ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA Álgebra€¦ · Trigonometria 1. Um dos catetos de um triângulo retân-gulo mede 20cm, e o outro é igual a 4 3 do primeiro. Calcule a medida da hipote-nusa

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1

b = 5

C

H

m n c = 6

a = 4

A B

Álgebra Trigonometria

1. Um dos catetos de um triângulo retân-

gulo mede 20cm, e o outro é igual a 4

3

do primeiro. Calcule a medida da hipote-nusa.

2. Um dos catetos de um triângulo retân-gulo mede 6m e a sua projeção sobre a hipotenusa é igual a 3,6m. Calcule a me-dida da hipotenusa.

3. Dado o triângulo da figura abaixo, calcule os valores de m e n.

4. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em B e AC BD ⊥ . Sabendo que r = 4cm e x = 2cm, calcule h, y e s.

5. A hipotenusa de um triângulo mede

26m e a razão dos catetos é 12

5. Calcule

a medida da projeção do menor cateto sobre a hipotenusa.

6. Dado o triângulo ABC da figura abai-xo, calcule a medida da projeção de a sobre b.

7. O piloto de um avião começou a acio-nar o sistema de travagem à altura de 800m da pista. Sabendo que a direção da linha de rumo do avião, na descida para a pista, faz um ângulo de 30º com o solo, calcule a distância d percorrida pelo avi-ão desde o início da travagem até chegar ao solo.

8. Na figura abaixo, calcule x e y.

9. Calcule a área do triângulo da figura abaixo:

30º 45º

5

10. Calcule o valor de x, indicado na fi-gura abaixo.

x

300 60

0

100

11. Determine o valor de AB , indicado na figura abaixo.

A

300

50

600

B 12. Dado o triângulo retângulo ABC, calcule senα e cosα

C

α

3

B 4 A

A

B

C

a

b

c

a = 150cm b = 100cm c = 80cm

A

B

C D

r

x

s

y

h

y 45º

60º

9

x



2

13. Calcule o lado AB do triângulo abai-xo.

B

4

A

C

45

3 2

14. Os lados de um triângulo medem

32 , 6 e 33 + . Determine o ângulo

oposto ao lado que mede 6 .

15. Num triângulo de vértices A, B, e C, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Sen-do a + b = 1 + 2 , calcule a e b.

16. Determine a medida do ângulo α in-dicado na figura abaixo.

α

2

45o

1 17. Num triângulo ABC os ângulos B e C são agudos. Se a hipotenusa mede 3cm

e sen C = 2

1sen B , calcule as medidas dos

catetos.

18. Calcule o lado de um triângulo eqüi-látero de 2cm de altura.

19. Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a m63 ?

20. Calcule o coseno do ângulo α, assi-nalado na figura abaixo.

2

1

α

21. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 30º. Cal-cule a distância da parede ao "pé" da es-cada, em metros.

22. Um arame de 18m de comprimento é esticado do nível do solo (suposto hori-zontal) ao topo de um poste vertical. Sa-bendo-se que o ângulo formado pelo a-rame com o solo é de 30º, calcule a altu-ra do poste.

23. Um triângulo retângulo tem a hipote-nusa e um dos catetos medindo, respecti-vamente, cm32 e 3cm. Calcule a medida do ângulo oposto ao cateto dado.

24. Calcule o valor de x na figura abai-xo.

100 x

30

30

25. Qual é o valor de x na figura abaixo?

40

x

6030

26. Considerando um triângulo eqüiláte-ro de vértices A, B e C, onde os lados medem x e a altura mede h, determinar sen600, cos 60º e tg60º.

27. Com os dados do exercício anterior, construir uma tabela que forneça o seno, o coseno e a tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º.

28. Determine os valores de x e y nas fi-guras abaixo:

Y

30

X

4

a)

B

360

y

x

b)

5

30

y

x

c)

29. Obtenha x na figura abaixo.

2 x

3045



3

30. Um observador vê uma torre vertical de 100m de altura, sob um ângulo de 60º. Qual a distância aproximada que o sepa-ra dessa torre? 31. Obter o valor de x na figura abaixo.

x

100

4530

32. O piloto de um avião localiza, por meio de seu radar, um objeto na Terra que forma 30º com a horizontal. Passa-dos 2,5 segundos, o aviador nota que es-te ângulo passa a ter 45º. Determinar a que altura (constante) está o avião, sa-bendo que sua velocidade (constante) é de 1440km/h (400m/s).

33. Sendo α a medida de um ângulo agu-

do e senα = 3

1, calcular cosα e tgα.

34. Se tgα = 2, calcular senα e cosα.

35. Sendo α a medida de um ângulo agu-

do e cosα = 4

1, calcule senα e tgα.

36. Sendo α a medida de um ângulo agu-do e tgα = 3, calcule senα e cosα.

37. Sabendo que senα + cosα = 4

5,

calcule senα.cosα. 38. Expresse em rad:

a) 60º

d) 150º

g) 45º

j) 315º

b) 210º

e)12º

h)120º

k) 330º

c) 450º

f) 2º

i) 15º

l) 310º

39. Expresse em graus:

a) 3

10πrad

d) 20

πrad

g) 8

πrad

j) 6

4πrad

m) 4

3πrad

b) 2

11π rad

e) 3

4π rad

h) 3

5πrad

k) 12

πrad

c) 9

πrad

f) 5

3π rad

i) 6

7πrad

l) 8

7πrad

40. Calcule o comprimento de uma cir-cunferência de raio 30cm. (π = 3,14)

41. Sabendo que uma pessoa dá 4 voltas em torno de um canteiro circular de 1,5 m de raio, calcule a distância percorrida pela pessoa.

42. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é de 32πcm, calcule seu diâmetro.

43. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Qual o número de voltas e-fetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 9,891km. (π = 3,14)

44. Em cada caso a seguir, são dados o comprimento l do arco AB e o raio r da circunferência. Calcule a medida do arco em radianos.

a) l = 0,5m, r = 0,25m b) l = 2cm, r = 0,04cm c) l = 6cm, r = 2cm d) l = 0,105cm, r = 0,42cm

45. Qual o raio de uma circunferência na qual o arco de 6 rad mede 2cm?

46. Qual é o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio r = 10cm. Adote π = 3,14.

47. Num círculo de raio r = 30cm, um arco cujo comprimento é 6cm subtende um ângulo central cuja medida é α. De-termine α (em rad).

48. Sabe-se que, em um segundo, um ponto situado na periferia de uma polia descreve um arco que subtende um ângu-lo central de 12πrad. Se o raio dessa po-lia é 2,5m, qual será a distância percorri-da por esse ponto em um segundo?

49. O ponteiro dos minutos de um reló-gio mede 8cm. Qual é a distância que sua extremidade percorre durante 25 minu-tos?

50. Uma curva, numa linha férrea, deve ser traçada em círculo. Qual a medida r do raio deste círculo para que os trilhos mudem 25º de direção numa distância de 120m?

51. Admitindo ser a Terra uma esfera de raio r = 6375km, determine a distância do equador a um ponto situado a uma la-titude 30º N.



4

52. Considere um hexágono regular ins-crito numa circunferência. Determine em radianos a medida

A

BC

D

E F

O

a) do menor arco AB

b) do maior arco BF

c) do arco AD

53. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando es-te marca 12h15min.

54. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando es-te marcar 15h25min.

55. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9 horas e 10 minutos?

56. Determine o maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às:

a) 14h45min b) 18h40min

57. Determine a que quadrante perten-cem os arcos:

a) 1300º

d) 2410º

g) 3

4π

b) 440º

e) 8

17π

h) 4

21π

c) 1340º

f) 7

8π

58. Expresse todos os arcos que têm ex-tremidades coincidentes em:

a) 3

π

c) 1200º

e) 3300º

g) 450º e 225º

b) 5

2π

d) 4

3π

f) 90º e 2700º

h) 3

π e

3

4π

59. Calcule a 1a determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côn-gruos a:

a) 1550º

d) -3190º

g) 3

71 πrad

b) 930º

e) 4

32 πrad

h)8

92 π− rad

c) -2165º

f) 2

15πrad

60. Verifique se são côngruos os seguin-tes pares de arcos:

a) 14900 e -10300

b) 9

19πrad e

9

26-

πrad

c) 3

14πrad e

3

19πrad

61. Determine os arcos positivos: a) menores que 900º e côngruos a

2140º

b) menores que 4π e côngruos a 6

56π

rad

62. Em qual quadrante está a extremida-de do arco de:

a) 1750º b) 3

19πrad c) -3010º

63. Um arco côngruo de 5

137π rad é:

rad5

c) rad 3 b) rad5

2 )a

ππ

π

rad5

7 e) rad 2 )d

ππ

64. Determine o valor do seno e do cose-no dos seguintes arcos:

a) 135º

e) 240º i) -240º

m) -30º

q) 450º

t) 6

13π

b) 120º

f) 225º j) -330º

n) -90º

r) 4080º

u) 4

11π

c) 330º

g)-120º k) -225º

o) 750º

s) 7π

v) 2

7π

d) 300º h) -150º l) -45º p)1125º

65. Calcule o número

6cos

6sen

6sen

6cos-

=Aπ

−π

π−

π

66. Determine o valor de B na expressão

dada por ( )

π−

−+

11cos405sen

315sen0801cos=B

o

oo

.

67. Determine o valor de:

sen 1260º, cos 1260º e tg 1260º.

68. Determine: 4

17gt e

4

17cos ,

4

17ens

πππ

69. Determine o valor de: sen(-1380º), cos(-1380º) e tg(-1380º).



5

70. Calcule:

3cos.cos

3cos

4cos8cos

ππ

π+

π−π

71. Calcule o valor da cotg45º, sec45º e cosec45º.

72. Calcule o valor de:

cotg3

π, sec

3

π e cosec

3

π.

73. Determine: cotg990º, sec990º e cosec990º.

74. Calcule o valor de cotg(-1740º).

75. Qual o valor de sec6

13π e cosec

6

13π.

76. Se x = 180º, calcule o valor de:

2

xsen 5

senx 22

xcosec 5

y−

=

77. Calcule cos2x + cos5

x + cos

15

x , sa-

bendo que x = 2

5π.

78. Determine o valor de expressão:

π−

π−

π+

π+

π2cos

42sen

4cos

4sen

79. Calcule A, sendo:

A = sen3x + cos4x - tg2x, para x =2

π.

