lgebra Linear Diagonaliza o de Operadores - … · Algebra Linear ´ Diagonalização ... Diagonaliza¸cao de Operadores Aplica¸coes ReferênciaEspa¸cos Vetoriais Transforma¸coes

Introducao e Motivacao Preliminares Diagonalizacao de Operadores Aplicacoes Referencias

Algebra Linear

Diagonalizacao de Operadores

Joseph Nee Anyah Yartey

Universidade Estadual Vale do Acaraci - Sobral - CE

Semana da Matematica 2011

26 a 30 de setembro

Joseph Nee Anyah Yartey Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores


Indice

1 Introducao e Motivacao

2 PreliminaresEspacos VetoriaisTransformacoes LinearesTransformacoes Lineares e Matrizes

3 Diagonalizacao de OperadoresAutovalores e AutovetoresDiagonalizacao de OperadoresFormas Canonicas de Jordan

4 AplicacoesPotencias de uma matrizExponencial de uma matrizSistemas de Equacoes Lineares com coeficientes constantesClassificacao de Conicas

5 Referencias



Introducao e Motivacao

Algebra Linear o estudo sobre transformacoes lineares, quesao representados por matrizes agindo sobre vetores.

Autovalores, autovetores e auto-espacos sao propriedades deuma matriz. Eles capturam todas as propriedades essenciaisda matriz ou o correspondente transformacao.

Historicamente, a importancia de autovalores e os autovetorescorrespondentes surgiu a partir de estudos em fısica e noestudo das formas quadraticas e equacoes diferenciais.

Estes tem aplicacoes em diversas areas da ciencia, emparticular, na economia, engenharia mecanica, financas,quantum, matematica e estatıstica.

Muitas das aplicacoes envolvem o uso de autovalores eautovetores no processo de transformar uma determinadamatriz em uma matriz diagonal, discutimos este processoneste mini-curso.




































Matrizes diagonais sao interessantes porque elas sao faceisde trabalhar - elas comportam-se como escalares quando saosomadas ou multiplicadas.

Diagonalizacao significa transformar uma matriz nao diagonalem uma matriz que e equivalente ao uma matriz diagonal.

Todos os operadores lineares que vamos falar sobre agir emespacos de finite dimensional diferente de zero.














Introducao e Motivacao Preliminares Diagonalizacao de Operadores Aplicacoes ReferenciasEspacos Vetoriais Transformacoes Lineares Transformacoes Linea

Espacos Vetoriais

Intuitivamente, um espaco vetorial e um conjunto de elementos,que chamamos vetores, com os quais podemos efetuarcombinacoes lineares, isto e, somas de elementos e multiplicacaode elementos por numeros, que chamamos escalares.

Definicao 1

Seja K um corpo.Um espaco vetorial e um conjunto V , nao vazio, munido de duasoperacoes:soma + : V × V −→ V

(v ,w) 7−→ v + we

multiplicacao por escalar · : K × V → V

(k, v) 7−→ k · vtais que para quaisquer u, v e w ∈ V e a, b ∈ K as seguintespropriedades sao satisfeitas:



1 (u + v) + w =u + (v + w) (propriedade associativa em relacao a adicao).

2 u + w = w + v (propriedade comutativa ).

3 ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u (0 e chamado vetor nulo).

4 ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0.

5 a · (u + v) = a · u + a · v .

6 (a + b) · u = a · u + a · v .

7 (a · b·)v = a · (b · v) (propriedade associativa).

8 1 · u = u.

Exemplos

Rn e C

n

Mm×n(K); K = R ou C

Pn(K); K = R ou C



Transformacoes Lineares

Definicao 2

Sejam V e W espacos vetoriais sobre um mesmo corpo K, e n,m numeros naturais.Uma funcao T: V → W e dita linear se satisfaz:

(i) T (u + v) = T (u) + T (v)(ii) T (λu) = λu

∀u, v ∈ V , ∀λ ∈ K.

Transformacoes lineares preservam as operacoes que definem umespaco vetorial, soma e multiplicacao por escalar. Em outraspalavras, elas preservam combinacoes lineares.

Definicao 3

Uma transformacao linear T: V → V e dita operador linear.

Notacao: L(V ) = L(V ,V ).



