Rodolfo P. Martınez y Romero

Facultad de Ciencias

La expansion del Universo

en un mundo Newtoniano

I Introduccion

En 1664 uno de los cursos mas interesantes de filosofıa natural en la Universidad

de Cambridge era estudiar y discutir el comportamiento de cuerpos pesados como

son los planetas. Los estudiantes se reunıan para discutir que es lo que hace que

estos objetos se muevan como lo hacen y cuales leyes los rigen. Es importante, sin

embargo, aclarar que hasta el siglo XVI el comportamiento de los objetos celestiales

(es decir “del cielo” y por lo tanto en contacto con lo divino), no tenıan nada que

ver con el comportamiento de los objetos terrenales, puesto que el comportamiento

de aquellos era regido por leyes divinas. Visto desde nuestra perspectiva contem-

poranea, este curso debio haber sido un tanto heretico o por lo menos fuera de la

lınea del pensamiento convencional de la epoca. Como quiera que sea, es claro que

vientos nuevos ya soplaban sobre la Inglaterra del siglo XVII, lo que permitio la

expansion del pensamiento cientıfico.

Desgraciadamente, la peste que asolo a Europa en el ano siguiente obligo a

la Universidad a cerrar sus cursos en espera de mejores tiempos. Un muchacho

“scholar of the college” que asistıa a esos cursos llamado Isaac Newton se vio

entonces obligado a regresar a su casa, en Woolsthorpe. Ahı, en la comodidad de su

hogar (presumimos), Newton continuo pensando sobre las causas del movimiento de

los planetas. Hay que entender, sin embargo, que para el esto equivalıa a conocer

el pensamiento de Dios, puesto que para la epoca era Dios y solo el quien regıa el

movimiento de los planetas. Un punto de vista un tanto diferente al pensamiento

religioso actual, en donde se acepta que Dios creo las leyes de la fısica como parte

de la naturaleza y que son estas quienes gobiernan a la materia.

En una biografıa sobre Newton aparecida 87 anos despues y escrita por su

amigo Stuckeley, el autor senala que la inspiracion clave sobre el movimiento de los

2 La expansion del universo

planetas le vino a Newton un dıa cuando que se encontraba contemplativo en un

jardın de manzanos viendo caer una manzana. La anecdota de que la manzana le

cayo precisamente en la cabeza seguramente es una exageracion.

El primer paso de Newton, parece ser, fue el de suponer la revolucionaria idea de

que la luna sufre el mismo tipo de atraccion sobre la tierra que la manzana, aunque

aquella sea un objeto celestial. Si sufre la luna una atraccion gravitacional por parte

de la tierra (y viceversa) como cualquier otro objeto material, entonces deberıa ser

posible conocer la aceleracion centrıpeta que tiene la luna debido a la fuerza de

atraccion existente entre la tierra y ella. En efecto, ya en la epoca se conocıa el

perıodo de revolucion de la luna y tambien (por geometrıa) la distancia entre la

tierra y ella. Con estos datos es posible conocer la aceleracion centrıpeta que tiene

la luna al girar alrededor de la tierra, que debe ser aluna = v2l /rl ≈ 0.00273 m/seg2.

Por supuesto, vl es la velocidad que tiene la luna al girar alrededor de la tierra y

rl la distancia entre los centros de ambos cuerpos celestes.

El segundo paso fue aun mas arriesgado. En la epoca ya se empezaba a pensar

que la gravedad entre dos objetos actua siguiendo una ley que va con el inverso del

cuadrado de la distancia que los separa. En el caso de la tierra y la luna, mas o

menos se puede entender cual puede ser la distancia. Uno puede suponer que la

distancia entra la tierra y la luna es la que separa la superficie de la tierra con la

superficie de la luna, que no deberıa ser tan diferente de la distancia que separa a

los centros de ambos cuerpos, porque la distancia entre ellos es grande comparada

con su tamano. ¿Pero entre la manzana y la tierra? Para cuerpos tan grandes como

la tierra (y al mismo tiempo tan pequenos como una manzana), no es claro como se

debe medir la distancia entre ellos. La intuicion de Newton fue la de suponer que la

distancia entre la tierra y la luna que verdaderamente cuenta, es la distancia entre

los centros. Pero para probarlo Newton tuvo que inventar el calculo diferencial.

Despues de todo era un genio. Los resultados en donde prueba que la fuerza de

gravedad actua como si la masa de la tierra y de la luna estuvieran concentradas en

su centro, solamente aparecieron hasta el ano de 1687, es decir hasta que cumplio

los 45 anos, cuando salieron a la luz los Principia Mathematica.

Lo que hizo Newton fue comparar la aceleracion de la manzana en la superficie

de la tierra amanzana ≈ 9.81 m/seg2 con la de la luna. Entonces, si la distancia

entre la tierra y la manzana es, (despreciando la altura que tiene esta sobre el

suelo), el radio de la tierra rt ≈ 6300 km , y si la fuerza entre la tierra y la luna es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros, como ocurre

con la fuerza de gravedad entre la manzana y la tierra, se debe cumplir que

Cosmologıa Newtoniana 3

amanzanaaluna

∼R2

lunar2tierra

(1)

Con los datos disponibles en la epoca, Newton encontro que la cantidad de la

izquierda de la ecuacion de arriba es aproximadamente 3600, lo que (claro), confirmo

sus sospechas de que la fuerza de gravedad entre distintos objetos es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Pero no solamente Newton fue capaz de encontrar los resultados descritos arriba,

sino que fue mucho mas lejos, al poder deducir tambien las 3 leyes de Kepler que

hasta entonces eran puramente observacionales. Uno de sus grandes logros de hecho.

Newton propuso su famosa ley de gravitacion y propuso que todo cuerpo material

cumple con ella. A todos nos la ensenan en a escuela elemental.

II Cosmologıa Newtoniana

La publicacion de los Principia Mathematica permitio a Newton explicar el

movimiento en orbitas elıpticas de los planetas en nuestro sistema solar, la ley de

areas barridas en su movimiento por los planetas y la ley de los perıodos tambien

formulada por Kepler. Ası, sabemos entonces que la constante de proporcionalidad

entre el cuadrado del perıodo y el cubo de la distancia media entre el sol y el planeta

es simplemente ( 2πGM⊙

)2, en donde G es la constante universal de gravitacion y

M⊙ la masa del sol. Estos formidables triunfos inspiraron a Edmund Halley (1656–

1742), a usar la teorıa de la gravitacion de Newton para predecir exitosamente la

llegada de un cometa, (ahora llamado cometa Halley, por supuesto), avistado en

1456, 1531, 1607 y 1682, en el ano de 1758.

Newton tambien estudio el cosmos e intuyo que la distribucion de cuerpos ce-

lestes (en su epoca no se hablaba de nebulosas ni de galaxias) es homogenea, es decir,

distribuida uniformemente en todo el cosmos e isotropica, o sea, tiene las mismas

propiedades en cualquier direccion. Esta suposicion fue formulada por el, a pesar

de la muy evidente anisotropıa que representa la vıa lactea. Por supuesto que las

propiedades de isotropıa y de homogeneidad se realizan a escalas mas bien grandes

y no toman en cuenta posibles desviaciones locales, como por ejemplo la vıa lactea

ya mencionada. Esta suposicion de Newton ha sido elevada a rango de principio y

se le conoce con el nombre de principio cosmologico, el cual va o menos como sigue:

En el espacio tridimensional el universo es homogeneo e isotropico. Siempre ha

sido asi y siempre sera ası.

4 La expansion del universo

Claro que en realidad no sabemos si es cierta esta afirmacion, pero por el mo-

mento lo tomaremos como uno de los principios mas basicos de la cosmologia, inclu-

sive de la mas moderna. Sin embargo, las mediciones apuntan a que a escalas muy

grandes, el universo es bastante homogeneo e isotropico. Por ejemplo, si contamos

el numero promedio N de galaxias en una esfera de al menos 100 millones de anos

luz y δN es la fluctuacion promedio (raız cuadrada promedio), las observaciones

dan como resultado δN/N ∼ 0.5. Nada mal para el principio cosmologico.

Pero hasta los genios se equivocan (y los tontos aciertan). Newton se dio cuenta

que, puesto que todos los cuerpos se atraen mutuamente, entonces el universo deberıa

colapsarse espontaneamente. Claramente, hasta en los tiempos de Newton esto no

era observado, ası que el concluyo que la razon de que no se colapsara el universo es

que la atraccion entre cuerpos estelares dentro de, digamos una esfera, se tenıa que

compensar por... ¡la atraccion por parte de los cuerpos que se encuentran fuera de

ella!

Ahora sabemos que esta ultima afirmacion no es cierta. Para verlo daremos

un sencillo argumento que debe convencernos. Tomemos una esfera S con materia

adentro y tracemos ademas una capa exterior arbitraria S’ de grosor h como se ve

en la figura 1. Supongamos que la densidad de materia es uniforme. En la figura

la densidad de materia queda representada por pequenos puntos que representan a

la materia. Queremos ver como influye la capa de materia S’ en un punto material

P que se encuentre dentro de la esfera. Supongamos que iniciamos con P justo en

el centro. Por simetrıa, las fuerzas gravitacionales de capa exterior se anulan en ese

punto. Si lo movemos fuera del centro, como se ve en al figura, vamos a ver que las

fuerzas siguen anulandose usando un sencillo argumento. Tracemos un cono (el que

nos guste) desde el punto P ; la materia en la capa que se ve desde en el fondo del

cono, denotada por m en la figura 1, disminuye con el cuadrado de la distancia a

medida que nos alejamos del centro de la esfera, pero su influencia crece justamente

al reves, es decir, crece con el cuadrado de la distancia compensandose ambos efectos.

Si trazamos un segundo cono justo en la direccion opuesta, vemos que la cantidad

de materia de la capa exterior S’ del fondo del cono, denotada por M, ahora crece

con el cuadrado de la distancia a medida que nos alejamos del centro, en lugar de

decrecer, pero su influencia decrece tambien con el cuadrado de la distancia porque

el punto material se aleja de ella. De nuevo vemos que ambos efectos se compensan.

Los conos fueron escogidos de manera arbitraria, de tal manera que, generalizando

este argumento a cualquier par de conos, concluimos que la capa exterior de materia

no afecta al interior de la esfera.

Cosmologıa Newtoniana 5

Fig.1 LA INFLUENCIA DE UNA CAPA EXTERIOR DE MATERIA SOBRE UNA ESFERA.

La capa exterior de materia S’ no influye sobre la esfera. Este resultado lo podemos ver como una especie

de teorema de Gauss gravitacional

Bueno, lo curioso del caso es que Newton conocıa el resultado anterior, pero

al parecer no fue consciente de su error. Sabemos que era ası porque el uso un

argumento similar precisamente para mostrarle a sus contemporaneos que las fuerzas

gravitacionales son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. Si

las fuerzas gravitacionales no fueran exactamente inversamente proporcionales al

cuadrado de la distancia, entonces no ocurrirıa la cancelacion exacta que discutimos

aquı.

