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BERTOLO Juros Compostos Juros Compostos Série Uniforme Série Uniforme Se emprestares dinheiro a algum Se emprestares dinheiro a algum pobre dentre o meu povo que está pobre dentre o meu povo que está comigo, não lhe serás como comigo, não lhe serás como credor, nem lhe exigirás juros.” credor, nem lhe exigirás juros.” ( ( Êxodo Êxodo , 22:25) , 22:25)

Juros Compostos Série Uniforme

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Juros Compostos Série Uniforme. “Se emprestares dinheiro a algum pobre dentre o meu povo que está comigo, não lhe serás como credor, nem lhe exigirás juros.” ( Êxodo , 22:25). Pagamentos Simples x Múltiplos Fluxos de Caixa. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLO

Juros CompostosJuros Compostos Série Uniforme Série Uniforme

““Se emprestares dinheiro a algum pobre dentre o Se emprestares dinheiro a algum pobre dentre o meu povo que está comigo, não lhe serás como meu povo que está comigo, não lhe serás como credor, nem lhe exigirás juros.”credor, nem lhe exigirás juros.”

((ÊxodoÊxodo, 22:25), 22:25)

Page 2: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO22

Pagamentos Simples x Pagamentos Simples x Múltiplos Fluxos de CaixaMúltiplos Fluxos de Caixa

Até agora tratamos o juros compostos em Até agora tratamos o juros compostos em pagamentos simplespagamentos simples, isto é , isto é umauma entrada e entrada e umauma saída de caixa. saída de caixa.

O que acontece quando temos O que acontece quando temos váriasvárias entradas entradas (ou saídas) de caixa?(ou saídas) de caixa?

É o que vamos ver a seguir. É o que vamos ver a seguir.

Page 3: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO33

Múltiplos Fluxos de CaixaMúltiplos Fluxos de Caixa

Digamos que você está pensando comprar um Digamos que você está pensando comprar um computador e para isso pretende fazer um computador e para isso pretende fazer um plano de poupança da seguinte maneira:plano de poupança da seguinte maneira:Daqui a 1 mês – depósito de $ 1.200,00Daqui a 1 mês – depósito de $ 1.200,00Daqui a 2 meses – depósito de $ 1.400,00Daqui a 2 meses – depósito de $ 1.400,00Daqui a 3 meses – depósito de $ 1.000,00Daqui a 3 meses – depósito de $ 1.000,00

Se a taxa de juros é 8% a.m., qual a quantia Se a taxa de juros é 8% a.m., qual a quantia que você terá daqui a 3 meses, para efetuar a que você terá daqui a 3 meses, para efetuar a compra do computador?compra do computador?

Page 4: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO44

SOLUÇÃOSOLUÇÃOO Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)correspondente será:

0 1 2 3

1.2001.400

1.000

1.000,00

1.512,00

1.399,68

x (1.08) 0

x (1.08) 1

x (1.08) 2

3.911,68

VF = ?

Vejam que o fluxo de caixa múltiplo é uma simples exten-são do pagamento simples.“Para calcular o valor em alguma data futura de uma série de fluxos de caixa, calcule o quanto cada fluxo de caixa valerá naquela data futura, e depois some esses valores futuros”.

Lembrem-se queVF = VP(1+i)n

ou

VF = VP(1+0,08)n

Page 5: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO55

Valor Futuro Calculado capitalizando adiante Valor Futuro Calculado capitalizando adiante um período por vezum período por vez

Tempo(anos)

0 1 2 3 4 5

$0

0

$0

$0

2.000

$2.000

$2.200

2.000

$4.200

$4.620

2.000

$6.620

$7.282

2.000

$9.282

$10.210,2

2.000

$12.210,2

i = 10% a.a.

Page 6: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO66

Tempo(anos)

0 1 2 3 4 5

$2,000 $2,000 $2,000 $2,000.0

x 1.12

x 1.1

Valor Futuro Total 12.210,20

$2,000

x 1.13

x 1.14

$2,200.0

$2,420.0

$2,662.0

$2,928.2

Valor Futuro Calculado capitalizando cada fluxo de caixa separadamente

Outra maneira de enxergar a capitalização

Page 7: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO77

O básicoO básico

Para se calcular o valor de uma série de Para se calcular o valor de uma série de fluxos de caixa usa a mesma matemática fluxos de caixa usa a mesma matemática usada para se calcular o valor de um total.usada para se calcular o valor de um total.

Avaliar uma série envolve avaliar cada Avaliar uma série envolve avaliar cada quantia individual (i.é., o fluxo de caixa) e quantia individual (i.é., o fluxo de caixa) e daí somarmos estes valores.daí somarmos estes valores.

Se os fluxos de caixa são quantias Se os fluxos de caixa são quantias iguaisiguais e e ocorrem em intervalos ocorrem em intervalos regularesregulares de tempo de tempo podemos usar um atalho para avaliar a série. podemos usar um atalho para avaliar a série.

