JULIANA CAROLINE NEVES DE ARAÚJO ANÁLISE DO …

JULIANA CAROLINE NEVES DE ARAÚJO

ANÁLISE DO PROCEDIMENTO DA NBR 6118/2014 PARA O

CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS DE VIGAS

NATAL-RN

2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Juliana Caroline Neves de Araújo

Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de deslocamentos de vigas

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira

Natal-RN

2017

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Sistema de Bibliotecas – SISBI

Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede

Araújo, Juliana Caroline Neves de.

Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de

deslocamentos de vigas / Juliana Caroline Neves de Araújo. - Natal,

2017.

60 f. : il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, Centro de Tecnologia, Graduação em Engenharia Civil.

Orientador: Edmilson Lira Madureira.

1. Concreto armado - Monografia. 2. Vigas - Monografia. 3.

Deslocamentos - Monografia. 4. Simulação - Monografia. I. Madureira,

Edmilson Lira. II. Título.

RN/UFRN/BCZM CDU 624.012.4

Juliana Caroline Neves de Araújo


Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 27 de novembro de 2017:

___________________________________________________

Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira – Orientador

___________________________________________________

Prof. Dr. Marcos Lacerda Almeida – Examinador interno

___________________________________________________

Prof. Dr. Daniel Nelson Maciel – Examinador externo

Natal-RN

2017

Аоs amigos, professores е familiares, pelo incentivo е pelo apoio constantes.

AGRADECIMENTOS

Faz-se necessário agradecer nominalmente àqueles que diretamente ou indiretamente,

participaram, de alguma forma, na elaboração deste trabalho. Desta forma, expresso aqui os

meus mais sinceros agradecimentos:

Ao meu orientador Edmilson, pela paciência na orientação e incentivo que tornaram

possível a conclusão desta monografia.

Aos meus pais, pelo amor, incentivo e apoio incondicional.

A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.

E acima de tudo, a Deus, por ter me dado força e saúde, família e amigos, e estar

sempre ao meu lado.

RESUMO


Até a década de 1990, a verificação rigorosa de membros estruturais de concreto armado

aos limites de deformações excessivas representava tarefa laboriosa, haja vista a complexidade

do comportamento mecânico do referido material e a precariedade dos recursos computacionais

então disponíveis. Por esta razão, a versão da norma aplicada a projetos de estruturas de

concreto armado, a NBR 6118/1982, em vigor até o ano de 2003, apresentava em sua redação

critério prático para a estimativa das dimensões da seção transversal de vigas manufaturadas

com o referido material que, uma vez atendido, dispensava tal verificação. Apesar do

aperfeiçoamento dos métodos aproximados de cálculo e da evolução da computação eletrônica

digital, perdurou certo grau de incompatibilidade em sua aplicação direta aos propósitos do

projeto estrutural cotidiano, precipuamente, no tocante à análise deformacional. Consta na

versão da NBR 6118/2003, recomendação de procedimento simplificado para o cálculo de

deslocamentos em elementos estruturais com as características ora abordado, que foi mantida

na versão da NBR 6118/2014, atualmente, em vigor. Tal procedimento, baseado na proposta de

Branson (1968), prevê a consideração da variação da rigidez à flexão da seção transversal do

membro estrutural conforme o estado de tensões solicitantes, tomando-se por referência a

relação entre o momento fletor que solicita a seção crítica, e o momento fletor correspondente

à fissuração do concreto em tração. O objetivo deste trabalho é a análise da validade da

formulação de Branson (1968) para o cálculo de deslocamentos de vigas isostáticas de concreto

armado, tomando-se por referência para fins de comparação resultados obtidos mediante o

emprego de formulação ortotrópica não-linear em Estado Plano de Tensões, aproximação por

elementos finitos e relações constitutivas não lineares para o concreto.

Palavras-chave: Concreto Armado; Vigas; Deslocamentos; Simulação.

ABSTRACT

Title: Analysis of the NBR 6118/2014 procedure for the calculation of beam displacements

Until the 1990s, the strict verification of structural members of reinforced concrete to

the limits of excessive deformations represented an arduous task, due to the complexity of the

mechanical behavior of the material and the precariousness of the computational resources

available at that age. For this reason, the version of the standard applied to projects of reinforced

concrete structures, the NBR 6118/1982, which was validated until the year 2003, presented in

its text a practical criterion for the estimation of the cross-section dimensions of reinforced

concrete beams that, once observed, the verification was dispensed. Despite the improvement

of approximate methods of calculation and of the evolution of the digital electronic

computation, endure some degree of incompatibility in its direct application to structural design

purposes, principally directed, regarding the deformational analysis. The NBR 6118/2003

version includes in its text a simplified procedure recommendation for calculating displacement

of structural elements with the characteristics discussed herein, which was maintained in the

current version of NBR 6118/2014. This procedure, based on the proposal of Branson (1968),

foresees the consideration of the variation of the flexural stiffness of the cross-section of the

structural member according to the state of requesting tensions, taking as reference the relation

between the bending moment requesting critical section and the bending moment corresponding

to the cracking of the concrete in traction. The aim of this work is the validity analysis of the

Branson (1968) formulation applied to the reinforced concrete isostatic beams displacements

calculation, taking as basis by comparison obtained results from an orthotropic nonlinear

formulation in Plane State of stresses, finite element approximation and non-linear constitutive

relations for concrete.

Keywords: Reinforced Concrete; Beams; Displacements; Simulation.

8

ÍNDICE GERAL

CAPÍTULO PÁGINA

1 INTRODUÇÃO 12

1.1 Considerações iniciais 12

1.2 Objetivos 13

1.3 Estrutura do trabalho 13

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 14

2.1 Equação diferencial da linha elástica de vigas 14

2.2 Deslocamento de vigas 16

2.3 Comportamento mecânico do concreto armado 17

2.4 Estado limite de deformações excessivas 20

2.5 Formulação de Branson 20

2.6 Formulação da análise tensão deformação em estado plano de tensões 23

3 METODOLOGIA 27

3.1 Suporte computacional 27

3.2 Validação da consideração de simetria 28

3.3 Modelos analisados 30

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES 33

4.1 Comparação com resultados da literatura 33

4.2 Resultados via modelo de Branson e ACNL 34

5 CONCLUSÃO 40

6 REFERÊNCIAS 42

ANEXO I 44

ANEXO II 48

9

INDICE DE FIGURAS

FIGURA PÁGINA

2.1 Linha elástica de viga fletida 14

2.2 Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente

distribuída

16

2.3 Curva tensão-deformação do concreto 18

2.4 Curva típica carga-deslocamento para viga de concreto armado em

flexão

19

2.5 Seção homogeneizada 21

2.6 Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2 23

2.7 Curva tensão-deformação para o concreto 25

3.1 Elementos finitos: a) Plano Q8; b) barra L3. 27

3.2 Modelo 1 29

3.3 Modelo 2 29

3.4 Modelo 3 29

3.5 Modelo 4 29

3.6 Viga modelo: a) esquema estrutural; e b) seção transversal 31

3.7 Ilustração genérica dos elementos dos casos 1 a 12 32

4.1 Diagramas carga-deslocamento 33

4.2 Distribuição de tensões normais na seção crítica para o caso 9 35

4.3 Evolução da rigidez da seção crítica da viga 36

4.4 Diagrama carga deslocamento para o caso 9 37

4.5 Diagrama carga deslocamento dos casos 1 a 4 38



10

INDICE DE TABELAS

TABELA PÁGINA

01 Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2 23

02 Resultados de deslocamentos para os modelos 1 a 4 30

03 Caracterização dos casos estudados 32

I.1 Valores limites de deformações 44

I.2 Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o modelo de Branson 45

I.3 Resultados de deslocamentos dos casos 5 a 8 para o modelo de Branson 45

I.4 Resultados de deslocamentos dos casos 9 a 12 para o modelo de

Branson

46

I.5 Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o software ACNL 46



11

SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

ρ Raio de curvatura

κ Curvatura

x Tensão normal na direção x

cu Tensão normal de compressão de pico

tu Tensão normal de tração de pico

y Distância vertical a partir de linha neutra

M Momento fletor atuante

Mr Momento de fissuração da massa do concreto

Ma Momento fletor da seção crítica do vão

E Módulo de elasticidade longitudinal

E0 Módulo de elasticidade longitudinal inicial

EC Módulo de deformação longitudinal do concreto

ES Módulo de deformação longitudinal do aço

ECS Módulo de deformação secante do concreto

A Área da seção transversal

Ac Área bruta de concreto

AS Área da armadura de tração

I Momento de inércia centroidal da seção transversal

IC Momento de inércia da seção bruta de concreto

III Momento de inércia da seção no estádio II

Deflexão da viga a partir da posição inicial indeformada

L Comprimento do vão livre da viga biapoiada

q Carregamento genérico uniformemente distribuído

b Largura da base da seção transversal

d Altura útil da seção transversal

fct Resistência à tração do concreto

ft Resistência à tração uniaxial do concreto

Deformação linear

x Deformação linear na direção x

ei Deformação do concreto na direção principal i

eip Deformação de pico do concreto na direção principal i

cu Deformação limite de ruptura do concreto em compressão axial

Gf Energia de fraturamento por unidade de área

12

1 – INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações Iniciais

O cálculo das deformações de vigas isostáticas mediante os postulados da Mecânica dos

Sólidos, em sua versão unidimensional, baseia-se na Equação Diferencial da Linha Elástica,

cuja dedução e aplicação restringem-se aos casos nos quais o material constituinte do elemento

estrutural é homogêneo e apresenta desempenho mecânico linear elástico, conforme a lei de

Hooke. Sua aplicação a vigas de concreto armado é precária, haja vista tratar-se de material

heterogêneo e elastoplástico, já a tensões de baixa intensidade.

Esta conjuntura levaria à necessidade de recorrer-se a formulações de cálculo e métodos

numéricos aproximados mais sofisticados que até a década de 1990 eram limitados por uma

computação eletrônica digital incipiente no âmbito da engenharia civil, no país.