Exemplos de Operadores Lineares em R2

Reflexao em torno do eixo x : T (x , y) = (x ,−y)

Reflexao em torno do eixo y : T (x , y) = (−x , y)

Reflexao em torno da origem: T (x , y) = (−x ,−y)

Reflexao em torno da reta y = x : T (x , y) = (y , x)

Rotacao: T (x , y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

Dilatacao ou Contracao T (x , y) = (kx , ky)|k| > 1 : dilatacao|k| < 1 : contracao
















































Matriz Associada a uma Transformacao Linear

Transformacoes lineares estao ligados a matrizes.Seja B = (bij) uma matriz m × n e seja y = Bx onde x ∈ R

n, econsidere a aplicacao TB(x) = Bx .Entao TB : R

n −→ Rm define uma transformacao linear.

Em particular, qualquer matriz A, n × n pode ser visto como umaaplicacao de R

n para Rn. Reciprocamente temos a seguinte

proposicao:

Proposicao

Se T : V → W e linear, dimV = n e dimW = m, entaoT (v) = Av , onde A ∈ Mm×n(K), a matriz A e unica a memos deisomorfismo.



Proposicao

Sejam V e W espacos vetoriais tais que {v1, · · · , vn} e uma basede V e {w1, · · · ,wn} vetores arbitrarios em W . Entao∃!T : V → W linear tal que T (vi ) = wi i = 1, · · · , n.

Definicao

Sejam T : V → W linear, dimV = n, dimW = m, βV ={v1, v2, · · · , vn} e βW bases de V e W , respectivamente. Dize-

mos que [T ]βV

βW=

[[T (v1)]βW

| · · · | [T (vn)]βW

]

m×n

e a matriz de T em relacao as bases βV e βW .

Definicao

Quando β e β′

sao bases de V e I : V → V e a identidade, amatriz de I em relacao as bases β e β

′

e chamada matriz mudancade base de β para β

′

.Notacao: [I ]β

β′ .



Proposicao

Sejam V , W espacos vetoriais de dimensao finitae T: V → W linear. Considere α,α

′

bases de V e

β, β′

bases de W entao:

[T ]α′

β′ = [I ]β

β′ · [T ]αβ · [I ]α

′

α .

[V ]α′ ∈ V [w ]β′ ∈ W

[V ]α ∈ V [w ]β ∈ W

T

T

I I

Observe que [T ]α′

β′ e [T ]αβ sao matrizes semelhantes.



Exemplos

Exemplo 1: As matrizes associadas a alguns dosoperadores lineares no espaco vetorial R2 em relacaoa base canonica.

Reflexao em torno do eixo x :

[1 00 −1

]

Rotacao :

[cos θ − sen θsen θ cos θ

]

Exemplo 2: Considere a transformacao linearT : M2×2(R) −→ R

3

T

([a c

b d

])

= (a + b, c − d , 2a)

Determine [T ]A,B , onde A e B sao as basescanonicas de M2×2(R) e de R

3


Introducao e Motivacao Preliminares Diagonalizacao de Operadores Aplicacoes ReferenciasAutovalores e Autovetores Diagonalizacao de Operadores Formas

Autovalores e Autovetores

Definicao

Sejam K corpo, T ∈ L(V ) e V espaco vetorial sobre o corpo K,de dimensao n. Dizemos que λ ∈ K e um autovalor de T se existev ∈ (V \ {0}) tal que T (v) = λv . Neste caso, dizemos que v e umautovetor de T associado a λ.

Em resumo

Um autovetor e um vetor que mantem sua direcao depois depassar por uma transformacao linear.

Uma autovalor e o valor escalar que o autovetor foimultiplicado por durante a transformacao linear.



Definicao

Seja λ e um autovalor do operador linear T . O conjuntoVλ = {v ∈ V |T (v) = λv} = ker(T − λI ) de todos os autovetoresassociados a λ juntamente com o vetor nulo 0V , e denominadoautoespaco correspondente ao autovalor λ .A dimensao de Vλ e chamado multiplicidade geometrico do au-tovalor.

Definicao

O conjunto de todos os autovalores de T e chamado de espectro deT .



