LETÍCIA CORRÊA PEREIRA - educapes.capes.gov.br

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS

LETÍCIA CORRÊA PEREIRA

UM GUIA DE ATIVIDADES COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DE

COMBINATÓRIA: ÊNFASE EM GRAFOS

SANTO ANTÔNIO DA PATRULHA – RS

2020

1

LETÍCIA CORRÊA PEREIRA

UM GUIA DE ATIVIDADES COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DE

COMBINATÓRIA: ÊNFASE EM GRAFOS

Produto Educacional desenvolvido sob orientação do

Prof. Dr. Rene Baltazar e apresentado à banca

examinadora como requisito parcial à obtenção do

Título de Mestre em Ensino de Ciências Exatas pelo

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Exatas da Universidade Federal do Rio Grande.

SANTO ANTÔNIO DA PATRULHA

2020

2

3

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 1 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 3 NÓS E 3

ARESTAS ................................................................................................................................ 11

FIGURA 2- REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 4 NÓS E 5

ARESTAS ................................................................................................................................ 11

FIGURA 3 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 3 NÓS, 2

ARESTAS E UM LAÇO .......................................................................................................... 11


ARESTAS ................................................................................................................................ 13


ARESTAS ................................................................................................................................ 14

FIGURA 6 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 5 NÓS............... 15

FIGURA 7 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 5 NÓS E 1 ARESTA

.................................................................................................................................................. 15


ARESTAS ................................................................................................................................ 15


ARESTAS ................................................................................................................................ 16

FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COMPLETO ............ 16


ARESTAS ................................................................................................................................ 17

FIGURA 12 - EXEMPLO DE MOLÉCULA DE AMÔNIA (𝑁𝐻3) REPRESENTADA COM

O KIT MOLECULAR .............................................................................................................. 25

4

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - REPRESENTAÇÃO DE GRAFOS, OS NÓS DE CADA GRAFO E O GRAU

DE CADA NÓ .......................................................................................................................... 12

TABELA 2 - EXEMPLO DE UMA REPRESENTAÇÃO DE MOLÉCULA E

REPRESENTAÇÃO EM GRAFOS ......................................................................................... 19

TABELA 3 - INFORMAÇÕES GERAIS SOBRE O GUIA DE ATIVIDADES .................... 20

TABELA 4 - ELEMENTOS QUE COMPÕEM O KIT MOLECULAR ................................ 25

TABELA 5 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE AMÔNIA................................. 26

TABELA 6 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE NITRATO ............................... 27

TABELA 7 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE UREIA ..................................... 28

TABELA 8 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE NITRATO DE POTÁSSIO ..... 29

5

SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................ 6

2 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 8

3 ASPECTOS INICIAIS ........................................................................................................ 10

4 GRAFOS COMO ALTERNATIVA PARA ENSINO DE COMBINATÓRIA ............. 10

4.1 GRAFOS ............................................................................................................................ 10

4.2 UMA PROBLEMATIZAÇÃO: POSSIBILIDADES DE ARGUMENTAÇÃO SOBRE O

TEOREMA ............................................................................................................................... 14

5 CONTEXTUALIZAÇÃO DO PRODUTO EDUCACIONAL ........................................ 18

6 PASSOS DA PROPOSTA EM SALA DE AULA............................................................. 20

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 30

REFERÊNCIAS...................................................................................................................... 31

ANEXOS.................................................................................................................................. 32

6

1 APRESENTAÇÃO

Prezado (a) leitor (a), o Produto Educacional apresentado a seguir é resultado da

dissertação intitulada: “A Educação Matemática tangenciando a Educação Ambiental: uma

proposta a partir do ensino de Combinatória” apresentada ao Programa de Pós-Graduação de

Ensino de Ciências Exatas, da Universidade Federal do Rio Grande, sob orientação do Professor

Dr. Rene Baltazar.

Inicialmente o Produto Educacional havia sido caracterizado como um Mini Curso,

pois tinha-se a intenção de apresentá-lo em eventos com ênfase em Ensino de Matemática.

Porém diante de algumas sugestões e estudos realizados, percebeu-se a necessidade de

encontrar outra maneira para categorizar o Produto, que estivesse de certa forma, em

consonância com a proposta elaborada.

Com isso, esperava-se compartilhar esse Produto Educacional em um evento com

ênfase em Matemática e averiguar quais observações possíveis poderiam ser inclusas na

proposta. Contudo, diante da atual situação mundial enfrentada pela Pandemia do Coronavírus,

não foi possível compartilhar os conhecimentos pensados nesse trabalho. Da mesma forma em

que a autora não conseguiu realizar a aplicação do Guia de Atividades na realidade em que atua,

devido ao cancelamento das atividades escolares presenciais, em conformidade ao

distanciamento social.

