UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL MTODOS MATEMTICOS Exerccio Escolar Alunos:Filipe Guedes Jordlly Silva Professor:Paulo Marcelo V. Ribeiro RECIFE 01 de Julho de 2014 2 1.INTRODUO Noestudodaflexodeplacaspode-seobterocomportamentoda estrutura de forma analtica ou numrica. Devido complexidade presente nos mtodosmatemticosenvolvidos,muitasvezes,asoluoanalticanopode serencontradafacilmenteeessetipodesoluoficarestritaageometrias, carregamentos e condies de contorno simples. Porcausadissoedointeresseprticodesetrabalharcomestruturas maiscomplexas,osmtodosnumricossoutilizadosparaseobtero comportamento da estrutura. Um dos mtodos que pode ser usado nesse tipo deproblemaomtododasdiferenasfinitas.Opresentetrabalhomostrao desenvolvimentodeumprogramaemMatlabqueutilizaessemtodopara resolve problemas de lajes circulares, retangulares e retangulares com furos. O objetivo deste projeto resolver um problema especfico que engloba diversosassuntosdamatemticaemecnicaestruturalconformeser apresentado a seguir. Paraocasoemquesto,serresolvidoumproblemadeplaca retangular vazada atravs das seguintes metodologias: 1 Soluo analtica; 2 Soluo por diferenas finitas. Entende-seporsoluodoproblemadaplacaadeterminaodos deslocamentos e consequentemente esforos seccionais no contnuo da placa submetida um determinado carregamento. A soluo do problema ser obtida com auxlio dos seguintes softwares: - Mathcad v. 14; - Maple v.17; - MATLAB; Alm das referncias bibliogrficas que sero apresentadas ao final do projeto. 3 2.FLEXO DE PLACAS DELGADAS Naengenhariadeestruturas,asplacassoelementosestruturaisque geometricamentepodemseraproximadosporumasuperfciebidimensionale que trabalham predominantemente em flexo. Construtivamentesoslidosdeformveisnosquaisexisteuma superfcie mdia (que a que se considera aproximada de uma placa), a qual se adiciona certa espessura constante por cima e por baixo do plano mdio. O fatodequeestaespessurapequenacomparadacomasdimensesda lminaeporsuavezpequenacomparadacomosraiosdecurvaturada superfcie,oquepermitereduziroclculodeplacaselminasreaisa elementos idealizados bidimensionais. Noprojetodelajesemconcretoarmado,pode-seutilizarateoriade flexo de placas. 2.1. Equao de Lagrange O comportamento de uma placa plana de espessura constante pode ser obtido usando-se a equao de Lagrange, Eq.(1).

(1) Ou de forma compacta:

(2) Ondeaconstantederigidezflexionaldeplacas,quedadaem funodaespessuradaplaca(),omdulodeYoung(),ocoeficientede Poisson (). 4

(3) 3.MTODO DAS DIFERENAS FINITAS O mtodo das diferenas finitas um mtodo de resoluo de equaes diferenciais que se baseia na aproximao de derivadas por diferenas finitas. Nesse mtodo, o operador de diferenas finitas pode ser obtido a partir da srie de Taylor da funo derivada. 3.1. Operadores de Diferenas finitas Noproblemaestudado,foramutilizadososseguintesoperadoresde diferena, referentes s derivadas presentes na equao de Lagrange.

(4)

(5)

(

)

(6) Ondeopassousadonomtododasdiferenasfinitaseo deslocamento da placa nas coordenadase . Comisso,considerandoumamalhabidimensionalquadrada(passo igualnasduasdirees),pode-seproporoseguintestencilquedeveser aplicado em cada n do domnio da malha de diferenas finitas. 5

[

]

