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UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
INSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SAO CARLOS
ESTRUTURA ELETRONICA DE UMA BANDA DE IMPUREZA
LAVRO CARVALHO SANTANNA FILHO
São Carlos1978
-
UNIVERSIDADE DE sAo PAULO
INSTITUTO DE FfsICA E QUIMICA DE sAo CARLOS
LAURO CARVALHO SANTANNA FILHO
ESTRUTURA ELETRÔNICA
DE UMA BANDA DE IMPUREZA
Tese apresentada ao IFQSC,- ~para obtençao do tltu10 de
Doutor em Física
Orientador: Dr. Shinzo Nakai
Departamento de Flsica e Ciência dos Materiai~
são Car10s - 1978
-
Banca Examinadora:
Or. Shinzo Nakai - Orientador
Or. Oyonisio Garcia Pinatti - OEMa/UFSCar
Or. Guilherme Leal Ferreira - OFCM/IFQSC
Or. Roberto Leal Lobo e Silva Filho - OFCM/IFQSC
Or. Roberto Luzzi - UNICAMP
-
Aos meus pais,
minha esposa
e minhas filhas,
dedi co essa Tese
-
AGRADECIMENTOS
Expresso o meu mais profundo agradecimento ao Or. Shinzo Nakai
pela
sua orientação dedicada e sugestões inestimáveis. Manifesto
minha dívida ao Or.
Sergio Mascarenhas por sua acolhida e ao Or. Milton Ferreira de
Souza pelos es
tlmulos recebidos. Agradeço ao Prof. Jose Alberto Rodrigues
Jordão pela atmosfe
ra proplcia ao trabalho de pesquisa. Sou grato também aos
funcionários Srta.
Luzia de Fátima Trebi, Sr. Jose Inácio Bertanha e Sr. Celso A.
Bruno Salvadio
pelos trabalhos de datilografia, desenho e gráfica,
respectivamente. Finalmen
te, quero registrar o apoio financeiro dado pela Universidade
Federal de São
Carlos e pela CAPES ã esse trabalho de Pós-Graduação.
-
!NDICE
Li s ta das 11 us trações I
Resumo II
Abstract 111
Capltulo I - INTRODUÇAO
Capitulo I I - § 1. O Tratamento de Li fshitz 5
§ 2. O Tratamento de Matsubara-Toyosawa 19
§ 3. O Tratamento de Cyrot-Lackmann-Gaspard 28
Capitulo 111 - § 4. O Método Variacional 35
§ 5. Cãlculo do Elemento de Matriz da Energia de Transfe
renci a 45
Capltulo IV - § 6. Análise Numérica 51
Capltulo V - DISCUSSOES DOS RESULTADOS 66
Apêndi ce - EXPANSAO CUMULANTE 68
Referenci as Bi b 1i ogrãfi cas 74
-
LISTA DAS ILUSTRAÇOES
I
Figura 1 - Classificação de diagramas 22
Figura
2 - Representação gráfica de ~ e ~ 24
Figura
3 - Densidade de estados (M-T) 27
Figura
4 - Exemplo de diagrama redutlvel 32
Figura
5 - Densidade de estados (C.A.) 34
Figura
6 - Diagramas "self-avoiding" 40
Figura
7 - Deformação do caminho de integração 49
Figura
8 - Representação gráfica de ~(X,ô) 53
Figura
9 - Representação grâfica de ZI e Z2 55
Figura 10 - Mlnimos de ç(Àt,ô)
56
Figura 11 - Valores de ô para mlnimos de ç(Àt,ô)
58
Figura 12 - Mlnimos de ç(Àt,ô) vs. Àt
59
Figura 13 - ç (Àt) em escala logar;tmica
60m
Figura 14 - Densidade de estados para À = 0.01
62
Figura 15 - Densidade de estados para À = 0.05
63
Figura 16 - Densidade de estados para À = 0.10
64
-
RESUMO
II
A estrutura eletrônica de uma banda de impureza em um
semicondutor
altamente dopado e estudada num esquema de "ligação forte"
usando-se uma expa,!!.
sao em cumulantes. As possIveis bandas resultantes dos estados
excitados da im
pureza são desprezadas. Entretanto, usando o pri nCI pio vari
aciona 1, introduzi
mos um parâmetro que especifica essa banda. A densidade de
estados obtida, em
virtude do cãlculo variacional, difere das anteriores, de outros
autores. Essa
comparaçao nos dã uma visão crItica dos estudos teóricos sobre
este problema.
Ela mostra, em particular, explicitamente, que os modelos
baseados em um único
nIvel do ãtomo da impureza não são apropriados. Um posslvel
aprimoramento seria
idear um modo de incluir o nIvel 2p (a banda 2p) nos cãlculos da
densidade de
estados.
-
lI!
ABSTRACT
The electronic structure of an impurity band in a heavily-doped
semi
conductor is studied in a tight-binding scheme using a cumulant
expansion. We
neglect the band built on the successive excited states of the
impurity.However,
using the variational principle, we introduce a parameter which
specifies this
single bando The obtained density of states differs from that of
the previous
authors because of the effect of variational calculation. This
comparison gives
a critical survey about the theoretical studies on this problem.
In particular,
it is shown explicitly that the model, which assumes a single
level in the imp~
rity atom, is not appropriate. Possible improvement is to dev;se
to ;nclude 2p
level (2p-band) in the calculation of dens;ty of states.
-
- 1 -
CAPITULO I
INTRODUÇAO
A Na.tWteza. I'W6 apJte.6 enta. tJLê6 6oJtma.6 di6ti..nta.6 de
matéJtia. c.on.den6 a.da.:
CJr..Ív6t0J.4, .6ôUdo.6 amoJt6o.ó e. dquido.ó. t baótan:t.e.
C.WÚ0.60 que. e.wtam ,~ome.n.:t.e.:tJri6 manwaó
cU.6e.Jte.n:t.e..óde. gJtupall. átomo.ó, e. que. te.ndo
a.pJtOxima.dame.rt:t.e. a me..ó
ma de.rt.6Á..dade., a.pJte..6e.n:t.e.mtã.o ace.rr.tua.daó
cU.6e.Jte.rtç.a.6em .óuaó pJtopJÚe.dade..ó. Contu
do, uma au.:t.ê.nilc.a Jte.vofuç.ã.o vem .6 e.ndo pJtOce..6.6ada
Jte.c.e.rt:t.e.me.rt:t.e.na me.:t.afuJtgÁ..a. E,,...,,..
rtão ê. c.om óJte.qü.êrtc[a que. podemo.6 a.pJte.c[aJt uma
Jte.vofuç.ão rtum Jtamo:tão Á..mpoJt:t.~
:te. da c[ência e. da :te.c.rtologÁ..a. Lbna rtova cl.aMe. de.
mate.JÚcU.6 me.:t.ãlÃ..c.o.6:te.m pJte.!!,.
di..do o Á..Yl:te.Jte..6.6e.de. muLto.6 pe..6qLÚ6adoJte..6 (1).
E.6.6e..6mate.JÚ(Ú.ó .6ão .6Á..Ylgu.la.Jr..e..6pO!!:;
que., apJte..6e.n:tando pJtopJÚe.dade..6 me..tã.uc.aó, po.6.6uem
uma e..6:t.Jtu.:t.UM..be.m m
-
- 2 -
Vlume.!tOquâ.ntiC.O K dado pe.la .6hnetllia
tJtan.J.>laciona1; 0.6 mê-todo.6 da :reof1.Á..ade. g!t~
po~ rtão ~ão ma.-W apUc.ãvw; o ~ o do~ !tu uUado~ da c.orthe.úda
te.of1.Á..a de. bart
d0..6 ê quutionãve.l na -tntell.p!te.taç.ão de.
e.xpe.f1.Á..me.YLto.6c.om .6-t.6te.m0..6 ale.o.tôf1.Á..O.6, e
O..6.6hnpOIe. diante. t polttanto duejãvel duertvolvele. uma
teof1.Á..a quãntic.a pMa .6-
-
- 3 -
mando wna banda. Se. a c.onc.mtJr.a.ç.ã.o de. impwr.e.za6 ~
baixa., a. c.ondu.ç.ã.o
po!!. -óalt06, ne.c.u,-óaando, ne..6.te. C.CL60, de. e.ne.Jtgia
de. attvaç.ã.oi e.nquanto que. acJ...
ma de. c.e.Jtta c.onc.e.n.tJta.ç.ão C!l1tí...c.a de.
impuJte.zCL6 (a ~iç.ã.o de. MoU), a c.onduç.ã.o
M. tOMa me.tã..uc.a. Aqui nõ-ó utamo-ó Úl.teJr..U-óa.do-ó no
domZvúo de. alta c.onc.e.ntna
ç.ão, logo a.cima. da. tJtanóiç.ã.o de. Mo.tt, n.o ne.g-i.me.
me.tâLi.c.o. Ex,Wtem a.R..gunó .tJr.aba.
lho-ó e.xpe.Jtime.n.tctW -óobJte. a e.-ótJtutuJta e1e..tJtônic.a
da banda de. impuJte.za ne..6-óa 6~
xa de. c.on.c.e.n.tJtaç.ã.o( ••). E-ó-óe.-ó tJtaba1ho-ó
c.on.duzem a um nu uLta.do que. mo.6.tJr..a. uma.
a.c.e.n..tua.da. ne.duç.ã.o n.a. de.n..óida.de. de. e6ta.do.6,
n.a. a.R..tuJta. do rUve.l da. -i.mpUlte.za..
Te.oJÚc.ame.n..te., a. ba.n.da. de. impUJte.za. óoi e6tuda.da.
em te.JrmO-6 da. 6un.ç.ão de.
GJte.e.n. pOJt Mmub Ma. - Toy o zawa., e. 0-6
c.â..e.c.u.e.0.6c.oMe6 pon.de.n..te6 óoJta.m óe.ilO.6 pe.R..o
método gJtâMc.o(S). Mai.6 ta.Jtde., CYJtot-La.c.k.ma.n.n. e.