Exemplo

O vetor x =

(12

)

e um autovetor da matriz

[3 08 −1

]

corresponde a autovalor λ = 3, pois

Ax =

[3 08 −1

](12

)

=

(36

)

= 3x

O vetor x =

(23

)

nao e um autovetor da matriz

[3 08 −1

]

pois nao existe escalar λ tal que

Ax =

[3 08 −1

](23

)

=

(613

)

= λx



Calculo de Autovalores, Autovetores e Autoespacos

Para determinar os autovalores de uma matriz A, considere aequacao

Ax = λx ⇔ (A − λI )x = 0 (1)

A equacao (1) tem um solucao nao nulo se e somente se

det(A − λI ) = 0 (2)

Equacao (2) e chamado a equacao caracterıstica de A.



Exemplo

Determine os autovalores de

0 1 00 0 14 −17 8



Diagonalizacao de Operadores

Dado um operador linear T : V −→ V , queremos encontrar umabase β de V na qual a matriz do operador nessa base ([T ]β

β) seja

uma matriz diagonal.Problema 1: Dada uma matriz A, n × n, existe uma base de R

n

de autovetores de A?Problema 2: Dada uma matriz A, n × n, existe uma matrizinvertıvel P−1 tal que P−1AP seja diagonal?

Definicao

Uma matriz quadrada A e diagonalizavel se existe uma matriz in-vertıvel P tal que P−1AP e uma matriz diagonal. Dizemos que P

diagonaliza A.



Teorema

Se A e uma matriz n × n, entao sao equivalentes

A e diagonalizavel

A possui n autovetores linearmente independentes

Exemplo

Verifique se A =

0 0 −21 2 11 0 3

e diagonalizavel.



Solucao:

Equacao caracterıstica: (λ − 1)(λ − 2)2 = 0

λ1 = 2 ⇒ v1 =

−101

, v2 =

010

λ2 = 1 ⇒ v3 =

−211

Existe 3 autovetores linearmente independentes, portanto A ediagonalizavel.

P =

−1 0 −20 1 11 0 1

diagonaliza A.



P−1AP =

1 0 21 1 1−1 0 −1

0 0 −21 2 11 0 3

−1 0 −20 1 11 0 1

=

2 0 00 2 00 0 1

Exemplo

Verifique se A =

1 0 01 2 0−3 5 2

e diagonalizavel.



Solucao:

Equacao caracterıstica: (λ − 1)(λ − 2)2 = 0

λ1 = 2 ⇒ v1 =

001

λ2 = 1 ⇒ v2 =

1

8

−1

81

Como A e uma matriz 3 × 3, mas existe somente 2autovetores, A nao e diagonalizavel.



Teorema

Se A e uma matriz n × n,

Para qualquer autovalor de A, a multiplicidade geometrica emenor ou igual a multiplicidade algebrica.

A e diagonalizavel se e somente se, para qualquer autovalor, amultiplicidade geometrica e igual a multiplicidade algebrica.



Formas Canonicas de Jordan

Definicao

Seja λ ∈ K. Um λ - bloco de Jordan e uma matriz quadrada comtodas as entradas da diagonal iguais a λ, as entradas imediatamenteabaixo da diagonal iguais a 1 e as demais entradas nulas.Notacao: Jλ.

Exemplo

J2 =

[1 10 1

]

J3 =

1 1 00 1 10 0 1



Uma outra definicao que pode ser encontrada em alguns livrospara um λ - bloco de Jordan e: Uma matriz quadrada com todasas entradas da diagonal iguais a λ, as entradas imediatamenteacima da diagonal iguais a 1 e as demais entradas nulas.

Exemplo

Uma matriz A esta na forma canonica de Jordan se ela e escritacom blocos de Jordan na diagonal e as outras entradas nulas, ouseja,

A =

Jλ10 0 · · · 0

0 Jλ20 · · · 0

0 0. . .

. . . 0...

.... . .

. . ....

0 0 0 · · · Jλr

onde cada Jλitem um tamanho especıfico nao necessariamente igual

aos dos outros.



Exemplo

3... 0 0

... 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0

... 2 0... 0

0... 1 2

... 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0

... 0 0... 2



Teorema

Seja T ∈ L(V ) onde V e um espaco vetorial, sobre K, dedimensao n. Suponhamos

pT (x) = (x − λ1)s1 · (x − λ2)

s2 · · · (x − λr )sr e

mT (x) = (x − λ1)d1 · (x − λ2)

d2 · · · (x − λr )dr .