Page 8: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO88

IV.3.1 - FATOR DE IV.3.1 - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITALACUMULAÇÃO DE CAPITAL

PROBLEMAPROBLEMA: Determinar a quantia : Determinar a quantia VFVF acumulada acumulada partir da série partir da série uniformeuniforme PGTOPGTO

GRÁFICO: VF

0 1 2 3 4 5 6 7 n-3 n-2 n-1 n

PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO

GRÁFICO

Page 9: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO99

FÓRMULA: FÓRMULA: O primeiro pagamento rende juros durante (n - 1) períodos. O primeiro pagamento rende juros durante (n - 1) períodos. No instante No instante nn seu valor será: seu valor será:

PGTO (1 + i)PGTO (1 + i)n-1n-1 . .O segundo pagamento rende juros durante (n - 2) períodos. O segundo pagamento rende juros durante (n - 2) períodos. No instante No instante nn seu valor será: seu valor será:

PGTO (1 + i) PGTO (1 + i) n - 2 n - 2

e assim, sucessivamente, teremos (e assim, sucessivamente, teremos (o último pagamento não rende juroso último pagamento não rende juros) ) pago:pago:

PGTO (1+i)PGTO (1+i)n-1n-1 + PGTO (1+i) + PGTO (1+i)n-2n-2 + .....+ PGTO (1+i) + PGTO ou + .....+ PGTO (1+i) + PGTO ouVF = PGTOVF = PGTO

O fator entre colchetes é a soma dos O fator entre colchetes é a soma dos nn primeiros termos de uma primeiros termos de uma Progressão GeométricaProgressão Geométrica de razão de razão (1 + i)(1 + i)

[1+(1+i)+(1+i)[1+(1+i)+(1+i)22 + .........+(1+i) + .........+(1+i)n-2n-2 + (1+i) + (1+i)n-1n-1]]

GRÁFICO: VF

0 1 2 3 4 5 6 7 n-3 n-2 n-1 n

PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO

Page 10: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1010

VF = PGTO VF = PGTO [ 1+ (1 + i)+(1+i)[ 1+ (1 + i)+(1+i)22+......+(1+i)+......+(1+i)n-2n-2+(1+i)+(1+i)n-1n-1]]

Esta soma é dada por:Esta soma é dada por:

[ .......... ][ .......... ] = [1 - (1 + i) = [1 - (1 + i)nn]/[1 - (1 + i)] = ]/[1 - (1 + i)] = = [1 - (1 + i)= [1 - (1 + i)nn]/(-i) = ]/(-i) = [(1 + i)[(1 + i)nn – 1]/ i – 1]/ i

Daí temos,Daí temos,

VF = a1 +a2 + a3 + a4 + ............. + an VF.q = a1.q + a2.q + a3.q + .......... + an-1.q + an.q VF.q - VF = an.q -a1 VF (q - 1) = an.q - a1 VF = (an.q - a1)/(q - 1) ou VF = {(a1 - an . q)/(1 - q)}

VF = PGTO [ ( )1 1+ -i

i

n

]

O fator [.....] é chamado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital de uma série uniforme de pagamentos. Costuma ser representado por FAC(i,n) ou sni ( lê-se n ângulo ou cantoneira i). Este fator estabelece a equivalência entre o valor futuro VF e as prestações (ou parcelas) PGTO.

DE

CO

RA

R!

Page 11: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1111

EXEMPLO 1EXEMPLO 1Seu Costa deposita anualmente US$ 3.000,00 na conta Seu Costa deposita anualmente US$ 3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para este tipo de conta?este tipo de conta?

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

PGTO = US$ 3.000,00 i = 8% a.a. n = 5 anos VF = ?PGTO = US$ 3.000,00 i = 8% a.a. n = 5 anos VF = ?

Pela Pela FÓRMULA:FÓRMULA:

VF = PGTO[{(1+i)VF = PGTO[{(1+i)nn-1}/i] = 3000[{(1+0.08)-1}/i] = 3000[{(1+0.08)55-1}/0.08] = -1}/0.08] = 3000[{1.083000[{1.0855 -1}/0.08 = 3000[{0.469328}/0.08 = -1}/0.08 = 3000[{0.469328}/0.08 = = 3000[5.866] = 17598 ou = 3000[5.866] = 17598 ou

VF = US$ 17.598,00VF = US$ 17.598,00

Pela CALCULADORA HP 12C:

........... R$ 17.599,80

f FIN f 2 3000 CHS PMT 8 i 5 n FV A diferença é em virtude

do arredondamento. Cuidado!!!!!

Page 12: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1212

O problema da AposentadoriaO problema da AposentadoriaVocê vai se aposentar daqui a 50 anos, mas já Você vai se aposentar daqui a 50 anos, mas já começou a poupar. Vamos supor que você começou a poupar. Vamos supor que você queira acumular $ 500.000,00 (tornar-se um queira acumular $ 500.000,00 (tornar-se um meio milionário) até a data de sua meio milionário) até a data de sua aposentadoria para poder sustentar seu padrão aposentadoria para poder sustentar seu padrão de vida. Quanto você terá de poupar a cada de vida. Quanto você terá de poupar a cada ano entre agora e sua aposentadoria para ano entre agora e sua aposentadoria para satisfazer essa meta futura? Digamos que a satisfazer essa meta futura? Digamos que a taxa de juros seja de 10% a.a..taxa de juros seja de 10% a.a..