Gct6pa.Jti6) ape.Jt6eiç.oa.Jta.m a. J.JO
ma. doJ.J cüa.gJta.mct6 c.OYl.J.Jide.Jta.n.doa. apJtoxima.ç.ã.o
c.umuR..a.n..te..Ambct6 apfLOUm a.ç.oe6 J.Ja.o
chama.da.,~ "J.Jin.gle. J.Jae." mct6 di..óe.fLe.mn.o modo c.omo
OJ.J te.JrmOJ.Jn.ão "J.Jin.gle. J.Jite." J.Ja.o
pa.Jtc.ia.R..me.n.te.in.c..e.ul.doJ.J. 0-6 te.JrmO-6 que.
c.a.U6am e6-6a. di..6e.Jte.n.ç.a.J.Jão a.que.R..e6 que., PE!:.
fLa. um c.umuR..a.n..te.de. me6ma. ofLdem, in.c.luem mlÚOJt
n.Wne.fLOde. pon..toJ.J. Con..tudo, e6J.Je6
doi;., diJ.Jtin..tO-6 tlta..ta.me.n.tO-6 n.ão c.on.duze.m a.
n.e.n.huma. fLe.duç.ão da. de.Yl.J.Jida.de.de. e6ta.
doJ.J n.ct6 vizin.ha.n.ç.ct6 do rU.ve.R.. da. impu.Jte.za..
An..te.lLioJrme.n..te. a. e.Me6 .tJtaba.R..hoJ.JU6~
hitz( 7) mO-6t1tou que. uma. fLe.duç.ão pode. Oc.OMe.Jt de.vido
a.o "J.Jpldtin.g" liga.n..te.-~
liga.n..te. da. ba.n.da.. O fLe6uUado 60i c..on.6.útmado pOfL
c..ã..e.c.u.R..oJ.J6e.n.ome.n.o.tõgic..oJ.J de.
Ou..tfLOJ.Jau..tOfLe6 ( 8) que. .6e. J.J e.gu.itr.am
a.vidame.n..te., mct6 ct6 apfLOximaç.õe.J.J u.J.J a.dct6 J.J ao
vã..e.idct6 J.Jome.n.te.paJta blÚX.ct6
c.on.c.e.n..tJtaç.õe.J.J.POfL ou..tJto lado, Lu..ttin.ge.fL e.
FILie.d
be.fLg ( 9) e.J.JtudaJt.am o c.ompoM:ame.n..to da.
de.Yl.J.Jidade. de. e6tado-6 n.o limite. de. e.n.e.fLgict6
muito blÚX.ct6, (on.de. o limite. de. blÚX.ct6 e.n.e.tr.gict6
n.o mode.R..o de.le6 c.oMe.J.Jpon.de. a
uma MUda. n.o limite. de. aUct6 e.n.e.Jtgia.6 e.m n.OM o
mode.lo). Re. 6ofLmu.R..a.n.doo pfLoble.ma.
e.m :te.JrmO-6de. movime.n..to BfLov.mia.n.o, e.m u.J.Ja.Jta.mum
mê.:todo va.tr.ia.c.ion.a.R..pa.Jta. fLe.J.Jol
vê. - lo , e. pfLOVa.Jta.mou..tJto fLe.J.JuUado do a.Jt:tig o
de. Li 6-6 hitz j u.n..ta.me.n..te.c.om a. J.J u.a.
pJÚmuJta. c.OJtJte.ç.a.o.
-
- 4 -
A .i..dii..a.nu.6a. tue é que a.6 6alh46 d06 autOItR..6
a.n.teJti.oltR..6 no toc.an:te
ã Jteduç.ã.o na. den.6.i..dade de uta.d.o.6, 1tR..6ulta. de um
tlULtamento .i.n6ttti..66a.tõJti.o na.
aplloúma.ç.ã.o cumuta.n.te (10). Em outJt.a.6 pa.ta.VJt.46, a.
apIloúma.ç.ão ".6.i..ngle .6Ue" e
.i..n.6u6(.úen.te na. .6orna·d0.6 dia.gllam46 no .6en-ti..eio de
que o e6eUo .uga.n.te-a.nt.Ui.g~
ü não é. ade.qu.admnen.te. .i..nct.uleio. PaIU1 .i..nvuilgtVr.
U.6e a.6pecto, uma. 6oJt.mula.ç.ãovtVLia.úona.l 60.i.. 1.L6a.da.e
06 cÃ.l.c.ul0.6 nwné.M.Cl06 60llam execu.ta.d06. Mo.6tJt.amo.6
que
n0.6.60.6 Jt.UuJ..tmJ.06 di6vr.em d06 de ~ubtVr.a.-ToY06awa. e
CYllot-La.c.kmann-Ga.6ptVr.d,
e ClonClolldam pMúa.lmente Clom 0.6 de U6.6ki.:tz. No
c.a.pl.tuJ..o V dtVr.emO.6uma. v..i4ão
cJr1.zi.Cl4 d06 vâlt.i.O.6métod06 .
•
-
- 5 -
CAPrTULO II
§ 1. O TRATAMENTO DE LIFSHITZ
A pJÚme,Uta. c.o,wa. a. .óet col't-ó'
-
- 6 -
-+ 1 . 1) é Jtu olv.
-
- 7 -
o Me.
1 (-+ 1Fo(E) :: F(E,O) = (27T)3~dK E-EÔt) ,
que. C-O!U1.U pon.de. ã. 6un.ç.ã.o de. OMa
( 1 , 7 )
-+
l/Jo(r) = ( 1. 8)
o n.p.e..
T = Uo l/Jo (O) ,
,v o C.M o de.. do--L6 c.e..n:tJw~ de.. .{mpuJte..za~ ~
e..pcvta..do~ pe..ta d--L6.tn..nc..w. 1-;1 21, a
equação pcvta. o~ nlve..--L6 locaM, ê, de.. ac.OJ!..do c.om a
equação (7,5), da 60Juna
(1 - Uo F o (E)det
\-U o F(E ,; 21 ) -Uo F(E,;12))
= O,
1 - Uo Fo(E)
( 7 • 9 )
A-6 tuU.Ze..-6 de (7. 9) :tendem pa1t.a. E o quando r 12 -+ 00,
Onde
Fazendo
E = Eo - e:
-
- 8 -
e ~ando (1.6) e (1.7), t0temo~
1 - Do Fo(Eo - E) ~ Do B E
onde
-+
Admitindo qu.e o e6pec.:tJLo de eI1eJz.g-taE(K) .6eja. dado
pOIt
-+ 2E(K) = EO + !-
-g 2].l
[1. 10)
on.de ].l e. a. mM.6a. e6e...tlva. do etê.tll.on, e 0.6
va.lOlte6 de E(K) .6ã.o pltox..-i.mO.6de ~~,
Lúnile in.6e.tu:.olt da. ba.n.da. de eI1eJz.g-tado c.Jti.6tai.
ideal. Obtemo.6 en.:tão a. a.p!tOx..-i.ma.
ç.a.o:
on.de
e
].l
A = 2'IT •
A equaç.ão .6ec.u1.alt (1. 91 tO!tl1a.-.6 e poJt:ta.n.:to
( 7 • 7 7 )
-
- 9 -
-arlZ
v _e __ r 12det I != O,-ar12eV
Er 12
a rui e.
A
v = B
e. c,ujM tc..alzu .6ao
-ar12e= ±V ( 1 • 1 2 )
O.ó do-Ló u:tado.6 c.oMe.ópondentu a U.óU nlvw .óão e.óta.d0.6
tc..u.óona.n;Cu
e ambo.ó peJt.tenc.em igu.a.hnente ao.ó do-Ló c.enttc..o.ó de
,ÚnpuJteza..õ .toc.a.L
-
- 10 -
v.wto que. o volume. poJt. átomo de. ,(mp.Vle.za. ê c- 1, onde.
c e a. c.once.nbta.
ça.o de. ,(mP/.LJt.e.Za.6,pode.moó -i.ntJr.oduz.vr. a.
cooJuie.na.da. a.cUme.nó-i.onai.
e. conó.úi.e.Jt.aJt. 006 ã.tomoó da. ,(mp.Vle.za. como
ci1..6tJrJ.bu.-i.doó com pILObab.i..U.d.a.de. un.i.60Jt.me.
no e.4pa.ço doó x. lntJr.odu.z-Lndo-óe. também a.
qu.a.nt-i.da.de. T,
-1/31 « T • a c ,
que. ê o pcvtâmúJt.o gJt.a.nd.e.da. te.oJt.i..a.., pode.moó
Jt.e.uc.Jt.e.ve.Jt. a. e.qu.a.ção ó e.c.ui.aIt na. ó e.
(1. 14)
onde.
e.
1....• - .Tl
Ante.4 de. 6oJt.mui.aJL a.6 Jt.e.gJt.a.6ge.Jt.a.-W da.
ó-i.4te.mâ.ü.c.a. doó MVe.-W, Ob.bCJlVa.
Jt.emoó algunó e.xe.mptoó ó,(mple.4. No c.a..6Ode.
e.x-i.6t.vr.em a.pe.naó do.w c!e.ntJt.oó de. ,(m~
Jt.e.z~ 06e.paIta.doó .de. uma. futânc.-i.a.x12, te.Jt.emoó
do-i.4 utadoó Jt.e..6óonante..6, c.omo
-
- ---- -~--~."'-""'~
- 11 -
mos:tJtamO-6 a.YLte.-ó,
-TX12_ + e
Tl1 2 - - X12,
n.a. oltdem cJte-6c.e.nte.. Entã.o a. e.qu.a.ção (1. 14) toma.
a. 6oJtma.
3 - exp{-2TX12} + 2 exp{-T(X12+X23+X31)} = O. (1.15)~ xt2 ~ X12
X23 X31
- . - -kT ..•.E.606a.e.qua.ç.ao tem (com a.p.'touma.ç.ao da.
OIl.dem de. e , k > o), dwu JUU..ze.I.> !te.MO
na.n.te.l.>
que. c.oMe.I.>pondem ã -tado da. -
-
- 12 -
e.
