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JOSÉ MÁRIO GOMES SILVA “Experiencia realizada com alunos do 12ºAno da Escola Secundária de São Miguel” INSTITUTO SUPERIOR DA EDUCAÇÃO DEPATAMENTO DE CIÊNCIAS & TECNOLOGIA 2008

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JOSÉ MÁRIO GOMES SILVA       

  “Experiencia realizada com alunos do 12ºAno da  Escola 

Secundária de São Miguel”  

       

INSTITUTO SUPERIOR DA EDUCAÇÃO DEPATAMENTO DE CIÊNCIAS & TECNOLOGIA

2008

JOSÉ MÁRIO GOMES SILVA   

      

   “Experiencia realizada com alunos da Escola Secundária 

de São Miguel”           

TRABALHO CIENTÍFICO APRESENTADO AO ISE PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA SOB A ORIENTAÇÃO DE DR.:ARLINDO TAVARES SEMEDO

 

2

Dedicatória  A todos aqueles que de uma forma ou outra contribuíram, com o seu apoio, para que este trabalho se efectivasse. A todos os meus professores e colegas que me apoiaram imenso durante a elaboração deste trabalho

2

O Júri;

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

Praia, aos ____ de ________________ de 200___

3

Índice I-PARTE ................................................................................................................................................................ 4 

INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 4 

II-PARTE ............................................................................................................................................................... 7 

2. PROBLEMA MATEMÁTICO ........................................................................................................................ 7 

Fundamentação teórica .................................................................................................... 7 2.1- Problema e exercícios – diferenças............................................................................... 8 2.2- Definição de um problema matemático ....................................................................... 9 2.3 - Formas de expressar problemas matemáticos: ........................................................ 11 2.4 - Classificação de problemas textuais .......................................................................... 12 2.5 - Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas ......................................... 12 

2.5.1- As heurísticas de resolução de problemas .......................................................... 13 2.6 - Etapas da resolução de um problema segundo Polya ............................................. 14 2.7 - Como resolver problemas (segundo Polya). ............................................................. 14 

2.7.1- Importância da revisão na resolução de problemas .......................................... 16 III-PARTE ........................................................................................................................................................... 17 

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................................................... 17 

3.1 - Definição ...................................................................................................................... 17 3.2- Função exponencial ( 0 1)xy a com a e a definidas em= > ≠ (estudo intuitivo) . 18 

3.2.1-Função exponencial de base a >1 ......................................................................... 18 3.2.2 - Função exponencial de base ] [0;1a∈ ............................................................... 19 3.2.3 - Função exponencial de base e ............................................................................. 20 Limites notáveis ............................................................................................................... 21 

3.3 - Translação dos gráficos de funções exponenciais .................................................... 22 3.4-Equações e inequações exponencial ............................................................................ 23 

3.4.1-Equações exponenciais .......................................................................................... 23 3.4.2-Inequações exponenciais ........................................................................................ 24 

3.5-Relação entre função exponencial e função logarítmica ........................................... 25 Logaritmo – definição. .................................................................................................... 25 

3.6-Derivada da função exponencial ................................................................................. 26 3.7-Resolução de problemas ............................................................................................... 29 

3.7.1-Sugestões metodológicos para a resolução de problemas ................................... 29 3.7.2- Problemas propostos ............................................................................................. 47 

IV-PARTE ........................................................................................................................................................... 49 

4-TRABALHO DE CAMPO .............................................................................................................................. 49 

4.1-Metodologia ................................................................................................................... 49 4.2-Recolha e tratamento de informações ......................................................................... 52 

4.2.1- Organização e reflexão sobre as respostas ......................................................... 52 5-COONCLUSÃO E RECOMENDAÇÔES .................................................................................................... 58 

5.1-Conclusão ...................................................................................................................... 58 5.2-Recomendações ............................................................................................................. 60 

ANEXO ................................................................................................................................................................ 65 

 

4

I-PARTE

INTRODUÇÃO

Como professor de Matematica durante seis anos, ao longo da carreira tivemos oportunidade

de trabalhar com alunos, cuja a idade vai dos 12 até à idade adulta, contribuindo, deste modo,

na resolução de problemas relacionados com a disciplina de Matemática, e, como é natural,

alguns desses estudantes tinham um talento excepcional para a Matemática, enquanto que

outros a viam como uma disciplina particularmente difícil de aprender. No entanto, a maioria

dos desses alunos manifestaram uma capacidade média em apreender matemática, Durante o

ano lectivo, deu-se uma atenção especial à resolução de problemas, utilizando,

essencialmente, o modelo de resolução função exponencial.

A questão fundamental no ensino de Matemática não é a alteração dos conteúdos, mas sim, a

mudança nos métodos de ensino e na natureza das actividades a realizar com os alunos.

Importa, porém, que o professor faça uma planificação cuidada do processo ensino-

aprendizagem, o que implica desafios à actualização científica e pedagógica, à criatividade,

mas também ao equilíbrio e bom senso1.

Sendo assim, deve ser dado um tratamento especial à resolução de problemas utilizando

modelo de resolução função exponencial devido à sua aplicação na vida quotidiana.

1 Ferreira Neves Maria Augusta Matemática 8 Guia do Professor

5

Os problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que,

frequentemente, podem ser utilizados varias estratégias e métodos de resolução e não

exercícios, geralmente de resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica um

algoritmo que conduz directamente à solução.

Como se tem verificado muito insucesso, mais concretamente na disciplina de Matemática e,

dentro da Matemática, a resolução de problemas é um dos factores que contribui para o

insucesso e pelo facto de a resolução de problemas já ter sido objecto de estudo de um

trabalho realizado com alunos do 2º ciclo e, por outro lado, levando em consideração que, no

presente ano lecciono o 12º ano, por esse motivo justifica-se a escolha do tema para o trabalho

do fim do curso: “Resolução de Problemas Matemático Utilizando o Modelo de

Resolução Função Exponencial”, tendo por base a experiência realizada com alunos da

Escola Secundária de São Miguel e cujo objectivo é propor algumas estratégias ou soluções

para diminuir o insucesso ou para melhorar o ensino-aprendizagem da Matemática.

Com o desenvolvimento do tema, pretendo dar um contributo docente, de forma a

proporcionar a organização sistemática dos conhecimentos diacrónicos, e contextualização, de

modo a verificar as diversas contribuições para o desenvolvimento

do processo ensino-aprendizagem e também propor aos professores e alunos algumas

sugestões metodológicas na abordagem da resolução do problema , tendo em conta que a

maioria dos alunos, quando se lhes fala do assunto em destaque começa a “temer”. Com o

mesmo, pretendo, atenuar esse preconceito junto dos referidos alunos, começando por

resolver problemas simples que os cativam para a nova unidade temática.

A par de tudo que ficou exposto acima, esta monografia, pretende, sobretudo:

Identificar as dificuldades dos alunos na resolução de problemas textuais utilizando o

modelo de resolução função exponencial;

Resolver problemas textuais utilizando o modelo de resolução função exponencial;

Aprofundar nos aspectos teóricos e práticos sobre resolução de problemas ;

Identificar as potencialidades na resolução de problemas textuais no desenvolvimento

cognitivos dos alunos;

Desenvolver a competência no sentido de valorizar a resolução de problemas na

organização de processo ensino-aprendizagem da Matemática.

6

O trabalho está estruturado de forma a possibilitar uma leitura abrangente. Na primeira parte

fez-se a introdução, posteriormente realizou-se um pequeno estudo sobre problemas

matemáticos (definição, caracterização, formas de a expressar, classificação, identificação das

etapas e níveis do resolvedor …etc) e, depois, fez-se um estudo da função exponencial para,

de seguida, apresentar o trabalho realizado no campo, bem como o tratamento dos dados

recolhidos. Por último, a conclusão.

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II-PARTE

2. PROBLEMA MATEMÁTICO

Fundamentação teórica

Viver a Matemática na escola pode ser uma experiência feliz se proporcionarmos aos alunos

experiências matemáticas diversificadas que estejam ao seu alcance e sejam autênticos

desafios aceites com prazer.

A resolução de problemas constitui, em Matemática, um contexto universal de aprendizagem

e deve, por isso, estar sempre presente associada ao raciocínio, à comunicação e integrada

naturalmente nas diversas actividades.

A Matemática é a única ciência onde pouco valor se dá à erudição. O valor de um matemático

é avaliado não pelo que ele sabe mas pela sua capacidade de resolver problemas. E não é para

menos: a Matemática vive de problemas, infelizmente a retórica da Resolução de Problemas

virou um dos modismos do Sistema Escolar nos últimos anos. O resultado é o de se esperar:

os oportunistas de plantão e os ingénuos despreparos conseguiram deturpar de tal modo o

assunto que hoje podemos encontrar as actividades mais ridículas rotuladas como resolução

de problemas matemáticos2.

Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao poder dos

matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matemática: 2 Agnelo, António Mateus, João Matias e Thiago Rodrigo

8

faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros

problemas.

2.1- Problema e exercícios – diferenças “O que para alguns é um problema para outros é um exercício e para alguns outros uma

distracção”. (Ditado popular).

Muitas vezes o professor de Matemática costuma pedir ao aluno para resolver exercícios ou

problemas, e até os livros didácticos induzem a utilizar esta palavra - para aprender um

determinado tópico da matéria. Ou seja, é preciso diferenciar problema de exercício, palavras

estas, muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores de Matemática.

O exercício é uma actividade de adestramento no uso de alguma habilidade ou conhecimento

matemático já conhecido pelo resolvedor, como a aplicação de algum algoritmo ou fórmula já

conhecida. Ou seja, o exercício envolve mera aplicação de resultados teóricos enquanto o

problema necessariamente envolve invenção e/ou criação significativa, mais concretamente

Um problema é uma tarefa na qual o individuo ou grupo se confronta com a necessidade de

encontrar uma solução, não possuindo um procedimento directamente acessível que garanta a

solução.

Um matemático, ao descrever o seu trabalho, certamente não deixará de pronunciar duas

palavras presentes no seu dia a dia: problema e prova.

O problema é o meio pelo qual a Matemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da

evolução matemática. Um problema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de

ideias novas que ele traz à Matemática e o quão ele é capaz de impulsionar os diversos ramos

da Matemática – sobretudo aqueles em que ele não está directamente relacionado.

A prova está indissoluvelmente ligada ao problema e é a única maneira de atestar ou não a

solução Matemática do mesmo. A prova representa o rigor, a solidez e a consistência da teoria

Matemática e nada mais é do que uma sequência de raciocínios dedutivos que parte de fatos

de veracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e chega até o resultado em

demonstração, resolvendo o problema.