(7) 4.DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA Oprogramaelaboradoresolve,basicamente,doistiposdeestruturas, lajes circulares engastadas e lajes retangulares engastadas com e sem furos. 4.1. Lajes circulares engastadas Umparmetroimportantenaresoluodoproblemaograude discretizao da malha. O programa fornece ao usurio a opo de escolher o tamanhodopassocomoumaporcentagemdoraiodalaje(20%,10%e5%). Porexemplo,opassoparaumalajede5metrospodeser1metro,50 centmetrosou25centmetros.Combasenessaopopode-severificara convergncia da resposta com o refinamento da malha. 4.2.Laje retangular com furo Conformemencionado,oproblemaserdeumaplacaretangularcom furonocentro.Nosanexosdotrabalhocontamfigurasqueilustramosdados do problema em questo. Oselementosbidimensionais(placas)soelementosbastantecomuns daengenhariaestrutural,poissorelacionadosslajes,quetemsua espessura com dimenso bastante inferior s outras duas, podendo ser tratado comoelementodeplacanaquestodaanliseestrutural.Nossoproblema pode, ento, ser interpretado como uma laje com furo no centro. 6 4.2.1. Soluo por diferenas finitas O mtodo das diferenas finitas (MDF) mostra-se extremamente verstil parasoluodevriosproblemasdamatemticaeengenharia.Trata-se basicamentedasubstituiodosoperadoresdederivadasporoperadores aproximados de diferenas finitas. Os operadores de diferenas centrais so os que possuemerrode menorordem,poristoestesserosempre osutilizados no problema.Para o problema especfico (equao das placas), tem-se que os vetores dedeslocamentosnaplacapodemserdeterminadosmedianteasoluoda equao diferencial de placas, conforme j citado. Adiscretizaorealizadautilizandoumamalhadeelementos quadrados, isto , x = y = . Como a equao diferencial de quarta ordem, o ponto piv (m,n) necessitar de termos de pontos ao seu redor conforme a esquematizao a seguir. Fig 1. Placa discretizada a partir de malha retangular (Delta x = Delta y). O ponto piv (pivotal point) determinado em funo de termos dos outros 12 pontos indicados. 7 Assimosoperadoresdiferenciaisdequartaordempodemser aproximados por operadores de diferenas finitas da seguinte maneira: O operador cruzado fica da seguinte maneira: O que resulta em: Assim,pararesolveroproblemautilizandodiferenasfinitas,basta aplicar a equao 1 nos pontos internos da malha. Sabendo das condies de contorno, que no caso da laje em estudo ser de engastada nas bordas, temos queaoaplicaraequaoacimatodosospontosinternosdamalha, resultandonumsistemadeequaescujasincgnitassojustamenteos deslocamentos em cada ponto. Umavezqueosistemadeequaesdeverpossuirumnmeromuito grandedeequaeseconsequentementedeincgnitas(adependerda 8 discretizao/tamanhodamalhaadotada)invivelobterumasoluona mo.Assimseroutilizadossoftwarespararealizaralgortimosparasoluo do problema (sistema de equaes). Esquematicamente: Figura 2. Esquema para representao de coeficientes dos termos m,n dos pontos prximos ao ponto piv. 4.2.2. Condies de contorno e pontos virtuais Nota-sequeaoaplicarooperadordediferenasfinitasnumpivde coordenadas(m,n)sefaznecessrioaobtenodasincgnitasdospontos (m,n-2), (m,n+2), (m+2,n) e (m-2,n).Oqueocorrequemuitasvezesestespontospodemestarforado domnio (externos placa, no caso). Assim para a utilizao dos operadores de diferenasfinitascentrais,setornanecessrioaintroduodepontosvirtuais (fictcios) fora do domnio da placa. Como as nossas incgnitas no caso so sempre os deslocamentos

ento resta a necessidade de saber qual o valor dos deslocamentos nos pontos virtuais. Isto pode ser resolvido, de maneira genrica, aplicando os operadores de diferenas finitas centrais para os pontos prximos ao contorno e aplicar as condies de contorno nestes pontos. 9 a) Caso de bordo engastado Paraocasodebordoengastado,temosqueodeslocamento(

)e rotao(

)soiguaisazero,poistrata-sedeumengaste.Pelaequao temos que:

Ouseja,queremossemprerepresentarasdeflexesdepontos fictcios fora do domnio da placa em termos de deflexes de pontos da malha internos da placa. Ouseja,necessitamosdeapenasumpontovirtuallocalizadoforado domnioapsoengaste,poisopivque(figura1)sersempreumponto prximoaocontorno,enuncanoengastepoisjsabemososvaloresdas incgnitas (deflexes no engaste). b) Caso do bordo livre Nocasodebordolivre,adeterminaodosvaloresdecontornonos pontos virtuais mais complexa. Primeiro porque os prprios pontos do bordo livresoincgnitas,eissofaznecessrioseraplicadoooperadorde diferenasfinitasnestespontos.Comoaequaodonossoproblemade quartaordem,precisamosde

,

,

e

,almde

e

a depender do ponto que o operador de diferenas finitas centrais for aplicado (ver figura adiante). 10 Figura 3. Ponto piv num bordo livre (free edge) Paraocasoanterior(engaste)sabamos queodeslocamento(

)e rotao(

)eramiguaisazeronocontorno,pormparaobordolivreno podemos afirmar isto. O recurso que temos utilizar o cortante e momento fletor no bordo livre, que so iguais a zero. Novamente, o objetivo determinar as deflexes nos pontos virtuais em termosdasdeflexesnospontosinternos(supostamenteasincgnitas)da malha da placa. Assim, as equaes dos momentos e esforos cortantes nas direes x e y da placa so:

