k Funcao Simplificar Financeira

K-FUNÇÃO Estratégia Formular de Simplificação Financeira

John Taylor Paiva

2

John Taylor Paiva • Professor, Matemático e Especialista em Educação, Consultor Imobiliário e Financeiro e Escritor.

• Atua como PROFESSOR nas áreas de MATEMÁTICA, CÁLCULO, EDUCAÇÃO FINANCEIRA, FÍSICA

(Mecânica e Eletrônica), INFORMÁTICA, PROJETOS CULTURAIS e ARTES desde 1988 no

desenvolvimento de programas educacionais, e em várias ESCOLAS do PIAUÍ, na cidade de PARNAÍBA e no

CEARÁ, nas cidades de JUAZEIRO DO NORTE e FORTALEZA.

TRABALHOS DO AUTOR – 01. TAI – TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM INTEGRADA – Processo de ensino-aprendizagem na

versão FIGURATIVO fundamentado nas técnicas de memorização, refundidas para melhor compreensão,

aplicação e mais rápida assimilação, na associação de imagens e histórias inusitadas e versão ARTÍSTICO

fundamentado em recursos artísticos, na associação de músicas, teatro e cordel em rima, prosa e verso;

– 02. ARTIFÍCIOS MATEMÁTICOS – BIZUZÃO Dicas e táticas que facilitam a solução de problemas de

Concursos e Vestibulares.

– 03. - O SEGREDO DA EDUCAÇÃO PARA SAÚDE FINANCEIRA – Incrível Guia de Planejamento e

Controle Financeiro Fundamentos de Finanças que habilitam ao conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e

Empresarial através do Poderoso Termômetro das Finanças P3 – Plano de Planejamento Programado.

– 04. MANUAL DO PODEROSO TERMÔMETRO DAS FINANÇAS P3 – Plano de Planejamento

Programado Conheça passo-a-passo essa poderosa ferramenta ”P3” que mede, visualiza e monitora a atual

situação financeira possibilitando o conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e Empresarial e habilita a um

melhor direcionamento na realização e ascensão pessoal e/ou profissional.

– 05. LINGUA MATEMÁTICA – Uma Forma Interessante e Útil de Ler o Mundo O manual gerencial

do dia-a-dia para adquirir habilidades especiais para a tomada de decisões conscientes no cotidiano através de

teorias matemáticas com analogias à realidade, problemas curiosos e interessantes.

– 06. K-FUNÇÃO – Estratégias para Facilitar a Matemática Financeira, uma Estratégia Formular de

Simplificação Financeira Uma nova maneira de resolver operações comerciais e financeiras, usando uma única

função matemática com apenas três variáveis e/ou 10 configurações que substitui todas as outras fórmulas usadas

atualmente.

– 07. TABUADA NOTÁVEL – Os Sete Fundamentos para Aprender Matemática A Cartilha do

Cotidiano Temas essenciais para o perfeito entendimento e desenvolvimento da matemática.

– 08. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Matemática Básica (Aritmética e álgebra)

essencial aplicada em concursos.

– 09. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS Matemática Financeira essencial aplicada em

concursos.

– 10. QUESTÕES DE PROVAS RESOLVIDAS DE CONCURSOS MILITARES – são 162 questões –

EPCAR – AFA – EEAr – ESA – ExPECex – CN – EAM – PM – CFO – (EXÉRCITO – MARINHA –

AERONÁUTICA – PM)

Coleção a FILOSOFIA ZEN O Segredo Implícito na filosofia dos Sábios:

– 11. DIÁLOGO DAS MENTES O Segredo que o segredo não revelou numa inédita e alucinante viagem à

sede dos pensamentos.

– 12. O DIÁLOGO SECRETO Ensinando o segredo a Mente Visão.

– 13. O DIÁLOGO DOS SÁBIOS Os erros dos grandes filósofos.

– 14. A BÍBLIA ENIGMÁTICA Faz de conta, a brincadeira da imaginação com o sexteto mandamental que

pode dar certo.

– 15. A ARTE MATEMÁTICA DO SER Princípios de precisão matemática para o cotidiano, o

autoconhecimento para a verdadeira educação.

– 16. AS FACETAS DOS TERRÁQUEOS Engrisilhos e leriados para sintonia e harmonia Interpessoal.

– 17. O LÍDER VIRTUAL Ações para atuação gerencial em táticas simples e básicas.

– 18. INFORMÁTICA GERENCIAL Informática essencial para o gerenciamento pessoal e/ou profissional;

O objetivo é dar uma visão geral sobre a informática (INFORmação autoMÁTICA), o computador atual e como

tudo funciona, já que ter informação e saber o que fazer com ela é fundamental hoje em dia.

– 19. FERRAMENTAS PARA O CORRETOR DE IMÓVEIS – Fundamentos Básicos e Essenciais para

Cálculo de Escala, Área, Avaliação de Imóveis e Viabilidade Econômica e Financeira.

– 20. MÉTODO ATOCAR Princípios Básicos para o aprendizado de violão em 10 aulas.


3

AGRADECIMENTOS

Ao Ser Supremo, o espírito criador e preservador

do universo que fertilizou a inspiração com sua

inteligência infinita, e possibilitou a intersecção para

refundir experiências e transformar em técnicas para

facilitar o processo de ensino-aprendizagem.

A meus pais, esposa, filhos, irmãos, sobrinhos e

cunhados que sempre estiveram do meu lado.

A meus tios, primos e parentes que sempre que

possível condescenderam com meus ideais.

A todos meus amigos pela força e incentivo.

A todas as pessoas pelo apoio que viabilizou a

edição deste livro.

A todos os leitores que folhearem e queimarem as

pestanas no intuito de pensar esse trabalho como uma

ferramenta de estudo.

John Taylor Paiva

4

Sumário A K-FUNÇÃO ( KF ) .............................................................. 7

ESTRATÉGIA FORMULAR DE SIMPLIFICAÇÃO

FINANCEIRA ...................................................................... 7 DEFINIÇÃO DA K-FUNÇÃO - KF ..................................... 10

A K-FUNÇÃO – KF ........................................................... 12 USO DA KF ........................................................................ 13 PROCEDIMENTO PARA USO DA K-FUNÇÃO – KF ... 14

CONFIGURAÇÕES SIMPLES ............................................. 16 REGRA DE SINAL + OU – .................................................. 19 CONFIGURAÇÕES ENVOLVENDO PRESTAÇÕES ........ 20 CONFIGURAÇÕES COMPOSTAS ..................................... 21 REGRAS DA MANEIRA CONVENCIONAL ..................... 23 REGRAS DA MANEIRA MUSICAL ................................... 26

1. MÚSICA DICA para LEMBRAR a K-FUNÇÃO – KF . 26 2. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO “X = -1”

............................................................................................. 26 3. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO “X = 0” 28

RESUMO GERAL ................................................................. 30 I – PORCENTAGEM ............................................................ 32 II – OPERAÇÕES PERCENTUAIS ...................................... 33

OPERAÇÕES com LUCRO ............................................... 33 OPERAÇÕES COM PREJUÍZO ........................................ 37 ACRÉSCIMOS e DESCONTOS ........................................ 39 LUCROS ou ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS..................... 42 DESCONTOS ou ABATIMENTOS SUCESSIVOS .......... 43

III – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ................ 45 JUROS SIMPLES ............................................................... 45

14. QUAL O VALOR DOS JUROS DO CAPITAL DE R$

1.200,00, APLICADO A JUROS SIMPLES À TAXA DE 3%

A.M., DURANTE 8 MESES E 20 DIAS. .............................. 48


5

15. QUE VALOR, APLICADO DURANTE 8 MESES E 20

DIAS, À TAXA DE 3% A.M., RENDEU DE JUROS O

VALOR DE R$ 312,00. ......................................................... 49 18. O VALOR DE R$ 1.200,00, FOI APLICADO A JUROS

SIMPLES DURANTE 8 MESES E 20 DIAS, À TAXA DE

3% A.M.. CALCULE O MONTANTE. ................................ 51 20. O VALOR DE R$ 1.200,00 FOI APLICADO A JUROS

SIMPLES DURANTE 8 MESES E 20 DIAS, FORMANDO O

MONTANTE DE R$ 1.512,00. QUAL A TAXA DE JUROS.

................................................................................................ 53 21. O VALOR DE R$ 1.200,00 FOI APLICADO A JUROS

SIMPLES, À TAXA DE 3% A.M., FORMANDO O

MONTANTE DE R$ 1.512,00. QUANTO TEMPO FICOU

APLICADO? .......................................................................... 54 IV – DESCONTOS SIMPLES ............................................... 56

DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO ................... 56 DESCONTO COMERCIAL ou POR FORA...................... 57 DESCONTO BANCÁRIO.................................................. 59

V – EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA .................................. 60 VI – CAPITALIZAÇÃO MISTA .......................................... 64

JUROS SIMPLES NA PARTE FRACIONÁRIA ou

CONVENÇÃO LINEAR .................................................... 64 JUROS COMPOSTOS na PARTE FRACIONÁRIA ou

CONVENÇÃO EXPONENCIAL ....................................... 65 VII – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ......... 66

MONTANTE ou VALOR FUTURO .................................. 66 30. UMA PESSOA APLICOU O VALOR DE R$ 600,00 À

TAXA DE 2% A.M. DURANTE 5 MESES,

CAPITALIZADO MENSALMENTE. CALCULE O

MONTANTE. ........................................................................ 66 CAPITAL ou VALOR PRESENTE ................................... 67

31. QUE VALOR, APLICADO A JUROS COMPOSTOS, À

TAXA DE 2% A.M., CAPITALIZADA MENSALMENTE

John Taylor Paiva

6

DURANTE 5 MESES, FORMOU O MONTANTE DE R$

662,45? ................................................................................... 67 TEMPO ou PERÍODO ........................................................ 67 JUROS COMPOSTOS........................................................ 69

34.: QUANTO RENDEU DE JUROS O CAPITAL DE R$

600,00, APLICADO A JUROS COMPOSTOS DURANTE 5

MESES À TAXA DE 2% A.M., CAPITALIZADA

MENSALMENTE. ................................................................. 69 DESCONTO COMPOSTO ................................................. 70 DESCONTO RACIONALMENTE COMPOSTO ............. 71


7

A K-FUNÇÃO ( KF )

ESTRATÉGIA FORMULAR DE SIMPLIFICAÇÃO

FINANCEIRA

Vamos descrever neste texto parte do trabalho da

monografia de pós-graduação do autor, que em síntese é

uma nova proposta para uma abordagem da Matemática

Comercial e Financeira. Uma nova maneira de resolver

operações comerciais e financeiras, usando uma única

função matemática com apenas três variáveis e/ou 10

configurações que substitui todas as outras fórmulas

usadas atualmente.

Na monografia é desenvolvida minuciosamente

com demonstrações e aplicações, uma nova função

matemática que substitui mais de uma centena de outras

fórmulas matemáticas, usadas em operações comerciais e

financeiras, sendo cerca de 30 fórmulas diretas e mais de

70 indiretas, ao ser feito os seus devidos

desmembramentos.

Trocando em miúdos, a “K-Função (KF)”

substitui mais de 100 outras fórmulas usadas nessa área,

simplesmente direcionando o usuário, segundo os dados

do problema e algumas regras, para se chegar à outra

fórmula, a usada no problema em questão, onde se deve

apenas substituir as variáveis e algebrizar a equação para

atingir a solução do problema.

John Taylor Paiva

8

Diante disso, concluímos que o princípio de

funcionamento da nova expressão é que no seu

desmembramento, é possível chegar à fórmula que o

problema pede sem a necessidade de ter que decorar

todas elas. Sendo assim, através desse desmembramento,

se chega à configuração de 10 (dez) tipos, modelos de

fórmulas final, baseadas em somente 03 (três) variáveis

(V, C e J), e o “P” para prestações, significando que a

partir da sua criação, o usuário tem mais duas opções no

estudo e na resolução dos problemas dessa área da

Matemática:

1. Aprender a empregar a K-Função (KF)

conhecendo suas regras e utilizar somente ela na

resolução de problemas da área;

2. Ou gravar as suas configurações, ou melhor, os

seus 10 (dez) tipos, modelos de fórmulas finais sem

precisar saber suas regras, em vez de decorar um mínimo

de 30 fórmulas diretas como é feito atualmente.

E ainda, constataremos que aos poucos, com a

prática, automaticamente, iremos memorizar alguns tipos

ou mesmo todos, o que facilitará o trabalho de ter que

usar o caminho para se chegar à configuração desejada.

Esse aprendizado é vantajoso, pois evita a complicada e

tediosa tarefa de ter que decorar mais de 100 (cem)

fórmulas, com mais de 20 (vinte) variáveis, como era

feito antes da KF.

Nesse trabalho, não faremos demonstrações, mas

daremos uma ideia geral dos princípios básicos de


9

funcionamento desse novo algoritmo, assim como

aplicações, dando um exemplo de cada um dos temas

onde ela atua, ou seja, é resolvido um problema ou mais

dos vários assuntos de Matemática Comercial e

Financeira onde a nova fórmula opera, exceto em

prestações, para que os leitores possam entender o porquê

das várias configurações que serão usadas no nosso

estudo.

O autor

John Taylor Paiva

10

DEFINIÇÃO DA K-FUNÇÃO - KF

A K-Função (KF) é uma expressão matemática

com alguns recursos adicionais, que vem com duas

inovações: a primeira é a inclusão de uma nova função

“V C J”, chamada de “Função Base” e a segunda é a

inclusão de um fator “”, chamado de “Fator Múltiplo”,

assim definidos:

1.º) FUNÇÃO BASE – “V C

J”

É uma nova função, definida por três variáveis,

(V, C e J), mas que representam várias outras, de acordo

com algumas regras e os dados do problema no

desenvolvimento de sua resolução.

IMAGEM DA FUNÇÃO BASE

A Função Base “V C J” é a igualdade de duas

variáveis dadas ou subtendidas, isto é, procurada ou a

igualdade de uma delas pela soma (em L e MG) ou

diferença (em P e VDA) das outras duas, quando são

dadas ou subtendidas as três.