Entao:

1 Existe, pelo menos, um bloco de Jordan de tamanho di × di

associado ao autovalor λi .

2 O numero de blocos de Jordan de T associados ao autovalorλi e a dimensao do autoespaco associado a λi , ou seja, eigual a dimensao de Eλi

= Ker(T − λi In).



Exemplo

Seja A uma matriz de ordem 9 × 9 cujo polinomio caracterısticoe (x − 3)5 · (x − 2)4 e cujo polinomio minimal e(x − 3)3 · (x − 2)2.A menos de isomorfismos, as possıveis formas Canonicas de Jordande A sao:

3 0 0 0 0 0 0 0 01 3 0 0 0 0 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 0 00 0 0 0 3 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 2

3 0 0 0 0 0 0 0 01 3 0 0 0 0 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 0 00 0 0 1 3 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 2



3 0 0 0 0 0 0 0 01 3 0 0 0 0 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 0 00 0 0 0 3 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 2

3 0 0 0 0 0 0 0 01 3 0 0 0 0 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 0 00 0 0 1 3 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 2



Sejam T ∈ L(V ) e V espaco vetorial, sobre o corpo K, dedimensao n.Problema: O que fazer caso o operador T nao sejadiagonalizavel? Existem alguns teoremas que nos garantem aexistencia de uma base para V , na qual T tem umarepresentacao matricial mais conveniente?Alem da Forma Canonica de Jordan, vejamos mais um resultadoque nos permite obter uma representacao matricial maisconveniente para T :



Teorema

Se mT (x) = (x −λ1)d1 · (x −λ2)

d1 · · · (x −λr )dr entao existe uma

base α para V tal que [T ]αα = D + N, D operador diagonal eN operador nilpotente.



Algumas Consequencias


Introducao e Motivacao Preliminares Diagonalizacao de Operadores Aplicacoes ReferenciasPotencias de uma matriz Exponencial de uma matriz Sistemas

Aplicacao 1: Potencias de uma matriz

A maior aplicacao direta de diagonalizacao e que ele nos da umamaneira facil para calcular grandes potencias de uma matriz A, oque seria impossıvel de outra forma.

Caso I

Seja A uma matriz de ordem n diagonalizavel, entao existe umamatriz inversıvel M tal que

M−1AM = D ou A = MDM−1

onde M uma matriz formada colocando uma base de autovetores deA como colunas, e D e uma matriz diagonal com os autovalores deA na diagonal.



Portanto, podemos escrever

Ak = (MDM−1)k = (MDM−1)(MDM−1) · · · (MDM−1)(MDM−1)︸︷︷︸

k vezes

= MD(M−1M)D(M−1M)D · · ·D(M−1M)DM−1

= MDkM−1

Sendo que a ultima expressao e facil de calcular, mesmo para k

grande, porque uma potencia de uma matriz diagonal e apenas apotencia das entradas diagonais.



Exemplo 1

Se A =

[4 41 4

]

, determine A23.

Solucao

A matriz A tem auto valores λ1 = 2 e λ2 = 6 com respectivos

auto-vetores vλ1=

(2−1

)

e vλ2=

(21

)

.

Portanto,

D =

[2 00 6

]

e M =

[2 2−1 1

]

Entao M−1AM =

[2 00 6

]

= D onde M−1 =1

4

[1 −21 2

]

Portanto A = MDM−1 e



A23 = MD23M−1

=1

4

[2 2−1 1

] [223 00 623

] [1 −21 2

]

que e mais facil de calcular.

Caso II

Seja A uma matriz de ordem n nao diagonalizavel com auto-valores λ1, λ2, · · · λn contando com multiplicidade, entao existe umamatriz de Jordan J e uma matriz inversıvel M tal que

M−1AM = J ou A = MJM−1 sendo



J =

λ1 1 0λ2 1 0

. . . λ3 1. . .

0. . . 1

. . . λn

=

λ1

. . .

λ2 0. . . λ3

. . .

0. . .

. . . λn

+

+

0 1 00 1 0

. . . 0 1. . .

