ÁLGEBRA...Existe o número um e ele é um número natural. (∃ 1)(1∈ℕ) Giuseppe Peano (1858-1932), foi um matemático italiano. Dentre suas principais contribuições destacamos

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

FUN

ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil


Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Álgebra e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, abril de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem histórica 01

2 Abordagem algébrica 05

2.1 Construção dos números naturais 05

2.2 Aritmética dos números naturais 07

2.2.1 Operação de adição 07

2.2.2 Subtração 10

2.2.3 Operação de multiplicação 11

2.2.4 Divisibilidade 12

3 Abordagem geométrica 15

3.1 Representação geométrica dos números naturais 15

4 Abordagem computacional 17

4.1 Representação dos números naturais 17

4.2 Algoritmos 18

5 Abordagem prática 24

6 Abordagem avançada 35

7 Referências bibliográficas 36


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A palavra aritmética, deriva de arithmós, que no grego significa números.

2 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta as origens da humanidade.

3 De acordo com Euclides, unidade é aquilo segunda a qual cada uma das coisas existentes é dita uma e número é a quantidade composta de unidades.

4 Há milênios, o ser humano usa números para contar coisas da natureza, daí o uso da expressão "números naturais".

5 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o osso de Lebombo, data de aproximadamente 35.000 A.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo ou como uma unidade de medida.

François Viète (1540-1603), foi um matemático francês. Dentre suas contribuições, destacamos a álgebra simbólica, que foi utilizada na sua principal obra Introduction to the Analytic Art, de 1591.

ABORDAGEM HISTÓRICA TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

1



Foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia. As incisões que aparecem nesse osso, podem ter sido as primeiras representações de números na nossa história.

6 Com o desenvolvimento das civilizações, vários símbolos foram utilizados para representar os números. No entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque. Com a publicação da obra Liber Abaci de Fibonacci em 1202, esses algarismos foram amplamente difundidos na Europa, sendo considerado por muitos uma das maiores descobertas da matemática.

7 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática. Nesse sistema, as operações elementares são realizadas de forma semelhante à de um ábaco no papel.

8 Nos sistemas numéricos não posicional, utilizado durante muito tempo, a posição do algarismo não tem significado específico, por exemplo no sistema romano. Já nos sistemas numéricos posicional, a posição de cada algarismo é importante e tem um significado específico.

9 Com a aceitação do sistema de numeração hindu-arábico, o sistema decimal passou a ser um sistema posicional adotado internacionalmente para expressar medidas do cotidiano, ele utiliza a base dez; isto é, seus algarismos (ou dígitos) são elementos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, … , 9}. Nesse

Fig. 1. Osso de Lebombo



sistema a posição ocupada por cada algarismo do número é importante, por exemplo, para o número natural 234; 4 informa que este número possui a quantidade de 4 unidades; 3 informa que este número possui a quantidade de 3 dezenas de unidades; 2 informa que este número possui a quantidade de 2 centenas de unidades.

10 Ao longo da história humana, sistemas numéricos com bases

diferentes foram utilizados em diferentes regiões do planeta, mas com o desenvolvimento das línguas modernas a base dez ganha destaque. Os computadores atuais, em geral, utilizam o sistema de numeração posicional cuja base é dois. Nesse sistema, qualquer número pode ser expresso por combinações de zeros e uns.

11 Na antiguidade, o ser humano realizava as operações de adição e multiplicação com o auxílio de pedras, bastões entalhados, nós de cordas, regiões do corpo humano, tábuas de calcular, ábacos, dentre outras formas. Atualmente, supercomputadores utilizam algoritmos para fazer cálculos altamente complexos.

12 No fim do século XVI, o matemático francês François Viète introduz letras para representar números. A notação simbólica literal para os números, trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática.

Fig. 2. O Stepped Reckoner de Leibniz foi a primeira calculadora que podia realizar as quatro operações aritméticas.

https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Stepped_Reckoner&action=edit&redlink=1



13 Com a crise dos fundamentos da matemática e o programa de formalização da matemática, nasce nos anos 1960 e 1970 a chamada Matemática Moderna.

14 Somente no século XIX, Giuseppe Peano, apresenta um

conjunto de axiomas para a formalização da aritmética dos

números naturais em The principles of arithmetic, presented by a new method publicado em 1889.