In.tMduz..iJr..emo-6 a.goJta. o peJÚÍnww de. um poÚgO~1O r de. j
vê-Jttú.e.-6, C.01t6.tJr..u.-i.d0 p~
tO-6 pontO.6 xk -6em que. nenhum dO-6 veJLt{.c.~ apaJr.eç.a. duM
veze.-6 (0-6
não têm v éJr...ti.c. e-6 c.omu.Vl..6) •
"7
poUgono.6
L: J = m. ( 1 • 16)
Ponexempto, a equação (1.15) ê ~~a exatamente como
onde
-T(X12+X23+X31) -T(X13+X32+X21)e e---------+---------X12 X23 X31
X13 X32 X21
(1. 15) ,
Então, cada A dO.ó co eMc-ienteh na equação (1. 15)' pode.6 en
nepneh entado comom
a .6oma de t.odo.6 0.6 t.enmo.6 po.6.6Zve..{;.,
pnoponc.ion.a..i.6 a exp{ -T L }.m
L = min L ,m m
então, Vl.O -Umile de T gnande t.enemo.6
-
- 13 -
-1 IT Rnl A = - Lm m
onde. temo.6
(1.17)
1T11 = e-ST•.• _ sT- e (1 • 18)
No n0.6.6o ex empto 11 ~ 15 ), L2 = x 12 • PoJtta.YLto, a.
e.qu.a.ç.ão (1. 15 )' ê a.p1Wx-imada. (no
.6 e.ntúi.o da. a.ptO xkna.ç.ão ia gcvU..tmic.a.) palta.
(1. 19)
ou.
qu.e. c.O!tlte..6 po nde. ã. Jr..O..iz du.pla.
T11 2 = ±1T11·,
Q.u.a.YUÚ2..s aume.YLta. ma.i.6 ainda., obtêm-.6 e. a. .6
e.gu.nda. Jr..O..iz:
-
- 14 -
ou.
AgoJt.a. podemo.ó pJWc.edeJt (i expo.ó-
-
- 15 -
E.6.6lr Jta..iz C.OMe6ponde. aO.6 do-L.6 nZvw do.6 e6t.a.d0.6
UgCVLte. e. a.n.t.t-Uga.n:te.. ~u.w~
do a aumenta ma..i6 a1..nda., de. ac.oJr..d.ocom M
de..6.igu.a.U.ade6 (1.22), Jta.ZZe..6 .6u.c.e6.6-i.
VM Oc.OMem YLO.6poYLtO.6 dúeJtmbt.a.d.o.6 pei..a.
e.qu.a.ç.ã.o
ma - L - (m+2)s - Lm m+2
ou. pei..a. equ.ação
ms - L - (m+l)s - Lm m+l
o plUmeJJr..O C.MO Oc.OMe. quando
b > am m
2s - 2 bm
s = a •m
( 1)
( 11)
e. c.oJtJte..6ponde. ao apalLe.Ume.YLto de. um paIL de.
Jta.ZZe..6 -i.gu.a-i..6. No .6e.gu.ndo c.a.60, qu.e.
Oc.oMe. paJta a de..6-i.gu,.a.i.d.ade.Jte.v~a
a > b ,m m
e.wtem futiYLtLt..6 Jta.ZZe..6 em ve.z dM du.M
Jr..a1.Ze..6-i.gu.a.-L.6de. (1). A c.ada uma de.i.a..ó
C.OMe..6ponde. um e..6.tad0 loc.aL
E.6.6a .6~temã.t.
-
- 16 -
ma ~c.ata togaJÚ:tm-tc.a) ~ão de..teJun-tn.a.dM paI(. wn, do~,
ou. wn n.WneJLO mMOI(. de
d,w:tâVlC.-ta,6 x ik' E-6 c.olhendo paJta. c.ada C.Mo um VlÜmVW
adequado de po vt:t0-6
mO-6 JteyYl.e6 e.vt:tM s, poJt ex.e.mpto, vta. 60ftma
X. ,1 pod~
X 2 3+x 3 1-x 1 2X 1 2 X13; X 2.e.>X 2 3
s = ! x3l>X23+X31-X12 = s; l>3
Lajkxjk
ajk = O,
1( 1 • 23)
+ +1 +2 • Ea = 1 - I'- , - , jk •
A).) de6igu.a.ldade6 que 6ix.am M c.ondiç.õ e6 paJta c.ada um
d0.6 C.MO).)
vw no).) dão uma /tegião no e6pa.ç.0 dM c.onMgUftaç.õe6 do).)
x., c.ujo).) voiume6 /tetaJ
uva).) dUeJuninam a pltobabilidade de tiÚ6 c.MO).). Poll.-tanto
a de~idade de pltobab:5:
udade paJta s e: a .6ama de teJunO.6, um paJta c.ada C.M o
p0.6.61ve.i em (1. 23) . En:tã.o,
. p(s) L: p (s)n n Jp(S)dS = 1. ( 1 • 24 )
k~ de6igu.a.ldade6 (1.23) de6inem o).) /te..6pec.uvo).)
vo.tume..6
X 31), ••• , o).) qua.i-6 não c.ontêm ou:tJtM impu/teZM até:m
daquew de que o).) nlv ws dependem. A p/tobabiUdade de um :tal
evento e: exp{-w}. Po/t exemplo,
Pl(S) = ~ r e-W1(x) d+ds ~ Xx
-
- 17 -
o pJt-
-
- 18 -
11a1me.n.te., paJr.a rl muLto gJLande. (s » 1) a.
c.on.tJribuiç.ã.o mlÚ6 impolLtante. ~ dada. Pi
fu6 c.on6-tgUJLa.ç.õuna.6 qua.W o~ v,[únhQ~ ma.W pJtÓx,úno~ utão
a. uma. cU..6tância.
x = s /2 e 0.6 ouiJLO.6utão a. CÜ6,tância.6 MbuJLâJU.a.6 en:tJLe
-6..(., 6oJt.a. de wna. e-66eJt.a.
de Mio s /2. I.6~o no.6 dã
A J.Joma total (1. 24) pode J.JeJt dt v-Ldt da em dua.6
paJt:teJ.J: O pJU.meÜw teJtmo
c.oJúteJ.JpOl1de ã C.OI1.tJúbLÚç.ã.OolÚg-Ll1ada da.6
.6oluç.õeJ.J da equaç.ã.o (I). EM a C.011.tJú
bLÚç.ã.O paJta a del1.6-Ldade eJ.Jpec.tJta1 ê. .6-LmétlÚc.a em
Jte.laç.ão ao pol1to Eo : E = Eo -
E:. O .6egun.do teJtmo c.oJúteJ.JpOl1de ã. c.ontJÚbu.-Lç.ã.o
oJÚgil1ada da6 J.Jofuç.õu da equE;
ç.ã.o (II). Sua c.ontJÚbu.-Lç.ão palta a del1J.Jidade
eJ.Jpec:tJr.a.l ê. a.6.6imê:tJric.a.
Palta E: = O, 110 nZvel da impWteza (s -+ 00), amba6
c.oI1tJÚbu.-Lç.õu-
vao p~
Jta zeJto I1U.6e tJtatamento. O eJ.Jpec.tJto, poJttanto,
apJteJ.Jenta um vale em E: = O, e
o máumo do upec.tM l1a viúl1hal'lç.a de E = O é. J.Jepaltado em
doi.6. Como pode J.JeJt
c.ol1c.lu.Zdo da pJteJ.Jente aI'lã.we, utad06 c.ole:UvoJ.J de
todo.6 0.6 c.e11:tJt0.6 de imp~
ZM têm pJtobabilidade zeJto, em c.ontJta6te c.om o que .6e pM.6
a 11a6 eJ.JtJtu.tWta6 p~
tU-õcüc.a6.
-
- 19 -
§ 2. O TRATAMENTO [l: MATSUBARA-TOYOSAWA
Como .6abem0.6( 11), a.6 -úrIpWLe.Za.6em mateJL.i.a..U
CILi..6:ta.U.n.O.6,:ta..U c.omo Ge.
e Si., .6ão .6u.b.6.ü.:tLLciona..U. Enbte.:tan:to a
conc.e.ntJt.a.ç.ãoe .6LL6-ic.ie.n:teme.n:te. bcúxa, o
que. no.6 pe.Jt.mi.;te:tJta.:tã.-.l.a.6c.omo
d..U:tJLi..bu.i.da.6comple.:tame.n:te. aJJ aca.6 o,
:toJr.nando-.6e.
um exemplo :t1p.ic.o de. ae40ltdem :tJt.a.n4lacionaL E.6.6a4
-úrIpWLe.za.6.6ão Ite.6pOn.6ã.vw
pe.lo apaILe.cime.n:to de. U:tad06 e.le.:tJr.Ô.u.C06 na banda
de. e.n~-i.a. pltO-i.b-i.dado .6e.m-i.
c.ondutolt. Em v.i.Jr.:tu.de. do aUo valOIt da
c.on.6:tan:te.die.lê:oU.ca, a.6 6unçÕu de. onda
du.6u u:tada.6 u:te.ndem-.6e. pOIt vâJú.0.6pon:tO.6 da lte.de.,
pe.Jr.mU.i.ndo uma. .6LLpe.ItpO.6-i.
ç.ão de. 6unç.ôu de. onda.6 d06 e.lé:tJr.On.6de. di6e.Jte.n:tu
-úrIpWLe.Za.6.TJtabalhaJLemo.6 aqlLi
numa. 6cúxa de. conce.n:tJt.a.ç.ãologo acima da :tJtan4-i.ç.âo
de. Moti; e. du C!te.ve.ltemo.6 o
.6-i..6:tema.pe.lo Ha.mU.:to.u.ano de. um e.lé:tJton,
+ +H - L V •• a.a. + L V •• a.a.,
. 11 1 1 '..1.. 1J 1 J1 1rJ
onde. a .6oma ê e.6e.:tLLada.6oblte. :toda.6 a.6
-úrIPLLlte.Za.6.
v - V( IR: - R: I)mn m n
12. 1)
12.21
e o e.leme.n:to de. ma.tJLi..zda e.n~,[a. de. .tItan4 6wncia de.
um e.lé:tJr.on, da pO.6-i.ç.ãom
paJt.a.a P0.6-i.ç40 nj a~ e. a. lte.plte.6e.n:tam 0.6
ope.Jtadolte.6 de. CJL
-
- 20 -
-i.mpUlteza, a banda de .únpUlteza peJunanec.e .6epaILa.da da
banda de c.onduç.ã:o, pelU11Lti.!!:,
do-no.6 de.6pJc.ezaIL a e.6tJc.utWta de.6:ta ÚWma. 1.6.60
ac.on:tec.e quando
0,02 < À < 0,5
onde
e a ê. o ..tnveM o do Jtcúo de. BohJt e.XcUÔMCO.
A óunç.ão de GJteen de..ó.6e pJtoble.mo. ê. do.do. peto.
óÕJtmu.lo. U6ual,
G(z) = 1 ..,
onde
z = E + iE, E + + O.
