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Algumas Distribuições de Probabilidade e Estatística de Contagem

Prof. Marcelo Sant’AnnaSala A-310 (LaCAM) e-mail: mms@if.ufrj.br

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Motivação: o quanto seus dados são confiáveis?

Barras de erro !

Dentro de que faixa você espera que seus dados concordem com outros dados experimentais e com bons modelos teóricos ?

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Caracterização dos dadossoma

N

iixS

1e a média experimental N

Sxe

É freqüentemente conveniente representar o conjunto de dados por uma distribuição de freqüências correspondente F(x). O valor de F(x) é a freqüência relativa com que o número aparece no conjunto de dados. Por definição F(x) = (número de ocorrências do valor x)/(número de medidas (N)) A distribuição é automaticamente normalizada, ou seja,

1)( xF

É possível calcular a média experimental usando a função distribuição

)( xxFx e

eii xx Há uma contribuição igual dos desvios positivos e negativos, de modo que

N

i1

0

o desvio de qualquer ponto da média é dado por

“problema”: o que fazer?

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Se no entanto, tomarmos os quadrados de cada desvio, resultará sempre em um número positivo. Podemos então introduzir a variância experimental como

N

iNs

1

22

11

se um número infinito de medidas fosse acumulados ou quando se conhecem todos os valores possíveis da população

2

1

2 1

N

ii xx

N

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Alguns Modelos estatísticos A distribuição binomial

)1(1 pp

nNnN

n

NN ppnN

pp

1)1(1

0

Defino nNnNn pp

nN

P

1

pNPnnN

n

Nn

0

)1(0

22 ppNPnnN

n

Nn

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Distribuição de Poisson

e

nP

n

n !

Se o valor médio =Np de uma distribuição binomial é muito pequeno, ela se reduz a distribuição de Poisson:

N

nnPn

0

22

N

nnPnn

0

1

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Distribuição de Gaussiana (ou Normal)

2

21

2

1,,

x

exP

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Estatística de Contagem

Admitimos que durante um intervalo de tempo t muito curto a probabilidade de registrar um entre N possíveis eventos é muito pequena.

Esta probabilidade será proporcional a N e a t

tNtP ),1(

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Estatística de Contagem

),0(),0(1),0(),0( ttPNtPtNtPttP

),0(),0(),0( tPNt

tPttP

tNtP ),1(

),1(1),0(),0( tPtPttP

ttP

dtNtPtdP

0

),0(

1 ),0(),0(

0tNo limite ),0(),0( tPNdttdP

tNetP ),0(

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Estatística de Contagem

tNtnPtnPtNtnPttnP ),1(),(),(),(

),1(),(),(),( tnPNtnPNt

tnPttnP

tNtP ),1(

),1(),1(),1(1),(),( tPtnPtPtnPttnP

0tNo limite ),1(),(),( tnPNtnPN

dttndP

Qual a solução?

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Estatística de Contagem

),1(),(),(),( tnfeNtnfeNtnfeNedttndf tNtNtNtN

),1(),(),( tnPNtnPNdttndP

tNetnftnP ),(),(Tentamos solução do tipo:

),1(),( tnfNdttndf

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Estatística de Contagem

111 ngtNNngNtNn nn

),1(),( tnfNdttndf

)(),( ngtNtnfn

Nova substituição. Tentamos solução do tipo:

1 ngngn

!

),(netNCtnP

tNn

Ou seja:

Uma vez que: 1)0,0( P

!

!111 n

nnng

ng

!nCng

!

),(netNtnP

tNn

Poisson!

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Estatística de Contagem

!),(

netNtnP

tNn

Poisson com = N t e, portanto,

tN 11

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Prática

Análise estatística do erro em suas contagens na experiência a seguir

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