lei dos senos e cossenos - matematica9_geometria_e_trigonometria.ppt

7/23/2019 lei dos senos e cossenos - matematica9_geometria_e_trigonometria.ppt

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Geometria eTrigonometria


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Geometria e Trigonometria

Elementos de um tringulo retngulo

O tringulo ABC da figura representa um tringulo retngulo em A .

( reto)

O lado oposto ao ngulo reto

chamado de hipotenusa,enquanto os outros dois sochamados catetos.

ra!ando a altura relati"a # hipotenusa, temos as medidas h, me n.

$ h% medida da altura relati"a # hipotenusa&$ m% medida da pro'e!o do cateto

sore a hipotenusa&$ n% medida da pro'e!o do cateto

sore a hipotenusa.

a

A

B C

c

cateto

cateto

hipotenusa

CB

A

c

a

h

m n

*


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Teorema ou relao de Pitgoras

+amos eemplificar a rela!o de -itgoras "ista no ano anterior para umcaso particular%

A rela!o ou teorema de -itgoras enunciada%

/m todo tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) igual # soma dos quadrados das medidas dos catetos (be c).

a*0 *1 c*

2

a c

C

B

A

3

4 0 1

4

a 0 2 0 3

c 0 4

a* *

c*


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Geometria e TrigonometriaDemonstrao do teorema de Pitgoras

/istem muitas formas de demonstrar esse teorema. +e'amos uma delas,aseada na semelhan!a de tringulos.

Considere um tringulo ABC, retngulo em A, com altura relati"a #hipotenusa.

A

emos que% a 0 m 1 n 5

CB

A

c

a

h

m n

3


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Colocando6os na mesma posi!o, podemos perceer os ladoscorrespondentes.

+amos considerar agora os tringulos BA e ABC.

Os dois tringulos t7m um ngulo reto e o ngulo B em comum.

O que eles t7m em comum8

Assim, os tringulos so semelhantes pelo caso de semelhan!a AA.

c*0 am *

ah 0 c 4

ch 0 m 3

0 0

c h

m

c

a

m h

c

c

a

2


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Geometria e Trigonometria+amos considerar agora os tringulos ABC e AC.

Os dois tringulos t7m um ngulo reto e o ngulo C em comum& portanto, sosemelhantes.

9o"amente, "amos refletir sore o que eles t7m em comum.

*0 an

ah 0 c

h 0 nc

2

4

: c*0 am *

*1 c*0 an 1 am

*1 c*0 a(n 1 m)

5a 0 m 1 nComo,

/nto, *1 c*0 a*

c

a

A

CB

A

C n

h

:


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Outras relaes mtricas importantes no tringulo retngulo

Assim como fi;emos anteriormente,ao oser"ar os dois tringulospodemos "erificar que eles so

semelhantes.

/m qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da altura relati"a #hipotenusa igual ao produto das medidas das pro'e!

Logo,

h2= mn

A


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c*0 am *0 an

ah 0 c 4

O quadrado da medida de um cateto igual ao produto da medida da

hipotenusa pela medida da pro'e!o desse cateto sore a hipotenusa.

=a demonstra!o do teorema de -itgoras, "oc7 p?de notar que foramestaelecidas outras rela!


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c*0 am

ah 0 ca 0 m 1 n

esumindo, as rela!


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Aplicaes importantes do teorema de Pitgoras

Diagonal de um quadrado

O tringulo A=C retngulo em D.

-odemos aplicar ento o teorema de-itgoras%

-ortanto, a medida da diagonal de um quadrado sempre igual ao produto damedida de um lado por .

=ado um quadrado ABC= qualquer, cu'o lado mede , como encontrar amedida (d) da diagonal desse quadrado em fun!o de 8

A B

C=

d

d*0 *1 *

d*0 * *

d 0d 0

2

5D


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Geometria e TrigonometriaAltura de um tringulo equiltero

O tringulo AB retngulo em .

+amos aplicar o teorema de -itgoras%

=ado um tringulo equiltero ABC qualquer, cu'o lado mede , como podemosencontrar a medida (h) da altura desse tringulo em fun!o de 8

-ortanto, a medida da altura igual ao produto da metade da medida de umlado por .

h*1 0 * h 0 ou*

h*0 * E *

h*0 *

h 0 ou

h 0 .

55

A

B C

h


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Geometria e TrigonometriaDiagonal de um bloco retangular

!aso particular" diagonal do

cubo

Consideremos um loco retangular cu'as arestas medem a, b, c, a diagonal deuma face mede d ea diagonal do loco mede D.

O tringulo B/ retngulo em Ee sua hipotenusa mede D, mas paracalcul6la precisamos encontrar o "alor de d.

Aplicando o teorema de -itgoras%

d*0 a*1 *

=*0 d*1 c*

=*0 a*1 *1 c*

O cuo um caso particular do locoretangular em que a 0 0 c 0 & assim%

A

B C

I

E F

HH

D

d

ab

c

= 0

5*

A

B C

D

I

F

HG

E

d

0 0= 0 2 + 2+ 2 2


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Outras situaes que en%ol%em as relaes mtricas no tringulo

retngulo

Os ternos pitag&ricos

ernos de nGmeros inteiros positi"os a, be cque oedecem # rela!oa*0 *1 c*so chamados ternos pitagricos.

ente pensar em um terno pitagHricoI

Os mais conhecidos so%

4,3,2

2, 5*, 54

5

4

3

53


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!lassi#icao dos tringulos quanto aos ngulos conhecendo'se

as medidas de seus tr$s lados(

Considere a, be cas medidas dos tr7s lados de um tringulo, na mesmaunidade de medida, com asendo a medida do lado maior.