80. Determine o valor da expressão:

y = cos

π−

2

9 - 3tg3π + sen

π−

2

5

81. Determine o período da função:

f(x) = tg

π−

4x

82. Se x, y∈R, x + y =2

π e x - y =

6

π,

calcule o valor de t = cosycosx

senysenx

−

+.

83. Que valores m pode assumir, para que exista o arco x satisfazendo a igual-dade senx = m - 4?

84. Determine os valores reais de m para que exista um número real x que satisfa-ça as igualdades:

a) sen x = 7m - 20 b) sen x = 3m +4

c) sen x + 2m = 9

85. Determine K, de modo que se verifi-

que a igualdade senx = 3

1-K2.

86. Determine os valores reais que m po-de assumir para que exista um número real x que satisfaça as igualdades:

a) cosx = 1 - 6m

b) cosx = 2m + 5

c) cosx + 2m = 5

87. Determine K, de modo que se verifi-

que a igualdade cosx = .2

1+K4

88. Para que valores de m as equações a seguir têm conjunto-solução não-vazio?

a) cosx = -2 + 6m c) cos2x = 2

3m2 +

b) cosx = 2m - 6 d) 3

10m4

2

xcos

−=

89. O período de y =

π+

8x2sen é:

90. Determine o período das funções:

a) y = sen8x c) y = sen5

x

b) y = sen10x d) y = sen5

π+

6x4

91. Determine o período das funções: a) y = cos6x c) y = 1 + cos3x

b) y = cos7

x4 d) y = 5cos

π+

74

x

92. Determine o período de cada uma das funções:

a) y = 2 + cos

π+

2

x d) y=1+cos3x

b) f(x) = cos

π+

2x e) y = 2 + cosx

c) f(x) = - cos2

x f) y = cos

π+

2x3

93. Determine o período das funções :

a) y = tg

π−

5x3 b) y = tg4x

c) y = tg

π+

3x5 d) y = tg

3

x



6

94. Determine o domínio de cada uma das funções:

a) y = cotg(3x)

b) y = 2 sec

2

x

c) y = -3 cosec

π+

2x2

d) y = cotg

π+

42

x

95. Determine o domínio de cada uma das funções:

a) y = tg2x b) y = tg

π+

2x

c) y = 2.tg

π−

2x2 d) y = 1 + tg3x

96. Construa o gráfico e determine o domínio e o conjunto-imagem das fun-ções, no intervalo (0, 2π):

a) y = 1 + senx b) f(x) = -1 + senx

c) y = -senx d) y = -1 - senx

e) y = 1 - senx f) y = 2 + senx

97. Construa o gráfico e determine o pe-ríodo das funções:

a) y = sen2x c) y = 1 + sen2x

b) y sen2

x d) y = 1 - sen

2

x

98. Construa o gráfico das seguintes fun-ções, no intervalo (0, 2π), dando o domí-nio, a imagem e o período:

a) y = 3senx b) y = 2 - senx

c) y = sen

π−

2x d) y = 2sen

4

x

99. Esboce, em um período, o gráfico das seguintes funções:

a) y = 4 cosx b) y = - cosx

c) y = 3 cos 2

x d) y = 5 + cos x

e) y = cos

π−

3x

100. Simplifique as expressões:

a) .secacosa.cotga

caa.tga.cosesen b)

xcosecx.sen

xsecx.cos2

2

c) tgx.cotgx.cosx.cosecx

101. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a) senx.cosecx=1 b) cosx.tgx=senx c) tgx + cotgx = tgx .cosec²x d) (1 + tg²x)(1 - sen²x) = 1 e) 1 + tg²x = tg²x . cosec²x

f) 1ecxcos

senx

xsec

xcos=+

g) tg²x + cos²x = sec²x - sen²x

102. Expresse senx em função de cotgx.

103. Expresse cosx em função de cotgx.

104. Se cos²x =1xtg

12 +

e cos²x =1 -

sen²x, expresse senx em função de tgx.

105. Determine o valor de cosa para:

a) sena = 5

1 e a ∈ IIQ

b) sena = 3

2− e a ∈ IVQ

c) sena = 5

2− e a ∈ IIIQ

d) sena = 2

1 e a ∈ IQ

e) sena = 7

3− e a ∈ IVQ

f) sena = 5

3 e a ∈ IIQ

106. Determine o valor do sena para:

a) cosa = 7

1 e a ∈ IVQ

b) cosa = 4

3− e a ∈ IIIQ

c) cosa = 7

2 e a ∈ IQ

d) cosa = 2

1− e a ∈ IIQ

e) cosa = 2

2 e a ∈ IVQ

f) cosa = 2

3− e a ∈ IIIQ

107. Sabendo que cosx = 2

1, calcule o

valor de y = xsececxcos

1gxcot

−

−.

108. Se senx = 3

1, calcule o valor da ex-

pressão y = gxcottgx

xcosxsec

+

−.



7

109. Sendo senx = 3

1, com 0 ≤ x ≤

2

π,

calculeo valor de y = .ecxcos1

tagxxcos.senx

−

−

110. Dado cosx = 4

1, calcule o valor de:

gxcot1

ecxcos.xsecxsecy

2

−

−=

111. Calcule as demais funções em cada caso:

a) cosx = 2

1, x ∈ IQ

b) secx = 4

5, x ∈ IVQ

c) tgx = 4

3, x ∈ IQ

d) cosx = 25

7, x ∈ IVQ

112. Dado cosx = -2

1, com

2

π < x < π,

calcule o valor de senx.

