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Notas de aula de Laboratório de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira LABORATÓRIO DE ELETROMAGNETISMO ORIENTAÇÕES IMPORTANTES UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017

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Notas de aula de Laboratório de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira

LABORATÓRIO DE ELETROMAGNETISMO

ORIENTAÇÕES IMPORTANTES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraOutubro, 2017

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EXPERIMENTOS RELACIONADOS À ELETROSTÁTICA (1 e 2)

1. Revisão de conceitos importantes.

2. Dedução de equações.

3. Montagem dos experimentos.

4. Análise de dados teóricos e experimentais.

5. Orientação para confecção dos relatórios.

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REVISÃO DE CONCEITOS IMPORTANTES

1. Campo elétrico.

2. Campos elétricos de distribuições contínuas de carga.

3. Densidade de fluxo elétrico.

4. Lei de Gauss (1ª Equação de Maxwell).

5. Potencial escalar elétrico.

6. Relação entre o campo e o potencial escalar elétricos (2ª Equação deMaxwell).

7. Linhas de fluxo elétrico.

8. Resistência, capacitância e energia armazenada.

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Campo Elétrico

• O vetor campo elétrico (E) é dado pela força por unidade de cargaimersa nesse campo elétrico.

• Dessa forma,

onde o campo elétrico é medido em Newton por Coulomb, ou emVolt por metro.

QFE®

®

=Origem

Q

r r’

Figura 1

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Campos Eletrostáticos de Distribuições Contínuas de Carga

• Além de cargas pontuais, podemos ter distribuições contínuas decarga ao longo de uma linha, sobre uma superfície, ou em umvolume, conforme ilustrado na figura 2.

Figura 2

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• É usual denotar a densidade de cargas como: linear (ρL em C/m),superficial (ρS em C/m2) e volumétrica (ρv em C/m3).

• O elemento de carga (dQ) e a carga total (Q), associados a taisdistribuições, são obtidos da seguinte forma

ò

ò

ò

=®=

=®=

=®=

v

S

L

dvQdvdQ

dSQdSdQ

dlQdldQ

vv

SS

LL

rr

rr

rr Linha de cargas

Superfície de cargas

Volume de cargas

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• A intensidade de campo elétrico, devido a uma dessasdistribuições, pode ser obtida a partir da soma das contribuiçõeselementares de campo, devido a cada um dos pontos de cargaque constituem a distribuição, dessa forma

ò

ò

ò

=

=

=

®

®

®

v

S

L

âdvR

E

âdSR

E

âdlR

E

R20

v

R20

S

R20

L

'4

'4

'4

perperper

Linha de cargas

Superfície de cargas

Volume de cargas

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• As coordenadas-linha são usadas para denotar a localização doponto-fonte.

• As demais se referem à localização do ponto de interesse, ouseja, ponto no qual E vai ser calculado.

ò

ò

ò

=

=

=

®

®

®

v

S

L

âdvR

E

âdSR

E

âdlR

E

R20

v

R20

S

R20

L

'4

'4

'4

perperper

Linha de cargas

Superfície de cargas

Volume de cargas

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Densidade de Fluxo Elétrico

• A intensidade de campo elétrico depende do meio no qual estáimersa a carga fonte do campo.

• Supondo um campo vetorial D, independente do meio, e definidocomo

definiremos o fluxo elétrico (Ψ) em termos de D da seguinteforma

®®

= ED 0e

ò®®

×=YS

SdD

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• Em unidades do SI, uma linha de fluxo elétrico se inicia em umacarga de 1 C e termina em uma carga de -1 C. Dessa forma, ofluxo elétrico é medido em Coulomb.

• O campo vetorial D é denominado de densidade de fluxo elétricoe é medido em Coulomb por metro ao quadrado.

• Por razões históricas, a densidade de fluxo elétrico é tambémdenominada de deslocamento elétrico.

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Lei de Gauss (1ª Equação de Maxwell)

• A lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais doEletromagnetismo.