9

No contexto de educação Matemática, um problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto

pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta

da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a

se interessar pela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno adquire criatividade

e aprimora o raciocínio além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.

2.2- O que é um problema?

Agora que falamos da importância dos problemas na Matemática, podemos dar uma definição

intuitiva de problema.

Existem diversas concepções acerca do que é um problema:

Para Newell & Simon (1972), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja

fazer algo, porém desconhece o caminho das acções necessárias para concretizar a sua acção”

Segundo Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo actua com o

propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”

Definição- (segundo Polya )

Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações

matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolve-lo, e/ou a invenção de uma

demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor tenha de

inventar estratégias e criar ideias; ou seja: pode até ocorrer que o resolvedor conheça o

objectivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios

para atingir tal.

O quadro teórico sobre a resolução de problemas considerado adequado e por isso adoptado,

foi o Modelo de Resolução de Problemas de Polya. Tal modelo, foi apresentado aos alunos

numa aula, através de uma transparência, comportando as diversas fases (mais simplificadas),

acompanhadas de um exemplo prático e de muito simples de aplicação.

10

De acordo com a definição dada pelos autores podemos concluir que a palavra “problema”

tem conotações diferentes de indivíduo para indivíduo e por isso, torna necessário caracterizar

o sentido que lhe damos.

Perfilhamos a ideia que Kantowski (1977) traduz na seguinte afirmação:“Um indivíduo está

perante um problema quando se confronta com uma questão a que não pode dar resposta ou

com uma situação que não sabe resolver, usando conhecimentos imediatamente disponíveis”

Podemos destacar alguns exemplos que ilustram a situação acima referida:

1-No torneio de ténis de mesa, que se vai. Realizar numa escola, estão inscrito 92

participantes. Cada participante necessita de 3 bolas. Quantas bolas serão distribuídas?

2- A função 1,2( ) 1000 tf t e= traduz o crescimento de uma certa população de insectos

(t representa o tempo em semanas).

Mostra que a variação da função é proporcional à própria função. Qual é o significado desta

relação?

A premeria questão para alunos do 4º ano do E.B.I é um problema, não será um problema

para um aluno do3ºciclo ensino secundário, pois no seu repertório de conhecimento faz parte

o algoritmo da multiplicação. Trata-se de um simples exercício de aplicação. No entanto, para

os mesmos alunos, a segunda questão já constitui um problema. Será necessário descobrir um

caminho que lhes permita dar a resposta.

2.2- Características de um problema proposto a um resolvedor

A partir das concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando há

um objectivo a ser alcançado e não sabemos como atingir esse objectivo. Em Matemática,

existe um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser alcançado utilizando

a teoria Matemática.

Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se propondo a

encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégias e criar ideias. Quem

resolve pode até saber o objectivo a ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema

se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objectivo.

11

Dai há necessidade de identificar algumas características de um problema proposto ao

resolvedor:

Segundo Resnick

Um problema tem várias características

• sem algoritmização - o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em

boa parte;

• complexos - precisam de vários pontos de vista;

• exigente -a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o

caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil;

• exigem lucidez e paciência para na aparente desordem vermos as

regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até a

solução;

• nebulosos- podem ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam

aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as

condições estabelecidas pelo problema;

• não há resposta única além de normalmente ocorrer de existirem várias

maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma

melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a Escola

ensina:

2.3 - Formas de expressar problemas Matemáticos:

• Texto e esquema;

• Texto e gráfico;

• Texto e tabela;

• Texto e figura;

• Texto e equação / inequação;

• Texto.

12

2.4 - Classificação de problemas textuais

Tendo em conta que o trabalho a ser realizado é sobre problemas textuais utilizando modelo

de resolução função exponencial há necessidade de avaliar os problemas textuais.

Os problemas textuais podem ser classificados segundo os seguintes critérios:

Conteúdo do problema (ex: problemas sobre: movimento, trabalho conjunto,

moedas, números, idades, misturas de líquidos, figuras geométricas,...);

Nível de abstracção (ex: problemas práticos e teóricos);

Método de resolução (ex: problemas: algébricos, lógicos, geométricos; problemas

que se resolvem utilizando “instrumentos” de análise Matemática).

2.5 - Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas

Na resolução de problemas existem indivíduos com diferentes características, a ideia

defendida pelo matemático Kantowski que os classificou de acordo com as capacidades

pessoais de resolver problemas matemáticos em seguintes estágios:

• Inerte:

a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um

problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde começar. O

máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir procedimentos de

resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados.

Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos exercícios, e é

necessário que esses sejam bastante exemplificados;

• Imitador:

com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer exercícios mas

ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar

produtivamente em grupos que estejam discutindo a resolução de problemas de

tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho;

• Capaz:

atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes

relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu;

• Avançado:

além de demonstrar uma capacidade superior de resolução, através da velocidade

13

de resolução, da variedade e da maior complexidade dos problemas que é capaz de

enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber processos de resolução

diferentes dos que tinha aprendido;

• Artista:

a pessoa não só atingiu uma proficiência superior de inventar novos processos de

resolução como preocupa-se em explorar caminhos alternativos, buscando

resoluções mais elegantes ou poderosas.

2.5.1- As heurísticas de resolução de problemas

Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de problemas

é muito importante termos uma ideia clara sobre o significado da palavra heurística. Para tal,

recorremos ao dicionário Houaiss que nos “traduz” heurística em vários contextos:

Contexto científico: “a ciência que tem por objectivo a descoberta dos fatos”3;

Contexto de problematização: “a arte de inventar, de fazer descobertas” ou “método de

investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema”;

Contexto pedagógico: “método educacional que consiste em fazer descobrir pelo

aluno o que se lhe quer ensinar”.

Percebemos, portanto, que falar em heurística de resolução de problemas é falar sobre

“métodos e regras que conduzem à descoberta, inovação, investigação e resolução de

problemas.

Podemos também observar que heurística pode referir-se tanto ao contexto científico quanto

ao contexto educacional; para nós, ambos os contextos são pertinentes, pois ao mesmo tempo

em que queremos avaliar a importância da resolução dos problemas na evolução da

Matemática – descoberta de novos resultados, criação de novos, problemas,..., etc. - também

queremos ressaltar a importância dos problemas no processo ensino-aprendizagem

3 HOUAISS, António et al. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro, Objetiva, 2001, 1ª ed., p. 1524. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Aurélio – O dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 2000, 3ª edição

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2.6 - Etapas da resolução de um problema segundo Polya

Muitas vezes a pessoa que está perante um problema matemático começa a resolver um

problema sem entender o problema mas não é preciso ter preça, um problema antes de ser

resolvido é preciso entender e estabelecer um plano de acção.

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático

George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas,

é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão correspondesse à

uma sequência de etapas a serem percorridas uma após outra, sem que nunca seja conveniente

ou necessário voltar atrás que funcionasse como uma “poção mágica” para resolver problemas

matemáticos.

E dela podemos destacar tais como:

o 1-Entendimento do problema;

o 2-Invenção de estratégias de resolução;

o 3-Resolução/execução;

o 4-Revisão.

2.7 - Como resolver problemas (segundo Polya).

1- Entenda o problema: • Primeiro, tens de entender o problema:

• Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?

• É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita?

Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?

• Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.

• Separe as condições em partes.

2- Construa uma estratégia de resolução

Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas

auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para

"bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema.

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Vale a pena expandirmos um pouco esses conselhos:

• Já encontrou este problema ou algum parecido?

• Conhece um problema semelhante? Conhece teoremas ou fórmulas que possam

ajudar?

• Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita

semelhante.

• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Conse--gue

aproveitá-lo? Pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum

elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objectivos?

• Consegues enunciar o problema de uma outra maneira?

• Se não conseguiu resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido.

Consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais

acessível? Consegues resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das

condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora?

Consegues obter alguma coisa desde os dados? Consegues imaginar outros dados

capazes de produzir a incógnita? Consegues alterar a incógnita ou os dados, ou ambos,

de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos?

• Estás a levar em conta todos os dados? E todas as condições?

3- Execute a estratégia

Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo,

a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-

se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na

execução.

• Execute a estratégia.

• Ao executar a estratégia, verifique cada passo que consegues mostrar claramente que

cada um deles está correcto?

4 - Reveja

• Examine a solução obtida.

• Verifique o resultado e o argumento.

• Você pode obter a solução de um outro modo?

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• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular,

você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

2.7.1- Importância da revisão na resolução de problemas

1- A revisão é a última etapa da resolução, (segundo Polya) Conforme vimos em texto anterior, Polya dividiu o processo de resolução de problemas

matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de

resolução, execução e revisão.

Poderíamos dizer que Polya pretendia duas coisas nessa última etapa:

• Uma depuração da resolução

• Uma abstracção da resolução

Antes de passarmos a detalhes, observemos que na Escola existem ao menos caricaturas das

três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou

ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de

tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

2- Reveja para depurar a resolução O objectivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la. Pode-se chegar ao

extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas

menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor.

3- Reveja para abstrair a resolução Agora, o objectivo é reflectir no processo de resolução procurando descobrir a essência do

problema e do método de resolução empregado. Tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-

se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a

possibilidade de aumento do "poder de fogo" do resolvedor. Feito por matemático talentoso,

esse trabalho de depuração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

17

III-PARTE

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL

3.1 - Definição Chama-se função exponencial a uma função que tem expressão analítica do tipo xa

{ }( \ 1a e x+∈ ∈ .

• Para estudar esta função é preciso recordar a noção de potência, sendo assim

enunciamos algumas propriedades:

Seja , ,a b e x y∈ ∀ ∈

( )

( )

0) 11)

)

)

) 1 1

1 1)

)

xx

x y x y

yx y x

x

x

x

x x x

a a

b aa

c a a a

d a a

e

fa a

h a b a b

+

×

=

=

= ×

=

=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

× = ×

Potência

Definiu-se potência de expoente natural n dum número real a, por an ,sendo

a→base

x→ expoente 1

1 ; 2,3,4,........n n

a aa a a n−

⎧ =⎪⎨

= × =⎪⎩

18

3.2- Função exponencial ( 0 1)xy a com a e a definidas em= > ≠ (estudo intuitivo)

3.2.1-Função exponencial de base a >1

Seja a um número real positivo. A aplicação

: , ( ) xf com f x a+→ =

Chama-se função exponencial de base a

Vamos estudar algumas propriedades desta função.

(1) O domínio da função é .