Em face desses entraves, a versão da NBR 6118/1982, em vigor até o ano de 2003,

apresentava em sua redação, critério prático para a estimativa das dimensões da seção

transversal de vigas de concreto armado que, uma vez observado, dispensava a verificação

rigorosa do membro estrutural aos limites de deformações excessivas.

Apesar do aperfeiçoamento dos métodos aproximados de cálculo, a exemplo do modelo

ortotrópico não-linear combinados com a Técnica dos Elementos Finitos, e da evolução da

computação eletrônica digital, perdurou certo grau de incompatibilidade em sua aplicação direta

aos propósitos do projeto estrutural cotidiano, precipuamente, no tocante à análise

deformacional.

Assim, diante do panorama ora relatado, as versões da NBR 6118/2003, NBR 6118/2007 e

NBR 6118/2014, esta última em vigor atualmente, incluiu em seus corpos textuais

recomendação inequívoca referente a procedimento simplificado aplicado ao cálculo de

deslocamentos de vigas de concreto armado, com base na proposta atribuída a Branson (1968),

que considera o caráter elastoplástico do concreto em compressão e sua fragilidade em tração,

a partir da adoção de uma rigidez equivalente à flexão para a seção crítica do membro estrutural.

Em tal modelo a rigidez equivalente à flexão é obtida mediante ponderação envolvendo os

momentos de inércia da seção transversal crítica no estádio I e no estádio II, tomando-se por

referência para a definição dos fatores de ponderação a relação entre o momento fletor

solicitante na seção crítica e o momento fletor correspondente ao início da fissuração do

concreto devida às tensões de tração na flexão.

13

1.2 – Objetivos

O objetivo geral desse trabalho está voltado para a análise da adequabilidade da

formulação de Branson (1968) ao cálculo de deslocamentos de vigas isostáticas manufaturadas

em concreto armado.

Os objetivos específicos do trabalho consistem em:

a) Desenvolver algoritmo computacional estruturado em C++ sobre a formulação de

Branson (1968);

b) Obter resultados de deslocamentos de viga utilizando método de elementos finitos,

por meio de programa automático elaborado em linguagem FORTRAN sobre a

estrutura de cálculo ortotrópica não-linear em estado plano de tensões;

c) Buscar e analisar métodos presentes na literatura para o cálculo de deformação de

vigas e utilizá-los para obtenção de resultados de deslocamentos para os modelos de

viga propostos.

1.3 – Estrutura do trabalho

O trabalho está dividido em 6 capítulos.

O capítulo 1 apresenta os aspectos introdutórios do trabalho, contendo as suas

considerações iniciais e seus objetivos e finalidades.

O capítulo 2 contempla a revisão bibliográfica, contendo conceitos e formulações

considerados relevantes para o trabalho e embasando-o teoricamente.

O capítulo 3 apresenta a metodologia do trabalho, a qual inclui as ferramentas

computacionais utilizadas para suporte e detalhes dos modelos e casos estudados, assim como

suas formas de concepção e obtenção de resultados passo a passo.

O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos através dos procedimentos descritos no

capítulo anterior assim como observações e discussões sobre os mesmos.

O capítulo 5 sintetiza os resultados do trabalho na forma de conclusões.

O capítulo 6 apresenta as referências utilizadas para a confecção do trabalho.

14

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 – Equação Diferencial da Linha Elástica de Vigas

Segundo Timoshenko (1983), as cargas transversais que solicitam as vigas produzem

deformações, cujo resultado é o encurvamento de seu eixo longitudinal. O projeto pleno e

consistente de uma viga inclui em seu bojo o cálculo dos deslocamentos consumados dos

infinitos pontos situados ao longo do seu eixo, e, a confrontação de suas magnitudes com os

limites deformacionais preconizados por institutos normativos.

Com o propósito voltado para a obtenção da formulação referente ao cálculo de

deslocamentos de vigas considere-se por simplicidade e sem perda de generalidade o modelo

da figura 2.1.a, representado por uma viga simplesmente apoiada AB, manufaturada em

material elástico isotrópico e homogêneo, solicitada mediante uma ação do tipo força P de

direção transversal ao seu eixo longitudinal. Antes da aplicação da carga o eixo longitudinal da

viga é retilíneo e encontra-se na posição horizontal. Durante e após a flexão, o eixo encurva-se,

assumindo a forma do segmento ACB denominado linha elástica da viga.

Para o desenvolvimento da formulação seguinte admite-se a validade da hipótese de

Bernoulli que prevê que as seções permanecem planas no decorrer das deformações que

culminam na configuração de equilíbrio e após tal configuração ser atingida. Admite-se ainda

que o carregamento solicitante está contido no plano de simetria das infinitas seções

transversais da viga, plano xy, e que a flexão se dá em tal plano, que contém, inclusive, a linha

elástica da viga.

Figura 2.1: Linha elástica de viga fletida.

Fonte: adaptado de Timoshenko (1983).

15

Depois da deformação, os planos de duas seções transversais adjacentes, m1 e m2,

distantes dx entre si, convergem para o ponto O, figura 2.1.a, que representa o centro de

curvatura do eixo longitudinal da viga, para o segmento m1m2. O ângulo dθ entre esses dois

planos, o raio de curvatura ρ e a curvatura κ, relacionam-se conforme a equação:

𝜅 = 1

𝜌 =

𝑑𝜃

𝑑𝑥 (Equação 2.1)

Se o comprimento inicial da fibra longitudinal ab é dx e seu comprimento após a

deformação é (ρ + y)dθ ou (1 + y/ρ)dx, então seu alongamento será y.dx/ρ e a deformação

correspondente assume então a forma:

𝜀𝑥 = 𝑦

𝜌= 𝜅𝑦 (Equação 2.2)

Uma vez que a viga é constituída de material elástico então a tensão normal a uma

distância vertical y da linha neutra será:

𝜎𝑥 = 𝜅𝐸𝑦 (Equação 2.3)

O momento da força infinitesimal dF = σxdA, em relação ao eixo neutro, é dM = σxydA.

O momento total envolvendo todos os momentos infinitesimais dM, deve equilibrar o momento

solicitante, e portanto:

𝑀 = − ∫ 𝑑𝑀 = − ∫ σxydA = − ∫ 𝜅𝐸𝑦ydA = −𝜅𝐸 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 (Equação 2.4)

onde

𝐼 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 (Equação 2.5)

é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eixo z, que é o eixo neutro.

Logo:

𝑀 = −𝜅𝐸𝐼 → 𝑘 = −𝑀

𝐸𝐼 (Equação 2.6)

Mas:

16

𝑘 = 1

𝜌=

𝑑𝜃

𝑑𝑠 (Equação 2.7)

Haja vista que a maioria das aplicações práticas envolvem pequenas deflexões, então:

𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥; 𝜃 ≈ 𝑡𝑔𝜃 = 𝑑𝑣

𝑑𝑥 (Equação 2.8)

Onde ν é a deflexão da viga. Considerando-se 2.7 em 2.8 resulta:

𝑘 = 1

𝜌=

𝑑𝜃

𝑑𝑥=

𝑑2𝜐

𝑑𝑥2 (Equação 2.9)

Combinando com a equação 2.6, tem-se:

𝑑2𝜐

𝑑𝑥2 = −𝑀

𝐸𝐼 (Equação 2.10)

Que representa a equação diferencial da linha elástica de uma viga.

2.2 – Deslocamento de Vigas

Figura 2.2. Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída.

Fonte: adaptado de Timoshenko (1983).

17

Seja a viga simplesmente apoiada de comprimento de vão igual a L, solicitada mediante

carga uniformemente distribuída q, figura 2.2, o momento fletor, à distância x do apoio da

esquerda, será M = qLx/2 – qx²/2 e a equação 2.10 permitirá escrever:

𝐸𝐼𝑑2𝜐

𝑑𝑥2 = −𝑞𝐿𝑥

2+

𝑞𝑥²

2 (Equação 2.11)

Em face da simetria, resolve-se a equação considerando que o deslocamento é máximo

em x = L/2, sendo dado, portanto, a partir de:

δ = 𝜐𝑚á𝑥 = 5𝑞𝐿4

384𝐸𝐼 (Equação 2.12)

2.3 – Comportamento Mecânico do Concreto Armado

O concreto simples é material composto produzido a partir da mistura homogeneizada

envolvendo materiais agregados e cimento Portland. Os materiais agregados são, em princípio,

inertes e podem ser graúdos ou miúdos. Os agregados graúdos têm à função de conferir ao

composto, rigidez e resistência à compressão. Os agregados miúdos, por sua vez, têm por

finalidade preencher os espaços vazios deixados entre as partículas dos agregados graúdos e

desta forma suavizar a distribuição de tensões internas na massa do concreto. O cimento

Portland, por outro lado, é uma substância reativa que, em contato com a água, é quimicamente

hidratado e consequentemente endurecido, exercendo assim a função aglutinante, conferindo a

aquisição de resistência e rigidez do conjunto.

Apesar de sua concepção com respaldo tecnológico o concreto é um composto

heterogêneo, e, essa característica, o torna material de comportamento mecânico complexo

(BANGASH, 1989), que pode ser representado mediante a curva tensão-deformação da Figura

2.3.

Conforme Neville (2011), em virtude das dimensões e formas das partículas do cimento

herdadas de sua matéria prima, no caso o clínquer, elas são eletricamente polarizadas, e, as

forças de natureza elétrica preponderam sobre as de origem gravitacional, de modo que as

partículas do cimento são envolvidas por uma camada de água adsorvida, que, embora de ponto

de ebulição mais elevado que a água intersticial livre, elas podem sofrer perda em massa para

18

os poros, resultando em redução de volume caracterizando o fenômeno conhecido como

retração do concreto.