• Ela estabelece que o fluxo elétrico total (Ψ), através de qualquersuperfície fechada, é igual à carga total encerrada por essasuperfície.

• Dessa maneira,

encQ=Y

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• Ou seja,

• Obtendo-se que

òòò ==×=Y=Y®®

vS

dvQSdDd venc r

òò =×=®®

vS

dvSdDQ vr 1ª Equação de Maxwell(forma integral)

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• Aplicando o teorema da divergente à 1ª equação de Maxwell naforma integral, obtemos

• Deve-se observar que

– A lei de Gauss se apresenta como uma maneira mais simplesde se determinar E ou D, para distribuições simétricas decarga, tais como: uma carga pontual, uma linha infinita decargas, uma superfície infinita de cargas e uma distribuiçãoesférica de cargas, por exemplo.

vr=×Ñ®®

D1ª Equação de Maxwell

(forma diferencial)

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– Uma distribuição contínua de cargas tem simetria caso ocampo vetorial possua uma componente, ou seja, dependa deapenas uma direção.

– Dessa forma, possuirá:

• simetria retangular se tiver apenas componente na direçãoâx (ou ây, ou âz),

• simetria cilíndrica, no caso de componente na direção âρ, e

• simetria esférica quando tiver componente apenas nadireção âr.

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– IMPORTANTE:

• Não podemos utilizar a lei de Gauss para determinar E ouD quando a distribuição de cargas não for simétrica.

• Nesse caso, devemos recorrer à lei de Coulomb paradeterminar E ou D.

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• Aplicação da lei de Gauss

– O método de aplicar a lei de Gauss, para determinar o campoelétrico, começa pela verificação da existência de simetria.

– Uma vez identificada a existência de simetria, construímosuma superfície matematicamente fechada (conhecida comosuperfície gaussiana).

– Essa superfície é escolhida de forma que o vetor D sejanormal, ou tangencial, à superfície gaussiana.

• Quando D for normal à superfície

• Quando D for tangencial à superfície 0=×

=×®®

®®

SdD

DdSSdD

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– Dessa forma, devemos escolher uma superfície que sejacompatível com a simetria exibida pela distribuição de cargas.

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Potencial Escalar Elétrico

• Suponha que queiramos movimentar uma carga pontual Q, deum ponto A para um ponto B, em um campo elétrico externo E.

Figura 3

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• A partir da lei de Coulomb, conclui-se que a força sobre Q é dadapor F=QE.

• Dessa forma, o trabalho realizado para provocar umdeslocamento dl na carga é dado por

onde o sinal negativo indica que o trabalho é realizado por umagente externo.

®®®®

×-=×-= ldEQldFdW

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• Dessa maneira, o trabalho total realizado, ou a energia potencialnecessária, para movimentar Q de A para B é

• Dividindo-se W por Q resulta no valor da energia potencial porunidade de carga.

• Essa quantidade, denotada por VAB, é conhecida por diferença depotencial entre os pontos A e B.

ò®®

×-=B

A

ldEQW

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• Dessa forma,

• Observe que:

– Ao determinar VAB, A é o ponto inicial e B é o ponto final.

– Se VAB for negativo, existe uma perda de energia potencial aomovimentarmos Q de A até B.

• Isso significa que o trabalho é feito pelo campo elétrico.

ò®®

×-==B

A

ldEQWVAB

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– Entretanto, se VAB for positivo, existe um ganho de energiapotencial no movimento.

• Isso significa que um agente externo é responsável poresse trabalho.

– VAB é independente da trajetória realizada.

– VAB é medido em Joules por Coulomb, ou mais comumenteem Volt.

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• O potencial em qualquer ponto é a diferença de potencial entreesse ponto e um ponto escolhido no qual o potencial é arbitradocomo zero.

• Em outras palavras, considerando potencial zero no infinito, opotencial a uma distância r da carga pontual é o trabalhorealizado, por unidade de carga, devido a um agente externo,para se deslocar uma carga-teste do infinito até esse ponto.