EXpo.l1cün do {2. 61 óoJtmo.bnen.te, ob:temo.6 po.Jto. o
etemen.to cüo.gonal,
(2.4)
(2.51
{2.61
{2.71
G (z)= omm + Vmm + ~ Vmi vim + ~mm z z2 . z3 ..
~ ~,J
vmi Vij V~ +z I .••• (2.81
A -ôomo. é eóe:tuo.do. .6obJte :toda.6 a.6 ..tmpuJtezeu,. O
etemen.to cüo.gonal do. óunç.ão de.
GJteen é gJta.ó-i-c.o.men.te JtepJte-6en.to.do pOJT.. umo.
.6omo. .6obJte :todo.6 0.6 gJtã.ó-i-C.O.6que !te.
pJte-6en.to.m eu, vâM.a.6 "j OJtl1.o.dct6", c.omeç.o.I1do e
:teJtm-i..no.l1dono. me..ómo...tmpuJtezo.. No.
veJtdo.de, nô.6 e-6:to.mO.6..tn.teJte-6.60.00.6 no. mécüo. 00.6
etemen.to.6 cüo.gonaÁ-.6 do. óunç.âo de
GJteen, :tomo.do..6 obJte :todeu, eu,
c.onó-i-gUJta.ç.õe-6PO.6.6I.vw da.6 ..tmpUJteza.6. Vepo.-t.6 de
:tomo.do. o. mécüo.,
-
- 21 -
de. n pa6.6 0.6. A mê.d
-
"self avoiding"
"single site"
irredutlvel
(a)
"single site"
redutlvel
(b)
"pair"
(c)
- 22 -
Fig. 1 - Classificação de diagramas
(parcelas de ~~).
-
- 23 -
nÜrnefto de ftetoMO-6 a.o ponto Úu,ual O o COY!.-6-
-
+ .....
- 24 -
c::o + +.....
Fig. 2 - Representação grãfica de ~ e n.
-
ou.
-aRV(R ) = -Vo(l + aR ) e mn
mn mn
onde
2
Vo = -V(O) = ~_ ako
~e.ndo a o ..tnve.Jt.6o do Jtai..o da pJt.ÚrtuJta. ôJtbLta, q a
c.aJtga do e.R..é.:tJton, ko a
R = IR - R I.mn m n
. ~ -A t~no~ada de Fo~e~ v(K) em (2.15) e
v(Í = -Vo 321Ta31_. ? I Tr'" ~ ,
de onde ti~amo~ que a equaç.ã.o (2. 17) pode I.>e~ pOl.>ta
na noJtma:
zW = Võ
e
-3a = 321Ta c.
A eq uaç.ã.o (2. 24) po de I.>e~ pOl.>ta na 6oJtma:
- 25 -
12.20 )
12.21)
(2.22 )
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.271
-
1 _ ~ fi (1 _ 1/3)1/2 1/2 1TfT2 - 3rr O y . y · 1 + 2aflY +
a2lf~ dy,
onde.
f = ~w
e. E é: me.cüda e.m wúda.ci.eà de. Vo
F~na.1me.nte., de. (2. 10) obte.mo~:
n(E) = - &TI
E-6-6e.fte.-6 uftado é: mO-6tftado na. 6
-
--------1.5 -1.0 -0.5 o 0.5
E
0.5
1T D(E)
10
5
1.0
Fig. 3 - Densidade de estados (M-T).
para diferentes valores de À
I')....•
-
- 28 -
§ 3. O TRATAMENTO DE CYROT-LACKMANN-GASPARD
Um cüagJtama "~,(.rtgle. ~Lte." ê de.6)..nido c.omo u.rtdo um
CÜa.gJtama "~e..e.6-
-avoJ..diVl.g" ou um dJ..agJtama que. pode. ~e.Jc.~e.paJc.ado
e.m cüagJc.art1a6 do Upo "~e.e.ó-
-avoJ..cüng". Um cüa.glLama. "PCÚIL", (",tlu..ple;t", .•• ) é.
aque.le. que. tem do.u"
[tJtU, . ti) pOl1.tO~ liga.do~ pOh.. milÚ de. um -be.gme.Vl.to
e. V1.M ~ um tÜ.agJtama "~i.ngle.-
-Ü1Q." (MgUJtd 1). ge.gulndo U~ a te.JurJ..nologla, a
apJtOxlmaç.~o M-T ~ uma apJto
JÚmaç.ão ".6..i..ng.te.-.6ae" .
CYJtot-Lac.kma.n.n e J. P. Ga6pa.Jtd plLOpU.6eJtam uma outJta.
apJtoumaç.ão".6..i..n.g.te-
-.6Ue", rU6eJte~e daque.ea. pJtopO.6ta em M-T, no.6 teJunO.6 não
".6..i..ng.te-.6ae" pa.Jtuaf
mente ..i..nc.h.údo.6. E.ó.óu do..i...6.tJtatame~o.6 .6ão
aqu...i..c.ompa.Jtado.6 pa.Jta efuc...i..da.Jt o dom2
n..i..o de vaLi...dade da apJtoJÚmaç.ão ".6..i..ng.te-.6Ue".
Ou.:tJw. man.wa de obteJt a deYl.-6..i..dadede utado.6 é. a
paJLti..Jt do.6 momento.6 ,
U.6ando-.6e a.6 6u.n.ç.õu gelttttJú.zu do.6 momento.6 e do.6
c.umu1.an.tu ou .6em.i.-..i..nvaJÚan.
te.6 IveJt apênCüc.e). Com e.6.6e PJtopÓ.6UO
c.oYl.-6..i..deJta.mo.6em plLÚrrUJtO fuga.Jt a " 6u.n.ç.ão- •• -I-
: - " z I{R}) d l' •d ( 1 3 ) , ( 1 It )pU/lAA.ç.ao t . eo..uu a
poJt
on.de H é. dado pe.ea. equaç.ão 12.1). A notação TIA)
.6..i..gn...i..6.{.c.atJtaço do opeJta.doJt
A.rCOYl..6..i..deJta.Jtemo.6t Jtea..t e pO.6ilivo. Pa.Jta um
.6..i...6tema gJta.n.de temo.6 ob v..i..amente,
•J 00
1 -tEZ(t) = N
-
- 29 -
L'e,{:j de. ene!tg{.a:
(00 n (E) dE = l.)
-00
PCVLa obtC-f!.,m06 n(E), pofltanto, PJte.C
-
- 30 -
e
U(t) = etHoU e-tHo .
PoJz1ant.O obtemo.6 I
p(t) = 1 - Jt p(T)U(T) dT,o
ou
o opeJta.doll. U(tl pode I.lell. eI.lCJÚ;to c.omo
(-t)2U(t) = U - t [utHo] + 'lI [[utHoJ t HoJ + ••• t
ortde
(3. 10)
13.11)
(3. 72)
(3. 13)
[UtHO] == 000 - HoU. (3.14)
V~to rtÔ.6 utaJtmO.6 c.ort.6-i..dell.ando 0.6 n1.vw de toCÚL6
a.6 hnpWteza.6 o mumo I igu.a..l
a Eo I a equa.ç.a.o (3. 1) pode .6ell. .6hnpUMc.ada paJta.
( 3. 15)
V~ cuüll.emo.6 c.om maL6 deta1.hu o tJr.atamertto de T (e -tU)
ma.L6 taJr.de; rtOrmomertto UmU:aJr.emO.6 rtO.6.6a.6
c.ort.6-i..dell.aç.õu ao momertto 114' ApMvwando a opol!t~
dade lembJr.aJr.emo.6 que 0.6 momertto.6 e c.umularttu
(.6em-i..-,[rtvaJÚaYLtu) paJta. uma vaJÚâ.
vel aleatôJr.,[a X .6ã.o Jr.elauortado.6 atJr.avél.l da
nUrtç.ã.o geJr.a.tJúz do.6 momertto.6 e da
nUrtç.ã.o g~z do.6 cwnulaYLtu (vell. apêrtdi.c.e) c.omo
~x 00 ~n 00 ~nAV = L -:-r).1 = exp {L ::T k } == exp K(~)n=O n.
n n=l n. n
( 3. 16)
-
- 31 -
A mêdÁ..a ê 6e..Ua :tJr.ocando-.6e a .6oma .60blLe a.6
-impWleZa.6 pOlL c f dR, ovtde.
c e a eOVleevt.tJLa.ç.ãode -impWleZa4. No plLOeU.60 de .té.JwJr.
a médÁ..a ê VleeU.6 Mio dÁ...6
UVlgtUJt a.6 PO.6.6ZVW eo-incidêvtc{.a4 de ).mpWte.Za.6. A
quavtudade. )J4 agolLa tOMa-.6e
(veJt 6igU/La 1):
(3. 17)
Lin pon.t.o de aJt.U.c.u..e.a.ç.ãoê um ponto vto qual a. média.
pode .6eJt exatamente
de.6a.copla.da.; pOJt exemplo, MgUJta. 4. Um dia.gJta.ma.
Vr.Jte.d.u.:t1ve.t ê um cüa.gJtama. :tal
que. não pode. .6eJt de.6 a.copla.do, -ú:to e, não
PO.6.6c.U.pon:to de. a/tüc.u..e.aç.ão. F..
-
Fig. 4 - Exemplo de diagrama redutlvel.
- 32 -
-
- 33 -
e lÍ6ando-,6 e a tJtan,6 60ltmada -tnVeM a de Lapl a c.e,
tern-,6 e 6-tnalrnente a equaç.ã.o !3. 4 I,
onde z!tl ê dado poJt
Z( t) • exp{ (2;~'c J [1 - ;ctvÜJ dK).(3.20 I
À _ 7Tc- ã!' (3.21)
a den.Ú ..da.de de e6.ta.do.6 c.a.tc.u1a.da numeJÚc.amen..te
paJta vâ/úo.6 vatoJte6 de À ê. mo.6
.tJtada. na 6-(.gUlta. S.
-
-Lú-c
,\
\
\
10d·
-·cz:l&J
·u-11IO~O
ltS.j..)11IQJ
-8QJ~ltS~.•..11Ic:q QJO CI ILO ·c:n.•..L.l...
q-I
- 34 -
-
- 35 -
CAPÍTULO rrr
FORMULAÇ~O DO PROBLEMA - (Continuação)
§ 4. O MtTODO VARIACIONAL
o método qu.e d~ CJl.evemo-ó a. -óegl.ÚJL tem a. va.rttagem de
YLO.6
wn ~qu.ema. de a.pJtox.hna.~ão: Um métod.o va.-Ua.e
-
- 36 -
-cQ 3~ e = exp{-c(4n/3)Ro},
onde.