La cosmologıa de Newton esta basada entonces en la existencia de un universo

estatico. El error de Newton es sin embargo comprensible, puesto que la idea de

un universo en expansion fue durante mucho tiempo muy revolucionaria. Esto lo

sabemos porque hasta hace relativamente poco, despues de haber sido propuesta la

teorıa del ”Big bang”, se llego inclusive a proponer que en alguna parte del universo

se deberıa estar creando materia para compensar la atraccion mutua entre galaxias

y poder mantener la idea de un universo estatico.

Newton tambien introdujo la idea de que el numero de cuerpos celestes y de

estrellas deberıa ser finito, de otra manera cada cuerpo en el universo recibirıa un

fuerza de atraccion gravitacional infinita. Para los que saben del asunto, esto sugiere

ya una primera exposicion de la famosa paradoja de Olbers, (Wilhem Olbers, 1758–

1840), aunque con argumentos gravitacionales en lugar de argumentos en terminos de

luminosidad. Olbers argumento, correctamente, que la luminosidad de una estrella

disminuye con el cuadrado de la distancia a esta. Pero, el numero de estrellas en

6 La expansion del universo

una capa esferica con centro en un observador, debera crecer con el cuadrado del

radio de la capa, si es que el universo es homogeneo e isotropico, de tal manera que

se compensa exactamente la perdida de luminosidad que cada estrella tiene como

funcion de la lejanıa con el observador; la cual disminuye, como ya hemos dicho, con

el cuadrado de la distancia. Si el numero de estrellas es infinito, entonces tendremos

que la luminosidad de las estrellas en la noche deberıa ser, si bien no infinita, sı igual

a la luminosidad de la capa de estrellas mas cercana a la tierra; es decir, igual en

realidad a la luminosidad del sol. Algo que no ocurre segun podremos comprobar

con facilidad hoy en la noche. Claro, la paradoja de Olbers no toma en cuenta que

las estrellas tienen una vida finita y que la velocidad de la luz no es infinita, de tal

manera que estrellas muy lejanas quizas no vivan los suficiente para poder verlas

desde la tierra.

r

dr

Fig.2 LA PARADOJA DE OLBERS.

El numero de estrellas en la capa de ancho dr crece con el cuadrado de la distancia r, que aparece

en la figura, pero la luminosidad de cada estrella disminuye precisamente con el cuadrado de la distancia

mencionada, compensando la perdida.

Otros elementos que deben ser tomados en cuenta es que existe en el universo

material absorbente de luz, como pueden ser las nubes de hidrogeno que se en-

cuentran dispersas por el universo y que puede absorber al menos una parte de la

radiacion. Otro punto es que, en realidad, el universo no ha existido siempre (bueno,

eso creemos), de tal manera que aquellas estrellas que se encuentren a distancias que

requieran a la luz mas tiempo que la edad del universo para recorrerlas, pues no las

podremos ver... Los cientıficos piensan que la edad del universo se situa entre los

10,000 y 15,000 millones de anos, ası que no podemos recibir la luz de estrellas que

se encuentren a mas de 15,000 millones de anos luz.

El descubrimiento de Hubble 7

III El descubrimiento de Hubble

Los siguientes doscientos ano se desarrollaron bajo el marco teorico de las leyes

de la mecanica de Newton y de su teorıa de la gravitacion universal. Un logro

impresionante para un solo cientıfico. A Newton tambien le debemos el desarrollo

del telescopio de reflexion (de luz, claro). William Herschel (1738-1822) construyo

el primer telescopio de tipo newtoniano casi cien anos despues y lo uso junto con su

hijo para obervar la Vıa Lactea y realizar un mapa de las estrellas mas relevantes

de esta. En 1785 concluyeron correctamente que la Vıa Lactea es un disco de

estrellas, pero pusieron erroneamente al sol en el centro. Un error que hoy en dıa

se antoja tremendamente ingenuo. Herschel, junto con su hijo, hizo tambien otros

descubrimientos notables. Descubrio al planeta Urano, estudio unas 700 estrellas

binarias, lo que le permitio concluir la validez de la teorıa de la gravitacion universal

de Newton.

Sin embargo, al empezar el siglo XX, dos avances cientıficos vinieron a modificar

sustancialmente la imagen que se tenıa del cosmos. Estos dos avances son la teorıa

general de la relatividad de Albert Einstein y el descubrimiento por parte Edwin P.

Hubble (1889-1953) de la expansion del universo.

El primer avance, la teorıa de la relatividad general de Einstein, ha resultado

una de esas pocas teorıas fısicas que ha soportado muy bien el avance cientıfico sin

tener que cambiar un apice. Es tambien una teorıa que nacio con pocas pruebas

experimentales y que Einstein formulo usando solamente algunos cuantos principios

basicos, como el principio de equivalencia, es decir que los efectos de la gravedad

no se pueden distinguir de los que se obervan en un sistema acelerado con la misma

magnitud de aceleracion que la aceleracion de la gravedad, aunque este principio solo

vale localmente, es decir, para objetos pequenos. Otro de los principios basicos es

que en el lımite de gravedad debil y velocidades bajas se debe reproducir la gravedad

clasica de Newton.

El segundo avance de primer orden de importancia en la comprension del cosmos

es el descubrimiento de la expansion del universo, y fue desarrollado con muy pocos

datos observacionales. En 1924, Hubble midio la distancia a 9 galaxias espirales que

eran realtivamente bien conocidas. Una de ellas, la mas cercana, fue M31, la galaxia

de Andromeda que esta a unos 20 diametros galacticos. En la epoca de Hubble

se creıa que estaba a unos 8 diametros. Hubble continuo midiendo la distancia de

otras 9 galaxias espirales hasta completar 18 mediciones. Con solamente los datos

de estas 18 galaxias, Hubble encontro que, en promedio, entre mas lejana fuera una

galaxia, mas rapido se aleja de nosotros, con una ley lineal. Si la distancia desde la

tierra a la galaxia es r, entonces la velocidad v con la que se aleja esta dada por

8 La expansion del universo

v = Hor, (2)

donde Ho es una constante llamada constante de Hubble. Esta ley es ahora conocida

con el nombre de ley de Hubble. Hubble en realidad pensaba que la ley de crecimiento

de las velocidades con la distancia que habıa encontrado no era probablemente lineal,

sino alguna funcion mas compleja. Sin embargo, aunque se sabe que en la etapa

temprana el valor de Ho era diferente al valor actual, (es decir, Ho es funcion del

tiempo), no se han encontrado desviaciones significativas a la linealidad como funcion

de la distancia en las decenas de miles de galaxias y nebulosas y demas cuerpos

estelares de los que los astronomos conocen con bastante precision las posiciones y

velocidades, aunque no se descarta totalmente la posibilidad.

La manera en la que los astronomos han podido establecer la ley de Hubble

es mediante el estudio del corrimiento al rojo de la luz que llega de las galaxias.

Este efecto, conocido como efecto Doppler es comun a cualquier fuente de ondas en

movimiento y en el caso particular de las ondas sonoras lo podemos escuchar, (al

principio yo no podıa), en las ambulancias cuando se acercan con la sirena prendida.

Podemos escuchar que si la ambulancia se acerca, la sirena da un tono mas agudo,

y si se aleja da un tono mas grave. En particular, es curioso escucharla cuando pasa

junto a nosotros, porque primero se acerca y luego se aleja, dandole al sonido ese

aspecto tan especial que se oye en las ambulancias.

Puesto que sabemos que la velocidad de cuerpos lejanos en el cosmos, como

por ejemplo una galaxia, crece con la distancia de una manera lineal, podemos

relacionar la expansion del universo con el efecto Doppler que mencionamos. En

efecto, supongamos que establecemos una medida arbitraria como nuestro factor

de escala. Pensemos en distancias grandes, del orden de distancia al cual ya tiene

sentido hablar de homogeneidad e isotropıa del universo, por ejemplo la distancia

al cumulo de galaxias de la cabellera de Berenice, distante unos 100 Megaparsecs,

(1 parsec ∼ 3 anos luz). Llamemos S(t) a este factor de escala escogido de una

manera arbitraria y que depende del tiempo explıcitamente, puesto que el universo

esta en expansion. Llamemos So(t) al valor de este factor en el presente. Ahora

bien, puesto que a medida que un objeto lejano se aleja cada vez mas rapido de

nosotros siguiendo una ley lineal, entonces el crecimiento de la longitud de onda de

la luz emitida por un objeto luminoso lejano, llamemosla λ tambien se incrementara

de una manera lineal con el tiempo. Es decir, la longitud de onda λ crece de la

misma manera que cualquier otro factor de escala que hayamos escogido y tendra

El descubrimiento de Hubble 9

entonces una dependencia en el tiempo como ocurre con el factor de escala S(t).

de tal manera que podremos poner para todo tiempo t 6= to.

λo

So=

λ(t)

S(t)(3)

Ahora bien, la funcion S(t) nos es desconocida, pero sabemos que la expansion

parece seguir una ley simplemente lineal. Ası que, si desarrollamos a S(t) en serie

de Taylor alrededor de los valores actuales tendremos que

S(t) = So + S(to)(t − to) + · · · = So − S(to)(to − t) + · · · (4)

Para fijar ideas supongamos que t < to o lo que es lo mismo que S(t) < S(to),

puesto que el universo esta en expansion actualmente. Sin embargo, en esta ex-

pansion solamente necesitamos quedarnos hasta el primer termino lineal, ya que

estamos estudiando una ley lineal, la ley de Hubble. Los experimentales suelen

medir los corrimientos en la longitud de onda de la luz emitida por los objetos

estelares usando el porcentaje de corrimiento z que es igual a

z ≡ λo − λ(t)

λ(t)=

λo

λ(t)− 1 =

So

S(t)− 1 (5)

Ahora sustituyamos el desarrollo de Taylor que tenemos en la ecuacion (4)

quedandonos solamente con el primer termino. Para esto tenemos que

So

S(t)=

[

1 − So

So(to − t)

]−1

≈ 1 +So

So(to − t) (6)

El frente de luz proveniente de las estrellas que se encuentran a una distancia r

tarda un tiempo (to − t) = r/c. Este ultimo resultado nos permite poner entonces

para z

z ≈ So

So(to − t) =

So

So

r

c. (7)

Acabamos entonces por encontrar una expresion que relaciona la expansion del uni-

verso con el corrimiento, de hecho al rojo, de la luz proveniente de estrellas que se

encuentran a una distancia r de nosotros.

Para continuar, lo que tenemos que hacer es comparar este ultimo resultado

con las ecuaciones para el efecto Doppler que se encuentran en los libros de fısica.

Mejor aun, como una pequena ilustracion, daremos una derivacion (clasica) del

10 La expansion del universo

efecto Doppler. Supongamos que tenemos una fuente que se aleja de un observador.

En la figura 3 ilustramos esta situacion. Llamemos ahora T al perıodo, es decir T

es tiempo en que la luz realiza una oscilacion completa. Si la longitud de onda es,

digamos λ, entonces tendremos que λν = c, en donde ν = 1/T es la frecuencia

del rayo de luz y c su velocidad.