113. Sendo senx = 2a − e cosx = a - 1, determine a.

114. Sendo senx =5

2, com 0 < x <

2

π, cal-

cule cosx e tgx.

115. Os valores de a para que se tenha, simultaneamente, senx = a e cosx = a 3 são:

116. Calcule:

a) senx, sendo π<x<2

3π e secx = - 2.

b) tgx, se 2

3π<x<2π e coscx = 2- .

c) secx, se π < x < 2

3π e senx =

25

7- .

d) cosecx, se 2

π < x < π e tgx =

4

3− .

e) cosecx, sendo tgx=4

3− e senx>0.

f) secx, se senx = 3

1 e x ∈ IQ.

g) cotgx, se senx = 13

5 e x ∈ IQ.

117. Dado cosx = 5

1− ,

2

π < x < π, calcu-

le senx, tgx e cotgx.

118. Se senx = 3

1, 0 < x <

2

π, determine

cotgx.

119. Se cotgx = 1, com 0 < x < 2

π, calcu-

le senx e cosecx.

120. Calcule o valor das expressões:

a) y = 9.cos²x + cosecx + 8

xgcot 2

, sa-

bendo que senx = 3

1 e x ∈ 2º Q.

b) y=)xsecxtg(4

xeccos2122

2

−, sendo cosx =

5

2 e

x ∈ 4º Q.

c) y = gxcot4

tgx3senx5 +, sendo cosx =

5

3 e x

∈ 4º Q.

d) y = 3ecxcos5

xtg21xcos25 22

+

+, sabendo que

senx = 5

2 e x ∈ 2º Q

e) y = 2xcos25

xsengxcot42

2

−

+, se tgx = 2 e x

∈ 3ºQ.

121. Calcule o valor de:

a) m , se secx = m e cosx = 2

m

b) a , se cosecx = a e secx = a

2.

c) m , se tgx = 2m + 1 e cotgx = m

1.

d) a, se senx = 2

a e tgx = 1a − .

e) a, se senx = a

1a + e tgx = 1a + .

f) m, se senx = 5

1m + e cosx =

5

m2.


a) sen(2

π - x) b) cos(

2

π - x)

c) sen(x - 2

π) d) cos(π + x)

e) tg(π + x) f) tg(π - x)



8

123. Calcule o valor das seguintes ex-pressões:

a) oo

oo

240cos)45(gcot

330tg30sen

+−

+

b) oo

oo

150eccos)30sec(

45sen45cos

+−

+

c) oo

oo

315cos.225sen

120sec.135gcot

d) ooo

ooo

300eccos.240sec.210cos

45gcot.45tg.45sen

e)oooo

oooo

180sen6360sen790cos20cos4

360cos5270sen180cos390sen2

+−+

−+−

f) oo

o

0sec)675(tg3

7cos1470sen

+−

π+

g)

3sen

3cos

3cos

3sen

π+

π

π−

π

h)

6

5sen

6sen

3

2sen

3sen

π+

π

π+

π

i)

π−+

π

6sen

6sen

124. Calcule y em cada caso:

a) y = x2secx3sec

1xcos2

+

+, sendo x =

3

π.

b) y = x8tg2

x5cosx2sen2

22

+

+, sendo x =

4

π

c) y = x4tg

x2cossenx2

−, sendo x =

6

7π

125. Simplifique as seguintes expres-sões:

a) ( ) ( )

π

+

π

−

π

+

π−π−π

x2

3sen.x

2

3sen.x

2sen

x2

sen.xcos.xsen

b) ( ) ( )

( ) ( )xsec.xcos

xeccos.xsen

−−

−−

c) ( ) ( )

( ) ( )x2gcot.xtg

xcos.xsen

+π−

π+π−

d) ( )

( ) ( )x2cos.xsen

xsen.x2

sen

−π−π

+π

−

π

e) ( ) ( )x2cos.xsen

x2

cos.2

xsen

+π−

−

π

π+

f) ( ) ( ) ( )

( )x3tg.x2

cos

x4cos.xtg.xsen

−π

−

π

−π+π−π

126. Simplifique cada uma das expres-

sões, sabendo que ,2

kx

π≠ com k ∈ Z:

a) ( )x3sen.x

2sen

)xcos().x(sen

+π

+

π

+π−π

b) ( )x2cos

x2

cos)x(sen

−π

−

π+−π

c) ( )

−

π+

−

π

−−π

x2

senx2

cos

xcosx2cos

d) ( )

( )x2sen

x2

cosxsen

−π

−

π+−π

127. Calcule: a) sen75º b) cos15º c) cos105º d) cos15º e) tg75º f) 15º

128. Dados senx=5

3, seny=

4

3− , 0<x<

2

π e

π < y < 2

3π. Calcule:

a) sen(x + y) b) cos(x + y) c) tg(x + y) d) cos(x - y)