N
c =TI'
EvttM a d.e.YL6-úiade. doI.> vt1vw de. e.l1eJtg.ta..6
baixal.> e dada pOJt
E -+ O,
onde a c.oYLót.a.n.,teC3 ê.. dada pOJt
2
C3 = (47f/3) , (7f2 /2) 3/2 • C • (~) 3/2m .
o que I1Ô.6:t.e.n..tMemO.6 -Ll1ve.õÜgM agoJta. ê um ou.tJto
aJtgumen..to de Un.6h..Ltz,
.6obJte o e.õpectJto de el1eJtg-La. ptLôXÁ.mo do n1ve1. da.
.impwteza., c.ol1noJtme meVLUOnamO.6
a.YLte.õ. No.6.6o pon..to de pa.Jttida. .6e.Jtã a. e.qu.a.ç.ã.o
(3. 2), onde tomamo.6 a. mê..d-i.a. .6obJte
a.-ó c.oI1MguJta.ç.õu dai.> ,Lmpwteza..6 paJta. o
.6,[J.>tema.de.õc.Jtdo na. I.>eç.ã.o3. PJtoc.u.JtMemo.6
.6egu.-i./t de pe.Jt.to o tltatame.n..to ma.-temãtic.o do
a.Jttigo de LlLt:té..nge.Jt e FJt-i.edbe.Jtg.
No c.ã.e.c.ui.o do .tJta.ç.o, c.OYL6,[de.JtMemOI.>um
.6,[J.>tema.c.ompte..to c.on.ó-tU:.Lúdo de.
N e.õ.tadO.6 JteptLe.õe.n..ta.ndo um e1.ê...tJton em uma.
qua..tqueJt dai.> ,Lmpu.ltezal.> Jtupec.tivame.!!:.
te a~1o>, onde 10> JteptLe.õen..ta. o e.õ.tado
nundamen..tai.. (ou e.õ:t.a.do vãc.uo). Na. equa.
ç.ã.o (3. 2) temol.>
(4. 1)
AgoJta. tltoc.aJtemO-ó a. oJtdem da.-ó opeJta.ç.õe.õ
mê..d-i.a.na..6 ,Lmpu.lte.Zal.>e c.ãlc.u1..o do tlta.ç.o.
-
- 37 -
V-U:,t!r que. de.po.u. de. tomada. a. mê.cU..a.nM
PO.6-i..ç.Õe.6dM .un~e.ZM não ho..veJr.á. PO.6:i:
ç.ã.o pJ[.e.6eJLe.ncial, e. que. não depende. de. R., podemo.6
e.6CJte.VeJL~ ~ ~
Z(t) =
-
- 38 -
A Jte1.a.ção de c.omu.ta.ção a.goJta ê dada. pOJt
[-+ +-+] L [-+-+-+]A(K) t A (K') + - {j} exp i(K'-K).Rj
ol1de
[A,B] + :: AB + BA.
A equação (4.7) pode .6eJl m0.6tJtada. Uóa.l1do-.6e a.
lte1a.ção
[ a+] =6 ...a., i + 1.JJ
(4.6)
(4.71
Com eh.6U pltepa.Jl.a..U.vo.6, e.6etu.aJtemo.6 a. mê.cüa.
11a.!.>-úrrpwte.Za.!.>. V.ióto qu..e. a..6 pO.6-i:.
çõu da.!.>-úrrpwteza.!.> utão il1c1..túda.!.> a.pe.rttU
110.6 opeJr..adOlteh A(ib e. A+ (iÔ , to malt e
-. +-+ -+ - -mal.>a. me.cüa. .6omel1te. ao.6 palteh A (K') A
(K) 110 c.alc.u1.o de. (4. 3); pOIt e.x.emplo, a. me
dia. de. (4. 7) pode.6 eJr.. uc.Jtita. c.omo
[ -+ +-+] -+ -+< A(K) , A (K') +>AV = (2n) 3 c
6(K'-K),
aMe. c ê: a. c.OI1c.e.I1tJta.ção de -úrrpwte.za.!.>, c = NIn.
O .6egu..l1do memblto da. e.quação
ma. ê. obtido da. .6e.gtvi..l1te 60ltma.:
• 'T -+ .-+ -+1.K.R. N 1.K.R
{~} e J -+ -N í: e n = NÔ = (2n) 3 c õ (K) •J n -+ ÕK,
(4.8)
a.e
-
- 39 -
Ante.ó de. c.alc.u..taltmO.6a média c.umulante. e.m 14.5),
pJte.wamo-6 tomaJl um CLÚdado ~
peua,(., No c.ã.e.c.u.lodo tJr.aç.o jã. 60,[ tULada a médi.a
dO-6 ope.JtadoJtU ao e. a; -impU
c);tO-6 na equaçã.o (4. 3). Te.ltemo~ polLtanto qu.e dei.xaJL um
A+ li) na extltemidade ~
que.ltda e. um A (R') na e.x:tltem-i..dade. dúr.e1ta (-6em
ti.1t0Jt a mêd-i..a), pMa empaJtelhOJt
cnm ao e.a~ da equação (4.5). Áó-6-i..m-6egue--6e que
n00 (-t) rI + -+ -+ nAV = exp{ L , < Li" ~ V'±K• A (K) A(K)]
> } =n=l n. u c
f -+ 2 ndK + -+ -+ ~ (-t) 2 ~ (-t) n-l n ~
= exp{ ('h,\ 3 A (K)A(K) [(-t)v(K) + ') , c v (K) + ••• + _ , c
v (K) + ••• J +
+ termos incluindo os operadores ( ••... AA)AV}.
PaJta chegaJUrlo-6 no Jtu u.Uado tJtOc.a.rr.do a oJtdem 00.6
opeJtadoJtu, pOJt exemplo,~ +~ ~ ~ +~ ~
A(K") A (K"') ~ (27T) 3 c 6(K'" - K") - A (K"') A(K"), U6a.rr.do
(4.8), e 0.6
ÚLtimo.6 tvuno.6 noJta.m c.olecionado.6 no Pall.ê.rr.:tue 6htal.
EM u teJtmo.6 -
-
•
(a) (b) (c) (d)
- 40 -
(e) (f)
Fig. 6 - Diagramas "self-avoiding".
-
- 41 -
(3.20).
Uma.dtu plÚnci.pW van.tagenó du.6a. ÓOllmula.çãOd0.6 c.umulantu
ê. que eta.
n0.6 peJunl.te, de uma. mane1Jr.a.muLto natl..l.ltai.., u.6aJl
um rr/i:todo vaJÚa.ci.onai.. 0.6 aJlg~
men.to.6 de UÓ.6h..Uz pM.6.6eguem a.6.6hn:
Se nóJ c.on.6,[dvr..aJr.mo.6a. den.6,[da.de upec.tJt.a.l. peJLto
do nl.ve! da. -tmpWLeza., o eóeUo
da.6 hnpwr.ezcu, deve .6eJt. pequeno. 1.6.60 .6,[gn-i.6Lc.a.que
a. -tmpwr.eza. mai.6 pllôx.lma. deve
u.taJr. a. uma. gltande di...6t4nci.a.. A plLobabilida.de de que
não ha.ja. nenhuma. -tmpwr.eza.
numa. U óeJr.a. de JUÚo x c.ent:M..d.a.na. oJÚgem é.
plLopolLci.onal a. exp{ - (t) 1TX3}. PoJr.tan.to, a.
plloba.b'[Uda.de de que o pJÚmwo átomo de hnpu.Jr.eza. u.teja. a.
uma. di...6.tânci.a.
x é. pllOpoJLci.onal a. exp[-O(x)] . dO/dx, onde O::: (4/3)1TX3•
O que.6e .tOMa. aJr.b,[
.:tJta.JÚ~n:te pequeno quando x CltU Coe. 1.6.60 oc.a.6,[ona.um
va..&, ou e.lLa6ão, no upe.s:
.tJr.o da. enel[g,[a. peJr.to do nl.ve! da. ,(.mpWLeza..E.6.6e
aJlgumen.to de Uó.6hLtz ê. U.6en
c.ia1men.te bcu,ea.do na. .6epaJLaç.âo de nl.VÚ.6
Ugcm;te-a.n.t.i.Ugante da.ba.nda.. E.6.tu.~
mo.6 U.6e cu,.6u.n.to a. paJt:túr. du.te pon.to. t óã.ci.l
VeJt.que o eóe.Uo do elemen.to da.ma.tJU.z de .tJum.6,[ção .6obJr.e
a. ówtç.âo de onda. do eh.tJr.on c.ap.tu.Jr.a.doem um átomo de
-tmpWLeza.é. óa.zê-ta. e xpan dút. 1.6.6o
.6,[gn-i.6Lc.a.adic.ionaJl um po.tenc.ia.l Jr.epul6'[vo no
modelo do átomo de h-LdJr.ogêrr.-to.Ao ,[nvú di...6.6 o,
c.on.tudo, c.on.6,[deJr.aJr..em0.6uma. mod!:.
6Lc.a.ç.ão na. Ówtç.M de onda. do u.ta.do ówtdamen.tal. No
c.ãl.c.ulo de Vmn, u.6aJlemo.6
(2ar) ô
{r(3+2ô) }1/2
-are , (4. 11)
em"vez da. ówtç.âo de onda. do u.ta.do ówtcLamen.ta.l, a. qual
pode .6elL obliáa. de (4.111
óa.zendo-.6e ô ::: O. a -1 ê. o Jr.aÁ..Oda. pJÚme-úta. ôJr.blia.
e, c.omo pode .6elL veJÚ6Lc.a.do
óa.c.ilmen.te.,
f *-+ -+ -+~ (r,ô) ~(r,ô) dr = 1,
•
-
- 42 -
PaJLâme.tJLova/Úacional ô palta :tJuJ.;ta)r. a expaJ'/4ã.o do.
6unç.ã.o de onda do e.eioton. De
teJunÚ1.altem06 o "me.eholt" ô U6ando o ~eguÚu:e altgumento:
z(t) tem a 60ltma
(X, exp{A}X), onde o opeltadolt A e X podem .6eJc.
de.teJUnÚta.do.6da. equ.a.ç.ã.o (4.9). En
tã.o, temo~ pelo c.onhecido .teoJc.ema de Je.6 en palLa.