1 Uma construção axiomática para o conjunto dos números

naturais, simbolizada por ℕ, foi apresentada pelo matemático

italiano Giuseppe Peano (1858-1932), também conhecida como Axiomas de Peano:

2 Axioma 1. Existe o número um e ele é um número natural.

(∃ 1)(1 ∈ ℕ)

Giuseppe Peano (1858-1932), foi um matemático italiano. Dentre suas principais contribuições destacamos os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal.

Definição 1. Um sistema matemático 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamado de sistema numérico se:

i) φ e ψ são operações binárias associativas; ii) φ e ψ são operações binárias comutativas; e iii) uma das operações é distributiva com relação à

outra. Neste caso, um elemento desse sistema x ∈ E é chamado de número.

2.1 Construção dos números naturais

ABORDAGEM ALGÉBRICA TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

2

http://pt.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano

http://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano



3 Axioma 2. Todo número natural possui um único sucessor.

(∀ x)(∃! x∗)

4 Axioma 3. O sucessor de qualquer número natural é diferente do número um.

(∀x)(x∗ ≠ 1)

5 Axioma 4. O sucessor define uma relação unária injetora.

(∀ x)(∀ y)((x∗ = y∗) → (𝑥 = 𝑦))

6 Axioma 5. O conjunto dos números naturais é o menor conjunto que possui o um e a propriedade de que para todos os seus elementos o seu sucessor também pertence a ele.

ℕ ⇔ (𝜄𝑦)(∀ x)((𝑥 = 1) ∧ (x ∈ y → x∗ ∈ 𝑦))

7 Desses axiomas, segue que

(∃ 1)(1 ∈ ℕ) (∃ 1∗)((1∗ ∈ ℕ) ∧ (1∗ ≠ 1))

(∃ (1∗)∗)(((1∗)∗ ∈ ℕ) ∧ ((1∗)∗ ≠ 1) ∧ ((1∗)∗ ≠ 1∗))

8 Esse processo continua indefinidamente; e, portanto,

ℕ = {1, (1∗), (1∗)∗, … }.

9 Os elementos desse conjunto 1, (1∗), (1∗)∗, … são chamados de números naturais são também denotados por 1, 2, 3, … e recebem os nomes de um, dois, três, …, respectivamente. Esses números podem ser classificados como cardinais ou ordinais;



um número natural é visto como cardinal se ele determina a quantidade dos elementos constituintes de um determinado conjunto ou ordinal se ele representa a ordem que um determinado elemento ocupa dentro de um conjunto. Cantor denotou a quantidade de elementos do conjunto dos números naturais, #ℕ, por ℵ0 (lê-se: alef zero) e o classificou como um número cardinal infinito.

Definição 2. Uma operação binária sobre ℕ é uma aplicação 𝜑: ℕ × ℕ → ℕ.

Exemplo 1. Calcule a soma 1 + 1.

2.2.1 Operação de adição

2.2 Aritmética dos números naturais

Definição 3. A operação de adição sobre ℕ é uma operação binária sobre ℕ, denotada por + ∶ ℕ × ℕ → ℕ, que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x + y definido por

(∀ x)(∀ y) ((x + 1 = x∗ ) ∨ (x + y∗ = (x + y)∗ ))

e chamado de soma de x e y, os números x e y são chamados de parcelas da soma.

Definição 4. Dados x1, x2 , … , xn ∈ ℕ , n ∈ ℕ, definimos a sua soma, recursivamente por

(∀n)(∀x1)(∀x2) ⋯ (∀xn)((n > 2)) → ∑ xj

n

j=1

= (((x1 + x2 )+ ⋯ + xn−1) + xn)





1 + 1 ≝ 1∗ = 2

2 + 2 = 2 + 1∗ ≝ (2 + 1)∗ ≝ (2∗)∗ = 3∗ = 4.

∴ (1 + 1 = 2)∎

∴ (2 + 2 = 4)∎

2 + 3 = 2 + 2∗ ≝ (2 + 2)∗.

∴ (2 + 3 = 5)∎

3 + 2 = 3 + 1∗ ≝ (3 + 1)∗.

(3 + 1)∗ = (3∗)∗ = 4∗ = 5.

∴ (3 + 2 = 5)∎

Exemplo 5. Calcule a soma 3 + 2 + 1.

3 + 2 + 1 ≝ (3 + 2) + 1 ≝ (3 + 2)∗.

(3 + 2)∗ = 5∗ = 6.