129. Sabendo-se que tg x = 3 e tg y = 2, determine:

a) tg(x + y) b) tg(x - y) 130. Aplicando as fórmulas da adição, calcule:

a) cos105º b) tg15º c) sen6

5π

131. Usando as formulas da adição, mos-tre que:

a) cos

−

πx

2 = senx

b) sen xcosx2

=

−

π

c) sen(π + x) = - senx d) cos(π - x) = - cosx e) cos(2π - x) = cosx



9

132. Simplifique a expressão: y = sen(135º + x) + sen(135º - x)

133. Exprima em função de senx e cosx as expressões:

a) sen(4π + x) b) cos(5π + x) c) sen(4π - x) d) sen(3π - x)

e) cos

−

πx

2

3 f) sen

+

πx

2

5

134. Se tgA=2 e tgB=1, ache tg(A - B).

135. Se tg(x + y) = 33 e tgx = 3, calcule tgy.

136. Se tgx = 2.tgy, expresse tg(x + y) em função de tgy.

137. Simplifique a expressão definida

por y = ( )

π−

−π

2

3xcos.senx

xcos.xcos?

138. Simplifique a expressão:

( )

( ).

x2

sen.x5cos

x2

cos.xsen

y

−

π+π

−

π+π

=

139. Qual o valor de tgx de modo que

tg(45º+x)+tg(x-45º)=2, com 0 < x < 2

π?

140. São dados sen20º = 0,3420, cos20º = 0,9397 e tg20º = 0,3640. Determine:

a) sen40º b) cos40º c) tg40º

141. Sabendo que cos40º=0,7660, sen40º=0,6428 e tg40º = 0,8391, calcule cos80º, sen80º e tg80º.

142. Se π < x < 2

3π e sen x =

4

3- , de-

termine: a) sen2x b) cos2x c) tg2x

143. Sabendo que cosy = 5

3, senx =

13

12 e

2

3π < y < 2π e

2

π< x < π, determine:

a) sen2y b) cos2x

c) tgx e tgy d) tg2x e tg2y

144. Sabe-se que sen²a + cos²a = 1. De-termine, então:

a) cos2a em função de cosa. b) cos2a em função de sena.

145. Aplicando as fórmulas que foram obtidas no problema anterior, resolva:

a) se cosa = 2

1, com 0 < a <

2

π, calcu-

le o valor de cos2a.

b) Dado sena = 2

3, com 0 < a <

2

π,

determine cos2a

146. Resolva os problemas:

a) Se tgx = 2

1, calcule tg2x e cotg2x.

b) Se tg2a =1, calcule tga.

147. Calcule sen2x, se senx = 4

3 e x é

um arco do 2º quadrante.

148. Se cosx = 5

2, com 0 < x <

2

π, calcu-

le sen2x e cos2x.

149. Demonstre as identidades trigono-métricas:

a) tga.sen2a = 2sen2a b) sen2x.cotgx = cos2x + 1 c) 1 + tga.tg2a = sec2a

150. Sabendo que tga = 4

1, calcule tg2a e

cotg2a.

151. Calcule sen2x, sabendo que tgx + cotgx = 3

152. Transforme em produto: a) cos4x + cos2x

b) sen5x + sen7x

c) sen3y – seny

d) sen7y + sen5y + sen3y + seny


a) y = °+°

°+°

30con50cos

25cos55cos

b) y = °

°−°

45cos.2

20sen70sen

c) y = ycosxcos

senysenx

+

+

d) y = senysenx

ycosxcos

+

−



10

154. Transforme em produtos as expres-sões:

a) sen55º - sen35º b) sen45º - sen25º c) cos70º + cos 20º d) cos45º - cos25º

155. Transforme em produto as expres-sões:

a) sen4x + sen2x b) sen5x - senx c) sen3x + sen5x d) sen7x - senx e) cos2x + 1

156. Simplifique y =°+°

°−°

40sen10sen

80sen30sen

157. Usando as fórmulas de fatoração,

simplifique a expressão: y = .ycosxcos

ycosxcos

−

+

158. Simplifique y = °−°

+

20sen70sen

20cos70cos oo

.

159. Transforme as seguintes expressões em produto:

a) 1 - cos60º

b) sen

π+

3x + sen

π−

3x

c) cos2x + cos6x d) 1 + sen60º e) 1 + cos30º f) sena + sen5a + 2.sen3a

160. Transforme em soma os seguintes produtos:

a) senx.sen2x b) cos2x.cos3x c) cos2x.sen3x d) cos(x + 60º).cos(x - 60º) e) cos(x - 90º).sen(x + 90º)

161. Simplifique:

y = )150xcos()150xcos(

)150x(sen)150x(senoo

oo

−−+

−++

162. Calcule y = x3cosxcos

x3sensenx

−

+, sabendo

que o valor da cotgx é 7

4.

163. Resolva para x ∈ [0, 2π[:

a) senx = - 2

2 b) cosx =

2

3

c) senx = 2

1− d) cosx =

2

1−

e) senx = -1 f) cosx = 0

g) cosx = -1 h) senx = 1

i) cosx = 1 j) senx = - 2

3

l) cosx = 2 m) senx = -4

n) cosx = 2

7

164. Resolva cosx = 2

1, para x ∈ R.