Ahora bien, si la fuente se aleja del observador a una velocidad v, entonces

tendremos que el frente de onda debera llegar un poco depues que en el caso en el

que la fuente no se moviera, al menos pensando clasicamente. Ası que entonces, la

longitud de onda que mide el observador, llamemosla λ′, ya no es la longitud de

onda original λ sino que se le debe agregar distancia que recorre la fuente en el

tiempo T. O sea

λ′ =c

ν+ (distancia extra recorrida por la fuente en el tiempo T ), (8)

Pero la distancia que recorre la fuente en el tiempo T es v/ν ası que entonces

tenemos

λ′ =c

ν+

v

ν= λ +

v

ν(9)

Lámpara Observador

v

∆v tT

Fig.3 EFECTO DOPPLER.

La lampara se mueve con velocidad v alejandose o acercandose del observador. Como consecuencia la

longitud de onda de la luz emitida por la fuente en movimiento se alarga o se acorta, respectivamente.

El porcentaje de corrimiento z = (λ′ − λ)/λ′ que mide el observador se puede

poner como

z =(λ′ − λ)

λ=

v

c(10)

Estrictamente hablando, la derivacion anterior es clasica y no toma en cuenta el

comportamiento relativista asociado a la luz, de tal manera que no podemos usar

La expansion del universo Newtoniano 11

los argumentos aquı empleados para su deduccion. Sin embargo, el desarrollo y el

resultado, ademas de ser correcto clasicamente, coincide con los calculos relativistas

cuando estos se aproximan al lımite no relativista. Como nos vamos a restringir

en este pequeno escrito al caso no relativista, nos daremos por bien servidos con

nuestros resultados.

Si regresemos a la ley de Hubble, v = Hor (Ec. (2)), vemos que el porcentaje

de corrimiento se puede poner a primer orden simplemente como

z = Hor

c(11)

Comparando con el resultado que relaciona el corrimiento z debido a la expansion

del universo, Ec. (7), con el resultado que viene de esta ultima ecuacion vemos que

Ho =So

So(12)

Por la naturaleza misma del metodo que empleamos en la deduccion de este

resultado, parece claro que la ley de Hubble no es nada mas una ley lineal. De hecho,

en el desarrollo de Taylor, Ec. (4) podemos retener el termino siguiente al lineal

y quizas retener tambien el segundo orden en el efecto Doppler relativista (aunque

este calculo no lo presentamos aquı). Sin embargo, en general no existen todavıa

mediciones astronomicas suficientemente confiables para necesitar un termino de

segundo orden o incluso de orden superior y podemos perfectamente conformarnos

con el termino lineal.

IV La expansion del universo Newtoniano

Sabemos entonces que un conglomerado de galaxias recibe una atraccion gra-

vitacional que trata de juntarlas a todas en un mismo punto. Pero tambien sabemos

que las galaxias se mueven de tal manera que ellas resienten dos efectos competitivos

entre sı. Por un lado la fuerza gravitacional y por el otro la energıa cinetica asociada

a su movimiento. En cosmologıa, un punto importante es saber si ambos factores

van a detener la expansion del universo o no.

Para analizar este punto consideremos una esfera de radio r que englobe un

gran numero de galaxias, digamos mas de cien, con centro en nuestro sol, por ejem-

plo. Tomemos ahora una galaxia de masa mG justo en la frontera de la esfera,

como se ve en la figura. Tomemos la densidad promedio de masa dentro de la

esfera ρ, de tal manera que la masa total dentro de ella es M = 4πGρr3/3.

12 La expansion del universo

Donde G = 6.672 X 10−11m3/Kg s2 = 6.672 X 10−8cm3/g s2 es la constante de

gravitacion universal. La energıa potencial debe ser entonces

U = −GMmG

r= −4π

3Gmgρr2 (13)

r

mG.

Fig.4 Una galaxia de masa mG a una distancia r del sol, siente la atraccion gravitacional de todas

las galaxias que se encuentran dentro de una esfera de radio r .

Por otro lado, la energıa cinetica de la galaxia (masa mG ) esta dada por

T =1

2mGp2 (14)

en donde el momento se puede poner como p = mGv = mGrHo, al usar la ley de

Hubble. Esto nos permite escribir la ecuacion anterior como

T =1

2mGH2

or2 (15)

Podemos entonces calcular la energıa total de la galaxia que debe ser

E = T + U =1

2mGH2

or2 − 4π

3GmGρr2 = mGr2

(

1

2H2

o − 4π

3Gρ

)

(16)

La condicion para que la expansion del universo se detenga es cuando la ener-

gıa total es E ≤ 0 . Poniendo justamente en cero la energıa total, obtenemos la

condicion

ρc =3H2

o

8πG(17)

La expansion del universo Newtoniano 13

Si el valor de la densidad del universo es mayor que ρc, entonces la expansion

del universo se detendra, alcanzara un lımite maximo y luego se contraera. Este

universo se llama cerrado. Si es menor, entonces la expansion del universo nunca

se detendra, es el caso de un universo abierto. Si es justamente el caso limıtrofe en

donde ρ = ρc, entonces el universo detendra su exansion justamente en un radio

infinito. Este universo se llama plano.

A estas alturas puede parecer extrano el nombre de universo plano. El nombre

viene de la teorıa de la relatividad general de Albert Einstein. En la relatividad

general los rayos de luz no siguen lıneas rectas en general, sino que siguen trayecto-

ria curvadas por la presencia de campos gravitacionales, es decir, por la presencia

de materia. Este fenomeno fue demostrado desde el 29 de mayo de 1919 con obser-

vaciones de un eclipse realizadas por la Royal Astronomical Society en Sobral en el

norte de Brasil y por una segunda expedicion para el mismo eclipse en la Isla del

Prıncipe en el golfo de Guinea en el Africa occidental. La curvatura viene entonces

a ser una propiedad intrınseca del espacio, o mejor dicho del espacio-tiempo, ya que

en la relatividad tiempo y espacio son tratados en pie de igualdad. En ausencia de

gravedad, la curvatura del espacio-tiempo es cero y esto significa que los rayos de

luz siguen trayectorias rectas, y tambien significa que dos rectas paralelas nunca se

tocan. Es decir, que la geometrıa del espacio-tiempo cumple con los postulados de

la geometrıa Euclideana. Este espacio se llama de Minkowski

Es interesante notar que, si en lugar de usar la teorıa Newtoniana empleamos

la teorıa de la relatividad general de Einstein, entonces de nuevo podemos encontrar

una densidad crıtica constante para todo el universo. Mas interesante aun es que el

resultado relativista es precisamente el mismo que encontramos en nuestro analisis

newtoniano, (Ec. (17)). Una curiosidad que podemos mencionar tambien es que,

puesto que la gravedad Newtoniana no es compatible con las expresiones relativistas,

podemos intentar utilizar la expresion relativista para la energıa cinetica y desarrol-

larla en serie. Si uno se queda con el primer orden, encuentra exactamente lo que

pusimos aquı. Cuando hacemos un desarrollo en serie a segundo orden, tendremos

que anadir un termino de correccion al potencial gravitacional (Ec.(13)). Cuando

hacemos eso, entonces encontramos un termino repulsivo extra, que se suma a la ley

de fuerza del inverso con el cuadrado de la distancia, muy pequeno, pero que crece

linealmente con la distancia y eventualmente, a distancias grandes, es un termino

importante.

Aunque no lo demostramos, resulta que al usar las ecuaciones de Einstein se

puede probar que, en espacios homogeneos e isotropicos, la curvatura espacial es

cero cuando la densidad es precisamente la densidad crıtica ρ = ρc. Cuando la

14 La expansion del universo

densidad del universo es diferente de la densidad crıtica, entonces el espacio tiene

una curvatura intrınseca. Es interesante notar que las observaciones del telescopio

espacial Hubble muestran que la densidad de materia de nuestro universo es, dentro

del error observacional, igual a la densidad crıtica y que, por lo tanto, nuestro

universo es muy probalemente un universo espacialmente plano. Sin embargo es de

llamar la atencion que, cuando se busca la materia que debe existir hasta completar

la densidad crtica, solamente se ha podido encontrar un 5%. Regresaremos a este

problema mas adelante.

Sol

Tierra

Rayos de luz

Estrella

Posición real

Posición aparente

Fig.5 DESVIACION DE LA LUZ POR EFECTO GRAVITATORIO

La teorıa de relatividad general predice que los rayos de luz son desviados por la presencia de masas

gravitacionales. En la figura, la posicion aparente de una estrella se modifica cuando los rayos de luz

emtidas por esta son desviados al pasar cerca del sol. Este fenomeno fue demostrado desde el 29 de mayo

de 1919 con observaciones de un eclipse realizadas por la Royal Astronomical Society en Sobral en el

norte de Brasil y por una segunda expedicion para el mismo eclipse en la Isla del Prıncipe en el golfo de

Guinea en el Africa occidental.

La idea de que la geometrıa del espacio pudiese ser no Euclideana, no es origi-

naria de Einstein, como algunos piensan. Ya Carl Friedrich Gauss (1777-1855) habıa

pensado en la posibilidad de que la suma de los angulos internos de un triangulo no

fuese 180o y que hubiese alguna desviacion de la geometrıa Euclideana. Gauss in-

tento medir los angulos de un triangulo formado por tres montanas distantes. Claro

que no encontro nada especial, la precision de los instrumentos de la epoca no podıan

encontrar ninguna desviacion con respecto a la geometrıa Euclideana. En honor a

la verdad, si Gauss hubiese tenido instrumentos ultra precisos, sı hubiera podido

detectar una pequena desviacion a la geometrıa Euclideana; pero esta desviacion es

La expansion del universo Newtoniano 15

debida a la presencia de la masa de la tierra y no es una caracterıstica del universo

a gran escala. Ahora sabemos que, a gran escala, el universo es espacialmente plano

muy probablemente. En la siguiente seccion continuaremos con esta discusion y

presentaremos algunas ideas relacionadas con la teorıa de la relatividad general.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig.6 En una superficie curva los angulos internos de un triangulo no suman 180o. Einstein construyo

la teorıa de la Relatividad General basandose precisamente en la idea de que los efectos de la gravedad

tienen un origen geometrico y no, como hasta entonces se hacıa, un origen en fuerzas con un fondo de

geometrıa plana Euclideana.

Regresemos ahora a analizar la evolucion de S(t) en un universo en expansion

de acuerdo a las leyes de Newton. Como el universo se encuentra en expansion, en el

pasado debio haber sido mas chico. De hecho, si continuamos con este razonamiento

debemos concluir que, puesto que no es posible contraer mas alla de un punto al

universo, entonces este debio haber tenido un principio y por lo tanto debe tener

una edad finita. Por lo menos si la velocidad de expansion siempre ha sido finita.

Por supuesto, con lo poco expuesto aquı cabe la posibilidad de que la velocidad de

expansion del universo sea cada vez mas pequena a medida que nos alejamos en el

pasado e infinitamente pequena a medida que nos acercamos al origen del universo,

de tal manera que la edad del universo sea infinita. Pero Stephen Hawking mostro

en la decada de los sesenta del siglo pasado, que con cumplir con condiciones muy

generales, entre ellas que se cumplan las ecuaciones de la relatividad de Einstein, que

el universo sı tuvo, en efecto, un principio. Es decir, la velocidad de expansion del

16 La expansion del universo

universo siempre fue una cantidad finitay distinta de cero. De hecho, ya hablaremos

mas adelante de que las ultimas observaciones muestran algo muy raro: que no

solamente no es infinitesimalmente pequena la velocidad de expansion del universo,˙S(t), ¡sino que ademas es una funcion creciente!