Então, de acordo com discussões elaboradas pela autora e seu orientador, buscou-se

definir esse Produto como um Guia de Atividades, que apresenta uma proposta de ensino com

temática de Combinatória. Pretende-se com este Guia de Atividades trabalhar noções de

Combinatória e/ou Problemas de Contagem, dando ênfase à Teoria de Grafos, com turmas dos

Anos Finais do Ensino Fundamental.

A partir de estudos elaborados pelos autores sobre a Base Nacional Comum Curricular

(BRASIL, 2017) foi possível pensar em uma proposta que pudesse potencializar o ensino de

Combinatória no Ensino Fundamental, criando possíveis condições para o aprimoramento do

Raciocínio Combinatório. As discussões sobre o termo Raciocínio Combinatório, encontram-

se na dissertação que originou este Produto Educacional (PEREIRA, 2020). Além disso,

buscou-se planejar esse Guia de Atividades de acordo com um determinado contexto, podendo

ser ajustado, para distintas realidades.

Portanto, espera-se que ao utilizar esse Produto Educacional, como recurso para o

ensino de Combinatória, seja possível encontrar alguns aspectos distintos, tornando o ensino

7

desta área mais abrangente e com múltiplas possibilidades, almejando que o leitor possa

inspirar-se e produzir outras propostas de ensino nessa área.

8

2 INTRODUÇÃO

Sabe-se que a Matemática está presente em diferentes âmbitos, sejam eles escolares

ou não-escolares. No contexto escolar, a Matemática pode ser apresentada aos alunos em

distintas formas, através de diferentes propostas de ensino.

São anseios de toda comunidade acadêmica, propor momentos de reflexão e

intensificar iniciativas que proponham aspectos relevantes, em que o docente possa reinventar

sua prática através de diferentes alternativas de ensino para que, juntamente com os alunos,

contemplem aprendizagens indispensáveis para sua formação. Além disso, é possível dispor

aos alunos propostas de ensino que sejam contextualizadas, neste trabalho com sentido de

utilizar circunstâncias do meio para embasar as propostas de ensino, para que a busca pelo

conhecimento seja algo atrativo e significante. De acordo com D’Ambrósio (2012, p. 104)

“contextualizar a matemática é essencial para todos”.

Propostas contextualizadas poderão despertar no aluno o interesse e a busca por

diferentes soluções. Dessa forma, o ensino não estará predestinado a soluções únicas e

inalteráveis. É no diálogo entre professor-estudante que estes poderão realizar uma troca de

saberes, fazendo com que o aluno tenha espaço para sua manifestação e possa participar do

processo de busca pela construção do conhecimento.

Além disso, é importante ressaltar que o docente precisa do apoio da escola e de sua

autonomia em sala de aula, para que estes momentos de troca aconteçam. A proposta

apresentada neste Produto Educacional visa enaltecer o trabalho do professor, sugerindo que

este possa ajustar o Guia de Atividades para sua realidade e tenha a participação dos alunos no

processo.

Dessa forma, além de propor uma atividade contextualizada, buscou-se pensar em uma

proposta que fosse pouco usual no campo da Combinatória e/ou Problemas de Contagem.

Entende-se que trabalhos recentes apresentam a Combinatória de uma forma bastante restrita

(discussões apresentadas no capítulo cinco da dissertação que originou este Produto

Educacional), limitando o desenvolvimento do Raciocínio Combinatório em algumas

habilidades.

Em contrapartida, é apresentado na Base Nacional Comum Curricular (2017) que os

alunos sejam levados a lidar com Problemas de Contagem (para uma discussão sobre o tema,

ver PEREIRA, 2020) a partir dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, sendo possível que o

docente explore diferentes recursos para resolver Problemas de Contagem. Por isso, busca-se

9

com esse Guia de Atividades, apresentar uma proposta de ensino que explore outras maneiras

de pensar a Combinatória e/ou Problemas de Contagem, visando o possível aprimoramento do

Raciocínio Combinatório.

O Produto Educacional exposto a seguir é composto por sete capítulos, sendo o

primeiro e segundo capítulos, apresentação e introdução, respectivamente. No terceiro capítulo

são apresentados os aspectos iniciais sobre o Guia de Atividades e como a proposta deste

Produto Educacional está constituída.

No quarto capítulo são apresentadas noções e diferentes exemplos de Grafos, o que se

entende necessário para o desenvolvimento da proposta. Ainda neste capítulo é apresentado um

Teorema da literatura de Grafos que faz parte da proposta do Produto Educacional e distintas

possibilidades de argumentá-lo.

No capítulo seguinte, é exposto a contextualização do Produto Educacional, em que é

evidenciado a forma como esse foi elaborado e quais são os aspectos do contexto considerado

para resultar nessa proposta.