(2) Como a>1 então 0,xa x> ∀ ∈ logo o contradomínio da função é + .

(2) 2 12 1 1 21, , ,x xSendo a x x a a x x> > ⇒ > ∀ ∈ , então f é crescente.

Cresce mais rapidamente quando maior for o valor de a e para cada a o crescimento é

mais rápido para os valores maiores de x

(3) Seja 1 21 2 1 2, ,x xx x a a x x≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ logo f é injectiva.

(4) A função não tem zeros visto que 0,xa x> ∀ ∈ .

(5) Pontos da intercessão com eixo das ordenadas (0,1)

00 (0) 1fD f a∈ ⇒ = =

(6) 1lim lim lim lim 0x x xxx x x x

a e a aa

→+∞ →−∞ →+∞ →−∞= +∞ = = = (ver a tabela pag.25).

(7) Admite a assimptota horizontal de equação y=0 quando x → −∞ e não tem

assimptotas verticais nem oblíquos.

(8) Esboço do gráfico

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3.2.2 - Função exponencial de base ] [0;1a∈

Seja a um número real positivo. A aplicação

: , ( ) xf com f x a+→ =

Chama-se função exponencial de base a

Vamos estudar algumas propriedades desta função.

(1) O domínio da função é .

(2) Como 0 1a< < então 0,xa x> ∀ ∈ então o contradomínio da função é + .

(2) 2 12 1 1 20 1, , ,x xSendo a x x a a x x< < > ⇒ < ∀ ∈ então f é decrescente.

Decresce mais rapidamente quando maior for o valor de a e para cada a o decrescimento é

mais rápido para os valores maiores de x

(3) Seja 1 21 2 1 2, ,x xx x a a x x≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ logo f é injectiva.

(4) A função não tem zeros visto que 0,xa x> ∀ ∈ .

(5) Pontos da intercessão com eixo das ordenadas (0,1)

00 (0) 1f f aD∈ ⇒ = =

1(6) 0 1 1;

1( ) ( )x

x x

aa

seja g x a e seja f x aa

< < ⇒ >

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Então f(x) identifica-se com g(-x), ou seja, g(x)=f(-x) , portanto os gráficos de f e de g são

simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

Então o limite lim lim 0x x

x xa e a

→−∞ →+∞= +∞ =

(7) Admite a assimptota horizontal de equação y=0 quando x → +∞ e não tem

assimptotas verticais nem oblíquos.

(8) Esboço do gráfico

20

3.2.3 - Função exponencial de base e

Já estudamos várias funções exponenciais de base superior a 1. Tem particular interesse

estudar a função cuja base é o número e 2,71828…. que é designado por número de Neper .

Define-se função exponencial de base e a função:

:x

fx e

+→

a

Esta função goza das mesmas propriedades que qualquer outra função exponencial de base

superior a 1 e aparece na descrição de vários fenómenos.

Observe o gráfico

Característica da função exponencial de base e: xe

DominioContradominioZeros não temSinal Positiva

MonotoniainjectividadeAssimptotas horizontal 0comportamento nos etre- lim 0

lim

x

xx

x

y

Crescenteinjectiva

ye

tremos docontradominio e

+

→−∞

→+∞

=

=

=

= +∞

21

Limites notáveis

• O crescimento de xa , com a> 1, é tão rápido que se tem limx

kx

a kx→+∞

= +∞ ∀ ∈

“a exponencial cresce mais depressa do que qualquer potencia do seu expoente “ como

consequência, tem-se obviamente lim 0 ,k

xx

x ka→+∞

= ∀ ∈ visto que o inverso dum infinitamente

grande é um infinitésimo.

Exemplo

4

2limx

x x→+∞=

Já sabemos que 4lim 2 limx

x xe x

→+∞ →+∞= +∞ = +∞ , logo estamos perante uma

indeterminação do tipo ∞∞

.

Podemos determinar alguns valores construindo uma tabela.

X … 1 2 3 … 50 … 100 …

2x … 2 4 8 … 502 … 1002 …

4x … 1 16 81 … 450 … 4100 …

4

2x

x … 2

14

881

… 81,8 10≈ × … 221,3 10≈ × …

Facilmente podemos ver 4

2x

x toma valores tão grandes quanto se queira, maiores que

qualquer número dado, quando x aumenta indefinidamente.

• Experimenta dar a x valores cada vez mais próximos de zero, positivos ou negativos, e

verifica (com a calculadora) que 1xex− toma valores cada vez mais próximos de 1. O

facto da tangente ao gráfico de xe , no ponto (0,1) , permite ter declive 1 e escrever

0

1limx

x

ex→

− = 1

22

3.3 - Translação dos gráficos de funções exponenciais

Partindo do conhecimento do gráfico da função : xa , 0 1a e a> ≠

Por translação é possível obter o gráfico da função do tipo: ( )x dy b a += +

Exemplos:

Ver anexo (pag.66)

23

3.4-Equações e inequações exponencial

3.4.1-Equações exponenciais

Equação exponencial tem este nome porque apresenta a incógnita em algum expoente. Numa

equação exponencial encontraremos potências em que a base será conhecida e o valor do

expoente será desconhecido, ou seja, será uma incógnita.

Ex: 2 35 3125x+ =

Resolução de equações exponenciais:

É conveniente saber que nem todas as equações exponenciais podem ser resolvidas.

A existência de poderosos computadores e grandes centros de computação permitem obter aproximações muito precisas, mas as soluções exactas geralmente não são possíveis.

Vamos estudar alguns exemplos resolvidos. O que pretendemos é demonstrar como, a partir de algumas etapas simples, é possível transformar uma equação exponencial numa igualdade de duas potências da mesma base.

Para lembrar:

É importante observar os passos dados até aqui para resolver os exemplos seguintes de equações exponenciais.

Exemplo:

a) 43 81 3 3 4x x x= ⇔ = ⇔ =

b) 5 5 42 16 2 2 5 4 9x x x x− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

c) 2 3 2 3 55 3125 5 5 2 3 5 2 5 3 1x x x x x+ += ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Analisando os passos ali dados podemos concluir que para resolver essas equações é

necessário realizar dois passos importantes:

1º ) Reduzir os dois membros da equação a potencia de mesma base

2º) Aplicar a propriedade:

( 1 0)x ya a x y a e a= ⇔ = ≠ >

24

3.4.2-Inequações exponenciais

Inequação exponencial -uma desigualdade em que a incógnita figura em expoente.

Ex: ] [

2 2 02 1 2 2 2 0 22;

x x x xCS

+ +> ⇔ > ⇒ + > ⇔ > −

= − +∞

Propriedade que nos permite resolver inequações exponenciais:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

, , :

1 1

2 1

r r

r r

Se a r r en tão

a r r a a

a r r a a

+∈ ∈

− > ∧ > ⇒ >

− < ∧ > ⇒ <

Exemplos: 1-Resolve as seguintes inequações:

2) 2 8 0xa − − > 1

21) 33

) 5 4 5 0

x

x

x x

b

c x

−⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠× − × ≥

Resolução ] [

] [( )

2 2 2 3

1 1 1 12 2 2

) 2 8 0 2 8 2 2 2 3 3 2 5.... 5;

1 1 1 1 1 2 2) 3 13 3 3 3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 2 .... ; 2

) 5 4 5 0 5 4

x x x

x x xx xx

x x x

a x x x CS

x x xb x

x x x x x CS

c x x

− − −

− − − − −

− > ⇔ > ⇔ > ⇒ − > ⇔ > + ⇔ > = +∞

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> ⇔ > ⇔ > ⇒ − < − ⇔ − < ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⇔ − < − ⇔ − + < − ⇔ < − = −∞ −

× − × ≥ ⇔ − ≥ ( ) ( )[ [

0 5 0 5 4 0 4 0 4

4;

x xcomo para que x x x

CS

⇔ > − ≥ − ≥ ⇒ ≥

= +∞ Outra forma de resolver

x −∞ 4 +∞5x + 45 +

4x − - 0 + 5 ( 4)x x − - 0 +

[ [4;CS = +∞

25

3.5-Relação entre função exponencial e função logarítmica

Logaritmo – definição.

Dados dois números a e b positivos 1a ≠ chama-se logaritmo na base a de b ( )loga b o

número x tal que logxaa b x b= ⇔ =

Exemplos: 4 6

3 2

3 3 3 3

) log 81 4 3 81 ) log 64 6 2 64

) log1000 3 10 1000 ) ln 3

a porque b porque

c porque c e porque e e

= = = =

= = = =

A partir do gráfico da função exponencial podemos fazer o esboço do gráfico da função logarítmica tendo em conta que a função logarítmica é a inversa da função exponencial

Função logarítmica Vimos no parágrafo anterior que a função , , 1, ´

.

xx a com a a e umabijecção que aplicava sobre

+

+

→ ∈ ≠

A função inversa desta função exponencial chama-se função logarítmica na base a. Trata-se, então, da função logax x→ Assim, podemos obter o gráfico 1f − , desenhando o gráfico de , a recta y x= , e o simétrico de cada ponto ( ),x y do gráfico de f relativamente à recta y x= .

26

A partir do gráfico da função xy a= esboça o gráfico da função log , 1ay x com a x e a+= ∈ ≠ compara as características das funções.

Comparando as duas funções:

] [] [

x log 1

DominioContradominioZeros não tem 1 (log 1 0)Sinal Positiva negativa em 0,1

1,+MonotoniainjectividadeAssimptotas horizontal 0 0

a

a

y a y x com a

x

Positiva emCrescente Crescenteinjectiva injectiva

y vertical x

+

+

= = >

= =

= =

0Limites importantes lim 0 lim log

lim lim log

xax x

xax x

a x

a x

+→−∞ →

→+∞ →+∞

= = −∞

= +∞ = +∞

3.6-Derivada da função exponencial

Comecemos por calcular a derivada da função exponencial de base e , ( ) xg x e= .

Por definição:

0 0 0 0 0

( ) ( ) 1 1`( ) lim lim lim lim lim

1 ( )`

x h x x h x h hx x

h h h h h

x x x x

g x h g x e e e e e e eg x e eh h h h h

e e vem e e

+

→ → → → →

+ − − × − − −= = = = × = × =

= × = =Regra:

A derivada da função exponencial de base e é dada por:

( )`x xe e=

Sendo ( )u f x= função, tem-se

( )` `u ue u e= ×

Nota: A função exponencial é a única função cuja expressão da derivada coincide com a

própria função.

