TURMA 2012: Modelagem Matematica − PRA31Prof. Jose A. Davalos Chuquipoma

LER 02 − LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 03

Questao 1

Um investimento de 10.000 reais e feito com juros de 5% ao ano, capitalizados continuamente. Calcularo rendimento apos 5 dias.

Solucao:

Uma vez que a taxa de variacao da quantia x(t) de dinheiro e proporcional a propria quantia, com umacontante de proporcionalidade de 0, 05 a equacao de crescimento e

x′ = 0, 05x.

Sua solucao geral e dada por x(t) = Ce0,05t, a condicao inicial x(0) = 10.000 conduz a solucao particularx(t) = 10.000e0,05t. O montante apos 5 anos e consequentemente, x(5) = 10.000e0,25 = 12.840, 25.

Questao 2

No ano 1988, tres testes independentes de datacao revelaram que a quantidade de carbono 14 no tecidode linho do Sudario de Turim estava entre 99, 119% e 99, 275% do que foi encontrado num tecido novo.Quando foi feito o sudario?

Solucao:

Substancias radioativas tem uma taxa de decaimento proporcional as suas quantidades a cada instante.Para o carbono 14 isotopo, a constante de proporcionalidade e aproximadamente 0, 00001216. Assim,a equacao diferencial que descreve o processo de decaimento de uma quantidade x de carbono 14 e

x′ = −0, 00001216x,

cuja solucao e x(t) = Ce−0,00001216t. Se a quantidade inicial de substacia radioativa e x(0) = x0,entao x0 = x(0) = Ce0 = C, portanto, a variacao da quantidade inicial da substancia no tempo ex(t) = x0e

−0,00001216t. Gostarıamos de determinar primeiro quanto tempo leva ate que a quantidade x0

mude para 0, 99119x0. Para isto temos que resolver a equacao

0, 99119x0 = x0e−0,00001216t,

que possui a solucao t = −(ln 0, 99119)/0, 00001216 = 727, 7168996, e dizer aproximadamente 728 anos.Analogamente, 99,275% corresponde a 598,3888957, e dizer, aproximadamente 598 anos. Isto significaque o sudario foi feito em qualquer epoca entre 1260 e 1390, cerca de 13 seculos apos a morte de Jesus.

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Questao 3

Um file de salmao, inicialmente a 500F , e cozido num forno com uma temperatura constante de 4000F .Apos 10 minutos, a temperatura do file e medida em 1500F . Considerando que o peixe e fino e macio,suponhamos numa primeira aproximacao que sua temperatura e uniforme. Quanto tempo leva ate queo salmao seja considerado mal passado, digamos, a 2000F?

Solucao:

O processo de cozimento e descrito pela equacao de resfriamento e aquecimento de Newton

dT

dt= k(T − 400),

cuja solucao e T (t) = 400 + Cekt, onde k e C serao determinados usando a informacao T (0) = 50 eT (10) = 150. De fato a primeira condicao e da solucao T (t) produz

50 = T (0) = 400 + Ce0 = 400 + C,

o que significa que C = −350, de a segunda condicao e de T (t) fornecem

150 = T (10) = 400− 350e10k,

de onde k = 110

ln 2535' −0, 034. Assim, a solucao particular da equacao diferencial que descreve nosso

problema e T (t) = 400− 350e−0,034t. Para determinar quando o peixe atinge 2000F , temos que resolverem t a equacao

200 = 400− 350e0,034t,

cuja solucao e t = (− 10,034

) ln 47, e dizer, aproximadamente 16,5. Assim, na hipotese de temperatura

uniforme, o salmao atingiraa 2000F apos cerca de 16 minutos e meio.

Questao 4

Uma caixa de 5kg contendo instrumentos cientıficos e lancada de um helicoptero sobre a Antartida.Devido ao ar seco e a temperatura baixa, a caixa encontra uma particular resistencia do ar durante aqueda. Levando em consideracao as condicoes atmosfericas, um meteorologista avalia que, dentro dolimite do tempo e duracao da missao, esta forca poderia ser bem aproximada pela funcao

Fresistencia = − 2

5(t + 1)v,

onde v e a velocidade do objeto em metros/segundo e t e o tempo em segundos. (O sinal negativo mostraque a forca de resistencia atua para cima, em oposicao a gravitacao.) Para seguranca dos instrumentoscientıficos, o impacto com o chao deve ser suave. Para saber de que altura lancar o objeto, a equipeque planeja a missao precisa encontrar a formula da velocidade do objeto durante a queda. Qual e estaformula?

Solucao:

2

A segunda lei de Newton diz que forca = massa × aceleracao, isto e:

F = ma.

Ja que estamos interessados na velocidade do objeto, podemos escrever a aceleracao como dvdt

= v′.A forca neste caso e F = Fpeso + Fresistencia. Sabendo-se que Fpeso = mg, onde g = 9, 8m/s2 e aaceleracao da gravidade aproximada, m = 5kg, e

Fresistencia = − 2

5(t + 1)v,

a equacao que descreve a velocidade e

5v′ = 5(9, 8)− 0, 4v

t + 1.

Apos simplificacao, esta equacao toma a forma linear nao-homogenea

v′ = 9, 8− 0, 08v

t + 1ou v′ +

0, 08

t + 1v = 9, 8.

Sendo uma EDO linear de primeira ordem, podemos aplicar a formula (fator integrante) que nos permiteobter a seguinte solucao:

v(t) = (t + 1)−0,08[∫

9, 8(t + 1)0,08dt + C]

= 9, 074(t + 1) + C(t + 1)−0,08, C = constante.

Como no momento em que foi lancada do helicoptero a caixa tinha velocidade zero em relacao ao chao,a condicao inicial v(0) = 0. Isto conduz a C = −9, 074 e consequentemente a solucao particular e

v(t) = 9, 074[t + 1− (t + 1)−0,08].

Questao 5

Um osso fossilizado contem 1/1.000 da quantidade original do Carbono 14. Sabendo que a media vidado Carbono 14 es 5.600 anos. Determine a idade do fossil.

Solucao:

O ponto de inıcio e que a equacao diferencial que modela o problema e x′(t) = kx, cuja solucao ex(t) = x0e

kt. Para determinar o valor de k, usamos o fato de que x0/2 = x(5.600), ou x0/2 = x0e5.600k.

Temos entao

5.600k = ln(

1

2

)= − ln 2

k = − ln 2

5.600= −0, 00012378.

Logo,x(t) = x0e

−0,00012378t.

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Quando x(t) = x0/1000, temosx0

1.000= x0e

−0,00012378t

assim

−0, 00012378t = ln(1

1.000) = − ln 1.000.

Portanto a idade do fossil e

t =ln 1.000

0, 00012378≈ 55.800 anos.

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