Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Lei de Gauss da Eletricidade

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Objetivos – iremos aprender:

• O que significa fluxo elétrico e como é possível calcular o mesmo.

• Como é possível determinar a carga elétrica delimitada por uma superfície fechada através do cálculo do campo elétrico sobre esta superfície.

• Como usar a Lei de Gauss da Eletricidade para calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas elétricas.

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Uma carga elétrica dentro de uma caixa pode ser sondada com uma carga-teste qo para se medir o campo E fora da caixa.

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Fluxo de um Fluido

A taxa de escoamento de um fluido (dV/dt) através de uma superfície retangular de área A é:

(a) vA, quando a superfície está perpendicular ao vetor velocidade v.

(b) vA cos φφφφ quando o retângulo está inclinado em um ângulo φφφφ.

Taxa de fluxo volumétrico através de um retângulo

metálico.

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Taxa de fluxo volumétrico através de um retângulo

metálico.

Vamos agora substituir o vetor velocidade do fluido v pelo vetor campo elétrico E e introduzir o conceito de fluxo elétrico ΦE.

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(a) Fluxo elétrico através da superfície: EA.

(b) Quando o vetor de área A faz um ângulo φ com o vetor E, a área projetada sobre o plano perpendicular ao “fluxo elétrico” é Aperp. = Acosφ. O fluxo é zero quando φ = 90o

porque o plano estará paralelo ao fluxo: o campo Enão “flui” através do retângulo.

Uma superfície plana em um campo elétrico uniforme

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Fluxo elétrico através de uma esfera centrada sobre uma carga pontual q.

Superfície fechada:

∑=

∆⋅≈Φ�

n

nnE AE1

rr

No limite:

∞→→∆ �A e 0r

No limite:

∞→→∆ �A e 0r

,∫ ⋅=Φ AdEE

rr

fechada. superfície

a todasobre integral

: Sendo ∫

Superfície Gaussiana.

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Fluxo elétrico através de uma esfera centrada sobre uma carga pontual q.

Para uma gaussiana esférica:

( )

( ),44

1

4

cos

2

2

0

2

RR

q

RE

dAEdAE

dAE

AdEE

ππε

π

φ

=

=

==

=

⋅=Φ

∫ ∫∫∫

rr

0εq

E =Φ

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Projeção de um elemento de área dA de uma esfera de raio R SOBRE uma esfera concêntrica de raio 2R.

Fluxo ΦΦΦΦE

de uma carga puntiforme q.

A projeção multiplica cada dimensão linear por 2; assim, o elemento de área sobre a esfera maior é 4dA.

O mesmo número de linhas de força passa por cada elemento de área.

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Fluxo através de uma superfície arbitrária.

A projeção do elemento de área dA sobre a superfície

esférica é:

dA cos φ.

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Superfícies Gaussianas esféricas ao redor de uma carga: (a) positiva e (b) negativa.

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Lei de Gauss da Eletricidade:

Seja S uma superfície gaussiana fechada que envolve completamente uma carga elétrica Qint a qual gera um campo elétrico

Então:.Er

.0

int

εQ

AdEE =⋅=Φ ∫rr

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Para resolver problemas envolvendo a Lei de Gauss, usa-se a seguinte “receita”:

1. Cuidadosamente desenhar: localização de todas as cargas e a direção e sentido das linhas de força do campo elétrico E.

2. Desenhe uma superfície Gaussiana imaginária S de tal forma que o campo elétrico seja constante sobre a superfície e que a superfície contenha o ponto onde deseja-se calcular o campo elétrico.

3. Escreva a Lei de Gauss e realize o produto escalar E o dA.4. Uma vez que a magnitude de E é constante sobre S, pode-se

retirar |E| de dentro do símbolo de integração.5. Determine o valor de Qint da figura e o insira na equação da Lei

de Gauss.6. Resolva a equação para obter a magnitude de E.

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Campo elétrico (eletrostático) = zerono interior de uma esfera sólida condutora.

Em condições estáticas, o campo

elétrico dentro de uma esfera sólida

condutora é nulo.

Fora da esfera, o campo elétrico decai como

1/r2,

como se toda a carga da esfera estivesse concentrada no seu centro.

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Uma superfície Gaussiana coaxial cilíndrica é usada para encontrar o campo elétrico a uma distância r de um fio

infinito eletricamente carregado.

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Uma superfície Gaussiana cilíndrica é usada para encontrar o campo elétrico de uma superfície plana

uniformemente carregada.

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O campo elétrico de uma esfera ISOLANTE uniformemente carregada.

Densidade Volumétrica de

Carga:

ρρρρ = carga/Volume é usada para

caracterizar a distribuição de

carga.

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Em condições eletrostáticas, qualquer excesso de carga em um sólido condutor deve residir

inteiramente sobre sua superfície externa.

Superfície Gaussiana

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A solução está no fato de que o campo elétrico dentro de um condutor deve ser nulo (ausência de correntes). Se a superfície Gaussianaestiver dentro do condutor (onde E é nulo), a carga envolvida deve ser também nula

(+ q – q) = 0.

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Campo elétrico entre duas placas (grandes) paralelas eletricamente carregadas.

Capacitores

Ignorando efeitosde borda.

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O campo E = 0 dentro de uma caixa condutora (uma “Gaiola de Faraday”) em um campo elétrico.

Uma superfície Gaussiana desenhada dentro de um material condutor deve ter um campo elétrico nulo sobre a mesma.

Se a superfície Gaussiana tem campo nulo sobre a mesma, a carga envolvida deve ser nula pela Lei de Gauss.

E