SE LIGUE! Essas variáveis assumem as

seguintes imagens ou formas no desenvolvimento da KF:

V = C V = J V = C J C = J


11

2.º) FATOR MÚLTIPLO – “ ”

É um símbolo que é substituído por fatores de

acordo com algumas regras e os dados do problema no

desenvolvimento de sua resolução.

OS TIPOS de FATORES da KF

Na realidade, o Fator Múltiplo “” apenas

substitui os diversos fatores ou coeficiente de

capitalização ou de atualização de Juros Simples e

Compostos, de acordo com o seguinte esquema:

(1 it) Em operações de Juros Simples;

(1 + i)t Em operações de Juros Compostos;

(1 + i)t . (1 + ip) Em convenção Linear;

(1 + i)t+p

Em convenção Exponencial.

CA )1.(1(

1)1( itii

ti

CP

tii

ti

1(

1)1(

VA )1.(1)1( ii

ti

VP

i

ti 1)1(

Usados em

PRESTAÇÕES

John Taylor Paiva

12

A K-FUNÇÃO – KF

bkit

xCJ

V

)(

Onde: V, C e J são as variáveis que

representam todas as outras variáveis usadas em RCS e

RCC, definidas à frente.

i Taxa

b Taxa bancária – que será sempre “zero”

quando não for dada.

t Tempo – que será sempre “1” quando não é

dado.

x Expoente do Fator Múltiplo – que será “-1, 0

ou 1”, conforme dados do problema e algumas regras.

k Expoente do produto (it = taxa/tempo) – que

será “0 ou 1”, conforme dados do problema e algumas

regras.

As VARIÁVEIS e SUAS EQUIVALENTES

V Essa variável substitui:

O V = (Novo Valor), o Vn = (Valor Final c/

Acréscimo e Valor Final c/ Desconto), o Cn = (Capital

ou Valor Nominal referido à data focal), o Pv = (Preço de


13

Venda), o M = (Montante ou FV = Valor Futuro nas

calculadoras), o N = (Valor Nominal, Valor de Resgate

Novo Título).

C Essa variável substitui:

O C = (Capital, Custo, Valor Antigo ou PV =

Valor Presente nas calculadoras), o Vo = (Valor Inicial),

o Pc = (Preço de Custo), o A = (Valor Descontado Atual

ou Presente, Valor Atual Título Vencido, Valor Atual

Equivalente na data focal), o An = (Valor Atual

Equivalente).

J Essa variável substitui:

O J = (Juros), o P = (Porcentagem, Prejuízo), o D

= (Descontos), o Dc = (Desconto Comercial ou Por

Fora), o Db = (Desconto Bancário), o Dr = (Desconto

Racional ou Por Dentro), o L = (Lucro).

USO DA KF

Como vimos, a K-Função (KF) pode ser usada de

duas maneiras:

1. COMO FÓRMULA ÚNICA – conhecendo 9

regras e substituindo mais de 100 outras fórmulas.

2. EM 10 CONFIGURAÇÕES COM APENAS

3 VARIAVEIS – sem conhecer as regras em vez de

John Taylor Paiva

14

decorar mais de 30 fórmulas e 20 variáveis, como é feito

atualmente.

PROCEDIMENTO PARA USO DA K-FUNÇÃO –

KF

Para resolver problemas usando a k-Função (KF),

devemos seguir os seguintes passos:

1.° PASSO

Identificar a imagem da Função Base “ CVJ

”;

2.° PASSO

Definir o Fator Múltiplo “ ”;

3.° PASSO

Determinar os valores de “x”, “k” e “b”, através

das regras e os dados do problema.

AS REGRAS DA K-FUNÇÃO – KF

Na apresentação das regras da K-Função, nós

mostramos duas maneiras diferentes de aprendê-las:

1.ª) CONVENCIONAL – nesse caso, as regras

são apresentadas de maneira teórica.


15

2.ª) MUSICAL – nesse caso, as regras são

apresentadas em forma de músicas.

John Taylor Paiva

16

CONFIGURAÇÕES SIMPLES

KF.1 - Porcentagem – Juros Simples – Desconto

Racional ou Por Dentro – Lucro

it

JC

J = P = Dr Porcentagem, Desconto Por

Dentro, Juros.

C = A Capital, Valor Atual, Valor de Venda.

Variação (a) - KF.1a - Desconto Comercial ou

Por Fora (em função Custo = Valor Atual).

it

itJC

)(

1

C = A Valor Atual

J = Dc Desconto Por Fora

KF.2 - Lucro – Prejuízo – Montante Geral –

Valor Descontado ou Atual

JCV

V = N = M Venda, Vr Nominal, Montante.

J = L = P = D Lucro, Prejuízo, Descontos,

Juros.


17

C = A Custo, Capital, Valor Descontado

Atual ou Presente.

KF.3 - Atualização/Correção – Lucros ou

Acréscimos Sucessivos – Descontos ou Abatimentos

Sucessivos – Lucro Sobre Preço de Custo – Prejuízo

Sobre Preço de Custo – Montante Simples –

Equivalência de Capitais sob critério de Juros Por

Dentro, Desconto Racional ou Por Dentro.

)( itCV 1 Onde:

V = Vn = Pv = M = Cn Novo Valor, Valor

Final c/Acréscimo e c/Desconto, Preço de Venda,

Montante Simples, Capital ou Valor Nominal referido à

data Focal

C = V0 = Pc = A Valor Inicial, Preço de

Custo, Capital, Valor Atual Equivalente à data Focal

KF.4 - Lucro Sobre o Preço de Venda – Prejuízo

Sobre o Preço de Venda – Substituição de Títulos –

Equivalência de Capitais Diferidos – Equivalência de

Capitais Diferidos sob critério de Juros Por Fora,

Desconto Comercial ou Por Fora – Valor Descontado ou

Atual

)( it

CV

1

John Taylor Paiva

18

V = Pv = N = Cn Preço de Venda, Valor

Resgate Novo Título, Valor Nominal, Capital ou Valor

Nominal referido à data Focal

C = Pc = A = An Preço de Custo, Valor

Atual Título Vencido, Valor Atual Equivalente, Valor

Atual Equivalente à data Focal

KF.5 - Desconto Comercial ou Por Fora (em

função Venda = Vr Nominal) – Vr Descontado ou Atual

it

JV

Variação (a) - KF.5a - Desconto Racional ou Por

Dentro (em função Venda = Valor Nominal).

it

itJV

)(

1

Variação b) - KF.5b - Desconto Bancário

bit

JV

V = N Valor Nominal

J = Dc Desconto


19

REGRA de SINAL + ou –

No geral use + em operações de ganho e – em

operações de perda. E quando o fator estiver dividindo

inverta a ordem, ou seja, use + para perda e – para ganho.

No caso particular de Descontos use + para

Dentro e – para Fora.

Valor Descontado ou Atual, Substituição de

Títulos e Equivalência de Capitais são considerados

como operações de ganho, portanto, vale a regra geral.

