Larson/Farber Ch. 3

3 Probabilidade

Estatística AplicadaLarson Faber

Previsão do tempo

Jogos

Esportes

Negócios

Medicina

Larson/Farber Ch. 3

Seção 3.1

Conceitos básicos

de probabilidade

Larson/Farber Ch. 3

{ 1 2 3 4 5 6 }

{ Obter um número par } = { 2 4 6 }

{4}

Lançar um dado.Experimento probabilístico:Ação por meio da qual se obtêm contagens, medições ou respostas.

Espaço amostral:

O conjunto de todos os possíveis resultados.Evento:

Subconjunto do espaço amostral.

Resultado:

Termos importantes

O resultado de uma única tentativa.

Larson/Farber Ch. 3

Experimento probabilístico: Ação por meio da qual se obtém contagens, medições ou respostas.

Espaço amostral: O conjunto de todos os possíveis resultados.

Evento: Subconjunto do espaço amostral.

Resultado: O resultado de uma única tentativa.

Escolher um carro da linha de produção.

Outro experimento

Larson/Farber Ch. 3

Clássica (resultados igualmente prováveis)

A probabilidade de que a pressão sangüínea abaixe após a medicação.

A probabilidade de que a linha telefônica esteja ocupada.

Empírica

Subjetiva

Tipos de probabilidade

número de resultados em E

número total de resultados no espaço amostral

Freqüência no evento E

Freqüência total

P(E)

P(E)

Larson/Farber Ch. 3

Dois dados são jogados.Descreva o espaço amostral.

1a jogada

36 resultados

2a jogada

Início

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Três diagramas

Larson/Farber Ch. 3

1,11,21,31,41,51,6

2,12,22,32,42,52,6

3,13,23,33,43,53,6

4,14,24,34,44,54,6

5,15,25,35,45,55,6

6,16,26,36,46,56,6

Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que a soma seja 11.

Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.

Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

Espaço amostral e probabilidades

3/36 = 1/12 = 0,083

2/36 = 1/18 = 0,056

5/36 = 0,139

Larson/Farber Ch. 3

Eventos complementaresO complemento do evento E é o evento E´.

E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E.

A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso.

E E´

Solução:P(defeituoso) = 5/12P(não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583

P(E´) = 1 – P(E)

Larson/Farber Ch. 3

Seção 3.2

Probabilidade condicional e a

regra da multiplicação

Larson/Farber Ch. 3

A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu.

Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso?

Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos “a probabilidade de B, dado A”.

Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11.

Probabilidade condicional

Larson/Farber Ch. 3

Dois dados são lançados. Determine a probabilidadede sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.

Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6

Eventos independentes

Larson/Farber Ch. 3

Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.

A = tomar uma aspirina por dia.B = ter um ataque do coração.

A = ser mulher.B = ter menos de 1,62 m.

Dois eventos que não são independentes são dependentes.

A = ser mulher.B = ter sangue tipo O.

A = 1o filho ser menino.B = 2o filho ser menino.

Eventos independentes

Larson/Farber Ch. 3

Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)

Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso.

A = o primeiro carro é defeituoso.B = o segundo carro é defeituoso.

A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.

Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes.

Eventos independentes

Probabilidade condicional

Probabilidade

Larson/Farber Ch. 3

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.

1. P(sim)2. P(Seattle)3. P(Miami)4. P(não, dado Miami)

Omaha Seattle Miami TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

Tabela de contingência

Larson/Farber Ch. 3

1. P(sim)

2. P(Seattle)

3. P(Miami)

4. P(não, dado Miami)

100 150 150125 130 95 350 75 170 5 250

Omaha Seattle Miami TotalSimNãoNão sabeTotal 300 450 250

400

1.000

= 95/250 = 0,38

= 250/1.000 = 0,25

Respostas: 1) 0,4 2) 0,45 3) 0,25 4) 0,38

= 450/1.000 = 0,45

Soluções

= 400/1.000 = 0,4

Larson/Farber Ch. 3

Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu.

P(A e B) = P(A) x P(B|A)

Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.

A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso.

P(A) = 5/12 P(B|A) = 4/11P(A e B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515

Regra da Multiplicação

Larson/Farber Ch. 3

Dois dados são lançados. Determine a probabilidade desair 4 em ambos.