Exemplo: 3 3 3( )` (3 )` 3x x xe x e e= × =

Derivada da função exponencial de base a> 1

Calculemos agora a derivada de uma função exponencial de base a> 1. Seja ( ) xg x a= .

Por definição de logaritmo, sabemos que:

27

( )ln ln ln,xa x a x aa e donde a e e= = =

Aplicando a definição da derivada da exponencial de base e, vem:

( ) ( ) ( )` ` `ln ln lnln ln lnx x a x a x a xa e x a e a e a a= = × = × = ×

Poranto,

( )`lnx xa a a= ×

Sendo ( )f x uma função, vem:

( ) ( )` `( ) ( )ln `( ) ln ` ( )f x f x u ua a f x a ou a a u a com u f x= × × = × × =

Regra:

A derivada de uma função exponencial de base a>1 é dada por:

( )`lnx xa a a= ×

Sendo ( )u f x= uma função, tem-se: ( )`ln `u ua a u a= × ×

Exemplos

( ) ( )

( ) ( )

( )

` `4 4 4

`` 4 4 4 44 4 4

2 2 2

44 4

2 2

) `( ) 4 4

3 3 ` ln 3 4 ` 3 3 13 ln 3 4 3 3) `( )

3 4 ln 3 1ln 3 4 3 3

x x x

x x x xx x x

xx x

a f x e x e e

x x x x xb g xx x x x

xxx x

= = × =

× − × × × × − ×⎛ ⎞ × × × −= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

−× × −= =

Exercícios propostos

1-Resolve as seguintes condições:

( ) 2

2

2 -x+1 4 3 2 2 2

2

xx x 2 3 1

2 5

a) 3 3 = 3 ) 2 2 ) 4 . 01b) 16 2 2 8 2 8 0 ) 3 2 0 ) 2 3 0

c) 2 = 16 8 ) 0 ) 2 4 320

1) 3 0 ) 264

x x x

x x x x x xx

x x x x

x x x x

d i e x e

e e j e ee

f e e k

g x e xe h

+ +

+ +

× = − =

⎛ ⎞− × − × + = − + = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

× − = + =

+ = =

28

( )

122

3 2 1

42 2

1)2 8 0 ) 3 ) 5 4 5 03

) 3 27 0 ) 0.1 10 ) 2 0

1) 10 ) 2 0 ) 4 010

x

x x x x

xx x

xx x x x

l m n x

o p k x

r s xe e t e x e

−−

−+

⎛ ⎞− > > × − × >⎜ ⎟⎝ ⎠

− < < × >

⎛ ⎞ > − + < − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

2- Calcule a derivada de cada uma das funções seguintes:

3

4

4

42 7

) ( ) 2 ) ( ) 2

) ( ) ) ( )

3) ( ) 3 ) ( )

x x

xx

xx x

a h x d i x x eeb f x e e k xx

c j x f g xx

+

= =

= =

= =

29

3.7-Resolução de problemas

3.7.1-Sugestões metodológicos para a resolução de problemas

O termo “crescimento exponencial “é muitas vezes utilizado para caracterizar um fenómeno

de crescimento cada vez mais rápido, embora o modelo matemático dessa realidade nem

sempre seja uma progressão geométrica. O desenvolvimento de uma doença, a propagação de

um boato, o crescimento de uma população, é exemplos de situações em que aquele termo é

usado.

um boato

Supõe que no dia 1 de Abril alguém (nos boatos nunca se sabe quem começa) se lembra de

lançar um boato e que, cada dia que passa, quadríplica o número de pessoas apanhadas pelo

boato.

Supondo que o boato não é desmentido, quantos dias serão precisos para que o boato se

espalhe junto de toda a população de Cabo Verde?

Escreva a função que define essa propagação.

Reflexão

⇒ Ler atentamente o

problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é que sabemos acerca

do tema em destaque

(população C. Verdiana)?

⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe um algoritmo pré

estabelecido para resolver o

problema?

Acção

Ler.

Problema de um boato , que pretende

saber o tempo para que a mesma chegue a

toda a população Cabo Verdiana

Existem aproximadamente 510 000(INE)

Obs:(Uma previsão)

O tempo para que esse boato chegue a

toda a população de C. verde.

A relação que existente entre o dia e o

numero de pessoas que a informação

chegue junto da mesma.

Não.

30

⇒ Será que é necessário

utilizar variáveis?

⇒ Como? Para quê?

⇒ Que modelo?

⇒ Escreve as relações.

⇒ Que modelo Matemático

traduz o problema?

⇒ Esse modelo traduz o

significado do problema?

⇒ Pode se comprová-lo no

enunciado do problema?

⇒ De que forma?

⇒ Existe outra forma de

representar o problema ?

⇒ Tira conclusões e formula

uma resposta

Sim.

d, para representar o número de dias e p o

número de pessoas ambas desconhecidas.

Uma tabela ,uma função ...

Ver (1)

Função exponencial.

Sim.

Sim.

Fazendo substituição para alguns

números.

Sim

Ver(2)

Reflexão/acção

(1)

Nº de dias Nº de pessoas

_______________________________________________________________-

1 P=1 = 04 =1

2 P=1×4 = 14 =4

3 P=1×4×4 = 24 =16

4 P=1×4×4×4 = 34 =64

5 P=1×4×4×4×4 = 44 =256

….. ……………… …. …..

31

Designado por d o número de dias e por P o número de pessoas, podemos definir a

função que caracteriza essa propagação do boato. 14dP −=

Aparentemente parece que vai demorar um certo tempo, mas ….

D (nº de dias) N (nº de pessoas)

….. ……

6 1 024

7 4 096

8 16 384

9 65 536

10 262 144

11 1 048 576

12 4 194 304

13 16 777 216

No dia 11 de Abril já todos os Cabo-verdianos foram apanhados pelo boato. (2)

32

Propagação de uma praga

Ao combater uma praga de insectos com um novo insecticida, verificou-se que, em cada

dia, o número de insectos decresce 50%. Supondo que o número inicial de insectos foi

estimado em 1000000, define a função que traduz a variação do número de insectos em

função do tempo.

Ao fim quanto tempo deixará de haver insectos?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o

problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe um algoritmo pré

estabelecido para resolver

o problema?

⇒ Será preciso usar

variáveis?

⇒ Para representar o quê?

⇒ Já resolveu problemas

semelhantes?

⇒ Que relação existe entre

as variáveis?

Acção

Ler.

Definir uma função que traduz a variação de

insectos em função de tempo.

A função que traduz a variação do número

de insectos em função do tempo e

determinar o tempo necessário para que essa

praga terminasse.

Foi dado o número de insectos e a relação

entre dia e número de insectos infectados

pela insecticida.

Sim , Ver(9).

Sim.

Para representar o tempo (d) e numero de

insectos infectado (I).

Sim.

É que o número de insectos diminui por dia

50%.

33

⇒ Pode se traduzir relação

para a linguagem

Matemática?

⇒ Que modelo Matemático

pode se utilizar.

⇒ Como é que se processa a

organização da

informação ?

⇒ É possível usar algum

instrumento? Qual é o

instrumento?

⇒ Analisa o procedimento

que utilizou e dê a

resposta.

Sim.

Função exponencial.

Numa tabela porque já se resolveu um

problema parecido.

Sim

Calculadora gráfica ou computadores.

Ver (3)

Reflexão/acção

Sabemos que, cada dia, o número de insectos é metade do número do dia anterior. Se

representarmos por d o número de dias e por l o número de insectos, a função fica

definida por: 1000000 0,5dl = ×

Podemos construir uma tabela.

Nº de dias Nº de insectos

0 1000 000

1 500 000

2 250 000

3 125 000

4 62 500

5 31 2509

….. …..

20 0.95

Verifica que, à medida que os dias passam, o número de insectos decresce rapidamente.

Trata-se de uma situação de decrescimento geométrico ou exponencial.

34

Embora teoricamente o número de insectos nunca chegue o zero, podemos considerar

que a praga é erradicada ao fim de 20 dias. 201000000 0,5 0.95l = × ≈ (3)

Juros

1-Um banco Exponencial Cabo-verdiano, é um banco muito especial. Sobre qualquer

depósito a prazo dá 9% de juro ao ano.

Supõe que fazes um depósito a prazo de 1000 contos no BCV. Qual vai ser o teu capital

acumulado ao fim de um ano?

E se em vez de dar 9% de 12 em 12 meses, o BCV oferecer mensalmente 9/12%?

Qual vai ser, neste caso, o capital acumulado ao fim de um ano?

Terás vantagem em adoptar esta segunda modalidade?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe alguma fórmula que

permite resolver o problema?

⇒ Qual é a formula?

⇒ Já resolveu problemas

semelhantes?

⇒ Existe um único modelo para

a resolução do problema

referido?

Acção

Ler.

Problema de juro.

Determinar o capital açulado de acordo

com a taxa de juro pré estabelecida, para

alem disso comparar as duas propostas.

A taxa de juro e saldo contabilístico.

Sim.

( )1 mC D j= × + , j-juros e m-meses

Sim.

Não.

35

⇒ Identifica alguns modelos.

⇒ Como calcular capital

acumulado?

⇒ A solução é lógica.

⇒ Analisa, formula a resposta .

Função exponencial, regra de três

simples etc.

Ver(4)

Ver(4)

Reflexão/acção

• Juro capitalizado uma vez por ano

Como o juro é de 9%, o depósito vai ser multiplicado no fim do ano por (1+0,09) ou

seja, 1,09. Obtém-se assim:

1,09 1000 1,09 1090C D contos= × = × =

• Juro capitalizado 12 vezes por ano

Como o juro é de 9/12%, e vai ser capitalizado 12 vezes durante o ano, o depósito

vai ser multiplicado mensalmente por (1+0,09/12), ou seja, 1,0075. Obtém-se assim,

ao fim de um ano: (4)

12

120,091 1000 10075 109312

C D contos⎛ ⎞= × + = × =⎜ ⎟⎝ ⎠

Nesta segunda modalidade ganha-se mais 3 000$00, aproximadamente.

36

2- Em 2006, o João depositou 100 contos à taxa anual de 15%. Supondo que a taxa

anual não se alterou, que capital terá no final do ano 2016?

Utilizando o procedimento acima citado a resolução se processa da seguinte forma:

Registe, numa tabela, o valor do capital do João desde 2006

Ano Nº de anos de depósito Capital (em contos)

2006 0 100

2007 1 100+0,15 ×100=100 ×1,15=115

2008 2 100 × 21,15 =132,25

2009 3 100 × 31,15 152,088≈

2010 4 100 × 41,15 174,901≈

…. …. …..