0. . . 1

. . . 0

ou sejaJ = D + N



onde D e uma matriz diagonal e N e uma matriz nilpotente deordem n, ou seja Nn = 0. Como DN = ND, temos que

Jk = (D + N)k

= Dk +

(k

1

)

Dk−1N + · · · +(

k

n − 1

)

Dk−n+1Nn−1 (∗)

Portanto para k ≥ 2,

Ak = MJkM−1, onde Jk e a expressao em (∗).



Exemplo 2

Se A =

[9 4−9 −3

]

, determine An.

Solucao

A matriz A tem auto valor λ1 = 3 com multiplicidade 2 e auto-vetor

vλ1=

(−23

)

. Portanto ela nao diagonalizavel e

J =

[3 10 3

]

=

[3 00 3

]

+

[0 10 0

]

= D + N

Procuramos um outro vetor v =

(a

b

)

tal que M =

[−2 a

3 b

]

e

inversıvel e M−1AM = J. Escolhemos a = −1, b = 1.Portanto,



M =

[−2 −13 1

]

e M−1 =

[1 1−3 −2

]

Agora, como DN = ND e N2 = 0, temos

Jn = (D + n)n = Dn + nDn−1N =

=

[3n 00 3n

]

+ n

[3n−1 0

0 3n−1

] [0 10 0

]

=

=

[3n n3n−1

0 3n

]

Logo

An = MJnM−1 =

[−2 −13 1

] [3n n3n−1

0 3n

] [1 1−3 −2

]

=

= 3n−1

[3 + 6n 4n−9n 3 − 6n

]

�.



Aplicacao 2: Exponencial de uma matriz

Agora, se podemos calcular grandes potencias de uma matriz,entao podemos tentar fazer Series de Taylor com matrizestambem! (Terıamos que se preocupar se eles convergem tambem,mas isso nao e uma questao para esta curso).

Em analoga com a serie ex =

∞∑

n=1

, entao nos define a matriz

exponencial de uma n × n, matriz A por

eA =∞∑

k=0

Ak

k!= Id + A +

A2

2!+

A3

3!+ · · · + Ap

p!+ · · ·

Fato

A soma acima converge para uma matriz com entradas finito paraqualquer matriz A.



Proposicao

e0 = Id

Se A e B sao duas matrizes que comuta de mesma ordementao eA+B = eA · eB

Se A e B sao duas matrizes de mesma ordem com B

inversıvel, entao que eBAB−1

= BeAB−1

Para qualquer matriz quadrada A, temos que eA e sempreinversıvel com inversa e−A.

Se D =d

dtentao D(eA·t) = A · eA·t

Agora vamos estudar a forma de calcular a exponencial de umamatriz:



Proposicao

e0 = Id




= BeAB−1


Se D =d





Proposicao

e0 = Id




= BeAB−1


Se D =d





Proposicao

e0 = Id




= BeAB−1


Se D =d





Caso I

Se A uma matriz nilpotente (Ak+1 = 0 para algum k) entao a seriee uma soma finita:

eA = Id + A +A2

2!+

A3

3!+ · · · + Ak

k!

Exemplo 3

Se A =

0 1 20 0 10 0 0

, calcule eA.



Solucao

Calculamos potencias de A :

A2 =

0 0 10 0 00 0 0

, A3 =

0 0 00 0 00 0 0

Logo An = 0, ∀n ≥ 3. Portanto

eA = Id + A +1

2A2 =

1 1 5/20 1 10 0 1



Caso II

Se A uma matriz diagonalizavel, ou seja,

A = MDM−1 onde D =

λ1

. . .

λ2 0. . . λ3

. . .

0. . .

. . . λn

entao a serie e uma soma infinita:

eA = MeDM−1 = M

eλ1. . .

eλ2 0. . . eλ3

. . .

0. . .

. . . eλn

M−1.



Exemplo 3

Se A =

[4 41 4

]

, calcule eA.

Solucao

Do Exemplo 1 acima

D =

[2 00 6

]

, M =

[2 2−1 1

]

e M−1 =1

4

[1 −21 2

]

Logo

eA = M

[e2 00 e6

]

M−1 =1

4

[2e2 + 2e6 4e6 − 4e2

e6 − e2 2e2 + e6

]

. �



Caso III

Se A uma matriz de ordem n nao diagonalizavel, entao existe umamatriz de Jordan J e uma matriz inversıvel M tal que

M−1AM = J, sendo J = D + N,

onde D diagonal e N nilpotente de ordem n.Como DN = ND e Nn = 0 temos que

eJ = eD+N = eD .eN = eD

{

I + N +N2

2!+ · · · + Nn−1

(n − 1)!

