicas como energia,As variáveis dinâmicas clássicas como energia,momento, Lagrangiana, etc. são formalmentemomento, Lagrangiana, etc. são formalmenteequivalentes, com expressões apropriadas equivalentes, com expressões apropriadas substituídas por operadores.substituídas por operadores.



Q.E.D. Q.E.D. ÉÉ A MAIS EXATA DAS TEORIAS A MAIS EXATA DAS TEORIAS FFÍÍSICAS CONSTRUSICAS CONSTRUÍÍDAS. DAS.

•• SUCESSO DA TEORIA:SUCESSO DA TEORIA:



TRATAMENTO PERTURBATIVO APENAS.TRATAMENTO PERTURBATIVO APENAS.

QUANTIZAQUANTIZAÇÃO DO CAMPO GRAVITACIONAL ÇÃO DO CAMPO GRAVITACIONAL

•• DIFICULDADES BDIFICULDADES BÁSICASÁSICAS::



1.1. Para um dado sistema físico, existe uma função de Para um dado sistema físico, existe uma função de estado que resume tudo o que se pode conhecer a estado que resume tudo o que se pode conhecer a respeito desse sistema;respeito desse sistema;

•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::



1a. A função de estado no espaço de coordenadas 1a. A função de estado no espaço de coordenadas chamachama--se de função de onda, se de função de onda, ψψ(q;s;t), (q;s;t),


1 n 1 n( , , ; , ; ; )q q s s t



1b. Probabilidade de o sistema ter valores 1b. Probabilidade de o sistema ter valores no instante t. no instante t.


2i i( , , , , ) 0q s t

i i, , ,q s



2. Todo observ2. Todo observável físico é representado por um ável físico é representado por um operador linear hermitiano, por exemplo, para o operador linear hermitiano, por exemplo, para o momento canonico:momento canonico:


kk

p iq



3. Um sistema físico se encontra no auto3. Um sistema físico se encontra no auto--estado do estado do operador operador ΩΩ sese::


n n n

( , , ) ( , , ) ( , , )n n nq s t q s t q s t



4. Uma função de onda ou função de estado qualquer 4. Uma função de onda ou função de estado qualquer pode ser expandida em termos de um conjunto pode ser expandida em termos de um conjunto ortonormal completo de autofunções ortonormal completo de autofunções ψψnn de um de um conjunto completo de operadores conjunto completo de operadores ΩΩnn. .


n n na *

s j n m nm( ) ( , , ) ( , , )dq q s t q s t



5. O resultado de uma medida de um observável 5. O resultado de uma medida de um observável físico físico é qualquer um de seus autovalores. Medida é qualquer um de seus autovalores. Medida de de ΩΩ resulta em resulta em ωωn n com uma probabilidade acom uma probabilidade ann* * aann


n n n

n n na *s j

2n n n

( ) ( , , ) ( , , )

| |

dq q s t q s t

a



6. A evolução temporal do sistema físico 6. A evolução temporal do sistema físico é governado é governado pela equação de Schrödinger:pela equação de Schrödinger:


i Ht

H E



Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:


2H

m

2p

E0 0p i i

c c tx

E

i p





22( , ) ( , )

2q ti q tt m

Não covariante





0x y z( , ) , , ,p p p p p

c

p E





22 2

2

p p p p

m cc

p p E





2 2 4H c m c 2p

E

2 2 2 2 4i c m ct



Para a relação relativística de energiaPara a relação relativística de energia--momento:momento:


2 2 2 2 4c m c p

E

2

2 2 2 2 2 42 c m c

t



Para a relação relativística de energiaPara a relação relativística de energia--momento:momento:


x x

EquaEquaçãção de Kleino de Klein--GordonGordon

2 4

2 0m c



Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:


†

3†

1( , )2

1( , ) ( ) ( )2 2

i t i t

i t i t

t a e a eV

dt a e a e

k kk

k k

k x k x

k

k x k x

x

kx k k

discr

cont

22 mc

kk





†

3 †

( , )2

1( , ) ( ) ( )2

i t i t

i t i t

t a e a eV

t d a e a e

k k kk

k

k x k x

k

k x k x

x

x k k k

discr

cont

22 mc

kk





( , ), ( , ) 0

( , ), ( , ) 0

( , ), ( , ) ( )

t t

t t

t t i

x y

x y

x y x y





3†

3 †

1( ) ( ) ( )2 2

1( ) ( ) ( )2

ik x ik x

ik x ik x

dx a e a e

x d a e a e

k k k

k k k

00

k x k x

k x t

k x k x





( ), ( ) ( ) onde

( )( )

x y i x y

x

L



Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:


21 2 31 2 3

i Ht

i c mcx x x





1

4





2 332 2 22 , 1

33 2 2 4

1

2i j j i

i ji j

i i ii

ct x x

i mc m cx





2 2

2

0

1

i j j i ij

i i

i





0

ii

0i mc

x





p p 0p mc





0i mc

† 0





3 2

3/2

/ † /

( )(2 )

( , ) ( , )e ( , ) ( , )eip x ip x

s

d mcx

b s u s d s v s

p

p p p p

E



Campo eletromagnético (Campo eletromagnético (fotônicofotônico):):


0F

F A A

EQUAÇÕESEQUAÇÕESDE MAXWELLDE MAXWELL





21 14 2

F F A L

F A A





3 3 †, ,3 0

( ) ( , )e ( , )e2 2

ik x ik xdA x a a

k kk k k

| | k





3

( , ), ( , ) 0;

( , ), ( , ) 0;

( , ), ( , ) ( ).

A t A t

t t

A t t ig

x y

x y

x y x y



•• ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: ELETRODINÂMICA QUÂNTICA:

QED14

i e A m F F L

F A A

AQUI, INVARIÂNCIA DE “GAUGE” DEVE SER LEVADA EM CONTA!



•• ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: ELETRODINÂMICA QUÂNTICA:

AA

L L

L L

L L

i m e A

i m e A

F e

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