Segundo MacGregor e Wight (2012), em razão da diferença de rigidez entre os

elementos constituintes do concreto e da variação de formas de suas partículas, a deflagração e

o desenvolvimento da retração provoca fissuração na massa do concreto mesmo antes de ele

ser submetido a carregamentos solicitantes. Entretanto, apesar disso, em elementos solicitados

mediante cargas de baixa intensidade, as fissuras da massa do material permanecem estáveis e

seu comportamento mecânico é praticamente linear, podendo ser representado pelo trecho OA

da curva da figura 2.3. Na medida em que o estágio deformacional transpõe o ponto O as

fissuras passam a se propagar, e a linha que descreve o comportamento mecânico do material

passa a se encurvar e sua curvatura se acentua na medida em que o estágio deformacional

progride, assumindo nas vizinhanças do ponto B a instabilidade, caracterizada pelo

agravamento do quadro de fissuração e aumento de deformações mesmo se a tensão se

mantenha constante, culminando-se assim com a deflagração da ruína do material.

Figura 2.3: Curva tensão-deformação do concreto.

Fonte: Adaptado de Bangash (1989).

19

Acrescente-se às informações até aqui prestadas o fato de o concreto apresentar

baixíssima resistência à tração ao ponto de mediante certas condições um corpo de prova de

concreto, mesmo submetido a carregamento compressivo, entrar em processo de ruína quando

as tensões de tração atingirem o limite resistivo do material e assim justificar o emprego de

material adicional, especificamente, com a função de absorver as tensões de tração, no caso, o

aço de construção civil, que trabalha muito bem sob tensões dessa natureza.

Convém ressaltar, preliminarmente, a tendência da curva típica carga-deslocamento de

um elemento de concreto armado solicitado à flexão, reportada por Kwak e Filippou (1990),

composta de três segmentos, figura 2.4. O trecho I, de resposta mecânica mais rígida, refere-se

ao regime em que o concreto apresenta comportamento linear elástico, ao final do qual é

deflagrado o processo de fissuração quando então se inicia o trecho II de resposta mecânica

menos rígida. O trecho III, com inclinação menor, refere-se ao colapso do elemento estrutural,

seja pelo escoamento das barras de aço seja pelo esmagamento da massa de concreto na região

comprimida.

Figura 2.4: curva típica carga-deslocamento para viga de concreto

armado em flexão.

Fonte: adaptado de Kwak e Filippou (1990).

20

2.4 – Estado Limite de Deformações Excessivas

Segundo a NBR 6118/2014, os Estados Limites são os estados extremos aos quais as

estruturas, ou seus membros constituintes, podem ser submetidos em razão da ação dos

carregamentos que as solicitam no decorrer de sua vida útil ou, até mesmo, em sua fase

construtiva. Representam situações até as quais o conjunto estrutural apresenta desempenho

adequado conforme a finalidade da construção que ele suporta. Por esta razão, são tomados

como referência para seu dimensionamento, verificação de segurança e funcionalidade.

Os estados-limite de serviço se referem às condições a partir das quais,

reconhecidamente, pode ocorrer empobrecimento na qualidade do desempenho estrutural, com

reflexos desfavoráveis, inclusive, no que diz respeito ao atendimento de hipóteses de

modelagem de cálculo e dimensionamento. São estados que, por sua simples ocorrência,

repetição ou persistência podem induzir defeitos estruturais violando as especificações para uso

normal da construção e representam indícios de comprometimento à sua durabilidade.

Os estados-limite de serviço têm filosofia voltada para a garantia do conforto do usuário

bem como, à durabilidade, a aparência e a boa utilização das estruturas com respeito a usuários,

máquinas e equipamentos. Em procedimento de projeto de estruturas de concreto armado deve

ser verificado o estado limite de formação de fissuras, o estado limite de abertura das fissuras,

e, o estado limite de deformações excessivas.

O estado-limite de deformações excessivas é caracterizado por valores limite de

deformações, tabela I.1 do anexo I, estabelecidos para a utilização normal da estrutura.

Para o grupo referente à aceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações

indesejáveis ou efeito visual desagradável, sendo fixado em seção da norma que dispõe sobre

limite de vibrações e fadiga.

2.5 – Formulação de Branson

Para o cálculo dos deslocamentos de vigas mediante o modelo de Branson (1968), a

seção de concreto armado é aproximada por uma seção homogeneizada na qual as barras de aço

são substituídas por área de concreto equivalente, de igual rigidez e centro de gravidade

coincidente, de modo que deve ser dada a partir da equação:

seceq AA (Equação 2.13)

21

onde As é a área da armadura de tração e o coeficiente αe é expresso na forma:

csse EE / (Equação 2.14)

sendo Es e Ecs os módulos de deformação do aço e do concreto, respectivamente. A seção

homogeneizada, portanto, é o conjunto formado pela parcela comprimida da seção de concreto

e a seção de concreto equivalente de área “Aceq”, figura 2.5. Em boa aproximação, a posição da

linha neutra é obtida igualando-se a zero o momento estático da seção homogeneizada em

relação à própria linha neutra, como demonstrado por Madureira1 (2017), resultando:

032

2

1 axaxa

(Equação 2.15)

desde que:

2/1 ba ; ceqAa 2

; e, ceqAda .3

(Equação 2.16)

O momento de inércia da seção homogeneizada em relação à linha neutra será:

23

)(3

.xdA

xbI ceqII

(Equação 2.17)

Figura 2.5:Seção homogeneizada.

Fonte: Autor.

22

Se o momento solicitante for inferior ao momento de fissuração deve-se considerar para

o cálculo do deslocamento a rigidez à flexão adotando-se o momento de inércia da seção bruta

de concreto. Caso contrário utiliza-se a rigidez equivalente dada a partir da equação de Branson

(1968), expressa na forma:

II

a

rc

a

rcseq I

M

MI

M

MEEI

33

1)( (Equação 2.18)

onde “Ic” representa o momento de inércia da seção bruta de concreto, “Ma” é o momento fletor

da seção crítica do vão considerado e “Mr” é o momento de fissuração da massa de concreto

do elemento estrutural dado por:

t

cct

ry

IfM

.. (Equação 2.19)

sendo “” o fator que correlaciona resistência à tração na flexão e a resistência à tração direta

que, para seções retangulares deve assumir o valor = 1,5. “yt” é a distância do centro de

gravidade da seção bruta de concreto ao bordo tracionado, enquanto o parâmetro “fct” representa

a resistência à tração do concreto.

Examinando-se mais atentamente a equação de Branson aplicada ao cálculo da rigidez

equivalente à flexão constata-se a inclusão de dois fatores de ponderação. O fator de

ponderação:

𝐹𝑝1 = (𝑀𝑟

𝑀𝑎)

3

(Equação 2.20)

considera a influência da seção bruta de concreto em relação à referida rigidez. O fator de

ponderação:

𝐹𝑝2 = 1 − (𝑀𝑟

𝑀𝑎)

3

(Equação 2.21)

por sua vez, considera a influência da seção de concreto no estado fissurado sobre tal rigidez.

A equação em discussão é aplicável, tão somente, a partir da situação em que o momento da

23

seção crítica Ma assume intensidade igual ao momento de fissuração Mr, de modo que os valores

iniciais de tais fatores são 𝐹𝑝1 = 1,0 𝑒 𝐹𝑝2 = 0,0, de modo que a rigidez da seção bruta de

concreto prepondera. Na medida em que a intensidade do momento da seção crítica Ma

progride, tabela 01 e figura 2.6, aumentando em relação à intensidade do momento de fissuração

Mr, a rigidez à flexão da seção de concreto no estádio II vai se tornando significativa, e, a partir

de certa razão entre esses parâmetros a situação vai se revertendo até que se atinge uma

configuração para a qual Fp1 passa a apresentar valor pouco expressivo e Fp2 valor próximo da

unidade, e, consequentemente, a rigidez da seção de concreto no estádio II passa a predominar.

Tabela 01: Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2.

Mr/Ma Fp1 Fp2

0,90 0,729 0,271

0,70 0,343 0,657

0,50 0,125 0,875

0,20 0,008 0,992

0,10 0,001 0,999

Fonte: Autor.

Figura 2.6: Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2.

Fonte: Autor

2.6 – Formulação da Análise Tensão Deformação em Estado Plano de Tensões

Existe uma diversidade de modelos voltados para a descrição analítica do

comportamento mecânico do concreto dentre eles destacam-se o modelo de Hognestad, o de

Kwak e Philipou, o de Popovics, o de Thorenfeldt, Tomaszewicz e Jensen, o de Karthik e

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fato

r d

e p

on

de

raçã

o

Mr / Ma

Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2

Fp1

Fp2

24

Mander, o do CEB-FIP Model Code, o do fib Bulletin 55 MC, o do EUROCODE 2, o da NBR

6118/2014, o de Nicolo e Pozzo e o de Tsai.ENTRE OUTROS Optou-se, neste trabalho, pelo

modelo de Hognestad, pois, ele é representado por formas analíticas simplistas e, até a presente

data, desconhecem-se relatos sobre episódios de instabilidade numérica associadas ao emprego

de tal modelagem.

A simulação numérica realizada por Kwak e Filippou (1990) baseia-se em modelagem

matemática pautada na formulação ortotrópica não-linear, segundo a qual os elementos da

matriz constitutiva a utilizar são definidos com base em equações semelhantes àquelas

empregadas em solicitação uniaxial, tomando-se, porém, como referência, as deformações

equivalentes, que podem ser definidas conforme a equação:

iijijiei D/D (Equação 2.22)

Os índices “i” e “j”, i, j = 1, 2, referem-se às direções das tensões principais. Os

parâmetros “Dij” representam os elementos das matrizes constitutivas do concreto. As relações

constitutivas de Hognestad (1951), para o concreto em compressão são expressas na forma:

ei

ip

ei

ip

ipi .

