Laboratório de Termodinâmica e Estrutura da Matéria ... · Laboratório de Termodinâmica e Estrutura da Matéria Docente: João Fonseca, [email protected] Mestrado em

Laboratório de Termodinâmica e Estrutura da MatériaDocente: João Fonseca, [email protected]

Mestrado em Engenharia Biomédica / Licenciatura em Matemática Aplicada e ComputaçãoCadeira de Termodinâmica e Estrutura da Matéria - 1º semestre de 2017/2018

Programa (componente laboratorial):

Lab 1 (16/10 a 20/10) - Determinação dos calores específicosde cobre (Cu), chumbo (Pb) e vidro utilizando um calorímetro

Lab 2 (06/11 a 10/11) - A máquina cíclica de Stirling

Lab 3 (27/11 a 30/11) - Efeito fotoeléctrico e determinação da constante de Planck







Quando um corpo cede energia a outro na forma de calor, como varia a sua temperatura?

Teoria necessária: 𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇 𝑒 |𝑄1| = |𝑄2| logo 𝑐2=𝑚1∆𝑇1

𝑚1∆𝑇1𝑐1






Como se pode realizar trabalho (motor), arrefecer um corpo frio (frigorífico) ou aquecer um corpo quente (bomba de calor)Teoria necessária: (quase) toda a termodinâmica macroscópica






Porque se podem arrancar electrões a um metal fazendo incidir luz nele? Teoria necessária: fundamentos de óptica e de mecânica quântica

Lab 2 - A máquina cíclica de Stirling


Área igual ao trabalho realizado pela máquina durante um ciclo


Noções de estatística para análise de dados experimentais

A medição experimental de uma grandeza (no caso, o comprimento da carapaça de um camarão) está sujeita aalguma incerteza, e diferentes pessoas obterão resultados ligeiramente diferentes, agrupados em torno de um valor central . Numa medição cuidadosa é mais provável obter um valor próximo desse valor central do que um valor significativamente distante. Podemos traduzir esse facto dizendo que o resultado da medição é uma variável aleatória X, estando cada valor possível associado a uma probabilidade.

Contar as pintas de um leopardo dá como resultado um número inteiro, pelo que o resultado é uma variável aleatória discreta.

Se se repetir a contagem150 vezes, os resultadosterão uma distribuição do tipo indicado na figura.




Cronometrar um atleta tem como resultado um número real positivo, pelo que o resultado é uma variável aleatória contínua.

15 16 17 18 19 t (s)

Se todo o público na assistência cronometrar a atleta, a distribuição dos resultados será do tipo indicado na figura. Neste caso é preciso dividir o eixo horizontal em pequenos intervalos (bins)




Em muitas situações, a distribuição empírica representada pelo histograma aproxima-se de uma curva teórica designada por Gaussiana, quando o número de medições aumenta.A Gaussiana tem dois parâmetros, a média me o desvio padrão s.




Nesses casos, é razoável admitirmos que o resultado da experiência é uma variável aleatória X com uma função densidade de probabilidade p(X) dada pela função Gaussiana. Dizemos nestecaso que a variável aleatória tem uma distribuição normal.

Dizer que a função densidade de probabilidade é p(X) significa que a probabilidade de o resultado cair no intervalo X1< X< X2 é dada pelo integral

P X1< X< X2 = 𝑋1𝑋2 𝑝 𝑋 𝑑𝑋

Se soubermos a priori que o resultado tem que estar entre A e B, será

𝐴

𝐵

𝑝 𝑋 𝑑𝑋 = 1




Se o resultado de uma medição pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição normal de média m e desvio padrão s, o problema de determinar o valor mais provável do resultado e a incerteza associada a essa determinação transforma-se no problema de estimarm e s.

Se as condições da experiência não mudarem no tempo (fenómeno estacionário), e se os resultados das várias medições tiverem a mesma distribuição de probabilidades e forem independentes entre si, podemos estimar os parâmetros dessa distribuição analisando uma amostra de N medições (princípio ergódico). As seguintes expressões são adequadas para estimar m e s a partir da amostra (x1, x2 , ...., xN)

𝜇 =1

𝑁 1𝑁 𝑥𝑖 ; 𝜎2=

1𝑁(𝑥1− 𝜇)

2

𝑁−1

A quantidade 𝜎2 tem o nome de variância da amostra.