No sexto capítulo, são apresentados os passos da proposta em sala de aula e quais as

etapas que compõem, apresentando as possíveis alterações que poderão ser realizadas a fim de

tornar o Produto Educacional aplicável em qualquer realidade. Por fim, são apresentadas as

considerações finais deste Produto.

10

3 ASPECTOS INICIAIS

O Guia de Atividades apresentado como Produto Educacional é um material

instrucional que visa contribuir na realização de práticas pedagógicas de professores que

pretendem ensinar Combinatória e/ou Problemas de Contagem.

O Guia de Atividades foi elaborado visando ser aplicado em turmas dos Anos Finais

do Ensino Fundamental, não sendo específico para apenas uma turma. Por se tratar de uma

proposta alterável de acordo com a realidade em questão, pode ser aplicada em turmas de 6º à

9º ano do Ensino Fundamental, ou até mesmo para turmas de Ensino Médio.

A proposta apresentada nesse Guia de Atividades é composta por três etapas, visando

somente uma organização da abordagem, com duração de aproximadamente cinco aulas, ou dez

períodos. Essa proposta foi elaborada visando acrescentar no ensino de Combinatória,

relacionando o contexto em que os alunos estão inseridos com conhecimentos matemáticos.

4 GRAFOS COMO ALTERNATIVA PARA ENSINO DE COMBINATÓRIA

4.1 GRAFOS

Para realização desse Guia de Atividades, explorou-se a Análise Combinatória e/ou

Problemas de Contagem a partir de conceitos da Teoria de Grafos, em que problemas de Grafos

são solucionados a partir de Problemas de Contagem.

Para esta proposta, pensou-se em abordar questões da Teoria de Grafos, sem

propriamente fazer uso de suas nomenclaturas, esperando que devidas aprendizagens e relações

aconteçam naturalmente. Desta forma, apresenta-se de forma sucinta, algumas definições para

Grafos, apenas para conhecimento do leitor desse Produto Educacional, com intuito de

contribuir nas intervenções durante a aplicação da proposta, realizada pelo docente.

Um Grafo é constituído por um conjunto finito de elementos, chamados de vértices

(ou nós), e relações entre seus elementos, chamadas de arestas, de modo não ordenado, que

nada mais são do que as ligações ou conexões entres seus vértices (nós).

Normalmente representamos um Grafo fazendo a seguinte relação: cada nó é

representado por um ponto e as arestas são curvas ligando estes pontos. A seguir apresenta-se

alguns exemplos de Grafos, que foram construídos a partir do software GeoGebra:

11

FONTE: A autora (2020).

Na figura 1, temos um Grafo com três nós A, B, C e três arestas d, e, f.


Na figura 2, temos outro Grafo, sendo este com quatro nós A, B, C, D e cinco arestas

e, f, g, h, i.

Na representação do Grafo a seguir, temos três nós A, B, C e três arestas d, e, f sendo

que a aresta e chamamos de laço, pois é uma aresta que incide sob o mesmo nó.


FIGURA 1 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 3 NÓS E 3 ARESTAS

FIGURA 2- REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 4 NÓS E 5 ARESTAS

FIGURA 3 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 3 NÓS, 2 ARESTAS E UM

LAÇO

12

Entende-se que há inúmeras propriedades e aplicações para a Teoria de Grafos, mas a

proposta deste trabalho limita-se exemplificar apenas os conhecimentos necessários para a

aplicação do Guia de Atividades. Definições para diferentes tipos de Grafos podem ser

encontradas em Bondy e Murty (1976).

Outro ponto a ser abordado é sobre a definição do grau de um nó. De acordo com

Santos, Mello e Murari (p. 299, 2007), “o grau de um nó é o número de arcos incidentes no nó,

sendo que cada laço conta como dois arcos”.

Retoma-se então, os três exemplos anteriores para exemplificar os graus dos nós. A

seguir é exposto uma tabela, com a representação do Grafo, os nós do Grafo e o grau de cada

nó.

TABELA 1 - REPRESENTAÇÃO DE GRAFOS, OS NÓS DE CADA GRAFO E O GRAU DE CADA

NÓ

Figura Nós Grau

Figura 1 A

B

C

A tem grau 2

B tem grau 2

C tem grau 2

Figura 2

A

B

C

D

A tem grau 3

B tem grau 3

C tem grau 2

D tem grau 2

Figura 3

A

B

C

A tem grau 1

B tem grau 4

C tem grau 1


13

Nesta tabela, foi possível identificar o grau de cada nó, o que será muito importante na

execução do Guia de Atividades.

Para dar seguimento ao Guia de Atividades, enuncia-se um Teorema já conhecido na

literatura, onde tal pode ser encontrado juntamente com a demonstração em Santos, Mello e

Murari (2007):

Teorema O número de nós de grau ímpar de um grafo é par.