.21

.2

para ip<ei< 0 (Equação 2.23)

ipcu

ipeiipi

20

31

para cu<ei<ip. (Equação 2.24)

onde “ip” e “ip” representam a deformação e a tensão de pico do concreto, segundo cada

direção principal “i”, e, “cu” sua deformação limite de ruptura em compressão uniaxial. Em

sua estrutura de cálculo, Kwak e Filippou (1990) simplificam a relação da equação 2.26,

aproximando-a mediante forma matemática representada graficamente pela sequência de

segmentos de reta conforme ilustrado na figura 2.7.

Para os elementos em tração foi adotado modelo de fissuras distribuídas, cujas

vantagens são permitir considerar-se a continuidade do campo de deslocamentos, e, dispensar

modificações de caráter topológico na malha de elementos finitos, no decorrer de seus

25

procedimentos de cálculo. Para deformações inferiores àquela correspondente à sua resistência

à tração uniaxial, o concreto é considerado linear elástico, e, para deformações superiores, é

plástico com amolecimento. A deformação última em tração, “εo”, é dada segundo Kwak e

Filippou (1990), mediante:

b3.f

b/3ln.G.2

t

fo

(Equação 2.25)

O parâmetro “b” representa a dimensão, em polegadas, do elemento finito. “ft” e “Gf””

representam, respectivamente, os parâmetros físicos do concreto de resistência à tração uniaxial

e a energia de fraturamento por unidade de área, este último definido conforme os critérios

preconizados pelo código CEB-FIP Model Code 1990.

Figura 2.7: Curva tensão-deformação para o concreto.

Fonte: Kwak e Filippou (1990).

As tensões-limite no concreto são definidas conforme a envoltória de Kupfer e Gerstle

(1973):

065.3)( 12

2

21 (Equação 2.26)

onde 'c11 f/ , '

c22 f/ . “1” e “2” são as tensões principais com 0 >1>2. “'cf ”

é a resistência à compressão uniaxial do concreto.

As deformações de pico em compressão biaxial são obtidas conforme as expressões:

26

23 2cop2 (Equação 2.27)

121

31cop1 35.025.26.1 (Equação 2.28)

onde c

p11

f

,

c

p22

f

e “co” é a deformação correspondente à tensão de compressão

de pico para estado uniaxial de tensões.

Para a modelagem do concreto submetido a estado plano de tensões, é utilizada a

relação constitutiva incremental de Desai e Siriwardance (1972), escrita mediante:

onde os “Ei’s” são os módulos de deformação do concreto referentes a cada uma das direções

principais. Sua rigidez transversal é expressa na forma da Equação:

21212 E.E2EE25.0G.1

(Equação 2.30)

O comportamento do aço é considerado elástico perfeitamente plástico.

O modelo de Barzegar e Schnobrich (1986) difere da formulação proposta por Kwak e

Filippou (1990), sobretudo, no tocante à consideração da interação entre as barras da armadura

de aço e a massa de concreto envolvente, uma vez que adota a condição de aderência perfeita,

enquanto Kwak e Filippou (1990) assimila o comportamento ora referido à aderência com

deslizamento.

27

3 – METODOLOGIA

Com vistas ao cumprimento dos objetivos propostos para este trabalho foi realizada a

análise deformacional de vigas visando a aquisição de resultados referentes aos deslocamentos

translacionais e tensões solicitantes, a partir da utilização de dois aplicativos computacionais

distintos.

3.1 – Suporte Computacional

Um dos algoritmos foi desenvolvido em linguagem C++ sobre a formulação de Branson

(1968) e apresenta-se mediante a concepção lógica apresentada no ANEXO II deste trabalho.

O outro algoritmo, denominado Análise Constitutiva Não-Linear – ACNL,

desenvolvido por Madureira (2007), foi elaborado em Linguagem FORTRAN e estruturado

segundo procedimento iterativo incremental e aproximação por Elementos Finitos, sobre uma

Formulação Ortotrópica não Linear. Abrange em sua pauta algorítmica a formulação dos

elementos finitos isoparamétricos de aproximação quadrática, os do tipo plano quadriláteros

Q8, destinados à representação topológica da região da massa de concreto e os do tipo lineares

L3 voltados para a discretização das barras da armadura de aço, figura 3.1.

Figura 3.1: Elementos finitos: a) Plano Q8; b) barra L3.

Fonte: Adaptado de Madureira (2007).

O programa ACNL realiza a saída de planilha completa com todos os resultados do

domínio bem como a geração de arquivo resumo contendo informações sumarizadas de

resultados mais relevantes. Além do mais gerencia e emite os mapeamentos numéricos

destinados à leitura pelo pós-processador NLPOS elaborado por Pitangueira e Parente Jr (1997),

Linha de Elementos Barra

28

destinado à geração de imagens referentes aos campos de deslocamentos, e, PROJECT1

desenvolvido por Madureira E Silva (2013), voltado para a produção das imagens

correspondentes aos campos de tensões.

3.2 – Validação da consideração de simetria

Este tópico trata da análise de uma viga biapoiada destinada ao suporte decisório quanto

à melhor modelagem físico geométrica para os membros estruturais objeto de estudo. A

proposta é conceber estratégia para simulação adequada da simetria dos modelos a analisar na

fase definitiva. Tal recurso de modelagem é relevante na medida em que resulta em domínio

menos extenso para o problema discretizado e, portanto, mediante menor quantidade de

elementos finitos com menos pontos nodais, consumindo, assim, menos tempo de

processamento computacional.

Para tal finalidade o software ACNL será utilizado para analisar uma viga, constituída

em concreto C30, armada com duas barras de aço de 10 mm de bitola nominal, perfazendo área

total As = 1,57 cm2. A altura útil da seção transversal será fixada em d = 35 cm.

As figuras 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 ilustram a mesma viga. Nesse caso, para a consecução da

altura útil de sua seção transversal conforme definida no parágrafo anterior, foram dispostas

duas linhas de elementos barra, uma ao longo da linha do bordo inferior e outra ao longo da

linha paralela e 10 cm e acima deste, para que o centro de gravidade da seção transversal do

conjunto de armadura recaia em cota 5 cm acima de tal bordo.

Observe que nos modelos 1 e 2 a linha de apoios está fixada no bordo inferior, enquanto,

nos modelos 3 e 4 está fixada ao nível do eixo longitudinal da viga. Os modelos 2 e 4, por outro

lado, consideram a simetria da viga no meio do vão, o que foi materializado, figuras 2 e 4,

promovendo-se a vinculação de todos os pontos nodais da seção do meio do vão onde passa o

eixo de simetria, com impedimentos, exclusivamente, às translações horizontais. Assim, os

referidos pontos tem liberdade para se deslocar, exclusivamente, na direção vertical, que é o

que ocorre em virtude da simetria do elemento estrutural. Entretanto, convém verificar se a

introdução de tal vinculação resulta em perturbação local que provoque alguma espécie de

instabilidade numérica que interfira significativamente nos resultados.

29

Figura 3.2: Modelo 1.

Fonte: Autor.


Fonte: Autor.


Fonte: Autor.


Fonte: Autor.

30

A partir da análise dos resultados sumarizados na tabela 02 constata-se que os

deslocamentos apresentados no meio do vão das vigas referentes aos modelos 1 a 4 são

praticamente idênticos, o que respalda suficientemente a viabilização da consideração da

simetria na forma aqui proposta.

Tabela 02: Resultados de deslocamentos para os modelos 1 a 4.

INCREMENTO

DE CARGA CARGA(kN/m)

DESLOCAMENTOS (mm)

MODELO 1 MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4

0 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

1 2 0,31717 0,31717 0,31325 0,31325

2 4 0,64639 0,64639 0,63853 0,63853

3 6 1,16710 1,16710 1,15530 1,15530

4 8 1,90630 1,90630 1,89070 1,89070

5 10 2,78820 2,78820 2,76900 2,76910

6 12 3,75090 3,75090 3,72780 3,72780

7 14 4,75100 4,75110 4,72390 4,72400

8 16 5,77160 5,77170 5,72940 5,72950

9 18 6,80080 6,80090 6,76360 6,76390

10 20 7,86220 7,86240 7,80140 7,80120

Fonte: Autor.

3.3 – Modelos analisados

Com vistas ao cumprimento do objetivo proposto para este trabalho, primeiramente, foi

analisada uma viga biapoiada de comprimento de vão L = 3,65 m, Figura 3.6.a, e seção

transversal retangular de largura b = 20 cm e altura h = 50 cm, figura 3.6.b. O elemento

estrutural objeto de apreciação é constituído em concreto para o qual foi fixado Tensão Limite

de Compressão da ordem de 33 MPa, o que o aproxima de um concreto de classe de resistência

C 30, apresentando Módulo de Deformação de 26220 MPa. Será provida de armadura a uma

porcentagem geométrica da ordem de 1%, distribuída em seu bordo inferior, figura 3.6.b, de

aço de construção civil, cujo limite de escoamento é da ordem de 310 MPa e cujo Módulo de

Elasticidade é da ordem de 203 GPa. A viga foi carregada mediante a ação de uma carga

concentrada de intensidade P, aplicada em ponto localizado no meio do vão, em incrementos,

variando de um valor inicial 0(zero) até um valor final da ordem de 155 kN.

Os resultados referentes a este modelo obtidos mediante o aplicativo pautado na

formulação de Branson foram comparados com os correspondentes de autoria de Barzegar e

Schnobrich (1986) e de Kwak e Filippou (1990).

31

Figura 3.6: Viga Modelo: a) Esquema Estrutural; e b) Seção Transversal

Fonte: Autor.

Posteriormente, foram realizadas as análises numéricas envolvendo modelos de viga

isostática, figura 3.7, estabelecendo-se comparação entre resultados obtidos a partir da

utilização do aplicativo sobre o modelo de Branson e um software desenvolvido sobre modelo

ortotrópico não-linear e estado plano de tensões. Os membros estruturais objetos de estudo

apresentam seção transversal retangular de largura b = 0,15 m e são constituídos em concreto

C 30, armado com barras de aço CA-50, solicitados mediante ação do tipo força de direção

transversal ao seu eixo longitudinal, uniformemente distribuída ao longo de toda a extensão do

referido eixo, aplicada, progressivamente, em incrementos finitos de carga.