John Taylor Paiva

20

CONFIGURAÇÕES ENVOLVENDO

PRESTAÇÕES

KF.9A – Anuidade Antecipada

C = P ).()(

)(i

ii

it

t

1

1

11

KF.9P – Anuidade Postecipada

C = P

t

t

ii

i

)(

)(

111

KF.10A – Anuidade Antecipada

V = P ).()(

ii

i t

1

11

KF.10P – Anuidade Postecipada

V = P

i

i t 11 )(


21

CONFIGURAÇÕES COMPOSTAS

KF.6 - Montante - Desconto Composto.

tiCV )( 1

Variação a) - KF.6a - Convenção Linear

).()( iptiCV 11

Variação b) - KF.6b - Convenção Exponencial

pt

iCV

)(1

V = M = N Montante, Valor Nominal

C = A Capital, Valor Atual

t = parte inteira e p = parte fracionária

KF.7 - Desconto Racionalmente Composto

(envolvendo o Montante = Valor Nominal).

ti

JV

)(11

V = N Valor Nominal (Montante)

J = Dr Desconto Racionalmente Composto

John Taylor Paiva

22

KF.8 Juros Compostos – Desconto

Racionalmente Composto (envolvendo o Capital = Valor

Atual).

11

ti

JC

)(

Onde:

J = Dc Juros Composto, Desconto

Racionalmente Composto

C Capital, Valor Atual (Capital)


23

REGRAS da MANEIRA CONVENCIONAL

1) “x = -1” em Desconto Racionalmente

Composto, Prejuízo sobre Preço de Venda, Equivalência

de Capitais Diferidos, Equivalência de Capitais sobre

critérios de juros Por Fora, Lucro sobre Preço de Venda,

Substituição de Títulos. (DRC – PPV – EqC – EqJF – LPV – ST)

2) “x = 0” em Prejuízo, Lucro, Montante Geral,

Valor Descontado ou Atual, Desconto Bancário,

Desconto Por Fora-Venda, Desconto Por Dentro-Custo,

Juros Simples e Porcentagem. (P – L – MG – VDA – Db – DFV – DDC – J – Pg)

3) “x = 1” quando não for “-1 e 0”, ou seja, nas

demais operações, em Atualização/Correção,

Equivalência de Capitais sobre critério de juros Por

Dento, Lucros ou Acréscimos Sucessivos, Lucro sobre o

Preço de Custo, Montante simples e Composto em

função da Venda, Descontos ou Abatimentos Sucessivos,

Prejuízo sobre o Preço de Custo, Desconto Composto,

Desconto Racional ou Por Dentro em função da Venda,

Montante Composto, Juros Compostos Linear e

Exponencial, Desconto Comercial ou Por Fora em função

do Custo. (AT/C – EqJD – LAS – LPC – MSCV – DAS – PPC – DC

– DDV – MC – JLE – DFC)

John Taylor Paiva

24

4) “k = 0” quando é dado ou procurado o “V e o

C” ao mesmo tempo e em operações de Juros

Compostos.

5) “k = 1” nas demais operações que não tiver “V

e C”.

6) “b = 0 e t = 1” quando eles não forem dados ou

subtendidos.

7) Em Juros compostos quando o fator for o seu

inverso, e envolver o Capital (Valor Atual) e o Desconto,

ele, o fator será subtraído do “1” do denominador.

Quando envolver o Montante (Valor Nominal), o fator se

torna de descapitalização e o “1” do denominador será

subtraído dele.

8) Use o Fator Múltiplo com o sinal de “+” em:

Atualização/Correção, Equivalência de Capitais sobre

critérios de juros por Dentro, Lucros, Lucros ou

Acréscimos Sucessivos, Lucro sobre o Preço de Custo,

Montante Geral, Montante simples e Composto-Venda,

Desconto Composto, Desconto Racionalmente

Composto, Desconto Por Dentro-Venda, Desconto

Bancário, Prejuízo sobre o Preço de Venda e em

Operações de Juros Compostos.


25

9) Use o Fator Múltiplo com o sinal de “–” em:

Descontos ou Abatimentos Sucessivos, Prejuízo,

Desconto Por Fora-Custo, Prejuízo sobre o Preço de

Custo, Valor Descontado ou Atual, Equivalência de

Capitais Diferidos, Equivalência de Capitais sobre

critérios de juros Por Fora, Lucro sobre o Preço de

Venda, Substituição de Títulos.

John Taylor Paiva

26

REGRAS da MANEIRA MUSICAL

1. MÚSICA DICA para LEMBRAR a K-FUNÇÃO –

KF

G C C/G C

Vou Gamar Com Jeito e o fator elevar a “x” Dm7/9 G

E vou dividir F/A C G

Taxando o tempo a “k”ada hora mais meu bem

MÚSICAS PARA GRAVAR o VALOR de “X” e o

“SINAL + ou – ”

da EQUAÇÃO FINAL

2. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO “X =

-1”

C G

Em DRC um Palácio F C

No PPV um Casebre Am D7

Na Equivalência da Rua G F

Juros de Fora na fila Comer C G

Mas o prato LPV vazio C

Deu ST no choro


27

TRADUÇÃO:

A música informa quando “x = –1” e quando usar

o sinal de “+” ou de “– “ no Fator Múltiplo.

VEJA COMO:

1- Faça a associação das seguintes imagens:

- Palácio e o Casebre como algo positivo (+).

- Rua, Fila pra comer, Vazio e Choro como algo

negativo (–).

2- Agora mentalize as seguintes siglas:

- DRC – Desconto Racionalmente Composto (+).

- PPV – Prejuízo sobre Preço de Venda (+).

- Equivalência – Equivalência de Capitais (–).

- Juros de Fora – Equivalência sobre critérios de

juros Por Fora (–).

- LPV – Lucro sobre o Preço de Venda (–).

- ST – Substituição de Títulos (–).

John Taylor Paiva

28

3. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO “X =

0”

C6 D7/9 G C6

Entrei em parafuso em K-Função enrolado D7/9 Dm7/9 G C

E perdi um Pejuízo doido de Lucro danado

Dm7/9 G6* G7

- Ganhei um Montante Geral C

Perdendo um Valor Descontado

F7+ F#º

E ganhei ó ganhei C A7

Um Desconto Bancário que neutralizou

(A7) D7/9

- Desconto Por Fora na Venda, G C

Por Dentro no Custo Por Cento e Juros

Dm7/9 G6/9 G7 C A7

E então no restante use mais D7/9

Menos Desconto Sucessivo G6/7 G C

Por Fora no Custo e Prejuízo no Custo


29

TRADUÇÃO:

Perceba que a música informa quando “x = 0”,

ficando subtendido que as demais tem “x = 1” e quando

usar o sinal de “+” ou de “– “ no Fator Múltiplo.

VEJA COMO:

1- Aqui em vez de imagens, colocamos o nome da

operação que caracterizará o sinal do fator como “+” ou

“–“:

- Ganhei e danado como algo positivo (+).

- Perdi e perdendo como algo negativo (–).

2- A frase: “... Então no restante use mais...”,

significa que as operações não incluídas nas duas

músicas têm “x = 1” e deve usar o sinal (+), com exceção

das operações de Descontos Sucessivos, Desconto Por

Fora no Custo e Prejuízo no Preço de Custo, que usam o

sinal (–).

3- Neutralizar significa que não existe sinal na

equação resultante.

John Taylor Paiva

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RESUMO GERAL

QUANDO X = –1

K = 0 (+) – Desconto Racionalmente Composto

(+) – Prejuízo sobre o Preço de Venda

...........................................................