(2 + 2)∗ = 4∗ = 5.




∴ (3 + 2 + 1 = 6)∎

Escólio. Essa propriedade estabelece uma relação de ordem em ℕ.

Definição 5. Dizemos que y é maior que x se existir um z tal que y é a soma de x e z.

(y > x) ⇔ (∃z )(y = x + z). Neste caso, também dizemos que x é menor que y e denotamos por x < y.

Lei da Tricotomia. (∀x)(∀y)(𝑥 = 𝑦) ∨ (𝑦 > 𝑥) ∨ (𝑦 < 𝑥).

Definição 6. Dizemos que x é menor ou igual a 𝑦 se 𝑥 for igual a 𝑦 ou se x for menor que 𝑦.

(x ≤ y) ⇔ (𝑥 = 𝑦) ∨ (𝑥 < 𝑦).

(∃3)(5 = 2 + 3).

∴ 5 > 2∎

Exemplo 6. Mostre que 5 > 2.

(∃2)(5 = 3 + 2).

∴ 3 < 5∎

Exemplo 7. Mostre que 3 < 5.



NOTAÇÕES

• [a, b] ⇔ {x: a ≤ x ≤ b} ≝ { x: (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} • ]a, b] ⇔ {x: a < x ≤ b} ≝ { x: (a < x) ∧ (x ≤ b)} • [a, b[⇔ {x: a ≤ x < b} ≝ { x: (a ≤ x) ∧ (x < b)} • ]a, b[⇔ {x: a < x < b} ≝ { x: (a < x) ∧ (x < b)} • ]a, +∞[⇔ {x: a < x} • [a, +∞[⇔ {x: a ≤ x} • ℕ ⇔ [1, +∞[⇔ {x: 1 ≤ x < +∞}.

Exemplo 8. Mostre que 2 ≤ 3.

(2 < 3) ⇔ (∃1)(3 = 2 + 1).

Definição 7. A subtração em ℕ é uma lei de composição − ∶ {(x, y): (x > y)} → ℕ, que a cada par (x, y) associa o número natural z, denotado por 𝑧 = x − y e definido por

(x > y) ⇔ (∃z)(x = y + z), e chamado de diferença de x e y. Os números x e y são chamados de minuendo e subtraendo, respectivamente.

∴ (2 ≤ 3)∎

Neste caso, diremos também que y é maior ou igual a 𝑥 e denotamos y ≥ x.

2.2.2 Subtração



Exemplo 9. Calcule 5 − 2.

(5 > 2) ⇔ (∃3)(5 = 2 + 3).

∴ (5 − 2 = 3)∎

Exemplo 10. Mostre que (∄(2 − 5)).

(∃(2 − 5)) ↔ (∃z)(2 = 5 + z) → (2 > 5) ∧ (2 < 5).

Isso contraria e Lei da Tricotomia

∴ (∄ (2 − 5))∎

Definição 8. A operação de multiplicação em ℕ é uma aplicação binária ∙ ∶ ℕ × ℕ → ℕ , que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x ∙ y, definido por

(∀x)(∀y) ((x ∙ 1 = x) ∨ (x ∙ y∗ = x ∙ y + x)),

e chamado de produto de x e y , os números x e y são chamados de fatores do produto.

Definição 9. Dados x1, x2 , … , xn, n > 2, definimos o seu produto, recursivamente por:

(∀n)(∀x1)(∀x2) ⋯ (∀xn)((n > 2)) → ∏ xj

n

j=1

= (((x1 ∙ x2 ) ∙ ⋯ ∙ xn−1) ∙ xn )

2.2.3 Operação de multiplicação



2 ∙ 2 ≝ 2 ∙ 1∗ ≝ 2 ∙ 1 + 2 ≝ 2 + 2 = 4.

∴ (2 ∙ 2 = 4)∎

Exemplo 11. Calcule o produto 2 ∙ 2.

2 ∙ 3 ≝ 2 ∙ 2∗ = 2 ∙ 2 + 2 ≝ 4 + 2 = 4 + 1∗ = (4 + 1)∗ = (4∗)∗ = 6.

∴ (2 ∙ 3 = 6)∎


2 ∙ 3∗ ≝ 2 ∙ 3 + 2 ≝ 6 + 2 ≝ 6 + 1∗ = (6 + 1)∗ = (6∗)∗ = 7∗ = 8.

