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Lab. Mecânica Clássica

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Sumário

Desenvolvimento do Curso   5

Obrigações dos alunos para a aula experimental   7

Direitos dos alunos   8

I Primeira Unidade   9

1 Experimento - Erros e Medidas Experimentais   10

1.1 Objetivos   10

1.2 Introdução   10

1.3 Materiais Utilizados   11

1.4 Procedimento Experimental   12

1.4.1 Calcular a área de um bloco de madeira   12

1.4.2 Determinar o volume, o peso e a densidade de um bloco cilíndrico   12

1.4.3 Questão teórica - Regressão Linear   13

1.5 Conclusões   14

2 Experimento - Construção de Gráficos   15

2.1 Objetivos   15

2.2 Introdução   162.2.1 Regressão Linear   16

2.2.2 Gráficos de um polinômio de grau n   16

2.3 Materiais Utilizados   17

2.4 Procedimento Experimental   17

2.4.1 Velocidade Quadrática Média   17

2.4.2 Momento de Inércia   18

2.5 Conclusões   18

1

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2

3 Experimento - Queda Livre   20

3.1 Objetivos   20

3.2 Introdução   213.3 Materiais Utilizados   21

3.4 Procedimento Experimental   21

3.4.1 Equações   23

Média e Desvio padrão   23

Regressão Linear   23

3.5 Conclusões   24

4 Experimento - Movimento no Plano   26

4.1 Objetivos   26

4.2 Introdução   26

4.3 Materiais Utilizados   27

4.4 Procedimento Experimental   27

4.5 Questão teórica   28

4.6 Conclusões   29

II Segunda Unidade   30

5 Experimento - Vantagem Mecânica da Roldana   31

5.1 Objetivos   31

5.2 Introdução   32

5.3 Materiais Utilizados   32

5.4 Procedimento Experimental   33

5.4.1 Determinação Experimental da Vantagem Mecânica do Cadernal Paralelo   34

5.5 Conclusões   34

6 Experimento - Equilíbrio no Plano Inclinado   36

6.1 Objetivos   36

6.2 Materiais Utilizados   36

6.3 Procedimento Experimental   37Questionário   37

6.3.1 Questão Teórica   38

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3

6.4 Conclusões   38

7 Experimento - Conservação da Energia Mecânica   39

7.1 Objetivos   39

7.2 Materiais Utilizados   39

7.3 Procedimento Experimental   40

7.4 Conclusões   41

8 Experimento - Conservação da Energia Mecânica (Energia Potencial Elástica)   43

8.1 Objetivos   43

8.2 Materiais Utilizados   44

8.3 Procedimento Experimental   44

8.3.1 Questão Teórica   45

8.4 Conclusões   45

III Terceira Unidade   47

9 Experimento - Conservação do Momento Linear - Colisões   48

9.1 Objetivos   48

9.2 Introdução   49

9.3 Material Utilizado   49

9.4 Procedimento Experimental   49

Colisões Elásticas   50

Colisões Inelásticas   51

9.4.1 Questionário   52

9.4.2 Questões Teóricas   52

9.5 Conclusões   53

10 Experimento - Conservação do Momento Linear em duas dimensões   54

10.1 Objetivos   54

10.2 Introdução   54

10.3 Material Utilizado   56

10.4 Procedimento Experimental   56

10.4.1 Questão teórica   58

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4

10.5 Conclusões   58

11 Experimento - Pêndulo Balístico   59

11.1 Objetivos   59

11.2 Introdução   60

11.3 Materiais Utilizados   61

11.4 Procedimento Experimental   62

11.5 Conclusões   62

11.6 Questões Teóricas   63

12 Experimento - Conservação do Momento Angular   64

12.1 Objetivos   64

12.2 Introdução   64

12.3 Material Utilizado   65

12.4 Procedimento Experimental   65

Primeira Parte   65

Segunda Parte   66

Terceira Parte   6712.4.1 Questão Teórica   68

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5

APRESENTAÇÃO

O Laboratório de Mecânica Clássica é parte integrante do ciclo básico do curso de Bacha-

relado em Ciência e Tecnologia da UFERSA. O objetivo dessa apostila é apresentar a nova

metodologia que será abordada nas aulas de laboratório.

As aulas experimentais são fundamentais para que os alunos tenham a oportunidade de

observar as aplicações da Física Clássica na Engenharia.

Por isso, os professores de Laboratório de Mecânica Clássica acreditam que essa nova me-

todologia irá contribuir de forma mais efetiva, aumentando a participação de todos os alunos.

Além disso, os alunos irão aprender a organizar e apresentar as ideias, aprenderão a falar em

público, o que é extremamente importante para o desenvolvimento acadêmico e profissional do

aluno.

Por fim, essa nova abordagem será adotada, com a finalidade de estimular ainda mais o

trabalho em equipe, onde todos os integrantes deverão saber explicar a metodologia envolvida

na execução das aulas experimentais.

Desenvolvimento do Curso

As primeiras aulas da disciplina de Laboratório de Mecânica Clássica (LMC - EXA0122)

serão reservadas para a apresentação da metodologia, que será adotada durante todo o curso.

A disciplina será dividida em três unidades que são compostas por quatro experimentos que

estão dispostos a seguir. Ao final do quarto experimento, de cada unidade, os alunos farão uma

avaliação referente à teoria e prática daquela unidade. Os roteiros serão disponibilizados no

início do semestre ou no mínimo com uma semana de antecedência das aulas experimentais.

Primeira Unidade

• Erros e Medidas Experimentais

• Construção de Gráficos

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• Queda Livre

• Movimento no Plano

• Avaliação da primeira unidade

Segunda Unidade

• Vantagem Mecânica da Roldana

• Equilíbrio no Plano Inclinado

• Conservação da Energia Mecânica

• Conservação da Energia Mecânica - Energia Potencial Elástica

• Avaliação da segunda unidade

Terceira Unidade

• Conservação do Momento Linear - Colisões

• Conservação do Momento Linear em duas dimensões

• Pêndulo Balístico

• Conservação do Momento Angular

• Avaliação da terceira unidade

De forma geral, as turmas de LMC-EXA0122 possuem 25 alunos. Os alunos serão dis-

tribuídos em equipes com 5 integrantes. Todos os alunos deverão estudar o roteiro e a teoria

referente aquela aula experimental. As equipes deverão montar uma apresentação (data show ou

lousa), onde todos os integrantes das equipes devem participar ativamente. A equipe que ficará

responsável pela explicação da parte experimental e a teoria necessária para a compreensão e

execução do roteiro será sorteada pelo professor antes da aula.

Durante a apresentação, o professor poderá fazer explicações complementares, para chamar

a atenção sobre algum item importante daquele roteiro. A nota do aluno, em cada unidade, será

calculada segundo à equação:

 N i = N 

∑i=1

( Ri + S i) + P   (0.0)

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7

onde N i é a nota da unidade,  Ri são os roteiros, S i é a nota referente à apresentação e P é a nota

da prova. Os roteiros e o seminário equivalem a 50 % da nota, os outros 50 % para a prova.

Para a apresentação da aula expositiva, os alunos devem seguir as seguintes orientações:

• Apresentar a motivação para o aprendizado do assunto, incluindo as aplicações na Enge-

nharia.

• Apresentação dos cálculos completos, incluindo incertezas, bem como os gráficos quando

houver.

• Correlacionar a teoria com a prática, deduzindo as equações apresentadas no roteiro da

aula experimental, quando possível.

• Apresentar o procedimento experimental e a execução de todas as etapas do roteiro.

• Disponibilizar o material expositivo em arquivo pdf para os outros alunos da turma.

Obrigações dos alunos para a aula experimental

1. Os alunos devem chegar no horário da aula. O professor poderá dar uma tolerância de,

no máximo, 10 minutos de atraso.

2. Todos os alunos devem ter em mãos o roteiro de aula.

3. O tema da aula experimental deve ser de conhecimento prévio do aluno. A aula não é

teórica. Nesse caso, pesquisar e estudar é OBRIGAÇÃO de todos os alunos.

4. Os alunos devem realizar todos os experimentos da aula e responder todas as questões

NO MESMO HORÁRIO da aula.

5. Entregar os cálculos e outras respostas do experimento de forma organizada e bem legível

preenchidas a caneta.

6. Os grupos formados serão sempre os mesmos até o fim da disciplina.

7. Faltas serão RIGOROSAMENTE determinantes. O aluno NÃO poderá realizar experi-mentos com outro professor. Se faltar à aula prática, NÃO haverá reposição de experi-

mento e o aluno perderá a nota do roteiro (1,25).

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8. Todos os alunos deverão assinar o seu próprio nome e a turma nos roteiros.

Direitos dos alunos

1. O aluno tem o direito à revisão e discussão da correção dos roteiros e das provas com o

professor da disciplina, até 5 dias após divulgação das notas.

2. As notas e as faltas serão divulgadas antes do início da próxima unidade.

3. O aluno tem o direito à prova de reposição. Porém, o professor tem a liberdade de marcar

a data e o horário, bem como o conteúdo.

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PARTE I

Primeira Unidade

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10CAPÍTULO   1

Experimento - Erros e Medidas Experimentais

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

1.1 Objetivos

Durante a aula sobre Erros e Medidas Experimentais, os alunos irão aprender a utilizar o

paquímetro para medir as dimensões de peças. De posse das medidas, a equipe responsável

deverá explicar a ideia sobre a propagação de erros, regras de arredondamento, apresentar uma

breve introdução aos conceitos de estatística, transformações de unidades (exemplos: potên-

cias de 10, centímetros para metros etc) e regressão linear. Além disso, a equipe deve fazeruma breve definição sobre erros aleatórios e erros sistemáticos com as suas possíveis causas e,

como proceder para reduzir tais erros. Aprender como medir o peso de objetos utilizando um

dinamômetro.

1.2 Introdução

a - Média Aritmética ( x) - O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das

diversas medidas da grandeza. A média aritmética é calculada a partir da equação:

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11

 x = ∑

 N i=1 xi

 N =

  1 N 

( x1 + x2 + x3 + ...+ x N )   (1.1)

b - Desvio de uma medida  - o desvio de uma medida é definido como a diferença entre o

valor de uma medida individual e o seu valor mais provável, ou seja, ∆xi = xi -  x.

c - Desvio Padrão  - o desvio padrão é um dos parâmetros que são utilizados para dar

uma indicação da tendência das medidas de estarem distribuídas em torno do seu valor mais

provável. Matematicamente, o desvio padrão é dado por:

σ  = ∑ N 

i=1( xi− x)2

n−1   (1.2)

d - Desvio padrão da média - A interpretação para o desvio padrão da média é semelhante

ao desvio padrão.

σ m = σ 

 N (1.3)

e - Divulgação do resultado experimental - O resultado da medida de uma grandeza ex-

perimental deve ser divulgado, com o valor mais provável da medida com o seu desvio padrão

da média ( x ± σ m).

1.3 Materiais Utilizados

• Calculadora científica

• Régua com escala milimetrada

• Bloco de madeira retangular

• Paquímetro digital

• dinamômetro (capacidade máxima 2N)

• blocos cilíndricos

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1.4 Procedimento Experimental

1.4.1 Calcular a área de um bloco de madeira

(Sugestão: represente os valores com a quantidade correta de algarimos significativos.) O

grupo deverá determinar a área A de um objeto retangular, através da medida direta dos seus

lados com um paquímetro e uma régua. Cada componente do grupo deverá realizar uma medida

dos lados ( L1 e  L2) e preencher a tabela abaixo:

Tabela 1.1   Valores experimentais dos lados do bloco e a média aritmética.

Lado 1 (mm) Lado 2 (mm)

 L1=   L

2=

σ  x=   σ  x=

Propagação de erros

 A = L1 xL2± (σ  L1 L2 +σ  L2 L1)   (1.4)

 A = (  ±

  ) mm

2

1.4.2 Determinar o volume, o peso e a densidade de um bloco cilíndrico

O grupo deverá determinar o volume de um bloco cilíndrico, através da medida direta dos

seus lados com um paquímetro. Cada componente do grupo deverá realizar uma medida do

diâmetro e a altura e preencher a tabela abaixo:

A densidade do bloco cilíndrico pode ser calculada segundo à equação:

ρ = m

V (1.4)

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13

Tabela 1.2   Valores experimentais das dimensões do bloco cilíndrico.

diâmetro (m) altura (m) massa (kg)

 D=   h=   m=

σ  D=   σ h=   σ m=

Propagação de erros

ρ = m

V ±

σ mV  +σ V m

V 2

  (1.5)

ρ = (   ±   )   kg

m3

1.4.3 Questão teórica - Regressão Linear

Um dos métodos utilizados para medir a constante elástica (k) de uma mola é o chamado

método dinâmico. O método consiste em colocar massas diferentes na extremidade de uma

mola e fazê-la oscilar, medindo, para cada massa diferente, o período de oscilação. A equação

que relaciona as duas variáveis é dada pela equação:

T  = 2π  m

k (1.6)

onde T é o período, m é a massa do corpo suspenso e k é a constante elástica da mola

( N .m−1)

Tabela 1.3   Medidas do período de oscilação de um pêndulo, com os respectivos desvios.

m (kg) 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250

T(s) 0,703 1,062 1,251 1,472 1,640

Regressão Linear

a = ∑

 N i=1 xi yi−

 1 N ∑

 N i=1 xi∑

 N i=1 yi

∑ N i=1 x2

i  − 1 N 

(∑ N i=1 xi)2

  (1.7)

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14

b = ∑

 N i=1 yi−a∑

 N i=1 xi

 N (1.8)

1.5 Conclusões

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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15CAPÍTULO   2

Experimento - Construção de Gráficos

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

2.1 Objetivos

No experimento - Construção de Gráficos, os alunos deverão aprender como construir o

gráfico de uma grandeza experimental. A equipe responsável pela explicação desse roteiro de-

verá fazer uma revisão das principais funções matemáticas (função linear, função quadrática,

função inversa, função logarítmica natural e na base 10, função exponencial) e seus respectivos

gráficos, potenciação e propriedades dos logarítmos (natural e base 10). A equipe deve mostrar

como montar o gráfico no papel milimetrado e fazer a leitura do mesmo. Falar sobre a im-

portância da linearização de uma função matemática. Além disso, dar sequência na técnica de

regressão linear para a obtenção dos parâmetros (coeficiente angular e coeficiente linear).

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2.2 Introdução

2.2.1 Regressão Linear

a = ∑

 N i=1 xi yi−

 1 N ∑

 N i=1 xi∑

 N i=1 yi

∑ N i=1 x2

i  − 1 N 

(∑ N i=1 xi)2

  (2.1)

b = ∑

 N i=1 yi−a∑

 N i=1 xi

 N (2.2)

Equação da Reta −→ y = ax + b. onde a é o coeficiente angular da reta, b é o coeficiente

linear.

2.2.2 Gráficos de um polinômio de grau n

Os gráficos de funções matemáticas do tipo:

 y = cxn (2.3)

onde n pode assumir qualquer número real  (ℜ). Dependendo do valor de n, o gráfico pode

ser uma reta, uma parábola etc. Para o caso geral, a função pode ser linearizada usando as

propriedades de logarítmo, da seguinte forma:

 y = cxn (2.4)

logy = log (cxn)   (2.5)

logy = logc + nlogx   (2.6)

Comparando a equação 2.6 com a equação da reta, nós podemos concluir que:  log c = b, ou

seja, o coeficiente linear da reta e, usando a propriedade de potenciação, nós escrevemos que

c= 10b. O coeficiente angular (a) da reta é o parâmetro n na equação 2.6, após a linearização.

Os coeficientes angular (a) e linear (b) podem ser calculados utilizando a  Regressão Li-

near (equações 2.1 e 2.2, respectivamente). (Sugestão: represente os valores com a quantidade

correta de algarimos significativos.)

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2.3 Materiais Utilizados

• Calculadora científica

• Régua com escala milimetrada

• Papel milimetrado

2.4 Procedimento Experimental

2.4.1 Velocidade Quadrática Média

A velocidade quadrática média (vqm) das moléculas de um gás monoatômico está relacio-

nada com sua massa molecular (M) e com a temperatura absoluta (K) através da equação:

vqm =

 3k  BT 

 M (2.7)

onde k  B é a constante de Boltzmann (k B= ,138 x 10−38 J.mol−1.K−1). Em uma experiência,

mediu-se a velocidade quadrática média do ar, variando-se sua temperatura. Os dados obtidos

encontram-se na tabela abaixo:

Tabela 2.1   Medidas da velocidade quadrática média e a temperatura absoluta (K).

vqm(m/s) 485,00 568,50 630,70 705,60 761,50

T(K) 273 373 473 573 673

a - Linearize a equação, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os

coeficientes linear e angular.   b- Utilizando a regressão linear, determine a equação da melhor

reta e represente-a graficamente, juntamente com os pontos experimentais.   c  - A partir dos

valores obtidos no item (b), determine o valor da massa molecular do gás (em g/mol). Dados:

1 mol −→ 6,023 x 1023 moléculas. (Sugestão: represente os valores com a quantidade correta

de algarimos significativos.)

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2.4.2 Momento de Inércia

O momento de Inércia (I) está relacionado com a resistência que determinado objeto oferece

quando tentamos rotacioná-lo. O momento de inércia de um disco metálico uniforme, de massa

desconhecida e raio r=0,015m, é determinado fazendo-o girar sob a ação da força peso de uma

outra massa m=0,0100 kg suspensa por um fio que está inicialmente enrolado no disco metálico.

Para uma mesma altura de queda da massa m, mediu-se o ângulo φ  de rotação do disco metálico

e o tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:

Tabela 2.2  Medidas do ângulo φ  (rad) e o tempo t em segundos.

φ  (rad) 12,24 76,50 295,10 480,00 800,80

t (s) 49,5 123,7 242,9 310,0 400,2

A equação que relaciona estas grandezas é dada por:

φ  = Kt n (2.8)

a - Linearize a equação dada, identificando as variáveis dependentes e independentes e os

coeficientes linear e angular.  b - Faça o gráfico da equação linearizada.  c - A partir do gráfico,

determine o valor de n e de K, com suas respectivas unidades.  d - Sabendo-se que:

K  =  mgr 

2 I cm(2.8)

calcule o valor do momento de inércia Icm do disco metálico. Considere a aceleração da gravi-

dade g = 9,7915 m.s−2.

2.5 Conclusões

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(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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20CAPÍTULO   3

Experimento - Queda Livre

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

3.1 Objetivos

No experimento - Queda Livre, os alunos deverão aprender como estimar uma grandeza

experimental. A equipe responsável pela explicação desse roteiro deverá fazer uma revisão

histórica, da antiguidade até os dias atuais, sobre os experimentos utilizados para determinar

o módulo da aceleração da gravidade. Discutir sobre a variação do módulo da aceleração da

gravidade com a altitude e longitude. A equipe deve mostrar como montar o gráfico no papel

milimetrado e fazer a leitura do mesmo. Falar sobre a importância da linearização de uma

função matemática. Além disso, dar sequência na técnica de regressão linear para a obtenção

dos parâmetros (coeficiente angular e coeficiente linear). Discutir as possíveis fontes de erros

na execução desse experimento. Caracterizar o movimento de queda livre (QL), compará-lo

com o movimento retilíneo uniformemente acelerado ( MRUA) e determinar o valor aproximado

da aceleração da gravidade no local do experimento.

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3.2 Introdução

O movimento de queda livre é um caso particular do movimento retilíneo uniformementeacelerado que é dado pela equação:

h(t ) = h0 + v0t  + 12

gt 2 (3.0)

onde h(t) é a altura do móvel no tempo t, h0 a altura a partir da qual o móvel cai, v0 a velocidade

inicial do móvel (nula se a queda é livre) e g é a aceleração da gravidade.

3.3 Materiais Utilizados

• Painel vertical com escala

• sistema de retenção e haste com fixador

• 1 esfera metálica

• Sensores fotoelétricos

• Cronômetro digital

• Régua milimetrada

• Papel milimetrado

3.4 Procedimento Experimental

No painel vertical com escala milimetrada podem ser fixados dois fotosensores. O primeiro

sensor que está posicionado no zero da escala, dispara o cronômetro quando seu feixe de luz é

interrompido. O segundo fotosensor para a contagem do cronômetro quando sua luz é bloque-

ada. Desse modo, consegue-se medir o intervalo de tempo de queda da esfera que é registrado

pelo cronômetro. Sabendo disso faça o seguinte:

1. O sensor inferior de ser fixado a uma dada altura.

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2. A esfera deve ser liberada  cinco vezes, a partir do fotosensor que está posicionado no

ponto de referência.

3. Os tempos devem ser anotados na tabela para futuros cálculos do tempo médio e o desvio

padrão da média.

4. O fotosensor de referência não pode ser removido até o fim da aquisição de dados.

5. Varie o fotosensor inferior para outra posição na escala graduada e repita a coleta dos

tempos e os cálculos da média e desvio padrão.

6. O fotosensor deve ser fixado em outras posições e os tempos devem ser anotados na

tabela.

Tabela 3.1   Medidas das alturas h (m) e do tempo de queda de uma esfera.

Medida 1 2 3 4 5

h (m)   t    σ t 

t1(s)   t 1=   σ t 1=

t2(s)   t 2=   σ t 2=

t3(s)   t 3=   σ t 3=

t4(s)   t 4=   σ t 4=

t5(s)   t 5=   σ t 5=

Tabela 3.2  Medidas das alturas h(m) e as médias dos tempos ao quadrado  (t i)2) para a construção do

gráfico (h vs (t i)2

)).

h (m)

(t i)2)

b - Para a execução do experimento - Queda Livre, a resistência do ar foi desconsiderada.

Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a função horária para a velocidade do

projétil considerando que a resistência do ar é dado por  F =-b v. Estime a velocidade terminal da

esfera.

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23

3.4.1 Equações

Média e Desvio padrão

 x = ∑

 N i=1 xi

 N =

  1 N 

( x1 + x2 + x3 + ...+ x N )   (3.1)

σ  =

 ∑

 N i=1( xi− x)2

n−1  (3.1)

σ m = σ 

 N  (3.1)

Regressão Linear

a = ∑

 N i=1 xi yi−

  1 N ∑

 N i=1 xi∑

 N i=1 yi

∑ N i=1 x2

i  − 1 N 

(∑ N i=1 xi)2

  (3.1)

b = ∑

 N 

i=1 y

i−a∑

 N 

i=1 x

i N  (3.1)

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3.5 Conclusões

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25

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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26CAPÍTULO   4

Experimento - Movimento no Plano

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

4.1 Objetivos

No experimento - Movimento no plano, os alunos deverão aprender sobre vetores e decom-

posição de vetores em termos de suas componentes. Nesse caso, as componentes x e y dos

vetores velocidade ( v) e deslocamento ( r ). A equipe responsável pela explicação desse roteiro

deverá fazer uma revisão sobre representação de vetores e seus versores (vetores unitários),

trigonometria básica (seno, cosseno e tangente). Discutir sobre a obtenção das equações quedescrevem o movimento. A equipe deve explicar como analisar a parte teórica do experimento,

montar e executar a parte experimental. Apresentar a motivação teórico - prático para estudar

tal assunto. Além disso, falar sobre a importância da manipulação matemática das equações.

4.2 Introdução

Nesta atividade, aplicaremos as equações da cinemática para o movimento de uma esfera

maciça lançada como um projétil contra um alvo, que cai sob efeito da gravidade no momento

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do disparo (Queda livre). O projétil deve atingir o alvo, seja qual for sua velocidade inicial

de lançamento, desde que o alvo esteja dentro da trajetória do projétil. Toda a fundamentação

teórica deverá ser abordada pela equipe responsável pela explicação, consultando no livro textoa parte de queda livre e movimento no plano (movimento em duas dimensões).

4.3 Materiais Utilizados

• Duas esferas maciças

• Lançador de projéteis

• Sistema de largada eletromagnético

• Régua, trena, papel carbono e papel branco

4.4 Procedimento Experimental

Figura 4.1  Lançamento de projétil.

a  - Posicione o lançador formando um ângulo  θ  entre 30o e 45o. Realize um tiro livre

e meça o alcance horizontal xalc= (ver Figura 1). Anote o valor do ângulo

θ = .

b - Coloque a haste do sistema de largada numa distância de x menor que xalc. Alinhe o

lançador de projéteis de modo que aponte diretamente para a esfera acoplada ao sistema de

largada. Se necessário altere a posição do sistema de largada eletromagnético. Realize vários

tiros e verifique a colisão entre as esferas.

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c - Com os valores de xalc , y0 e  θ , calcule a velocidade inicial . vO = da

esfera lançada.

d  - Com o valor de vO   , ximp  e  θ  calcule a altura yimp   onde as esferas colidirão. yimp

= . Com o auxílio de uma régua (e um papel carbono colado a mesma) colo-

cada na linha vertical sobre a qual a esfera presa a bobina cairá, realize um disparo e anote o

valor marcado na régua( yexp  = ). Compare yexp  com o valor de yT  calculado.

yexp   yT .

Explique seu resultado.

4.5 Questão teórica

- Durante as erupções vulcâncias, grandes pedaços de pedra podem ser lançados para forado vulcão, esses projéteis são conhecidos como bombas vulcânicas. A figura mostra uma seção

tranversal do monte Fuji, no Japão.   a - Com que velocidade inicial uma bomba teria que ser

lançada, com um ângulo  θ 0 = 350 em relação à horizontal, a partir da cratera A, para cair no

ponto B, a uma distância vertical h = 3,30 km e a uma distância horizontal de d = 9,40 km?

Ignore o efeito da resistência do ar sobre o movimento da bomba.   b - Qual seria o tempo do

percurso? c - O efeito da resistência do ar aumentaria ou diminuiria a resposta do item (a)

Figura 4.2  Lançamento de projétil.

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4.6 Conclusões

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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PARTE II

Segunda Unidade

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31CAPÍTULO   5

Experimento - Vantagem Mecânica da Roldana

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

5.1 Objetivos

Neste experimento, nós iremos entender como o uso de roldanas é extremamente importante

para facilitar a aplicação de força para o levantamento de cargas. Esse conceito, normalmente,

não é tão explorado na disciplina teórica de Mecânica Clássica. Porém, a associação de rolda-

nas (ou polias) deve ser abordado nas aulas experimentais de Mecânica Clássica devido à sua

aplicação direta em diferentes áreas da Engenharia e da tecnologia.

O grupo responsável pela apresentação desse experimento deve fazer uma breve revisão

histórica sobre o uso de polias. Além disso, o grupo deve apresentar as equações matemáticas

necessárias para entender como a associação de polias facilita a aplicação de forças e explicar os

conceitos sobre Força Motora, Força Resistente e Vantagem Mecânica para os diferentes tipos

de associações de roldanas. Citar algumas aplicações tecnológicas em que são usadas essas

associações de roldanas.

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5.2 Introdução

Uma máquina simples (MS) pode ser definifa como qualquer dispositivo mecânico que nãopode ser decomposto em outro. A máquina simples pode ser responsável pela alteração do

módulo, direção ou método de aplicação de uma força, com o intuito de obter uma vantagem

prática. Existem diversos exemplos de máquinas tais como: as alavancas, os planos inclinados,

as roldanas etc. A função de uma MS não é aumentar o trabalho realizado devido à aplicação

de uma força, ou seja, o trabalho realizado por uma máquina nunca é maior do que o trabalho

fornecido a ela. Para entender melhor, vamos considerar a situação em que o operário deseja

levantar uma caixa que possui um peso qualquer, para uma dada altura h através da aplicaçãode uma força motora (força aplicada). Considerando que não existe perdas de energia devido

ao atrito, o trabalho total (W T  ) do sistema deve ser nulo. Desse modo, matematicamente, nós

podemos escrever a equação 5.1:

W T  = W F a + W F r   (5.1)

onde W T  representa o trabalho total,  W F a representa o trabalho devido à força aplicada e  W F r  é

o trabalho referente à força resistente (peso do objeto que desejamos levantar). O deslocamentodo cabo de aço será sempre na mesma direção e sentido da força aplicada. Considerando que

L é o comprimento do cabo que foi puxado pelo operário e h a altura da carga, em relação ao

solo, nós podemos escrever a equação 5.3:

F a Lcos(0) + F r hcos(180) = 0 (5.2)

 L = F r 

F a

h   (5.3)

A razão entre a força resistente e a força aplicada é denominada de Vantagem Mecânica.

Desse modo, a relação entre a quantidade de cabo a ser usada para levantar uma carga depende

da vantagem mecânica da máquina. Desse modo, é necessário saber qual é a vantagem mecânica

de diferentes tipos de associações de roldanas antes de usá-las.

5.3 Materiais Utilizados

• Calculadora científica

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• Haste principal com uma roldana fixa;

• Três roldanas móveis com gancho;

• dinamômetro (capacidade máxima 2N)

• Massas acopláveis de 50 g e gancho (lastro);

• Uma escala milimetrada.

5.4 Procedimento Experimental

Para a execução da parte experimental, os alunos devem seguir os seguintes passos:

1- Meça o peso do conjunto: um gancho lastro e 4 ou 5 massas acopláveis, anotando o valor

encontrado como força resistente (F  R = ).

2- Monte um sistema de talha exponencial, composto respectivamente, por uma, duas e três

roldanas móveis, uma roldana fixa e 4 ou 5 massas acopláveis. Coloque o dinamômetro na

ponta livre do cordão, segundo a orientação da Figura 5.1 e preencha a tabela 5.1.

Figura 5.1  Associação de polias.

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Tabela 5.1   Valores experimentais para as forças aplicadas (F a) e a Vantagem Mecânica (V m) para as três

associações de roldanas.

1roldana 2 roldanas 3 roldanasF a

V m

Questão 1 - Demonstre a seguinte equação:

F a = F r 

2n  (5.4)

onde o n é número de roldanas móveis utilizadas na talha exponencial.

5.4.1 Determinação Experimental da Vantagem Mecânica do Cadernal Paralelo

Para a execução dessa parte do experimento os alunos deverão seguir as seguintes etapas:  1-

Meça o peso do conjunto de 3 polias móveis paralelas e anote;

2- Calcule o valor da força resistente total  F  R  = (P1 +  P2  ), onde  P1  é o peso do conjunto

móvel de polias paralelas e  P2 é o peso do conjunto formado por um gancho lastro e 4 massas

acopláveis:

F R = + =

3 - Na outra extremidade, coloque o dinamômetro, segundo a orientação indicada na Figura

5.2. Meça o valor da força aplicada  F a utilizando o dinamômetro e anote:

Fa =

Questão 2 - Calcule a vantagem mecânica do cadernal. (V m = )

Questão 3 - Demonstre a seguinte equação:

F a = F r 

n(5.5)

onde n é número de trechos de corda ou o número de roldanas utilizadas no cadernal paralelo.

5.5 Conclusões

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35

Figura 5.2  Cadernal Paralelo.

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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36CAPÍTULO   6

Experimento - Equilíbrio no Plano Inclinado

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

6.1 Objetivos

No experimento de Equilíbrio no plano inclinado, a equipe responsável pela apresentação

deverá fazer uma revisão sobre as leis de Newton e o princípio de superposição de forças.

Apresentar quais são as condições necessárias para o equilíbrio estático. Além disso, a equipe

deverá citar qual a importância prática do plano inclinado na Engenharia.

6.2 Materiais Utilizados

• Um plano inclinado com ajuste angular regulável;

• Duas massas acopláveis de 50 g;

• Um carrinho com conexão para dinamômetro;

• Um dinamômetro.

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6.3 Procedimento Experimental

Para a execução da parte experimental, os alunos devem seguir os seguintes passos:1 - Verifique se o dinamômetro está zerado.

2 - Determine o peso P do móvel formado pelo conjunto carro e duas massas de 50 g aco-

pladas. P = ( )N

3 - Girando o manípulo do fuso de elevação continua, incline o plano até um ângulo dese-

 jado. α  =( )

4 - Prenda o móvel pela conexão ao dinamômetro, evite que a escala móvel graduada não se

atrite com a parte externa, conforme está indicado na figura 6.1.

Figura 6.1  Plano Inclinado.

Questionário

1 - Faça o diagrama de forças que atuam no sistema. Desconsidere a força de atrito.

2 - Caso o móvel fosse solto do dinamômetro, o que aconteceria com ele? Justifique a sua

resposta. Qual é o agente físico responsável pelo movimento do móvel ao longo da rampa?

3 - Qual é o valor da aceleração do móvel na direção do plano incliando?

4 - Calcule o valor da força normal.

5 - Para que valores tendem as componentes P x eP y quando o plano incliando tende ao ângulo

de 900. Justifique a sua resposta.

6 - Escreva uma equação para estimar o coeficiente de atrito estático (µ ). Sugestão: Re-

presente o diagrama de forças, considerando a força de atrito entre as rodas do carrinho e os

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trilhos.

6.3.1 Questão Teórica

Questão 1-  Um bloco de massa m1 = 3,70 kg, sobre um plano inclinado, de um ângulo  θ  =

30,00 está preso por um cabo de aço, que passa por uma roldana de massa e atrito desprezíveis.

O outro bloco que está na outra extremidade do cabo possui massam2 = 2,30 kg. Quais são (a)

o módulo da aceleração de cada bloco, (b) a tensão no cabo de aço?

6.4 Conclusões

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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39CAPÍTULO   7

Experimento - Conservação da Energia Mecânica

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

7.1 Objetivos

Nesta aula experimental, nós iremos estudar a aplicação da conservação de energia mecâ-

nica ao movimento de uma esfera maciça que desce uma rampa e é lançada horizontalmente

(movi- mento oblíquo) até atingir a bancada do laboratório. A equipe responsável por esse

experi- mento deve explicar toda a fundamentação teórica necessária para a execução do ex-

perimento. A equipe deve fazer uma breve descrição sobre os princípios de conservação queexistem nanatureza.

7.2 Materiais Utilizados

• Rampa de lançamentos;

• Esfera de massa m

• Régua, papel carbono e papel branco

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• Papel milimetrado

7.3 Procedimento Experimental

Monte o experimento de acordo com a figura 7.1. Meça a altura h do ponto de lançamento

da esfera (extremidade da rampa) e anote (h = ).

Figura 7.1   Plano Inclinado para a execução do experimento de conservação de energia mecânica.

2 - Meça a altura de cada posição de largada y da esfera, e anote na tabela 7.1.

3 - Solte a esfera de cada altura y, de modo que caia na folha de papel carbono colocado

sobre o papel branco, deixando as marcas do impacto e anote na tabela 7.1. Para cada altura y,

faça 4 repetições e obtenha o valor médio para o alcançe A.

Tabela 7.1   Medidas das alturas y (m) e do alcance experimetal de uma esfera.

Medida y1(m)   y2(m)   y3(m)   y4(m)   y5(m)

1a

2a

3a

4a

5a

 A A y1=   A y2=   A y3=   A y4=   A y5=

Questão 1 - Usando a Lei de Conservação de energia Mecânica e desprezando a energiacinética de rotação associada ao movimento, mostre que o alcance  ASR (alcance sem rotação)

da esfera, quando largada de uma altura y na rampa de lançamentos é dado pela equação:

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 ASR = 2  yh   (7.1)

Questão 2- Usando a Lei de Conservação da Energia Mecânica e considerando a energia

cinética de rotação associada ao movimento. mostre que o alcance  ACR (alcance com rotação)

da esfera, quando largada de uma altura y na rampa de lançamentos é dado por:

 ACR = 2

 57

 yh   (7.2)

Sugestão:

• Momento de inércia de uma esfera maciça de raio R e massa m:  I  = 2mR2/5.

• Energia cinética devido à rotação de um corpo com momento de inércia I: E R =  I ω 2 /2.

• Velocidade linear em função da velocidade angular: v =  ω R.

Questão 3 - Com os valores medidos para y e h e, usando as duas equações demonstradas

anteriormente, preencha a tabela 7.2

Tabela 7.2   Medidas das alturas y (m) e do alcance com rotação ( ACR) e sem rotação ( ASR) de uma esfera.

y1(m)   y2(m)   y3(m)   y4(m)   y5(m)

 ASR

 ACR

Questão 4 -  Usando os valores experimentais obtidos para o alcance A (tabela  7.1) e os

valores teóricos da tabela 7.2, trace na mesma folha de papel milimetrado e na mesma escala,

os gráficos de  Aexp  vs y,   ASR  vs y e  ACR  vs y. Analisando estas curvas, identifique qual dos

modelos teóricos melhor descreve a experiência realizada justificando a sua escolha.

7.4 Conclusões

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(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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43CAPÍTULO   8

Experimento - Conservação da Energia Mecânica

(Energia Potencial Elástica)

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

8.1 Objetivos

Aplicar o princípio da conservação da energia mecânica utilizando as energias envolvidas

(potencial elástica, potencial gravitacional e cinética) no lançamento oblíquo. Aplicaremos as

equações da cinemática para o movimento de uma esfera maciça lançada por um sistema delançamento com mola. Através da conservação da energia mecânica, considerando a energia

potencial elástica da mola do lançador, será obtida a velocidade inicial de lançamento e o al-

cance do projétil. A equipe responsável pela apresentação desse experimento deve apresentar

toda a fundamentação teórica, que pode ser encontrada no livro texto, nos capítulos que abor-

dam a conservação da energia mecânica e movimento num plano.

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44

8.2 Materiais Utilizados

• Esfera de massa 8g;

• Lançador de projéteis;

• Régua, papel carbono.

8.3 Procedimento Experimental

A execução do experimento deve seguir as seguintes etapas:

1 - Desaperte o parafuso do lançador (debaixo da bancada) e gire o aparato experimental

(lançador), de modo que seja possível colocá-lo em 900 .

2 - Pendure o conjunto lastro + discos (5 discos de 50 g) no puxador do ganhão e meça a

elongação da mola do lançador ( x1 = ). Calcule a constante elástica da mola (K),

utilizando a segunda Lei de Newton e a lei de Hooke (K = ).

3 - Regule o sistema de lançamento de modo que a mola esteja relaxada e sem folga quando

desarmado.

4 - Coloque a esfera (pequena) dentro do lançador, escolha um ângulo de lançamento (θ 0

= ) e meça a altura inicial (y0 = ) de saída da esfera em relação à

mesa.

5 - Arme o sistema de lançamento e meça o deslocamento do puxador, que corresponde ao

deslocamento da mola da posição de relaxamento ( x2 = ).

6 - Aplique o princípio da conservação da energia mecânica para o caso da esfera dentrodo lançador e determine a velocidade inicial de lançamento (v0 = ) esfera imedi-

atamente fora do lançador, conforme pode ser observado na figura 8.1.  Lembre-se de somar a

massa do êmbolo do lançador (54g) à massa da esfera.

7 -  Com o valor de  v0 ,  θ 0 e  y0 , determine a posição ( xcalc = ) do alcance da

esfera na mesa.

8 - Realize um disparo livre e meça xexp e compare o valor calculado do item anterior. ( xexp

= )9 -  Faça um relatório resumido com seus cálculos, observações e as respostas das questões

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45

Figura 8.1   Aparato do experimento de conservação de energia mecânica - energia potencial elástica.

o exercício. Explique por que é necessário somar a massa do embolo à da esfera na aplicação

da conservação da energia mecânica no movimento dentro do lançador.

8.3.1 Questão Teórica

Questão 1 - Joãozinho deseja levar um presente surpresa para Mariazinha que mora num

apartamento que está a 100 m acima do solo. Mas, Joãozinho não deseja se encontrar com

os pais de Mariazinha porque eles são muito bravos. Mariazinha está de castigo e não está

frequentando às aulas na UFERSA. Joãozinho é um bom aluno do curso de Bacharelado emCiência e Tecnologia. Ele constroi um dispositivo para lançar verticalmente o presente para

Mariazinha. Considerando que a massa m = 1,0 kg e a constante elástica da mola é K = 20000

N/m. A deformação (compressão) da mola é 20,0 cm. Será que ele vai conseguir atingir a

altura da janela de Mariazinha? Caso contrário, discuta como o dispositivo deveria ser alterado

para que ele consiga alcançar a altura desejada? Lembre-se que a alteração do projeto deve

considerar a relação custo-benefício.

8.4 Conclusões

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(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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PARTE III

Terceira Unidade

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48CAPÍTULO   9

Experimento - Conservação do Momento Linear -

Colisões

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

9.1 Objetivos

Nesta aula prática nós iremos estudar, do ponto de vista experimental, o princípio de Con-

servação do Momento Linear (ou princípio de conservação da quantidade de movimento - termo

mais usado em Engenharia) utilizando o colchão de ar para a realização de colisões elásticas einelásticas. Os alunos responsáveis por essa prática deverão fazer uma introdução teórica mos-

trando as equações necessárias para a compreeensão e execução da parte experimental. Além

disso, a equipe deve citar como motivação, as aplicações práticas e tecnológicas referentes ao

princípio de conservação do momento linear.

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49

9.2 Introdução

Uma colisão entre duas partículas pode ser do tipo frontal ou lateral. Durante o processode colisão pode ocorrer troca de energia e momento, devido à interação entre as partículas.

Essas partículas podem ser macroscópicas, onde valem as leis de Newton, ou subatômicas onde

devemos considerar as leis da Física Moderna (Mecânica Quântica).

A interação entre as partículas podem ter como resultado as mesmas duas partículas ini-

ciais. Nesse caso, o processo é definido como espalhamento. Mas, pode ocorrer uma reação

química entre as partículas e o resultado final será diferente, gerando como produto uma ou

mais partículas diferentes das iniciais.Nessa aula experimental, nós estudaremos as colisões elásticas e inelásticas na escala ma-

croscópica entre duas partículas.

9.3 Material Utilizado

• Trilho de ar (colchão de ar);

• Gerador de Fluxo de Ar;

• Cavaleiros e massas acopláveis;

• Sensores e cronômetro digitais.

Os materiais necessários estão reunidos na figura 9.1.

9.4 Procedimento Experimental

Para a execuçãoo dessa aula prática, os alunos devem observar os seguintes passos:

1 - ATENÇÃO -   Os carrinhos não devem ser colocados em cima do trilho de ar, se o

gerador de fluxo de ar estiver desligado. Esse cuidado é necessário para evitar que o trilho seja

danificado (arranhado).2 -  Meça o espaçamento entre os fotosensores (∆X= )m. Ligue o gerador e

controle o fluxo de ar. Ligue o cronômetro e escolha a função necessária para medir os tempos

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Figura 9.1   Aparato experimental para a execução do experimento sobre conservação do momento linear

- colisões.

antes e após a colisão.

3 - Coloque os dois cavaleiros de massa M no trilho. Acople as massas m quando solicitado.

Observe se o ar que sai pelos furos do trilho é suficiente para a redução do atrito entre o carrinho

e o trilho. Caso contrário, aumente o fluxo de ar. Porém, observe se o fluxo de ar não está

provocando vibrações no carrinho durante o seu movimento. Essas vibrações podem ser fontes

de erros experimentais.

Colisões Elásticas

4 -  Para as colisões do tipo elástica, você deve acoplar o acessório que possui um elástico

ao carrinho A. Observe a figura.

Figura 9.2   Aparato experimental para a execução colisões inelásticas.

5 - A primeira parte do experimento - Colisões Elásticas será dividida em três casos: a)

massas dos carrinhos iguais ( M  A  =   M  B); b) massa do carrinho A maior do que a massa docarrinho B ( M  A  >  M  B); c) Massa do carrinho B maior do que a massa do carrinho A ( M  A  <

 M  B).

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6 - Com o cavaleiro B em repouso, aplique um impulso no cavaleiro A na direção do elástico

que está fixo na extremidade do trilho. Anote os valores experimentais na tabela  9.1:

Tabela 9.1   Valores experimentais para as colisões elásticas.

Relação das Massas1 V A (m/s) V’ A (m/s) V’ B (m/s)   ∆T1(s)   ∆T2(s)

=

>

<

Observação 1: A relação das massas deve considerar a seguinte equação 9.1:

 M  A + m

 M  B + m(9.1)

onde M  A é a massa do carrinho A,  M  B é a massa do carrinho B e m é a massa acoplada.

Observação 2:

Sejam

•   V  A a velocidade do cavaleiro A antes da colisão;

•   V  A a velocidade do cavaleiro A após a colisão;

•   V  B a velocidade do cavaleiro B após a colisão;

•   ∆T1 o intervalo de tempo do cavaleiro A antes da colisão;

•   ∆T2 o intervalo de tempo do cavaleiro B após a colisão;

Colisões Inelásticas

7 - Coloque os dois cavaleiros de massa M no trilho. Acople as massas m quando solicitado.

Observe se o ar que sai pelos furos do trilho é suficiente para a redução do atrito entre o carrinho

e trilho. Caso contrário, aumente o fluxo de ar. Porém, observe se o fluxo de ar não está

provocando vibrações no carrinho durante o seu movimento. Essas vibrações podem ser fontes

de erros experimentais.

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8 -  Para as colisões do tipo Inelástica, você deve desacoplar o acessório que possui o elástico

e conectar o acessório pontiagudo ao carrinho A. No carrinho B conecte o acessório que possui

um local para colocar massa de modelar. Observe se a massa de modelar não está ressecada.9 - A primeira parte do experimento - Colisões Inelásticas será dividida em três casos: a)

massas dos carrinhos iguais ( M  A  =   M  B); b) massa do carrinho A maior do que a massa do

carrinho B ( M  A  >  M  B); c) Massa do carrinho B maior do que a massa do carrinho A ( M  A  <

 M  B).

10 -  Com o cavaleiro B em repouso, aplique um impulso no cavaleiro A na direção do

elástico que está fixo na extremidade do trilho. Anote os valores experimentais na tabela  9.2

Tabela 9.2   Valores experimentais para as colisões inelásticas.

Relação das Massas1 V A (m/s) V’ A (m/s) V’ B (m/s)   ∆T1   ∆T2

=

>

<

9.4.1 Questionário

1 -  A partir da análise dos dados experimentais, demonstre que a energia cinética total

para colisões elásticas se conserva. Se não ocorreu a conservação da energia cinética, qual é a

possível fonte de erro?

2- Explique o que ocorreu com a energia cinética total para colisões inelásticas.

9.4.2 Questões Teóricas

3 - Utilizando o princípio da conservação do momento linear e a conservação da energia

cinética. Demonstre que:

V  A f  =

 M  A− M  B

 M  A + M  B

V  Ai

 +

  2 M  B

 M  A + M  B

V  Bi

  (9.2)

V  B f  =

  2 M  A

 M  A + M  B

V  Ai

 M  A− M  B

 M  A + M  B

V  Bi

  (9.3)

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Analise os seguintes casos limites: a) M  A é muito maior do que  M  B; b) M  A é muito menor

do que M  B.

4 -   Um astronauta de 60 kg de massa está no espaço consertando um satélite de comuni-cações, quando resolve consultar o manual de reparos. Você está de posse do manual e o lança

para o colega com uma velocidade de 4,0 m/s em relação à espaçonave. O seu colega está em

repouso em relação à espaçonave, antes de agarrar o manual de 3,0 kg. Determine (a) a veloci-

dade do astronauta, imediatamente após agarrar o livro; (b) as energias cinéticas inicial e final

do sistema astronauta - livro e (c) o impulso exercido sobre o astronauta.

9.5 Conclusões

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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54CAPÍTULO   10

Experimento - Conservação do Momento Linear

em duas dimensões

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

10.1 Objetivos

Nesta aula prática nós iremos estudar, do ponto de vista experimental, o princípio de Con-

servação do Momento Linear em duas dimensões. Os alunos responsáveis por essa prática

deverão fazer uma introdução teórica mostrando as equações necessárias para a compreeensãoe execução da parte experimental. Além disso, a equipe deve citar como motivação, as aplica-

ções práticas e tecnológicas referentes ao princípio de conservação do momento linear em duas

dimensões.

10.2 Introdução

No caso de colisões no plano bidimensional, nós vamos considerar que a partícula alvo está

em repouso. A teoria para a compreensão desse assunto é parte complementar do experimento

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anterior (Conservação do Momento Linear - Colisões).

Nesse experimento, nós vamos considerar que uma esfera maciça (M A) desce a rampa e

colide com uma esfera maciça B ( M  B) que está em repouso. As massas das esferas são iguais.Após a colisão lateral ocorre o espalhamento das esferas. Apesar de o evento ocorrer no espaço

tridimensional, ele pode ser modelado como se fosse um evento bidimensional porque não

ocorre variação do momento linear ao longo do eixo z.

Imediatamente após a colisão, as esferas se comportam como se fossem projéteis. As equa-

ções que explicam o evento são aqueles referentes ao movimento oblíquo (bidimensional). A

figura 10.1 é uma representação esquemática do experimento de conservação de momento linear

bidimensional.

Figura 10.1   Aparato experimental para a execução do experimento conservação do momento linear em

duas dimensões.

Do ponto de vista teórico é possível prever o ângulo de espalhamento (θ  B), desde que se

conheçam os raios de ambos os corpos,  R A e  R B. Durante o curto intervalo de tempo em que

eles estão em contato, um imprime um impulso sobre o outro. A direção das forças impulsoras

coincide com a reta que passa pelos centros de massa dos corpos. Desse modo, nós podemos

escrever a seguinte equação 10.1

θ  B =  arcsen

  b

 R A + R B

  (10.1)

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onde  R A  é raio da esfera A,  R B é o raio da esfera B e b é comprimento de interação entre as

esferas (parâmetro de impacto), conforme pode ser observado na figura 10.2.

Figura 10.2  Representação esquemática do experimento conservação do momento linear em duas di-

mensões, antes e após a colisão.

10.3 Material Utilizado

• Rampa de lançamentos

• Duas esferas de massa

• Régua, papel carbono e papel branco

• Transferidor

10.4 Procedimento Experimental

Para a execução do experimento, a equipe deve seguir os seguintes passos:

1 -   Meça a altura y de onde a esfera A será lançada até a base da rampa e anote o valor (y= ) m

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2 -  Meça a altura h do ponto em que a esfera deixa a rampa (extremidade da rampa que

coincide com o ponto de colisão das esferas) até a bancada do laboratório. O ponto O (ponto de

origem) e a extremidade da rampa pertencem a uma mesma linha vertical (h =m).

3 -  Lance a esfera A sozinha, observe o alcance e fize uma folha de papel carbono. A

seguir, lance a esfera A cinco vezes da mesma altura y ("tiro livre"), marque o ponto P médio

(determinado pelo centro geométrico) onde ela atinge o plano da mesa e trace o eixo x. Meça a

distância D A entre os pontos O e P. ( D A = m).

4 -   Lance a esfera A cinco vezes, com a esfera B em repouso no ponto B. Após a colisão, as

esferas se comportam como projéteis até atingirem a bancada do laboratório. Meça as distânciasdas posições médias das duas esferas, d  A, d  B, e os ângulos θ  A e θ  B e anote na tabela 11.1. Utilize

um papel carbono e um transferidor para determinar o ângulo. Ver a figura 10.2.

Tabela 10.1   Valores experimentais para a conservação do momento linear em duas dimensões.

d  A (m)   θ  A   d B   θ  B

5 - Utilize a conservação da energia mecânica, considerando a energia cinética de rotação,

para determinar a velocidade inicial da esfera A (V  A), imediatemente, antes de colidir com a

esfera B que está em repouso. (V  A = m)

6 - A partir dos dados obtidos experimentalmente, verifique o princípio da conservação do

momento linear nos eixos x e y e mostre que:

V  A = V  A1 x+V  B1 x(10.2)

0 = V  A1 y+V  B1 y(10.3)

7 - Meça o deslocamento do parafuso, onde a esfera B se encontra, em relação à parte central

da rampa (metade da largura da rampa) para estimar o parâmetro de impacto (b= ).

Meça os raios das esferas R A =  R B = . A partir da equação 10.1 determine o ân-

gulo de espalhamento teórico (θ  B= ). O valor experimental coincide com o valor

teórico? Explique a sua resposta

8 -   Anexe uma folha com todos os cálculos e o desenvolvimento de suas respostas conside-

rando os erros envolvidos.

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10.4.1 Questão teórica

1-  Duas partículas deslizando com uma velocidade constante sobre uma superfície sem

atrito. As partículas têm a mesma massa e a velocidade escalar inicial V  Ai= 4,0 m/s e  V  Bi

=5

m/s e colidem no ponto em que as suas trajetórias se interceptam. Um eixo x coincide com a

bissetriz do ângulo entre as incidentes (θ =40,00). A região à direita da colisão está dividida

em quatro partes pelo eixo x (quadrantes). Em que região ou ao longo de que reta as partícu-

las viajam se: (a) a colisão é perfeitamente elástica; (b) inelástica. Quais são as respectivas

velocidades finais das partículas para os casos (a) e (b)?

10.5 Conclusões

(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-síveis erros e como proceder para minizá-los.)

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59CAPÍTULO   11

Experimento - Pêndulo Balístico

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

11.1 Objetivos

O experimento de pêndulo balístico é frequentemente usado para determinar a velocidade

de projéteis (balas de revólveres etc). A figura é uma representação esquemática do pêndulo

balístico.

A velocidade de um projétil pode ser estimada através do princípio de conservação de ener-

gia mecânica e o princípio de conservação do momento linear. Porém, nessa aula experimental,

os alunos irão aplicar os princípios da conservação da energia mecânica e do momento angular

ao movimento de um corpo extenso para a obtenção da velocidade de um projétil. Os alunos

responsáveis pela apresentação devem fazer uma breve introdução ao cálculo do momento de

inércia, teorema dos eixos paralelos, energia cinética de rotação e segunda lei de Newton para

o caso de rotações.

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Figura 11.1   Representação esquemática do experimento pêndulo balístico.

11.2 Introdução

Nós iremos aplicar os princípios de conservação da energia mecânica e conservação do

momento linear, imediatamente, após a colisão. Desse modo, nós devemos ter U = K, onde U é

a energia potencial e K é a energia cinética. A energia potencial é dado pela seguinte equação

11.1:

U  = mPg∆h   (11.1)

onde  mP é a massa total do pêndulo incluindo a massa da esfera maciça; g é a aceleração da

gravidade (9,81 m/s2) e  ∆h é diferença de altura do centro de gravidade do pêndulo entre a

posição de repouso e a máxima oscilação. Para o cálculo da diferença de altura, nós podemos

usar a seguinte equação 11.2:

∆h = l(1− cosθ )   (11.2)

A energia cinética de rotação é calculada considerando o momento de inércia  I P relativa ao

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ponto de rotação do pêndulo e à velocidade angular máxima ω  segundo a equação 11.3:

K  R = I Pω 

2

2  (11.3)

Combinado as equações 11.3; 11.2 e 11.1, nós podemos escrever uma nova equação para a

velocidade angular do pêndulo 11.4:

ω P =

 2mPgl(1−cosθ )

 I P(11.4)

onde  ω P  é a velocidade angular do pêndulo. Considerando o evento, imediatamente após a

colisão. Nós podemos considerar a conservação do momento angular e escrever a seguinte

equação:

 Remeve =  I Pω P   (11.5)

ou   (11.6)

 Remeve = I PvP

 R(11.7)

onde I  p

 =  I e + I 

b + I 

h (esfera+bloco+haste); I 

e = 2

5mR2, I 

b =  m

b R2, I 

h =   1

3m

h R2

h.

Por fim, nós podemos escrever uma equação que determina a velocidade inicial do projétil,

combinando as equações 11.7 e 11.4:

ve =

 2mP I Pgl(1− cosθ )

(me Re)2   (11.8)

11.3 Materiais Utilizados

• Lançador de projéteis

• Pêndulo balístico com massa ( M P = 0,131 kg ;  M P =  mh + mb ) raio total R = 0,287 m,

comprimento da haste Rh = 0,264 m, massa da haste mh = 0,039kg.

• Esfera de massa m = 0,023 kg

• Régua.

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11.4 Procedimento Experimental

1- O procedimento experimental é relativamente simples. Para medir o ângulo  θ m, realizecinco disparos, retornando o ponteiro para o ponto de referência, antes de um novo disparo.

Anote os valores na tabela:

Tabela 11.1   Valores experimentais para o experimento de pêndulo balístico.

medidas 1a 2a 3a 4a 5a

θ 

2 - Calcule o ângulo médio e determine o valor de cosθ m = .

3 - Calcule a velocidade do projétil.  ve = .

4 - Mantendo o lançador a  θ 0, realize um disparo e meça o alcance atingido pelo projétil.

Coloque o papel carbono. Realize outro disparo e utilize as equações de lançamento de projéteis

para calcular teoricamente velocidade inicial do projétil. Compare esse resultado teórico com o

obtido pelo pêndulo balístico.

(

vPe

vT e = )% onde vP

e é a velocidade do projétil obtido pelo pêndulo balístico

e vT e  é a velocidade obtida pelo cálculo usando as equações de lançamento de projéteis. Comente

seu resultado.

11.5 Conclusões

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(Sugestão:  A conclusão deve possuir comentários sobre os resultados experimentais, pos-

síveis erros e como proceder para minizá-los.)

11.6 Questões Teóricas

1 - Demonstre que o momento de inércia de uma barra cilíndrica maciça ao redor do eixo

central é dado por:

 I  =

 1

4 MR

2

+

  1

12 ML

2

(11.9)

Como ficaria o momento de inércia se o eixo de rotação fosse alterado para a extremidade da

barra. (Sugestão - Utilize o teorema dos eixos paralelos.)

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64CAPÍTULO   12

Experimento - Conservação do Momento Angular

Turma:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

Nome:

12.1 Objetivos

Aplicar o princípio da conservação do momento angular para medir aproximadamente o

momento de Inércia de um corpo sólido de formato irregular.

12.2 Introdução

Nesta atividade experimental, nós aplicaremos o princípio da conservação do momento an-

gular ao movimento de um conjunto pessoa+alteres+disco para a obtenção do momento de inér-

cia da pessoa. Conhecendo as expressões dos momentos de inércia do disco e dos alteres (que

serão aproximados por partículas), o momento de inércia do conjunto pessoa+alteres+disco é

dado porpela equação:

 I C  =  I P + I  A + I  D   (12.1)

onde I  A = 2mr 2 (m é a massa do altere) e  I  D =  12 MR2 (M e R são a massa e o raio do disco).

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Utilizando o princípio da conservação do momento angular, ou seja na ausência de torques

externos resultantes, o momento angular se conserva. Portanto, nós podemos escrever:

 I 1ω 1 =  I 2ω 2   (12.2)

onde I é o momento de inércia total e ω  é a velocidade angular.

Os alunos responsáveis pela apresentação devem explorar a formulação matemática relacio-

nado ao momento angular. Além disso, a equipe deve mostrar as aplicações tecnológicas como

motivação para a abordagem do assunto.

12.3 Material Utilizado

• Disco metálico sem atrito.

• Dois alteres (2 kg cada alteres)

• Roda giroscópi

• Cronômetro

• Trena.

• Paquímetro

• Estudantes voluntários

12.4 Procedimento Experimental

O procedimento experimental dessa aula será dividido em três partes.

Primeira Parte

1 -   Um aluno deve se apresentar como voluntário para a execução da aula experimental. 2 -

CUIDADOS : O aluno voluntário não pode ter LABIRINTITE. 3 - O estudante voluntáriodeverá segurar os alteres e subir no disco sem atrito, mantendo as pernas ligeiramente afastadas,

como está representado na figura 12.1:

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Figura 12.1   Representação esquemática do experimento momento angular.

Inicialmente, com os braços estendidos na posição (a) deverá ser medido o valor de   r 1

= . Em seguida, com os braços recolhidos a posição (b), deverá ser medido o

valor de r 2= .

4 - Com os braços na posição (a), um outro aluno deverá girar o voluntário, moderadamente.

Com o cronômetro meça o tempo de três voltas completas. Calcule a média aritmética para a

obtenção do tempo de uma volta em segundos (o período de rotação 1).  T 1= .

Sem interromper o movimento, o voluntário deverá recolher rapidamente os braços até a

posição (b) e o tempo de uma volta (o período de rotação 2) completa deve ser medida, sem que

o aluno voluntário seja parado.  T 2= .

5 - Meça o raio R do disco e sua espessura d com um paquímetro. R = e d

= . Com a densidade ρ do aço de 7900 kg/m3, (M = ρ V) e os dados do disco,

calcule o momento de inércia do aluno voluntário.   I P = . Utilize o princípio

de conservação do momento angular.

Segunda Parte

6- Outro aluno voluntário deverá subir no disco sem atrito segurando firme o giroscópio.

Inicialmente na posição (c), com o aluno parado deverá ser girada a roda vigorosamente. Em

seguida, o aluno deverá mudar para a posição (d). Explique o ocorrido com base no princípio

da conservação do momento angular (vide figura 12.2).

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Figura 12.2   Representação esquemática do experimento momento angular.

Terceira Parte

7 -   Na posição (e), sobre o chão, gire vigorosamente a roda e solte-a segurando apenas o

cordão preso à mesma (f), conforme está representado na figura 12.3. Explique o ocorrido combase na definição de torque (  τ  =  r ×F  ) e na

segunda lei de Newton para a rotação =   dLdt 

 .

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68

Figura 12.3   Representação esquemática do experimento momento angular.

12.4.1 Questão Teórica

1 - Explique, segundo o princípio de conservação do momento angular, como é possível

diferenciar um ovo cozido de um ovo não cozido.

2 -  Explique o efeito giroscópio. A equações devem estar presentes na sua explicação. Cite

aplicações tecnológicas do giroscópio