Para continuar con nuestro estudio de la expansion del universo, notemos que

el radio r de la esfera que aparece en la figura 3, crece en la misma proporcion que

S(t) al expandirse el universo, por lo que el radio tambien depende del tiempo y

escribiremos a esta dependencia en el tiempo como r(t). Entonces si to representa

el tiempo actual medido a partir de que se creo el universo y t es un tiempo

diferente cualquiera, debemos tener r(t)/r(to) = S(t)/S(to). Para simplificar la

notacion pondremos de aquı en adelante S(to) = So y r(to) = ro. Si la masa del

universo es constante, entonces debemos tener

ρ(t)

ρo=

(

So

S(t)

)3

(18)

Entonces, como r(t) = (ro/So)S(t) y recordando que la masa M dentro de la

esfera es M = 4πGρr3/3, tenemos entonces por la segunda ley de Newton

r(t) =ro

SoS(t) = −GM

r2= −4π

3Gρ(t)r(t) (19)

De esta ultima ecuacion podemos despejar a S(t). Usando la Ec. (18) y eliminando

r(t), tenemos

S(t) = −So

ro

4π

3Gρ(t)r(t) = −4π

3GρoS

3o

1

S2(t)≡ − α

S2(t)(20)

en donde definimos

α ≡ 4π

3GρoS

3o (21)

Vamos ahora a integrar esta simple ecuacion. Como (1/2)dS2/dS = SdS/dS =

S(dS/dt)(dt/dS) = S, entonces

1

2

dS2

dS= − α

S2(22)

Es decir dS2 = −(2α/S2)dS, lo que nos permite integrar, con t < to

∫ to

t

dS2 = −2α

∫ So

S

dS

S2(23)

La expansion del universo Newtoniano 17

Que al integrar da entonces

S2o − S2 = 2α

(

S−1o − S−1

)

(24)

Este ultimo resultado nos va a permitir analizar la evolucion del universo en funcion

de la densidad de materia. Sin embargo todavıa necesitamos hacer algunos ajustes

a nuestro resultado y escribirlo de una manera un poco mas apropiada a nuestro

proposito. Para ello recordemos que hemos definido en la Ec. (17) a la densidad

crıtica, aquella que divide a un universo cerrado de uno abierto y que define precisa-

mente al caso de un universo plano como ρc = (3/8π)(H2o/G) . Es muy frecuente

usar la cantidad Ωo en lugar de la densidad crıtica definida como

Ωo =ρo

ρc=

ρo8πG

3H2o

(25)

Este parametro solamente depende de cantidades evaluadas en el presente y es pre-

cisamente 1 si el universo es plano.

Como ya hemos dicho, las recientes observaciones realizadas por el telescopio

espacial Hubble apuntan a que su valor en el universo actual es compatible con el

de un universo plano. Vamos a usar este parametro para calcular el valor de α.

Entonces, de Ec. (24) y (21) tenemos que

α = (4/3)πGρoS3o = (4/3)πGS3

o

(

3H2oΩo

8πG

)

=1

2S3

oH2oΩo (26)

Aun vamos a necesitar algunas manipulaciones mas para llegar a donde quere-

mos. Recordemos que Ho = So/So, entonces de Ec. (24)

S2 = S2o − 2α

(

S−1o − S−1

)

= H2oS2

o − S3oH2

oΩo

(

S−1o − S−1

)

= S2oH2

o

(

1 − Ωo +ΩoSo

S

)

(27)

Notemos que S2 > 0, por lo que la cantidad que esta entre parentesis en la ecuacion

de arriba es siempre positiva:

1 − Ωo +ΩoSo

S≥ 0 (28)

Aunque ya sabemos por las observaciones del telescopio espacial Hubble que

Ωo = 1, nos sera de gran utilidad para la comprension de nuestras ecuaciones que

discutamos que es lo que ocurre cuando Ωo > 1 o cuando Ωo < 1.

18 La expansion del universo

a) Supongamos que Ωo < 1. Como estamos en un universo en expansion,

entonces S(t) debe ser una funcion creciente del tiempo, es decir, S(t) se hace

mas grande que S(to) cuando t > to. Aunque ΩoSo/S(t) decrece a medida que

pasa el tiempo, la desigualdad (28) se cumple porque Ωo es menor que 1, entonces

1−Ωo es siempre positivo y por lo tanto 1−Ωo +ΩoSo/S tambien . Esto significa

que S nunca pasa por cero. En otras palabras, el universo siempre crece y se

expande “por toda la eternidad”.

b) Tomemos ahora el caso en que Ωo = 1. Este es, precisamente, el caso de un

universo plano y la Ec. (28) resulta ser muy sencilla

1 − Ωo +ΩoSo

S(t)=

ΩoSo

S(t)≥ 0 (29)

De nuevo, como vivimos en un universo en expansion, S(t) ≥ 0. La Ec. (27) es

tambien muy sencilla y la podemos integrar. Tenemos

S2 = S2oH2

o

(

So

S

)

=S3

oH2o

S(t)(30)

Como todas las cantidades involucradas en la ecuacion de arriba son positivas, pode-

mos, impunemente, sacar la raız cuadrada para escribir que ˙S(t) = S3/2o HoS

−1/2

o lo que es lo mismo, al poner las cosas de manera integral

∫ S

So

S1/2dS = S3/2o Ho

∫ t

to

dt (31)

La integracion es muy simple y da que

3

2

(

S3/2 − S3/2o

)

= S3/2o Ho(t − to) (32)

o lo que es lo mismo

S(t) =

[

S3/2o +

2

3S3/2

o Ho(t − to)

]2/3

(33)

De nuevo vemos que como en el caso anterior, S(t) es una funcion creciente del

tiempo que se va a infinito cuando el tiempo tambien va a infinito, aunque en

este caso, justamente, se tiene un caso fronterizo entre un universo que siempre se

expande y otro, en el cual la expansion llega a un lımite para decrecer de nuevo, que

es el caso que vamos a discutir a continuacion.

c) Tomemos ahora el caso en que Ωo > 1. Como 1 − Ωo es en este caso

negativa, entonces tenemos que en la ecuacion (28) hay dos tendencias que compiten

La expansion del universo Newtoniano 19

entre sı. Por un lado 1 − Ωo es negativo, pero por otro 1 − Ωo + ΩoSo/S ≥ 0.

Entonces, en un universo en expansion, S(t) es cada vez mas grande a medida

que pasa el tiempo hasta que se cumple la igualdad en la ecuacion (28), lo que da

un valor maximo tmax permitido para la edad del unverso y un tamano maximo,

llamemosle Smax(t) :

1 − Ωo +ΩoSo

Smax(tmax)= 0 (34)

De aquı podemos entonces despejar el valor de Smax. Usando tambien la Ec. (25)

para eliminar Ωo en la ecuacion de arriba, finalmente obtenemos que

Smax(tmax) =ΩoSo

Ωo − 1=

8πGρoSo

8πGρo − 3H2o

(35)

El tiempo de vida del universo es entonces 2tmax.oSoS o + 1

So Smax So > 1 o = 1o < 11 oFig.7 COMPORTAMIENTO DE LA FRACCION 1 − Ωo + ΩoSo/S.

En la grafica de arriba se reproduce el comportamiento de S(t) de acuerdo a tres escenarios posibles.

Cuando Ωo < 1 el universo se expande por siempre, y S(t) crece indefinidamente. La cantidad

1−Ωo + ΩoSo/S se acerca, en este caso, asintoticamente a 1−Ωo . Cuando Ωo = 1, entonces

S(t) crece indefinidamente, pero 1 − Ωo + ΩoSo/S se acerca asintoticamente a cero. Cuando

Ωo > 1, entonces el universo es cerrado y existe un radio maximo Smax de expansion del universo.

20 La expansion del universo

Sin embargo, las observaciones hechas por los astronomos no solamente con-

tradicen esta tercera opcion, sino que pareciera que el universo no se adapta a

ninguna de las tres opciones descritas arriba. Primero el universo es plano y por lo

tanto Ωo = 1, pero la cantidad de materia que se observa en el universo es muy

pequena, a lo mas del ∼ 5%, de la que se necesita para obtener un universo plano.

Pero la situacion es aun mas complicada, las observaciones recientes no solamente

muestran al universo en expansion, sino que la expansion se encuentra acelerada, lo

cual sı esta completamente en contradiccion con lo que se espera de un universo con

gravedad atractiva, pareciera que en algun momento, a grandes distancias, aparece

un fuerza repulsiva que repele a la materia entre sı.

V La constante de Hubble y la edad del universo

Pero dejemos por ahora las consideraciones anteriores y concentremonos en la

expansion del universo. ¿Pueden nuestras sencillas ecuaciones describir esta ex-

pansion? Bueno, aunque en realidad la respuesta es mas bien que no, sı resulta

sorprendente que un buen numero de preguntas pueden ser resueltas con nuestras

sencillas ecuaciones. Una de las razones por la cual ocurre ası es que las ecuaciones

de la relatividad general se reducen a la Ec. (24) para el caso de un universo ho-

mogeneo, isotropico, y plano. Esencialmente, lo que las ecuaciones de la relatividad

general o ecuaciones de Einstein, como son llamadas tambien, predicen que

S2

S2=

8πGρ

3(36)

para un universo espacialmente plano.

En el caso de que haya una curvatura, entonces su existencia debe ser tomada en

cuenta, algo que la cosmologıa Newtoniana no puede explicar. Gauss descubrio un

invariante para superficies curvas en dos dimensiones, la llamada curvatura gauss-

iana, que es una cantidad similar a la cantidad que aparece en las ecuaciones de

Einstein, solo que en el caso de las ecuaciones de Einstein la curvatura esta definida

para espacios de cuatro dimensiones y se llama curvatura de Riemann. Aunque

es posible dar una definicion independiente del sistema de coordenadas, es mucho

mas facil pensar en un sistema de coordenadas ortogonal. Para una curvatura dada

con centro en C, medimos el radio desde un centro en la direccion X y en la

direccion Y, dejando que subtienda un pequeno arco de longitud s en un punto

dado (xo, yo), como se ve en la figura (8). Por ejemplo para una esfera Rx y Ry

La constante de Hubble y la edad del universo 21

serıan iguales Rx = Ry y luego hacemos que s → 0. La curvatura k se define

entonces como

k =1

RxRy(37)

Notemos que con esta definicion, la curvatura de un cilindro de radio r, por ejemplo,

tiene curvatura cero, porque si medimos el radio en la direccion perpendicular a su

eje obtenemos para su recıproco 1/r, pero si medimos el radio en cambio en la

direccion paralela a su eje obtenemos para su recıproco ∞ . El producto de las dos

cantidades da cero. Rx(xo) Ry(yo)(xo; yo)C s

s

Fig.8 CURVATURA GAUSSIANA DE UNA ESFERA

La curvatura gaussiana es el unico invariante que se puede definir para una superficie de 2 dimensiones.