6wtç.õe.6 c.onve.xa.6,
(X, exp{A}X) ~ exp{(X, AX)}. (4. 12)
A pJtova ê dada pa.6~ando-.óe paJLa a Jte.pJte.óe.ntaç.ão 'I' na
qual A ê cüagona.t,a
(X, exp{A}X) = E I (X, '1') 12 ea = E P ea, EJ> :: E 1
(X,'l') 12 = (X,X) = 1.a a a a a a a a
Pei.a. de.ó-i.gui.dade de Je.óen, vÁ...óto qu.e eX ê uma
6unç.ã.o convexa,
E P ea > exp(E P a) = exp{(X, AX)},a a - a a
que ê. a equação (4. 12) ( 17). Pofttan.to, U6ando (4. 11) e..ó
c.olheJte.mo.ó ô tal que. o .ó~
gundo membJto da. equação (4.12) .óeja o maioJt po.ó.ó1.vel, de
modo que. te.nhamo.ó a d~
.ó-i.gualdade maÁ...ó60ftte po.ó.ó1.vel paJta a no.ó.óa 6unç.ã.o
ten.ta.t-Lva (4.11). Adotando
e..ó.óa 6unç.ão de onda .te.mo.óque. le.vaJt em c.onta a
:tJr..an.ólaç.ã.o-B(ô)
eq uaç.ão (4. 17). Então pJteci6 amo.ó 6az eJt
mãx-i.mo, ou 6aze.Jt
+aoao c.on6oJUne.
1 f-+l,;(t,ô) '"' B(ô) + ,,,_,,,. dK (1-+
-tcv(K,ô) )- e (4.13)
-
-43 •.
mbúmo, onde
Iir + I J + 1++ I -q2 . I+ -;toV( •. - R. ,\5). dr w( r-R. ,\5)
+ w( r-K. 1,\5),1 J 1 ko I r-R. I J1
onde ko ê a. co~.tan.te cU.e.e.ê:tJri.cae WaJLemO~ Vo paILa. o
dobll.o da. erteJrgia de
zaç40 do pJr.,Úne-iJtou-ta.do, q2a/lto. Na ~eç4o ~egu.i.nt;e
cal.culaJr.emo~ v(K,\5):
+v(K,\5) • -r(l+\5) r(2+\5) • 22(1+\5) • (16~) X(K)
r (3+2
-
B(ô)1 8 1 1 ô2
= ('2 - 1+28) - W + '2 = '1 -,-.r\ '1 3').r\ ,
- 44 -
14. 17)
onde a. Últúna. pallc.ela, 1/2, ê. devida. ã. ene~id ~eJt.
medida a paJLttJt do nlve1. da
impUJt.eza, o utado 6undamental do átomo de hidJr.ogêtúo.
U6cvr.eJno-6 agolta Qu.anti.dade..6 adi.me.mionllÚ me.dÚtdo d
~~h9-
-
- 45 -
§ 5. C~LCULO DO ELEMENTO DE MATRIZ DA ENERGIA DE
TRANSFERENCIA
N e6ta -6e.ç.ã.o de6 CJte. ve.JtemO-6 o cã.e.culo do elemento de
ma.tlriz da e.neJLg-
-
I(z)2 (I+Ô) [ [ ]
= 2 Ô -x I+Ô - X-Z 1+ -
2.r(3+26) { O X e I x-z I e I I - (X+z) 6e (X+Z) dx +
-46"
onde
+ (l +0)(Xl . ô -x fX+ZJ x e dX)
o IX-z I
Ô 2(I+Ô)-y 2y e dy} = ~,~.~~\ {Il(Z) + 12(Z)}, (5.21
M ~ J1 o -x 1+0 - x-z 1+0 - x+z
I 1 (z) = z f x e dx Ix-Z I e I I - (x+z) e ( )o
r Jx+z1+0 o -x Ô -12 (z) = - x e dx _ y e y dy.z o Ix-z I
= e-Z z1+20 r(1+~) r(2+ô) _ r(1+ô) zl/2+OK (z),r(3+2ô)
21/2+ô.~1/2 1/2+0
-Z rK _ ~ e -x Ô x o1/2+0(z) - .qf r(1+ô) De· x (1 + iZ)
dx.CoVI.-tu.do O que nô.6 plLeci..6amo.6 ê. da .tJr.an.66olUnada de
fof.J.JU.elL de (5.3),
como
(5.3)
(5.4)
T.F. de fez) = J fez)
++-iK.z d+e z.
o c.ãtc.uto da tlLan.66olUnada do pJúmwo :teIUnO de (5.3), o
qual. chaltuvtemo.6 cie( 1 ) _
11 ,no.6 da
-
onde.
( 1 )
T. F. de 114nr(1+ô) r(2+ô) sen{(3+2ô) ~}
- 2+&" ,(1+K2) sen ~
~ •••are. tan.K,
- 47 -
/5.51
e K ~ medido em :te.Jur/O-6de. a. A :Ota.u 6oJur/a.da. do -6
e.gundo te.Jur/o, o qual chama.JLe.
(2) _mO-6 de. 11 , e. dada pOJt
( 19 )onde. U6 amO-6
(2 )
T.F. de 11-4nf(1+0) f(2+0)
= ,2+0
(1+K2)
(5.6)
K (x)v Vfoo_ r(v +1/2)2 cos (xt) dt •- 1/2 V V+l/2
rr x o (t2+1)
(5.7)
o c.ã..e.c.u.to da tJr..a.n.-660Jlmadade. Fou.1i..-i.e.Jtdo -6
e.gundo :teJtmo de. (5.2), naJte.mO.6\
paJta - 1 < ô < O e. c.oYl.-6-ide.Jtalte.mO-6a
c.ontinu.ação anai1.Uc.a do JtU u.U:.ado paJt.a a ILe.
g-ião O < ô < 1, pOILqu.e. o c.ã.tc.u.to dúr.e.:to ê
e.n6adonho de.v-ido ã.6 bt-te.glLaç.õu pOIL
paJt;t.e..ó. ~ ando a :tJtaYl.-66olLmada de. Lap.tac.e. ( 2 o
)
-ôx r(l-ô) ds, (5.9)
ILU pe.c.:ti..vame.n-te., nô.6 ob-te.mo-6
[+ioo •12(z) = 2(1-ô) { (1-Ô)}2 d -(l-Ô) [+100 -(l-ô) e-(l-s)z_
e-(l-t)z_ ,,_.! S s dt t ~::--,":",,=,--..,.-..--.
cr-ioo cr-íoo
(5. 101
-
- 48 -
o denomina.d.olL do -i..n:t.eglLando, que C.On6tU.u.i. um 6atoIL
di{lcU. na.
ab.6olLvi..do na. Vt.an6 6oJUna.da.de FOUJÚeIL de 12 (z.),
vi...6to qu.e
-e
Segu.i.ndo o plLo.6.6egl.Úmento U6u.a.l, o c.ami..n.hode
i..nteglLa.ç.ão, de s e t pa.Jr.a.le.to a.oe-Lxo i..mag.
-
~----,"""
'"/"/
/,/,,/,
II
II
III,,'",- - - - - - - - - - - - - - - - -- _./,- - - - - -I
---
- -- -----I --,\I\\\\\\,,,,,,""""
"-•.. "
........ - ---
:caminho originalIII plano de' sII plano de tIIIIIIIIIII
\I"
- 49 -
Fig. 7 - Deformação do caminho de integração.
-
com
- arco tan. K.
sen(ô~l,• K:J'
- 50 -
(5.14)
1Ja. ob.terr.ç.ã.o do !tU CLUa.do 6irr.a.l, .üvemo.6 .6omerr..te
pa.6.6 a.geM elemerr..taJte.6 pOJLem um
pouco :tedio.6a.6 devido dO-6 lLea.glLupa.men..to.6 de 6urr.ç.õu
:tJri..gorr.omé.tJr..i.c.a.6. Finaimen..te
rr.Ô6 .temo.6
v(K,ô) _ -Vo r(l+ô) r(2+ô) 21+2Ô (32~) X(K). ,r(3+2ô)
(1+K2)3+Ô
e rr.o limite ô ~ O
~v (K) = - v o • _ 3~~. ~.
1J0.6 c.ãi.c.ul0-6 rr.uméJU.CO.6, medimo.6 v( K,ô ) em
unlda.de.6 de voe LL6 am 0-6
~ ~V(K,ô) - - v(K,ô)/(~vo) •
•
(5. 15)
(5. 16)
-
· 51 -
CAPITULO IV
§ 6. ANALISE NUMERICA
Antu de entJLaltmO.6no cu,.6unto pJÚnci..pal. dute
c.a.pLtu..e.oI .6eJÚa. ütu. JLe.
c.a.pU:ulaJunO.60.6 wui.ta.do.6 obUdo.6 a.tê aqui. A den.6~da.de
de u.tado-6 é e~plLeó4a
pela equa.ç.ão (3.4) como
JY+iOOn(E) - ~ dt e tE-t/; (I..t)2iTl m ,
y-ioo
onde /; (Àt) ê a. 6unç4o obtida. miJWn.i.zando-.6 e Z; ( Àt, ô),
em Jr.elaç.ão a ô:m
V(K,ô) _ r(l+ô) r(2+ô) 26+2Ôr(3+2ô) • (1+K2)3+~ X(K).
(6. 1)
(6.2)
(6.3)
A6 6unç.õu Z;(Àt,ô)e v(K,ô) jã. 60JLamda.da.6 em (4.19) e
(4.20), Jr.e.6pecti..vamen:te.
A expJtu.6 ão pa.Jta X(K) ê mo.6:tM.da em (5. 14) (ct> = MC.
tan. K),e K ê medido em
wúdadu de (l, e poJvtan.to adúnen.6Á..onai...
o pJtogJtama do pJtuen:te utudo pode .6eJt d.e.6CJri...tocomo
.6e .6egue: U.6amo.6
o .te.OJtema.de Ju en, (4. 12) ,
(X, exp{A}X) ~ exp (X, AX). (6.4)
I n.tJtodu.z.i.mO.6 o paMme.tJto ô na 6unç.ão de onda. do
e.eitMn da. Á..mpUJteza.,
(4.11). E.6colheJtemo.6 ô de modo que o .6egundo membJto de
(6.4) .6eja o maioJt PO.6.6i.
