Legal Vibrações

11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade

Introdução Modelo matemático Vibração livre sem amortecimento: freqüências naturais e modos de vibração Sistemas torcionais Sistemas semi-definidos Acoplamento de coordenadas Vibração Forçada Harmonicamente Absorvedores de vibração Exercícios e problemas Rao: 5.1 a 5.7; 9.11.1; Steidel: 9.7 Problemas: Rao 5.1 a 5.64; 9.51 a 9.64

11.1 Introdução

Até agora estudamos sistemas mecânicos com apenas 1 GDL: x(t), para a translação, ou

θ(t), para a rotação.

Para a maioria dos sistemas reais, entretanto, há necessidade de usar mais de uma coordenada independente para

descrever completamente o movimento. Os casos mais simples de sistemas multidimensionais são os sistemas com 2

GDL. Devido à sua maior simplicidade, usaremos tais sistemas para introduzir conceitos que serão estendidos para

sistemas com n GDL.

Exemplos de sistemas com 2 GDL:

Ex.: Sistema motor-bomba (Fig. 11.1), o qual é um sistema acoplado por massa

Fig. 11.1 Sistema motor-bomba e seu modelo simplificado com 2 GDL

Coordenadas generalizadas:

1. deslocamento linear x(t) do centro de gravidade;

2. deslocamento angular θ(t), o qual representa a rotação da massa m em torno do seu centro de gravidade.

Logo, o sistema tem dois GDL: x(t) e θ(t). Poderíamos, também, usar outros pares de coordenadas. Por exemplo,

os deslocamentos verticais das extremidades da base, x1(t) e x2(t). Notemos que o sistema possui apenas uma massa, apesar

de ter dois graus de liberdade, logo não devemos vincular a quantidade da massas com a quantidade de GDL de um

sistema. Regra geral para determinar o número de graus de liberdade:

11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-2

No GDL do sistema = no de massas do sistema x no de movimentos possíveis de cada massa.

Existem n equações de movimento para um sistema com n GDL, uma para cada GDL. No caso mais geral, são n

equações diferenciais acopladas, isto é, as n coordenadas (e/ou suas derivadas) estão presentes em mais de uma equação.

Entretanto, se for usado um conjunto adequado de coordenadas, denominadas coordenadas naturais, principais ou modais, podemos desacoplar as equações diferenciais, de maneira que elas poderão ser resolvidas independentemente umas

das outras.

Vibração natural (ou livre) de um sistema com 1 GDL:

• O sistema vibra na sua freqüência natural;

• Possui 1 freqüência natural.

Vibração natural (ou livre) de um sistema com n GDL:

• Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas freqüências naturais de vibração,

ou seja, em um certo modo de vibrar denominado modo natural ou normal de vibração; Se forem dadas

condições iniciais arbitrárias, vibrará em uma superposição dos modos normais;

• Possui n freqüências naturais;

• Possui n modos naturais de vibração.

Vibração forçada harmonicamente:

• Neste caso, o sistema vibrará na mesma freqüência da excitação;

• Existe risco de ressonância em n situações.

Restrições Mecânicas

Reduzem a quantidade de GDL. Exemplo: Pêndulo Simples.

Fig. 11.2 Restrição mecânica de um pêndulo simples

Admitindo que a massa só possa se movimentar no plano do papel, teremos 2 translações + 1 rotação = 3 GDL.

Contudo, se L = constante e m uma partícula, a quantidade de GDL fica reduzida a apenas 1, isto é, à rotação em torno do

ponto de suspensão do pêndulo.

Equações de Restrição: Adotando, para o pêndulo simples, as coordenadas x e y, podemos escrever a seguinte equação de restrição

x2 + y2 = L2 (11.1)

a qual estabelece uma dependência entre as coordenadas x e y, denominadas coordenadas generalizadas dependentes.

Observemos que

no de coordenadas dependentes, ncd = 2

no de equações de restrição, ner = 1

e que é válida a relação: nGDL = ncd - ner (11.2)


Entretanto, se adotarmos a coordenada θθθθ (considerando que L é constante), apenas uma coordenada é suficiente

para descrever o movimento do sistema, a qual não depende das demais coordenadas x e y. Portanto, θ é de fato uma

coordenada generalizada independente e nci = 1. Verificamos facilmente que

nGDL = nci = nemm (11.3)

onde nemm é o número de equações diferenciais que compõem o modelo matemático do sistema.

11.2 Modelo matemático A Fig. 11.3 ilustra o caso mais geral de um sistema com 2 GDL, no qual temos, simultaneamente, amortecimento e

forçamento. Tal tipo de sistema é denominado sistema acoplado por molas e amortecedores.

Fig. 11.3 Sistema com 2 GDL acoplado por molas e amortecedores

A Fig. 11.4 mostra o diagrama de corpo livre do sistema.

Fig. 11.4 Diagrama de corpo livre

Aplicando a 2a Lei de Newton a cada uma das massas, após alguma manipulação algébrica, podemos chegar ao

modelo matemático composto por duas EDOL’s, cada uma delas deduzidas para o correspondente grau de liberdade.

( ) ( ) )(1221212

.

21

.

211

..

1 tFxkxkkxcxccxm =−++−++ (11.4)

( ) ( ) )(2232122

.

211

.

22

..

2 tFxkkxkxccxcxm =++−++− (11.5)

As eqs. (11.4) e (11.5) não são independentes, pois existem coordenadas e suas derivadas presentes nas duas

equações. Dizemos que o sistema está acoplado, ou seja, fisicamente o movimento de uma massa depende do movimento

da outra massa. Uma maneira de desacoplar as duas equações seria fazer k2 = 0 e c2 = 0. Entretanto, tratar-se-ia de um caso

sem interesse, pois não teríamos mais um sistema com 2 GDL, mas sim 2 sistemas com 1 GDL cada.

Podemos reunir as equações acima na forma matricial:

(11.6)

=

+−

−++

+−

−++

)t(F

)t(F

x

x

kkk

kkk

x

x

ccc

ccc

x

x

m0

0m

2

1

2

1

322

221

2

.1

.

322

221

2

..

1

..