Page 13: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1313

O problema da AposentadoriaO problema da AposentadoriaSoluçãoSolução

PGTO = ? i = 10% a.a. n = 50 anos VF = 500.000PGTO = ? i = 10% a.a. n = 50 anos VF = 500.000

Pela Pela FÓRMULA:FÓRMULA:

VF = PGTOVF = PGTO[{(1+i)[{(1+i)nn-1}/i]-1}/i] 500.000=PGTO[{(1+0,10)500.000=PGTO[{(1+0,10)5050-1}/0,10] -1}/0,10] 500.000 = PGTO[{1,10500.000 = PGTO[{1,105050 -1}/0,10 = -1}/0,10 = PGTO[{116,39}/0,10 = PGTO[1.163,91]PGTO[{116,39}/0,10 = PGTO[1.163,91]ou PGTO = 500.000/[1.163,91] ou PGTO = 500.000/[1.163,91]

PGTO = PGTO = $ 429,59$ 429,59

Na HP-12C teríamos, rapidamente:

f FIN f 2

500000 CHS FV

50 N

10 i

PMT ......... 429,59

Não festeje sem antes considerar a inflação ! Lembre-se da ilha de Manhattan comprada por $ 24 dos índios

Page 14: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1414

Exemplo 2Exemplo 2O corretor prometeu a um cliente que, se ele O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos trimestrais de R$ efetuasse 12 depósitos trimestrais de R$ 1.050,00, após o último depósito ele teria R$ 1.050,00, após o último depósito ele teria R$ 20.000,00. Que taxa de juros o corretor está 20.000,00. Que taxa de juros o corretor está oferecendo ao cliente?oferecendo ao cliente?

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

VF = 20.000VF = 20.000 PGTO = 1.050 n = 12 trimestres i = ?PGTO = 1.050 n = 12 trimestres i = ?

VF=PGTO[{(1+i)VF=PGTO[{(1+i)nn-1}/i] -1}/i] 20.000=1.050[{1+i) 20.000=1.050[{1+i)1212-1}/i] -1}/i] 19.047619 i={1 + i} 19.047619 i={1 + i}1212 -1 -1

{1 + i}{1 + i}1212 - 19.047619 i - 1 = 0 .....Uma equação - 19.047619 i - 1 = 0 .....Uma equação bem complicada!!!!bem complicada!!!!

Vamos resolvê-la por tentativas.Vamos resolvê-la por tentativas.

Page 15: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1515

Exemplo 2Exemplo 2 cont...cont...Existem nos livros tabelas que mostram para vários valores de i Existem nos livros tabelas que mostram para vários valores de i o FAC(n,i) ou o S o FAC(n,i) ou o S nnii . Isso ajuda bastante ao “cercarmos” o . Isso ajuda bastante ao “cercarmos” o valor de i.valor de i.

Procurando-se nessas tabelas para n = 12, encontramos o seguinte Procurando-se nessas tabelas para n = 12, encontramos o seguinte intervalo:intervalo:S S 121288 = 18.977126 = 18.977126S S 12121010 = 21.384284. = 21.384284.

Com isso percebemos que o nosso valor da taxa i encontra-se no Com isso percebemos que o nosso valor da taxa i encontra-se no intervalo entre 8% e 10%, pois 18.977126 < 19.047619 < intervalo entre 8% e 10%, pois 18.977126 < 19.047619 < 21.384284. 21.384284. Esquematizando, temosEsquematizando, temos

8 % .......... 18.9771268 % .......... 18.977126i .......... 19.047619i .......... 19.04761910% .......... 21.38428410% .......... 21.384284

Fazendo uma Interpolação Linear, temos : Fazendo uma Interpolação Linear, temos :

i = 8 + 2 (0.029285) = 8.059 i = 8 + 2 (0.029285) = 8.059 i = 8.059% a.t.i = 8.059% a.t.

i --

=--

8

10 8

19 04761 18 97126

21384284 18 977126

. .

. .

Page 16: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1616

Exemplo 2Exemplo 2 cont...cont...

Pela HP 12-C, temos:

f FIN f 2 20000 CHS FV 1050 PMT 12 n i

Não existe uma maneira simples na planilha excel ,como fizemos até agora, para encontrar a TAXA conhecendo o FV .através

Maior Moleza. Viram para que serve uma HP-12C na prática......

E na HP-12C, hein???

Rolo???? Ave-Maria!!!!

Page 17: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1717

Exemplo 3Exemplo 3 cont...cont...Quantos depósitos bimestrais de R$ 1.000,00 serão Quantos depósitos bimestrais de R$ 1.000,00 serão necessários para que, se a remuneração for de 4% a. necessários para que, se a remuneração for de 4% a. b., se tenha R$ 29.778,08?b., se tenha R$ 29.778,08?

SOLUÇÃOSOLUÇÃOVF = 29.778,08 PGTO = 1.000,00VF = 29.778,08 PGTO = 1.000,00 i = 4% a. b. i = 4% a. b. n = ?n = ?

VF = PGTO SVF = PGTO Snnii 29.778,08 = 1.000 S 29.778,08 = 1.000 Snn44 S Snn44 = = ou seja ou seja

{1.04}{1.04}nn - 1 = 1,191123 - 1 = 1,191123

{1,04}{1,04}nn = 2,91123. = 2,91123. Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos:Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos:

n log(1,04) = log(2,191123) n log(1,04) = log(2,191123) n = 20 bimestres ou seja, 20 depósitos bimestrais.....n = 20 bimestres ou seja, 20 depósitos bimestrais.....

Page 18: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1818

Exemplo 3Exemplo 3 cont...cont...