2016 10 100 × 101,15 404,556≈

R: Ao fim de 10 anos, o João terá cerca de 405 contos. A expressão que permite saber o

capital do João ao fim de t anos é dada por ( ) 100 1,15tC t = × . Trata-se de uma função

exponencial de base superior a 1.

De um modo geral, um capital Q que se deposite num banco a uma taxa de 15% ao ano

converte em 10,151

1C Q ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ao fim de um ano e em 1,15tC Q= × ao fim de t anos.

37

Idade de um fóssil

Para saber a idade de um fóssil os cientistas determinaram a quantidade do isótopo

Carbono 14 nele contido. A função 5760( )t

C t Qe−

= indica a quantidade de carbono 14

que resta no fóssil decorridos t anos desde a morte do animal ou planta até à

actualidade. Na fórmula, Q representa a quantidade do isótopo à data da sua morte.

Para um fóssil em que Q=1000 g, qual é a quantidade de Carbono 14 que nele pode ser

detectada passados 1000, 2000 e 10 000 anos?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é pedido?

⇒ O que é dado?

⇒ Os dados são suficientes?

⇒ Como pode organizar a

informação?

⇒ É necessário algum material

de apoio se sim indica-o?

⇒ Analisa as informações e tira a

conclusão.

Acção

Ler.

Problema de idade de um fóssil.

Determinar a quantidade de Carbono 14

que no referido lhe tem detectado num

determinado tem .

A função que define a quantidade de

Carbono 14 no fóssil em estudo num

determinado período de tempo.

Sim.

Numa tabela.

Sim , a calcadora gráfica e computadores.

Ver (5)

Ver (5)

38

Reflexão/acção

Para esta situação a função fica definida por 5760( )t

C t Qe−

= .

Através deste quadro podemos analisar o comportamento da função.

T (anos) Quantidade de 14C (gramas)

0 1000

1000 840,6

2000 706,6

3000 594

4000 499,4

5000 419,8

6000 352,9

7000 296,6

8000 249,4

9000 209,6

10 000 176,2

………… …………..

R: A função é, pois decrescente e ao fim de 10 000 anos restam apenas cerca de

176g dos 1000g de Carbono 14 inicial, pode também observar-se este

graficamente (Utilizando a calculadora grafia)

39

Temperatura

4-Na pastelaria “Só doce” a temperatura ambiente é constante. Se a temperatura, em

graus centígragos, de um café servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado

na chávena, for dada por [ [0,05( ) 25 50 , 0,tf t e t−= + ∈ +∞ (e-número de Neper).

4.1-Determina a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena.

4.2-Ao fim de que tempo a temperatura do café é de 50ºC?

4.3-Qual a temperatura ambiente? Justifica.

Reflexão Acção

⇒ Ler atentamente o problema.

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é dado?

⇒ O que é pedido?

⇒ É necessário utilizar as

variáveis ou já existe uma

expressão que define a

situação?

⇒ Identifica o tempo que o

café é colocado na chávena.

Acção

Ler.

Problema de temperatura que é

dada a expressão que define a

mesma num dado intervalo de

tempo.

A expressão que define a situação

em causa e o intervalo tempo.

Determinar a temperatura no

instante que é colocado na

chávena, o tempo que a

temperatura do café é de 50ºC e a

temperatura ambiente.

Não, há uma expressão que define

a situação que é

[ [0,05( ) 25 50 , 0,tf t e t−= + ∈ +∞

t=0.

40

⇒ Faça a concretização da

variável para t=0 e analise a

situação.

Ver(6)

⇒ Que modelo Matemático

traduz a situação (4.2)

⇒ Resolve a condição.

⇒ É necessário algum

instrumento?

⇒ O resultado transcreve a

situação?

⇒ Organiza a tua resposta.

⇒ Existe um algoritmo

preestabelecido para a

situação (4.3).

Função exponencial e equação

exponencial.

Ver(7)

Tabela logarítmica ou calculadora

gráfica.

Ver(7.1)

Ver(7.1)

Não

⇒ Que relação existe entre a

temperatura ambiente e a

temperatura do café ?

⇒ Organiza a sua resposta e

faça verificação.

Quando o tempo aumenta

indefinidamente a temperatura tente

estabilizar a temperatura ambiente.

Ver (7.2)

Reflexão/acção

4.1- Resolução

Dados

t=0 ; a expressão [ [0,05( ) 25 50 , 0,tf t e t−= + ∈ +∞ Calculemos 0,05 0(0) 25 50

75f e− ×= + ==

R:A temperatura do café no instante em que é colocado na chávena é de 70ºC ( 6)

41

4.2-

Dados

t=0 ; Temperatura ( )f t =50ºC; a expressão [ [0,05( ) 25 50 , 0,tf t e t−= + ∈ +∞

Resolução 0,05 0,05

0,05 0,050,05

0,05 50 2,5

50 25 50 50 25 5025 1 1 250 2

ln 2 0,05 14

(50) 25 50 25 .........

t t

t tt

e e

e ee

t t mn

Verificaçãof e e

− −

− × −

= + ⇔ − = ⇔

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ ≈

= + = + =

(7)

R: O tempo é aproximadamente 14 minutos . (7.1)

4.3-Calculemos ( )0,050,05

1lim ( ) lim 25 50 lim 25 50 25ttx x x

f t ee

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞= + = + × =⎜ ⎟⎝ ⎠

R: A temperatura ambiente é de 25ºC

(7.2)

42

Problemas de optimização

1- A função 1,2( ) 1000 tf t e= traduz o crescimento de uma certa população de insectos (t

representa o tempo em semanas).

Mostra que a variação da função é proporcional à própria função. Qual é o significado

desta relação?

REFLEXÃO

⇒ Ler atentamente o enunciado.

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é pedido?

⇒ O que é dado?

⇒ Quais são condições?

⇒ É necessário usar variáveis?

⇒ Existe um algoritmo

preestabelecido para a referida

situação?

⇒ Qual é o algoritmo?

⇒ Executar e verificar o

resultado obtido.

⇒ Dar a resposta.

ACÇÃO

Ler.

Problemas de optimização ou seja

crescimento da população de insectos.

Para mostrar que `( ) 1,2 ( )f t f x= × .

E dado a expressão que traduz o

crescimento da população de insectos.

A variação da função é proporcional a

mesma.

Não.

Sim.

Primeiro determinar a 1ª derivada , 2º

estudar o sinal da 1ª derivada .

( ) ( 0)ktf t Pe K= >

Ver(8)

Idem

Reflexão/acção

43

Podemos começar por considerar a função f como a composta de duas funções.

( ) ( ) 1000 ( ) 1,2uf t f u e em que u t t= = =

Utilizando a derivada da função composta obtém-se:

( ) ( )` ` ``( ) `( ) 1000 1, 2 1000 1, 2

1000 1, 2 1, 2 ( )

u u

u

f t f u u e t e t

e f t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × = × = × × =⎣ ⎦ ⎣ ⎦= × = ×

Como `( ) 0f t > para qualquer valor de t +∈ , a função f é crescente em todo o seu

domínio.

Por outro lado, como `( ) 1,2 ( )f t f t= × , quanto maior for a população maior vai ser a taxa de

variação. Por exemplo:

1,2

1,2

1 (1) 1000 3320`(1) 1, 2 1000 3984

t semana f ef e

= = ≈

= × ≈

Ao fim de uma semana existem cerca de 3320 insectos a taxa de variação é de 3984.Com a

população a aumentar continuamente e a taxa de variação proporcional a ela, tem-se, passada

outra semana: 2,4

2,4

2 (2) 1000 11023`(2) 1, 2 1000 13228

t semana f ef e

= = ≈

= × ≈

Ao fim de duas semanas a população já aumentou para 11023 e a taxa de variação aumentou

para 13228.

Assim podemos concluir que à medida que a população aumenta, a taxa de variação também

aumenta, de tal modo que esta é directamente proporcional ao aumento da população.

1,2`( ) 1, 2 1000 tf t e= ×

Existe muitos fenómenos naturais, como por exemplo o crescimento de populações que

podem ser descritos por funções do tipo ( ) ( 0)ktf t Pe K= > em que t designa o tempo e P a

44

população inicial. A variação de qualquer função deste tipo é proporcional à própria função,

ou seja, `( ) ( )f t K f t= × (9)

Utiliza o mesmo procedimento acima referido para resolver o mesmo problema

2-O número de peixes de um lago foi estimado em 500, sendo o seu crescimento populacional

dado pela função logística 5

10000( )1 19

tp te−

=+

, em que t representa o tempo (em meses).

2.1-Qual é a taxa de variação ao fim de um mês? E ao fim de 10 meses?

2.2-Em que momento a taxa de variação é mais rápida?

2.3-A longo prazo, qual vai ser a evolução da população?

Sugestão de resolução

Esta função tem como domínio + , não tem zeros e é contínua em todo o seu domínio.

Vamos calcular a derivada da função a fim de responder às duas primeiras questões.

Utilizando a regra do quociente:

( )`

` 5 5 5

2 2

5 5

5

2

5

10000 1 19 10000 1 19 10000 3,8`( )

1 19 1 19

38000

1 19

t t t

t t

t

t

e e ep t

e e

e

e

− − −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

×=⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

Como `( ) 0p t t +> ∀ ∈ , a função p é crescente em todo o seu domínio.

• Ao fim de um mês: `(1) 114p ≈

Neste momento, os peixes reproduzem-se à razão de 114 (por mês).

• Ao fim de dez meses: `(10) 403p ≈

Neste momento, a taxa de reprodução é de 403 peixes (por mês).

Aparentemente a função cresce cada vez mais rapidamente, ou seja, a taxa de variação dos

peixes é cada vez maior. Com uma calculadora gráfica podemos verificar que esta suposição

não é correcta.

45

Pode observar-se que o gráfico apresenta um ponto de inflexão, aproximadamente para t=14.

Isto significa que vai existir um momento em que a taxa de variação, embora sempre positiva,

deixa de aumentar e começa a diminuir. Para sabermos quando atinge o seu valor máximo

podemos procurá-lo com a calculadora gráfica a partir da representação da função p ou sua

derivada:

Para 14,72t ≈ a função derivada é máxima e aproximadamente igual a 500, ou seja, a taxa de

variação nesse momento é de 500 peixes (por mês).

Podíamos também ter obtido este valor calculando a segunda derivada. `

5 5 55

2 4

5 5

1 19 0, 2 3,8``( ) 38000 38000

1 19 1 19

t t tt

t t

e e eep t

e e

− − −

− −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦= × = ×⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Calculando os zeros da segunda derivada ficamos a saber o valor máximo da primeira.