165. Resolva, para qualquer x ∈ R:

a) cosx = - 2

1 b) cosx = 1

c) senx = 1 d) senx = 2

2

e) cosx = -1 f) senx = cosx

166. Resolva as seguintes equações tri-

gonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2

3π.

a) senx = 0 b) senx = -1

c) senx = 2

1 d) senx =

2

2

e) senx = - 2

1 f) senx = -

2

2

g) sen2x = 0 h) sen4x = - 1

i) sen2x = 1 j) sen2x = 2

1

167. Resolva as seguintes equações tri-gonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.

a) cosx = 2

1 b) cosx = -

2

1

c) cosx = 1 d) cosx = 0

e) cosx = -1 f) senx = 2

2

g) cosx = - 2

2 h) cos3x = -1

i) cos2x = 0 j) cos2x = 2

1

168. Determine a solução das equações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:

a) cosecx = - 2



11

b) sec2x = 2 c) cos2x + cosx = 0 d) 2sen2x = senx e) 2sen2x + cosx = 1 f) cos2x + cosx - 2 = 0 g) cos2x = 1 - senx h) sen2x + senx = 0 i) cos2x - cos2x = 0

169. Considerando 0 ≤ x ≤ 2π, resolva as equações:

a) sen2x = cosx b) cosx + sen2x = 0 c) cos2x = - sen2x d) cos2x + 1 = cos2x

170. Resolva para 0 ≤ x < 2π: a) cox5x + cos3x = 0 b) cos3x - cosx = 0 c) sen4x - sen2x = 0

171. Resolva para x ∈ [0, 2π[:

a) senx > 2

1 b) cosx ≥ -

2

2

c) senx > 0 d) cosx < 0

e) senx ≤2

3− f) cosx > -

2

1

g) senx < 2

2 h) cosx ≥

2

3

172. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:

a) senx ≥ -2

1 b) cosx ≥

2

1

c) tgx > 1 d) cosx > 2

3

e) senx ≥ 2

2 f) tgx < -1

g) cosx > - 1 h) cosx < 2

2.

173. Resolva, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, as seguintes inequações:

a) sen2x - senx ≥ 0 b) xcos < 2

1

c) tgx < 1

RESPOSTAS 1. 25cm 2. a = 10m 3. m = 2,25 e n = 3,75 4. h = 2 3 cm, y = 6cm

e s = 4 3 cm 5. 3,84m 6. 130,5cm 7. 1600m 8. x = 3 3 e y = 9 - 3 3

9. 6

25(3 + 3 )

10. 50 3 11. 75

12. senα = 5

4 e cosα =

5

3

13. 10 14. 300

15. a = 2 e b = 1

16. 450 17. 5

53 e

5

56

18. 3

34 19. 12 3

20. 2

3 21. 3 22. 9m

23. 600 24. 0 25. 3

320

26. sen600=2

3, cos600=

2

1

e tg600 = 3 27.

s c

t

300

2

1

2

3

3

3

450

2

2

2

2

1

600

2

3

2

1

3

28. a) x = 2 3 e y = 2

b) x = 6 e y = 3 3

c) x = 10 e y = 5 3

29. 2 3 30. 1003

3

31. 50( 3 +1) 32. 1000m

33. cosα=3

22 e tgα=

4

2

34. senα=3

52 e cosα=

5

5

35. senα=4

15 e tgα= 15

36.senα=10

103 e cosα=

10

10

37. 32

9

38. a) 3

π b)

6

7π

c) 2

5π d)

6

5π

e) 15

π f)

90

π

g) 4

π h)

3

2π

i) 12

π j)

4

7π

k) 6

11π l)

18

31π

39. a) 6000 b) 9900 c) 200 d) 90 e) 2400 f) 1080 g) 2203’ h) 3000 i) 2100 j) 1200 k) 150 l) 157030’ m) 1350 40. 88,40cm 41. 37,88m 42. 32cm 43. 4500voltas 44. a) 2 b) 50 c) 3 d) 0,25



12

45. 3

1cm 46. 7,85

47. 5

πrad 48. 94,20m

49. 20,93cm 50. 275,16m 51. 336,25km

52. a) 3

π b)

3

4π c) π

53. 82030’ 54. 47030′ 55. 1450 56. a) 187030′ b) 3200 57. a) III b) I c) III d) III e) I f) III g) III h) III

58. a) 3

π+2kπ b)

5

2π+2kπ

c) 1200+k.3600 d) 4

3π+2kπ

e) 3000+k.3600 f) 2

π+kπ

g) 4

π + kπ h)

3

π + kπ

Obs: k ∈ Z 59. a) α0=1100 α = 1100 + k.360° b) α0 = 2100 α = 2100 + k.360° c) α0 = 3550 α = 3550 + k.360° d) α0 = 500 α = 500 + k.360°

e) α0= 4

7π

α =4

7π+2kπ

f) α0 = 2

3π

α = 2

3π + 2kπ

g) α0 = 3

5π

α = 3

5π + 2kπ

h) α0 = 8

3π

α = 8

3π + 2kπ

60. a) S b) N c) N 61. a) 3400 e 7000

b) 6

7π e

6

19π

62. a) IVQ b) IQ c) IIIQ 63. e

64. a) 2

2, -

2

2

b) 2

3, -

2

1

c) -2

1,

2

3

d) -2

3,

2

1

e) -2

3,

2

3

f) -2

2, -

2

2

g) -2

3, -

2

1

h) -2

1, -

2

3

i) 2

3, -

2

1

j) 2

1,

2

3

k) 2

2, -

2

2

l) -2

2,

2

2

m) -2

1,

2

3

n) 1, 0

o) 2

1,

2

3

p) 2

2,

2

2

q) 1, 0

r) 2

3, -

2

1

s) 0, -1

t) 2

1,

2

3

u) 2

2, -

2

2

v) -1, 0 65. 2 + 3 66. 1 67. 0, -1, 0

68. 2

2,

2

2, 1

69. 2

3,

2

1, 3

70. 2 - 3 71. 1, 2 , 2

72. 3

3, 2,

3

32

73. 0, não existe, -1

74. 3

3 75.