2

1


O modelo matemático acima pode ser representado de uma forma bastante compacta por uma equação diferencial

matricial:

(11.7)

Vemos que a forma (11.7) é a mesma do modelo deduzido para sistemas com 1 GDL. A diferença é que, agora,

temos presente matrizes e vetores e não escalares. A eq. (11.7) representa um conjunto de equações diferenciais

independentes somente quando [m], [c] e [k] forem matrizes diagonais. Para o modelo da figura, as matrizes [m], [c] e [k]

são matrizes simétricas. Vamos, por enquanto, nos ocupar dos casos de vibração livre, isto é, quando o vetor forçamento é

nulo. Os casos de vibração forçada serão vistos mais adiante.

11.3 Vibração livre sem amortecimento

Fazendo c1 = c2 = 0 (sistema sem amortecimento) e F1 = F2 = 0 (sistema sem forçamento) nas eqs. (11.4) e (11.5),

obtemos:

( ) 0221211

..

1 =−++ xkxkkxm (11.8)

( ) 0232122

..

2 =++− xkkxkxm (11.9)

Procedimento clássico para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração

Segue, abaixo, o procedimento para obter as freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema acoplado

por molas, cujo modelo matemático é dado pelas eqs. (11.8) e (11.9) e para os quais a matriz massa é diagonal e a matriz

rigidez é simétrica. Para os demais casos, devemos primeiramente obter o modelo matemático antes de seguir o

procedimento abaixo.

1. Considerar que, assim como nos sistemas com 1 GDL, as respostas livres das duas massas sejam também

harmônicas:

( )φω += tXx cos11 (11.10)

( )φω += tXx cos22 (11.11)

Derivar duas vezes as eqs. (11.10) e (11.1) e substituir nas eqs. (11.8) e (11.9):

( )[ ] ( ) 0cos2212112

1 =+−++− φωω tXkXkkXm

( )[ ] ( ) 0cos2321222

2 =+++−− φωω tXkkXkXm

Como cos(ωt + φ) não pode ser nulo a todo instante, as quantidades entre colchetes é que devem ser nulas:

( ) 02212112

1 =−++− XkXkkXmω (11.12)

( ) 02321222

2 =++−− XkkXkXm ω (11.13)

As eqs. (11.12) e (11.13) representam duas equações algébricas homogêneas cujas incógnitas são as amplitudes da

resposta livre X1 e X2. Na forma matricial:

=

−+−

−−+

0

0

2

1

22322

22

121

X

X

mkkk

kmkk

ω

ω (11.14)

Como as amplitudes não podem ser nulas, então, para que essa última equação seja satisfeita, é necessário que o

determinante da matriz seja nulo:

)(][][][...

tFxkxcxm→→

=++

→→


02

2322

22

121 =−+−

−−+

ω

ω

mkkk

kmkk (11.15)

Expandindo o determinante, chegamos à conhecida Equação da Freqüência:

( ) ( )[ ] 03231212

1322214

21 =++++++− kkkkkkmkkmkkmm ωω (11.16)

2. Resolver a eq. (11.16). As suas raízes são as freqüências naturais. Em geral, a equação da freqüência tem grau

2n, onde n é o número de GDL do sistema. A eq. (11.16) tem 4 raízes, sendo que duas delas são negativas e,

portanto, não têm significado físico, pois não existem freqüências naturais negativas.

Convenção: as raízes (freqüências naturais) são chamadas ω1 e ω2:

ω1 = freqüência natural fundamental (menor);

ω2 = 2a freqüência natural (maior).

A mesma convenção é usada para sistemas com n graus de liberdade.

Modos Naturais (ou Normais) de Vibração: São as maneiras de vibrar (relações entre as amplitudes X1 e X2) nas duas freqüências naturais:

Na freqüência ω1: 10 modo natural de vibração;

na freqüência ω2: 20 modo natural de vibração.

3. Para obtermos os dois modos naturais de vibração, vamos definir Fração (ou Razão) Modal como sendo a

relação entre as amplitudes das duas massas:

1

2

X

Xr = (11.17)

Poderíamos, também, ter definido a fração modal como X1/X2. Entretanto, é mais comum colocarmos no

denominador a amplitude da primeira massa como referência. Para sistemas com n graus de liberdade, as frações

modais serão definidas sempre em relação à primeira massa: X2/X1, X3/X1, ... , Xn/X1.

Obtenção da fração modal: é feita a partir da aplicação da definição dada pela eq. (11.17) nas eqs. (11.13) e

(11.14):

32212

2

2

21211

)1(1

)1(2

1kkm

k

k

kkm

X

Xr

++−=

++−==

ω

ω (11.18)

32222

2

2

21221

)2(1

)2(2

2kkm

k

k

kkm

X

Xr

++−=

++−==

ω

ω (11.19)

Assim, substituindo em qualquer uma das frações acima:

ω ← ω1 obtemos o primeiro modo de vibração, r1;

ω ← ω2 obtemos o segundo modo de vibração, r2.


Ex. 11.1 (Rao Ex. 5.1) - Para simplificar, vamos considerar que as massas e as molas são iguais, ou seja, que

m1 = m2 = m

k1 = k2 = k3 = k

Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração.

Solução

Obtenção das freqüências naturais a partir da eq. (11.16), fazendo as simplificações acima:

( ) ( )[ ]

m

k

m

k

kkmm

kkkkkkmkkmkkmm

3 e :Resolvendo

034

0

21

2242

3231212

1322214

21

==

=+−

=++++++−

ωω

ωω

ωω

Os modos naturais de vibração r1 e r2 são obtidos através da substituição das freqüências naturais nas eqs. (11.18) e (11.19),

respectivamente:

1

2

2

21211

)1(1

)1(2

1 =

+−

=++−

==k

km

km

k

kkm

X

Xr

ω

1

23

2

21221

)2(1

)2(2

2 −=

+−

=++−

==k

km

km

k

kkm

X

Xr

ω

Portanto, no primeiro modo as duas massas possuem as mesmas amplitudes de vibração, isto é, )1(

1)1(

2 XX = . Já no segundo

modo, elas vibram de tal maneira que )1(

1)1(

2 XX −= . A Fig. 11.5 ilustra isso através de um diagrama, onde os nós

representam pontos que não vibram:

Fig. 11.5 Modos naturais de vibração


Vetores Modais

Os modos normais podem ser expressos pelos chamados vetores modais:

(11.20)

(11.21)

Resposta Livre A resposta livre nos dois modos naturais de vibração são dadas por

10 modo: (11.22)

20 modo: (11.23)

onde são determinados pelas condições iniciais.