A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.

P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6

P(A e B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028

Quando dois eventos A e B são independentes, P(A e B) = P(A) x P(B)

Observe que para eventos independentes P(B) e P(B|A) são as mesmas.

Regra da Multiplicação

Larson/Farber Ch. 3

Seção 3.3

A Regra da Adição

Larson/Farber Ch. 3

Compare “A e B” a “A ou B”

O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação.

O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição.

A B

A ou BA e B

A B

Larson/Farber Ch. 3

Eventos mutuamente exclusivosDois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa.

A = ter menos de 21 anos.B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos.

A = ter nascido na Filadélfia.B = ter nascido em Houston.

A BExclusão mútuaP(A e B) = 0

Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.

Larson/Farber Ch. 3

Eventos não mutuamente exclusivos

Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos.

A = ter menos de 25 anos.B = ser um advogado.

A = ter nascido na Filadélfia.B = ver West wing na TV.

A BSem exclusão mútuaP(A e B) ≠ 0

A e B

Larson/Farber Ch. 3

A Regra da AdiçãoA probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P(A) + P(B) – P(A e B)

Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho.A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha.

P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52

P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 0,538

Larson/Farber Ch. 3

A Regra da Adição

Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10.A = a carta é um rei. B = a carta é um 10.

P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52

P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,054

Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)

Larson/Farber Ch. 3

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.

Tabela de contingência

3. P(Miami ou sim)

4. P(Miami ou Seattle)

Omaha Seattle Miami TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

1. P(Miami e sim)

2. P(Miami e Seattle)

Larson/Farber Ch. 3

Tabela de contingência

1. P(Miami e sim)

2. P(Miami e Seattle)

= 250/1.000 • 150/250 =150/1.000 = 0,15

= 0

Omaha Seattle Miami TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

Larson/Farber Ch. 3

Tabela de contingência

3. P(Miami ou sim)

4. P(Miami ou Seattle) 250/1.000 + 450/1.000 – 0/1.000= 700/1.000 = 0,7

Omaha Seattle Miami TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250Total 300 450 250 1.000

250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000= 500/1.000 = 0,5

Larson/Farber Ch. 3

Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorraP(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.

Para eventos complementares P(E') = 1 – P(E)Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro.

Probabilidade de que ambos os eventos ocorramP(A e B) = P(A) • P(B|A)

Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.

Resumo

Larson/Farber Ch. 3

Seção 3.4

Princípiosda contagem

Larson/Farber Ch. 3

Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundoevento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiraspelas quais os dois eventos podem ocorrer em seqüência ém • n. Essa regra pode ser estendida para qualquer númerode eventos que ocorram em seqüência.

Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas?

= 12 refeições

Início

2

Sopa

• 3

Principal

2•

Sobremesa

Princípio Fundamental da Contagem

Larson/Farber Ch. 3

FatoriaisSuponha que você queira colocar n objetos em ordem.

Há n opções para o primeiro lugar.

Restarão n – 1 opções para o segundo, depois n – 2 opções para o terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais haver opções.

Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados é:

Essa expressão chama-se n fatorial e escreve-se n!.

n(n – 1)(n – 2)…1

Larson/Farber Ch. 3

Uma permutação é um arranjo ordenado.

O número de permutações para n objetos é n! n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 • 2 • 1

O número de permutações de n objetos, tomando-se r a cada vez (onde r n), é:

Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantasseqüências diferentes você pode fazê-lo?

Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.

Permutações

6.720

Larson/Farber Ch. 3

Uma combinação é uma seleção de r objetos em umgrupo de n objetos.

O número de combinações de n objetos, tomando-se r a cada vez, é:

Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras você pode escolher os livros se a ordem não importar?

Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.

Combinações

Larson/Farber Ch. 3

2 3 Combinações de 4 objetos escolhendo-se 2

1 4

Cada um dos seis grupos representa uma combinação.

1 21 31 4

3 42 4

2 3

Larson/Farber Ch. 3

2 3Permutações de quatro objetos escolhendo-se dois

1 4

Cada um dos 12 grupos representa uma permutação.

1 2 121 3 13

2 3 231 4

3 42 4

14

3424