∴ (2 ∙ 4 = 8)∎


23 ≝ 2 ∙ 2 ∙ 2 ≝ (2 ∙ 2) ∙ 2 = 4 ∙ 2 ≝ 4 ∙ 1∗ = 4 ∙ 1 + 4 = 4 + 4 = 8.

∴ (23 = 8)∎

Exemplo 14. Calcule o produto 23.

2.2.4 Divisibilidade

Escólio. Se os fatores forem iguais; xj = x para j = 1, … , n ,

denotamos esse produto por xn. Na potência xn, os números x e n são chamados de base e expoente, respectivamente. Se na soma x1 + x2 + ⋯ + xn os fatores forem iguais; xj = x, j =

1, … , n, esta soma se transforma no produto n ∙ x.



Definição 10. Dados dois números naturais x e y, em alguns casos, podemos obter número natural q tal que x = y ∙ q ,

denota-se x

y= q. Neste caso, diremos que y é um divisor

natural ou fator de x. Também diremos que x é um múltiplo

natural de y. Denotamos y|x quando y é um divisor de x.

15 = 15 ∙ 1, 15 = 5 ∙ 3, 15 = 3 ∙ 5 e 15 = 1 ∙ 15.

∴ D(15) = { 1, 3, 5, 15}∎

Exemplo 15. D(15) = { 1, 3, 5, 15}.

2 = 2 ∙ 1, 4 = 2 ∙ 2, 6 = 2 ∙ 3, ….

∴ M(2) = { 2, 4, 6, … }∎

Exemplo 16. M(2) = { 2, 4, 6, … }.

Definição 11. Um número 𝑎 ∈ ℕ, a ≠ 1 é primo se D(a) = {1, a}; caso contrário, a é chamado de composto.

Exemplo 17. O número 11 é primo. 11 = 11 ∙ 1 e 11 = 1 ∙ 11.

∴ D(11) = { 1, 11}∎

Notação. D(x) é o conjunto dos divisores naturais de 𝐱 e M(x) é o conjunto dos múltiplos naturais de 𝐱.



Exemplo 18. O número 6 é composto. 6 = 2 ∙ 3, 6 = 3 ∙ 2, 6 = 6 ∙ 1 e 6 = 1 ∙ 6.

∴ D(6) = { 1, 2, 3, 6}∎



O x

René Descartes (1596-1650), foi um filósofo e matemático francês. Dentre suas contribuições, destacamos a obra La Géométrie (1637), que inclui a aplicação da álgebra na geometria e inicia o que chamamos de geometria cartesiana.

3.1 Representação geométrica dos números naturais

Um número natural pode ser representado geometricamente

por um ponto à direita da origem O de uma reta orientada.

Os elementos do conjunto dos números naturais, podem ser representados geometricamente, por pontos igualmente espaçados à direita da origem O de uma reta orientada. Adotada uma unidade de medida, a medida do espaçamento, determina a escala (razão entre a medida do espaçamento adotado e a unidade de medida) do sistema de representação geométrico.

ABORDAGEM GEOMÉTRICA TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

3



O 1 2 3 ⋯

1cm

1Km=

1cm

105cm=

1

105=

1

100000∎

Exemplo 19. Se a unidade de medida for Km e a medida do

espaçamento adotado for de 1 cm, então a escala será 1

100000.



Alan Turing (1912-1954), foi um matemático e cientista da computação britânico. Dentre suas principais contribuições, destacamos a máquina de Turing e a formalização do conceito de algoritmos, que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores modernos.

Teorema.

(∀𝑎)(∀𝑥) ((𝑥 > 1) → (∃𝑎0)(∃𝑎1) ⋯ (∃𝑎𝑛) (𝑎 = ∑ 𝑎𝑗 ∙ 𝑥𝑗 =

𝑛

𝑗=0

𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛))

Notação. 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑎0)𝑥

Escólio. Os elementos 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 pertencem ao conjunto {0,1, … , 𝑥 − 1} e representam os dígitos ou algarismos de 𝑎, 𝑥 é chamada de base da representação e 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Se 𝑥 = 10, então denotamos (𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑎0)𝑥 simplesmente por 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑎0.

Exemplo 20. O número natural 101001 tem seis dígitos na base 10.

Exemplo 21. O número natural (10101)2 tem cinco dígitos na base 2.