Se as condições iniciais forem estabelecidas adequadamente, então apenas um dos dois modos naturais pode ser

excitado. Podemos fazer com que o sistema vibre no seu i-ésimo modo natural (i = 1, 2) sujeitando-o às seguintes

condições iniciais específicas:

(11.24)

Já para condições iniciais impostas arbitrariamente, os dois modos naturais serão excitados. O movimento

resultante, dado pela solução geral das EDOL’s do modelo matemático, pode ser obtido superpondo os dois modos

normais, eqs. (11.22) e (11.23):

(11.25)

Se as condições iniciais forem arbitrárias, ou seja, dadas pelos valores não nulos

(11.26)

=

=)1(

11

)1(1

)1(2

)1(1

)1(

Xr

X

X

XX

Amplitude da massa m1 no 10 modo


=

=)2(

12

)2(1

)2(2

)2(1

)2(

Xr

X

X

XX



)cos()(

)()( 11)1(

11

)1(1

)1(2

)1(1)1( φω +

=

= tXr

X

tx

txtx

)cos()(

)()( 22)2(

12

)2(1

)2(2

)2(1)2( φω +

=

= tXr

X

tx

txtx

21)2(

1

)1(

1 e ,X ,X φφ

0)0( ;)0(

0)0( constante; alguma )0(

2

.)(

112

1

.)(

11

==

===

xXrx

xXx

i

i

)tcos(Xr)tcos(Xr)t(x)t(x)t(x

)tcos(X)tcos(X)t(x)t(x)t(x

22)2(

1211)1(

11)2(

2)1(

22

22)2(

111)1(

1)2(

1)1(

11

φωφω

φωφω

+++=+=

+++=+=

)0(x ,)0(x

)0(x ,)0(x

2

.

2

1

.

1


então podem ser determinadas resolvendo-se as seguintes equações (obtidas substituindo as eqs.

(11.26) nas (11.2515):

(11.27)

Aparentemente, temos 6 incógnitas para apenas 4 equações. Entretanto, as eqs. (11.27) podem ser vistas como um

sistema de quatro equações algébricas cujas quatro incógnitas são

Após determinar essas quatro incógnitas, podemos calcular, a partir de conhecimentos trigonométricos

elementares:

[ ]21

2

2

.

1

.

22

212

12

)1(1

)0(x)0(xr

)0(x)0(xrrr

1X

ω

+−

+−−

=

[ ]22

2

2

.

1

.

12

211

12

)2(

1

)0(x)0(xr

)0(x)0(xrrr

1X

ω

−

++−−

=

(11.28)

[ ]

−

+−=

)0(x)0(xr

)0(x)0(xrarctg

2121

2

.

1

.

21

ωφ

[ ]

+−

−=

)0(x)0(xr

)0(x)0(xrarctg

2112

2

.

1

.

11

ωφ

Finalmente, para obtermos a resposta livre completa, basta substituir os parâmetros acima nas eqs. (11.25).

11.4 Sistemas torcionais

Comparando os sistemas translacional e rotacional, conforme ilustra a Fig. 11.6, podemos ver que ambos são

semelhantes, logo podemos aproveitar o modelo matemático do sistema translacional já deduzido e fazer as já conhecidas

adaptações:

Fig. 11.6 Comparação entre sistemas translacional e torcional com 2 GDL

21)2(

1)1(

1 e ,X ,X φφ

2)2(

1221)1(

1112

.

2)2(

121)1(

112

2)2(

121)1(

111

.

2)2(

11)1(

11

senXrsenXr)0(x

cosXrcosXr)0(x

senXsenX)0(x

cosXcosX)0(x

φωφω

φφ

φωφω

φφ

−−=

+=

−−=

+=

2)2(

11)1(

12)2(

11)1(

1 oscX e oscX ,senX ,senX φφφφ


(11.29)

(11.30)

Matematicamente, os modelos matemáticos são os mesmos, logo podemos aplicar a mesma análise feita

anteriormente para os sistemas translacionais aos sistemas torcionais.

Ex. 11.2 (Rao Ex. 5.5) - Freqüências naturais de um propulsor marítimo

Dados:

Jvolante = 9000 kg.m2; Jmotor = 1000 kg.m

2;

Jengr 1 = 250 kg.m2; Jengr 2 = 150 kg.m

2;

Jhélice = 2000 kg.m2; Gaço = 80x10

9 Pa.

Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração à torção.

Sugestão: considerar o volante como estacionário, tendo em vista

que o seu momento de inércia é muito maior que os demais. Isso

simplifica o sistema para 2 GDL.

Solução

Modelo adaptado:

Usando o Princípio da Conservação da Energia Cinética, podemos determinar o momento de inércia equivalente da

engrenagem 2 em relação ao eixo 1:

222

2

12/22

1

.

2

2

.

2/21/2

2

2

.

2/2

2

1

.

1/2 kg.m 60020

40)150(

2

1

2

1=

=

==⇒=

z

zJJJJJ GGGGG

θ

θθθ

Logo J1 = Jmotor + JG1 + J2/1 = 1000 + 250 + 600 = 1850 kg.m2

Usando o mesmo Princípio, podemos determinar o momento de inércia equivalente do hélice em relação ao eixo 1:

222

2

1

2

1

.

2

2

.

2

2

2

.2

1

.

2 kg.m 800020

40)2000(

2

1

2

1=

=

==⇒=

z

zJJJJJ PPP

θ

θθθ

Para determinar a rigidez à torção equivalente do eixo 2 em relação ao eixo 1, usamos o Princípio da Conservação da

Energia Potencial:

N.m/rad 1590435020

40

1

32

)15,0)(()1080(

2

1

2

12

49

21

22

2/22222/2

212 =

==⇒=

π

θ

θθθ

x

kkkk tttt

Já a rigidez kt1 pode ser obtida diretamente:

)t(Fxkx)kk(xm 1221211

..