}

Portanto,eA = MeJM−1.



Exemplo 4

Se A =

[9 4−9 −3

]

, calcule etA.

Solucao

Do Exemplo 2 acima

J =

[3 10 3

]

= D +N, M =

[−2 −13 1

]

e M−1 =

[1 1−3 −2

]

Logo

eJt = eDt .eNt = eDt(I + tN) = e3t

[1 t

0 1

]

Portanto

eA = e3t .M

[1 t

0 1

]

M−1 = e3t

[1 + 6t 4t−9t 1 − 6t

]

. �



Aplicacao 3: Sistemas de Equacoes com coeficientes

constantes

Um sistema de equacoes diferenciais ordinarias lineares comcoeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial por

X = AX , onde A e uma matriz n×n com coeficientes constantes

X =

x1

x2

x3

...xn

e X =

x1

x2

x3

...xn

(Notacao: X =dX

dt)

Podemos escrever A como MJM−1 onde J e uma matriz diagonalou na forma canonica de Jordan. Fazendo a mudanca X = MY , osistema fica equivalente a

Y = JY

que e mais facil de resolver.Joseph Nee Anyah Yartey Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores


Exemplo 5

Resolve os sistema {x1 = 3x1 + 4x2

x2 = 3x1 + 2x2

dado que quando t = 0, X (0) = (x1, x2)t = (6, 1)t .

Solucao:

{x1 = 3x1 + 4x2

x2 = 3x1 + 2x2

⇔[

x1

x2

]

=

[3 43 2

] [x1

x2

]

Seja A =

[3 43 2

]

. Entao

PA(λ) = det

[3 − λ 4

3 2 − λ

]

= (λ − 6)(λ + 1)

⇒ λ1 = 6, λ2 = −1. Portanto J =

[6 00 −1

]



Para λ1 = 6, temos o sistema:[−3 43 −4

] [x

y

]

=

[00

]

⇒ Vλ1= (4, 3)t

Para λ2 = −1, temos o sistema:[

4 43 3

] [x

y

]

=

[00

]

⇒ Vλ2= (1,−1)t

Portanto a matriz, M =

[4 13 −1

]

O sistema e equivalente a

Y = JY{

y1 = 6y1 ⇒ y1(t) = c1e6t

y2 = −y2 ⇒ y2(t) = c2e−t

Portanto,

Y =

(y1

y2

)

=

(c1e

6t

c2e−t

)



Logo, a solucao e

X = MY =

[4 13 −1

](c1e

6t

c2e−t

)

=

(4c1e

6t + c2e−t

3c1e6t − c2e

−t

)

Se x1 = 6 e x2 = 1 quando t = 0, entao

X (0) =

(4c1 + c2

3c1 − c2

)

=

(61

)

e portanto c1 = 1 e c2 = 2. Logo, a solucao do problema do valorinicial e dada por

X =

(4e6t + 2e−t

3e6t − 2e−t

)

�



Exemplo 6

Ache a solucao do sistema x = Ax sujeita a condicaox(0) = (3,−3)t onde

A =

[9 4−9 −3

]

.

Solucao:

Do Exercıcio 2,

A = MJM−1, onde J =

[3 10 3

]

e M =

[−2 −13 1

]

Fazendo a mudanca X = MY , o sistema e equivalente a

Y = JY{

y1 = 3y1 + y2

y2 = 3y2 ⇒ y2(t) = c2e3t



Portanto,

y1 = 3y1 + c2e3t ⇒ y1(t) = (c1 + c2t)e

3t

Portanto,

Y =

(y1

y2

)

=

((c1 + c2t)e

3t

c2e3t

)

Logo, a solucao e

X = MY =

[−2 −13 1

]((c1 + c2t)e

3t

c2e3t

)

= e3t

(−2c1 − 2c2t − c2

3c1 + 3c2t + c2

)