Demonstração. Para realizar a demonstração desse teorema, pode-se utilizar os conceitos de

paridade. Primeiramente separa-se o somatório dos graus dos nós em duas parcelas, sendo que

a primeira contém os graus pares e a segunda os graus ímpares. Então, considerando o Grafo G

= (N, A), onde 𝑑𝑖 é o grau do nó 𝑖, tem-se:

2|𝐴| =∑𝑑𝑖𝑖∈𝑁

= ∑ 𝑑𝑖𝑖∈𝑁∨𝑑𝑖𝑝𝑎𝑟

+ ∑ 𝑑𝑖𝑖∈𝑁∨𝑑𝑖í𝑚𝑝𝑎𝑟

.

A primeira parcela do somatório contém os graus pares e a segunda os graus ímpares,

então, a primeira parcela é par, mas como a soma das duas parcelas também é par, a segunda

parcela também é par. ∎

Para exemplificar este teorema, pode-se observar a representação de um Grafo (Figura

4) a seguir . Os nós representados pela cor vermelha A, B, C e E são nós de grau ímpar, pois

possuem números ímpares de ligações. E o nó D representado pela cor azul é o nó de grau par,

pois possui um número par de ligações.



14

Nota-se que o somatório dos nós de grau ímpar é 14 (A = 5, B = 3, C = 3 e E = 3) e o

somatório dos nós de grau par é 2 (D = 2).

Em consequência deste Teorema, tem-se o corolário a seguir:

Corolário: A soma dos graus dos nós de um grafo é igual ao dobro do número de arcos.

Para demonstrar esse corolário, basta observar que ao somar os graus, conta-se duas

vezes cada arco, ou seja, uma vez em cada extremidade. ∎

4.2 UMA PROBLEMATIZAÇÃO: POSSIBILIDADES DE ARGUMENTAÇÃO SOBRE O

TEOREMA

Neste momento, são apresentadas três possibilidades de argumentação que podem ser

exploradas no âmbito do ensino de Combinatória. Essas possibilidades foram argumentadas a

partir de exemplos que podem ser vistos na sequência:

1) A partir de um Grafo sem arestas:

Inicia-se de modo ilustrativo com esse Grafo:


Retirando todos as arestas deste Grafo, tem-se a seguinte representação, um Grafo

somente com nós:


15


Neste momento, os nós possuem grau zero, pois não existem ligações entre eles.

Posteriormente incluí-se uma primeira aresta, ligando o nó A e o nó B. Porém, percebe-se que

ao incluir uma aresta inicial, dois nós que tinham grau zero, agora possuem grau 1. Ou seja,

dois nós (um número par) possuem um número ímpar de ligações.


O mesmo ocorre se formos incluíndo arestas aos demais nós. Tínha-se, após incluir a

primeira aresta, três nós de grau zero e dois nós de grau 1. Ao incluir uma aresta, entre o nó B

e o nó C, tem-se então um nó de grau 2 e dois nós de grau 1 e os demais grau zero.


FIGURA 6 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 5 NÓS

FIGURA 7 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COM 5 NÓS E 1 ARESTA


16

Ao incluir demais arestas, uma a uma até obter o grafo inicial desejado, tem-se sempre

um número par de ligações ímpares em cada passo do raciocínio. Nota-se que neste momento

é interessante uma problematização que essa argumentação não é específica ao exemplo

escolhido.

2) A partir de um Grafo completo:

Inicia-se de modo ilustrativo com esse Grafo:


Para que seja possível representar este Grafo, deve-se partir do primeiro nó e

acrescentar nós e arestas até chegar ao desejado, ou então, de modo contrário partir de um Grafo

Completo e retirar arestas até chegarmos no Grafo desejado.

Na figura 9, temos um Grafo com cinco nós A, B, C, D, E, sendo que dois nós têm

grau dois, dois nós têm grau três e um nó tem grau quatro.

Na Teoria de Grafos, um Grafo Simples é aquele que não possui laços e também não

possui arestas paralelas, ou seja, não há duas arestas incidentes sobre o mesmo par de nós. Já

um Grafo é dito completo, se além de Simples, todo par de vértices é ligado por uma aresta, ou

seja, é um Grafo Simples que contém o número máximo de arestas. A seguir é exposto um

exemplo de um Grafo Completo:



FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DE UM EXEMPLO DE GRAFO COMPLETO

17

Percebe-se que na representação deste Grafo Completo, tem-se cinco nós A, B, C, D,

E e que cada nó tem grau 4, pois faz quatro ligações com os demais nós. O que se quer

argumentar aqui, é que ao retirar algumas arestas, uma por uma, para chegarmos ao Grafo da

figura 9, o Teorema ainda segue sendo verificado.