1 =−++

)t(Fx)kk(xkxm 2232122

..

2 =++−

)()( 1221211

..

1 tMkkkJ tttt =−++ θθθ

)()( 2232122

..

2 tMkkkJ tttt =++− θθθ


N.m/rad 9817508,0

32

)1,0)(()1080(

49

1 ==

πx

k t

Comparando o sistema propulsor marítimo com o sistema torcional representado na Fig. 11.6, vemos que os mesmos serão

idênticos se kt3 for nulo. Logo, podemos aproveitar a eq. (11.16), fazendo as adaptações mencionadas:

( )[ ]

rad/s 9758,104 e rad/s 7845,9 :Resolvendo

02500156140956100164511847548000001

equação na chegamos ndo,simplifica e calculados valoresos doSubstituin

0

21

24

212

122214

21

==

=+−

=+++−

ωω

ωω

ωω ttt kkJktJkktJJ

Os modos naturais de vibração r1 e r2 são obtidos através da substituição das freqüências naturais nas eqs. (11.18) e (11.19),

respectivamente:

05,115904350

15904350981750)7845,9)(1850( 2

2

21211

)1(1

)1(2

1 =++−

=++−

=Θ

Θ=

t

tt

k

kkJr

ω

22,015904350

15904350981750)9758,104)(1850(2

2

21221

)2(1

)2(2

2 −=++−

=++−

=Θ

Θ=

t

tt

k

kkJr

ω

Portanto, no primeiro modo as duas massas possuem amplitudes de vibração com relação )1(

1)1(

2 05,1 XX = . Já no segundo

modo, elas vibram de tal maneira que )1(

1)1(

2 22,0 XX −= .

11.5 Sistemas semi-definidos Também conhecidos como sistemas sem restrição ou sistemas degenerados. A Fig. 11.7 ilustra alguns

exemplos.

Exemplos:

Fig. 11.7 Exemplos de sistemas semi-definidos

Modelo matemático

Pode ser obtido a partir da adaptação das eqs. (11.8) e (11.9), fazendo nas mesmas k1 = 0, k2 = k e k3 = 0:


0211

..

1 =−+ kxkxxm

0212

..

2 =+− kxkxxm

Aplicando o procedimento para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração, obtemos:

21

2121

)( e 0

mm

mmk +== ωω (11.31)

onde o resultado nulo para a 1a freqüência natural significa que nessa freqüência o sistema não é oscilatório, comportando-

se como um corpo rígido. Tal fato caracteriza os chamados sistemas semi-definidos.

Os modos de vibração podem ser obtidos a partir da eq. (11.18), fazendo na mesma k1 = 0, k2 = k e k3 = 0:

k

km

X

Xr

+−==

21

1

2ω

1o modo: usamos a primeira freqüência natural:

10

)1(1

)1(2

1 =+

==k

k

X

Xr

o que confirma que nessa freqüência o sistema não é oscilatório.

2o modo: usamos a segunda freqüência natural:

2

121

211

)2(1

)2(2

2

)(

m

m

k

kmm

mmkm

X

Xr −=

++

−

==

11.6 Acoplamento de coordenadas

Um sistema com n GDL requer n coordenadas generalizadas independentes. Em geral, são coordenadas geométricas medidas a partir da posição de equilíbrio estático do corpo vibrante. Dependendo do sistema, é possível

escolher mais de um conjunto de coordenadas generalizadas independentes.

Exemplo: torno mecânico

Fig. 11.8 Acoplamento de coordenadas


Algumas opções de coordenadas geométricas generalizadas:

1. Deslocamentos verticais x1(t) e x2(t) das extremidades (pontos A e B);

2. Deslocamento vertical x(t) do CG e rotação θ(t) em torno do CG;

3. Deslocamento vertical x1(t) da extremidade A e rotação θ(t) em torno do CG;

4. Deslocamento vertical y(t) de um ponto P situado a uma distância e do CG e rotação θ(t) em torno do ponto P.

Vamos mostrar a seguir que, conforme as coordenadas escolhidas, podemos ter diferentes tipos de acoplamento.

Vamos usar dois dos conjuntos mencionados acima para demonstrar isso.

Modelagem usando a opção x(t) e θθθθ(t)

Fig. 11.9 Acoplamento de coordenadas usando x(t) e θ(t)

2a Lei de Newton para o movimento de translação (coordenada x(t)):

..

2211 )()( xmlxklxk =+−−− θθ (11.32)

2a Lei de Newton para o movimento de rotação (coordenada θ(t)):

..

222111 )()( θθθ CGJllxkllxk =+−− (11.33)

Ordenando e reunindo as duas equações em forma matricial, chegamos ao modelo matemático

(11.34)

A existência de termos não-nulos fora da diagonal impede o desacoplamento das equações do movimento, i.é., que

elas sejam matematicamente independentes. Fisicamente, o acoplamento representa a influência do movimento x(t) sobre o

movimento θ(t) e vice-versa. Dizemos que:

• se [M] for não-diagonal: existe acoplamento inercial ou dinâmico;

• se [K] for não-diagonal: existe acoplamento elástico ou estático.

Portanto, no caso em estudo, temos apenas acoplamento estático.

Posição de

equilíbrio estático

=

++−

+−++

0

0

0

0222

2112211

221121..

..

θθ

x

lklklklk

lklkkkx

J

m

CG


Modelagem usando a opção y(t) e θθθθ(t)

Fig. 11.10 Acoplamento de coordenadas usando y(t) e θ(t)

2a Lei de Newton para o movimento de translação (coordenada y(t)):

..

'22

'11 )()( xmlyklyk =+−−− θθ (11.35)

2a Lei de Newton para o movimento de rotação (coordenada θ(t)), onde há necessidade de considerar o momento

de inércia exmJ CG

....

inércia de força da momento o e θ :

exmJllykllyk CG

....'

2'

22'

1'

11 )()( +=+−− θθθ (11.36)

Por outro lado, entre as coordenadas x e y existe a relação

x = y + eθ ......