A análise foi realizada sobre doze casos nos quais os membros estruturais são

diferenciados entre si pelo comprimento do vão, pela altura da seção transversal e pela área da

seção transversal da armadura de aço, conforme sumarizado na tabela 03.

Em virtude da simetria do problema os domínios no plano “xy” referentes aos modelos

analisados puderam ser definidos conforme apresentado na figura 3.7 que, uma vez

discretizados adotando-se dimensão igual a 0,10 m para ambos os tipos de elementos,

resultaram em malhas com o total de elementos finitos conforme indicado na tabela 03.

Para fins da avaliação de tendência conforme a variação dos os parâmetros pertinentes

foram selecionados pontos de referência representativos no meio do vão da viga. Os estudos

concernentes à evolução da tensão normal de compressão no concreto, e dos deslocamentos

translacionais verticais, referem-se ao ponto situado nas proximidades do bordo superior de

coordenadas x = 0,011 m e y = (h – 0,011) m, enquanto, para a tensão de tração na armadura

32

de aço tomou-se como referência o ponto situado nas proximidades do bordo inferior de

coordenadas x = 0,011 m e y = 0,00 m.

Figura 3.7. Ilustração genérica dos elementos dos casos 1 a 12.

Fonte: Autor.

Tabela 03: Caracterização dos casos estudados.

VIGA Viga 4M Viga 5M Viga 6M

Modelo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MÉTODO DE

BRANSON

h(m) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,60 0,60 0,60 0,60

L(m) 4,00 4,00 4,00 4,00 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00

MÉTODO DE

ELEMENTOS

FINITOS

L(m) 2,10 2,10 2,10 2,10 2,60 2,60 2,60 2,60 3,10 3,10 3,10 3,10

elementos

planos 84 84 84 84 130 130 130 130 186 186 186 186

elementos

barra 42 42 42 42 52 52 52 52 62 62 62 62

DADOS

COMUNS

h(m) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,60 0,60 0,60 0,60

As(cm²) 1,570 2,454 3,140 4,908 1,570 2,454 3,140 4,908 1,570 2,454 3,140 4,908

fck(MPa) 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0

Fonte: Autor.

33

4 – RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1 – Comparação com Resultados da Literatura

Os resultados obtidos mediante o “software” baseado no modelo de Branson (1968)

revelaram que, uma vez a viga solicitada mediante o carregamento prescrito no item 3.2 deste

trabalho, os deslocamentos do ponto localizado ao meio de seu vão evoluíram, no decorrer

processo, conforme a curva em tom azul ilustrada na Figura 4.1, onde estão mostradas,

inclusive, as curvas dos deslocamentos obtidas por Kwak e Filippou (1990) em tom vermelho

e por Barzegar e Schnobrich (1986), em tom verde.

Vale destacar que a curva carga-deslocamento correspondente aos resultados de Kwak

e Filippou (1990), apresenta padrão semelhante ao de uma curva típica carga-deslocamento

descrita no item 2.3, ilustrada na figura 2.4.

Figura 4.1: Diagramas Carga-Deslocamento.

Fonte: Autor.

Em exame mais atento da Figura 4.1 constata-se que, no trecho referente ao

comportamento linear elástico, há boa concordância entre os deslocamentos calculados a partir

do modelo de Branson (1968) e os resultados correspondentes obtidos por Kwak e Filippou

(1990). Entretanto, no segmento referente à fissuração do concreto, na medida em que o

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 3 6 9 12 15

Car

ga (

kN)

Deslocamentos (mm)

Carga x Deslocamento

BRANSON

KWAK

SCHNOBRICH

34

processo de carregamento da viga progride, e, em consequência, o quadro de fissuração é

intensificado, a curva decorrente da aplicação do modelo de Branson (1968) e aquela associada

aos resultados de Kwak e Filippou (1990) apresentam divergência que evolui crescentemente

até o ponto de transição para o colapso do elemento estrutural quando a diferença entre os

deslocamentos atinge seu índice máximo que é da ordem de 17%.

A diferença entre os resultados de deslocamentos obtidos a partir da adoção do modelo

de Branson e os seus correspondentes publicados por Barzegar e Schnobrich (1986) apresentam

tendência distinta daquela reportada em relação ao modelo de Kwak e Filippou (1990), pois,

embora seja constatada boa concordância entre esses resultados na fase inicial do trecho

referente ao comportamento linear elástico, o trecho referente ao comportamento elástico dos

resultados de Barzegar e Schnobrich (1986) extrapola o limite fixado a partir do modelo de

Branson (1968). No trecho correspondente à fissuração do concreto a tendência da progressão

da diferença entre os resultados obtidos via modelo de Branson e aqueles publicados por

Barzegar e Schnobrich (1986), se reverte e a diferença apresenta redução paulatina que, embora

branda, cai para um índice da ordem de 9%, e, portanto, bem inferior àquela já reportada com

referência aos resultados de Kwak e Filippou (1990).

Para o trecho correspondente ao colapso do membro estrutural não há base fidedigna de

comparação uma vez que, ao contrário do modelo de Barzegar e Schnobrich (1986) e do modelo

de Kwak e Filippou (1990) o modelo de Branson (1968) é inapto à descrição de tal segmento

comportamental, pois, o efeito do escoamento das barras da armadura de aço sobre a variação

da rigidez da seção transversal é negligenciado.

4.2 –Resultados via modelo de Branson e ACNL

Uma vez a viga referente ao caso 9 tendo sido carregada, na medida em que o processo

de carregamento evolui, a distribuição das tensões normais solicitantes na massa de concreto

ao longo da altura da seção transversal, obtida a partir do código computacional ACNL,

progrediu conforme figura 4.2. Em exame mais minucioso constata-se que apenas para o peso

próprio a seção se comporta no Estádio I. A partir do primeiro incremento de carga, a região

alongada da seção transversal plastifica-se apresentando padrão intermediário entre os estádios

I e II, muito embora, na fase final do processo de carregamento, as tensões de tração são tão

ínfimas que se aproximam de zero. Para os demais casos, a resposta mecânica mostrou-se

semelhante diferindo tão somente pelas intensidades das tensões.

35

Figura 4.2: Distribuição de tensões normais na seção crítica para o caso 9.

Fonte: Autor

Os resultados obtidos mediante o modelo de Branson indicam que a variação da rigidez

da seção transversal crítica apresentou a tendência mostrada na figura 4.3. Observe-se que no

início do carregamento, até a carga de intensidade igual a 8 kN, em escala global, a seção

transversal de concreto armado comporta-se praticamente, no regime linear elástico, e, a partir

36

de tal carga até a carga de intensidade da ordem de 12 kN, ocorre declínio acentuado, que

mostrou-se mais proeminente para os casos envolvendo as vigas de vãos maiores, e, portanto,

em estágio de solicitação mais avançado.

Em exame mais atento da figura 4.3 constata-se que, após a carga de 12 kN, a taxa de

redução da rigidez à flexão é mais discreta. Tal comportamento é consistente uma vez que é

bem conhecido que a rigidez do concreto, conforme sua curva tensão deformação ilustrada na

figura 1.3, embora sempre decrescente, até inclusive a consumação da ruína, sua taxa de

redução, realmente, é mais suave na fase terminal. Esta uniformidade comportamental para os

doze casos ora estudados pode ser um indicativo de que a consagrada estratégia de fixação da

altura da viga em 10% do comprimento do vão representa conduta oportuna nesse propósito

particular.

Figura 4.3: Evolução da rigidez da seção crítica da viga.

Fonte: Autor.

A progressão do carregamento da viga do caso 9 foi acompanhada por deslocamentos

que evoluíram na forma apresentada na figura 4.4. Observa-se que as curvas apresentam dois

trechos bem definidos: um trecho inicial, associado à fase inicial do carregamento até o nível

de carregamento correspondente ao início da fissuração; e, o trecho seguinte, associado às

cargas de intensidade superior, correspondente ao processo de propagação da fissuração,

identicamente à curva típica apresentada em Kwak e Filippou (1990) e no item 2.3 deste

trabalho. Constata-se que, na fase inicial de carregamento, até a carga de intensidade da ordem

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Rig

ide

z EI

(M

Nm

²)

Carga (kN)

Evolução da Rigidez da Seção Crítica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

37

de 4 kN, os resultados obtidos mediante o modelo de Branson apresentaram boa concordância

com aqueles obtidos a partir do software ACNL. Ressalte-se que, para os resultados do ACNL,

esta carga representa o limite de proporcionalidade entre carga e deslocamentos, e, a partir da

qual a inclinação da curva muda bruscamente. Para o modelo de Branson o limite de

proporcionalidade estende-se até o nível de carregamento de aproximadamente 7 kN. Apesar

dessa diferença os deslocamentos apresentam aproximação satisfatória até o estágio

correspondente à carga de 12 kN, a partir da qual as duas curvas divergem crescentemente, com

as maiores magnitudes de deslocamentos registradas para o modelo de Branson.

Figura 4.4: Diagrama carga-deslocamento para o caso 9.

Fonte: Autor.

Para os demais casos, os resultados apresentaram tendência semelhante, figuras 4.5, 4.6

e 4.7, diferindo tão somente pelas magnitudes registradas para os deslocamentos conforme

indicado nas tabelas I.2 a I.7 do anexo 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0

Car

ga (

kN)

Deslocamentos (mm)

Carga x Deslocamento - caso 9

ACNL

BRANSON

38

Figura 4.5: Diagrama carga deslocamento dos casos 1 a 4.

