Lajes de Concreto

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ESTRUTURAS DE CONCRETO

Sem. 2012/1

LAJES DE CONCRETO ARMADO 1. Unidirecionais As lajes de concreto so consideradas unidirecionais quando apenas um ou dois lados so considerados apoiados. 1.1 Lajes em balano Lajes em balano so unidirecionais ou apoiadas numa s direo.

L0 viga

b) seo a) perspectiva c) esquema

engaste L

Figura 1 Laje em balano de uma marquise

A figura 1 mostra um exemplo de uma marquise que possui uma laje apoiada em uma viga. Nesse caso, o apoio tem que ser um engaste, configurando o esquema mostrado no item c da figura 1. O vo livre L0, mostrado em c na Figura 1 e o vo de clculo, no caso de balanos no mnimo o vo livre acrescido da metade da altura L = L0 + h/292

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1.2 Unidirecionais com dois bordos considerados apoiados As lajes de concreto so consideradas unidirecionais quando o lado maior tem dimenso superior a duas vezes o lado menor. Isso se deve ao fato da parcela correspondente a reao de apoio no lado menor ser muito pequena e conseqentemente o momento fletor na direo do maior vo tambm resultar muito menor que o momento na menor direo.45

45 45 45 Ly >2.Lx Lx

=

Ly >2 Lx

Figura 2 Laje unidirecional com quatro bordos apoiados

O menor lado chamado de direo x e o maior lado de y, a relao entre o lado maior Ly pelo lado menor Lx. Assim se maior que 2 a laje considerada como unidirecional e o clculo da reao e do momento fletor feito como uma viga de largura unitria ( 1 m), como mostra a Tabela 1. O vo de clculo para as lajes tomado como o menor valor entre a distncia entre os eixos das vigas de apoio ou o vo livre somado a 0,6 da altura da laje: Lx = Lx0 + (a1+a2)/2 ou Lx = Lx0 + 0,6.h

Tabela 1 Reaes e esforos em lajes biapoadas com carga uniforme Vinculao Reao no apoio Reao no Momento Fletor engaste apoio apoio Rx = 0,5.p.Lx M=p.Lx 2 /8 apoio engaste engaste engaste Rxapoio = 0,4.p.Lx Rxengaste= 0,6.p.Lx Rx = 0,5.p.Lx M=p.Lx 2/14,22 M = p. Lx2/24

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1.3 Lajes unidirecionais continuas e apoiadas numa s direo

Lx4 Lx3 Lx2 Lx1

Lx1

Lx2

Lx3

Lx4

Figura 3 Laje unidirecional contnua

No caso de haver continuidade, como na Figura 3, o clculo de reaes e esforos deve ser feito como viga contnua.

H tambm o caso das lajes macias que s tem apoios em uma direo e das lajes pr-moldadas, ou de vigotas pr-moldadas, ou de trelias que pelo processo construtivo s podem ter apoio em uma nica direo.

capa

bloco

vigota

Figura 4 Seo transversal de laje pr-moldada unidirecional

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LAJES DE CONCRETO ARMADO 2. Lajes retangulares bidimensionais ou apoiadas nas duas direes 2.1 Quatro bordos de apoio simples

45

45

45

45

45 x

Rx

45

Lx Ry 45 Rx Ly Ry Lx/2 y

45

Figura 5 Laje retangular bidirecional de quatro apoios simples

2.1.2 Obteno das reaes da laje nas vigas O valor da reao obtido pela distribuio da carga correspondente, a rea do tringulo ou trapzio, ao longo da viga, ou seja a razo entre o produto da carga pela rea correspondente dividida pelo comprimento da viga de apoio. Reao = Carga X rea / Extenso da viga = p . A / L No caso mostrado na Figura 5, para quatro apoios simples, tem-se: Rx = p.A/Ly = p. [(Ly+(Ly-Lx)/2).(Lx/2)]/Ly Ry = p.A/Lx = p. (Lx.Lx/4)/Lx = p.Lx/4

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2.2 Laje bidirecional com um bordo engastado

45 45

45

60

30

60

x

45

45 45

Lx

30 60 60

30 y

Ly

Figura 6 Laje retangular bidirecional de trs apoios simples e um engaste

Se o trecho de engaste for menor que 1/3 da extenso do bordo deve-se considerar apoio simples. Se houver engastamento parcial no bordo a laje s poder ser considerada engastada se 2/3 ou mais estiverem engastados. Para situaes intermedirias deve-se considerar os dois casos e armar para a situao de maior solicitao. Esse critrio deve ser usado para todos os tipos de engaste mostrados a seguir.96

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2.3 Laje com apoioengaste nas duas direes

45 45 30 60

30 60

45

45

Apoio simples 30 x 60

45 45

Lx

45

30 45 60 engaste y

Ly

Figura 7 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direes

A figura 8 mostra os seis casos que podem ocorrer e as trs variaes em relao a direo principal Para a obteno das reaes, em lajes retangulares bidirecionais, pode-se usar a tabela elaborada pelo Prof. Libnio (EESC-USP), 1993. Considerando esses critrios. Onde a reao obtida pela expresso: R = .p.Lx/10 com p = carga unitria; e Lx sempre o menor vo da laje. Onde fornecido pela tabela de acordo com o tipo de vinculao da laje e a respectiva relao entre o maior e o menor vo da laje. = Ly/Lx.97

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2.4 LAJES RETANGULARES DE QUATRO APOIOS - TIPOS DE VNCULOS

maior vo

1

Ly

2 A

3

Lx menor vo

engaste

Lx menor vo

Ly

4A

5A

6

Lx

Lx

4B

Ly

5B

2B

Lx

Lx

Figura 8 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direes98

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Exemplo de clculo e detalhamento de lajes macias de concreto 1. PLANTA DE FORMAS727P1 V 1 17 x 49A