• Dessa forma,

ò¥

®®

×-=r

ldEV

Figura 4

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Relação entre o Campo e o Potencial Escalar Elétricos

• A diferença de potencial entre dois pontos A e B independe datrajetória percorrida, ou seja,

• Dessa forma,

• Fisicamente, isso implica dizer que não é realizado trabalho aose movimentar uma carga, ao longo de uma trajetória fechada,no interior de um campo eletrostático.

• O campo eletrostático é um campo conservativo.

ABBABAAB 0 VVVV -=Û=+

ò =×®®

0dlE

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• Aplicando o teorema de Stokes, temos que

0

0

0

=´Ñ

=×÷øö

çèæ ´Ñ

=×÷øö

çèæ ´Ñ=×

®®

®®®

®®®®®

ò

òò

E

dSE

dSEdlE

2ª Equação de Maxwell

Forma integral

Forma diferencial

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• Partindo-se da definição de potencial escalar elétrico,

temos que

• O sinal negativo mostra que a direção do campo elétrico é opostaà direção de crescimento do potencial escalar elétrico.

• A orientação do campo elétrico é do maior para o menorpotencial.

dzzVdy

yVdx

xVdV

dzEdyEdxEdlEdV zyx

¶¶

+¶¶

+¶¶

=

---=×-=®®

VE®®

Ñ-=

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Linhas de Fluxo Elétrico

• É uma trajetória, ou linha imaginária, desenhada de tal modoque sua orientação, em qualquer ponto, é a mesma do campoelétrico nesse ponto.

• Qualquer superfície na qual o potencial elétrico seja o mesmo emtoda a sua extensão é conhecida como superfície equipotencial.

• A interseção de uma superfície equipotencial e um plano resultaem uma trajetória, ou linha, conhecida como linha equipotencial.

• Nenhum trabalho é realizado ao movimentar uma carga de umponto a outro ao longo de uma linha, ou superfície,equipotencial.

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• As linhas de força, linhas de fluxo, ou ainda direção do campoelétrico, são sempre normais às superfícies equipotenciais.

Linhas de fluxo Linhas equipotenciais

Figura 5

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Resistência, capacitância e energia armazenada

• Considerando um condutor, temos

• O problema de determinar a resistência em um condutor deseção reta não-uniforme pode ser tratado como um problema devalor de fronteira.

òò

®®

®®

×

×=

=

SdE

ldER

IVR

s

Seção reta uniforme

Seção reta não-uniforme

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• Utilizando a equação

𝑅 =∫𝐸 % 𝑑𝑙��

∮ 𝜎𝐸 % 𝑑𝑆��

,

a resistência R, ou condutância 𝐺 = /0

, de um dado materialcondutor, pode ser encontrada conforme os seguintes passos:

1. Escolher um sistema de coordenadas apropriado.

2. Considerar V como a diferença de potencial entre osterminais condutores.

3. Resolver a equação de Laplace para obter o potencial escalarelétrico.

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4. Determinar o campo elétrico (𝐸 = −𝛻𝑉 ) e a corrente 4𝐼 =∫𝜎𝐸 % 𝑑𝑆�� 6.

5. Finalmente, obter a resistência como 𝑅 = 78.

• Essencialmente, assumimos um valor V, determinamos I e, apartir desses, determinamos R.

• De maneira alternativa, podemos assumir um valor de corrente I,determinar a diferença de potencial V e determinar R, a partir de78.

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• De modo geral, para termos um capacitor, precisamos ter dois(ou mais) condutores carregados com cargas iguais e de sinaiscontrários.

• Os condutores são, por vezes, referidos como as placas docapacitor, podendo estar separados pelo espaço livre ou por umdielétrico. As placas podem estar separadas por espaço livre oupor um dielétrico.

• Considere o capacitor de dois condutores ilustrado na figura 6.

Figura 6

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• Os condutores são mantidos sob uma diferença de potencial Vdada por

onde se assume o campo elétrico existente entre os condutores eque o condutor 1 está carregado positivamente.