Aunque no es necesario, se puede definir calculando el radio que subtiende un pequeno arco en dos

direcciones ortogonales y entre sı tomar el lımite cuando s → 0 .

La relatividad general predice entonces que, si incluimos la curvatura en las

ecuaciones entonces la ecuacion anterior queda, para un universo homogeneo e

isotropico como

S2 + kc2

S2=

8πGρ

3(38)

Existe ademas una segunda ecuacion que relaciona a la presion con el factor S(t)

y con la curvatura, sin embargo nosotros no emplearemos esta segunda ecuacion.

Ambas ecuaciones se conocen con el nombre de Ecuaciones de Friedman, por el ruso

Alexandr Friedman (1888-1925) quien las dedujo siete anos antes del descubrimiento

22 La expansion del universo

de Hubble de la expansion del universo. Es bastante interesante notar que las

ecuaciones de Newton son ya muy parecidas a las ecuaciones de Friedman, a pesar

de ser mucho mas viejas.

Pero regresemos entonces a la ecuacion newtoniana de balance de la energıa,

ecuacion (16). Si tomamos la energıa de una galaxia tipica de masa mG y a una

distancia r(t) de la tierra, sabemos por la ley de la conservacion de la energıa que

E = mG

[

r2(t)1

2H2(t) − r2(t)

4

3πGρ(t)

]

= constante (39)

Retrocedamos ahora en el tiempo y tomemos el escenario cuando r(t) → 0. Como

la materia se conserva, entonces ρ(t) debe aumentar como 1/r3(t), o lo que es lo

mismo, el termino ρ(t)r2(t) que aparece en el lado derecho de la ecuacion anterior,

debe crecer como 1/r(t) cuando el tiempo se acerca a cero. Pero la energıa debe

conservarse. La unica manera de evitar que la energıa se vaya a infinito es entonces

que el termino (1/2)r2(t)H2(t) compense el crecimiento de ρ(t)r2(t). Es decir,

debemos tener que

1

2H2(t) −→

t→0

4

3πGρ(t) (40)

O sea que hemos encontrado una expresion para la constante de Hubble.

Si la constante de Hubble fuese realmente constante, el inverso de ella serıa la

edad del universo. No es ası, entre otras cosas, porque, sobre todo al principio del

universo, la constante de Hubble tenıa un valor diferente al actual. Sin embargo,

creen los cientıficos que el comportamiento de la constante de Hubble no ha tenido

una variacion importante pasado los primeros tiempos de vida del universo y su

comportamiento se parece cualitativamente, a la grafica 9 .Ho(t)t

Fig.9 La constante de Hubble en funcion del tiempo

La constante de Hubble y la edad del universo 23

Aun ası es interesante el recıproco de la constante de Hubble, por lo que le daremos

un nombre: tiempo de expansion y lo pondremos como texp.

texp ≡ 1

Ho(t)=

√

3

8πρ(t)G(41)

Para conocer la edad del universo en funcion de la densidad de materia, que

es una cantidad que se puede medir, imaginemos que retrocedemos en el tiempo.

Lo que ocurre es que la densidad de materia aumenta a medida que nos vamos

al pasado. Es mas, la temperatura promedio de las partıculas que forman parte

del universo tiene que aumentar tambien. Las interacciones entre las diferentes

partıculas que componen la materia del universo son cada vez mas frecuentes. La

energıa termica promedio por partıcula es tambien cada vez mas alta a medida

que retrocedemos en el tiempo. Esta energıa, eventualmente, alcanza el valor de

disociacion de los diferentes elementos que componen una molecula. Es decir, la

energıa termica promedio es del orden de la energıa quımica de asociacion de los

diferentes elementos de la molecula. Si retrocedemos aun mas en el tiempo, la

energıa sera mas grande, del orden de la energıa necesaria para arrancar a todos los

electrones de un atomo. Las moleculas ya no existen, porque en el momento que

se forma una, los choques con las demas partıculas la destruye. Continuando con

este proceso, encontramos que los atomos a su vez tambien se destruyen quedando

solamente protones, neutrones, electrones, sus antipartıculas y radiacion, es decir,

fotones principalmente.

A medida que retrocedemos mas en el tiempo, inclusive los protones y neutrones

dejan de existir y aparece un sopa de cuarks. No sabemos que pasa si seguimos mas

atras en el tiempo, pero sabemos que eventualmente toda nuestra fısica deja de

tener sentido a la escala de Planck. Esta escala es una cantidad basica y se forma

con las unidades h, c, y G. ¿Porque? Porque si tuvieramos una teorıa que

pudiese unificar a la gravedad, a la teorıa cuantica y a la relatividad, usarıa a esas

constantes como constantes basicas. Lo que hacemos es juntar las tres constantes

y, por analisis dimensional, formar una cantidad que tenga unidades de tiempo,

para formar el tiempo de Planck. El orden de magnitud encontrado es el orden de

magnitud en el cual la teorıa, que aun no conocemos, empieza a trabajar. Podemos

hacer lo mismo para obtener una energıa de Planck o una distancia de Planck. Para

el tiempo de Planck tp encontramos que

tp =

√

hG

c5= 5.31 X10−44seg. (42)

24 La expansion del universo

No es una cantidad muy grande, pero antes de ese tiempo no tenemos mucha idea

de que es lo que paso en el universo. Una posibilidad es que precisamente en esa

epoca se formaron las leyes de la fısica y el valor de las constantes fundamentales

como son la velocidad de la luz c, o la constante de Planck h, formando de una

manera definitiva al universo.

Como quiera que sea, para tiempos suficientemente remotos pero superiores

al tiempo de Planck, la densidad de materia y radiacion era tan grande, que los

fotones chocaban y se dispersaban continuamente con la materia a su alrededor. La

materia formaba entonces en estas condiciones una barrera de la que ni siquiera

los fotones podıan escapar. Es la llamada era de la radiacion. Solamente, despues

de que la densidad promedio en el universo disminuyo lo suficiente, el universo

se hizo transaparente al paso de la radiacion y la energıa termica promedio por

partıcula disminuyo a un nivel menor al de las uniones quımicas, entonces tenemos

la formacion de materia. Es la llamada era de la materia.

Pasemos a analizar con un poco mas de detalle cada era. Durante la era de la

radiacion, la energıa promedio por foton era lo suficientemente grande como para

acabar con cualquier intento de formar nucleos de atomos mas pesados que el del

Hidrogeno. En el momento en que se formase un nucleo pesado, inmediatamente

los fotones lo destruıan sin compasion. Solamente un poco de nucleos de Helio sı se

pudieron formar, de tal manera que, esencialmente, solamente se formaron estos dos

elementos durante el inicio del universo. El resto de los elementos se formo en las

llamadas supernovas por procesos nucleares ocurridos en una epoca muy posterior.

Las observaciones del telescopio espacial Hubble muestran con claridad que las

diferentes partes del universo se encuentran en equilibrio termico aunque ya no esten

en contacto entre sı. Es precisamente este hecho, de que la materia que compone

el universo este en equilibrio termico, el que sugiere fuertemente que algun dıa

estuvieron en contacto entre sı. De ser ası, entonces podemos tratar al universo en

la era de la radiacion como un gas de fotones, que son las partıculas que aparecen

mayoritariamente en el universo. Las demas partıculas son rapidamente destruıdas

por la radiacion.

Debemos sin embargo senalar que esto no es del todo cierto. Existe ademas

otra partıcula que debio haber jugado un papel muy importante: el neutrino, el cual

existe en tres formas diferentes o “sabores”, como se les conoce en la imaginativa

jerga de los especialistas. Estos tres sabores son el neutrino del electron “ νe ”, el

neutrino del muon “ νµ ” y el neutrino del tau “ ντ ”. El muon y el tau son unas

partıculas muy parecidas al electron aunque mucho mas pesadas. A los tres tipos

La constante de Hubble y la edad del universo 25

de neutrinos y al electron, muon y tau se les llama leptones, que viene del griego y

quiere decir ligero.

El neutrino tiene una masa muy pequena (hasta hace unos veinte anos se pen-

saba que era cero) y puede cambiar durante su vuelo a cualquiera de las tres formas

en las que puede existir, fenomeno que se ha llamado oscilacion. El punto es que

el neutrino interacciona muy debilmente con la materia, aunque en tiempos muy

remotos, se piensa, interaccionaba fuertemente con la materia, actuando como una

especie de friccion entre las diferentes partes del universo, pero al mismo tiempo

perdiendo muy rapidamente su capacidad de interaccionar a medida que el universo

se fue enfriando. Ası las cosas, supondremos que estamos ya en un epoca en la cual

los neutrinos no juegan un papel tan importante.

En la tabla que sigue (tabla (1)), anotamos los valores de las masas de estas

tres partıculas, conocidas como leptones, y el valor de su carga en terminos de la

carga del electron.

Partıcula Electron e Muon µ Tau τ

masa (Mev) 0.511 105.7 1784

carga -e -e -e

neutrino νe νµ ντ

masa (Mev) < 10−5 < 0.27 < 30

Tabla1 MASAS DE LOS TRES LEPTONES Y SUS NEUTRINOS

Existen tres tipos de partıculas o sabores similares al electron, sin estructura interna. Se llaman leptones

y tienen asociado a cada sabor una partıcula sin carga llamada neutrino. Ası, para el electron existe el

neutrino electronico νe, para el muon el neutrino νµ, y para el tau el neutrino del tau ντ .

Como quiera que sea, los neutrinos son partıculas casi sin masa que se com-

portan de una manera parecida a los fotones para el punto de vista que estamos

analizando. Esto quiere decir que podemos considerar a la radiacion en estas tem-

pranas etapas como descrita por un gas de fotones en equilibrio termico a muy alta

temperatura. Sabemos como trabajar en estos caso gracias a los trabajos de Josef

Stefan (1835-1893) y de Ludwig Boltzmann (1844-1906), quienes descubrieron la

famosa (entre los fısicos) formula de radiacion llamada ley de Stefan-Boltzmann.

Esta ley nos dice que la energıa u por unidad de volumen sigue una ley a la cuarta

potencia de la temperatura

u =8π5

15(hc)3(kT )4 = 7.56464X10−5 [To(K)]4erg/cm

3(43)

26 La expansion del universo

La ley de Stefan-Boltzmann se puede deducir de la ecuacion de cuerpo negro descu-

bierta por Planck en 1900 y es, en realidad, una consecuencia directa de ella.

Como la densidad de energıa u y de materia ρ se relacionan directamente

mediante u/c2 = ρ, podemos concluir que ρ(t) ∼ T 4. Pero la temperatura dismi-

nuye como 1/R(t) puesto que el universo se comporta como un gas en expansion.