``( ) 0p t = quando 50, 2 3,8 0t

e−

− + =

Resolvendo a equação:

46

5 5 0, 2 0,2 0,20,2 3,8 0 log 5 log 14723,8 5 3,8 3,8

t t te e t t− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − × ⇔ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Da observação do gráfico da primeira derivada podemos ainda constatar que, a longo prazo, a

taxa de variação vai aproximar-se do valor 0. Tal significa que a população de peixes do lago

poderá estabilizar. Podemos ter confirmação determinando o limite da função quando

x → +∞ .

5

10000 10000lim 100001 19 0

1 19tx

e→+∞ −

= =+ ×

+

O número de peixes vai aproximar-se de 10000. O gráfico da função tem uma assimptota

horizontal de equação 10000y = . Aliás, qualquer população animal tende a ter o seu

crescimento condicionado por vários factores (espaço, falta de alimento, concorrência de

outras espécies, etc.).

47

3.7.2- Problemas propostos

1-Sabendo que uma colónia, constituída inicialmente por 100 000 bactérias, cresce a uma taxa

de 6,8% por minuto, qual o número de bactérias ao fim de 1 hora?

2-O Pedro aos 15 anos, resolveu aplicar todas as suas economias -1250euros – numa conta a

prazo. O banco garantiu-lhe até aos 21 anos um juro anual de 7%

2.1- Descreve a evolução financeira do Pedro naquele período de tempo.

2.2-Traduz graficamente esta situação.

3-No lanchonete do Carlos, que se mantêm à temperatura ambiente constante de 18ºC, um

galão quente a 70ºC.

4-Sabendo que a temperatura em ºC, é dada, em instante, em função do tempo decorrido após

a saída do galão, por ( ) ctT t A B e−= + • (A e B ,c constantes positivos , t em minutos).

.4.1-Determina A e B e c (c com 4 casas decimais) sabendo que ao fim de 10m a temperatura

do galão é 45ºC.

4.2-Qem pediu um galão quente mas deseja bebê-lo a 35ºC quanto tempo terá que esperar?

5-Numa população do litoral desde 1980 que se estuda, ano a ano, o número de habitantes

existentes e verificam que este se ajuste à lei: 400 1,2tN = × (t – número de anos com inicio

em 1980).

5.1-Qual a população em 1980?

5.2- Qual a população em 1985? E em 1995?

5.3-Quantos habitantes terão em 2009?

6-Numa população do interior foi feito um estudo análogo e verificou-se que a lei é

1200 0,85tN = × .

6.1-Qual a população em 1980, em 1985 e em 1995?

6.2-Qual é a população prevista para o ano 2008?

7-Uma população tem uma taxa de crescimento de 2% ao ano desde 1900.

7.1-Que função exponencial traduz o número de habitantes que em 1900 era de 350.

7.2-Quantos habitantes tinha em 1950? E quantos terá em 2010 se continuar a mesma lei?

48

7.3-Quantos anos demora nestas condições a duplicar o número de habitantes?

7.4- Mostra que o número de habitantes pode ser dado por uma expressão do tipo bxy a e= ×

8- Um ser vivo tem por grama de Carbono 610− gramas de Carbono 14 ( 14C ). O Carbono 14

inicia a desintegração após a morte e a massa reduz-se a metade em 5500 anos (período de

semidesintegração do Carbono14).

8.1-Qual a expressão que dá a quantidade de Carbono 14 por grama de Carbono ao fim de t

anos?

8.2-Ao fim de quantos anos a quantidade de Carbono 14 se reduz a ¼?

8.3-Num fóssil de 3000 anos que quantidade de Carbono 14 existirá em cada grama de

Carbono?

8.4-Analisou-se um bocado de osso encontrado numas escavações e havia 65 10−× gramas de

Carbono em 100g de Carbono. Que idade terá o osso?

49

IV-PARTE

4-TRABALHO DE CAMPO

4.1-Metodologia Este estudo foi feito no âmbito da obtenção do diploma de licenciatura em ensino de

Matemática, no qual se baseou numa experiência de trabalho com três turmas de Matemática

do 12º ano de escolaridade na Escola Secundária de São Miguel, tendo como proposta

pedagógica a valorização do processo de ensino-aprendizagem centrado na resolução de

problemas utilizando o modelo de resolução função exponencial.

Foi considerado como objectivo fundamental do estudo a análise da evolução dos alunos em

relação a capacidade de resolver problemas e principalmente as dificuldades dos alunos na

resolução dos problemas, utilizando o modelo de resolução função exponencial.

Os trabalhos de campo realizado em Maio do ano lectivo 2006/2007 estiveram envolvidos

todos os alunos do 12º ano da área Económico e Social e os alunos da área Ciências e

Tecnologia. Ao longo da experiência, a distribuição semanal das horas lectivas foi 2+1+1. De

uma forma geral nas aulas de duas horas, os alunos trabalharam em grupos de 4 ou de 6 na

resolução das fichas de trabalho que lhes eram propostas nas aulas de uma hora a partir das

actividades exploradas em grupo, o professor formalizou alguns conceitos e regras, organizou

sínteses e propôs exercícios de práticas individuais.

A proposta pedagógica, definida pelo investigador das turmas partiu da aceitação de alguns

princípios gerais. E que destacamos os seguintes:

• a resolução de problemas é importante na formação Matemática dos alunos;

• o ensino da Matemática deve decorrer num ambiente de trabalho que estimule o aluno

a envolver-se activamente na construção de conhecimento;

50

• a função exponencial é um conceito importante na consolidação dos conceitos

ministrados;

• o trabalho em pequenos grupos, na medida em que permite o desenvolvimento de

capacidades como argumentar e criticar, expor as suas ideias e ouvir as dos colegas,

comparar estratégias e soluções, é uma experiência que deve ser proporcionada aos

alunos;

• na exploração de situações que favoreçam uma participação activa dos alunos é

importante dar tempo para que estes possam desenvolver as actividades que lhes são

propostas e reflectir sobre elas.

A natureza do tema em estudo, leva-nos a investigar um contexto de práticas complexas e

subjectivas, por isso, optámos pelas metodologias de observação directa, técnicas de recolha de

dados por inquéritos de questionários e entrevistas, de modo a termos possibilidades de

compreender com uma margem mais alargada o tema.

Para o efeito, elaborou-se uma ficha de questionário, que é constituída por questões abertas,

semiabertas e fechadas, destinados aos alunos do 12º ano de escolaridade da escola

Secundária de São Miguel.

A dada ficha tem questões de categorias diferentes, englobando treze parâmetros e um item e

esses parâmetros têm três questionários semi-fechados destinados aos alunos e também nove

perguntas fechadas e duas abertas respectivamente;

O Inquérito foi aplicado aos alunos do 12º ano de escolaridade na escola Secundária de São

Miguel, alunos referentes as turmas de Económico e Social 1 , Económico e Social 2 e

também na turma de Ciências e Tecnologia 1. Esse inquérito vem na sequência de

comparação e complementaridade dos resultados recolhidos nas outras técnicas utilizadas,

tendo em conta que, os alunos, sendo autores principais do processo de ensino aprendizagem,

podem revelar aspectos importantes da vida escolar, e permite ainda, recolher maior número

de dados possíveis para a pesquisa.

A escolha dessas técnicas justificam-se, na medida em que, permitem um tratamento mais

sistematizado dos dados, obtendo maiores números de dados possíveis em menos tempo, e

ainda facilita, muito o tratamento dos dados disponíveis.

51

A escola secundária de São Miguel tem aproximadamente 150 anos no 12º ano, sendo assim

87 tem a Matemática e os restantes são da área Humanística.

O inquérito com os alunos foi feito nas turmas com os alunos distribuídos em cada sala, em

momentos diferentes e reunidos num mesmo espaço, responderam às questões propostas

depois de lida e explicadas pelo inquiridor; Os alunos receberam as fichas de inquérito,

preencheram-nas, sob a orientação do inquiridor que prestou esclarecimentos sempre que

necessários e de seguida recolheu as fichas preenchidas, agradecendo a colaboração de todos.

Depois de se ter procedido à recolha das fichas de entrevistas abertas e semiabertas, procedeu-

se, a leitura e análise das respostas, de acordo com as categorias, que de seguida, foram

sistematizada num quadro com base nas tendências e afinidades das respostas de cada

entrevistado.

Os inquéritos feitos aos alunos, receberam um tratamento estatístico através do recurso aos

programas informáticos SPSS e Excel para Windows; Após obtenção dos ficheiros finais

procedeu-se à análise e tratamento das informações disponíveis, com base nos dados

recolhidos por categoria, contendo uma síntese final de todos os dados referentes a resolução

de problemas.

No entanto, pode-se referir que, a utilização dessas técnicas permitem recolher de forma

eficiente e eficaz, importantes informações sobre as visões, as percepções, e os conhecimentos

dos principais intervenientes, sobre o assunto em questão; oferecendo maiores

disponibilidades dos dados para analise e tratamento.

52

4.2-Recolha e tratamento de informações

4.2.1- Organização e reflexão sobre as respostas

O questionário foi aplicado numa amostra de 50 alunos. Desses, 44% são do sexo masculino e

56% do sexo feminino, sendo que 56% são da área Económico e Social e 44% da área

Ciências e Tecnologias, respectivamente. Esses alunos apresentaram as suas ideias acerca do

que entendiam por um problema matemático, findo ao qual, a título de exemplo, procedemos

à resolução de problemas. Aproveitamos para questionar os alunos a cerca do gosto pela

resolução de um problema matemático, relação entre os problemas resolvidos e a sua

aplicação no dia-a-dia e algumas dificuldades na resolução desses problemas, como constam

dos itens seguintes:

Nas questões abertas e semiabertas obtivermos as seguintes respostas:

No que tange a definição de problema matemático, todos os entrevistados revelaram que têm

ideia da definição de um problema matemático. As definições dadas pelos alunos foram de

encontro, na sua maioria, às ideias a seguir apresentadas:

• problema matemático é aquele que devemos ler primeiro interpretar e, só depois,

responder às questões;

• problema matemático é quando temos um enunciado na linguagem corrente e que

temos que o transformar na linguagem Matemática e, depois, resolvê-las, utilizando

algoritmo;

• são conjuntos de dados que nos são fornecidos para podermos resolver.

• é aquele que nos ajuda a resolver segredos matemáticos;

• um problema refere-se a algo com que uma pessoa se depara, ocultando ou

escondendo algo mais que está por detrás;

• É uma tarefa na qual o indivíduo ou grupo se confronta com a necessidade de

encontrar a solução, não possuindo um procedimento directamente acessível que

garanta a solução.