Ao retirar uma aresta (neste caso retira-se a aresta que estava ligando os nós B e D)

tem-se então três nós de grau par e dois nós de grau ímpar, pois ao retirar uma aresta, dois nós

diminuem o seu grau em uma unidade cada.


Dessa mesma forma, ao retirar as demais arestas até chegar na representação desejada,

o Teorema seguirá sendo verificado, pois um par de nó sempre mudará seu grau.

Outro ponto que é possível observar a partir dessa possibilidade de argumentação, é

considerar que um nó de um Grafo Completo sempre realiza ligações com todos os demais nós,

sem contar ele mesmo, então pode-se considerar o nó de um Grafo Completo com 𝑛 − 1 número

de ligações, tendo 𝑛 como nó. Um exemplo é a figura 10 que representa um Grafo Completo

com 5 nós e cada nó possui grau 4, ou seja quatro ligações.

Tem-se um Grafo com 𝑛 nós e 𝑛 é um número par, então tem-se o número de ligações

𝑛 − 1, pelo conceito de paridade esse número será ímpar, isto é, o Teorema se verifica nesse

caso. Observa-se que para chegar em um Grafo desejado, deve-se retirar uma quantidade finita

de arestas e em cada etapa o Teorema segue sendo verificado. Portanto, tem-se uma

argumentação que ilustra o Teorema. Nota-se que, analogamente, sendo 𝑛 um número ímpar o

resultado também se conclui facilmente.

3) Argumentar a partir de exemplos:

Para essa possibilidade de argumentação, segue o que está sendo proposto neste

Produto, onde pretende-se buscar diversos exemplos, de caráter ilustrativo, para que seja

possível criar um argumento que valide o Teorema, onde caminha-se para demonstração.


18

5 CONTEXTUALIZAÇÃO DO PRODUTO EDUCACIONAL

A proposta deste Produto Educacional relaciona os conhecimentos matemáticos, mais

especificamente o ensino de Análise Combinatória, através do Teorema apresentado

anteriormente com a Educação Ambiental, para relacionar um contexto específico com as

aprendizagens.

A Educação Ambiental não é tida como uma disciplina singular, mas sim um assunto

que deve ser abordado em diferentes propostas de ensino, de forma interdisciplinar. Na

dissertação (PEREIRA, 2020), que ressultou nesse Produto Educacional, é possível visualizar

algumas discussões acerca da legislação que constitui a Educação Ambiental.

Dessa forma, pensando em uma proposta contextualizada, será abordada a Educação

Ambiental através do estudo de fertilizantes, pensando esta como uma questão ambiental a ser

abordada, onde as discussões sobre essa temática podem ser vistas na dissertação que resultou

neste trabalho (PEREIRA, 2020).

Será realizada uma análise de moléculas que compõem alguns fertilizantes e

posteriormente explorado uma forma possível para relacionar esses conhecimentos ao Teorema

apresentado, fazendo relações à Matemática, mas especificamente a Problemas de Contagem.

Com a intenção de propor algo que estivesse de certa forma associado a um contexto

específico pensou-se em buscar os fertilizantes, pois elaborou-se este Guia de Atividades para

uma realidade de uma Escola com sede no interior, onde a principal atividade econômica das

famílias é a plantação de soja e arroz. Desta forma, dando ênfase aos fertilizantes, seria possível

relacionar os conhecimentos que os alunos possuem, que são externos à escola, aos

conhecimentos matemáticos.

Como sugestão de propostas contextualizadas, propõem-se ajustar a temática de

acordo o contexto a ser trabalhado. Por exemplo, ao invés do tópico fertilizantes sugere-se o

estudo de fármacos ou então de suplementos alimentares.

Ainda assim, como destacado na dissertação que resultou neste Produto Educacional

(PEREIRA, 2020), entende-se que na teoria de Grafos há conceitos que apresentam um sentido

abstrato e que na composição da molécula não faria sentido. Como, por exemplo, os laços que

são arcos associados a um único nó, ou então os problemas de caminhos mínimos, como por

exemplo as Pontes de Konigsberg, citadas em um problema resolvido por Euler em 1736

(SANTOS, MELLO E MURARI, 2007) em que não faz sentido um caminho entre átomos.

Porém, a proposta desse trabalho visa ilustrar conceitos de contagem simultaneamente

com classes de moléculas de alguns fertilizantes. Para isso, é estabelecida a relação de um Grafo

19

com uma molécula da seguinte forma: enquanto o conjunto de nós do Grafo estão em bijeção

com o conjunto formado pelos átomos, o conjunto que define os arcos (arestas), um ente da

teoria de Grafos, estão relacionados bijetivamente com as ligações de cada átomo de uma

molécula.