-
- 52 -
vel, e c.oMequen.temen.te .teILemo.6 a. ma..i..66oJr..te
duigu.ai.dade. E~.te, c.on.tudo, uma.
!tu eILva. nu.ta. ú.Wma. a.6iJt.ma.Üva.. A ma.i6 "60Jr..te" u.tã
Jr.U.tIvU:.a. ã. .6e.teç.ão de uma.
6unç.ão valÚa.ciona..t. Ve6endemo.6 no.6.6a. u c.o.eha. de uma.
6unç.ão valÚ.a.ci..ona..t c.omo 6f
.6ic.a.men.te a. maW p.ta.u61.vel: O e6eUo de ou.tJr.a.
imp/.LJteza. B .6obJr.e o e.ei;tJwn de uma.
dada .únp/.LJteza. A ê de a.tJr.a.Ç.ão (no .6en.üdo de Bl. A
in6fuênci..a. é polLtanto de ex
pandi..IL .6ua. 6unç.ão de onda. Se, pOIL exemplo, o Va..tOIL de
ô que ~za. Z;(;~.t,ôl
apILoJÚma.-.6e da unidade, i.6.60 .6igniMc.a. que no.6.6a.
apJr.oJÚma.ç.ão 6a.l.h.a. nu.6a. 6túxa.
de t, poJr.-ta.n.to na. 6túxa. c.oJr.Jr.e.6ponden.te do
upec.-tJr.o de eneJtgia., pOJtque .ignolLamo.6:todo.6 0.6 u:ta.do.6
exc);ta.do.6.
POIL Ou.tILO la.do, o I.>egundo membILo de (6.4) é o plÚmúlLo
.teJr.mO da. exp~
- 3AV «A2>AV - ~v) - lv] + ••• }, (6.5)
veJt equaç.a.o (A. 1) no Apêndi..c.e. Compa.Jta.ndo o
Jr.Uu.Ua.do dU.6e c.ãlc.u..to c.om 0.6 Jr.e
I.>u.Ua.do.6 do.6 c.ã.ec.u..t0.6 a.n.telÚoltmen.te
mo.6:tJr.a.do.6(de M-T e de Cy!to.t- La.ck.mann -G~
pa.Jtd, Ul.>a. ÚUúna. .também chamada. apILoJÚma.ç.ão
c.u.mu.ta.n.te e ab!tevia.da pOIL C. A. ) ,
podeJr.emO.6 me.tholL en:tendeJt a. c.on.tIÚ.bu.iç.ã.o d0.6
c.u.mu.ta.n.tel.>de oILdem I.>UpelÚ.o!t que
noJr.a.mignoJr.a.do.6.
Ainda maW, .tendo em vi.6.ta. que n0.6.6a. apJr.oJÚma.ç.ã.o ê
uma. ex:teM ão e um
aplÚ.moJr.a.men.to do tJr.a.;tamen.to C. A., pe.ta. a.plicaç.ão
do mê.:todo valÚa.ei..ona..t, podemO.6
u.tu.da.Jt ai.> c.a.u6a1.>dai.> cU.6 c.Jtepânci..a.6
en:tJr.e 0.6 aIlgumen.to.6 de U6.6fú.tz e o Jr.Uu..t
.tado de MT-C.A. pa.Jr.a.o upec.:tJr.o de eneJtgia. plLôx.úno ao
n1.ve.t da. .únp/.LJteza.••
0.6 u.tudo.6 numélÚc.o.6 pJr.o.6.6eguem-.6e c.om a. anã..e.i.6e
do c.ompoJr..tamen.to de
X(K) c.on:tJta. K, ( 5. 14). Pa.Jta. ob.6eJtva.JtmO.6
c..ta.Jta.men.te a. mudanç.a. do.6 va..toJr.U devido
-
~(x.Ô)
1.5
- 53 -
1.0
o
-0.5
~.'i'\:; \\ ...:, \':', \','., \~'.'.' \',". '. \.. \ ,','.',
,....., ",' .
..... ' ..••. ô - 0.2, ......., ..•.'.:;.,... , '
•••- .•..:: .•••• _.:~.~ •• ~ Ô = O 5..........
,-..-..-..-..-..-..-..-.. -..-- .'....;: ,- -
................•....... , .•...•... •.• ô - 0···4····-'-'-.. -
.
~:.....·-·_·_.-ô = 0.3..... x
5 10 15 20
Fig. 8 - Representação gráfica de ~(x.ô).
-
- 54 -
ao pcvr.âmetJc.ovaJÚaci.onal ô no elemento de ma.tJr,[z no upaço
d~ momen.t~ I lanç.~
motl em gltã6ic.o a tleguin.te 6uncão
~(x,ô) ::
V(x,o)= fO+o) f(2+ô)21+2Ô
(6.6)• Ô x(x)
{32 / (1 +x2) 3}r(3+2ô)(1+x2)
X(x) = 1 + sen~ô~)t3-t coa (ô~) + l-:X' . sen~1' cP = arco tan.
x
em vez de xix), onde v(x,ô) ê dado em (6.3) e ~(x,o) = 1. A
6ig~a (8) mo~
bLa que lU> nun.ç.õu ~(x,ê), palta. dineJLe~u vai.oJLU de ê,
CJLu.za.rn-~e quando x v~
fLia. Contudo, u~e c.ompoJvta.rne.n.to c.omplexo pouc.o
c.on..tJU.bu.i paJr..a.a. -iJ1.teglLa.l (6. 7)
dev-ido a.o na:tolL (1 + x2) - 3 em v (x, ê) e x2 no
-Ú1..te.glLa.ndo. A c.on.:t:Jvi.bu.iç.ã.opalta. a.
-Ú1..te.glLal vem, pJÚncipa.lrne.u:e, da.6 ILeg-iõu de x onde o~
va.lolLU de ~ (x, ô) deCJLU
c.em monoton-ic.a.me~e quando ô CJLUc.e.
A PlLôUma. ó-igu.lLa. (F-ig. 9) exibe o c.ompoJvta.rne.n.to da6
dulU> nunç.õu em
Z;;(Àt,ê), (6.2).
Z2 = (21TÀt) -1 [ [1 - e-ÀtV(x,ô)] x2 dx.O
(6.7)
Podemo~ ob~elLvalt que Zl ê uma. 6un.ç.ã.o monotôn-ic.a
CJLuc.e.u:e de ô, enqu.a.Mo que
o ~ egundo teJUno Z2 deCJLu c.e monoton-ic.a.rnente quando ê
CJLUc.e.
AmblU> nolLa.rnbLaç.a.dlU> palta. vâlu:.o~ vai.oJLU de Àt.
AgolLa. ê nã.cil ob~elLva.IL que o~
valOJLU de ô, o~ qua..L6 m~rrK.zam z;;(Àt,ê) paJr..a.um dado
valolL de Àt,
quando Àt dirn-Ú1.u1... Na ó-igu.lLa. (10) ob.ü.verno~ o~ ponto~
rnZn-
-
- 55 -
0.15
0.10
0.05
Z2 (Àt = 3)
o 1.0
Fig. 9 - Representação grãfica de Zi e Z2.
-
• 56 •
Mínimo de Ç(Àt, õ)
0.3Àt • O oS
-..-
= 3
= 5
\\ \ ,,"""
.•..•.
,,"_Àt=10/ ••••••'••.. _-~-----..,.
".•.
0.1
0.2
Àt '" 100
o0.5
-
- 57 -
pJtÓu.mo do.6 mLúmo.6, pMa Àt = 1, 10 e. 100,
JlUpe.cti.vame.nte.. t -i.mpolltante. no
taIt que. ç(Àt,ô) toma .6e.u. valoJt mZ.u.mo em ô = 0,98 palta
Àt = 1/2. E.6.6e.6ato ~.i.a
niói-c.a que. nO.6Ul 6uncão de. onda. úntativa.
a.pltox.i.ma.-.6e. ltapidame.nte. da. 6Wtç4o de.
onda do pJÚmÚJLO utado excitado quando Àt .6e tOMa me.nOJtdo
que. um, e CO~e
qu.enteme.nte. o pJlUente tJUtta.me.nto não ê mai6 vã..udo. A
plLôxhna CWLva (F.i.g. 111
Jte.ve..ta.Jte.ctU6ücame.nte. uma ac.e.ntuada. -bubida. do-b
valoJte.-6 de. ô abcúxo de. Àt = 2.
VL6to qu.e uta Jteg-i.â.o de Àt, O < Àt < 1, onde no.6.6o
.tJtatamento não ê. jutdl ..fyLc.!!;
do, ê. ex.tJte.mamel1te pequ.ena c.ompMada com a
Jte.g-i.â.o-i.l1túJta de Àt, vamo.6 blici..a&:
mente .6eJt c.o.u.vente.6 c.om eM e nato e c.alc.u.taJt a
de~-i.dade. de utadO.6. A meno.6
que a c.on.tJúbUÁ..ç.ã.opMa a Úl.tegJtal /6. 1) deM a pequena
Jteg-i.â.o.6ej a extJte.mamente
gJtande, obteJr.emo.6 uma apitOJÚmaç.ã.oJtazoã.vel.
A qua.nt..
-
1;;(0), I;;m
- 59 -
0.3
0.2
0.1
IIIIIIIIIIIIIIII,II,,,,,,,,,
\\,,,,,"
... "....
....
"'- .•. ---I;; - _
m
o50
Fig. 12 - Mlnimos de ~(Àt, ô) vs. Àt.
100
Àt
-
r,;(O), r,; (Àt)m
1.0
0.5
.•... ........ .... ....
••••••. - •••• - •• r,;. (Àt)
•••••• - JIl _-- - ---- -----
1 2 3 4 5 6 7891 2 34567891 2 3 4 5 6 7 89 1log(Àt)
Fig. 13 .-r,;m(Àt} em escala logaritmica.
0\o
-
- 61 -
ao = Ot2388; aI = -0,1694; a2 = 0,04059; ag • -0,002610
E.6tertdemo.6 e.6ta Ówtç.ã.o palta a Iteg-i.ã.o O < Àt ~ 1.