Quanto aos questionários fechados, como se sabe, houve nove questões fechadas. No que

tange ao número de vezes que os entrevistados resolvem um problema matemático, 22%

resolvem, no máximo, quatro vezes e 26% resolvem problemas superiores a quatro vezes e

53

não superiores a oito vezes e os restantes dos entrevistados resolvem problemas superiores a

oito vezes.

“Número de vezes que os alunos andam a resolver problemas”

Número de Vezes

Frequência Percentagem

0-4 11 22.0

4-8 13 26.0

Superior a 8 26 52.0 Total 50 100.0

No que se refere ao grau de dificuldade dos problemas resolvidos nas turmas, 72%

consideram que esses problemas são fáceis e 14% responderam que são difíceis e os restantes

mostraram-se indiferentes.

Dado que os problemas levados para turma tinham como objectivo facilitar a compreensão do

conteúdo, elaborou-se um questionário concordemente. 58% desses alunos responderam que

facilitam a compreensão dos conceitos envolvidos e 48% responderam que não.

Quanto à justificação, os alunos responderam que os problemas resolvidos lhes têm ajudado

na compreensão e solidificação do conceito de função exponencial e argumentaram de

seguinte forma:

Resolver qualquer problema facilita a resolução de outros problemas, mesmo que não seja de

Matemática, tendo em conta que há problemas, envolvendo função exponencial, que estão

ligados a Química. Também, conforme disseram, ao resolver problemas, há propriedades que

a partir daí ficam mais claros devido a tanta prática. Acrescentaram ainda que resolver

problemas leva os alunos a lembrar dos conteúdos trabalhados nos trimestres passados, ajuda

os alunos a ampliar a visão das coisas e, consequentemente, o aluno fica mais ágil na

resolução de exercícios, envolvendo a função exponencial. Um problema relacionado com a

questão em estudo contribui para desenvolver a forma de pensar dos alunos, desenvolve o

espírito crítico em relação ao tema em estudo e isso reflecte-se na aprendizagem.

54

“Os problemas resolvidos são fáceis?”

Resposta Frequência Percentagem

Sim 36 72.0

Não 7 14.0

Nem um nem outro

7 14.0

Total 50 100.0 “Os problemas resolvidos facilitam na compreensão de outros conteúdos?”

Resposta Frequência Percentagem

Sim 29 58.0

Não 21 42.0

Total 50 100.0

No que diz respeito às resposta dos alunos acerca da resolução de problemas por cada tema,

40% dos alunos responderam que o professor de Matemática apresenta muitas vezes

problemas para serem resolvidos em cada tema em estudo, 50% responderam que o professor

apresenta problemas às vezes, 6% responderam que quase nunca e 4% responderam que o

professor nunca lhes apresenta problemas para serem resolvidos nos temas estudados.

“Os temas estudados costumam ser aplicados pelo professor na resolução de problemas?

Dados Frequência Percentagem

Muitas vezes 20 40.0

As vezes 25 50.0

Quase nunca 3 6.0

Nunca 2 4.0

Total 50 100.0

Questão: “Você gosta de resolver os problemas matemáticos?” 76% dos alunos entrevistados

responderam que gostam de resolver problemas e 24% responderam que não.

Apesar de algumas dificuldades dos alunos na resolução de problemas, de acordo com as

respostas fornecidas, muitos gostaram de resolver problemas e até justificaram que quando se

resolve um problema, o aluno reflecte mais e isso influencia no entendimento de cada tema

em estudo; Alguns até mesmo responderam que gostam de resolver problemas para poder

55

fazer mais prática e também para poder ter mais oportunidade de questionar. Ainda um outro

factor que leva aos alunos a gostar de resolver problemas tem a ver com o facto de poder

entender melhor os conteúdos e fixar melhor a matéria em resultado de aplicabilidade na

resolução de problemas. Por último, acharam que resolver problemas os ajuda a ter mais

clareza da realidade, ou seja, que a resolução de problemas é uma forma de se ver a ligação da

Matemática com a realidade.

Quanto aos que responderam negativamente à questão, justificaram a escolha com o pouco

gosto que têm pela disciplina, o não entendimento dos conteúdos e a demora para se chegar a

um resultado, que muitas vezes acaba por ser incorrecto.

“Gosto pela resolução de problemas”

Resposta Frequência Percentagem

Sim 38 76.0

Não 12 24.0

Total 50 100.0

A resposta dos alunos acerca da forma como o professor lhes tem apresentado o tema função

exponencial, 56% responderam que gostam e entendem; 12% não gostam, mas entendem;

28% responderam que sim; mas não entendem; 4% dos alunos responderam que não gostam

da forma como o professor lhes apresentaram o tema e que não entendem.

“ Gosto pela forma como o professor apresenta a função exponencial”

Resposta Frequência Percentagem

Sim entendo 28 56.0

Não mas entendo 6 12.0 Sim mas não

entendo 14 28.0

Não 2 4.0

Total 50 100.0

Quanto a aplicabilidade do conteúdo no dia-a-dia, 86% dos entrevistados responderam que

sim e 14% responderam que não. Em relação ao tema em estudo, os referidos alunos

argumentaram de forma semelhante, isto é, a maioria dos inqueridos justificaram que o

conceito tem aplicabilidade na vida quotidiana relativamente aos problemas de evolução de

56

uma habitação, propagação de uma doença, cálculo de juros e também propagação de um

boato… etc.

“Aplicabilidade do conteúdo no dia-a-dia”

Resposta Frequência Percentagem

Sim 43 86.0

Não 7 14.0

Total 50 100.0

66% dos entrevistados responderam que entendem o conteúdo mas não conseguem aplicá-lo

na resolução de problemas e 34% desses entrevistados responderam que não .

“Relação entre o entendimento do conteúdo e a sua aplicação na resolução de problemas”

Resposta Frequência Percentagem

Sim 33 66.0 Não 17 34.0

Total 50 100.0

Dificuldades na resolução de problemas matemáticos

Como se sabe, o objectivo do trabalho é identificar as dificuldades dos alunos na resolução de

problemas, utilizando o modelo de resolução função exponencial. Para tal, eles apontaram

algumas dificuldades, tais como:

Identificar informação necessária para resolver um problema.

Seleccionar estratégias para resolver problemas.

Medir a extensão de progresso feito durante a tentativa de solução.

Implementar uma estratégia.

Determinar a aceitação dos resultados.

Entendimento do conteúdo.

Concentração.

Em entender o pedido do enunciado.

57

Transformar na potência de mesma base.

Iniciar a organização de informações.

Transformar o problema em linguagem matemática.

Equacionar o problema.

Relacionar o tema, que é função exponencial, com a resolução de problemas.

Análise de resultados.

Apresentação de solução.

58

V-PARTE

5-COONCLUSÃO E RECOMENDAÇÔES

5.1-Conclusão A pesquisa que levamos a cabo, cujo produto final redunda a este trabalho, permitiu-nos

constatar, entre outras coisas, o que se segue:

Em primeiro lugar, ressalto a necessidade premente de abordador o tema da resolução de

problema no níveis mais baixos uma vez que, por exemplo, o professor sentir-se-á mais à

vontade em utilizar as ideias expostas na segunda parte, a saber, conceitos de problemas

matemáticos, uma vez que neste nível os problemas redundam praticamente a cálculos

algébricos;

Não esgotamos a exploração do tema, pois apenas demos um modesto contributo para a sua

clarificação, pelo que será de todo oportuno se o mesmo vier a ser aproveitado noutros níveis.

No que tange ao trabalho de campo propriamente dito, os alunos evoluíram significativamente

em relação à capacidade de resolver problemas. Ao nível do trabalho em grupo, revelaram

uma crescente facilidade em compreender os problemas, em implementar estratégias

adequadas à sua resolução e em organizar o trabalho escrito de forma adequada. Os alunos

passaram a conseguir resolver problemas, numa atitude de crescente autonomia, deixando de

solicitar qualquer ajuda.

59

Em relação à resolução de problemas individualmente, alguns alunos ainda evidenciavam

dificuldades em resolver, de uma forma correcta, os problemas apresentados. No entanto, um

grande número deles conseguia mostrar uma certa compreensão dos problemas propostos e

procurava estratégias adequadas para sua resolução.

Em relação à utilização de estratégias de resolução de problemas pelos alunos, foi também

possível observar uma grande evolução, que se deu graças à resolução de problemas por

ensaio e erro sistemático. Também foi com crescente facilidade que os alunos identificaram

padrões de distribuição numérica e que aplicaram a fórmula de recorrência na resolução de

problemas.

A função exponencial é um modelo matemático utilizado em diversas actividades,

nomeadamente, em cálculo de juros compostos e na descrição da evolução de populações. É

de grande adequação pedagógica inserir o estudo desta função num contexto de modelação

matemática.

Também foi possível observar a forma como a calculadora facilitou a persistência na

resolução de problemas. Aliviados do peso dos cálculos, os alunos “agarravam-se” à

calculadora, não desistindo perante as tentativas frustradas.

Na medida em que os alunos revelaram uma crescente facilidade em analisar as situações

apresentadas e em propor diferentes processos para a sua resolução, a solução de problemas

influenciou positivamente o processo de ensino-aprendizagem. Por outro lado, alguns

problemas, quando devidamente contextualizada a exploração de conceitos, facilitaram a sua

compreensão.

Os alunos consideram que o trabalho realizado em torno da resolução de problemas foi uma

experiência que os entusiasmou e que lhes deu uma ideia diferente da Matemática. Para a

maioria dos alunos, a resolução de problemas “ajuda a saber pensar”, facilitando assim a

compreensão dos conteúdos estudados. Para outros, embora em número mais reduzido, a

resolução de problemas é sobretudo motivadora, uma vez que entusiasma a trabalhar e a

analisar situações que podem surgir no dia-a-dia.

60

A apresentação escrita da resolução de problemas foi um aspecto em relação ao qual os alunos

tiveram algumas dificuldades. A elaboração de ensaio escrito que descreve de uma forma

clara os aspectos fundamentais que levaram à resolução de problemas revelou dificuldades

iniciais, os alunos conseguiram com mais facilidade apresentar resoluções em que registavam

o trabalho que iam realizando à medida que resolviam os problemas.

Pôde-se concluir que, em relação a muitos aspectos relacionados com a resolução de

problemas, os alunos evoluíram significativamente. Mas é importante realçar que a evolução

foi lenta e implicou trabalho e envolvimento de todos.