A seguir, tem-se um exemplo da proposta a partir de uma representação. Na tabela a

seguir, é destacada a representação da molécula de um fertilizante (Amônia) e a representação

dessa molécula como um Grafo.

TABELA 2 - EXEMPLO DE UMA REPRESENTAÇÃO DE MOLÉCULA E REPRESENTAÇÃO EM

GRAFOS

Representação da molécula de amônia (𝑁𝐻3) Representação em Grafos


20

6 PASSOS DA PROPOSTA EM SALA DE AULA

A seguir é apresentada uma tabela com informações gerais sobre o Guia de Atividades

ao leitor que planeja fazer uso desta proposta.

TABELA 3 - INFORMAÇÕES GERAIS SOBRE O GUIA DE ATIVIDADES

Informações Gerais sobre o Guia de Atividades

Modalidade de Ensino Ensino Fundamental – Anos Finais

Número de Aulas Possivelmente 5 aulas, ou 10 períodos

Tema Problemas de Contagem, ênfase em Grafos

Fonte: A autora (2020).

• Primeira etapa da Proposta

Como primeira etapa da proposta, inicia-se o estudo de Combinatória, através de

alguns Problemas de Contagem. Esses problemas poderão ou não estar ligados a temática do

estudo, porém são questões básicas que visam explorar o Raciocínio Combinatório, conceito já

discutido anteriormente.

Os problemas sobre Combinatória apresentados terão como enfoque questões

relacionadas a princípios aditivos e multiplicativos, combinação, permutação, arranjo, grafos,

princípio da casa dos pombos. Porém, deseja-se que esses conceitos sejam apresentados de

forma natural, por isso não será discutido com os alunos as nomenclaturas ou fórmulas para

chegar em uma solução, sendo que essas discussões já foram apresentadas na dissertação

(PEREIRA, 2020). Não espera-se também que os alunos encontrem soluções prontas e que após

encontrarem soluções sejam realizadas correções desses problemas. Mas que estes sejam o

caminho para discussões sobre a temática.

Os Problemas selecionados e elaborados a seguir tiveram como enfoque explorar

conceitos de Combinatória. Por isso, os primeiros problemas baseiam-se em questões de

princípios aditivos e multiplicativos, combinação, permutação e arranjo. Nas questões 5 e 6 são

apresentados problemas sobre caminhos. Observa-se que um caminho na Teoria de Grafos é

uma sequência de vértices (ou nós) em que de cada um dos vértices existe uma aresta para o

vértice seguinte. O problema 5 é um problema de caminho que está associado a Grafos

Eulerianos, onde um Grafo é dito Euleriano se, e somente se, os graus de todos os nós são pares.

Para que seja possível percorrer um Grafo Euleriano e passar em todos os trajetos, sem repetir

o caminho, basta começarmos com um nó qualquer e ir incrementando uma unidade de nó.

Assim, para cada entrada no caminho haverá uma saída, portanto todos os nós serão pares.

21

Há também o caso dos caminhos em Grafos com nós ímpares, porém para que seja

possível passar por todas as arestas, sem repeti-las, é necessário que este Grafo tenha no

máximo dois nós de grau ímpar, estando limitado em começar e terminar o caminho em um nó

específico, ou seja, nos nós de grau ímpar.

Já o problema 6, que também pode ser um problema de caminho, é um desafio. É

interessante incluir desafios, visto pelos alunos como brincadeiras nas aulas de Matemática. Há,

em certos casos, um engajamento dos alunos em buscar soluções, sem ao menos se darem conta

que estão fazendo Matemática.

No problema 7, que envolve recortes de revistas, o aluno poderá usar os recortes para

preencher a primeira linha e a primeira coluna da tabela e completá-la reproduzindo os recortes

através de desenhos.

Com intuito de contemplar a Base Nacional Comum Curricular (2017) buscou-se

explorar também o Princípio da Casa dos Pombos, abordado na questão número 8. E sobre a

Teoria de Grafos, apresentou-se um problema de caminho mínimo (ou menor custo) na questão

número 9, que apesar da complexidade poderá descencadear muitas discussões. Outro problema

de caminho mínimo pode ser visto em Baltazar e Pereira (2018).

A seguir serão apresentados os problemas que darão início a esse estudo, sendo

possível incluir outros problemas, de acordo com a necessidade. Ressalta-se que não há

soluções dos problemas a seguir, com intuito de propiciar um momento de engajamento do

leitor.

Problemas de Contagem

Problema 1

Suponhamos que em uma sorveteria tenham 5 sabores de picolés e 3 sabores de sorvetes e

que Maria tenha permissão para escolher apenas um picolé e um sorvete. Quantos são os

possíveis pedidos que Maria poderá fazer? (Problema parcialmente inspirado SANTOS,

MELLO E MURARI, 2007)

Problema 2

Imagine que João vai até a pecuária e encontra 4 marcas diferentes de ração para gado e 3

marcas diferentes de ração para cavalo. Supondo que João deverá escolher uma ração para o

gado e uma ração para o cavalo, quais são as possíveis compras que ele irá fazer.