Fonte: Autor


Fonte: Autor

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0

Car

ga (

kN)

Deslocamentos (mm)

Carga x Deslocamento - casos 1 a 4

BRANSON CASO 1

BRANSON CASO 2

BRANSON CASO 3

BRANSON CASO 4

ACNL CASO 1

ACNL CASO 2

ACNL CASO 3

ACNL CASO 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0

Car

ga (

kN)

Deslocamentos (mm)


BRANSON CASO 5

BRANSON CASO 6

BRANSON CASO 7

BRANSON CASO 8

ACNL CASO 5

ACNL CASO 6

ACNL CASO 7

ACNL CASO 8

39


Fonte: Autor.

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0

Car

ga (

kN)

Deslocamentos (mm)


BRANSON CASO 9

BRANSON CASO 10

BRANSON CASO 11

BRANSON CASO 12

ACNL CASO 9

ACNL CASO 10

ACNL CASO 11

ACNL CASO 12

40

5 – CONCLUSÃO

Este trabalho se refere à análise comparativa realizada para fins de verificação da

validade do modelo proposto por Branson (1968), aplicado ao cálculo de deslocamentos

translacionais verticais em vigas de concreto armado, voltados para a verificação do estado-

limite de deformações excessivas, conforme a NBR 6118/2014.

Em uma primeira etapa a análise envolveu a comparação entre os resultados obtidos a

partir do emprego de um código computacional elaborado em linguagem C++, para ambiente

CodeBlocks ou similar, sobre a formulação de suporte ao modelo de Branson (1968) e

resultados da literatura científica sobre o assunto com base em modelo ortotrópico não linear,

proposto por Kwak e Filippou (1990).

Em uma segunda etapa, os resultados referentes ao modelo de Branson (1968) foram

comparados aos correspondentes para cuja aquisição foi utilizado o código computacional

ACNL, elaborado segundo aproximação por elementos finitos sobre formulação ortotrópica não

linear e estado plano de tensões.

Para ambas as etapas de análise, constatou-se que, nos trechos contemplados pelo

modelo de Branson (1968), a saber, os ramos referentes ao comportamento elástico e aquele

correspondente à propagação da fissuração, a curva carga deslocamento apresentou padrão

semelhante à curva típica reportada em Kwak e Filippou (1990).

Com relação à primeira etapa de análise as curvas carga-deslocamento elaboradas a

partir do modelo de Branson (1968) e sua correspondente constante em Kwak e Filippou (1990)

apresentaram boa concordância no trecho referente ao comportamento linear elástico,

suscitando, porém, pequena divergência, no trecho de fissuração, na medida em que o

carregamento progride.

Quanto à segunda etapa de análise ficou constatado que o estado de tensões das seções

transversais no decorrer do processo de carregamento, definido conforme os resultados obtidos

a partir do ACNL, evoluiu de forma tal que o Estádio I perdurou apenas para a ação exclusiva

do peso próprio estrutural, muito embora, na fase final do processo a intensidade das tensões

de tração tenham se aproximado da nulidade.

Ressalte-se, inclusive, que, conforme o modelo de Branson (1968), a rigidez da seção

transversal crítica manteve-se constante do início do carregamento até a carga de intensidade

igual a 8 kN, a partir da qual ocorre declínio acentuado e, ao ser atingida carga de intensidade

da ordem de 12 kN, a taxa de redução tornou-se mais discreta, comportamento esse que guarda

41

estreita coerência com o segmento terminal da curva tensão deformação experimental do

concreto em tração.

Ainda com relação à segunda etapa de análise observa-se que, na fase inicial de

carregamento, até a carga de intensidade da ordem de 4 kN, os resultados obtidos mediante os

modelos ora comparados apresentaram boa concordância, e, para cargas entre 4 kN e 12 kN,

ocorrem diferenças notórias, muito embora os deslocamentos apresentem aproximação

satisfatória, e, a partir da carga de 12 kN, as duas curvas divergem crescentemente, com as

maiores magnitudes para os deslocamentos obtidos mediante o modelo de Branson (1968).

As diferenças apresentadas pelos modelos comparados podem ser atribuídas ao fato de

a modelagem ortotrópica considerar que, para o estágio de solicitação praticado, ainda perdura

alguma tensão de tração no concreto, e, portanto, ainda há transmissão de esforços verticais

entre as duas paredes separadas por uma fissura, decorrente do engrenamento associado à

rugosidade no contato de suas superfícies, o que contribui para conter os deslocamentos

verticais.

Uma outra fonte de divergência entre os modelos comparados está associada ao efeito

de atirantamento exercido pela armadura de tração, considerado pela formulação ortotrópica,

que oferece oposição ao deslocamento transversal da viga.

As diferenças de resultados acima relatadas não inviabilizam o modelo de Branson haja

vista que é utilizado, sobretudo, para avaliação da qualidade comportamental do membro

estrutural em serviço, e, em maior frequência, em critérios mais subjetivos, tais como os efeitos

sensitivos sobre usuários.

42

6–REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR 6118/1982. Projeto de

Estruturas de Concreto Armado - Procedimento, 1982.







BARZEGAR, F. AND SCHNOBRICH, W.C. "Nonlinear Finite Element Analysis of

Reinforced Concrete under Short Term Monotonic Loading". Civil Engineering Studies

SRS No. 530, Univ. of Illinois at Urbana, Illinois, 1986.

BRANSON, D.E. Procedures for Computing Deflections. ACI Journal, n. 65, Nova York.

1968.

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. London,

Thomas Telford, 1993.

DESAI, C.S. e SIRIWARDANCE, H.J. Constitutive Laws for Engineering Material.

Prentice-Hall, New Jersey, 1972.

HOGNESTAD, E.. A Study of Combined Bending and Axial Load in Reinforced Concrete

Members. University of Illinois Bulletin, 1951.

KUPFER, H.B. e GERSTLE, K.H. Behaviour of Concrete under Biaxial Stresses. Journal of

Engineering Mechanics, Vol. 99, n. 4, pp. 853-866, 1973.

43

KWAK, H. G. e FILIPPOU, F. C. Finite Elements Analysis of Reinforced Concrete

Structures under Monotonic Loads. Report UCB/SEMM-90/14, Berkeley, Califórnia, 1990.

(2) MADUREIRA, E. L. Código Computacional para o Cálculo de Deslocamentos de Vigas

Mediante o Modelo de BRANSON. Sistema de Gestão de Atividades Acadêmicas – SIGAA

– UFRN. Natal. 2017.

(1) MADUREIRA, E. L. Notas de Estudo. Volumes 1, 2 e 3. Sistema de Gestão de Atividades

Acadêmicas – SIGAA – UFRN. Natal. 2017.

MADUREIRA, E.L. Simulação Numérica do Comportamento Mecânico de Elementos de

Concreto Armado Afetados pela Reação Álcali-Agregado. Tese (Doutorado em Engenharia

Civil) - Departamento de Engenharia Civil - Universidade Federal de Pernambuco, Recife,

2007. c

MACGREGOR, J. G.; WIGHT, J. K. Reinforced concrete: mechanics and design. Editora

Pearson. 2012. 6th ed.

NEVILLE, A. M. Properties of Concrete. Editora Pearson, 2011. 5th ed.

BANGASH, M. Y. H. Concrete and Concrete Structures: Numerical Modeling and

Applications. Elsevier Science Publishers, Essex, Inglaterra. 1989.

44

ANEXO I

TABELAS COMPLEMENTARES

Tabela I.1: valores limites de deformações.

Tipo de Efeito Razão da

Limitação Exemplo

Deslocamento a

Considerar

Deslocamento

Limite

Aceitabilidade

Sensorial

Visual

Deslocamentos

Visíveis em

Elementos

Estruturais

Total L/250

Outro Vibrações Sentidas

no piso

Decorrente de

Cargas Acidentais L/350

Efeitos

Estruturais

em Serviço

Superfícies que

Devem Drenar

Água

Coberturas e

Varandas Total L/2501)

Pavimentos que

Devem

Permanecer Planos

Ginásios e Pistas

de Boliche

Total L/250 +

Contraflecha2)

Ocorrido após o

Assentamento do

Piso

L/600

Elementos que

Suportam

Equipamentos

Sensíveis

Laboratórios

Ocorrido Após o

Nivelamento do

Equipamento

Conforme

Recomendação do

Fabricante

Efeitos em

Elementos

Não

Estruturais

Paredes

Alvenaria,

Caixilhos e

Revestimentos

Após a Construção

da Parede

L/5003) ou 10 mm ou

θ = 0,0017 rad4)

Divisórias Leves e

Caixilhos

Telescópicos

Ocorrido Após a

Instalação da

Divisória

L/250 ou 25 mm

Movimento Lateral

de Edifícios

Devido à Ação do

Vento para

Combinação

Frequente

H/1700 ou H1/8505)

entre Pavimentos6)

Movimentos

Térmicos Verticais

Provocado por

Diferenças de

Temperatura

L/4007) ou 15 mm

Forros

Movimentos

Térmicos

Horizontais

Provocado por

Diferenças de

Temperatura

H/500

Revestimentos

Colados

Ocorrido Após a

Construção L/500

Revestimentos

Pendurados ou

com Juntas

Ocorrido Após a

Instalação do Forro L/175

Efeitos em

Elementos

Estruturais

Afastamento das

Hipóteses de

Cálculo

Os deslocamentos sendo relevantes ao elemento considerado,

seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura

devem ser considerados, incorporando-os ao modelo estrutural

adotado

Fonte: Adaptado de NBR 6118/2014

45

Tabela I.2: Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o modelo de Branson.

