LÓGICA MATEMÁTICA E CONJUNTOS - cattai.mat.brcattai.mat.br/.../docs/logica/ERON_LOGICA_MATEMATICA_UNEB_P… · PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA APRESENTAÇÃO 3 Este material resume

PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA

1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

PROGRAD – DCET

CAMPUS I – SALVADOR

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

LÓGICA MATEMÁTICA E CONJUNTOS

Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.)

Notas de Aula

Eron

Salvador–Ba

2011


2 Figura da capa – Aristóteles

Aristóteles nasceu em Estagira em 384 a.C. e faleceu em Calcis (Eubea), em 322 a.C.

Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou. Depois

de viajar por vários países, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que

competiu com seriedade com a Academia de seu mestre. Esteve bastante ligado com

Alexandre o Grande (356–323 a.C.), de quem havia sido conselheiro, razão pela qual, à

morte deste, teve que abandonar Atenas, onde não pode mais ingressar.

Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica, nas quais

contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático. É daí

que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza, além da

lógica, da metafísica, da ética, da política, da retórica e da poética, algo assim como uma

enciclopédia do saber de sua época.


3 APRESENTAÇÃO

Este material resume notas de aulas e exercícios de uma Introdução à Lógica

Matemática e Conjuntos. Foi desenvolvido para ajudar na aprendizagem dos alunos do curso

de Licenciatura em Matemática do projeto PARFOR coordenado pela UNEB do Campus de

Salvador.

Um dos objetivos é de otimizar o tempo de apresentação e ajudar na interação dos

alunos com os conteúdos. Outro objetivo é que tenhamos um material para acompanhar as

aulas, e assim, adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas.

Resume os seguintes tópicos que formam a ementa da disciplina Lógica Matemática e

Teoria dos Conjuntos:

Elementos de Lógica Matemática

Conjuntos

Conjunto dos Números Reais

Relações e definição de função

Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este

material, ainda incompleto, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir

melhorias.

No final, há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material,

você deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido.

Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e

livros citados na bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no

momento em que se realizam a aulas.

Salvador, janeiro de 2011.

Eron

[email protected]


4 PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA

Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto. O raciocínio é o

processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos. O raciocínio correto é o

raciocínio onde as conclusões seguem-se necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos.

A lógica procura estudar as coisas da mente, e não as coisas reais. Por exemplo, quando

dizemos: arco-íris bonito, sol distante, praia suave são classificações que damos às coisas.

Aplicamos lógica na Filosofia, Matemática, Computação, Física, Engenharias, entre

outros. Na Filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não, pois uma frase

pode ter diferentes interpretações, não obstante a lógica permite saber o significado correto.

Nas Matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podem ser

aplicados nas pesquisas. Na Computação para determinar se um determinado programa é

correto ou não, na Física para obter conclusões de experimentos.

Conteúdos

1. Estudar Lógica

2. Lógica – um pouco de história

3. Proposições e conectivos

4. Tabela-verdade e cálculo proposicional

5. Equivalência lógica e álgebra das proposições

6. Implicação lógica e regras de inferência

7. Argumentos

8. Métodos para validade de argumentos

Tabela-verdade; Regras de inferência; Inferência + equivalências; Contradição

9. Sentenças abertas e quantificadores lógicos

10. Exercícios de Aprendizagem e Fixação


5 Lógica Matemática: alguns motivos para estudá-la.

1. Lógicas consistentes são os fundamentos da Matemática, ou seja, toda Matemática

está alicerçada sobre conceitos e estruturas lógicas.

2.

3. Lógica está nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O conteúdo de Lógica

Matemática ajuda na necessidade que temos em trabalhar a Matemática dos diversos

níveis de ensino (fundamental, médio e superior) com argumentação, interpretação e

análise da realidade, por meio de premissas verdadeiras ou falaciosas, como apontam

os PCN.

De acordo com os PCN, “embora a Lógica não se constitua como bloco de conteúdo a

ser tratado sistematicamente, alguns de seus princípios podem e devem ser integrados

aos demais conteúdos. (...) No contexto da construção do conhecimento matemático,

é ela que permite a compreensão dos processos, possibilita o desenvolvimento da

capacidade de argumentar e de fazer conjecturas e generalizações”.