22

Problema 3

Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática e 7 livros diferentes de física e

permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?

(SANTOS, MELLO E MURARI, 2007)

Problema 4

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 5, 6 e 7?

(SANTOS, MELLO E MURARI, 2007)

Problema 5

Guilherme deseja ir ao centro da cidade pagar algumas contas e realizar algumas compras.

Ele precisa ir até a farmácia, ao mercado, a padaria, a agropecuária e a relojoaria. Será

possível pensar em um trajeto para Guilherme, em que ele passe em todos os lugares sem

repetir o mesmo caminho?


23

Problema 6

Desafio: Em quais desses desenhos abaixo, você consegue passar o lápis por todos os pontos

da figura sem levantar o lápis do papel e sem passar duas vezes pelo mesmo caminho?


Problema 7

Com recortes de revista, preencha a tabela a seguir e descreva as combinações possíveis,

sabendo que deverá escolher uma camiseta e uma bermuda:


24

Problema 8

Quantas pessoas, no mínimo, precisam estar em uma mesma sala para ter certeza de que pelo

menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia?

Problema 9

Neste problema são apresentados os custos de cada caminho a partir da linha de ônibus da

cidade. Determinar o caminho com o menor custo partindo da Casa do João até a escola.

Fonte: Jurkiewicz, 2009.

• Segunda etapa da proposta

Na segunda etapa da proposta, será realizado um estudo sobre alguns fertilizantes.

Neste momento, ocorrerá um levantamento sobre o que os alunos já sabem sobre esse tema e

também quais os tipos de fertilizantes que conhecem. Neste momento o professor ofertará para

o aluno um Cenário para Investigação, citado por Skovsmose (2000).

Nas discussões sobre essa temática, poderão ser realizados os seguintes

questionamentos:

- O que você conhece sobre fertilizantes?

- Seus familiares fazem uso de fertilizantes nas plantações? Se sim, quais?

25

- Vocês percebem diferença na qualidade da produção ao fazer uso de fertilizantes?

- Você reconhece a diferença entre fertilizantes e agrotóxicos?

Após esse momento, selecionados alguns fertilizantes e/ou moléculas presentes nos

mesmos, propõem-se uma análise das características químicas, ou seja, identificar quais são os

átomos presentes em suas estruturas e quais as ligações existentes. Neste momento, sugere-se

que os alunos façam uso do material Kit Molecular (ATOMLIG ® 107 Educação) para

reproduzir as moléculas.


Ressalta-se que, alternativamente, esse material poderá ser construído pelos alunos

com palitos e bolinhas de isopor, fazendo com que este facilite no processo de contagem.

Na tabela abaixo é apresentado os elementos que compõem o Kit Molecular. De

maneira similar, esse Guia pode ser utilizado para outras moléculas pois o Teorema é válido

para outras moléculas, não somente de fertilizantes. Na primeira coluna, é exibido a cor e o

formato dos objetos e na segunda coluna a representação atômica do elemento.

TABELA 4 - ELEMENTOS QUE COMPÕEM O KIT MOLECULAR

Kit Molecular

Tipo Representação Atômica

Esfera Preta Átomos de carbono

Esfera Azul Átomos de nitrogênio ou cloro

Esfera Verde Átomos de fósforo

Esfera Vermelha Átomos de oxigênio

Esfera Amarela Átomos de potássio

Esfera Branca Átomos de hidrogênio

Esfera Laranja Átomos metálicos e Íons

Haste Reta Branca Ligações covalentes ou moleculares

Haste Curva Branca Ligações covalentes ou moleculares

Pino Branco Ligações covalentes ou moleculares

Haste Reta Laranja Ligações metálicas ou iônicas

Haste Curva Laranja Ligações metálicas ou iônicas

Pino Laranja Ligações metálicas ou iônicas

FIGURA 12 - EXEMPLO DE MOLÉCULA DE AMÔNIA (𝑁𝐻3) REPRESENTADA

COM O KIT MOLECULAR

26


Neste momento, um processo natural é a contagem do número de ligações que cada

átomo faz com os demais; o que resulta em características da estrutura. Assim, os alunos estarão

realizando um processo de contagem e induzindo, talvez de modo não explícito, o estudo de

Combinatória. A seguir, será apresentado alguns exemplos de moléculas de fertilizantes que

poderão surgir e quais são as abordagens que possivelmente serão exploradas a partir do

Teorema, ressaltando que não há necessidade de citar as nomenclaturas e o Teorema em si.