3

32, 2

76. 1 77. 2

23 −

78. 2

23 − 79. 0 80. -1

81. π

82. 31

13

−

+ ou -2 - 3

83. 3 ≤ m ≤ 5

84. a) {m∈R/7

19≤ m ≤ 3}

b) {m ∈R/ -3

5 ≤ m ≤ -1}

c) {m ∈ R / 4 ≤ m ≤ 5} 85. -1 ≤ k ≤ 2

86. a) {m ∈R/0 ≤ m ≤ 3

1}

b) {m ∈ R / -3 ≤ m ≤ -2} c) {m ∈ R / 2 ≤ m ≤ 3}

87. -4

3 ≤ k ≤

4

1

88. a) 6

1≤ m ≤

2

1

b) 2

5 ≤ m ≤

2

7

c) -2

5 ≤ m ≤ -

2

1

d) 4

7 ≤ m ≤

4

13

89. π

90. a) 4

π b)

5

π

c) 10π d) 10

π

91. a) 3

π b) 7π/2

c) 3

2π d) 8π

92. a) 4π b) 2π c) 4π



13

d) 3

2π e) 2π f)

3

2π

93. a) 3

π b)

4

π

c) 5

π d) 3π

94. a) x ≠ k3

π

b) x ≠ π + 2kπ

c) x ≠2

k

4

π+

π−

d) x≠ π+π

− k22

95. a) x ≠ 4

π + k

2

π

b) x ≠ kπ

c) x ≠ 2

k

2

π+

π

d) x ≠3

k

6

π+

π

96. a) D = R, Im = [0, 2], p = 2π b) D = R, Im = [-2, 0], p = 2π c) D = R, Im = [-1, 1], p = 2π d) D = R, Im = [-2, 2], p = 2π e) D = R, Im = [0, 2], p = 2π f) D = R, Im = [1, 3], p = 2π 97. a) π b) 4π c) π d) 4π 98. a) D = R, Im = [-3, 3], p = 2π

b) D = R, Im = [1, 3], p = 2π c) D =R, Im = [-1, 1], p =2π d) D=R, Im = [-2, 2], p = 8π 99. solução do aluno 100. a) tg2x b) cotgx c) cotgx 101. demonstração

102. sen2x =xgcot1

12+

103. cos2x =xgcot1

xgcot2

2

+

104. sen2x = xtg1

xtag2

2

+

105. a) -5

62 b)

3

5

c) -5

21 d) 2

3

e) - 2 10

7 f) -

5

4

106. a) -7

34 b) -4

7

c) 7

53 d) 2

3

e) -2

2 f) -2

1

107. 2

1 108. 27

1

109. 72

2 110. 16

111. sen cos tag

a) 2

3 __ 3

b) -5

3 5

4 -4

3

c) 5

3 5

4 __

d) -25

24 __ -7

24

cotg sec cossec

a) 3

3 2 3

32

b) -3

4 __ -3

5

c) 3

4 4

5 3

32

d) -24

7 7

25 -24

25

112. 2

3 113. a = 2

114. cosx = 5

4 e tgx = 4

3

115. ±1/2

116. a) -2

3 b) -1

c) -24

25 d) 3

5 e) 3

5

f) -4

23 g) 5

12

117. 5

62 , -2 6 , -12

6

118. 2 2 119. 2

2 , 2

120. a) 19 b) -24

25

c) 3

8 d) 31

50 e) 15

14

121. a) m = ±2 b) não existe c) m = -1 d) a = 2 e) a = 2 ou a = 1

f) m = 2 ou m = -5

12

122. a) cosx b) senx c) -cosx d) -cosx e) tgx f) -tgx

123. a) 9

332 −

b) 6 -3 2 c) 1

d) -4

2 e) -4

1

f) 2

1 g) 2 - 3

h) 3 i) 0

124. a) -3

4 b) 4

3 c) -3

1

125. a) -tgx b) 1 c) -senx.cosx d) -1 e) -1 f) -secx 126. a) 1

b) xcos

xsen2 ou tgx.senx

c) 0 d) -2

127. a) 4

62 + b) 4

26 −

c) 4

62 − d) 4

62 +

e) 2 + 3 f) 2 - 3

128. a) 20

1273 −− b) 20

749 −

c) 749

1273

−

−− d) 20

974 −−

129. a) -1 b) 7

1

130. a) 4

62 −

b) 2 - 3 c) 2

1

131. demonstração



14

132. 2 cosx 133. a) senx b) -cosx c) -senx d) senx e) -senx f) cosx

134. 3

1 135. 10

3

136. ytg21

tgy32−

137. cotg2x

138. tg2x 139. 2 -1 140. a) 0,6427 b) 0,9999 c) 0,8391 141. cos800 = 0,1743, sen800 = 0,9847 e tg800 = 5,6494

