Álgebra Linear

Este livro ganhou o prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia, outorgado

pela Câmara Brasileira do Livro, em 1996

Lima, Elon Lages Álgebra linear / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 357 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0390-3 1. Matrizes. 2. Espaços Vetoriais. I. Título. II. Série. CDD-512

COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

Álgebra Linear

Elon Lages Lima

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright 2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez • Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim • Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima • Álgebra Exterior – Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira • Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: ddic@impa.br http://www.impa.br

Prefacio

Algebra Linear e o estudo dos espacos vetoriais e das transformacoes

lineares entre eles. Quando os espacos tem dimensoes finitas, as

transformacoes lineares possuem matrizes. Tambem possuem ma-

trizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas qua-

draticas. Assim a Algebra Linear, alem de vetores e transformacoes

lineares, lida tambem com matrizes e formas quadraticas. Sao nu-

merosas e bastante variadas as situacoes, em Matematica e em suas

aplicacoes, onde esses objetos ocorrem. Daı a importancia central da

Algebra Linear no ensino da Matematica.

O presente livro apresenta uma exposicao introdutoria de Alge-

bra Linear. Ele nao pressupoe conhecimentos anteriores sobre o as-

sunto. Entretanto convem lembrar que a posicao natural de um tal

curso no currıculo universitario vem apos um semestre (pelo menos)

de Geometria Analıtica a duas e tres dimensoes, durante o qual o

estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nıvel elementar,

com a representacao algebrica de ideias geometricas e vice-versa.

Tornou-se quase obrigatorio, ja faz alguns anos, dedicar as pri-

meiras sessenta ou mais paginas de todo livro de Algebra Linear ao

estudo dos sistemas de equacoes lineares pelo metodo da eliminacao

gaussiana, motivando assim a introducao das matrizes e dos deter-

minantes. Somente depois disso sao definidos os espacos vetoriais.

Esse costume nao e seguido neste livro, cuja primeira sentenca

e a definicao de espaco vetorial. Mencionarei tres razoes para isso:

(a) A definicao de Algebra Linear dada acima; (b) Nao vejo vantagem

em longas motivacoes; (c) Sistemas lineares sao entendidos mais in-

teligentemente depois que ja se conhecem os conceitos basicos de

Algebra Linear. De resto, esses conceitos (nucleo, imagem, base,

posto, subespaco, etc), quando estudados independentemente, tem

muitas outras aplicacoes.

O metodo da eliminacao gaussiana e apresentado na Secao 9 e

retomado na Secao 17. Ele e aplicado para obter respostas a varios

outros problemas alem da resolucao de sistemas lineares.

O livro e dividido em vinte e duas secoes. As oito primeiras de-

senvolvem os conceitos fundamentais e as proposicoes basicas, que

formam a linguagem mınima necessaria para falar inteligentemente

sobre Algebra Linear. A nona secao faz a primeira aplicacao dessas

ideias, tratando da eliminacao gaussiana.

A partir da Secao 10, os espacos dispoem de produto interno,

o que possibilita o emprego de evocativas nocoes geometricas como

perpendicularismo, comprimento, distancia, etc. Sao destacados

tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades

especiais sao demonstradas nas Secoes 13, 14 e 15. O Teorema

Espectral para operadores auto-adjuntos e provado na Secao 13,

onde se demonstra tambem o Teorema dos Valores Singulares

(Teorema 13.10), cuja grande utilidade nao corresponde a sua cons-

pıcua ausencia na maioria dos textos elementares.

Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido

no ensino da Algebra Linear e a pseudo-inversa, que expomos na

Secao 16. Trata-se de um topico facil, atraente, de grande apelo

geometrico, que constitui um bom campo de aplicacao para os con-

ceitos anteriormente estudados.

A Secao 17 e um interludio matricial, onde se mostra como as

propriedades das transformacoes lineares estudadas antes se tradu-

zem imediatamente em fatos nao-triviais sobre matrizes, principal-

mente algumas decomposicoes de grande utilidade nas computacoes.

As formas bilineares e quadraticas sao estudadas na Secao 18,

onde e estabelecida a correspondencia fundamental (isomorfismo)

entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos

Eixos Principais (Teorema 18.3), que e a versao do Teorema Espec-

tral para formas quadraticas. E ainda exposto o metodo de Lagrange

para reduzir uma forma quadratica a uma soma (ou diferenca) de

quadrados e e feito um estudo das superfıcies quadricas.