Pela HP-12C, temos:

29778.08 CHS FV 1000 PMT 4 i n

Na planilha excel não existe uma maneira direta de se encontrar o NPER nestas condições

E na HP – 12C ??

Maravilha, sô !!!!!

Difícil ?????

Page 19: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO1919

EXERCÍCIOS PROPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma pessoa deposita mensalmente numa Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupançacaderneta de poupança o valor o valor

de R$ 5.000,00. Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a . m., quanto de R$ 5.000,00. Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a . m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? possuirá no momento do 5º depósito? Resp:- R$ 27.905,46Resp:- R$ 27.905,46

O Sr. X deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 O Sr. X deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que esta financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados que esta financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.mensalmente. Resp:- R$ 520,40Resp:- R$ 520,40

Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? Resp:- R$ 9.868,45Resp:- R$ 9.868,45

Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00? que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00? Resp:- R$ 30.347,18Resp:- R$ 30.347,18

Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25% ao ano. 200.000,00, à taxa de 25% ao ano. Resp:- R$ 17.763,90Resp:- R$ 17.763,90

A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito? quinto depósito? Resp:- 1,5% ao mês.Resp:- 1,5% ao mês.

Page 20: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2020

VALOR PRESENTE DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO DE CAIXA MÚLTIPLOFLUXO DE CAIXA MÚLTIPLOVamos ilustrar este conceito por meio de um Vamos ilustrar este conceito por meio de um exemplo.exemplo.

Suponhamos que seu revendedor de automóveis lhe Suponhamos que seu revendedor de automóveis lhe dê uma escolha entre pagar $ 15.500 por um carro dê uma escolha entre pagar $ 15.500 por um carro novo, ou entrar em um plano de prestações onde novo, ou entrar em um plano de prestações onde você paga $ 8.000 de entrada hoje e faz pagamentos você paga $ 8.000 de entrada hoje e faz pagamentos de $ 4.000 em cada um dos próximos dois anos. de $ 4.000 em cada um dos próximos dois anos. Qual o melhor negócio, se a taxa de juros é de 8% Qual o melhor negócio, se a taxa de juros é de 8% a.a?a.a?

Page 21: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2121

SOLUÇÃOSOLUÇÃOÉ aquele mais barato!É aquele mais barato!

O segundo plano envolve um fluxo de caixa que acontece O segundo plano envolve um fluxo de caixa que acontece em instantes diferentes na linha do tempo.em instantes diferentes na linha do tempo.

0 1 2

8.000,004.000 4.000

3.703,70

3.429,36

x (1.08) -1

x (1.08) -2

15.133,06

Só podemos comparar valores no mesmo instante. Para tanto, precisamos “descontar” o fluxo de caixa para uma DATA FOCAL, geralmente o presente (data zero).

Como o plano 2 conduz a um valor presente menor, será o mais barato e o preferido!

Lembrem-se que

VP = VF(1+i)-n

VP = VF(1+0,08)-n

Page 22: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2222

Fluxo de Caixa Mútiplos- Valor Fluxo de Caixa Mútiplos- Valor PresentePresente

““O O valor presentevalor presente de um plano de de um plano de prestações é igual à quantia que você prestações é igual à quantia que você precisaria investir agora para cobrir (ou precisaria investir agora para cobrir (ou gerar) os pagamentos futuros”gerar) os pagamentos futuros”

Page 23: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLO

0 1 2 3 4 5

$4.212,37

0,00

$4.212,37

$3.465,11

1.000,00

$4.465,11

$2.673,01

1.000,00

$3.673,01

$1.833,40

1.000,00

$2.833,40

$943,40

1.000,00

$1.943,40

1.000,00

$1.000,00

Tempo

(anos)

Valor Presente Calculado descontando de volta um período por vez

4.212,37 = Valor Presente Total

i = 6% a.a.

0 1 2 3 4 5 Tempo

(anos)

1.0001.000 1.0001.0001.000

Page 24: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLO

2 3 4 5

$1.000 $1.000 $1.000 $1.000

$943,40

x 1/1.065

$4.212,37 Valor Presente Total

Tempo

(anos)$1.000

x 1/1.064

x 1/1.063

x 1/1.062x 1/1.06

$890,00$839,62$792,09

$747,26

Valor Presente Calculado descontando cada fluxo de caixa separadamente i = 6% a.a.

0 1

Muito trabalho Tchê.......

Page 25: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2525

IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUALIV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL

PROBLEMA:PROBLEMA: Determinar o principal Determinar o principal VPVP que deve ser que deve ser aplicado para que se possa retirar aplicado para que se possa retirar PGTOPGTO em cada um dos em cada um dos n n períodos subsequentes, ou seja, determinar o valor atual da períodos subsequentes, ou seja, determinar o valor atual da série uniforme série uniforme PGTOPGTO..

Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) ou no início (termos antecipados) ou com períodos de carência( termos diferidos). Trataremos aqui apenas das séries postecipadas e diferidas.

PGTO PGTO PGTO PGTO GRÁFICO : 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n VP

Page 26: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2626

IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUALIV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL FÓRMULA:FÓRMULA:

primeiro pagamento : valor atual = PGTO/(1 + i)primeiro pagamento : valor atual = PGTO/(1 + i)segundo pagamento: valor atual = PGTO/(1 + i)segundo pagamento: valor atual = PGTO/(1 + i)22 e assim, sucessivamente, temos para o último pagamento:e assim, sucessivamente, temos para o último pagamento:

valor atual = PGTO/(1 + i)valor atual = PGTO/(1 + i)nn..