4.1 Representação dos números naturais

ABORDAGEM COMPUTACIONAL TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA

4



ALGORITMO DA SOMA Dados a = ( anan−1 ⋯ a0)𝑥 e b = (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥 números naturais, definimos a soma c de a e b por:

a + b = ( anan−1 ⋯ a0)𝑥 + (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥 = (cn+1cncn−1 ⋯ c0)𝑥 = c, onde cj , j = 0, … , n + 1, é obtido utilizando o seguinte procedimento:

a0 + b0 = d0c0 .

(aj + bj) + dj−1 = djcj, j = 1, … , n,

cn+1 = dn.

O resultado que procuramos será o número natural c =cn+1cncn−1 ⋯ c0. Dados a = ( anan−1 ⋯ a0)𝑥 e b = (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥 , se n > m, então definimos a soma c de a e b, a + b = (cn+1cncn−1 ⋯ c0)𝑥, tomando b =(0 ⋯ 0bmbm−1 ⋯ b0)𝑥 de forma que b fique com n + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m; se n < m, então definimos a soma c de a e b, a + b = (cn+1cncn−1 ⋯ c0)𝑥, tomando a =(0 ⋯ 0anan−1 ⋯ a0)𝑥 de forma que a fique com m + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m . Neste algoritmo, supomos conhecido o cálculo da soma de dois números naturais quaisquer com um dígito.

Exemplo 22. O número natural (122)3 tem três dígitos na base 3.

Exemplo 23. O número natural (123)5 tem três dígitos na base 5.

Exemplo 24. (10101)2 = 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 24 = 1 + 0 +4 + 0 + 16 = 21.

Exemplo 25. (122)3 = 2 + 2 ∙ 3 + 1 ∙ 32 = 2 + 6 + 9 = 17.

Exemplo 26. (123)5 = 3 + 2 ∙ 5 + 1 ∙ 52 = 3 + 10 + 25 = 38.

4.2 Algoritmos



dndn−1dn−2 ⋯ d0

(anan−1 ⋯ a1a0)𝑥

+ (bnbn−1 ⋯ b1b0)𝑥 (cn+1cncn−1 ⋯ c1c0)𝑥

PSEUDOCÓDIGO DA SOMA

Início Defina a soma de dois números a e b com um dígito e a unidade dessa soma u[a+b]; Entre com o valor de n (n >0); Entre com o valor de m (m > 0); Entre com o valor de x (x>1); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i];

Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Se n = m, então Se a[0] + b[0] < 𝑥, então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; Para j = 1, … , n, Se a[j] + b[j] + d[j − 1] < 𝑥, então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1], caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j −1]; Faça c[n + 1] = d[n]; Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário, Se n > m, então Para i = 1, … , n − m faça b[m + i] = 0; Se a[0] + b[0] < 𝑥, então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; Para j = 1, … , n, Se a[j] + b[j] + d[j − 1] < 𝑥, então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1], caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j −1]; Faça c[n + 1] = d[n]; Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário,

ESQUEMA PRÁTICO



ALGORITMO DO PRODUTO

Dados a = ( anan−1 ⋯ a0)𝑥 ∈ ℕ eb = (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥 ∈ ℕ , definimos o produto c de a e b por:

a ∙ b = ( anan−1 ⋯ a0)𝑥 ∙ (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥 = (cn+m+1cn+mcn+m−1 ⋯ c0)𝑥

= c, onde cj , j = 0, … , n + m + 1 é obtido pelo seguinte procedimento:

Para i = 0, … , m, considere:

bi ∙ a0 = d0i c0

i

(bi ∙ aj) + dj−1i = dj

icji , j = 1, … , n,

cn+1i = dn

i .

c = cn+10 cn

0cn−10 ⋯ c0

0 + cn+11 cn

1cn−11 ⋯ c0

101 + ⋯ +cn+1

m cnmcn−1

m ⋯ c0m0102 ⋯ 0m,

0i = 0, ∀ i = 1, ⋯ , m.

O resultado que procuramos será o número natural

c = (cn+m+1cn+mcn+m−1 ⋯ c0)𝑥. Neste algoritmo, foi suposto que a soma de dois números naturais com um dígito é conhecida e o produto de dois números com um dígito é conhecido (tabuada de números naturais com um dígito).