θeyx +=⇒ (11.37)

Levando em conta o teorema de Steiner

2meJJ CGP += (11.38)

Substituindo as eqs. (11.37) e (11.38) nas eqs. (11.34) e (11.35) e as reunindo em forma matricial, chegamos ao

modelo matemático

(11.39)

Nesse caso, temos ambos os acoplamentos: acoplamento dinâmico, porque a matriz [m] é não-diagonal e

acoplamento estático, porque a matriz [k] é não-diagonal.

Observações Importantes:

1. No caso mais geral de vibração livre com amortecimento, no qual temos todos os tipos de acoplamentos, as

equações do movimento têm a seguinte forma matricial:

(11.40)

Posição de

equilíbrio estático

=

+

+

0

0

x

x

kk

kk

x

x

cc

cc

x

x

mm

mm

2

1

2221

1211

2

.1

.

2221

1211

2

..1

..

2221

1211

Acoplamento

inercial ou

dinâmico

Acoplamento de

amortecimento

Acoplamento

elástico ou

estático

=

++−

+−++

0

02'

22

2'11

'22

'11

'22

'1121

..

..

θθ

x

lklklklk

lklkkkx

Jme

mem

P


2. As coordenadas adotadas não têm influência nas freqüências naturais e nos modos naturais de vibração do

sistema, sendo uma mera questão de conveniência;

3. Por outro lado, a natureza dos acoplamentos depende exclusivamente das coordenadas adotadas, conforme

pudemos verificar nas eqs. (11.34) e (11.39).

Ex. 11.3 (Rao Ex. 5.7) – Freqüências naturais e modos de vibração de um automóvel

Dados: Massa = m = 1000 kg;

Raio de giração = ρ = 0,9 m;

Rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m;

Rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m;

Dist. eixo dianteiro ao CG = l1 = 1,0 m;

Dist. eixo traseiro ao CG = l2 = 1,5 m.

Solução

Adotando as coordenadas generalizadas: x(t) = deslocamento. vertical do CG e θ(t) = rotação em torno do CG,

aplica-se o modelo matemático das eqs. (11.34):

(11.34)

onde JCG = mρ2 = (1000)(0,9

2) = 810 kg.m

2.

A partir do modelo matemático, aplicamos o procedimento clássico visto anteriormente:

Considerar que, assim como nos sistemas com 1 GDL, as respostas livres das duas massas sejam também

harmônicas:

( )φω += tXx cos

( )φωθ += tΘ cos

Derivar duas vezes as equações acima e substituir nas eqs. (11.33). Levando em conta os valores numéricos e

como cos(ωt + φ) não pode ser nulo a todo instante:

=

+−

+−

0

0

6750081015000

150004000010002

2

Θω

ω X (a)

Igualando a zero o determinante da matriz acima, chegamos na equação da freqüência:

0247509991,8 24 =+− ωω

donde obtemos as freqüências naturais . rad/s 4341,9 e rad/s 8593,5 21 == ωω

Os modos de vibração podem ser obtidos pelo desenvolvimento de uma das linhas da eq. (a); usando a 1a linha:

Determinar: (a) Freqüências naturais;

(b) Modos de vibração e localização dos nós.

=

++−

+−++

0

0

0

0222

2112211

221121..

..

θθ

x

lklklklk

lklkkkx

J

m

CG


( )400001000

150001500400001000

2

2

+−==⇒=++−

ωΘΘω

XrX

1o modo: usamos a primeira freqüência natural:

6461,240000)8593,5)(1000(

15002)1(

)1(

1 −=+−

==Θ

Xr

2o modo: usamos a segunda freqüência natural:

3061,040000)4341,9)(1000(

15002)2(

)2(

2 =+−

==Θ

Xr

A localização dos nós pode ser obtida notando que a tangente de um ângulo pequeno pode ser aproximada pelo

próprio ângulo. Assim, conforme figura abaixo, a distância entre o CG e o nó é -2,6461 para ω1 e 0,3061 para ω2.

11.7 Vibração Forçada Harmonicamente Assim como para um sistema linear com 1 GDL, a resposta total de um sistema linear com muitos GDL é dada

pela soma das respostas livre e forçada. A resposta livre depende das propriedades do sistema e das condições iniciais,

enquanto que a resposta forçada depende da forma da excitação. No caso de excitações periódicas, a resposta livre é

geralmente ignorada, por constituir um transiente. Já no caso de excitações do tipo choque, a resposta livre é muito

importante. Vamos considerar, a seguir, o caso de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a um forçamento

harmônico sob forma exponencial, o que facilita um pouco o tratamento algébrico. Vale lembrar que

tte t ωωω jsencosj += (11.41)

Resposta permanente de um sistema com 2 GDL

Modelo matemático (caso mais geral):

Fig. 11.11 Sistema com 2 GDL submetido a forçamento harmônico


Conforme já vimos, o modelo matemático para o caso mais geral de sistemas com 2 GDL é dado na forma

matricial por

(11.42)

Considerando forçamento harmônico:

teFtF ωj0jj )( = (11.43)

onde j = 1,2 indica o grau de liberdade considerado, podemos obter a resposta permanente, também harmônica:

2 1, j )( jjj == teXtx ω (11.44)

Tendo em vista que as matrizes da eq. (11.42) são simétricas (logo, mij = mji, cij = cji, kij = kji), e substituindo as eqs.

(11.43) e (11.44) e suas derivadas na eq. (11.42), chegamos a:

(11.45)

Definimos Impedância Mecânica Zrs(iω) como

(11.46)

a qual representa cada elemento da matriz. Podemos, então, reescrever a eq. (11.45) de uma forma mais compacta:

[ ] 0)( FXiZ rs =ω (11.47)

onde

[ ]

=

)()(

)()()(

2212

1211

ωω

ωωω

iZiZ

iZiZiZ rs é a matriz impedância

=2

1

X

XX é o vetor amplitude da resposta

=20

100

F

FF é o vetor amplitude da excitação

Podemos resolver a eq. (11.47) para obter

[ ] 01

)( FiZX rs−

= ω (11.48)

onde a inversa da matriz impedância é dada por

[ ]

−

−

−=

−

)()(

)()(

)()()(

1)(

1112

1222

2122211

1

ωω

ωω

ωωωω

iZiZ

iZiZ

iZiZiZiZ rs (11.49)

Substituindo a eq. (11.49) na eq. (11.48) e levando em conta o vetor amplitude do forçamento, obtemos as

componentes do vetor amplitude da resposta:

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

2122211

201110122

2122211

201210221

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

iZiZiZ

FiZFiZiX

iZiZiZ

FiZFiZiX

−

+−=

−

−=

(11.50)

que, levadas nas eqs. (11.44), fornecem a solução completa x1(t) e x2(t).