VP = PGTO/(1 + i) + PGTO/(1 + i)VP = PGTO/(1 + i) + PGTO/(1 + i)22 + ........ + ........ + PGTO/(1 + i)+ PGTO/(1 + i)nn

VP = PGTO [ 1/(1 + i) + 1/(1 + i)VP = PGTO [ 1/(1 + i) + 1/(1 + i)22 + ............+ 1/(1 + i) + ............+ 1/(1 + i)n n ]]

Esta é a soma dos n primeiros termos de uma P.G. de razão Esta é a soma dos n primeiros termos de uma P.G. de razão 1/(1 + i)1/(1 + i) sendo o primeiro termo igual a 1/(1 + i). sendo o primeiro termo igual a 1/(1 + i).

Assim,Assim,

Page 27: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2727

IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUALIV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL

VF = aa

an

11

1

1

--

= 1

1

11

1

11

1

1 1

1( )[

( )

( )]

( )

( )+

-+

-+

=+ -+i

i

i

i

i i

nn

n

VP = PGTO[ ( )

( )

1 1

1

+ -+i

i i

n

n ]

O fator entre colchetes é chamado Fator de Valor Atual de uma Série Uniforme FVA(i,n). Às vezes representa-se este fator por a n i  e lê-se “a ângulo n a i” ou “a n cantoneira i” .

Êta......

Page 28: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2828

EXEMPLO 1EXEMPLO 1Um empresário pretende fazer um investimento no Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000,00, por ano, exterior que lhe renderá US$ 100.000,00, por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de 6% ao ano?6% ao ano?

SoluçãoSoluçãoPGTO = US$ 100.000,00PGTO = US$ 100.000,00 i = 6% a . a .i = 6% a . a . n n = 10 anos= 10 anos VP = ?VP = ?Pela Pela FÓRMULA:FÓRMULA:VP = PGTO[{1 - (1+i)-n}/i] = 100000[{1 - VP = PGTO[{1 - (1+i)-n}/i] = 100000[{1 - (1 + 0.06)-10}/0.06]=(1 + 0.06)-10}/0.06]=100000 [{1-(1.06)-10}/0.06] = 100000 [{1-100000 [{1-(1.06)-10}/0.06] = 100000 [{1-0.5584}/0.06] =0.5584}/0.06] =100000 [0.4416/0.06] = 100000 [7.36] = 100000 [0.4416/0.06] = 100000 [7.36] = 736.000 ou seja,736.000 ou seja,VP = R$ 736.000,00VP = R$ 736.000,00

Page 29: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO2929

EXEMPLO 1EXEMPLO 1 cont...cont...

Pela CALCULADORA HP12C:

f FIN f 2 100000 CHS PMT 10 n 6 i PV

E na HP – 12C ????

Muito maneira esta calculadora.....

Page 30: Juros Compostos  Série Uniforme

BERTOLOBERTOLO3030

Treinando....Treinando....Para poder evitar impostos de espólio, sua Para poder evitar impostos de espólio, sua rica tia Frederica lhe dará $ 10.000 por ano rica tia Frederica lhe dará $ 10.000 por ano por 4 anos, começando daqui a 1 ano. A taxa por 4 anos, começando daqui a 1 ano. A taxa de juros é 7%.de juros é 7%.

a.a. Quanto é o valor presente da doação Quanto é o valor presente da doação planejada da benfeitora?planejada da benfeitora?

b.b. Quanto você terá daqui a 4 anos se investir Quanto você terá daqui a 4 anos se investir cada parcela?cada parcela?

Isto é com vocês...........Isto é com vocês...........

Page 31: Juros Compostos  Série Uniforme

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EXEMPLO 2EXEMPLO 2Uma loja vende uma geladeira em 12 prestações mensais de R$ 120,55 ou em 24 Uma loja vende uma geladeira em 12 prestações mensais de R$ 120,55 ou em 24 prestações mensais de R$ 76,76. Qual é a forma de financiamento mais vantajosa prestações mensais de R$ 76,76. Qual é a forma de financiamento mais vantajosa para o comprador, se a taxa de juros for de 3 % a.m.?para o comprador, se a taxa de juros for de 3 % a.m.?

SOLUÇÃOSOLUÇÃOVamos calcular, nos dois casos, o preço à vista da Vamos calcular, nos dois casos, o preço à vista da geladeira.geladeira.1º Caso1º CasoPGTO = 120,55PGTO = 120,55 n = 12n = 12 i = 3% a.m.i = 3% a.m.VP = PGTO aVP = PGTO annii VP = 120,55 a VP = 120,55 a121233

VP = 120,55 . 9,9540040 = 1.199,96VP = 120,55 . 9,9540040 = 1.199,96 VP = R$ 1.199,96VP = R$ 1.199,962º Caso2º CasoPGTO = 76,76PGTO = 76,76 n = 24n = 24 i = 3% a.m.i = 3% a.m.VP=PGTO aVP=PGTO anni i VP=76,76 aVP=76,76 a242433

VP=76,76 x 16,9355421= 1.299,97VP=76,76 x 16,9355421= 1.299,97 VP = R$ 1.299,97VP = R$ 1.299,97

O primeiro financiamento tem preço à vista O primeiro financiamento tem preço à vista menormenor e é, e é, assim, a melhor forma para o comprador.assim, a melhor forma para o comprador.