(–) – Equivalência de Capitais Diferidos

(–) – Equivalência de Capitais sobre

critério de furos Por Fora

(–) – Lucro sobre o Preço de Venda

(–) – Substituição de Títulos

QUANDO X = 0

K = 0 (+) – Lucro

(+) – Montante Geral

...........................................................

(–) – Prejuízo

(–) – Valor Descontado ou Atual

...........................................................

K = 1 (+) – Desconto Bancário

(N) – Desconto Comercial ou Por Fora em

função da Venda

(N) – Desconto Racional ou Por Dentro

em função do Custo

(N) – Juros Simples

(N) – Porcentagem


31

QUANDO X = 1

K = 0 (+) – Atualização/Correção

(+) – Equivalência de Capitais S/ critério

de juros Por Dento

(+) – Lucros ou Acréscimos Sucessivos

(+) – Lucro sobre o Preço de Custo

(+) – Montante simples e Composto em

função da Venda

...........................................................

(–) – Descontos ou Abatimentos

Sucessivos

(–) – Prejuízo sobre o Preço de Custo

...........................................................

K = 1 (+) – Desconto Composto

(+) – Desconto Racional ou Por Dentro em

função da Venda

(+) – Montante Composto

(+) – Juros Compostos Linear e

Exponencial

...........................................................

(–) – Desconto Comercial ou Por Fora em

função do Custo

John Taylor Paiva

32

I – PORCENTAGEM

01. Calcular 10% de 2854

Sol.: Pelos dados do problema, vemos que “C”

(Principal) é dado e “J” (Porcentagem) esta subtendido (é

pedido, procurado). Assim, pela definição da função

base, a sua imagem é C = J e, o fator múltiplo (1 it) e,

pelas regras, temos: por R2 x = 0, por R5 k = 1 e

por R6 b = 0.

Dd: C = 2854 J = ? i = 10% t = 1

FÓRMULA FINAL DA KF

( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it J = Cit J = 2854 .

0,1 . 1 J = 285,4


33

II – OPERAÇÕES PERCENTUAIS

OPERAÇÕES com LUCRO

1.º) CASO: LUCRO BASEADO no PREÇO de

CUSTO

02. Um comerciante deseja lucrar 40%, em

relação ao preço de aquisição de suas mercadorias. Uma

delas custou R$ 7.000,00. Por quanto deverá vendê-la?

Sol.: Aqui nós podemos raciocinar de duas

maneiras para definir a imagem da função base:

1.º RACIOCÍNIO Pelos dados do problema,

vemos que “C” (Custo) é dado, o “V” (Venda) está

subtendido e o “J” (Lucro) é dado em função de “C”.

Assim, pela definição da função base, a sua imagem é V

= C J e, o fator múltiplo (1 it) e, pelas regras, temos:

por R2 x = 0, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd: C = 7.000 V = ? J = 40% de C

i = 40% t = 1

FÓRMULA FINAL da KF

( )

xCVJ kit b

0

0

( )(1 )

( ) 0

C J itV

it

V C J

John Taylor Paiva

34

SE LIGUE! Aqui, devemos notar que pela

definição, o sinal entre as variáveis é positivo (+).

Portanto, temos:

V C J KF.2

Usando a KF.2 V C J

Mas antes de aplicarmos a KF.2, podemos

calcular o lucro, já que temos a informação de que:

J = 40% de C J = 0,40 . 7.000 J = R$

2.800,00

Agora aplicando a KF.2, temos que, o

equipamento deverá ser vendido por:

V = C + J V = 7.000 + 2.800 V = R$

9.800,00

2.º RACIOCÍNIO Podemos isolar o “J”

(Lucro) e trabalhar apenas com o “C” (Custo) dado e o

“V” (Venda) subtendido. Então, pela definição da função

base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo (1 it) e,

pelas regras, temos: por R3 x = 1, por R4 k = 0 e

por R6 b = 0.

Dd: C = 7.000 V = ? i = 40% t = 1


35


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it

SE LIGUE! Aqui, devemos notar que por R8, o

sinal do fator múltiplo é positivo ( + ). Portanto, temos:

(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it

1 0,4 .17000V 7000.1,4V V = R$ 9.800,00

2.º) CASO: LUCRO BASEADO NO PREÇO DE

VENDA

03. Uma mercadoria custou R$ 16.000,00.

Pretendo vendê-la com 20%, de lucro sobre o preço de

venda. A que preço devo vendê-la?

Sol.: Aqui também podemos raciocinar de duas

maneiras para definir a imagem da função base:

1.º RACIOCÍNIO Pelos dados do problema,

vemos que “C” (Custo) é dado, o “V” (Venda) está

subtendido e o “J” (Lucro) é dado em função de “V”.


= C J e, o fator múltiplo (1 it) e, pelas regras, temos:

por R2 x = 0, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

John Taylor Paiva

36

Dd: C = 16.000 V = ? J = 20% de V

i = 20% t = 1


( )

xCVJ kit b

0

0

( )(1 )

( ) 0

C J itV

it

V C J

SE LIGUE! Aqui, devemos notar que pela

definição entre as variáveis é positivo ( + ). Portanto,

temos:

V C J KF.2

Usando a KF.2 V C J V = C + J V =

16.000 + 0,2.V 1.V – 0,2.V = 16.000 0,8.V =

16.000 16000

0,8V V = R$ 20.000,00

2.º RACIOCÍNIO Pelos dados do problema o

“C” (Custo) é dado e o “V” (Venda) está subtendido.


= C e, o fator múltiplo (1 it) e, pelas regras, temos: por

R1 x = -1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd: C = 16.000 V = ? i = 20% t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )

C

itV


37


sinal do fator múltiplo é negativo (– ). Portanto, temos:

(1 )

C

itV

KF.4

Usando a KF.4 (1 )

C

itV

16000 16000

1 02 0,8VV

V = R$ 20.000,00

OPERAÇÕES COM PREJUÍZO

3.º) CASO: PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE

CUSTO

04. Comprei um aparelho de som por R$ 450,00.

Precisando de dinheiro, fui obrigado a vendê-lo, com

22%, de prejuízo. Por quanto vendi o aparelho?

Sol.: Supondo que não se considere o “J”

(Prejuízo) em função de “C” ou se encare a operação de

maneira original, ou seja, Prejuízo Baseado no Preço de

Custo, pelos dados do problema o “C” (Custo) é dado e o

“V” (Venda) está subtendido. Assim, pela definição da

função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo (1

it) e, pelas regras, temos: por R3 x = 1, por R4 k =

0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 450 V = ? i = 22% t = 1

John Taylor Paiva

38


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it


sinal do fator múltiplo é negativo ( – ). Portanto, temos:

(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it V = 450(1 –

0,22 . 1) V = 450 . 0,78 V = R$ 351,00

SE LIGUE! Quando o problema não indicar

sobre qual valor incide o Lucro ou Prejuízo, ficará

entendido que será sempre sobre o valor do Custo.

4.º) CASO: PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE

VENDA

05. Comprei um vídeo por R$ 600,00 e vendi com

um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Por quanto

vendi o vídeo?