Se n < m, então Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m; Se a[0] + b[0] < 𝑥, então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; Para j = 1, … , n, Se a[j] + b[j] + d[j − 1] < 𝑥, então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1], caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n]; Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim.



dni dn−1

i dn−2i ⋯ do

i

( anan−1 ⋯ a0)𝑥 × (bnbn−1 ⋯ b0)𝑥

(cn+10 cn

0cn−10 ⋯ c1

0c00)𝑥

+(cn+11 cn

1cn−11 cn−2

1 ⋯ c0101)𝑥

⋰ +(cn+1

m cnmcn−1

m ⋯ c0m0102 ⋯ 0m)𝑥

(cn+m+1cn+mcn+m−1 ⋯ c1c0)𝑥

PSEUDOCÓDIGO DO PRODUTO

Início Defina a soma a+b e o produto a∙b de dois números a e b com um dígito, a unidade da soma us[a+b], a unidade do produto up[a∙b], a dezena da soma ds[a+b] e a dezena do produto dp[a∙b]; Entre com o valor de n (n >0); Entre com o valor de m (m > 0); Entre com o valor de x (x>1); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i];

Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Para i = 0, ⋯ , m Faça d[0, i] = d[b[i] ∙ a[0]] e c[0, i] = u[b[i] ∙ a[0]] e Para j = 1, ⋯ , n

Faça d[j, i] = dp[b[i] ∙ a[j]] + ds [up[b[i] ∙ a[j]] + d[j − 1, i]] e

c[j, i] = us[up[b[i]a[j]] + d[j − 1, i]]; e Faça c[n + 1, i]= d[n, i]; Para j = 0, ⋯ , m − 1 Para i = 0, ⋯ , n + 1 Faça a[i]=c[i,j], Para k= 0, ⋯ , j faça b[k]=0 e b[i+j+1]=c[i,j+1]; Faça n = n+j+1 e m = n+j+2;

ESQUEMA PRÁTICO



Temos que: a0 = 7 e b0 = 9

a0 + b0 = 7 + 9 = 16. Daí,

d0 = 1 e c0 = 6. Temos que:

a1 = 1 e b1 = 2 (a1 + b1) + d0 = (1 + 2) + 1 = 3 + 1 = 4 = 04.

Daí, d1 = 0 e c1 = 4

c2 = d1 = 0. Assim, concluímos que:

17 + 29 = c2c1c0 = 046 = 46.

1

17 +29 46

Neste caso, observamos que 372 + 49 = 372 + 049. Daí,

𝑎0 = 2 e 𝑏0 = 9 𝑎0 + 𝑏0 = 2 + 9 = 11 = 𝑑0𝑐0

Exemplo 27. Calcule 17 + 29.

Exemplo 28. Calcule 372 + 49.

Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m; Se a[0] + b[0] < 𝑥, então faça d[0] = 0 e c[0] = us[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = us[a[0] + b[0]]; Para j = 1, … , n, Se a[j] + b[j] + d[j − 1] < 𝑥, então faça d[j] = 0 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1], caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n]; s[j] = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Imprima o produto é s[m − 1]. Fim.



11

372 +49 421

1

12 × 15

60 + 12

180

Para i = 0, temos que:

b0 ∙ a0 = 5 ∙ 2 = 10 = d00c0

0 (b0 ∙ a1) + d0

0 = 5 ∙ 1 + 1 = 6 = 06 = d10c1

0,

c20 = d1

0 = 0.

Assim, concluímos que c20c1

0c00 = 060 = 60. Para i = 1, temos que:

b1 ∙ a0 = 1 ∙ 2 = 2 = d01c0

1 (b1 ∙ a1) + d0

1 = (1 ∙ 1) + 0 = 1 = d11c1

1 c2

1 = 0.

Assim, concluímos que c21c1

1c01 = 012 = 12. Portanto,

cn+1cncn−1 ⋯ c0 = c20c1

0c00 + c2

1c11c0

10 = 060 + 120 = 180.

Exemplo 29. Calcule 12 ∙ 15.

𝑎1 = 7 e 𝑏1 = 4

(𝑎1 + 𝑏1) + 𝑑0 = (7 + 4) + 1 = 12 = 𝑑1𝑐1

𝑎2 = 3 e 𝑏2 = 0 (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑑1 = (3 + 0) + 1 = 4 = 04 = 𝑑2𝑐2

𝑐3 = 0. Assim, concluímos que:

372 + 49 = 𝑐3𝑐2𝑐1𝑐0 = 0421 = 421.