Os determinantes sao estudados na Secao 19, onde se define di-

retamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem

matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz n × n e ca-

racterizado como a unica funcao n-linear alternada de suas colunas

(ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unitaria. A colocacao dos

determinantes quase no final do livro, depois de ja terem sido es-

tabelecidos os resultados principais da Algebra Linear e ensinados

os metodos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matri-

zes etc, e uma atitude deliberada, que visa por esse conceito em seu

devido lugar. Trata-se de uma nocao de grande importancia teorica,

indispensavel em varias areas da Matematica, a qual foi, e ainda

nao deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como

instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver

um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para

ver se ele e invertıvel ou nao, sao metodos que funcionam bem no

caso 2 × 2, e ate mesmo 3 × 3, mas se tornam altamente inviaveis a

partir daı.

Depois que se tem os determinantes, o polinomio caracterıstico e

estudado na Secao 20. Esse estudo se completa na Secao 21 com a

introducao dos espacos vetoriais complexos, nos quais vale o notavel

fato de que todo operador possui autovetores, logo pode ser triangu-

larizado. Este resultado e devidamente explorado, o que concede a

esta secao um ar de happy ending para a teoria, mas nao o fim do

livro.

A secao final, numero 22, apresenta uma breve exposicao das

equacoes a diferencas finitas, essencialmente limitada as equacoes

(e sistemas) lineares de segunda ordem. Basicamente, trata-se de

obter metodos eficazes de calcular as potencias sucessivas de um

operador ou de suas matrizes.

Esta introducao a Algebra Linear reflete uma longa experiencia

como usuario do assunto e, nos ultimos dez anos, como professor.

Ao escreve-la, fui influenciado pelas reacoes dos meus alunos, suas

participacoes nas aulas e suas palavras de incentivo. Um agradeci-

mento especial por esse motivo e devido aos estudantes da E.P.G.E.

da Fundacao Getulio Vargas. Agradeco ao meu colega Jonas de Mi-

randa Gomes por me ter convencido de que ainda havia lugar para

mais um livro nesta area e por suas sugestoes, sempre objetivas, que

contribuıram para melhorar a comunicabilidade. Agradeco tambem

a Wilson L. de Goes pela incrıvel eficiencia e grande boa vontade na

preparacao do manuscrito.

Rio de Janeiro, maio de 1995

Elon Lages Lima

Prefacio da Segunda EdicaoA boa acolhida dispensada a primeira edicao, esgotada rapidamente,

animou-me a fazer nesta algumas modificacoes, que enumero a se-

guir.

Foi feita uma extensa revisao do texto, eliminando-se varios

erros de impressao, exercıcios incorretamente propostos e trechos

obscuros ou imprecisos. Para este trabalho, vali-me da colaboracao

de diversos leitores, dentre os quais destaco, de modo muito especial,

o Professor Florencio Guimaraes, que elaborou uma lista minuciosa

de correcoes. A todos esses amigos registro meus sinceros agradeci-

mentos.

O numero de exercıcios foi consideravelmente aumentado com a

inclusao, em especial, de mais problemas elementares de natureza

computacional, visando fazer com que os leitores menos experientes

ganhem confianca em si ao lidarem com assuntos novos.

A Secao 15 foi inteiramente reescrita, passando a tratar dos ope-

radores normais em espacos vetoriais reais, um assunto facil, atra-

ente e muitas vezes negligenciado. A antiga Secao 15 (operadores

anti-simetricos) tornou-se um mero caso particular. Sem esforco

(nem espaco) adicional, o tratamento ganhou uma abrangencia bem

maior.

Atendendo a varios pedidos, acrescentei ao livro um Apendice

sobre a forma canonica de Jordan, tratando esse tema de modo sim-

ples, nao apenas sob o ponto de vista matricial mas formulando-o

tambem sob o aspecto de operadores.

Rio de Janeiro, setembro de 1996

Elon Lages Lima

Prefacio da Oitava EdicaoEsta edicao, alem de conter novas correcoes sugeridas pela atenta

vigilancia do Professor Florencio Guimaraes, deu-me oportunidade

de acrescentar a lista de indicacoes bibliograficas o livro do Professor

Ralph Costa Teixeira, que traz as solucoes de todos os exercıcios aqui

propostos.

Rio de Janeiro, outubro de 2009

Elon Lages Lima

Conteudo

1 Espacos Vetoriais 1

2 Subespacos 9

3 Bases 24

4 Transformacoes Lineares 38

5 Produto de Transformacoes Lineares 51

6 Nucleo e Imagem 58

7 Soma Direta e Projecao 75

8 A Matriz de uma Transformacao Linear 83

9 Eliminacao 101

10 Produto Interno 118

11 A Adjunta 133

12 Subespacos Invariantes 145

13 Operadores Auto-Adjuntos 156

14 Operadores Ortogonais 174

15 Operadores Normais (Caso Real) 189

16 Pseudo-inversa 195

5