Tltl1du.u.rtdo ~4e 1te.6u.Ua.do em
ÚJtmO.6 de logaJUtmo rta.tWtai., teltemo.6
(6.9)
onde
ao = 0,2388; bl = -0,073570; b~ = 0,007656; b3 - -0,0002138
PaAa. e6eU.o de c.omputa.ç.ão nwnêJÚc.a.,a. equ.a.ç.ão (6.1)
pode lleJt uClÚta. C-Q.
mo
n(E) = *~ etF2(Àt) . cos{t(E + FI(Àt)} dt,o
onde a.6 du.a.6 6 u.nç.õu .6 a.o
e .óeu.ó c.oeMci.entu .óã.o nwneJÚc.a.mente da.do.6 pOIt
Ao - 0,2199; AI = -0,07199; A2 - 0,007656; A3 - -0,0002138
e
Bo = -0,1147; BI = 0,02405; B2 = -0,001008,
(6. 10)
(6.11)
(6. 12)
-
n(E)
2.0
À = 0.01Variacional
- 62 -
1.0
0.2
-1
,,,,,,,,,,,;;,
'-,, \, \, \, 'C A.' , .: ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,' ,' \,,
\\\,\\,,
\\'.•.
o 1.0E
Fig. 14 - Densidade de estados para À = 0.01.
-
n (E)!
Variaciona1
• 63 •
:l.0
.1..0
0.2
-1
À = 0.05
,"'--," \, ,
" ,C.A." \," \, \
\\\\,,,
\\ \
o 1E
Fig. 15 - Densidade de estados para À = 0.05.
-
n(E)
Variaciona1
- 64 -
2.0
1.0
0.2
-1
---
À = 0.10
...," \ C.A., \
" \, \,, ,,, ,,, ,•.' ,,,' ,,
I,II,\,
O 1E
Fig. 16 - Densidade de estados para À = 0.10.
-
- 65 -
jz.e-6pect
-
- 66 -
CAPÍTULO V
DISCUSSÕES DOS RESULTADOS
A de.Y/..6'
-
- 67 - ,
to. Como podemo~ ob~e~van companando ç(O) com ç n~ F~g~. (lZ) e
(13), a dtáem -
ne~~a e~tne~~~ fiunçõ~ ê muito g~ande na ~eg~o onde Àt é
pequeno, enquanto
que em (6. 7O) a conWbLÚç.ão d~~ a. ~eg,{.ão ê
,{,mpolLtante.
Se c.otl.J.>Á.deh.tJJr.mo~a c.a.u.cl.a.da deJ1..6-Ldadede
utado~, E = O, podemo~ ob~~
VM que a c.onbúbLÚç.ão dommante vem da Jteg,i.ão onde t ê
9JtMde. Nu~a Jteg'
-
- 68 -
AP~NDICE
EXPANSAo CUMULANTE
Ê .6abJ.do qu.e. 0-6 c.urnui.ante.-6 Jte.pJte6en.tam um pa.pa .
.úrJpo/t.ta.n.te na. teoM.a
dQ. pJtoba.bilida.d~ (22). Achamo-b qu.e. uma boa Jte.Óe.JtêncLa
paJta e.-6-6e. a.6.6un.to ê um CJJLt!:.
go de. R. Kubo (10). Re.c.apau.fLvtemo-b aqui a.lguma6
6ôJrmula.6 Jte.eevant~ do -6eu me
todo de. e.x.pa.YL6ão c.umui.an.:te. ge.ne.Jta.üzada.
0.6 mome.nto.6 e. c.urnui.an.:te.-6de. uma vaJtJ.ã.ve..t
a1.e.a:tôJtJ.a X -6ão de.frí..nJ.do-6 p~
lM óunç.Õe.-6 ge.Jta.:tJtJ.Ze.-6do.6 mome.nto.6, M(~) e. d06
c.umutan.:te.-6, K(~):
~X 00 ~n 00 l="nM(~) = = LO ~ ~ = exp{ Ll ~ k } = exp K(~)n= n.
n n= n. n (A. 71
Onde. .6ignJ.Mc.a o vai.oJt e..ópe.Jtado da vaJtJ.ã.ve.l
ai.ea:tôJtJ.a A. O c.oe.6f
cie.nte. ~ ê. o n-ê..6imo mome.n:to, e.nquanto que. o
c.oe.óicie.n:te. k ê. c.onhe.c
-
- 69 -
onde. a. .6oma. do.6 pILodutO.6 ê..6 oblLe. todo.6 0.6
c.onju.nto.6 de. in.tÚILO.6 que. .6a.ti..6 óa.zem
I: i n. = ji 1
t óácil. ge.ne.ILali.zM a. de.6 tem o .6-i..gYÚ6
-
- 70 -
do de. mécüa c.umulante.. O f.> ubf.>CJLUo pode. -b eJt
-i.nteJLpJtáado e.qLÚvale.nte.me.nte. c.omo
ex.emplo:
Uma pJtopJt-i.e.dade.-i.mpoJttante. dof.>c.umu.lantu ~ qu.e.
um c.umulante. pode. ~e.Jt
l!.e.pl!.e-6e.ntado e.xpUcUame.nte. .6 ome.nte. pe.lo.6
mome.nto.6 de. ol!.dem mai6 baixa (YLã.omai6
aUa) e. v..tce- veM a. FÔJunula.6 gel!.aM, pMa
eMal!.e..taç.ã.opode.6el!.encontlUlda.na
We.I!.atu.Jz.a; pOI!. e.xemplo, a de. Meel!.oYL ê. dada no
OJLti..go de R. Ku.bo ou em U
VI!.O.6da e-6pe.ciaUdade.. COYLtudo, YLOCMO e-6pecia.t em que
nenhum do.6 \) .J
em
excede. um, a e.xpl!.e-6.6ão .6e tOI!.YLamlÚ6 .6hnple..6. POJt
ex.empio, no c.a..60n cde.
- \) =- j = \) = 1,n
o c.umu..tante. k{n} ê. de.6.út.i..do pMa o c.OYLju.n.to de.
vaJÚã.vw (Xl, X2,
,6e.ndo l!.e.pl!.e-6e.ntado e.m te./tmO,6 de. mome.nto.6 de.
ma.L6 baixa ol!.dem c.omo
..., X ) = {n}n
i.lIllJ {mo },1= 1 (A.7)
onde. lJ{m.} ê. o mome.n-to pMa o .6ubc.oYLju.n-to {m.} do
c.OYLju.n-to {n} que. C.OM-
-
• exp{c)'a a
-6imboUcamente, com a convenção ,[ntJt.odtLÚda em (A. 6) •
- 71 -
(A.8)
e.m out/W. áOlU1la
r;V.
-
- 72 -
Se uma celLta opvr.ação mêcüa A ê de.6&úd~palla ~ v«4i.«v~
(Xl,. • .,~)
de mane-ULa. a. peJtmW/L momen;to~ c.onve.ltge.rLte.õ e. uma
6unCão ge.llO.tJriz do~ mome.nta~,
podemo.!> e-6 Cltevelt
IA.11)
Quando 0-6 x. -6ã.o I1Üme.JtO-6 qWintiC.O-6, (I1Ume.JtO-6-q),
atgumaó ve.zu é 11e.C.U-6ãM.O.útJ
tJwduz-Út wna. ope.Jta.ç.ã.o méd
-
oYLde,
00
:: E 1n=O n~ Q
- 73 -
(A.13)
A opelLaç.ã.o Q lLeJ.> ponde pe.lO-6 aMan j0-6 nec.U-6 ãM.0-6
dO-6 nÚ1neM-6-q k (v). Ru olveYLdo(A.13) nÔ-6 obtemo-6 novamente a
ILe.laç.ão entlLe. momento-6 e c.wnu.tante-6, ma.6 com a.
c.ompüc.aç.ã.o de que todo-6 0-6 plLoduto-6 dO-6 X nO-6
momentO-6 e plLodutO-6 de momentO-6
nÚlneILO-6-q devem -6egLÚIL a ttec.Uta Q.
0-6 c.onc..eA;to-6 de momento-6, c.umu.ta.ntu e -6Ua.6 6unç.õu
geJta.:tJU.zu, podem
-6elL, então, ge.nelLaLÜado-6 paILa VaM.â.VeM quântic.a.6
(nUme.ILo-6-q) paILa a.6 quai.6
uma opelLaç.â.o médi.a é de {y{.n.
-
- 74 -
REFERrNCIAS BIBLIOGRÃFICAS
01. COTTERILL R.M.J., American Scientist 64, 430 (1976).
02. ELLIOT R.J., KRUMHANSL J.A. & LEATH P.L., Revs. Mod.
Phys. 46, 465 (1974).
03. MOTT N.F., Nuovo Cimento 2, 312 (1958).
MOTT N.F., Revs. Mod. Phys. 40, 677 (1968).
04. KAPLAN D., Tese Ph.D., Universite Paris-Sud. France
(1969).
MORA N.A., BERMON S. & LOFERSKI J.J., Phys. Rev. Lett. ~,
644-7 (1971).
WOLF L., LOSEE D.L., CULLEN D.E. & COMPTON W.D., Phys. Rev.
Lett.26, 438-42
(1971).
05. MATSUBARA T. & TOYOZAWA Y., Prog. Theor. Phys. 26, 739
(1961).
06. CYROT-LACKMANN F. & GASPARD J.P., J. Phys. c: Solid St.
Phys. ~,
(1972).
07. LIFSHITZ I.M., Sovo Phys. Usp. L, 549 (1965).
08. LUKES T., NIX B. & SUPRAPTO B., Phil. Mag. ~, 1239-41
(1972).
09. FRIEDBERG R. & LUTTINGER J.M., Phys. Rev. B~, 4460
(1975).
10. KUBO R., J. Phys. Soc. Japan 12, 1100 (1962).
11. KOHN W., Solid St. Phys. ~, 258-320 (1957).
(New York: Academic Press).
300-5
12. YONEZAWA F. & MATSUBARA T., Prog. Theor. Phys. ~, 357
(1966).
13. ABRIKOSOV A.A., GORKOV L.P. & DZYALOSHINSKI LE.,
"Methods of Quantum Fie1d
Theory in Statistica1
Phy si cs", Doye r Pub lic!,
dons, Inc. N. Y. (1975).
14. FETTER & WALECKA, "Quantum Theory of Many Partic1e
Systems", Mc. Graw-Hill
N. Y. (1971).
15. Por Exemplo: ARFKEN G., "Mathematical Methods for
Physicists" 2a. edição
Academic Press N. Y. (1970).