ABORDAGEM PRÁTICA ÁLGEBRA | NÍVEL I 5

EXERCÍCIO 1. Usando a definição de soma de dois números naturais e as propriedades da operação de adição, preencha a tabela:

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

8 16

9 18

EXERCÍCIO 2. Calcule:

a) 1 + 2 + 3 b) 1 + 2 + 3 + 4 c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

EXERCÍCIO 3. Preencha a tabela:

∙ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81




a) 1 ∙ 2 ∙ 3 b) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 c) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5


a) 11 b) 22 c) 33 d) 44

EXERCÍCIO 6. Complete as lacunas abaixo, usando a

propriedade indicada:

a) ____ + 2 = ____ + 1 = ____

(Comutativa) b) 1 + (____ + 3) = (____ + 2) + 3 = ____ + ____ = ____

(Associativa) c) 2 ∙ (____ + ____) = ____ ∙ 5 + ____ ∙ 3 = ____

(Distributiva) d) 2____2

(Tricotomia) e) 2____2 + 2

(Tricotomia) f) 2 + 1____2

(Tricotomia)



EXERCÍCIO 7. Complete as lacunas abaixo, usando a propriedade indicada:

a) ____ ∙ 2 = ____ ∙ 1 = ____ (Comutativa)

b) 1 ∙ (____ ∙ 3) = (____ ∙ 2) ∙ ____ = ____ ∙ ____ = ____ (Associativa)

c) ____ ∙ (3 + ____) = 2 ∙ ____ + ____ ∙ 5 = ____ (Distributiva)

d) 2____2 ∙ 3 (Tricotomia)

e) 2 ∙ 3____3 + 3 (Tricotomia)

f) 2 ∙ 2____2 + 2 (Tricotomia)



EXERCÍCIO 1. Usando a definição de soma de dois números naturais e as propriedades da operação de adição, preencha a tabela:

+ (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟒)𝟓

(𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓

(𝟐)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟏𝟏)𝟓

(𝟒)𝟓 (𝟏𝟑)𝟓

ABORDAGEM PRÁTICA ÁLGEBRA | NÍVEL II 5


a) (1)5 + (2)5 + (1)5 b) (1)5 + (2)5 + (2)5 + (1)5 c) (1)5 + (2)5 + (3)5+(2)5 + (1)5

EXERCÍCIO 3. Usando a definição de produto de dois

números naturais e as propriedades da operação de

multiplicação, preencha a tabela:

∙ (𝟏)𝟓 (𝟐)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟒)𝟓

(𝟏)𝟓 (𝟏)𝟓

(𝟐)𝟓 (𝟒)𝟓 (𝟑)𝟓 (𝟏𝟒)𝟓

(𝟒)𝟓 (𝟑𝟏)𝟓




a) (1)5 ∙ (2)5 ∙ (1)5 b) (1)5 ∙ (2)5 ∙ (2)5 ∙ (1)5 c) (1)5 ∙ (2)5 ∙ (3)5 ∙ (2)5 ∙ (1)5


a) ((1)5)1 b) ((2)5)2 c) ((3)5)3 d) ((4)5)4

EXERCÍCIO 6. Mostre que se x ∈ ℕ, o conjunto {xn, n ∈ ℕ}

é um submonoide de (ℕ,∙). Dizemos que um subconjunto H

de um monoide G, contendo o elemento neutro com relação a

uma lei de composição ∙, é um submonoide se x, y ∈ H ⇒ x ∙

y ∈ H.

EXERCÍCIO 7. Mostre que se x, y ∈ ℕ ⇒ x + y ∈ ℕ e x ∙ y ∈ ℕ.

EXERCÍCIO 8. (Transitiva) Mostre que ∀ x, y, z ∈ ℕ, x <

y e y < z então x < z.

EXERCÍCIO 9. (Cancelamento) Mostre que:

a) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x < y ⇔ x + c < y + c. b) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x = y ⇔ x + c = y + c. c) ∀ x, y, c ∈ ℕ , x < y ⇔ x ∙ c < y ∙ c. d) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x = y ⇔ x ∙ c = y ∙ c.



EXERCÍCIO 10. Mostre que se x < y e z < w, então x + z < y + w, ∀ x, y, z, w ∈ ℕ.

EXERCÍCIO 11. (Relação de ordem) Mostre que: a) ∀ x ∈ ℕ, x ≤ x , b) ∀ x, y ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y, c) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z.