Sol.: Supondo que não se considere o “J”

(Prejuízo) em função de “V” ou se encare a operação de

maneira original, ou seja, Prejuízo Baseado no Preço de

Venda. Pelos dados do problema o “C” (Custo) é dado e

o “V” (Venda) está subtendido. Assim, pela definição da



39

it) e, pelas regras, temos: por R1 x = -1, por R4 k

= 0 e por R6 b = 0.

Dd: C = 600 V = ? i = 20% t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )

C

itV


sinal do fator múltiplo é positivo (+ ). Portanto, temos:

(1 )

C

itV

KF.4

Usando a KF.4 (1 )

C

itV

600 600

1 02 1,2VV

V = R$ 500,00

ACRÉSCIMOS e DESCONTOS

06. Um funcionário ganha, mensalmente, R$

500,00. No próximo mês, esse funcionário receberá um

reajuste salarial de 30% do seu salário atual. Qual é o

valor do novo salário e o valor do reajuste salarial?

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Salário

Antigo) é dado e o “V” (Novo Salário) está subtendido.


John Taylor Paiva

40


R3 x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 500 V = ? i = 30% t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it V = 500(1 +

0,30 . 1) V = 500 .1,30 V = R$ 650,00

O fator de aumento foi: 1,30

Calculando o reajuste salarial (i . C), vem:

i.C = 30% de C = 0,30.500 i.C = R$ 150,00

07. Um funcionário ganha, por mês, R$ 500,00.

Em cada mês, seu salário é descontado, em média, 10% a

titulo de previdência social e imposto sobre a renda. Qual

é o valor do salário liquido desse funcionário? Qual o

valor descontado mensalmente?


41

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Valor

Antigo) é dado e o “V” (Novo Valor) está subtendido.



R3 x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 500 V = ? i = 10% t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it V = 500(1 –

0,10 . 1) V = 500 . 0,90 V = R$ 450,00

O fator de desconto foi: 0,90

Calculando o valor descontado mensalmente (i .

C), vem:

i.C = 10% de C = 0,10 . 500 i.C = R$ 50,00

John Taylor Paiva

42

LUCROS ou ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

08. Em janeiro de 2001, o salário de José era de

R$ 1.800,00. Nos meses de maio e junho receberá

reajustes de 10% e 12%, respectivamente. Qual será o

novo salário após o 2.º reajuste?





R3 x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1.800 V = ? i = 10% e 12%

t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3


SE LIGUE! Como o t = 1 e os reajustes são

sucessivos, adaptando temos:


43

1 2(1 )(1 )V C i i V = 1.800(1 + 0,10)(1 + 0,12)

V = 1.800 . 1,1 . 1,12

V = R$ 2.217,60

DESCONTOS ou ABATIMENTOS SUCESSIVOS

09. Uma mercadoria de R$ 3.000,00 sofreu os

descontos sucessivos de 10%, 5% e 4%. A quanto ficou

reduzido o preço dessa mercadoria e qual foi o valor do

desconto?





R3 x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 3.000 V = ?

i = 10%, 5% e 4% t = 1


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

John Taylor Paiva

44


SE LIGUE! Como o t = 1 e os descontos são

sucessivos, adaptando temos:

1 2 3(1 )(1 )(1 )V C i i i V = 3000(1 – 0,10)(1 –

0,05)(1 – 0,04)

V = 3.000 . 0,90 . 0,95 . 0,96 V = R$ 2.462,40

É o novo preço

Portanto, o desconto é: R$ 3.000,00 – R$

2.462,40 = R$ 537,60


45

III – REGIME de CAPITALIZAÇÃO

SIMPLES

JUROS SIMPLES

TAXA e TEMPO na MESMA UNIDADE

10. Qual o valor dos juros do capital de R$ 800,00

aplicado a juros simples à taxa de 5% a.m., durante 6

meses.


(Capital) é dado e “J” (Juros) esta subtendido (é pedido,

procurado). Assim, pela definição da função base, a sua

imagem é C = J e, o fator múltiplo (1 it) e, pelas regras,

temos: por R2 x = 0, por R5 k = 1 e por R6 b = 0

Dd: C = 800 J = ? i = 5% a.m. t = 6 m


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it J = Cit J = 800 .

0,05 . 6 J = R$ 240,00

11. Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de

5% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 240,00.

John Taylor Paiva

46


(Capital) está subtendido e “J” (Juros) é dado. Assim,

pela definição da função base, a sua imagem é C = J e, o

fator múltiplo (1 it) e, pelas regras, temos: por R2 x

= 0, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = ? J = 240 i = 5% a.m. t = 6 m


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it C =

6.05,0

240

3,0

240 C = R$ 800,00

12. O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros

simples durante 6 meses, rendendo de juros $ 240,00.

Calcule a taxa de juros.


(Capital) e “J” (Juros) são dados. Assim, pela definição

da função base, a sua imagem é C = J e, o fator múltiplo

(1 it) e, pelas regras, temos: por R2 x = 0, por R5

k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = 800 J = 240 i = ? t = 6 m


47


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

JC

it KF.1

Usando a KF.1 JC

it J

iCt

i = 6.800

240

4800

240 i = 0,05 ou 5% a.m.

SE LIGUE! Como o tempo foi utilizado em

meses, a taxa também será ao mês.


simples, à taxa de 5% a.m., rendendo de juros R$ 240,00.

Quanto tempo ficou aplicado?





k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = 800 J = 240 i = 5% a.m. t = ?


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

John Taylor Paiva

48

Usando a KF.1 JC

it J

tCi

240

40

240

800 .0,05tt t = 6 meses

SE LIGUE! Como a taxa foi utilizada ao mês, o

tempo será em meses.

TAXA e TEMPO em UNIDADES DIFERENTES

14. Qual o valor dos juros do capital de R$

1.200,00, aplicado a juros simples à taxa de 3% a.m.,

durante 8 meses e 20 dias.


(Capital) é dado e “J” (Juros) está subtendido. Assim,



= 0, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = 1200 J = ? i = 3% a.m. t = 260 d


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it J = Cit

.2600,03

1200.30

J J = R$ 312,00


49

15. Que valor, aplicado durante 8 meses e 20 dias,

à taxa de 3% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 312,00.


(Capital) está subtendido e “J” (Juros) é dado. Assim,



= 0, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = ? J = 312 i = 3% a.m. t = 260 d


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it

0,03.260

30

312C

312

0,001.260C 312

0,26C J = R$ 1.200,00

16. O valor de R$ 1.200,00 foi aplicado a juros

simples durante 8 meses e 20 dias, rendendo de juros R$

312,00. Calcule a taxa de juros.





k = 1 e por R6 b = 0.

John Taylor Paiva

50

Dd: C = 800 J = 240 i = ? t = 260 d


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1

Usando a KF.1 JC

it J

iCt

312

312000

312

1200 .260ii i = 0,1% a.d.

SE LIGUE! Como o tempo foi utilizado em dias,

a taxa será ao dia. Querendo saber a taxa ao mês, apenas

multiplique por 30.


simples, à taxa de 3% a.m., rendendo de juros R$ 312,00.

Quanto tempo ficou aplicado?





k = 1 e por R6 b = 0.

Dd: C = 1200 J = 312 i = 3% a.m. t = ?