142. a) 8

73 b) -8

1

c) -3 7

143. a) -25

24 b) -

169

119

c) 5

14, -

3

4

d) -119

120,

7

24

144. a) 2cos2x – 1 b) 1 - 2sen2x

145. a) -2

1 b) -

2

1

146. a) tg2x = 3

4 e

cotg2x = 4

3

b) tga = 1 ± 2

147. sen2x = -8

73

148. sen2x = 25

214 e

cos2x = -25

17

149. demonstração

150. 15

8 e

8

15

151. 3

2

152. a) 2cos3x.cosx b) 2sen6x.cosx c) 2seny.cos2y d) 4cosy.sen4y.cos2y

153. a) o

o

10cos

15cos b) sen250

c) tg

+

2

yx

d) tg

−

2

yx

154. a) 2 cos100

b) 2sen100.cos350 c) 2 cos250

d) 2sen350.sen100 155. a) 2sen3x.cosx b) 2sen2x.cos3x c) 2sen4x.cosx d) 2sen3x.cos4x e) 2cos²x

156. y = -o

o

15cos

55cos

157.-cotg

+

2

yx .cotg

−

2

yx

158. y = cotg250

159. a) 2

1 b) senx

c) -2cos4x.cos2x d) 2sen750.cos150 e) 2cos²150 f) 4sen3a.cos²a

160. a) 2

1(cos3x - cosx)

b) 2

1(cos5x + 4cosx)

c) 2

1(sen5x + senx)

d) 2

1cos2x -

4

1

e) 2

1sen2x

161. - 3 162. cotgx

163. a) 4

5π,

4

7π

b) 6

π,

6

11π

c) 6

π,

6

11π

d) 3

2π,

3

4π

e) 2

3π f)

2

π,

2

3π

g) π h) 2

π

i) 0, 2π j) 3

4π,

3

5π

l) Ø m) Ø n) Ø

164. x = 3

π + 2kπ

ou x = 3

5π+ 2kπ

165. a) x = 3

2π+ 2kπ

ou x = 3

4π + 2kπ

b) x = 2kπ

c) x = 2

π + 2kπ

d) x = 4

π + 2kπ

ou x = 4

3π + 2kπ

e) x = π + 2kπ

f) x = 4

π + kπ

166. a) {0, 2π} b)

π

2

3

c)

ππ

6

5,

6 d)

ππ

4

3,

4

e)

ππ

6

11,

6

7

f)

ππ

4

7,

4

5

g) {0, π} h)

π

8

3

i)

π

4 j)

ππ

12

5,

12

167. a)

ππ

3

5,

3

b)

ππ

3

4,

3

2

c) {0, 2π} d)

ππ

2

3,

2

e) {π} f)

ππ

4

7,

4

g)

ππ

4

5,

4

3 h)

π

3

i)

ππ

4

3,

4 j)

ππ

6

5,

6

168. a)

ππ

4

7,

4

5

b)

ππ

6

5,

6



15

c) 2

π,

2

3π e π

d) 0, 6

π,

6

11π e π

e) 0, 3

4π,

3

5π e 2π

f) 0, 2π

g) 0, 2

π e π

h) 0, 3

4π,

3

5π e π

i) 0, π

169. a) 6

π,

2

π,

6

5π e

2

3π

b) 2

π,

6

7π,

2

3π e

6

11π

c) 8

3π +

2

kπ

d) 2

π e

2

3π

170. a) 8

π,

2

π,

8

3π e

2

3π

b) 0, 2

π, π

c) 0, 6

π,

2

π e 2π

171. a) 6

π ≤ x ≤

6

5π

b) 0 ≤ x ≤ 4

3π

ou 4

5π ≤ x ≤ 2π

c) 0 < x < π

d) 2

π < x <

2

3π

e) 3

4π ≤ x ≤

3

5π

f) 0 < x < 6

5π

ou 6

7π < x < 2π

g) 0 < x < 4

π ou

4

5π < x < 2π

h) 0 ≤ x ≤ 6

π ou

6

11π ≤ x ≤ 2π

172. a) 0 ≤ x ≤ 6

7π ou

6

11π ≤ x ≤ 2π

b) 0 ≤ x ≤ 3

π ou

3

5π ≤ x ≤ 2π

c) 4

π < x <

2

π ou

4

5π < x <

2

3π

d) 0 < x < 6

π ou

6

11π < x < 2π

e) 0 ≤ x ≤ 4

5π ou

4

7π ≤ x ≤ 2π

f) x ∉

ππ

2,

4 e

x ∉

ππ

2

3,

4

5

g) x ≠ π

h) 0 < x < 4

π ou

4

7π < x < 2π

173. a) S={x∈R/π≤ x≤2π}

b) π

<<π

∈3

2x

3/Rx ou

π

<<π

3

5x

3

4

c) π

<≤∈4

x0/Rx ou

π≤<π

2x4

7

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ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA Álgebra€¦ · Trigonometria 1. Um dos catetos de um triângulo retân-gulo mede 20cm, e o outro é igual a 4 3 do primeiro. Calcule a medida da hipote-nusa