Ası que entonces

ρ(t) ∼ 1

R4(t)(44.a)

para la era de la radiacion, en tanto que para la era de la materia, suponiendo que

se conserva la materia en el universo, (4π/3)ρ(t)R3(t) = constante, y por lo tanto

debemos tener que

ρ(t) ∼ 1

R3(t)(44.b)

o lo que es lo mismo

ρ(t) ∼ 1

Rn(t); n =

3 Para la era de la materia

4 Para la era de la radiacion

(44.c)

Por la ecuacion (40) sabemos que H(t) ∼ ρ(t)1/2. O sea que entonces tenemos

simplemente

H(t) ∼[

1

R(t)

]n/2

(45)

Esta ultima ecuacion nos va a permitir encontra una formula para calcular la edad del

universo en terminos de la densidad, que es una cantidad que podemos en principio

medir.

Tomemos una galaxia tıpica. Por la ley de Hubble v(t) = H(t)R(t), donde

v(t) es su velocidad y R(t) es la distancia a la que se encuentra desde la tierra.

Por la ecuacion (45) sabemos ademas que v(t) = H(t)R(t) ∼ [R(t)]1−n/2, ası que

pondremos que v(t) ≡ K[R(t)]1−n/2, en donde K es una constante. Por lo que

dR(t)

dt= KR(t)1−n/2 ⇒ dR

R(t)1−n/2= Kdt (46)

y es muy sencillo integrar esta ecuacion. Integrando desde t1 a t2, tenemos que

(t1 − t2)K =2

n

[

R(t1)n/2 − R(t2)

n/2]

(47)

La constante de Hubble y la edad del universo 27

Pero la constante K es muy facil de evaluar, porque notemos que

K = v(t)/R(t)1−n/2 = v(t1)R(t1)n/2−1 = v(t2)R(t2)

n/2−1 (48.a)

o sea

t1 − t2 =2

n

[

R(t1)

v(t1)− R(t2)

v(t2)

]

=2

n

[

1

H(t1)− 1

H(t2)

]

(48.b)

Finalmente, como sabemos por la ecuacion (40) que H(t) = [(8/3)πρ(t)G]1/2,

obtenemos una expresion para la edad del universo en funcion de la densidad prome-

dio de materia (o energıa)

t1 − t2 =2

n

√

3

8πG

[

1√

ρ(t1)− 1

√

ρ(t2)

]

(48.c)

Podemos poner nuestras ecuaciones en funcion del tiempo de expansion del

universo texp. Ademas, como la densidad al principio del universo crece de una

manera arbitraria a medida que nos acercamos al origen del tiempo, es decir, ρ(t2) ∼∞ cuando t2 ∼ 0, lo que nos permite despreciar los terminos asociados a t2. La

expresion para la edad del universo es entonces muy simple

t =2

n

√

3

8πGρ(t)=

(1/2)texp Era de la radiacion

(2/3)texp Era de la materia(49)

Como una ilustracion, intentaremos calcular el tamano del universo cuando se

hizo transparente a la radiacion. Los cientıficos consideran que esto ocurrio aproxi-

madamente en la misma epoca en que termina la era de la radiacion y empieza la era

de la materia, cuando los electrones empiezan a ser atrapados por los protones que

se encuentran a su alrededor para formar atomos. Cuando ası ocurre, los fotones

pueden ser absorbidos por los orbitales de los atomos y reemitidos posteriormente.

Aunque no tenıa por que ser ası, puesto que despues de todo, existe materia que no

es transparente y viceversa, existen gases opacos, hay un consenso sobre este punto.

Hay que senalar que la mayor parte de la materia formada en la epoca que estamos

considerando eran gases de Hidrogeno y de Helio, que se mantienen transparentes

bajo condiciones muy amplias de presion y temperatura.

La energıa de ionizacion del hidrogeno, es decir la energıa necesaria para a-

rrancar un electron del nucleo de hidrogeno es de unos cuantos electron-voltios. El

valor estimado que tomaremos es e ∼ 0.26 eV. que corresponde a niveles altos de

28 La expansion del universo

ionizacion, es decir, cuando el nucleo de hidrogeno empieza a atrapar a los elec-

trones y formar atomos completos. Esta energıa corresponde a una tempeartura de

3000oK La manera de realizar el calculo de la temperatura proviene de la termo-

dinamica. Sabemos que por cada grado de libertad tenemos asociado una energıa

termica dado por E = (1/2)kT donde k es la constante de Boltzmann y vale

k = 0.00008617 eV./oK (Recordemos que 1 eV. = 1.6X 10−19 Joules). Como el

foton tiene dos polarizaciones independientes, esto significa que tiene dos grados de

libertad. En principio tiene tres, puesto que sabemos que el foton es una partıcula de

espın 1, pero uno de los grados de libertad debe ser observado cuando la partıcula

esta en reposo, algo que no es posible, por lo que solamente se manifiestan dos.

Entonces T = E/k = 1.6/0.00008617 = 3000(oK), como ya habıamos dicho.

Para continuar, pondremos a la ecuacion (43) en unidades de densidad de masa

en lugar de unidades de densidad de energıa. La conversion da

ρ = 1.22X10−32(T oK)4Kg/m3

= 1.22X10−35(T oK)4g/cm3

(50.a)

lo que da

t =1

2

√

3

8π(6.67X10−8cm3/ gm s2)(9.9X10−22gm/cm3)≈ 700, 000 anos (50.b)

VI Tres problemas sin resolver

La descripcion realizada hasta ahora, sin embargo, no puede resolver algunos

problemas que aun no tienen explicacion y que son bastante graves. El primero que

vamos a discutir es el llamado problema del horizonte. Fijemonos en la ecuacion

(48.c). En ella vemos que si tomamos una galaxia arbitraria a una distancia R(t)

de la tierra, tenemos que t ∼ ρ−(1/2), pero como ρ ∼ 1/Rn, entonces t ∼ Rn/2.

Es decir

R ∼ t2/n =

√t Era de la radiacion

t2/3 Era de la materia

(51)

Este resultado, sin embargo, presenta un problema serio. Ninguna senal puede

viajar mas rapido que la luz, por lo que si t representa la edad del universo,

no puede existir nada mas alla que ct, en donde c es la velocidad de la luz.

No al menos, que haya estado en contacto con nuestro universo. Como ninguna

Tres problemas sin resolver 29

senal originada en nuestro universo puede haber llegado mas lejos que el lımite

mencionado, a la distancia ct se le llama horizonte de eventos. Pues bien, el

horizonte siempre decrece linealmente, como ct, cuando retrocedemos en el tiempo;

pero si tomamos una galaxia tıpica cualquiera a una distancia R(t), como sabemos

que R(t) ∼ t1/2, tenemos que concluir que su distancia a la tierra decrece menos

rapido que el horizonte. Esto significa que si retrocedemos lo suficiente en el pasado,

acabaremos por tener que toda galaxia tıpica cualquiera estara mas alla del horizonte

en un momento dado. Pero todas las observaciones que se han podido hacer respecto

a este punto son formales: el universo esta en equilibrio termico, es decir, todas sus

partes tuvieron que estar en contacto entre sı. Este problema se ha llamado el

problema del horizonte.

Una solucion al problema del horizonte se planteo hace alrededor de 20 anos

con la teorıa de la inflacion. propuesta por Alan Guth en el ano de 1981. El

origen de su propuesta viene de mas lejos, cuando Steven Weinberg y Abdus Salam

propusieron en 1973 un modelo de unificacion para las llamadas interacciones debiles

y electromagneticas. Este esquema pronto se pudo extender a las interacciones

fuertes, siguiendo un esquema matematico muy similar. Este modelo se conoce con

el nombre de modelo estandar y permitio unficar a tres de de las cuatro interacciones

en un solo modelo. La cuarta, la interaccion gravitacional no pudo ser incorporada

en su esquema. Pero resumamos con rapidez cual es la situacion en esta parte de la

fısica.

En el universo solamente existen cuatro interacciones basicas para todo tipo de

interaccion entre la materia. Estas cuatro interacciones son:

i) La interaccion gravitacional, responsable del peso de los cuerpos y de la

estructura a gran escala del universo. Es la responsable, en gran medida, de que las

galaxias tengan la forma que tienen y de que los planetas giren alrededor de nuestro

sol.

ii) La interaccion electromagnetica, responsable no solo de los fenomenos elec-

tricos, pero tambien de buena parte de los fenomenos quımicos, puesto que interviene

en las interacciones entre los electrones que forman los atomos y por lo tanto esta

interaccion esta tambien en la base de los fenomenos biologicos.

iii) La interaccion fuerte, responsable de la estructura de los nucleos de los

atomos. La interaccion fuerte es la reponsable de que, a pesar de que los protones

que conforman el nucleo el atomo se rechazan con enorme fuerza, existe otra fuerza

aun mas fuerte, del orden de 100 veces mas intensa, que mantiene a los protones

unidos en el nucleo. Afortunadamente esta fuerza es de corto alcance, del orden de

solamente algunos fermi (1 Fermi = 10−15m = 10−5Angstroms ). Debido a esto,

30 La expansion del universo

los atomos muy grandes, como los elementos transuranicos, no pueden mantener a

sus protones pegados. Esa es la razon por la cual estos atomos son inestables.

iv) La interaccion debil. La interaccion debil toma su nombre de la enorme de-

bilidad o pequenısima “amplitud” de interaccion, como se le conoce a la intensidad

de interaccion. A pesar de ello, es la reponsable de fenomenos bastante conocidos

como la radioactividad. Tambien es la responsable de que los neutrinos, de los cuales

hablamos muy poco en este artıculo, interaccionen con los electrones. Aun ası, se

piensa que la interaccion debil fue mucho mas fuerte en el principio del universo y

mantuvo una interaccion muy inportante entre los neutrinos y el resto de la mate-

ria. De esta manera, los neutrinos tambien estuvieron en equilibrio termico con el

universo y actuaron como el resto de la radiacion, en particular la producida por los

fotones. Actualmente debe haber tambien una radiacion de fondo de neutrinos, pero

debido a lo debil de su interaccion con el resto de la materia que tiene actualmente,

nadie ha podido medir esta radiacion de neutrinos.

Hacia principios de los anos setenta del siglo pasado, ya se conocıa muy bien

el comportamiento de las cuatro interacciones basicas, al menos a las energıas

disponibles en la epoca. Se sabıa que la interaccion gravitacional es descrita por

la teorıa de Einstein, excepto para los fenomenos cuanticos. Para las otras tres in-

teracciones, ya se habıa hecho un fenomenal descubrimiento. Las tres interacciones

son descritas por teorıas con la misma estructura matematica, las llamadas teorıas

de campo de norma. Estas teorıas se basan en la existencia de una simetrıa que

les permite describir el tipo de interaccion. Es decir, conocer la simetrıa significa

conocer toda la teorıa. Todas las mediciones realizadas desde finales de los anos

treinta en adelante, no han hecho sino confirmar este punto, (con las equivocaciones

de rigor).

En particular, en los anos cincuenta del siglo pasado, ya se tenıa una muy buena

idea de que tipo de teorıas deberıan describir a las interacciones debiles y fuertes.

Las interacciones electromagneticas, descritas por las ecuaciones de Maxwell desde

el siglo XIX, siguen tambien la misma pauta. Pero habıa (¿hay?) un pelo en la sopa.