INCREMENTO CARGA

(kN)

DESLOCAMENTO BRANSON (mm)

Caso 1

As = 0.785 cm²

Caso 2

As = 1.227 cm²

Caso 3

As = 1.57 cm²

Caso 4

As = 2.454 cm²

PP 0,0 0,200 0,200 0,200 0,200

1 1,5 0,500 0,500 0,500 0,500

2 3,1 0,700 0,700 0,700 0,700

3 4,6 1,000 1,000 1,000 1,000

4 6,1 1,200 1,200 1,200 1,200

5 7,7 1,700 1,700 1,700 1,600

6 9,2 2,900 2,700 2,600 2,400

7 10,8 4,300 3,900 3,700 3,200

8 12,3 6,100 5,300 4,800 4,100

9 13,8 8,000 6,700 6,000 4,900

10 15,4 10,000 8,200 7,200 5,700

11 16,9 12,100 9,600 8,400 6,500

12 18,4 14,200 11,000 9,500 7,200

13 20,0 16,300 12,400 10,600 8,000

Fonte: Autor.


INCREMENTO CARGA

(kN)


Caso 5

As = 0.785 cm²

Caso 6

As = 1.227 cm²

Caso 7

As = 1.57 cm²

Caso 8

As = 2.454 cm²

PP 0 0,400 0,400 0,400 0,400

1 1,77 0,700 0,700 0,700 0,700

2 3,59 1,100 1,100 1,100 1,100

3 5,42 1,500 1,500 1,500 1,500

4 7,24 2,100 2,000 2,000 2,000

5 9,06 3,900 3,700 3,500 3,300

6 10,89 6,300 5,700 5,400 4,700

7 12,71 9,300 8,100 7,400 6,200

8 14,53 12,800 10,700 9,500 7,600

9 16,35 16,400 13,200 11,600 9,100

10 18,18 20,200 15,800 13,700 10,400

11 20,00 24,000 18,400 15,700 11,800

Fonte: Autor.

46


INCREMENTO CARGA

(kN)


Caso 9

As = 0.785 cm²

Caso 10

As = 1.227 cm²

Caso 11

As = 1.57 cm²

Caso 12

As = 2.454 cm²

PP 0,0 0,500 0,500 0,500 0,500

1 2,2 1,100 1,100 1,100 1,100

2 4,4 1,600 1,600 1,600 1,600

3 6,7 2,300 2,300 2,300 2,200

4 8,9 5,000 4,800 4,600 4,300

5 11,1 9,000 8,200 7,600 6,600

6 13,3 14,200 12,200 11,100 9,100

7 15,6 20,100 16,600 14,700 11,600

8 17,8 26,500 21,000 18,300 14,000

9 20,0 33,000 25,400 21,800 16,300

Fonte: Autor.

Tabela I.5: Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o software ACNL.

INCREMENTO CARGA

(kN)

DESLOCAMENTO ACNL (mm)

Caso 1

As = 0.785 cm²

Caso 2

As = 1.227 cm²

Caso 3

As = 1.57 cm²

Caso 4

As = 2.454 cm²

PP 0,0 0,237 0,232 0,229 0,221

1 2,0 0,573 0,559 0,550 0,529

2 4,0 1,114 1,041 0,995 0,918

3 6,0 2,056 1,811 1,678 1,462

4 8,0 3,286 2,783 2,518 2,114

5 10,0 4,633 3,862 3,456 2,825

6 12,0 6,106 4,990 4,441 3,569

7 14,0 7,632 6,162 5,449 4,335

8 16,0 9,153 7,369 6,463 5,115

9 18,0 10,753 8,578 7,518 5,899

10 20,0 12,380 9,828 8,563 6,702

Fonte: Autor.

47


INCREMENTO CARGA

(kN)


Caso 5

As = 0.785 cm²

Caso 6

As = 1.227 cm²

Caso 7

As = 1.57 cm²

Caso 8

As = 2.454 cm²

PP 0,0 0,30079 0,296 0,29247 0,28408

1 2,0 0,66551 0,65395 0,64572 0,62724

2 4,0 1,236 1,1788 1,1422 1,0688

3 6,0 2,215 2,0309 1,904 1,6961

4 8,0 3,5442 3,1251 2,8713 2,4746

5 10,0 5,0857 4,4054 3,9787 3,3352

6 12,0 6,8364 5,7668 5,1424 4,27

7 14,0 8,6009 7,1903 6,4002 5,1978

8 16,0 10,468 8,6791 7,6909 6,1972

9 18,0 12,327 10,18 9,0215 7,2052

10 20,0 14,291 11,741 10,369 8,2303

Fonte: Autor.


INCREMENTO CARGA

(kN)


Caso 9 As

= 0.785 cm²

Caso 10

As = 1.227 cm²

Caso 11

As = 1.57 cm²

Caso 12 As

= 2.454 cm²

PP 0,0 0,4623 0,4555 0,4505 0,4384

1 2,0 0,9318 0,9139 0,9011 0,8712

2 4,0 1,7685 1,6702 1,6104 1,4929

3 6,0 3,1786 2,8772 2,7029 2,3730

4 8,0 5,0272 4,4138 4,0633 3,3945

5 10,0 7,1232 6,1533 5,5868 4,5814

6 12,0 9,5014 7,9774 7,1765 5,8170

7 14,0 11,9120 9,9297 8,8658 7,0526

8 16,0 14,4490 11,8850 10,6080 8,3916

9 18,0 17,0880 13,8230 12,3570 9,7323

10 20,0 20,2850 15,9380 14,1310 11,0710

Fonte: Autor.

48

ANEXO II

/// Nome do Projeto: DeslViga45

/// Atualizado em 17.05.2017

/// Deslocamento no meio do vão de viga biapoiada

/// Opções de Carregamentos:

/// itload = 0 - Carga uniformemente distribuída em

/// toda a extensão do vão.

/// itload = 1 - Carga concentrada aplicada no meio

/// do vão.

/// Inicio do Programa:

/// Bibliotecas utilizadas:

//

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <fstream>

using namespace std;

/// Inicio do código:

int main()

{

/// Declaração de variáveis

float b, h, L, alfa;

float fck;

float d, Ecs, fctm, expo;

float As, Es;

float Aceq,a1, a2, a3, Alfae, Delta, x;

float dx, Ic, yt, I2, Mr;

float q,P,dq,dP,qj,Pj,M;

float I,EI, r, s, delta;

int k,n,itload;

float mio,gamaf,fc,dL,qlim,Plim,gamac;

float Ts;

/// Modo de entrada de dados:

/// k = 0 - Introdução dos dados através do teclado

/// k diferente de zero - Leitura de dados em arquivo neutro

49

cout << " Informar o modo de entrada de dados:" << endl;

cout << " " << endl;

cout << " Caso deseje introduzir a massa de dados atraves do teclado do computador digite

o caracter 0 (zero)." << endl;


cout << " Caso contrario digite um numero qualquer diferente de 0 (zero)." << endl;


cin >> k ;

if(k==0)

{

ofstream OBJETO_CRIADO;

OBJETO_CRIADO.open("DESLDAT.txt");

/// Geometria:

cout << "Informar geometria na sequencia: b(m), h(m), L(m) e alfa!!!" << endl;

cin >> b >> h >> L >> alfa;


OBJETO_CRIADO << b << " " << h <<" " << L << " " << alfa << "\n";

/// Resistência do Concreto:

cout << "Informar o fck do concreto expresso em MPa!!!" << endl;

cin >> fck;


OBJETO_CRIADO << fck << "\n";

/// Informações da armadura de aço:


cout << "Informar os dados da armadura de aco! " << endl;


cout << "Area da secao transversal da armadura em cm2: "<< endl;

cin >> As;

OBJETO_CRIADO << As << "\n";

cout << "Modulo de Elasticidade do material em GPa " << endl;

cin >> Es;

OBJETO_CRIADO << Es << "\n";

/// Carregamento:


cout << "Carregamento:" << endl;


cout << "Tratando-se de carga uniformemente distribuída digite o caracter 0 (zero)" << endl;

50


cout << "Tratando-se de carga concentrada no meio do vão digite o caracter 1 (um)" <<

endl;


cin >> itload;

OBJETO_CRIADO << itload << "\n";

if(itload==0)

{

cout << "Informar a intensidade da carga em kN/m " << endl;

cin >> q;


}

else

{

cout << "Informar a intensidade da carga em kN " << endl;

cin >> P;


}

///

cout << "Informar em quantas parcelas a intensidade da carga deve ser dividida " << endl;

cin >> n;


if(itload == 0)

{

OBJETO_CRIADO << q << " " << n <<"\n";

}

else

{

OBJETO_CRIADO << P << " " << n <<"\n";

}

OBJETO_CRIADO.close();

}

else

{

ifstream OBJETO_CRIADOA;

OBJETO_CRIADOA.open("DESLDAT.txt");

OBJETO_CRIADOA >> b >> h >> L >> alfa;

OBJETO_CRIADOA >> fck;

OBJETO_CRIADOA >> As;

OBJETO_CRIADOA >> Es;

OBJETO_CRIADOA >> itload;

if(itload == 0)

{

OBJETO_CRIADOA >> q >> n;

}

51

else

{

OBJETO_CRIADOA >> P >> n;

}

OBJETO_CRIADOA.close();

}

/// Altura útil:

d = 0.9*h;

/* Para que a seção trabalhe como normalmente armada deve-se limitar o momento

reduzido ao valor: */

mio = 0.295;

/// Coeficiente de segurança das solicitações:

gamaf = 1.4;

/// Coeficiente de segurança do concreto:

gamac = 1.4;

/// A tensão limite do concreto no estado-limite ultimo será:

fc = 0.85*fck/gamac;/// Em MPa.

/// Razão da altura útil para o vão:

dL = d/L;

/// A intensidade da carga solicitante deve então ser limitada ao valor:

if(itload == 0)

{

qlim = 8000.0*mio*fc*b*pow(dL,2)/gamaf; /// Em kN/m.

}

else

{

/// Plim = 4000.0*mio*fc*b*pow(d,2)/(L*gamaf); /// Em kN.

Plim = 40000.0*mio*fc*b*pow(d,2)/(L*gamaf); /// Em kN.

}

/// Parâmetros físicos do concreto:

Ecs = 4760.0*sqrt(fck); /// Em MPa.

expo = 2.0/3.0;

fctm = 0.3*pow(fck,expo); /// Em MPa.