O procedimento para calcular o valor de uma grandeza x consiste nos seguintes passos:

1) Realizar N medições de valores de x, que designaremos por (x1, x2 , ...., xN)2) Considerando cada valor xi como a concretização de uma variável aleatória com distribuição normal, estimar o valor comum de m a partir da amostra (princípio ergódico) e adoptar esse como o valor mais provável da grandeza. 3) Estimar a incerteza da média 𝜇 através do correspondente valor 𝜎𝑚.

Nota: não se trata da incerteza 𝜎 associada a cada medição

individual 𝑥𝑖 , mas da incerteza associada à média 1

𝑁 1𝑁 𝑥𝑖 .

A partir da definição de variância, pode provar-se que

𝜎𝑚 =1

𝑁 𝜎 =

1𝑁(𝑥1− 𝜇)

2

𝑁(𝑁−1)




Em resumo: para determinar o valor da grandeza x:

Medir um conjunto de valores (x1, x2 , ...., xN) Estimar o valor mais provável da grandeza através da média:

𝜇 =1

𝑁 1𝑁 𝑥𝑖

Estimar a incerteza da determinação através do desvio padrão da média,

𝜎𝑚 = 1𝑁(𝑥1− 𝜇)

2

𝑁(𝑁−1)

Apresentar o resultado na forma x = 𝜇 ± 𝜎𝑚




Em alternativa, pode apresentar-se o resultado como

x = 𝜇 ± 2 𝜎𝑚 ou x = 𝜇 ± 3 𝜎𝑚

Admitindo que as medições têm uma distribuição normal, é possível calcular a probabilidade de que o valor real (desconhecido) esteja dentro do resultado apresentado:

x = 𝜇 ± 𝜎𝑚 confiança de 67%x = 𝜇 ± 2 𝜎𝑚 confiança de 95%x = 𝜇 ± 3 𝜎𝑚 confiança de 99%


Questões práticas:

Se a média de um conjunto de medições é (em unidades SI) 𝜇 =4,37231 , e o desvio padrão da média é 𝜎𝑚 = 0,06316, como devemos apresentar o resultado?

A) x = 4,37231 ± 0,06316B) x = 4,372 ± 0,063 C) x = 4,37 ± 0,06

Resposta: só devemos apresentar os algarismos que são significativos – tendo em conta a incerteza. No caso presente isso significa arredondar às centésimas (opção C). Se o resultado vai ser usado em cálculos subsequentes (resultado intermédio) devemos deixar mais uma casa decimal (opção B). Quando multiplicamos ou dividimos resultados experimentais, devemos manter no resultado o número de algarismos significativos do factor com menos algarismos significativos:

4.32*24.567=106 (ou 106.1)532.754/3.2= 1.7 x 102 (ou = 1.67 x 102)

Nas somas e nas subtracções, conta o número de casas decimais:1023,7 + 24,2753 = 1048,0 (ou 1047,98)


Como calcular a incerteza numa mediçao indirecta?

Se a = 3,272 ± 0,051 e b = 7,5314 ± 0,0027, qual a incerteza associada a x = a + b? ; x = a - b? ; x = a*b ? ; x = a/b? , etc...

No caso geral em que x=f(a,b), a resposta passa por calcular a variância da nova variável aleatória X e fazer o desenvolvimento em série de Taylor retendo os termos de ordem inferior a 2. Obtem-se o seguinte resultado (representando por ∆𝑎, ∆𝑏 e ∆𝑥 as incertezas):

∆𝑥2=𝜕𝑥

𝜕𝑎

2

∆𝑎2 +𝜕𝑥

𝜕𝑏

2

∆𝑏2

Nos exemplos acima, os resultados particulares são:

x = a + b ∆𝑥= ∆𝑎2 + ∆𝑏2= 0.051 x = 10.803 ±0.051

x = a – b ∆𝑥= ∆𝑎2 + ∆𝑏2= 0.051 x = -4.259 ±0.051

x = a*b ∆𝑥= 𝑏2∆𝑎2 + 𝑎2∆𝑏2= 0.38 x = 24.64 ±0.38

x = a/b ∆𝑥= (1

𝑏)2∆𝑎2 + (

𝑎

𝑏2)2∆𝑏2= 0.0068 x = 0.4344 ±0.0068

Como seria de esperar, estes resultados estão de acordo com as regras para os algarismos significativos vistas no slide anterior.

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