• Definimos a capacitância (C) do capacitor como a razão entre ovalor da carga, em uma das placas, e a diferença de potencialentre elas, ou seja,

®®

×-=-= ò ldEVVV1

221

òò

®®

®®

×

×==

ldE

SdE

VQC

e

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• O sinal negativo foi desconsiderado pois estamos interessadosno valor absoluto de V.

• A capacitância é uma propriedade física do capacitor e é medidaem farads (F).

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• Utilizando a equação

C pode ser obtida, para qualquer capacitor de dois condutores,seguindo um desses dois métodos:

1. Assumindo um valor de Q e determinando V em termos de Q(utilizando a lei de Gauss).

2. Assumindo um valor de V e determinando Q em termos de V(utilizando a solução da equação de Laplace).

òò

®®

®®

×

×==

ldE

SdE

VQC

e

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• Considerando o primeiro método, precisamos:

– Escolher um sistema de coordenadas apropriado.

– Atribuir, às duas placas condutoras, as cargas de +Q e –Q.

– Determinar o campo elétrico usando a lei de Coulomb, ou deGauss, e encontrar o potencial escalar elétrico, a partir de 𝑉 =− ∫𝐸 % 𝑑𝑙�

� .O sinal negativo pode ser ignorado, nesse caso, porqueestamos interessados no valor absoluto de V.

– Finalmente, obter a capacitância a partir de 𝐶 = :7.

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• O produto entre as expressões da resistência e da capacitância

fornece a seguinte relação

• Válida somente quando o meio é homogêneo.

• A resistência se refere às perdas entre os condutores, logo acondutividade é do meio dielétrico que separa os condutores.

R =E→

⋅d l→

∫σ E

⋅d S→

∫ òò

®®

®®

×

×==

ldE

SdE

VQC

e

RC = εσ

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• Sabendo-se que a energia armazenada em um campoeletrostático é dada por

• A energia armazenada por um capacitor é dada por

òò®®®

=×= dvEdvEDW2

0E 21

21 e

WE =12CV 2 =

12QV =

Q2

2C

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DEDUÇÃO DE EQUAÇÕES

1. Campo elétrico no eixo z devido a uma superfície plana infinitacom carga distribuída na superfície.

2. Campo elétrico devido a um capacitor de placas planas paralelas eideal.

3. Potencial escalar elétrico, capacitância, resistência e energiaeletrostática devido a um capacitor de placas planas paralelas eideal.

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MONTAGEM DOS EXPERIMENTOS

1. Experimento 1: Medição do Campo Elétrico em Capacitor de PlacasParalelas.

2. Experimento 2: Medição do Potencial Escalar Elétrico em Capacitorde Placas Paralelas.

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Experimento 1

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Experimento 2

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ANÁLISE DE DADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS

1. Cálculo do erro relativo dos dados teóricos e experimentais,evidenciando os valores mínimo e máximo obtidos.

2. Tendência das curvas teóricas, experimentais e aspectosobservados nos experimentos.

3. Adequação dos experimentos com a teoria.

4. Possíveis motivos para divergências de valores medidos emcomparação com os dados teóricos.

5. Relacionar a teoria para explicar os resultados obtidos nasmedições.

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ORIENTAÇÃO PARA CONFECÇÃO DOS RELATÓRIOS

1. Organização do relatório, letra legível e seguir o roteiro informadono guia do experimento.

2. O relatório deve ser manuscrito.

3. Dedução de todas as equações utilizadas no relatório.

4. Elaborar figuras com relação aos dados teóricos e dadosexperimentais.

5. Análise dos dados teóricos e experimentais: verificar o erro relativoassociado com os dados teóricos e experimentais e ilustrar aanálise com figuras correspondentes aos dados das tabelas.

6. Conclusão do trabalho.

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Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora

Bookman.

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ORIENTAÇÕES IMPORTANTES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraOutubro, 2017