Se o kra tiver os 120,55 paus para pagar a prestação. Se o kra tiver os 120,55 paus para pagar a prestação.

Page 32: Juros Compostos  Série Uniforme

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EXEMPLO 3EXEMPLO 3Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ 13.500,00 a ser pago em Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ 13.500,00 a ser pago em 12 prestações de R$ 1.800,00?12 prestações de R$ 1.800,00?

SoluçãoSoluçãoVP = 13.500,00VP = 13.500,00 PGTO = 1.800,00PGTO = 1.800,00 n =12n =12

VP = PGTOaVP = PGTOannii 13.500=1.800 a 13.500=1.800 a1212i i aa1212ii = = 7,5 = = 7,5

Consultando as Tabelas de aConsultando as Tabelas de annii para n = 12, para n = 12, encontraremos aencontraremos a121288 = 7,536078 e a = 7,536078 e a121299 = 7,160725. = 7,160725.O valor que procuramos está entre estes dois O valor que procuramos está entre estes dois valores. Vamos, então, montar a valores. Vamos, então, montar a interpolação linearinterpolação linear8% ..........7,5360788% ..........7,536078i ..........7,5 i ..........7,5 i -8= i -8= 9% ..........7,1607259% ..........7,160725 ou i = 8,096%ou i = 8,096%

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BERTOLOBERTOLO3333

EXEMPLO 4 – Série DiferidaEXEMPLO 4 – Série DiferidaA propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 4 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 4 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% a.m., qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2.800,00?a.m., qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2.800,00?SoluçãoSolução

VP = 2.800,00VP = 2.800,00 i = 3% a.m.i = 3% a.m. carência = 4 mesescarência = 4 meses n = 10.n = 10.Visto que nos primeiros 3 meses não haverá parcelas, podemos aceitar que:Visto que nos primeiros 3 meses não haverá parcelas, podemos aceitar que:

P = PP = P1313 - P - P33 isto é P isto é P1313 = Valor presente de 13 parcelas. = Valor presente de 13 parcelas. PP33 = Valor presente de 3 parcelas. = Valor presente de 3 parcelas.Logo,Logo,

VP = PGTO (aVP = PGTO (a131333 – a – a 3333) ou 2.800 = PGTO (10,6349553 - 2,8286113)) ou 2.800 = PGTO (10,6349553 - 2,8286113)PGTO= = PGTO= = 358,68358,68

Se não houvesse a carência, teríamos:Se não houvesse a carência, teríamos: VP = PVP = P1010 = PGTO a = PGTO a 101033 ou 2.800 = PGTO ( 8.5302028 ) ou 2.800 = PGTO ( 8.5302028 ) PGTO = = PGTO = = 328,24328,24A diferença se deve à carência, isto é, fica embutido nas prestações o juro de “espera”.A diferença se deve à carência, isto é, fica embutido nas prestações o juro de “espera”.Caso não conhecêssemos o número de períodos Caso não conhecêssemos o número de períodos n, n, uma outra maneira de atacar o problema de uma outra maneira de atacar o problema de carência seria calcular o valor futuro ao término do período de carência( no exercício seria no carência seria calcular o valor futuro ao término do período de carência( no exercício seria no instante 3), e adotá-lo como valor presente. Assim,instante 3), e adotá-lo como valor presente. Assim,

PP33 = 2800 (1 + 0.03) = 2800 (1 + 0.03)33 = 3.059,63 = 3.059,63PP33 = PGTO . a = PGTO . a101033 3.059,63 = PGTO . (8.5302028) 3.059,63 = PGTO . (8.5302028) PGTO = PGTO = 358,68358,68

Assim que se trata o problema da carência

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Mais AposentadoriaMais AposentadoriaSuponhamos que você se aposente aos 70 Suponhamos que você se aposente aos 70 anos. Você espera viver mais 20 anos, e anos. Você espera viver mais 20 anos, e gastar $ 55.000 por ano durante sua gastar $ 55.000 por ano durante sua aposentadoria. Quanto dinheiro você precisa aposentadoria. Quanto dinheiro você precisa economizar até os 70 anos de idade para economizar até os 70 anos de idade para sustentar esse plano de consumo? Suponha sustentar esse plano de consumo? Suponha uma taxa de juros de 7%uma taxa de juros de 7%

Fazer direto na HP - 12CFazer direto na HP - 12C

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Mais outra AposentadoriaMais outra AposentadoriaA empresa Anuidade do Professor S/A A empresa Anuidade do Professor S/A oferece uma anuidade vitalícia para oferece uma anuidade vitalícia para professores que estão se aposentando. Por um professores que estão se aposentando. Por um pagamento de $ 80.000 aos 65 anos de idade, pagamento de $ 80.000 aos 65 anos de idade, a empresa pagará ao professor aposentado $ a empresa pagará ao professor aposentado $ 600 por mês até a sua morte.600 por mês até a sua morte.a.a.Se a expectativa de vida do professor for de mais de Se a expectativa de vida do professor for de mais de 20 anos, qual é a taxa mensal sobre essa anuidade? 20 anos, qual é a taxa mensal sobre essa anuidade? Qual é a taxa anual efetiva?Qual é a taxa anual efetiva?b.b.Se a taxa de juros mensal for de 0,5%, qual o Se a taxa de juros mensal for de 0,5%, qual o pagamento mensal de anuidade a empresa poderia pagamento mensal de anuidade a empresa poderia oferecer ao professor aposentado?oferecer ao professor aposentado?