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

J

Cit

KF.1


51

Usando a KF.1 JC

it J

tCi

312

1200 .0,03t t =8,666666


tempo será em meses.

1 mês 30 dias

0,666667 meses x

0,666667 x 30x =

1 x = 20 Aplicado durante

8 meses e 20 dias

MONTANTE ou VALOR FUTURO

18. O valor de R$ 1.200,00, foi aplicado a juros

simples durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m..

Calcule o montante.

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital) é

dado e o “V” (Montante) está subtendido. Assim, pela

definição da função base, a sua imagem é V = C e, o


= 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1200 V = ? i = 3% t = 260

John Taylor Paiva

52


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it 0,03

1 .26030

1200V

V = 1200(1+ 0,26) V = 1.200

. 1,26 V = R$ 1.512,00

CAPITAL OU VALOR PRESENTE

19. Um valor foi aplicado a juros simples durante

8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m., formando o

montante de R$ 1.512,00. Qual o valor aplicado.

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital)

está subtendido e “V” (Montante) é dado. Assim, pela



= 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = ? V = 1.512 i = 3% a.m. t = 260 d


53


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it (1 )

V

itC

1.512 1.512

0,03 1,261 .260

30

CC

C = R$ 1.200,00

TAXA de JUROS


simples durante 8 meses e 20 dias, formando o montante

de R$ 1.512,00. Qual a taxa de juros.

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital) e o

“V” (Montante) são dados. Assim, pela definição da



0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1.200 V = 1.512 i = ? t = 260 d

John Taylor Paiva

54


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3

Usando a KF.3 (1 )V C it 1

V

Ct

i

15121

1,26 11200260 260

ii

0,26 1

260i

i = 0,1% a.d. ou 3% a.m.

TEMPO ou PERÍODO


simples, à taxa de 3% a.m., formando o montante de R$

1.512,00. Quanto tempo ficou aplicado?





0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1.200 V = 1.512 i = 3% a.m. t = ?


55


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )V C it



(1 )V C it KF.3


1

V

Ci

t

15121

1,26 112000,03 0,03

tt

0,26

0,03t t

= 8,666666


tempo também será em meses.

1 mês 30 dias

0,666667 meses x

0,666667 x 30x =

1 x = 20

Ficou aplicado durante 8 meses e 20 dias

John Taylor Paiva

56

IV – DESCONTOS SIMPLES

DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO

22. Determinar o desconto racional de um título

de R$ 8.000,00, à taxa de 10% a.a., vencível em 1 ano, 1

mês e 10 dias.

Sol.: Pelos dados do problema o “V” (Valor

Nominal) é dado e o “J” (Descontos) está subtendido.


= J e, o fator múltiplo (1 it) e, pelas regras, temos: por

R3 x = 1, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd.: V = 8.000 J = ? i = 10% a.a. t = 400d


( )

xCVJ kit b

1

1

(1 )

( ) 0

J itV

it

(1 )

it

J itV



(1 )

it

J itV

KF.5a


57

Usando a KF.5a (1 )

it

J itV

(1 )it

VitJ

0,1.400

3600,1

1 .400360

8000.J

1,1111

8000 .0,111J V=R$

800,00

DESCONTO COMERCIAL ou POR FORA

23. Qual o desconto comercial, sofrido por uma

NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., 2 meses antes do

vencimento?





R2 x = 0, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd.: V = 7.000 J = ? i = 6% a.a. t = 2m


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( ) 0

J itV

it

J

itV KF.5

Usando a KF.5 J

itV J = Vit J =

7.000 . 0,06 . 2 J = R$ 840,00

John Taylor Paiva

58

24. Qual o desconto por fora de um título que, 3

meses antes do vencimento gerou um valor atual de R$

2.399,46, à taxa de 6% a.a.?


Atual) é dado e o “J” (Descontos) está subtendido.

Assim, pela definição da função base, a sua imagem é C


R3 x = 1, por R5 k = 1 e por R6 b = 0.

Dd.: V = 2.399,46 J = ? i = 6% a.a.

t = 3m


( )

xCVJ kit b

1

1

(1 )

( ) 0

J itC

it

(1 )J it

itC



(1 )J it

itC

KF.1a

Usando a KF. 1a (1 )J it

itC

(1 )

Cit

itJ

0,062.399,46. .3

120,06

1 .312

J

35,9919

0,985J J = R$ 36,54


59

DESCONTO BANCÁRIO

25. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no

Banco do Brasil, que cobra 2% de taxa administrativa. Se

a taxa de mercado é de 40% a.a. e o desconto ocorreu 3

meses antes do vencimento, qual o desconto bancário?





R2 x = 0, por R5 k = 1 e pelos dados do problema

b = 2%.

Dd: V = 5.500 J = ? i = 40% a.a.

t = 3 m b = 2%


( )

xCVJ kit b

0

1

(1 )

( )

J itV

it b

JV

it b

KF.5b

Usando o KF.5b ( )J

V J V it bit b

0,405.500. . 3 0,02

12J

1,2 1,445.500 0,02 5.500

12 12J J

$ 660,00J R

John Taylor Paiva

60

V – EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA

(De CAPITAIS - FLUXO de CAIXA -

SUBSTITUIÇÃO de TÍTULOS)

26. Um cliente que tem um compromisso de R$

6.000,00, hoje, solicita uma prorrogação da dívida para

90d. Se o banco está operando com uma taxa comercial

de 5% a.m., qual o valor de resgate do novo título?

Sol.: Nos problemas de equivalência financeira

nós raciocinamos da seguinte maneira:

BIZUZÃO Para desmembrar a KF, podemos

raciocinar que tanto o “C” (Valor Atual) como o “V”

(Valor Futuro) é dado e subtendido ou vice-versa. Depois

fazemos a definição como valor presente ou futuro de

acordo com a data focal.

Pelos dados do problema o “C” (Valor Atual =

título vencido) é dado e o “V” (Valor Futuro Novo Título

= resgate) está subtendido. Assim, pela definição da


it) e, pelas regras, temos: por R1 x = -1, por R4 k

= 0 e por R6 b = 0.

Dd: C/V = 6.000 V = ? i = 5% a.m. t = 3 m


61


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )

C

itV



(1 )

C

itV

KF.4

Usando a KF.4 (1 )

C

itV

SE LIGUE! Aqui nós temos: capital anterior a

data focal – achar o valor futuro Transportando o

capital para a data focal zero (Dc).

6.000 6.000

1 0,05 . 3 0,85VV

V = R$ 7.058,82

27. Um título de valor nominal equivalente a

10.000,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por

outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que

esses títulos podem ser descontados à taxa de 10% a.m.,

qual o valor nominal do novo título?

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Valor Atual

= título vencido) é dado e o “V” (Valor Futuro Novo

Título = resgate) está subtendido. Assim, pela definição

da função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo

John Taylor Paiva

62

(1 it) e, pelas regras, temos: por R1 x = -1, por R4

k = 0 e por R6 b = 0.