Extranamente, la teorıa no es compatible con la existencia de masa para la materia

que interviene en ella, porque los terminos de masa violan la tan importante simetrıa

que es la base de todo el modelo. Es decir el mundo no deberıa tener masa. Por

supuesto que tal situacion es insostenible. Pasaron varios anos, hasta que Abdus

Salam y Steven Weinberg propusieron en 1967 el mecanismo llamado de rompimiento

espontaneo de la simetrıa, (Weinberg insiste en que el realizo el descubrimiento un

ano antes que Salam).

La idea del rompimiento espontaneo viene de la fısica del estado solido. Lo

Tres problemas sin resolver 31

que Weinberg y Salam propusieron, inspirados en las teorıas de un fısico del estado

solido llamado Peter Higgs, era que el vacıo deberıa estar “lleno,” o completamente

permeado, por un campo φ, llamado campo de Higgs, de la misma manera que un

campo gravitacional o uno electrico permea el espacio; pero con la “novedad” de que

este campo en particular es completamente uniforme. El modelo de Weinberg-Salam

no dice cual es el origen de semejante campo tan extrano, ni porque su presencia

es uniforme en todo el espacio. Por eso este modelo llamado modelo estandar, es

solo un modelo y no una teorıa. La siguiente hipotesis propuesta por Weinberg y

Salam, es que el campo de Higgs se acopla a la materia tambien de una manera

extrana, puesto que ningun otro campo conocido lo hace de la misma manera y que

es descrito por una grafica que semeja un sombrero mexicano, (figura (10.a)).

Falso vacíoV ()

Vacío veradero

Fig. 10.a El falso vacıo y el potencial de Higgs. El universo empieza como un universo muy caliente

y simetrico, justo hasta arriba, en el centro del sombrero, donde se encuentra una pequena depresion

maracada como “Falso vacıo”. Al enfriarse el universo, rapidamente este abandona su estado simetrico

y pasa a un estado no simetrico en algun lugar del “ala” del sombrero, que en la figura aparece marcado

como “Vacıo verdadero”.

Este potencial, a diferencia de lo que ocurre con los terminos de masa, no

viola la simetrıa del modelo. Lo que ocurre es que, como para cualquier sistema,

el universo tiende a colocarse en el estado de energıa mınima. Cuando se tienen

terminos de interaccion como los del potencial de Higgs, entonces el primer mınimo

que encuentra el sistema esta en la punta del sombrero, como se ve en la figura 10.b,

en donde se ha aplastado convenientemente la punta del sombrero para formar un

pequeno hueco. Este mınimo es, en realidad, solo un mınimo relativo.

Al principio, el universo se acomoda en el mınimo relativo llamado “falso vacıo”,

pero por tunelaje cuantico, un efecto que permite a los sistemas cuanticos saltar

barreras de potencial, el universo salta al mınimo absoluto (fig 10.b) llamado vacıo

32 La expansion del universo

verdadero, que resulta ser un estado mas estable, por ser verdaderamente el de

mınima energıa. En este estado V (φ) es cero, pero a diferencia del estado de

falso vacıo, el valor de φ no es cero. Es decir, la energıa que cede el potencial se

convierte en un valor diferente de cero para el campo de Higgs. Como este valor del

campo es uniforme en todo el espacio, entonces no es facil detectarlo. Sin embargo,

este valor diferente de cero tiene una gran importancia, porque despues de algunas

manipulaciones en las ecuaciones ¡resulta ser que se convierte en terminos de masa!

Es un poco extrano, porque sı son terminos de masa, pero no violan la simetrıa que

los terminos de masa usuales sı violan, Como la evolucion del universo del falso vacıo

al verdadero se da de una manera espontanea, entonces a este mecanismo se la ha

llamado rompimiento espontaneo de la simetrıa.

-2 -1 1 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2 V ()Falso vacío Vacío verdaderoo

Fig. 10.b Corte longitudinal del sombrero mexicano. Aquı tenemos otra perspectiva de los puntos

llamados “vacıo verdadero” y “falso vacıo” del potencial de Higgs

Alan Guth entonces introdujo estas ideas en las ecuaciones de Einstein. En

particular, la Ec. (38) se debe modificar para geometrıas planas a

S2

S2=

8πG

3[ρ+ < V (0, T ) >] (52)

en donde < V (0, T ) > es el valor promedio del potencial de Higgs cuando φ = 0 .

La T que aparece es porque se piensa que el potencial tiene ademas una cierta

dependencia con la temperatura del universo. Un termino como el que aparece en

la ecuacion (52) no es en realidad nuevo. Ya Einstein habıa propuesto un termino

como 8πG3 [ρ + Λ] , en donde Λ es la llamada constante cosmologica. Este termino

Tres problemas sin resolver 33

lo acuno Einstein para poder sostener la teorıa de un universo estable, puesto que

si ponemos un valor de Λ tal que 8πG3

[ρ + Λ] = 0, entonces ˙S(t) = 0. Ein-

stein especulo que deberıa existir un termino con constante cosmologica Λ en sus

ecuaciones para poder tener un universo estatico. Esta especulacion fue despues re-

conocida por el como uno de los mas grandes errores de su vida. Es de justicia notar,

sin embargo, que las teorıas de inflacion modernas reivindican en una cierta medida

su hipotesis original de la existencia de un termino tipo constante cosmologica en

sus ecuaciones.

Alan Guth especulo que a medida que el universo se expande, el termino8πG

3 [ρ+ < V (0, T ) >] va acabar por dominar a la densidad ρ, puesto que la den-

sidad disminuye con la expansion. En estas condiciones, la ecuacion (52) queda

como

S2

S2=

8πG

3[< V (0, T ) >] (53)

cuya solucion es una exponencial. Recordemos que H = ˙S(t)/S(t). La exponencial

queda entonces como

S(t) = eHt, H =

√

8πG < V (0, T ) >

3(54)

Debido a esta expansion exponencial de S(t), Guth llamo a su teorıa la teorıa de

la inflacion cosmologica. Los calculos numericos sugieren que H ∼ (10−34 seg.)−1

De acuerdo a los calculos de Guth, la inflacion ocurrio muy pronto en el universo,

alrededor de 10−5 seg. Esto da entonces un factor de inflacion verdaderamente de

locura, del orden de eHt ∼ 1029. Ası sı podemos entender porque el universo es

plano y porque no existe, si creemos en la inflacion, el problema del horizonte.

Esencialmente la razon es que el universo era originalmete muchisısimo mas chico

de lo que creımos. Despues de algunos instantes de que se dio el Big bang, el

universo paso por una etapa de inflacion exponencial fantastica. De esta manera,

toda la materia estuvo originalmente en contacto y en equilibrio termico entre sı.

Las pequenısimas fluctuaciones del universo primitivo dieron origen a fluctuaciones

“infladas” despues de la etapa expansiva. Estas fluctuaciones son suficientemente

grandes, de acuerdo a los calculos realizados por los astrofısicos, para que puedan

ser consideradas como las semillas de las galaxias y de otros cuerpos celestes como

son las estrellas y planetas.

Pasado un tiempo de rapidısima inflacion, el universo se enfrıa lo suficiente como

para que el termino potencial disminuya enormemente, pero el valor de φ, que es

34 La expansion del universo

cero cuando el sistema esta en la epoca de falso vacıo, pasa a un valor φ0 6= 0, que

minimiza el potencial en el segundo mınimo, el del verdadero vacıo. Notemos que,

mientras en el vacıo falso el potencial tiene una solucion φ = 0 que es simetrica, en

el vacıo verdadero φ0 esta en una direccion arbitaria, pero fija (por ej. en la figura

esta en la direccion del eje X), lo que rompe la simetrıa. Guth supone entonces que

V (φ0, Tfrıo) < V (0, Tcaliente), lo que lleva a que la inflacion disminuya y el universo

salga de la etapa de crecimiento exponencial. El escenario que Guth vislumbro es

entonces que en los primeros instantes de la creacion del universo, justo antes de la

inflacion, el universo se encuentra en una etapa de falso vacıo en donde se empieza

a formar una burbuja de vacıo veradero, al mismo tiempo que se da la inflacion. A

medida que el universo se infla, esta burbuja de veradero vacıo crece, (aunque puede

haber mas de una burbuja) y llena nuestro universo de vacıo verdadero.

Existen muchas dudas sobre la validez de estas teorıas. Por ejemplo, el modelo

funciona bien escogiendo con cuidado el valor de cada parametro del potencial de

Higgs. Valores que, a final de cuentas, son muy improbables debido a las fuertes

fluctuaciones cuanticas que se dan antes, en la escala de Planck. Ha habido algunos

esfuerzos por mejorar la teorıa de la inflacion, como el modelo caotico de Andrei

Linde, pero no es todavıa muy claro si alguno de los modelos de inflacion hasta

ahora propuestos sea correcto.

Las teorıas de inflacion estan basadas en la existencia del Higgs, que es una

partıcula que se propuso para explicar la presencia de masa en el modelo estandar.

Este es sin embargo, uno de los puntos mas debiles del modelo estandar. Hasta

ahora el Higgs, o meson de Higgs, como se le conoce, no solo no ha sido encontrado,

sino que su existencia en el modelo estandar fue introducida de una manera ad hoc,

por pura conveniencia. El meson de Higgs es ademas una partıcula muy rara. Se

acopla al resto de la materia de una manera que no se ve en otras partıculas y eso

tambien necesita de una explicacion mas satisfactoria. ¿Que pasara si el meson de

Higgs no existiese? El modelo estandar funciona muy bien, pero necesita del Higgs

de una manera que parece esencial. Una de las propuestas es que, si el Higgs no

existe, entonces al menos debemos tener una interaccion que funciona como tal, es

decir que existe alguna interaccion aun no entendida que se acopla a la materia como

lo hace el Higgs, siguiendo un potencial de sombrero mexicano. Como quiera que

sea aun nos falta mucho por entender

El segundo y tercer problema estan relacionados entre sı y los pienso abordar

solamente de una manera muy somera. Empecemos por el segundo problema que es

el problema de la materia faltante en el universo. En efecto, las observaciones del

Hubble son formales: el universo es plano. Sin embargo la materia que existe en el

Tres problemas sin resolver 35

universo apenas si puede, aun estirandola lo mas posible, para justificar un 5% de la

materia que se necesita para tener un universo plano. ¿En donde esta la materia que

falta? Una propuesta es que no la vemos porque es oscura, no radıa, pero de alguna

forma esta ahı, ejerciendo su influencia gravitacional sobre el resto del universo. De

ahı el nombre de materia oscura. La materia oscura se encuentra en principio en

muchas partes del universo, pero las observaciones realizadas ultimamente, sugieren

que la materia oscura no esta muy lejos sino que se encuentra incluso en nuestra

propia galaxia, aunque tambien podrıa estar en otras partes. En las galaxias como

la nuestra, su efecto se traduce en que las partes exteriores de la galaxia ya no siguen

la ley de las velocidades predicha por la leyes newtonianas, v ∼ r−1/2, deducidas

con el inverso del cuadrado de la distancia, sino que mas bien se mueven como si la

parte exterior de la galaxia fuera un plato solido.

Los candidatos para la materia oscura vienen en general de las teorıas llamadas

supersimetricas. Estas teorıas introducen una nueva simetrıa, sumamente basica,

entre partıculas de espın entero como el foton, llamadas bosones y partıculas de

espın no entero, llamadas fermiones como el electron. Hasta antes de las teorıas

supersimetricas, los fıscos tenıan que tratar de una manera muy diferente a los

bosones y los fermiones, algo que en sı es insatisfactorio. Esencialmente los fermiones

no pueden estar en un mismo estado de un sistema, pero los bosones sı que pueden.

Podemos ver la prohibicion de que dos estados no puedan estar en un mismo sistema

como el equivalente microscopico de que dos cuerpos no pueden estar en un mismo

lugar en el espacio. Este principio se llama el Principio de exclusion de Pauli. Los

bosones en cambio no lo obedecen, lo que ha dado lugar a una enorma cantidad

de fenomenos cuanticos interesantes, como el que todos las partıculas bosonicas de

un sistema se encuentren en el mismo estado, el famoso efecto de condensacion de

Bose. Pero ¿porque la naturaleza hace tal distincion?

El descubrimiento por parte de los fısicos de nuevas estructuras matematicas,

mas generales que las algebras de Lie que se emplearon como herramienta en el

modelo estandar, permitieron a los teoricos tratar a los fermiones y bosones en

igualdad. Estas nuevas estructuras (nuevas para los fısicos, los matematicos ya las

conocıan desde hacıa cien anos), se llaman superalgebras. Aunque el nombre es

horrible, estan basadas en la existencia de numeros que anticonmutan, propuestos

por un matematico de fines del Siglo XIX de apellido Grassmann, quien trabajo en

un liceo dando clases, por lo que su trabajo fue poco conocido por mucho tiempo.

Una de las predicciones de estas teorıas supersimetricas, es que existen para cada

partıcula, un companero “supersimetrico” de espın entero si la partıcula es de espın

semi-entero y de espın semi-entero, si la partıcula es de espın entero. Se dice que

36 La expansion del universo

la supersimetrıa no se rompe si los companeros supersimetricos tienen la misma

masa que la partıcula original. Como los companeros supersimetricos brillan por su

ausencia por el momento, entonces lo mas probale es que las supersimetrıa este rota.

Algunos companeros supersimetricos candidatos para la materia oscura frıa, es

decir que no radıa, son el gravitino, que es el companero supersimetrico del graviton,

el responsable de la existencia de la gravedad, el fotino, que es el companero super-

simetrico del foton, el axion, que no es ningun detergente, sino un boson asociado

al hecho de que hay mas materia que antimateria pesada, como son los protones

y los neutrones. Los fısicos decimos que esta asociado al rompimiento del numero

barionico, una cantidad que vale 1 para los neutrones y protones, pero que es 0

para el electron y los neutrinos. Si el numero barionico se conservase a rajatabla,

habrıa igual cantidad de materia que de antimateria. La pequena violacion a su

consevacion, explica la casi ausencia de antimateria en nuestro universo. Gracias a

esta violacion, las teorıas supersimetricas predicen la existencia del axion, uno de

los fuertes candidatos a materia oscura frıa.

Supongamos que XMO representa una de estas partıculas exoticas predichas

por la supersimetrıa, ( MO = materia oscura). Denotemos XMO a la antipartıcula,

en quien creemos con todas nuestras fuerzas si la X existe. Es de esperar entonces

la siguiente reaccion

XMO + XMO → 2γ (55)

donde γ son fotones muy energeticos. Varios experimentos estan propuestos para

ver si estos fotones realmente existen.

Asociada a la hipotesis de la masa faltante, esta tambien la hipotesis de la

energıa oscura. Uno de los mas sorprendentes descubrimentos realizados por el

telescopio espacial Hubble, es que el universo no solamente esta en expansion, algo ya

sabido, sino que la expansion es acelerada. Esto sı que es un resultado sorprendente.

Es como si aventaramos una piedra hacia arriba y que, en lugar de desacelerarse

por efecto de la gravedad, existiese una fuerza repulsiva ¡que la empuja cada vez

mas rapido hacia arriba! Una de las primeras hipotesis propuestas es que, ademas

de la existencia de la materia oscura, debe existir una energıa que no hemos podido

detectar hasta ahora y que en consecuencia, recibe el nombre de energıa oscura.

Esencialmente, se anade en la ecuacion (52) un termino responsable de la expansion

muy similar al potencial de Higgs. Algo ası como una inflacion mucho menos violenta

que la original que empuja la expansion acelerada del universo.

Las mediciones realizadas hasta ahora, sugieren que el universo se compone de

Tres problemas sin resolver 37

∼ 5% de materia ordinaria, la que vemos todos los dıas, un ∼ 25% de materia

oscura y un ∼ 70% de energıa oscura. Sin embargo esta situacion es, con toda

franqueza, sumamente insatisfactoria. ¿Porque nunca, a pesar de su abundancia,

hemos visto aunque sea un pedacito de materia oscura? ¿Porque nunca hemos

visto sus efectos, nos la hemos encontrado en el cine o en el Metro o, inclusive en

un laboratorio? De hecho, lo que deberıa ser raro es encontrarse con la materia

ordinaria, puesto que es muy escasa. En lo personal, aunque la idea de la materia

oscura es la predominante en el medio cientıfico, al autor le parece no solo poco

probable, sino muy poco imaginativa.

En los ultimos anos han surgido alternativas a la idea de materia y energıa

oscura que, al menos, vale la pena mencionar. Estas ideas son aun poco aceptadas,

o quizas deba decir menos aceptadas, que la hipotesis de la materia oscura. Todas

ellas apuntan a que no es que haya mas materia en el universo, ni que el universo se

encuentre en expansion acelerada, sino que las leyes de la fısica no son validas a las

gigantescas distancias involucradas en este tipo de mediciones. Para el caso de la

materia oscura, existe una alternativa interesante proveniente de la teorıa de cuerdas

y de la teorıa M, que es una generalizacion de las cuerdas. En la teorıa M coexisten

cuerdas abiertas y cerradas ademas de otros objetos llamados branas, (el nombre

proviene de membrana). Las cuerdas abiertas siempres estan pegadas a alguna

brana, aunque no necesariamente la misma. Las vibraciones de las cuerdas abiertas

estan asociadas a las partıculas que predice la teorıa, cada modo de vibracion es

en general, algun tipo de partıcula. Ademas las vibraciones de las cuerdas inducen

tambien vibraciones a las branas a las cuales estan pegadas por sus extremos las

cuerdas. Las cuerdas cerradas estan asociadas al graviton, es por esta razon que las

teorıas de cuerdas incorporan de una manera natural a la gravedad.

Cuerda abierta

Brana

Fig. 11 Una brana con una cuerda abierta y dos cuerdas cerradas. Las cuerdas cerradas estan asociadas

a los gravitones, que son las partıculas que portan la gravedad.

38 La expansion del universo

Otro de los atractivos de las teorıas de cuerdas es que incorporan ademas, de una

manera bastante natural, a la supersimetrıa. La razon es que las cuerdas y branas

tienden a estar plagadas de problemas de inestabilidad porque contienen estados

de partıculas que se mueven a mayor velocidad que la luz, llamados taquiones.

Estas partıculas son responsables de inestabilidades en la teorıa, pero pueden ser

desechadas en el caso supersimetrico.

En general, este tipo de teorıas estan definidas en mas dimensiones que 4. Para

hacer contacto con nuestro mundo, se han desarrollado diferentes estrategias. La

mas comun es la de compactificar las dimensiones sobrantes. Esto quiere decir que

hacemos a las dimensiones que nos sobran tan chiquitas que no las podemos ver,

pero no es necesariamente ası siempre. Por ejemplo, Georgi Dvali, un fısico de la

desaparecida Union Sovietica y que trabaja ahora en la Universidad de Nueva York,

propuso junto con sus colegas Gregory Gabadadze y Massimo Porrati tambien de

la Universidad de Nueva York, que las dimensiones extras no son compactas sino

que son planas y extendidas como las demas dimensiones, pero nosotros no tenemos

acceso a ellas. En general tampoco las demas partıculas. Sin embargo, a distancias

cosmicas existe un pequeno efecto de fuga del graviton a las dimensiones extras.

Los gravitones se comportan un poco como las ondas de sonido en una hoja de

metal grande. A distancias pequenas el sonido viaja por la hoja metalica, pero si la

distancia que recorre la onda sonora es grande, entonces empieza a haber fugas de

sonido hacia afuera de la hoja. Es un poco lo que pasa en la teorıa de Dvali. Lo que

este investigador encuentra es que con esta fuga de gravitones hacia las dimensiones

extras, no se necesita la hipoptesis de materia oscura ni de energıa oscura, lo que es

muy esperanzador.

Es muy todavıa muy pronto para saber si estas ideas son utiles para explicar el

problema de la masa faltante y de la expansion acelerada del universo, pero muestran

que existen alternativas a las hipotesis tradicionales.

Tres problemas sin resolver 39

Para saber (mucho) mas.

1) Scientific American. Out of the Darkness, George Dvali. Febrero del 2004 de la

edicion en Ingles.

2) Introduction to Cosmology, Matts Roos, Jhon Wiley & Sons, New York. Este

libro casi no contiene nada que no este ahı. Facil de leer y apto para toda la familia.

3) Los tres primeros minutos del universo, Steven Weinberg, Alianza Editorial,

Alianza Universidad, Madrid, (1977). Un clasico para toda la familia, apto para

chicos y grandes, sin embargo ya es algo viejo, porque fue escrito antes de que se

propusieran las teorıas de inflacion.

Uno puede en general contentarse con lo artıculos anteriores y ver otras refer-

encias sobre el tema ahı, sin embargo es conveniente senalar textos mas avanzados

para aquellos interesados en profundizar mucho mas, el problema es que implican

tener al menos la licenciatura en fısica. Por supuesto, la lista no es exhaustiva, es

solo indicativa.

4) A first course in general relativity, Bernard F. Schutz. Cambridge University

Press, (1985). Excelente introduccion, muy amena y pedagogica. Tiene un fenome-

nal capıtulo sobre ondas gravitacionales.

5) Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the General Theory

of Relativity, Steven Weinberg, Jhon Wiley & Sons, (1972). New York. Aunque

algo viejo (de los 70’s), es la biblia gravitacional para los que no hacen gravitacion

sino teorıa del campo. Cuando mi alma se encuentra desolada y sin entender lo que

gravitacionalmente le rodea, en sus paginas encuentro la luz y el conocimiento para

seguir adelante, (gravitacionalmente hablando). Un poco tecnico, digamos que es

para adolescentes y adultos.

6) Introduction to superstring theory, Elias Kiritsis, Preprints CERN-TH/97-218

y hep-th/9709062, (1997). Excelente introduccion a la teorıa de cuerdas, aunque

varias partes son solo para adolescentes de amplio criterio y adultos.

7) String theory, tomos I y II, Joseph Polchinski. Cambridge University Press,

(1998). Solo para adultos, aunque la parte de la cuerda bosonica puede ser leıda por

adolescentes de amplio criterio.