=

+

+

2

1

2

1

2221

1211

2

.1

.

2221

1211

2

..1

..

2221

1211

F

F

x

x

kk

kk

x

x

cc

cc

x

x

mm

mm

=

++−++−

++−++−

20

10

2

1

2222222

1211122

1211122

1111112

F

F

X

X

kcimkcim

kcimkcim

ωωωω

ωωωω

2 1, )( 2 =++−= r, skcimiZ rsrsrsrs ωωω


Ex. 11.4 (Rao Ex. 5.8) - Resposta permanente de um sistema massa-mola.

Obter as respostas em freqüência das amplitudes, X1(ω) e X2(ω).

Solução Adaptando a eq. (11.42) para este caso:

(a)

Como F10cosωt = Real(F10ejωt

), consideraremos a solução como sendo também harmônica:

xj(t) = Real(Xj eiωt

) = Xjcosωt, j = 1, 2 (b)

Impedância mecânica, dada pela eq. (11.46):

(c)

Substituindo as eqs. (c) nas eqs. (11.50):

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )kmkm

kF

kkm

kFX

kmkm

Fkm

kkm

FkmX

+−+−=

−+−=

+−+−

+−=

−+−

+−=

22

10

222

102

22

102

222

102

1

32

)(

3

2

2

2)(

ωωωω

ωω

ω

ω

ωω

(d)

Usando as freqüências naturais já conhecidas do Ex. 11.1, após manipulações algébricas, chegamos a

−

−

=

−

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

102

2

1

2

1

2

1

2

10

2

1

1

1

)(

1

2

)(

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

k

FX

k

F

X

(e)

=

−

−+

0

cos

2

2

0

0 10

2

1

2

..1

..tF

x

x

kk

kk

x

x

m

m ω

kZ

kmZZ

−=

+−==

)(

2)()(

12

22211

ω

ωωω


Os gráficos das respostas em freqüência dadas pelas eqs. (e) estão ilustrados na Fig. 11.12:

Fig. 11.12 Resposta em freqüência dos fatores de amplificação das amplitudes

Obs.: a massa 1 não vibra para um certo valor de ω. Essa característica forma a base para o absorvedor dinâmico de

vibrações, conforme será estudado mais adiante. Além disso, cumpre observar que existem agora 2 condições de

ressonância.

11.8 Aplicação: absorvedor de vibração (ou Neutralizador de Frahm)

Se um sistema mecânico com 1 GDL for excitado por uma força harmônica de freqüência constante e que opere

nas proximidades da ressonância, a amplitude da vibração aumenta, atingindo valores que podem eventualmente provocar a

falha do sistema. A fim de remediar tal situação, podemos tentar mudar a massa e/ou a rigidez do sistema para fugir da

condição de ressonância, o que nem sempre é prático ou mesmo possível.

Uma outra possibilidade será apresentada a seguir, a qual consiste na aplicação do absorvedor dinâmico de

vibrações, idealizado por Frahm, em 1909. O uso de um absorvedor dinâmico de vibrações (também conhecido como

Neutralizador de Frahm) está indicado para máquinas rotativas que operam em velocidades constantes, como máquinas

elétricas síncronas. Basicamente, o Neutralizador de Frahm acrescenta um grau de liberdade ao sistema. Ele consta de uma

massa e de uma mola auxiliares, ma e ka, que são colocadas em série com o sistema principal M, k, conforme ilustra a Fig.

11.13.

Fig. 11.13 Neutralizador de Frahm

Comparando a Fig. 11.13 (direita) com a Fig. 11.11, verificamos que elas são idênticas, cabendo apenas as

adaptações seguintes com relação à Fig. 11.11:

• no neutralizador não existe amortecimento, logo todos os “c” são nulos;

• no neutralizador não existe a mola k3, logo k3 = 0;

• no neutralizador não existe o forçamento F2(t), logo F2(t) = 0;

• no neutralizador o forçamento atua somente na massa m1 e é dado por F1(t) = Fsenωt;

• m11 = M; m12 = m21 = 0; m22 = ma;

• k11 = k + ka; k12 = k21 = -ka; k22 = ka.


Lançando essas adaptações nas eqs. (11.50):

)()()(

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()()(

2122211

1222

122211

201110122

2122211

2212

122211

201210221

ωωω

ωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωω

ωωω

ωωω

ZZZ

FZX

iZiZiZ

FiZFiZiX

ZZZ

FZX

iZiZiZ

FiZFiZiX

−

−=⇒

−

+−=

−=⇒

−

−=

(11.51)

Determinação das impedâncias mecânicas através da eq. (11.46), abaixo repetida,

(11.46)

levando em conta as adaptações citadas:

(11.52)

Substituindo na eq. (11.51):

2222

222

2

1

))(()(

))((

)()(

aaaa

a

aaaa

aa

kmkMkk

FkX

kmkMkk

FmkX

−−−+=

−−−+

−=

ωωω

ωω

ωω

(11.53)

Consideremos agora as seguintes definições:

(11.54)

(11.55)

(11.56)

Dividindo a eq. (11.55) pela eq. (11.54) e levando em conta a eq. (11.56), obtemos:

(11.57)

Levando em consideração as eqs. (11.54) a (11.57), podemos reescrever as eqs. (11.53) e chegar, após

manipulações algébricas, às formas adimensionais

211

222

222

2

211

2

211

222

222

2

1

11

1

/

)(

ω

ωµ

ω

ω

ω

ω

ω

ωµ

ω

ω

ω

−

−

−+

−

=kF

X (11.58)

211

222

222

2

211

2

211

222

2

11

1

/

)(

ω

ωµ

ω

ω

ω

ω

ω

ωµ

ω

−

−

−+

=kF

X (11.59)

Quando ω = ω22, vemos, pela eq. (11.58), que X1 = 0, ou seja, que o movimento da massa principal M cessa

completamente. Além disso, se X1 = 0, a força transmitida à fundação é nula. Nessas condições, pela eq. (11.59) e usando a

massas entre relação

teisoladamen dor,neutraliza do natural freqüência

teisoladamen principal, sistema do natural freqüência

222

211

==

==

==

M

m

m

k

M

k

a

a

a

µ

ω

ω

2 1, )( 2 =++−= r, skcimiZ rsrsrsrs ωωω

)(

)(

)(

222

12

211

aa

a

a

kmZ

kZ

kkMZ

+−=

−=

++−=

ωω

ω

ωω

211

222

ω

ωµ=

k

ka


eq. (11.57), concluímos que o sistema do neutralizador, (ka, ma), vibra de tal modo que a força da sua mola é igual e oposta

a Fsenωt em todos os instantes..