Dd: C/V = 10.000 V = ? i = 10% a.m. t = 3 m


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

C itV

it

(1 )

C

itV


sinal do fator múltiplo é negativo (–). Portanto, temos:

(1 )

C

itV

KF.4

Usando a KF.4 (1 )

C

itV

SE LIGUE! Agora, nós temos que transportar o

valor conhecido e o desconhecido para a data focal zero e

depois igualar os dois para saber quanto é hoje o valor

futuro. Portanto, nós temos: capital posterior a data focal

– achar o valor presente Transportando os valores

atuais para a data focal zero (Dc)

Transportando o valor conhecido

3 3(1 )itC V 3 10.000(1 0,1.3)C

3 10.000.0,7C C3 = R$ 7.000,00


63

Transportando o valor desconhecido:

5 5(1 )itC V

5 5(1 0,1.5)C V 5 50,5.C V C3

= R$ 7.000,00

SE LIGUE! Mas na data focal zero teremos: C3 =

C5, portanto:

50,5. 7000V 5

7000

0,5V V5 = R$ 14.000,00

John Taylor Paiva

64

VI – CAPITALIZAÇÃO MISTA

PERÍODO FRACIONÁRIO ou NÃO-INTEIROS

JUROS SIMPLES NA PARTE FRACIONÁRIA ou

CONVENÇÃO LINEAR

28. Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à

taxa de juros compostos de 10% a.a., por 5 anos e 6

meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o

montante, utilizando-se a convenção linear?




fator múltiplo (1 )(1 )t ipi e, pelas regras, temos: por R3

x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1.000 V = ? i = 10% a.a. t = 5 a 6 m


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )][(1 )

( ) 0

t

ipC iV

it

(1 )(1 )t ipV C i

KF.6a

Usando a KF.6a (1 )(1 )t ipV C i

5 56(1 01. )

121000(1 0,1)V


65

5(1 0,1 . 0,5)1000(1,1)V V = 1.000 . 1,61051 .

1,05 V = R$ 1.691,04

JUROS COMPOSTOS na PARTE FRACIONÁRIA

ou CONVENÇÃO EXPONENCIAL

29. Calcular o montante pela convenção

exponencial do capital de R$ 1.000,00 colocado a juros

compostos à taxa de 5% a.a. capitalizados anualmente, no

fim de 7 anos e 3 meses.




fator múltiplo (1 )t pi e, pelas regras, temos: por R3 x

= 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 1.000 V = ? i = 5% a.a. t = 7 a 3 m


( )

xCVJ kit b

1

0

(1 )

( ) 0

t piCV

it

(1 )t pV C i

KF.6b

Usando a KF.7b (1 )t pV C i

3

7121000(1 0,05)V

29

41000(1,05)V

V = 1.000 . 1,4243687 V = R$ 1.424,37

John Taylor Paiva

66

VII – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO

COMPOSTA

MONTANTE ou VALOR FUTURO

30. Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à

taxa de 2% a.m. durante 5 meses, capitalizado

mensalmente. Calcule o montante.




fator múltiplo (1 )ti e, pelas regras, temos: por R3 x =

1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 600 V = ? i = 2% a.m. t = 5 m


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

C iV

it

(1 )tV C i KF.6

Usando a KF.6 (1 )tV C i 5600(1 0,2)V 5600.1,02V = V = R$ 662,45


67

CAPITAL ou VALOR PRESENTE

31. Que valor, aplicado a juros compostos, à taxa

de 2% a.m., capitalizada mensalmente durante 5 meses,

formou o montante de R$ 662,45?

Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital)

está subtendido e o “V” (Montante) é dado. Assim, pela


fator múltiplo (1 )ti e, pelas regras, temos: por R3 x =

1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = ? V = 662,45 i = 2% a.m. t = 5 m


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

C iV

it

(1 )tV C i KF.6

Usando a KF.6 (1 )tV C i (1 )tV

iC

5

662,45

(1 0,02)C

5

662,45

1,02C 662,45

1,104081C C = R$

600,00

TEMPO ou PERÍODO


compostos, à taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente,

formando o montante de R$ 662,45. Quanto tempo ficou

aplicado?

John Taylor Paiva

68



função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo

(1 )ti e, pelas regras, temos: por R3 x = 1, por R4 k

= 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = 600 V = 662,45 i = 2% a.m. t = ?


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

C iV

it

(1 )tV C i KF.6


iC

(1 )tV

iC

(1 )logV

Ci t

ln

ln(1 )

V

Ct

i

662,45ln

600

ln(1 0,02)t

ln 1,104083

ln 1,02t 0,099015

0,019803t t = 5 m

TAXA DE JUROS

33. O valor de R$ 600,00 aplicado a juros

compostos, durante 5 meses, com capitalização mensal,

formou o montante de R$ 662,45. Calcule a taxa de juros.



função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo

(1 )ti e, pelas regras, temos: por R3 x = 1, por R4 k

= 0 e por R6 b = 0.


69

Dd.: C = 600 V = 662,45 i = ? t = 5 m


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

C iV

it

(1 )tV C i KF.6


iC

1tV

iC

5662,45

1600

i

51,104083 1i i = 2,000047% a.m.

JUROS COMPOSTOS

34.: Quanto rendeu de juros o capital de R$

600,00, aplicado a juros compostos durante 5 meses à

taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente.


dado e o “J” (Juros) está subtendido. Assim, pela

definição da função base, a sua imagem é C = J e, o fator

múltiplo (1 )ti e, pelas regras, temos: por R1 x = -1,

por R4 k = 0, R6 b = 0 e por R7 o fator.

Dd.: C = 600 J = ? i = 2% a.m. t = 5 m

John Taylor Paiva

70


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

J iC

it

1(1 )tJ

Ci

KF.8

Usando a KF.8 1(1 )t

JC

i

1 1

tiJ C

5

1 0,02 1600J

J = 600 . 0,104081 J =

R$ 62,45

DESCONTO COMPOSTO

35. Determine o valor atual de um título de R$

5.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento à taxa

de desconto (composto) de 2% ao mês.


Atual) está subtendido e o “V” (Valor Nominal) é dado.


= C e, o fator múltiplo (1 )ti e, pelas regras, temos: por

R3 x = 1, por R4 k = 0 e por R6 b = 0.

Dd.: C = ? V = 5.000 i = 2% a.m. t = 4 m


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

C iV

it

(1 )tV C i KF.6


71


iC

4

5.000

(1 0,02)C

4

5.000 5.000

1,02 1,082432CC C = R$

4.619,22

DESCONTO RACIONALMENTE COMPOSTO

36. Uma Nota Promissória no valor de R$

1.000,00, foi liquidada 6 meses antes do vencimento.

Sabendo-se que a taxa de desconto da operação

(composta) foi de 2% a.m., qual o desconto racional.




= J e, o fator múltiplo (1 )ti e, pelas regras, temos: por

R1 x = -1, por R4 k = 0, R6 b = 0 e por R7 o

fator.

Dd.: V = 1.000 J = ? i = 2% a.m. t = 6 m


( )

xCVJ kit b

1

0

][(1 )

( ) 0

t

J iV

it

1 (1 ) tJ

Vi

KF.7

Usando a KF.7 1 (1 ) t

JV

i

1 1t

iJ V

61 1 0,021.000J

John Taylor Paiva

72

J = 1.000 . (1 – 0,88797) J = 1.000 0,11203

J = R$ 112,03

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