11

Eexpressandoemtermosdediferenasfinitascentraisparaos deslocamentos

temos: 12 Figura 4. Stencils para cortante e momentos. = y/x = 1, para o nosso caso. Usandomaisduasequaesemtermosdediferenasfinitaspara eliminar as incgnitas das deflexes nos pontos virtuais: Fazendoasubstituionasequaesanterioreschega-seaosstencils para o piv em cada caso, ou seja: - Piv no interior da malha; - Piv no centro do bordo livre; - Piv no canto do bordo livre (corner); - Piv a uma distncia y ou x do canto; - Piv a uma distncia x ou y do bordo livre; 13 Figura 5 - Parte 1: Para o caso de malha retangular, onde = y/x = , que, no nosso caso, seriguala1,seguemesquematicamenteosdiferentespadres(stencils)paraasvrias possveisposiesdepivs(pivotalpoints)emrelaoaobordolivre(freeedge).Fonte: SZILARD, 2004. 14 Figura 5 - Parte 2: Para o caso de malha retangular, onde = y/x = , que, no nosso caso, seriguala1,seguemesquematicamenteosdiferentespadres(stencils)paraasvrias possveisposiesdepivs(pivotalpoints)emrelaoaobordolivre(freeedge).Fonte: SZILARD, 2004. 15 Figura 5 - Parte 3: Para o caso de malha retangular, onde = y/x = , que, no nosso caso, seriguala1,seguemesquematicamenteosdiferentespadres(stencils)paraasvrias possveis posies de pivs (pivotal points) em relao ao bordo livre (free edge). importante notarquecasoscomoocaso(d)Pivotalpointaty,xdistancefromedgesnoso aplicadospoisofreeedgetrata-sedeumfuronocentro,enoumbordolivreondenoh mais elementos de placa aps o mesmo. Fonte: SZILARD, 2004. NosAnexosdessetrabalhoconstamamemriadeclculodas formulaesusadasnoscdigosdosprogramas,juntamentecomoscdigos programados. 16 5.RESULTADO DOS PROGRAMAS Comoresultadofinaldoprojetoforamobtidosdoisprogramascom interfacegrficacomboainteraocomusurioecomapossibilidadede utilizaodeporumarquivoexecutvel,nosendoprecisoabriroMatlab (apesar de ser necessrio possuir o software instalado no computador). A figura 4 mostra a interface do primeiro programa, o solve laje circular MDF, j com as respostas de uma anlise. Figura 6. Interface do Solve Laje Circular A figura 5, por sua vez, mostra a interface grfica do segundo programa, osolvelajequadradacomfuroMDF,tambmcomosresultadosdeuma anlise.17 Figura 7. Interface do Solve Laje Quadrada com Furo Comosepodepercebernasfiguras6e7osprogramasapresentam umainterfaceamigveleintuitiva,oquefacilitaousurionomomentoda anlise e coleta dos resultados. importantelembraraslimitaesqueosprogramasapresentam:o primeirolimitadoa3grausderefinamento,discutidosanteriormenteno trabalho. Essa limitao foi imposta devido ao prprio mtodo queusa malhas quadradas.Vistoqueageometriacircularesteproblemasurgeno desenvolvimento.H tambm uma limitao do segundo programa onde este s consegue resolver problemas de lajes quadradas com furos quadrados no centro da laje e cuja a dimenso do furo seja 25% da dimenso da laje. Tambmimportantelembrarqueoprimeiroprogramacomparaa resposta numrica com a resposta analtica. J o segundo no apresenta essa opo por no haver essas formulaes diretas na literatura conhecida. Paraseutilizarcorretamenteessesprogramasnecessrioqueo Matlabestejainstaladonocomputadorecomversocompatvelaocdigo, visto que o programa foi desenvolvido nele. 18 Figura 8. Utilizao simultnea dos dois programas AFigura8mostraareadetrabalhocomautilizaosimultneados doisprogramas,utilizarosdoisprogramasaomesmotemponoum problema. Importantelembrarqueoprimeiroprogramafoifeitoemsub-rotinas, ondecadauma faz umaetapado programaprincipal.A ordemeafunode cada sub-rotina so explicadas melhor nos anexos. 6.CONCLUSES Umas das principais concluses obtidas na realizao desse trabalho foi oentendimentodasvantagensdautilizaodemtodosmatemticos juntamentecomferramentascomputacionalpararesoluodeproblemasde engenharia estrutural. O mtodo das diferenas finitas se mostrou um mtodo simples, porm, comresultadossatisfatriosemanlisescomplexas,comoaequao diferencialdeLagrange.Essemtodosemostroufcildeutilizarcom ferramentascomputacionais,apesardeapresentaralgumaslimitaes, conforme explicitado. 19 ANEXOS A seguir sero mostradas a memria de clculo das formulaes usadas nos cdigos dos programas, juntamente com os cdigos programados.