A Fig. 11.14 mostra o gráfico da amplitude X1 dividida pelo deslocamento estático F/k, em função da relação de

freqüências ω/ω11 (ou seja, da relação entre a freqüência da excitação e a freqüência natural do sistema principal,

isoladamente). Nesse caso, foram usadas as relações µ = 1/4 e ω11 = ω22 (ou seja, o neutralizador está sintonizado na

freqüência natural do sistema principal), bastante comuns na prática. A figura mostra, ainda, a faixa de operação satisfatória

do sistema, na qual X1/(F/k) < 1, isto é, a faixa em que não há amplificação em relação à amplitude estática.

Fig. 11.14 Resposta em freqüência da amplitude X1 dividida pelo deslocamento estático F/k

Portanto, o projeto do neutralizador baseia-se neste fato: escolher a mola e a massa do neutralizador de Frahm,

ka e ma, de tal modo que a freqüência natural do neutralizador seja igual à freqüência da excitação. A Fig. 11.15 ilustra o

gráfico da amplitude X2 dividida pelo deslocamento estático F/k, em função da relação de freqüências ω/ω11, para as

mesmas relações µ = 1/4 e ω11 = ω22:

Fig. 11.15 Resposta em freqüência da amplitude X2 dividida pelo deslocamento estático F/k


Dois parâmetros podem ser variados no neutralizador de Frahm: a relação de massas µ e a relação entre as freqüências, esta última definida como

(11.60)

Variação de µµµµ: - fica limitada a um restrição prática: um valor grande de µ significa um neutralizador de porte semelhante

ao do sistema principal. Por outro lado, quanto menor µ, mais estreita será a faixa de operação do neutralizador, conforme

poderemos ver mais adiante.

Variação de ββββ - a freqüência do neutralizador, ω22, deve ser a freqüência para a qual X1 = 0. Ela deve ser selecionada de

modo a melhor satisfazer as necessidades de operação, não precisando necessariamente ser igual a ω11, se bem que o uso de

um neutralizador é mais garantido quando a freqüência do forçamento, ω, estiver bem próxima da freqüência principal do

sistema principal. Portanto, fazer β = 1 é uma boa solução.

Como o conjunto é um sistema com dois graus de liberdade, ele possui duas freqüências naturais, ω1 e ω2. Para

encontrá-las, igualamos a zero o denominador das eqs. (11.58) e (11.59) tornando as amplitudes infinitas, o que caracteriza

a ressonância:

Usando a definição de β, dada pela eq. (11.60):

donde (11.61)

Os valores de ω1 e ω2 que satisfazem as equações acima são, portanto, as freqüências naturais do conjunto. Para o

caso usual em que β = 1, a eq. (11.61) simplifica para

(11.62)

cujas raízes são (11.63)

A eq. (11.63) comprova a afirmação feita anteriormente: valores muito pequenos de µ tornam a faixa de operação

do neutralizador muito estreita, conforme ilustra a Fig. 11.16.

11

22

ω

ωβ =

011211

222

211

2

211

222

222

2

=−

−+

−

ω

ωµ

ω

ω

ω

ωµ

ω

ω

011 2

211

22

222

2

=−

−+

− µβ

ω

ωµβ

ω

ω

[ ] 01)1(1

2

22

2

4

22

2 =+

++−

ω

ωµβ

ω

ωβ

( ) 012

2

22

4

22

=+

+−

ω

ωµ

ω

ω

( ) 422

1

2

2 2

2

22

−+±+

=

µ

µ

ω

ω


Fig. 11.16 Resposta em freqüência de µ

Ex. 11.5 (Rao 5.49) - Uma máquina alternativa de massa m1 está montada sobre uma viga bi-engastada de comprimento l,

espessura t, largura a e módulo de Young E. Foi acrescentado ao sistema um conjunto massa-mola (m2, k2) com o objetivo

de reduzir a vibração da máquina. Achar a relação entre m2 e k2 que anula a vibração da máquina quando uma força

harmônica F1(t) = F0cosωt é desenvolvida na máquina durante a sua operação

Solução

Resposta em freqüência a partir da eq. (11.58):

211

222

222

2

211

2

211

222

222

2

1

11

1

/

)(

ω

ωµ

ω

ω

ω

ω

ω

ωµ

ω

ω

ω

−

−

−+

−

=kF

X

Para que não haja vibração da massa m1 é necessário que X1 = 0, logo a condição é dada por

2

22222

2

222

2

01m

k=⇒=⇒=− ωωω

ω

ω


11.9 Exercícios e Problemas

Exercícios

Perguntas

1. Por que é vantajoso estudar os sistemas com 2 GDL antes de partir para o estudo de sistemas com n GDL?

2. O que são coordenadas naturais (ou normais, ou principais)? Qual a vantagem em utilizá-las?

3. O que é um modo natural (ou normal, ou principal) de vibração?

4. Quantas freqüências naturais e quantos modos naturais de vibração possui um sistema com n GDL?

5. Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas freqüências naturais de vibração.

O que acontecerá se forem dadas ao sistema condições iniciais arbitrárias?

6. Quantas situações de risco de ressonância existem se um sistema com 3 GDL for submetido a um forçamento

harmônico monofreqüencia? E se o forçamento for periódico e desenvolvido em série de Fourier com termos

senoidais até a 3a harmônica?