TABELA 5 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE AMÔNIA

Nome: Amônia

Fórmula Química:(𝑁𝐻3)

Representação da Molécula Representação em Grafos

Representação da Molécula com Kit Molecular

Determinar a paridade do grau de cada nó, ou seja, contar o número de ligações de

cada átomo separadamente ilustrando o Teorema

Contagem de ligações

Azul - N (Nitrogênio): 3

Branco – H (Hidrogênio): 1



São quatro (número par) átomos com número

ímpar de ligações


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TABELA 6 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE NITRATO

Nome: Nitrato Fórmula Química: 𝑁𝑂3 −






Azul – N (Nitrogênio): 4

Vermelho – O (Oxigênio): 2



São dois (número par) átomos com número

ímpar de ligações


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TABELA 7 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE UREIA

Nome: Ureia Fórmula Química: 𝐶𝐻4𝑁20








Branco - H (Hidrogênio): 1




Vermelho - O (Oxigênio): 2

Preto - C (Carbono): 4

São seis (número par) átomos com número

ímpar de ligações, são eles: nitrogênio, nitrogênio,

hidrogênio, hidrogênio, hidrogênio e hidrogênio.

Os átomos de oxigênio e carbono possuem

número par de ligações.


29

TABELA 8 - ABORDAGENS SOBRE O FERTILIZANTE NITRATO DE POTÁSSIO

Nome: Nitrato de Potássio Fórmula Química: 𝐾𝑁𝑂3






Azul – N (Nitrogênio): 4




Amarelo – P (Potássio): 1

São dois (número par) átomos com número

ímpar de ligações, são eles: oxigênio e potássio


• Terceira etapa da proposta

Para finalização da proposta e última etapa, os alunos realizarão a construção das

moléculas no Aplicativo KingDraw (imagem em anexo) como forma de registro. Ressalta-se

ainda que os registros poderão ser realizados em forma de desenho nos cadernos, ou até mesmo

os próprios palitos com bolinhas de isopor.

30

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Espera-se que a aplicação desse Guia de Atividades possa contribuir no ensino de

Combinatória e que o docente tenha possibilidade de experienciar uma proposta que oportunize

os alunos a serem ativos no processo, bem como estejam engajados em um atividade

contextualizada e mais que isso, que o professor sinta-se cômodo a inventar, propor e

experimentar maneiras no explorar o ensino.

A importância de incluir na Educação Básica propostas de ensino que possibilitem o

aluno buscar soluções e vivenciar novas experiencias, permite uma reflexão sobre a inclusão de

Grafos no Ensino Fundamental. Mesmo este conteúdo não sendo obrigatório na Educação

Básica, foi possível pensar em um Guia de Atividades que possibilite o aperfeiçoamento do

Raciocínio Combinatório, através de Problemas de Contagem.

É notório que uma aplicação, juntamente com uma análise dos resultados desse Guia

de Atividades, iria desencadear novos desdobramentos que contribuíssem para o

aperfeiçoamento do Produto Educacional. Portanto, espera-se que o docente ao fazer uso deste

Produto, adapte-o para que este possa contribuir no ensino de Combinatória e/ou possa inspirar

os professores a pensarem em novas propostas.

Finalmente, a estruturação desse Guia de Atividades esteve voltada para uma

aplicação, de certo modo, nada trivial fazendo com que os alunos possam experenciar outras

maneiras de pensar a Combinatória, possibilitando novos desdobramentos para o Raciocínio

Combinatório.

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REFERÊNCIAS

BONDY, J.A. and MURTY, U.S. Rama. Graph theory with applications. MacMillan, 1976.

BALTAZAR, Rene. PEREIRA, Letícia. O estudo de Grafos: uma proposta investigativa.

Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.20, n.2, pp. 334-348, 2018. Disponível em:

<https://revistas.pucsp.br/emp/article/view/38665>. Acesso em janeiro de 2019.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017.

Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-

20dez-site.pdf > Acesso em janeiro de 2019.

D’AMBRÓSIO. Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. – 23ª ed.- Campinas,

SP: Papirus, 2012.

JURKIEWICZ, S. Grafos – Uma Introdução. 2009. Disponível em:

<www.obmep.org.br/docs/apostila5.pdf> Acesso em 3 de março de 2018.

PEREIRA, Letícia C. A Educação Matemática Tangenciando a Educação Ambiental: Uma

proposta a partir do Ensino de Combinatória. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências

Exatas) – Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas, Universidade Federal do

Rio Grande, Santo Antônio da Patrulha, 2020.

SANTOS, J.P.O.; MELLO, M.P. e MURARI, I.T.C. Introdução à Análise Combinatória.

Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2007.

SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. BOLEMA – Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, n. 14, p. 66-91, 2000.

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ANEXOS

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ANEXO 1 - APLICATIVO INDICADO NA PROPOSTA

KingDraw

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