52

/// Linha neutra:

Alfae = 1000.0*Es/Ecs;

Aceq = Alfae*As;

a1 = 100.0*b/2.; /// Em cm.

a2 = Aceq;

a3 = - 100.0*d*Aceq;

Delta = pow(a2,2) - 4.0*a1*a3;

Delta = sqrt(Delta);

x = (-a2 + Delta)/(2.0*a1);

/// Momentos de Inércia da Seção de Concreto:

/// Seção Bruta de Concreto:

Ic = b*pow(h,3)/12.0;/// Em m4.

/// Concreto Estádio II

x = x/100.0; /// Em m.

dx = d - x;

I2 = b*pow(x,3)/3.0 + a2*pow(dx,2)/10000.0;/// Em m4.

/// Momento de fissuração:

yt = h/2.0; /// Em m.

Mr = 1000.0*alfa*fctm*Ic/yt; /// Em kNm.

/// Ajuste da carga:

if(itload == 0)

{

if(q > qlim)

{

cout << " " <<endl;

cout << "O programa reajustara a intensidade da carga para o valor da carga limite" << endl;

cout << " " <<endl;

cout << " Caso o usuario deseje trabalhar com carga de menor intensidade deve alterar seu

valor no arquivo de dados " << endl;


q = qlim;

/// Intensidade do incremento de Carga:

}

dq = q/n;

}

else

{

53

if(P > Plim)

{

cout << " " <<endl;

cout << "O programa reajustara a intensidade da carga para o valor da carga limite" << endl;

cout << " " <<endl;

cout << " Caso o usuario deseje trabalhar com carga de menor intensidade deve alterar seu

valor no arquivo de dados " << endl;


P = Plim;

/// Intensidade do incremento de Carga:

}

dP = P/n;

}

/// Relatório - Parte 1:



cout << " Relatorio: " << endl;



cout << " Dados:" << endl;


cout << " Geometria: " << endl;


cout << " b = "<< b << " m; " << "h = " << h << " m." << endl;

cout << " L = "<< L << " m; " << "alfa = " << alfa << endl;


cout << " Parametros Fisicos do Concreto: " << endl;

cout << " fck = " << fck << " MPa" << endl;


cout << " Armadura de aco! " << endl;

cout << " Area da secao transversal: As = " << As << " cm2"<< endl;

cout << " Modulo de Elasticidade do material: Es = " << Es << " GPa"<< endl;



cout << " Resultados:" << endl;


cout << " Parametros Fisicos do Concreto: " << endl;

cout << " Modulo de Elasticidade: Ecs = " << Ecs << " MPa"<< endl;


cout << " Resistencia a tracao: fctm = " << fctm << " MPa"<< endl;


cout << " Altura util: d = " << d << " m"<< endl;


cout << " Area de concreto equivalente: Alfae = " << Alfae << " Aceq = "<< Aceq << endl;


cout << " Posicao da Linha Neutra: " << endl;

cout << " Coeficientes da Equacao do Segundo Grau:" << endl;

54

cout << " a1 = " << a1 << " cm" << " a2 = " << a2 << " cm2 " << " a3 = " << a3 << " cm3"<<endl;


cout << " x = " << x << " m" <<endl;


cout << " Momentos de Inercia:" << endl;

cout << " Secao Bruta de Concreto: Ic = " << Ic << " m4 -- " << " Estadio II: I2 = " << I2

<< " m4 " <<endl;


cout << " Momento de Fissuracao: Mr = " << Mr << " kNm" << endl;


cout << " Momento reduzido limite mio = " << mio << endl;


cout << " Coeficiente de seguranca das solicitacoes: " << gamaf << " - Coeficiente de

seguranca do concreto: " << gamac << endl;


cout << " Tensao de compressao limite no concreto fc = " << fc << " MPa" << endl;


if(itload == 0)

{

cout << " - Intensidade limite da carga qlim = " << qlim << " kN/m;" << endl;


cout << " Intensidade da carga q = " << q << " kN/m;" << " Total de incrementos de carga

n = " << n << endl;


cout << " Intensidade do incremento de carga dq = " << dq << " kN/m;" << endl;


}

else

{

cout << " - Intensidade limite da carga Plim = " << Plim << " kN; " << endl;


cout << " Intensidade da carga P = " << P << " kN;" << " Total de incrementos de carga n =

" << n << endl;


cout << " Intensidade do incremento de carga dP = " << dP << " kN;" << endl;


}

/// Elaboração de Relatório em Arquivo texto:

ofstream OBJETO_ARQUIVO;

OBJETO_ARQUIVO.open("DESLOUT.txt");

OBJETO_ARQUIVO << " " << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Relatorio: " << endl;



OBJETO_ARQUIVO << " Dados:" << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Geometria: " << endl;

55


OBJETO_ARQUIVO << " b = "<< b << " m; " << "h = " << h << " m." << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " L = "<< L << " m; " << "alfa = " << alfa << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Parametros Fisicos do Concreto: " << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " fck = " << fck << " MPa" << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Armadura de aco! " << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Area da secao transversal: As = " << As << " cm2"<< endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Modulo de Elasticidade do material: Es = " << Es << " GPa"<<

endl;



OBJETO_ARQUIVO << " Resultados:" << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Parametros Fisicos do Concreto: " << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Modulo de Elasticidade: Ecs = " << Ecs << " MPa"<< endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Resistencia a tracao: fctm = " << fctm << " MPa"<< endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Altura util: d = " << d << " m"<< endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Posicao da Linha Neutra: " << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Coeficientes da Equacao do Segundo Grau:" << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " a1 = " << a1 << " cm" << " a2 = " << a2 << " cm2 " << " a3 = "

<< a3 << " cm3"<<endl;


OBJETO_ARQUIVO << " x = " << x << " m" <<endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Momentos de Inercia:" << endl;

OBJETO_ARQUIVO << " Secao Bruta de Concreto: Ic = " << Ic << " m4 -- " << " Estadio

II: I2 = " << I2 << " m4 " <<endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Momento de Fissuracao: Mr = " << Mr << " kNm" << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Momento reduzido limite mio = " << mio << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Coeficiente de seguranca das solicitacoes: " << gamaf << " -

Coeficiente de seguranca do concreto: " << gamac << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Tensao de compressao limite no concreto fc = " << fc << " MPa"

<< endl;


if(itload ==0)

{

OBJETO_ARQUIVO << " - Intensidade limite da carga qlim = " << qlim << " kN/m;" <<

endl;


56

OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade da carga q = " << q << " kN/m;" << " Total de

incrementos de carga n = " << n << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade do incremento de carga dq = " << dq << " kN/m;"

<< endl;


}

else

{

OBJETO_ARQUIVO << " - Intensidade limite da carga Plim = " << Plim << " kN;" <<

endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade da carga P = " << P << " kN;" << " Total de

incrementos de carga n = " << n << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade do incremento de carga dP = " << dP << " kN;" <<

endl;


}



/// Deslocamentos:

for (int j = 1; j <= n; j++)

{

/// Carga corrente:

if(itload == 0)

{

qj = j*dq;

}

else

{

Pj = j*dP;

}

/// Momento Fletor Solicitante:

if(itload == 0)

{

M = qj*pow(L,2)/8;

}

else

{

M = Pj*L/4;

}

/// M = M/1000.0;

57

/// Rigidez à Flexão:

if(M <= Mr)

{

I = Ic;

}

else

{

r = Mr/M;

s = pow(r,3);

I = s*Ic + (1.0 - s)*I2;

}

EI = Ecs*I;

if(itload == 0)

{

delta = 5.0*qj*pow(L,4)/(384.0*EI);

}

else

{

delta = Pj*pow(L,3)/(48.0*EI);

}

/// Tensao normal na secao transversal das barras da armadura de aço

Ts = 10.0*M/(As*(d - x/3));

/// Exibição dos resultados no console:

cout << fixed;

cout.precision(1);


cout << " Incremento de carga " << j << endl;

if(itload ==0)

{


cout << " Intensidade atual da carga q = " << qj << " kN/m;" << endl;


}

else

{


cout << " Intensidade atual da carga P = " << Pj << " kN;" << endl;


}

cout << " Momento fletor solitante: M = " << M << " kNm" << endl;


cout << " Rigidez a Flexao: EI = " << EI << " MNm2" << endl;

58


cout << " Tensao normal na secao transversal das barras da armadura de aco " << Ts << " MPa"

<< endl;


cout << " Deslocamento Vertical no Meio do Vao: " << delta << " mm" << endl;



/// Armazenamento em unidade de disco:

OBJETO_ARQUIVO << fixed;

OBJETO_ARQUIVO.precision(1);


OBJETO_ARQUIVO << " Incremento de carga: " << j << endl;


if(itload == 0)

{


OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade atual da carga qj = " << qj << " kN/m;" << endl;


}

else

{


OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade atual da carga Pj = " << Pj << " kN;" << endl;


}


OBJETO_ARQUIVO << " Momento fletor solitante: M = " << M << " kNm" << endl;


if( M > Mr)

{

OBJETO_ARQUIVO << " A intensidade do momento fletor solitante da seção crítica

ultrapassou o Momento de Fissuração do concreto" << endl;


}

else

{

OBJETO_ARQUIVO << " Intensidade do momento fletor solitante da seção crítica inferior

ao Momento de Fissuração do concreto" << endl;

}


OBJETO_ARQUIVO << " Rigidez a Flexao: EI = " << EI << " MNm2" << endl;


OBJETO_ARQUIVO << " Tensao normal na secao transversal das barras da armadura de

aco " << Ts << " MPa" << endl;


59

OBJETO_ARQUIVO << " Deslocamento Vertical no Meio do Vao: " << delta << " mm"

<< endl;




}

OBJETO_ARQUIVO.close();

return 0;

}

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JULIANA CAROLINE NEVES DE ARAÚJO ANÁLISE DO …