Page 36: Juros Compostos  Série Uniforme

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Achando taxa efetiva na HP-12CAchando taxa efetiva na HP-12C

A fórmula básica é:A fórmula básica é:

(1 + i(1 + iaaaa) = (1 + i) = (1 + iamam))nn

Na HP-12C isso pode ser feito comoNa HP-12C isso pode ser feito comof FIN f 4f FIN f 41 CHS PV1 CHS PVTaxa mensal iTaxa mensal i12 N12 NFV 1 -FV 1 -

Esta expressão pode ser pensada como

VF = 1 . (1+iam)n

Posso imaginá-lo como PV

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EXERCÍCIOS PROPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS Qual é o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3.500,00, feito à Qual é o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3.500,00, feito à

base de 2% a.m. em 10 prestações? base de 2% a.m. em 10 prestações? Resp:- R$ 389,64Resp:- R$ 389,64

Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito à base de 6% a.m., Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito à base de 6% a.m., que dívida estarei amortizando? que dívida estarei amortizando? Resp: R$ 3.440,97Resp: R$ 3.440,97

Em quantas prestações mensais de R$ 796,80 quitarei uma dívida de R$ 10.000,00, Em quantas prestações mensais de R$ 796,80 quitarei uma dívida de R$ 10.000,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.? se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.? 18 prestações18 prestações

Um financiamento de R$ 11.000,00 tem duas opções parra ser feito: em 12 Um financiamento de R$ 11.000,00 tem duas opções parra ser feito: em 12 prestações de R$ 1.384,92 ou em 18 prestações de R$ 1.015,92. Qual é a opção prestações de R$ 1.384,92 ou em 18 prestações de R$ 1.015,92. Qual é a opção mais vantajosa para a financiadora?mais vantajosa para a financiadora? Resp:- Para a financiadora é a primeira opção, Resp:- Para a financiadora é a primeira opção, pois a taxa é maiorpois a taxa é maior

Calcular o valor atual de uma dívida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa Calcular o valor atual de uma dívida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%.no período de 2%. Resp: R$ 5.860,38Resp: R$ 5.860,38

Um comprador oferece ao vendedor de uma loja 6 prestações de R$ 429,00 por uma Um comprador oferece ao vendedor de uma loja 6 prestações de R$ 429,00 por uma televisão, cujo preço à vista é de R$ 2.000,00. Só que ele deseja começar a pagar televisão, cujo preço à vista é de R$ 2.000,00. Só que ele deseja começar a pagar daqui a 3 meses. Se os juros mensais normais da loja forem de 3%, será ou não daqui a 3 meses. Se os juros mensais normais da loja forem de 3%, será ou não interessante para o vendedor aceitar a proposta? interessante para o vendedor aceitar a proposta? Resp: É vantajoso pois o Resp: É vantajoso pois o comprador está pagando um juro de R$ 126,70 a mais do que se financiasse pela comprador está pagando um juro de R$ 126,70 a mais do que se financiasse pela loja.loja.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma loja de móveis cobra normalmente 15% do valor da compra no ato do Uma loja de móveis cobra normalmente 15% do valor da compra no ato do

contrato, e o saldo pode ser pago em 6 prestações mensais a contar da entrega do contrato, e o saldo pode ser pago em 6 prestações mensais a contar da entrega do pedido, cujo prazo é estipulado em 2 meses. Qual é o preço à vista de uma compra pedido, cujo prazo é estipulado em 2 meses. Qual é o preço à vista de uma compra de móveis, cujas prestações são de R$ 1.846,30, sendo a taxa de juros mensais da de móveis, cujas prestações são de R$ 1.846,30, sendo a taxa de juros mensais da operação estipulada em 5%? operação estipulada em 5%? Resp: R$ 10.000,00Resp: R$ 10.000,00

Um financiamento de R$ 20.000,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Um financiamento de R$ 20.000,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. Resp: R$ 1.433,38.Resp: R$ 1.433,38.

Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações mensais de R$ 100.000,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de R$ mensais de R$ 100.000,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de R$ 875.563,00 , qual será a taxa de juros mensal cobrada? 875.563,00 , qual será a taxa de juros mensal cobrada? Resp: i = 9% a.m.Resp: i = 9% a.m.

Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas para Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas para pagamento:pagamento: 1. pagamento à vista de R$ 2.300,00;1. pagamento à vista de R$ 2.300,00; 2. pagamento de 8 prestações mensais de R$ 431,11; 2. pagamento de 8 prestações mensais de R$ 431,11; 3. Pagamento de 4 prestações mensais de R$ 965,75 sendo a primeira paga 3. Pagamento de 4 prestações mensais de R$ 965,75 sendo a primeira paga daqui a 4 meses;daqui a 4 meses; 4. Um único pagamento de R$ 4.930,26 daqui a 8 meses. 4. Um único pagamento de R$ 4.930,26 daqui a 8 meses.Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor considerando que a taxa de Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor considerando que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.? juros praticada é de 10% a.m.? Resp: Todas alternativas são equivalentes. Resp: Todas alternativas são equivalentes.