Se x1 = 3 e x2 = −3 quando t = 0, entao

X (0) =

(−2c1 − c2

3c1 + c2

)

=

(3−3

)

e portanto c1 = 0 e c2 = −3. Logo, a solucao do problema dovalor inicial e dada por

X = −3e3t

(1 − 2t1 + 3t

)

�



Aplicacao 4: Classificacao de Conicas

Uma conica e uma curva descrita em coordenadas canonicas de R2

pela equacao

Ax2 + By2 + Cxy + Ex + Fy + G = 0 (∗)

onde A,B ,C ,E ,F ,G sao constantes. A conica esta na formacanonica se em relacao ao coordenadas canonicas do R

2 a suaequacao e da forma:

Ax2 + By2 + G = 0 (∗∗)

Exemplos sao os cırculos, elipses, parabolas e hiperboles. Aequacao (∗) pode ser expressa matricialmente por:

[x y

][

A C

C B

] [x

y

]

+[

E F][

x

y

]

+ G = 0 (∗ ∗ ∗)



Nosso objetivo e eliminar o termo misto Cxy . Para isso,

observamos que a matriz K =

[A C

C B

]

e real simetrica e

portanto e diagonalizavel. Ou seja existe uma matriz ortogonal P

cujas colunas sao os autovalores normalizados de K tal quePKP−1 = D, e a matriz diagonal. Portanto, se colocamos

[x ′

y ′

]

:= P

[x

y

]

,

entao a equacao (∗ ∗ ∗) pode ser escrito como (pois P−1 = PT )

[x y

]PTDP

[x

y

]

+[

E F]PT

[x ′

y ′

]

+ G = 0

ou seja

[x ′ y ′

]D

[x ′

y ′

]

+[

E F]P t

[x ′

y ′

]

+ G = 0



Se D =

[λ1 00 λ2

]

, λ1 e λ2 sendo os autovalores da matriz K ,

temos que

λ1x′2 + λ2y

′2 +[

E F]P t

[x ′

y ′

]

+ G = 0

que nao possui mais o termo misto e portanto a sua posicaogeometrica sera facilmente reconhecida.



Exemplo 7

Descreva a conica cuja equacao e

5x2 − 4xy + 8y2 +20√

5x − 80√

5y + 4 = 0.

Solucao:

[x y

][

5 −2−2 8

] [x

y

]

+

[20√

5− 80√

5

] [x

y

]

+4 = 0 (§)

Seja K =

[5 −2−2 8

]

.

Entao

PK (λ) = det

[5 − λ −2−2 8 − λ

]

= λ2 − 13λ − 36 = (λ − 9)(λ − 4)

⇒ λ1 = 9, λ2 = 4.



Para λ1 = 9, temos o sistema:

[−4 −2−2 −1

] [x

y

]

=

[00

]

⇒ Vλ1= (1,−2)t

Para λ2 = 4, temos o sistema:

[1 −2−2 4

] [x

y

]

=

[00

]

⇒ Vλ2= (2, 1)t

Seja P =

[1√5

2√5

−2√5

1√5

]

entao P−1 = PT =

[1√5

−2√5

2√5

1√5

]

Fazendo a mudanca

[x

y

]

= P

[u

v

]

em (§) temos

[u v

][

9 00 4

] [u

v

]

+

[20√5

− 80√5

][1√5

2√5

−2√5

1√5

] [u

v

]

+4 = 0



ou seja,9u2 + 4v2 + 36u − 8v + 4 = 0

Completando o quadrado temos que

(u + 2)2

22+

(v − 1)2

32= 1 que e uma elipse.

0 1 2 3−1−2−3

1

2

3

4

5

y

x



Referencias Bibliograficas

1 Lima, Elon Lages, Grupo Fundamental e Espacos de

Recobrimento. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.

2 Vilches, Maurıcio, Introducao a Topologia Algebrica.Departamento de Analise - IME -UERJ. Rio de Janeiro, 2004,Edicao online: www.ime.uerj.br/∼calculo.

3 Hatcher, Allen, Algebraic Topology. Cambridge UniversityPress, Edicao online:www.math.cornell.edu/∼hatcher/AT/ATpage.html

4 Croom, Fred H., Principles of Topology. Saunders CollegePublishing 1989.


























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