-odemos classificar o tringulo com rela!o a seus ngulos internos%

J saemos que, se a*

0 *

1 c*

, temos um tringulo retngulo.Ke a*L *1 c*, temos um tringulootusngulo.

Ke a*M *1 c*, temosum tringulo acutngulo.

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)elaes mtricas na circun#er$ncia

)elao entre duas cordas de uma circun#er$ncia

Considerando os tringulos A-C e =-B, temos%

ngulos inscritos de mesmo arco

ngulos opostos pelo "rtice

-odemos concluir, ento, que os tringulos so semelhantes. Nogo,

Assim, demonstramos que%

/m toda circunfer7ncia, quando duas cordas secru;am, o produto das medidas das duas partes

de uma igual ao produto das medidasdas duas partes de outra.

C

D

B

A

P9a circunfer7ncia ao lado, e so duas cordas quese cru;am no ponto P.

A- (B- 0 C- (=-

0 0

5:


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Geometria e Trigonometria)elao entre dois segmentos secantes a uma circun#er$ncia

/m toda circunfer7ncia, se tra!amos dois segmentos secantes a partir de ummesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte

eterna igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parteeterna.

Ou se'a, -A (-B 0 -C (-=

A B

=

C

-

5>


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Geometria e Trigonometria)elao entre um segmento secante e um segmento tangente a uma

circun#er$ncia

Oser"ando os tringulos -AC e -BA, temos%

ngulo comum

ngulo de segmento e nguloinscrito de mesmo arco

A

B

C-

9a circunfer7ncia aaio, a partir do ponto P, temos um segmento tangente e um segmento secante .

5@


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Geometria e Trigonometria-elo caso AA, os tringulos -AC e -BA so semelhantes. -ortanto, os lados

homHlogos t7m medidas proporcionais%

/m toda circunfer7ncia, se tra!amos, a partir de um mesmo ponto, umsegmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida dosegmento tangente igual ao produto da medida do segmento secantepela medida da sua parte eterna.

(-A)*0 -B (-C0 0

5


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A ideia de tangente

tg = = ndice de subida

*D

alturaafastamento

percurso

afastamento

altura


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cos =

A ideia de cosseno

**

afastamentopercurso

afastamento

percurso


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sen (0 < < 90)

*4

O= O O0 0 0OC O/ OP

C= / P0 0 0OC O/ OP

C= / P0 0 0O= O O

cos (0 < < 90)

tg (0 < < 90)

Definio de seno, cosseno e tangente por semelhana


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*2

Outras relaes

Relaes entre seno, cosseno e tangente

c

5c

5tg Q

5

tg Qtg 0 0 0 tg 0

a

sen 0 0 cos Q

cacos 0 0 sen Q

0 0 % 0 . 0 0 tg 0 tg

Q


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sen cos tg

30

45

60

*:

1

5*

4*

44

**

**

4

*

5

* 4

Razes trigonomtricas para ngulos de 30, 45 e 60


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Substituindoh2de (II) em (I), temos:

*>

a2= h2+ (b x)2

c2= h2+ x2

a2= h2+ b2 2bx + x2(I)

h2= c2 x2(II)

a2= c2 x2+ b2 2bx + x2a2= b2+ c2 2bx

Como x = c.cos , temos:a2= b2+ c2 2b.cos

para ngulos agudos.

Lei dos cossenos


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*@

a2= h2+ (b + x)2 a2= h2+ b2+ 2bx + x2(I)

c2= h2+ x2 h2= c2 x2(II)

Substituindoh2de (II) em (I), temos:

a2= c2 x2+ b2+ 2bx + x2

a2= b2+ c2+ 2bx

Como x = c.cos BH e o cosseno de umngulo igual ao oposto do cosseno doseu suplemento (cos = cos(180 )),temos:

a2= b2+ c2+ 2b.c.cos BHoua2= b2+ c2 2bc.cos para ngulos obtusos.

Lei dos cossenos


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Portanto:

*

sen = ou

sen = ouh = c.sen

h = a.sen

hc

ha

Ento,c.sen = a.sen

Ke tra!armos a altura relati"a aongulo , oteremos%

Lei dos senos


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Portanto:

4D

hasen = ou

Lei dos senos

h = a.sen

sen (180 ) =hc e como sen (180 ) = sen ,

ento sen = ouhc h = c.sen

Ento:a.sen = c.sen

Considerando a altura relativa ao ngulo

chegamos a:


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A altura de cada um desses tringulosissceles chamada de aptema dopolgono regular. O aptema tambmmediana e bissetriz, pois os tringulos soissceles.

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Uso das relaes trigonomtricas em polgonosregulares inscritos em uma circunferncia

Ligando o centroOa todos os vrtices,obtemos cinco tringulos.Cada ngulo central mede 72, medidaque se obtm fazendo 360: 5.Cada um dos cinco tringulos obtidos issceles, com lados medindor,re .Cada um desses tringulos issceles temngulos de 72, 54e 54.


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4*

4*

6ar r 4

r 4*

r *

r **

r 4

r*

Generalizaes: hexgono, quadrado e tringulo regulares

, pois o tringulo equiltero.:0 r

cos 4D 0 0

a:0

*a:0

Fuadrado

30

a30 0

ringulo equiltero

40

a40

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