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EXERCÍCIO EXTRAEXERCÍCIO EXTRA

Sua empresa de terraplanagem pode alugar Sua empresa de terraplanagem pode alugar um caminhão por $ 8.000 ao ano (pagos no um caminhão por $ 8.000 ao ano (pagos no final do ano) por 6 anos. Ou pode comprar o final do ano) por 6 anos. Ou pode comprar o caminhão por $ 40.000. O caminhão não terá caminhão por $ 40.000. O caminhão não terá nenhum valor depois de 6 anos. Se a taxa de nenhum valor depois de 6 anos. Se a taxa de juros que sua empresa pode ganhar sobre seus juros que sua empresa pode ganhar sobre seus fundos for de 7% a.a., é mais barato comprar fundos for de 7% a.a., é mais barato comprar ou alugar?ou alugar?

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UM ESTUDO DE CASOUM ESTUDO DE CASOA “Bert´s Corporation” é uma sociedade anônima de capital aberto A “Bert´s Corporation” é uma sociedade anônima de capital aberto (empresa que negocia as suas ações na BOVESPA) e se preocupa com o (empresa que negocia as suas ações na BOVESPA) e se preocupa com o futuro de seus funcionários. O diretor financeiro, Mr. Bertolo, foi futuro de seus funcionários. O diretor financeiro, Mr. Bertolo, foi contratado recentemente para gerir as finanças da empresa por um período contratado recentemente para gerir as finanças da empresa por um período de oito anos. Contratualmente, após esse período, a empresa irá conceder de oito anos. Contratualmente, após esse período, a empresa irá conceder uma aposentadoria durante 12 anos ao diretor. Pela aposentadoria, ele uma aposentadoria durante 12 anos ao diretor. Pela aposentadoria, ele receberá um pagamento ao final de cada ano no valor de $ 12.000, durante receberá um pagamento ao final de cada ano no valor de $ 12.000, durante 12 anos. Caso venha a falecer antes desse período, reza o contrato que o 12 anos. Caso venha a falecer antes desse período, reza o contrato que o pagamento anual passará a sua mulher e filhos. Durante o período de pagamento anual passará a sua mulher e filhos. Durante o período de acumulação (oito anos), a “Bert´s Corporation”, pretende depositar a acumulação (oito anos), a “Bert´s Corporation”, pretende depositar a anuidade em depósitos de valores iguais, ao final de cada ano, cujo anuidade em depósitos de valores iguais, ao final de cada ano, cujo rendimento será calculado mediante aplicação da taxa de juros de 12% a.a.. rendimento será calculado mediante aplicação da taxa de juros de 12% a.a.. Dessa forma, o primeiro depósito ocorrerá ao final do ano um. Dessa forma, o primeiro depósito ocorrerá ao final do ano um. Imediatamente após o início do período de distribuição (pagamento da Imediatamente após o início do período de distribuição (pagamento da aposentadoria), a empresa pretende aplicar os recursos acumulados em uma aposentadoria), a empresa pretende aplicar os recursos acumulados em uma conta cuja remuneração será calculada com a taxa de juros de 15% a.a.. conta cuja remuneração será calculada com a taxa de juros de 15% a.a.. Como o objetivo da aplicação financeira nos períodos de acumulação será Como o objetivo da aplicação financeira nos períodos de acumulação será somente atender às exigências contratuais (pagamento da aposentadoria), ao somente atender às exigências contratuais (pagamento da aposentadoria), ao final do período de distribuição, o saldo da conta será igual a zero. O final do período de distribuição, o saldo da conta será igual a zero. O pagamento da primeira parcela da aposentadoria ocorrerá ao final do ano pagamento da primeira parcela da aposentadoria ocorrerá ao final do ano nove.nove.

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BERTOLOBERTOLO4141

UM ESTUDO DE CASO - cont.UM ESTUDO DE CASO - cont.

Graficamente, represente os fluxos de caixa referentes às Graficamente, represente os fluxos de caixa referentes às anuidades de aposentadoria, mediante o ponto de vista da anuidades de aposentadoria, mediante o ponto de vista da Bert´s Corporation.Bert´s Corporation.

Qual o montante que a Bert´s Corporation deve acumular Qual o montante que a Bert´s Corporation deve acumular ao final do oitavo ano para efetuar os pagamentos, durante ao final do oitavo ano para efetuar os pagamentos, durante 12 anos, de uma anuidade de $ 12.000,00?12 anos, de uma anuidade de $ 12.000,00?

Qual o valor dos depósitos a serem realizados ao final de Qual o valor dos depósitos a serem realizados ao final de cada ano durante o período de acumulação que a Bert´s cada ano durante o período de acumulação que a Bert´s Corporation deve realizar para pagar a aposentadoria de Corporation deve realizar para pagar a aposentadoria de seu diretor financeiro?seu diretor financeiro?

Alterando-se a taxa de juros Alterando-se a taxa de juros ii para 14% a.a., qual deve ser para 14% a.a., qual deve ser o valor dos depósitos anuais que a indústria deverá realizar o valor dos depósitos anuais que a indústria deverá realizar ao final de cada ano durante o período de acumulação paraao final de cada ano durante o período de acumulação para o pagamento da aposentadoria de seu diretor financeiro?o pagamento da aposentadoria de seu diretor financeiro?