7. Qual o efeito de uma restrição mecânica sobre a quantidade de GDL de um sistema mecânico?

8. O que é uma equação de restrição?

9. Quais são os vários tipos de acoplamento em sistemas multidimensionais? Como se pode identificá-los a partir do

modelo matemático?


10. Em que pode influir a escolha de diferentes pares de coordenadas generalizadas?

11. Descreva o procedimento clássico para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema

com 2 GDL.

12. Qual o significado físico da fração modal r?

13. O que são vetores modais?

14. Qual o significa físico de um nó no gráfico dos modos naturais de vibração?

15. O que caracteriza um sistema semidefinido?

16. Em que situação é válido utilizar o neutralizador de Frahm?

17. No projeto do neutralizador de Frahm, qual a relação fundamental que deve ser usada?

18. No projeto do neutralizador de Frahm, qual a restrição que envolve o uso de relação de massas muito grande? E

muito pequena?


Problemas

11.1 - Dado o sistema mecânico da figura, determinar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração. Esboçar os

dois modos naturais de vibração.

Dados: M = 2 kg; m = 1 kg; k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m.

Resp.: ω1 = 2,6818 rad/s ω2 = 5,2733 rad/s

r1 = 3,5615 r2 = -0,5615

11.2 - Seja o sistema torcional da figura, o qual consiste de dois discos de inércias J1 e J2 unidos por uma mola torcional kt2

e fixados à parede por uma outra mola torcional kt1. Se forem dadas condições iniciais aos discos em torno do eixo z, o

sistema entrará em vibração livre em torno do eixo z, sendo θ1 e θ2 as coordenadas generalizadas independentes. Deduzir,

pelo método clássico, a equação da freqüência do sistema.

11.3 - Determinar as freqüências naturais e os modos de vibração para o sistema pendular duplo da figura:

Resp.: )(2 222

21

lll

a

m

kgg+== ωω

11.4 - Achar as freqüências naturais e os modos naturais

vibração para o sistema da figura:

Resp.:

781,0 281,1

562,5 439,1

21

22

21

−==

==

rr

m

k

m

kωω


11.5 - A figura apresenta um modelo simplificado de um automóvel, no qual são considerados apenas 2 GDL: translação

vertical da massa m2 (chassis e carroceria) e translação vertical da massa m1 (massas das rodas e eixos). Determinar as duas

freqüências naturais do movimento. Dados numéricos:

m1 = 180 kg

m2 = 670 kg

2k1 = 538 N/mm

2k2 = 45,5 N/mm

Resp.: 75,5 ciclos/min; 544 ciclos/min.

11.6 - Um guincho A de massa 254 kg está montado na extremidade livre de uma viga de aço engastada e livre (módulo de

Young 2,07 x 1011 Pa, comprimento 1,525 m, momento de inércia à flexão da seção reta constante 1493 x 10-8 m4). Ele

suspende uma carga de massa 101,6 kg através de um cabo de aço, o qual se deforma 2,9 mm quando submetido a uma

força de 9967 N.

(a) Desprezando a massa da viga, determinar as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema;

(b) Se o sistema estiver vibrando no primeiro modo natural e se a amplitude do movimento da carga B for 0,254 mm,

calcular a amplitude do movimento do guincho e a variação da tração no cabo de aço devida apenas à vibração das duas

massas.

Resp.: (a) 13,18 e 35,87 Hz; 1,254 e -1,993; (b) 0,203 mm e 175,3 N.

11.7 - Um automóvel de massa m1 = 1750 kg traciona um trailer de massa m2 = 3800 kg através de uma barra de tração de

rigidez k = 175 N/mm. Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração do sistema. Fazer um esboço desses

últimos. O que esse sistema apresenta de notável?

Resp.: 0; 1,92 Hz

11.8 - Dois rolos cilíndricos idênticos, cada um com massa m, têm os seus eixos conectados por uma mola de rigidez k. Os

dois cilindros podem rolar sem deslizar sobre uma mesa horizontal. Determinar as duas freqüências naturais, para pequenas

oscilações, utilizando o método clássico (equações do movimento, frações modais, equação da freqüência, etc.).

Resp.: ω1 = 0; ω2 = m

k

3

4

11.9 - Um sistema mecânico é descrito pelo sistema de equações diferenciais

022

024

2..

..

=++

=++

θθ

θ

kakaxJ

kakxxm

onde m é a massa do bloco e J é o momento de inércia em relação a um eixo passando pelo seu CG. Pede-se:

(a) quantidade de graus de liberdade; (b) coordenadas generalizadas adotadas;

(c) matriz massa; (d) matriz rigidez;

(e) existe acoplamento dinâmico? Por quê? (f) existe acoplamento estático? Por quê?


11.10 (Rao 5.48) – Uma bomba centrífuga, de desbalanceamento me, repousa sobre uma fundação rígida de massa m2

através de um isolador de rigidez k1, conforme figura. O solo possui rigidez k2 e coeficiente de amortecimento c2. Usando o

método da impedância mecânica, calcular as amplitudes da vibração forçada da bomba e da fundação quando a bomba gira

a 1200 rpm.

Dados numéricos: mg = 0,5 lbf; e = 6 in; m1g = 800 lbf; m2g = 2000 lbf; k1 = 2000 lbf/in; k2 = 1000 lbf/in; c2 = 200 lbf.s/in.

Resp.: X1 = (- 40,0042 – 0,01919i)x10-4 in; X2 = (0.9221 + 0,2948i)x10-4 in

11.11 O painel de uma máquina desbalanceada vibra intensamente quando a máquina está operando nas freqüências 20 Hz

e 25 Hz. Deseja-se usar um Neutralizador de Frahm com β = 1. Pedem-se:

(a) freqüência natural do neutralizador ω22 (valor 1,5);

(b) razão de massas µ (valor 1,5).

11.12 (Rao 9.51) – Um compressor de ar de massa 200 kg, possui um desbalanceamento de 0,01 kg.m e apresenta grandes

amplitudes de vibração quando funcionando a 1200 rpm. Determinar a massa e a mola do neutralizador de Frahm a ser

empregado no sistema, de modo a que as freqüências naturais do sistema estejam afastadas no mínimo a 20% da freqüência

da excitação.

Resp.: ma = 40,5 kg; ka = 639600 N/m.

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