EXERCÍCIO 12. (Propriedades da subtração) Mostre que:

a) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x > y , então z ∙ (x − y) = z ∙ x − z ∙ y. b) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x > y e y > z , então x − (y − z) = (x + z) − y.

EXERCÍCIO 13. (Regras de Potenciação) Mostre que:

a) 1𝑛 = 1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ. b) xn ∙ xm = xn+m, ∀ n, m ∈ ℕ. c) xn∙m = (xn)m = (xm)n = xm∙n, ∀ n, m ∈ ℕ. d) (x ∙ y)n = xn ∙ yn, ∀ n ∈ ℕ.



EXERCÍCIO 1. Sabendo que a unidade adotada é metro m e a

escala 1

100, represente geometricamente 100m, 200m, 300m,

400m e 500m.

ABORDAGEM PRÁTICA GEOMETRIA | NÍVEL I 5

EXERCÍCIO 2. Represente geometricamente os números

naturais x tais que x < 6.


naturais x tais x > 2.


naturais x tais que 2 < x < 6.


naturais

x tais que x ≤ 9.




naturais x tais que x ≥ 2.


naturais x tais que 2 < x ≤ 9.


naturais x tais que 2 ≤ x < 9.


naturais x tais que 2 ≤ x ≤ 9.



EXERCÍCIO 1. Determine a quantidade de dígitos de

cada número abaixo:

a) 1 b) 12 c) 123 d) 1234 e) an−1 ⋯ a0

EXERCÍCIO 2. Usando o algoritmo da soma e do produto, calcule:

a) 12 + 34 e 12 ∙ 34 b) 123 + 12 e 123 ∙ 12 c) 123 + 456 e 123 ∙ 456 d) 1324 + 5678 e 1234 ∙ 5678

ABORDAGEM PRÁTICA MATEMÁTICA COMPUTACIONAL | NÍVEL I 5

EXERCÍCIO 3. Transforme o número natural dado abaixo na

base x, para o número natural correspondente na base 10.

a) (12)3 b) (123)4 c) (1234)5 d) (12345)6



EXERCÍCIO 1. No algoritmo da soma de dois números

naturais (anan−1 ⋯ a0)x + (bnbn−1 ⋯ b0)x precisamos

determinar as somas

a0 + b0 = d0c0

(aj + bj) + dj−1 = djcj, j = 1, … , n

cn+1 = dn. Isso justifica o famoso ″vai 0 ou 1″. Utilizando o Teorema 1 e as propriedades do conjunto dos números naturais, justifique a validade deste procedimento.

EXERCÍCIO 2. No algoritmo do produto de dois números

naturais (anan−1 ⋯ a0)x ∙ (bnbn−1 ⋯ b0)x precisamos

determinar os produtos

bi ∙ a0 = d0i c0

i

(bi ∙ aj) + dj−1i = dj

icji , j = 1, … , n,

cn+1i = dn

i . Isso justifica o famoso ″vai 0, 1, 2, … ,8″. Utilizando o Teorema 1 e as propriedades do conjunto dos números naturais, justifique a validade deste procedimento.

ABORDAGEM PRÁTICA MATEMÁTICA COMPUTACIONAL | NÍVEL II 5



EXERCÍCIO 3. Elabore um programa, em qualquer linguagem de programação, para calcular a soma e o produto de dois números naturais.



Teorema 2 (Algoritmo da divisão)

(∀x)(∀y)(∃q)(∃r) (((x = y ∙ q + r) ∧ (r < q)) ∨ (x = y ∙ q))

Teorema 3 (Teorema Fundamental da Aritmética)

(∀a)(∃𝑝1)(∃𝑝2) ⋯ (∃𝑝𝑛)(∃𝑚1) ⋯ (∃𝑚𝑛) ((a = ∏ 𝑝𝑗

𝑚𝑗

𝑛

𝑗=1

) ∧ (D(𝑝𝑗) = {1, 𝑝𝑗}) ∨ (a = 1))

Teorema 1 (Sistema numérico dos naturais)

𝑆 = (ℕ, {+,∙}) é um sistema numérico.

ABORDAGEM AVANÇADA TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA 6



[1] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

[2] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[3] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.

[4] WOODBURRY, G..Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS | ESCOLA DE ÁLGEBRA 7

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA


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FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

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ÁLGEBRA...Existe o número um e ele é um número natural. (∃ 1)(1∈ℕ) Giuseppe Peano (1858-1932), foi um matemático italiano. Dentre suas principais contribuições destacamos