Finalmente, parece particularmente significativo o facto de a maioria dos alunos ter

considerado que com as actividades desenvolvidas em torno da resolução de problema

aprenderam e aprendem a pensar.

5.2-Recomendações

A resolução de problemas é um instrumento precioso no ensino de Matemática pois, para

além de constituir um meio de consolidação de conhecimentos (e sua avaliação), também é

uma forma de introduzir novos conceitos e conhecimentos, sem se cair na resolução rotineira

de exercícios com elevada componente mecânica (memorização e aplicação directa, ou quase,

de procedimentos e técnicas).

Na aplicação desta estratégia é muito importante saber escolher o problema a propor. Os

problemas devem ser interessantes e compatíveis com o grau de conhecimento dos alunos, de

interpretação fácil, de linguagem simples, familiar e que permitam extrapolações de forma a

desafiar o "apetite" dos alunos, para que estes possam experimentar sensações, como a tensão

de resolver e desenvolver um problema e a glória da descoberta.

Se um aluno resolver determinados problemas com facilidade, sentir-se-á mais seguro ao

deparar-se com novos problemas (matemáticos ou não), enquanto que um aluno com mais

dificuldade, poderá sentir-se desmotivado e perder, inclusive, a vontade de estudar a

Matemática. Desta forma, é realmente importante e decisiva a correcta escolha dos problemas

a resolver (quer a nível matemático - estrutura e conteúdo - quer a nível de formulação -

61

linguagem, contexto, formato); o ter em conta o percurso escolar individual e colectivo dos

alunos (especialmente as dificuldades a nível do individual e do todo) e o acompanhamento

dado durante os vários processos de resolução.

Este acompanhamento é um aspecto fundamental, quando se trata de exploração de uma

tarefa como esta, visto que o professor pode (e deve) questionar o aluno, sugerindo-lhe (sem o

limitar) alguns caminhos para a resolução, deixando-lhe, no entanto, uma parte substancial do

trabalho, visto que o objectivo da resolução de um problema é não só o atingir de soluções (no

caso de existirem), mas também, e de forma marcante, o desenvolvimento de um raciocínio

sólido e autónomo.

Este apoio é, também, uma oportunidade que um professor não deve perder para se relacionar

com os alunos e lhes mostrar que um problema é um desafio divertido a ultrapassar, isto é,

que um problema é um jogo, assim como a própria Matemática o é, no qual, embora muitas

vezes não se precise mais do que papel e lápis, podemos utilizar tudo o que sabemos e tudo o

que temos à mão para o resolver: por exemplo, o uso de calculadoras, computadores, réguas,

esquadros, compassos... e até materiais produzidos pelos próprios professores e alunos.

É importante perceber que as tarefas que trazemos para a aula são sempre transformadas

pelos alunos, na medida em que eles criam significados próprios que dependem de seus

objectivos. Assim, ao invés de enfatizar as tarefas em si e esperar que tenham um

significado único e fixo, o professor deve preocupar-se em, gradualmente, aproximar os

significados criados pelos alunos àqueles pretendidos pela tarefa. Esta forma de olhar a

actividade dos alunos requer uma nova forma de comunicação e aprendizagem na sala de

aula. Ao trabalhar com as situações da balança, por exemplo, na resolução de uma

equação, seria interessante promover um formato de aula que incluísse pelo menos as

seguintes características (que devem ser adaptados pelo professor para cada ala de aula):

1. Permitir que os alunos resolvam os problemas testando hipóteses para os valores das

incógnitas (como no exemplo da secção anterior). Isso lhes dará familiaridade com o

comportamento da balança e suas relações com a Matemática.

2. Mesmo que os alunos já tenham obtido as respostas correctas com o teste de hipóteses

(uma estratégia essencialmente aritmética), devem ser incentivados a escrever equações

sobre o comportamento da balança (uma estratégia de modelagem algébrica) e, a seguir,

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reunidos em duplas para que possam começar a compartilhar suas ideias com os colegas.

3. Devem ser convidados a registar (ou o professor deverá registar ele mesmo) todos os

tipos de expressões produzidas no quadro (incluindo as “erradas” e mesmo aquelas que

não estão escritas com símbolos algébricos).

4. Incentivar cada aluno (ou dupla de alunos) a apresentar a sua equação, explicando os

detalhes de como a construiu. Isso pode tomar muito tempo da aula, mas o

desenvolvimento dessa capacidade de construir argumentos para defender ideias é o

principal objectivo da escola em qualquer área.

5. O professor não precisa descartar as ideias erradas do ponto de vista matemático

assim que elas aparecem. É recomendável que se organize para fazer perguntas sobre

o significado das acções dos alunos, explicitando os contrastes entre as equações

produzidas e a situação em que se presencia.

6.Uma vez que os alunos tenham argumentado em favor de suas expressões (tendo,

talvez, já realizado modificações em relação a suas ideias iniciais), o professor

poderia até propor votações entre os alunos para a escolha da equação mais adequada

entre as apresentadas no quadro, a fim de tentar perceber em que direcção a maioria

da turma está a organizar a sua compreensão do problema. Cada votação solicita

novas defesas das equações mais votadas e menos votadas, introduzindo novas

questões que irão gradualmente alertando os alunos para as modelagens mais ou

menos adequadas da situação da balança. (É de realçar que o importante não é a

votação em si, mas a defesa que os alunos são capazes de fazer sobre a sua

produção.)

7. A resposta correcta não precisa ser alcançada já no primeiro problema. Aliás, diga-se de

passagem, uma resposta correcta não indica necessariamente que um aluno pensou mais

correctamente do que o outro que deu uma resposta errada! Portanto, é necessário planear

vários problemas e muitas situações, nas quais os alunos podem gradualmente exercitar sua

capacidade de construir representações matemáticas (por exemplo, equações algébricas) e

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defender seus pontos de vista.

O trabalho do professor é fundamental e insubstituível em todos esses pontos. É assim que

estaremos criando oportunidades para o aluno aprender a construir argumentos matemáticos

para problemas e situações, a justificar suas acções e engajar-se em actividades de discussão

nas quais a Álgebra funciona como uma ferramenta de modelagem e resolução de problemas.

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BIBLIOGRAFIA

ABRANTES Paulo/FERNANDES C. Raul, Matemática 11, Texto editora-Lisboa.

BRITO Cristiano /MARTINS Ana Cristina /CABRAL ST. Aubin Marinela, Matemática Aplicações teóricas Volume II.

FREITAS A. César/ GOMES francelino, Matemática 11º ano de escolaridade (2ºano complementar), TOMO1, R. Barros ,14-18-Tel864548-1194, Lisboa 1979.

FERREIRA N. Maria Augusta/MONTEIRO F. Maria Luísa Função3, Exercícios Matemática 12º-2ª parte-Porto Editora.

FERREIRA N. Maria Augusta, Matemática 8 Guia do Professor.

FERNANDES Domingos/BORRALHO António/AMARO Gertrudes, Resolução de problemas: processos cognitivos, concepções de professores e desenvolvimento curricular

Modulo resolução de problemas matemática (projecto consolidação dos sistemas educativos).

LIMA Yolanda /GOMES Francelino; XEQMAT, Matemática 11º e 12º

Paulo/BASTOS Rita, Matemática 12 volume I

PORFÍRIO, Joana (1993). A resolução de problemas na Aula de Matemática. Lisboa: APM.

VEIRA L. Ana /BERNARDES António/ LOUREIRO Cristina/VARANDAS José Manuel /VIANA José ;1ª Edição contraponto/rua Costa Cabral,859,4200Porto

Regulamento escolar interno do ISE-Regulamento de Trabalho de Fim de Curso. Maio de 2000.

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GRÁFICOS

1- f1(x)=3x, f2(x )=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0,

2- f(x)=2x, g(x)=2x+2 e h(x)=2x, .

3- f(x)=2x, f1(x)=2x+1, f2(x)=2x+2 e f3(x)=2x+3.

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4- f(x)=9x

5- f(x)=(1/4)x

6- f(x)=2x e g(x)=(1/2)x

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Questionário aos alunos

Sou professor de matemática na escola secundária de São Miguel. Este questionário tem por objectivo recolher informações sobre resolução de problemas matemáticos utilizando modelo de resolução função exponencial. Agradeço muito se pudesse colaborar comigo, respondendo às perguntas do questionário. Garanto o anonimato e a confidencialidade das tuas respostas a todas as questões é muito importante. I- Identificação do entrevistado 1-Asinale com X a sua condição. Sexo Masculino feminino Área de estudo Económico social C. tecnologia Outras áreas 2-O que entendes por um problema matemático? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3-Quantas vezes já resolveste um problema matemático neste ano lectivo? Responde colocando um X a frente da opção que traduz a tua experiência. 0 a quatro vezes (0-4)

Quatro a oito vezes (4-8)

Mais do que oito vezes

4-Os problemas resolvidos na sua turma consideras que são fáceis ? Sim Não Nem um nem outro 4.1-Achas que facilitam a compreensão dos conceitos envolvidos? Sim Não Justifica-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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5-Em cada tema que estudaste, este ano lectivo, o teu professor de matemática costuma apresentar problemas para resolveres? Muitas vezes Algumas vezes Quase nunca Nunca 6-Você gosta de resolver os problemas matemáticos? Sim Não Assim -assim Indica as razões------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7-Quando o professor introduziu o estudo da função exponencial, entendeste com facilidade? Sim Não 8-Gostaste da forma como o teu professor de matemática te apresentou a função exponencial?

Não

Sim mas não entendo

Não gosto mas entendo

Sim e entendo

9-Achas que o conteúdo tem aplicabilidade na vida do dia-a-dia? Sim Não Porquê------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10-Os problemas que resolveste nas aulas tinham relação com a vida quotidiana? Sim Não Porquê ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11-Entende o conteúdo mas não consegue aplicar na resolução de problemas? Sim Não Indica as razões--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12- Você tem algum documento ou estudas só com o material que o professor dá? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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13-Demoras muito tempo a resolver problemas envolvendo função exponencial? Sim Não Justifica----------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---- 14-Quanto tempo demoras em resolver os problemas do tipo e quais são as suas dificuldades? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15-Achas que o tempo que o professor dá para resolver os problemas é : Suficiente pouco muito Justifica------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 16-Quando o professor resolveu os primeiros problemas ensinou vos a técnica como é que se resolve ? Sim Não Justifica-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17-Deixe uma sugestão ou seja a melhor forma para ministrar o conteúdo e aplica-la na

resolução de problemas-------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------