Também consta dos PCN a necessidade cada vez maior de que as diferentes áreas do

saber sejam trabalhadas em conjunto.

4.


6 Lógica Matemática – um pouco de história

O pensamento lógico teve forte presença no cerne da civilização Grega. Aristóteles

(384–322 a.C.) é tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lógico da época.

Presume-se que a partir de uma análise das discussões, que eram comuns no seu tempo, o

filósofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razão, na busca da

verdade. Aristóteles teve seu trabalho registrado por seus discípulos e a obra de Lógica,

intitulada o “Organon”, serviu de fundamentação para a Lógica Simbólica. Aristóteles

classificou as proposições em quatro grupos, dois originários de uma consideração

qualitativa e dois de considerações quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se

proposições afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares.

Assim é que na lógica de Aristóteles aparecem expressões como todo, nenhum, algum, etc; e

frases tipo “Todo homem é mortal” (afirmativa universal) e “Alguns homens não são

sábios” (negativa particular).

Ainda na Grécia Antiga, surgiu a escola estóico-megárica que estudava a lógica das

proposições, desenvolvendo aspectos não encontrados na Lógica Aristotélica. Depois do

período dos estóico-megários, inicia-se um período obscuro, quase virgem de pesquisa.

Segundo os elementos históricos existentes, não houve nenhuma contribuição original à

Lógica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmissão de conhecimentos

antigos para a Idade Média. Destaca-se Boécio (470–524) com a tradução latina de parte da

obra aristotélica.

Foi um longo período pobre de contribuições para esse ramo do conhecimento científico.

Durante os séculos XVII e XVIII e início do século XIX o grande interesse era pela retórica e

pelas questões psicológicas. Escapa dessa influência Leibniz (1646–1716), cujas idéias originais

e inovadoras ficaram isoladas no século XVII e só viriam a ser apreciadas e conhecidas no fim

do século XIX. Assim é que o uso de diagramas para estudos de lógica, atribuído a Euler,

já tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn (1834–1923) quem

aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica.

Leibniz foi o precursor da Lógica Moderna. Ele sugeriu uma espécie de Álgebra Universal, uma

linguagem de símbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a língua

utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lógica

Simbólica (também chamada de Lógica Matemática ou Lógica Formal) e cujo objetivo era

dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lógico tradicional.

O período “contemporâneo” da lógica tem suas raízes nos trabalhos de George Boole (1815-

1864) que deu novos rumos ao estudo da matéria. A obra fundamental de Boole,

“Investigations of the Laws of Thought”, publicada em 1854, compara as leis do pensamento


7 às leis da álgebra. Paralelamente, De Morgan (1806-1871) também contribuiu para o

desenvolvimento da álgebra da Lógica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lógica

clássica torna-se autônoma, separando-se da Filosofia para tornar-se a Lógica Matemática.

Os alemães Frege (1848-1925) e Cantor (1845-1918) deram impulsos à Lógica Simbólica. A

tentativa de Frege de transformar a Matemática em ramo da Lógica levou a paradoxos depois

estudados por Russel e Whithead, autores do “Principia Mathematica”, uma das obras

fundamentais deste século. Como consequência os lógicos e matemáticos entraram em

divergência, a partir da segunda metade do século XIX, dando lugar ao surgimento de pelo

menos três correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo

(de Brouwer) e o formalismo (de Hilbert).

A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemática à Lógica, e seu pensamento está bem

delineado na obra “Principia Mathematica” e suas origens estão certamente em Leibniz.

A corrente formalista – cujas raízes estão no filósofo alemão Kant, foi liderada por Hilbert.

Amplia a atuação da Lógica caracterizando-a como um método de obter inferências

legítimas. Uma teoria para ser formalizada deve conter conceitos primitivos, axiomas e

teoremas e ser consistente. Ser consistente numa teoria formal significa que se ela contém

determinada proposição, não pode conter a sua negação.

A escola intuicionista, cujo maior representante foi o matemático holandês Brouwer,

reduz a Lógica a um método que se desenvolve paralelamente a Matemática. Para os seus

seguidores, todos os conhecimentos existem por intuição, ou seja, sem auxílio de raciocínio.

Rejeitam o princípio do terceiro excluído, sendo, portanto possível para eles a construção

de enunciados que não são verdadeiros ou falsos.

As críticas e divergências em torno dos fundamentos filosóficos do “Principia Matemática”

deram lugar ao surgimento de lógicas polivalentes. Atualmente a Lógica não está – como

esteve, até por volta de 1930 – dividida nas três correntes acima. Hoje, inúmeras correntes

surgem e as três antigas se aproximam. Os estudos ganharam um ritmo acelerado, as

especialidades se multiplicam e os problemas se abrem.


8 1. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

A Lógica Matemática se ocupa da análise de certas sentenças, quase sempre de conteúdo

matemático. Também estuda as relações, conexões, entre estas sentenças. Começaremos

definindo proposição.

Proposição. Chama-se proposição uma sentença (conjunto de palavras e símbolos)

declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo e que pode ser classificada como

verdadeira ou falsa.

Os termos “verdade” e “falsidade” são chamados valores lógicos de uma proposição.

Para efeito de classificar as proposições em “verdadeiras” ou “falsas” a Lógica Matemática

adota como regras fundamentais os dois seguintes princípios:

Princípio da Não Contradição – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo

tempo.

Princípio do Terceiro Excluído – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa (isto é, verifica-se

sempre um desses casos e nunca um terceiro).

Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um e somente um dos

valores lógicos “verdade” ou “falsidade”. Por este motivo, chamamos a Lógica Matemática de

bivalente.

Notação. As proposições serão indicadas por letras , , , , ,...p q r s t e o seu valor lógico por

( )V p V= (ou 1) para uma proposição verdadeira e, ( )V p F= (ou 0 ) para uma

proposição falsa.

Exemplos e contra-exemplos

1) :p Salvador é a capital da Bahia.

2) : 2 3 5q + < .

3) :r O poeta Castro Alves era baiano.

4) 2 1x + = .

5) Como faz calor!

6) Que dia é hoje?


9 Os exemplos 5 e 6 não são proposições, pois são sentenças exclamativas e interrogativas,

respectivamente. O exemplo 4 também não representa uma proposição, uma vez que não

podemos atribuir um único valor lógico (depende de x ).

As proposições podem ser classificadas em simples e compostas.

Proposições simples – Aquelas que não contêm nenhuma outra como parte integrante de si

mesma. São também chamadas de atômicas.

Proposições compostas – Aquelas formadas pela combinação de proposições simples. São

também chamadas de moleculares.

Como convencionado anteriormente as proposições simples serão indicadas por letras

, , , , ,...p q r s t . As proposições compostas serão denotadas por , , , , ,...P Q R S T .

Exemplos – Classifique as proposições em simples ou composta.

1) 2 é ímpar. (simples)

2) 3 é ímpar e 2 ∈ . (composta)

3) 2 0> ou 3 1 5+ = . (composta)

4) Se 4 é par então 4 é divisível por 2. (composta)

5) 3 é ímpar se e somente se 3 é primo. (composta)

Conectivos. As palavras ou símbolos usados para formar novas proposições a partir

de proposições dadas são chamados de conectivos.

Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são:

Conectivo Símbolo

Não, não é verdade que ∼ Negação ou modificador

E ∧ Conjunção

Ou ∨ Disjunção

Se ... então → Condicional

Se e somente se ↔ Bicondicional


10 Dadas as proposições simples p e q podemos com o uso dos conectivos formar novas

proposições a partir de p e q . Assim, temos:

Negação de p p∼ Não p

Conjunção de p e q p q∧ p e q

Disjunção de p e q p q∨ p ou q

Condicional de p e q p q→ Se p então q

Bicondicional de p e q p q↔ p se e somente se q

Exemplo 1 – Dada as proposições:

:p Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto”.

:q Rui Barbosa era baiano.

Exibimos abaixo algumas proposições e suas traduções para a linguagem corrente:

:p∼ Jorge Amado não escreveu o livro “Mar Morto”.

:p∼ Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto”.

:p q∧ ∼ Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” e Rui Barbosa não era baiano.

:p q∧ ∼ Jorge Amado escreveu o romance “Mar Morto” e é falso que Rui Barbosa era baiano.

:p q∨∼ Jorge Amado não escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa era baiano.

:p q∨∼ Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa

era baiano.

( ) :p q∨∼ Não é verdade que: Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa

era baiano.

Exemplo 2 – Considere as proposições : 2 .p é um número par e : 6 3.q é múltiplo de

Para as seguintes proposições temos as traduções para a linguagem simbólica.

a) 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3 . p q∨∼


11 b) Se 6 não é múltiplo de 3 então 2 é par . q p→∼

c) 2 não é par, se e somente se, 6 é múltiplo de 3. p q↔∼

2. OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES (CÁLCULO PROPOSICIONAL)

Quando estudamos os conjuntos numéricos, definimos operações como a adição,

multiplicação, etc. e as propriedades de tais operações, mostrando que tais conjuntos têm

uma estrutura algébrica. No caso da Lógica não trabalhamos com números, mas com

proposições. Já vimos que a partir de proposições simples podemos “combiná-las” mediante

o uso de conectivos para formar novas proposições. O que queremos saber agora é:

Conhecidos os valores lógicos das proposições simples, qual o valor lógico da proposição

resultante obtida com os conectivos?

Na verdade os conectivos funcionam como símbolos operatórios, tais como , , , ,...+ − ÷ × .

Precisamos, portanto saber o “resultado” das operações envolvendo conectivos e

proposições da Lógica. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições p e q , queremos

definir os valores lógicos das proposições: , , , , p p q p q p q p q∧ ∨ → ↔∼ , que decorrem de

situações cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lógica.

Negação. A negação de uma proposição p escreve-se p∼ e se lê: “não p ” ou “é falso que

p ”, ou “não é verdade que p ”; é a proposição que nega que se cumpra a proposição p .

Podemos resumir isto na seguinte tabela-verdade

p p∼

V F

F V

A negação de uma proposição não afirma que aconteça o contrário.

Exemplos

a) p : 12 é um número ímpar.

p∼ : Não é verdade que 12 é número ímpar.


12 b) p : Lima é a capital do Peru (V).

p∼ : Lima não é a capital do Peru (F).

p∼ : Não é verdade que Lima é a capital do Peru (F).

c) p : Maria é bonita.

p∼ : Não é verdade que Maria seja bonita.

A proposição p∼ não afirma que Maria seja feia, pois entre ser bonita ou feia existem

outras possibilidades.

Observação. Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma,

ou algo com valor lógico diferente. Por exemplo, a proposição

q : Salvador é a capital da Bahia (V)

não é a negação de

p : Brasília é a capital da Bahia (F).

Conjunção. Dadas as proposições p e q , a proposição p q∧ é verdadeira quando as duas

proposições forem verdadeiras, e é falsa se uma delas for falsa. Pode-se resumir o exposto

na tabela a seguir.

p q p q∧

V V V

V F F

F V F

F F F

A tabela acima prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição

composta a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos lógicos, é chamada

tabela-verdade da proposição composta. O conectivo lógico ∧ (“e”) traduz a idéia de

“simultaneidade”.


13 É conveniente diferenciar entre o “e” que usamos na determinação da conjunção p e q o

“e” na utilização da linguagem do dia a dia. O mesmo texto permitirá diferenciar um do

outro. Assim, por exemplo, quando se diz: “Seja a proposição p e q ” entende-se claramente

que o “e” está determinando sua função lógica; no outro caso quando se diz: “Sejam as

proposições p e q ” fazemos uso do “e” no sentido da linguagem do dia a dia.

Exemplos

a) : 2 5p < : 2 3 5q + =

Observe que ( )V p V= e ( )V q V= , logo, ( )V p q V∧ = .

b) :p π é um número irracional. :q 2 é ímpar .

Então, ( )V p V= e ( )V q F= , logo, ( )V p q F∧ = .

c) Consideremos : 2 8 5p + > e : 8 6q > , então, temos as quatro possibilidades

2 8 5+ > ∧ 8 6> V

2 8 5+ > ∧ 8 6≤ F

2 8 5+ ≤ ∧ 8 6> F

2 8 5+ ≤ ∧ 8 6≤ F

Disjunção. Dadas as proposições p e q a proposição p q∨ é verdadeira quando pelo menos

uma das proposições for verdadeira, e é falsa se as duas forem falsas. Resumindo, a tabela-

verdade é dada por

p q p q∨

V V V

V F V

F V V

F F F


14 Exemplos

a) :p 2 é ímpar. : 3 0q > .

Temos então que ( )V p q V∨ = .

b) : 4 7 11p + = : 15 3 12q − =

Então temos as quatro possibilidades

4 7 11+ = ∨ 15 3 12− = V

4 7 11+ = ∨ 15 3 12− ≠ V

4 7 11+ ≠ ∨ 15 3 12− = V

4 7 11+ ≠ ∨ 15 3 12− ≠ F

Observação. Na linguagem do dia-a-dia, a palavra “ou” tem dois sentidos:

1º. p : Mário é motorista ou professor.

2º. q : Carlos é gaúcho ou paulista.

Da proposição p podemos obter as proposições: “Mário é motorista”, assim como “Mário é

Professor”, podendo ser ambas verdadeiras então temos que “Mário é motorista e professor”.

Mas na proposição q , temos as proposições “Carlos é gaúcho”, e a outra, “Carlos é paulista”

sendo verdadeira somente uma delas que exclui o valor verdade da outra; não é possível

ocorrer “Carlos é gaúcho e paulista”.

Na proposição p , a disjunção é inclusiva; e, na proposição q a disjunção é exclusiva. O

símbolo “∨” ou “∨” indica o conectivo lógico exclusivo e sua tabela-verdade mostramos

abaixo

p q p q∨

V V F

V F V

F V V

F F F


15 Exemplos

a) João é baiano ou sergipano. (DE)

b) Canto ou assovio. (DE)

c) Maria é professora ou advogada. (DI)

Condicional. Dadas as proposições p e q , a proposição p q→ é falsa quando p é verdadeira

e q é falsa e é verdadeira nos demais casos. Resumindo, a tabela-verdade é dada por

p q p q→

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplos

a) :p 4 é ímpar.

:q 3 é par.

Então ( )V p q V→ = .

b) p : 3 2 5+ = e : 3 5q < , então temos as quatro possibilidades:

3 2 5+ = ∨ 3 5< V

3 2 5+ = ∨ 3 5≥ F

3 2 5+ ≠ ∨ 3 5< V

3 2 5+ ≠ ∨ 3 5≥ V

Observações

1) Notemos que, quando o valor lógico da proposição p é falso, temos que a

condicional é automaticamente verdadeira (não depende do valor lógico de q ). Isto se justifica


16 pelo fato de que se p é falsa, qualquer conclusão pode se tirar daí, verdadeira ou falsa. Por

exemplo,

Se supusermos que 1 2= , podemos concluir que 0 1= e também que 3 3= .

Em outras palavras, se p é falsa, tudo é válido como nos ditados populares:

“Se você é o dono da Coca-Cola então eu sou o rei da Inglaterra”.

Isto dá origem a proposições sem nexo, absurdas, tais como:

“Se 2 1= então a lua é de queijo”,

“Se a Terra é quadrada então 2 2 4+ = ”,

que apesar de serem verdadeiras, de acordo com a regra estabelecida, não tem nenhum

sentido prático.

2) Na proposição p q→ , a proposição p é chamada de antecedente (hipótese) e a

proposição q de conseqüente (tese).

3) As proposições condicionais são importantes na matemática, e tem várias maneiras

diferentes de enunciá-las, por exemplo, p q→ podemos entender como uma das seguintes

formas

p implica q .

p é condição suficiente para q .

Para que p é necessário que q .

q é condição necessária para p .

Se p , também q .

q cada vez que p .

q se p .

q sempre que p .


17 4) Uma condicional p q→ não afirma que o consequente se “deduz” do antecedente p , ou

seja, pode não haver uma relação intrínseca entre p e q . O que a condicional afirma é

unicamente a relação entre os valores lógicos de p e q , de acordo com a definição dada,

isto é, a condicional p q→ é uma operação, também chamada de “implicação material”.

Obviamente, na maioria dos casos, a Matemática vai estar interessada em condicionais

verdadeiras, que vão de fato significar que p “implica” q .

5) O exemplo a seguir pode nos ajudar a “justificar” o significado das condições

“necessária” e “suficiente”.

“Se o pássaro canta então está vivo”.

i) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo, ou seja, é suficiente o pássaro

cantar para garantirmos que ele está vivo.

ii) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja, é necessário que o

pássaro esteja vivo para que ele possa cantar.

Proposições associadas à condicional. Toda condicional está associada a outras três

proposições, elas são: a recíproca, a inversa (ou contrária) e a contra-recíproca (ou

contrapositiva). Suponha temos a proposição composta: p q→ , então também temos

i) Recíproca: q p→ .

ii) Inversa: p q→∼ ∼ .

iii) Contrapositiva: q p→∼ ∼ .

Exemplos

a) Dada a condicional: “Se 4 é par então 4 é divisível por 2”, temos

i) recíproca: “Se 4 é divisível por 2 então 4 é par”

ii) inversa: “Se 4 não é par então 4 não é divisível por 2”

iii) contrapositiva: “Se 4 não é divisível por 2 então 4 não é par”

b) Dada a condicional: “Se 3 é um número irracional então 2 3 é irracional”, temos


18 i) recíproca: “Se 2 3 é irracional então 3 é irracional”

ii) inversa:

iii) contrapositiva:

c) Se o número a termina em zero, então a é múltiplo de 2.

Temos p : a termina em zero e q : a é múltiplo de 2. A proposição é da forma p q→ .

Recíproca: Se a é múltiplo de 2, então a termina em zero.

Inversa: Se a não termina em zero, então a não é múltiplo de 2.

Contra-recíproca: Se a não é múltiplo de 2, então a não termina em zero.

Bicondicional. Dadas as proposições p e q a proposição p q↔ é verdadeira quando p e

q tiverem os mesmos valores lógicos e é falsa nos demais casos. Sua tabela-verdade é

dada por

p q p q↔

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplos

a) :p 3 é ímpar . :q 4 é divisível por 2.

Então ( )V p q V↔ = .

Observações

1) A bicondicional também pode ser interpretada como a conjunção de duas

condicionais: ( ) ( )p q q p→ ∧ → ;

2) A bicondicional também pode ser lida como


19 i) p é condição necessária e suficiente para q .

ii) q é condição necessária e suficiente para p .

As definições que não são puramente nominais são condições necessárias e suficientes. Por

exemplo, ABC é um triângulo retângulo se e somente se ABC têm um ângulo reto.

3) É muito comum nos livros de Matemática, definições dadas por uma condicional como, por

exemplo: um triângulo é retângulo se tem um ângulo reto. Entretanto, deve-se entender

que a definição é sempre uma bicondicional.

Construção de Tabelas-verdade de proposições compostas

Dadas várias proposições , , , ...p q r , podemos combiná-las pelos conectivos lógicos

, , , , ∧ ∨ → ↔∼ e construir proposições compostas.

Exemplos

a) ( , ) : ( )P p q p p q∧ →∼

b) ( , ) : ( )Q p r p r r→ ∨∼

c) ( ) ( )( , , ) : ( )R p r s p s r s p s→ ∧ ∨ ∧ →∼ ∼ ∼

Cada proposição simples p tem dois valores lógicos: V ou F , que se excluem. Daí, para n

proposições simples 1 2, , ..., np p p , há tantas possibilidades quantos são os arranjos n a

n , com repetição de 2 elementos (V e F ), isto é, 2, 2nnA = . Segue-se que o número de

linhas da tabela-verdade é 2n .

Construção de uma tabela–verdade. Suponha temos a construir a tabela-verdade para a

proposição ( )( , ) : P p q p q∨∼ ∼ . Vamos considerar o roteiro seguinte:

a) Primeiro, formamos o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q ;

b) Em seguida forma-se a coluna para q∼ ;

c) Depois forma-se a coluna para p q∨ ∼ ;

d) E, finalmente, a coluna dos valores lógicos para ( )p q∨∼ ∼ .


20 Veja abaixo

p q q∼ p q∨ ∼ ( )p q∨∼ ∼

V V F V F

V F V V F

F V V F V

F F V V F

Exemplos

1 – Construa a tabela-verdade da proposição ( ) ( )( , ) :P p q p q p q∧ ∨ ↔∼ ∼ .

p q p q∧ p q↔ ( )p q∧∼ ( )p q↔∼ ( ) ( )p q p q∧ ∨ ↔∼ ∼

V V V V F F F

V F F F V V V

F V F F V V V

F F F V V F V

2 – Construa a tabela-verdade da proposição ( ) ( )( , ) :P p q p q p q∧ → ∨∼ ∼ ∼ .

p q p∼ q∼ p q∧ ∼ p q∨∼ ∼ ( ) ( )p q p q∧ → ∨∼ ∼ ∼

V V V

V F V

F V V

F F V

Os conectivos lógicos, do mesmo modo que servem para construir proposições compostas a

partir de proposições simples, também são utilizados para obter esquemas lógicos muito

mais complexos a partir de proposições compostas.


21 Observações sobre o uso de parêntesis. Para evitar ambiguidades, em geral, colocamos

parêntesis na simbologia das proposições compostas. Assim, por exemplo, a proposição

:P p q r∧ ∨ deve ser lida : ( )P p q r∧ ∨ , ou seja, na ordem de aparecimento dos conectivos.

Portanto, a supressão de parêntesis deve ocorrer por meio de convenções.

Em geral, ∼ é o conectivo de menor hierarquia, logo seguem ∨ e ∧ , esses conectivos tem a

mesma hierarquia; logo → é o de maior hierarquia. Porém, cada conectivo pode ter maior

hierarquia, quando o indica o parênteses de coleção. Dada uma proposição composta, os

valores-verdade desta proposição são os que correspondem aos valores do conectivo de maior

hierarquia presente na proposição.

Exemplos

a) A fórmula p q r p q∨ ∨ → →∼ ∼ deve ser entendida como:

( ) ( )( ) ( ) ( )p q r p q∨ ∨ → →∼ ∼

b) Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.

Na linguagem simbólica escrevemos: p q p∧ →∼ .

c) A lua não é quadrada se, e somente se, a neve é branca.

Na linguagem simbólica escrevemos: p q↔∼ .

Tautologia. É toda proposição composta ( , , ,...)P p q r cujo valor lógico sempre é verdade (V),

quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples , , ,...p q r .

Exemplos

a) A proposição p p∨ ∼ é tautologia.

p p∼ p p∨ ∼

V F V

F V V


22 b) Determine a tabela-verdade para a seguinte proposição: ( )( , ) : ( )P p q p q q p∨ ∧ →∼ .

p q p q∨ q∼ ( )p q q∨ ∧ ∼ ( )( )p q q p∨ ∧ →∼

V V V F F V

V F V V V V

F V V F F V

F F F V F V

Contradição. É toda proposição composta ( , , ,...)P p q r cujo valor lógico sempre é falso (F),

quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples , , ,...p q r .

Concluímos, portanto, que ( , , ,...)P p q r é uma tautologia se, e somente se, ( , , ,...)P p q r∼ é

uma contradição.

Exemplos

a) A proposição p p∧ ∼ é uma contradição.

p p∼ p p∧ ∼

V F F

F V F

b) Determine a tabela-verdade para a proposição ( )( ) : ( )P p p p p∨ ↔∼ .

p p p∨ ( )p p p∨ ↔ ( )( )p p p∨ ↔∼

V V V F

F F V F

Contingência. É toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. As

contingências também são chamadas de proposições contingentes ou proposições

indeterminadas.


23 Exemplo

a) Determine a tabela-verdade para a proposição ( )( , , ) : ( )P p q r p q r∧ ∧∼ ∼ .

p q r p q∧ r∼ ( ) ( )p q r∧ ∧ ∼ ( )( )p q r∧ ∧∼ ∼

V V V V F F V

V V F V V V F

V F V F F F V

V F F F V F V

F V V F F F V

F V F F V F V

F F V F F F V

F F F F V F V

Mais Exemplos – Construir a tabela verdade das seguintes proposições

a) ( ) ( )p q p q∧ ↔ ∨∼ ∼ ∼ (tautologia)

b) ( ) ( )p q p q∨ ∧ ∧∼ ∼ (contradição)

c) ( ) ( )p r q r∨ → ∧∼ ∼ (contingência)

3. EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Equivalência. Dizemos que uma proposição P é logicamente equivalente (ou simplesmente

equivalente) a uma proposição Q se a bicondicional P Q↔ é tautológica.

Usamos a notação P Q⇔ par indicar que a proposição P é equivalente à proposição Q .

Pela definição temos que se duas proposições são equivalentes então as suas tabelas-

verdade são idênticas.


24 Observação. Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos!

O símbolo ↔ indica uma operação lógica.

O símbolo ⇔ estabelece que P Q↔ é tautológica. Indica “relação” e não operação.

Exemplos

a) As proposições :P p p q→ ∧ e :Q p q→ são equivalentes.

Com efeito, observe a tabela-verdade.

p q p p q→ ∧ p q→

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

b) As proposições :R p q↔ e : ( ) ( )S p q q p→ ∧ → são equivalentes.

Observe a tabela-verdade.

p q p q↔ ( ) ( )p q q p→ ∧ →

V V V V

V F F F

F V F F

F F V V

c) Considere a proposição p q→ assim como sua recíproca q p→ , sua inversa p q→∼ ∼ e

sua contrapositiva q p→∼ ∼ .


25 p q p q→ q p→∼ ∼ q p→ p q→∼ ∼

V V V V V V

V F F F V V

F V V V F F

F F V V V V

Outros exemplos de proposições equivalentes

d) Se P e Q são ambas tautológicas ou ambas contradições então P Q⇔ .

e) ( ) p q p q∨ ⇔ ∧∼ ∼ ∼

f) ( ) p q p q∧ ⇔ ∨∼ ∼ ∼

g) ( ) p q p q→ ⇔ ∧∼ ∼

h) ( ) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼

Todas as equivalências exemplificadas podem ser demonstradas pela construção das tabelas-

verdade, ou utilizando o bom senso, em vários dos casos anteriores.

Por serem muito utilizadas em Matemática, destacamos as seguintes equivalências:

i) p q q p→ ⇔ →∼ ∼ .

A condicional e sua contrapositiva são equivalentes; nesta equivalência se baseia o método

de demonstração por absurdo.

ii) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ →

Exemplo – Mostre que: Se 2x é número ímpar, então x é número ímpar.

Podemos considerar a proposição :p 2x é número ímpar, e :q x é número ímpar. Então

temos que verificar a validade da proposição p q→ . Do fato de serem as proposições p q→

e p q→∼ ∼ logicamente equivalentes será suficiente mostrar que: Se x não é número

ímpar, então 2x não é número ímpar.


26 PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Reflexiva: P P⇔

Simétrica: Se P Q⇔ então Q P⇔

Transitiva: Se P Q⇔ e Q R⇔ então P R⇔

4. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES (PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES)

1. Dupla Negação. ( )p p⇔∼ ∼

2. Propriedades da conjunção. Consideremos , , p q r proposições simples, então o conectivo

lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:

a) Idempotente: p p p∧ ⇔

b) Comutativa: p q q p∧ ⇔ ∧

c) Associativa: ( ) ( )p q r p q r∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

d) Elemento neutro: p V p∧ ⇔

e) Elemento absorvente: p F F∧ ⇔

f) p p F∧ ⇔∼

3. Propriedades da disjunção. Sejam , , p q r proposições simples, então o conectivo lógico

da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:

a) Idempotente: p p p∨ ⇔

b) Comutativa: p q q p∨ ⇔ ∨

c) Associativa: ( ) ( )p q r p q r∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

d) Elemento neutro: p F p∨ ⇔

e) Elemento absorvente: p V V∨ ⇔

f) p p V∨ ⇔∼


27 Propriedades envolvendo conjunção e disjunção

4. Distributiva: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨

5. Absorção: ( )

( )

p p q p

p p q p

∧ ∨ ⇔

∨ ∧ ⇔

6. Leis de De Morgan: ( )

( )

p q p q

p q p q

∧ ