Grco do lugar das razes

Leandro Baroni

Sistemas de controle I

Lugar das razes

R(s) + K G(s)

H(s)

Y(s)

I Equao caracterstica do sistema:

1 +KG(s)H(s) = 0

1 +Knumden = 0

I O comando rlocus (num, den) traa o lugar das razesI rlocus (num, den, K) usa o vetor de ganho K informado

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I Lugar das razes de:

R(s) + Ks+ 3

s(s+ 1)(s2 + 4s+ 16) Y(s)

num = [1 3];den = conv([1 1 0], [1 4 16]); % [1 5 20 16 0]rlocus (num, den);axis([-6 6 -6 6]);title ('Lugar das razes de G(s) = K(s+3)/[s(s+1)(s^2+4s+16)]');

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Lugar das razes: espao de estadosI Considere o sistema:

r + B ++R

C ++ y

D

A

u _x x

_x = Ax+Buy = Cx+Duu = r y

onde

A =24 0 1 00 0 1160 56 14

35 ; B =24 0114

35 ; C = 1 0 0 ; D = 05

A = [0 1 0 ; 0 0 1 ; -160 -56 -14];B = [0 ; 1 ; -14];C = [1 0 0];D = 0;K = 0 : 0.1 : 400;rlocus (A, B, C, D, K);axis([-20 20 -20 20]);grid;title ('Lugar das razes do sistema no espao de estados');

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Grids em e !n

num = 1;den = [1 4 5 0];G = tf (num, den);K = 0 : 0.001 : 1000;rlocus (G, K);axis ([-3 1 -2 2]);sgrid ([0.5 0.707], [0.5 1 2]);sgridtitle ('Grfico do lugar das razes com linhas em nzeta = 0.5 e 0.707 ...e crculos em nomega_n = 0.5, 1 e 2');

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Sistemas condicionalmente estveis

R(s) + K(s2 + 2s+ 4)

s(s+ 4)(s+ 6)(s2 + 1:4s+ 1) Y(s)

num = [1 2 4];den = conv (conv ([1 4 0], [1 6]), [1 1.4 1]);rlocus (num, den);axis ([-7 3 -5 5]);grid;title ('Lugar das razes de G(s) = K(s^2+2s+4)/[s(s+6)(s^2+1.4s+1)]');text (1, 0.55, 'K = 12');text (1, 3, 'K = 73');text (1, 4.15, 'K = 154');

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Exerccio 1As equaes de movimento longitudinal da aeronave Ling-Temco-VoughtA-7A Corsair II, referentes ao sistema do corpo, so dadas no espao deestados, para a condio de voo correspondente ao nvel de cruzeiro emuma altitude de 15000 ft em Mach 0.31:I u, v, w: velocidade relativa aos eixos do corpo [ft/s]I p, q, r: velocidade angular dos eixos do corpo com relao a uma

referncia [rad/s]I , , : ngulos de Euler [rad]I , : ngulos de ataque e de trajetria [rad]I : ngulo do elevador [rad]

1Cook, M.V. Flight Dynamics Principles, Elsevier, 2007 11

2664_u_w_q_

3775 =2664

0:00501 0:00464 72:90000 31:340000:08570 0:54500 309:00000 7:400000:00185 0:00767 0:39500 0:00132

0 0 1 0

37752664uwq

3775

+

26645:6300023:800004:51576

0

3775 26666664uwq

37777775 =266666641 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0:00316 0 00 0:00316 0 1

377777752664uwq

3775+26666664000000

37777775

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1. Determine as funes de transferncia correspondentes a cadavarivel de estado.

2. A equao caracterstica pode ser fatorada na forma (dois pares depolos complexos conjugados):

a(s) = (s2 + 2p!ps+ !2p)(s2 + 2s!ss+ !2s )

O primeiro par de polos descreve o modo de estabilidade fugoide(phugoid). O segundo par descreve o modo de estabilidade de curtoperodo.Determine seus coecientes de amortecimento e frequncias naturais.

3. Determine a resposta de cada varivel a uma entrada degrau doelevador de 1.

4. Quais os valores das variveis em regime de estado estacionrio?

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Exerccio 2

I Considere um sistema com realimentao no ngulo de arfagem:

1. Calcule a funo de transferncia de malha aberta e faa o grcodo lugar das razes para este sistema.I Se a funo de transferncia negativa, a realimentao negativa

tem um efeito de realimentao positiva ! deve-se considerar arealimentao positiva.

2. Encontre os valores dos coecientes de amortecimento e frequnciasnaturais para um ganho K = 1:6.

3. Obtenha a resposta do sistema realimentado ao degrau de 1. Avalieo efeito da realimentao nos modos de curto perodo e fugoide.

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Andr RavazziSticky Notep. 283

Exerccio 3I Considere um sistema com realimentao na taxa de arfagem:

1. Calcule a funo de transferncia de malha aberta e faa o grcodo lugar das razes para este sistema.

2. Se as restries seguintes forem aplicadas:I Coeciente de amortecimento fugoide: p 0:04I Coeciente de amortecimento de curto perodo: s 0:5I Frequncia natural de curto perodo: 0:8 !s 3:0 rad/s

Determine o ganho mnimo para que estes requisitos sejamsatisfeitos. Quais os novos valores dos coecientes de amortecimentoe frequncias naturais?

3. Obtenha a resposta do sistema realimentado ao degrau de 1. Avalieo efeito da realimentao nos modos de curto perodo e fugoide.

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Andr RavazziSticky Notep. 291