P2

V 1 12 x 49

B

17

563

123

12

17 x 44

283

h=9

P3

V 9 12 x 39

L1

L2 h=9

V 2 12 x 44

A

P4

V 2 12 x 44

B

P5

243

124

28

V 11 12 x 49

V7

C

28

28

123V E 12 x 40

12

V 7 17 x 44

363

L3

h=9

V 8 12 x 44

B

B

V 3 12 x 44

243

escada

P6

75V 10 17 x 44 P9 P 12

P7 V 4 12 x 34

P8 L4

h=9

243 368 258 17

V 5 12 x 39

V 7 17 x 44

393

L5

A

L6

h=9

243P 10 V 6 17 x 44A

P 11

V 6 17 x 44

B

V 10 17 x 44

h=9

V 8 12 x 44

A

A

B

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2. DETERMINAO DAS REACES NOS APOIOS 2.1 Cargas na laje: Permanentes: Peso prprio: gp = h . c = 0,09m . 25 kN/m3 = 2,25 kN/m2 Revestimento: grev = hrev.arg = 0,05.19 kN/m2 = 0,95 kN/m2 Acabamento: gacb = hacb.mrmore = 0,02.28 kN/m2 = 0,56 kN/m2 g = gp + grev + gacb = 3,76 kN/m2 Acidentais: Uso residencial: q = 1,50 kN/m2 Total: p = g + q = 5,26 kN/m2

L1 h=9 Ly = 5,75 m

Lx = 2,95 m

Rx,apo = x.p.Lx/10 = 3,72.5,26.2,95/10 = 5,77 kN/mLy/Lx = 1,95

Ry,apo = y.p.Lx/10 = 2,5.5,26.2,95/10 = 3,88 kN/m

Rx,eng = 6,25.p.Lx = 6,25.5,26.1,35/10 = 4,44 kN/mLx = 1,35 m

Rx,apo = 4,38.p.Lx = 4,38.5,26.1,35/10 = 3,11 kN/m

L3 h = 10

Ly = 3,75 m

Rx,eng = x.p.Lx/10 = 3,62.5,26.2,55/10 = 4,86 kN/mLy/Lx = 1,47

Rx,apo = x.p.Lx/10 = 2,47.5,26.2,55/10 = 3,31 kN/m Ry,eng = y.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m

Lx = 2,55 m

CASO 5A

L4 h=9

Lx = 2,55 m

Rx,apo = x.p.Lx/10 = 2,88.5,26.2,55/10 = 3,86 kN/mLy/Lx = 1,49

Rx,eng = x.p.Lx/10 = 4,22.5,26.2,55/10 = 5,66 kN/m Ry,apo = y.p.Lx/10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kN/m Ry,eng = y.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m Rx,apo = x.p.Lx/10 = 2,97.5,26.2,55/10 = 3,98 kN/m

Ly = 3,8 m

CASO 3

Ly = 4,05 m

L5 h=9

Ly/Lx = 1,59

Rx,eng = x.p.Lx/10 = 4,35.5,26.2,55/10 = 5,83 kN/m Ry,apo = y.p.Lx/10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kN/m Ry,eng = y.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m

Lx = 2,55 m

CASO 3

100

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2.2 Reaes das lajes nas vigasR = 5,77 kN/m

R = 3,88 kN/m

R = 3,88 kN/m

L1

L2

R = 5,77 kN/m R = 4,25 kN/m

R = 3,31 kN/m

L3

R = 4,86 kN/m

R = 13,08 kN/m

R = 3,86 kN/m

R = 4,25 kN/m R = 4,25 kN/m

R = 4,25 kN/m

L4

R = 5,66 kN/m R = 5,81 kN/m

R = 3,98 kN/m

R = 5,83 kN/m

L5

R = 5,81 kN/m

L6

R = 2,91kN/m

R = 3,08 kN/m

Cargas na escada (uso residencial q = 2,5 kN/m2):101

R = 3,96 kN/m

R = 2,91 kN/m

R = 13,08 kN/m

R = 2,65kN/m

R = 3,78 kN/m

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Sem. 2012/1

3. DETERMINAO DOS MOMENTOS NAS LAJES 3.1 Cargas na laje: Permanentes: Peso prprio: gp = h . c = 0,09m . 25 kN/m3 = 2,25 kN/m2 Revestimento: grev = hrev.arg = 0,05.19 kN/m2 = 0,95 kN/m2 Acabamento: gacb = hacb.mrmore = 0,02.28 kN/m2 = 0,56 kN/m2 g = gp + grev + gacb = 3,76 kN/m2 Acidentais: Uso residencial: q = 1,5 cm2 Total: p = g + q = 5,26 kN/m2

Lx = 2,95 m

L1 h=9 Ly = 5,75 m

Ly/Lx = 1,95

Mx = x.p.Lx2/100 = 9,73.5,26.2,952/100 = 4,45 kN.m My = y.p.Lx2/100 = 3,23.5,26.2,952/100 = 1,48 kN.m

Mx =x.p.Lx2/100 = 7,03.5,26.1,352/100 = 0,67 kN.mLx = 1,15 m

Xx = x p.Lx2/100 = 12,5.5,26.1,352/100 = 1,19 kN.m Mx = x.p.Lx2/100 = 4,15.5,26.2,552/100 = 1,42 kN.m

Ly = 3,75 m

L3 h = 10

Ly/Lx = 1,47

My = y.p.Lx/10 = 2,45.5,26.2,552/100 = 0,84 kN.m Xx = x.p.Lx2/100 = 9,32.5,26.2,552/100 = 3,19 kN.m Xy = y.p.Lx2/100 = 7,9.5,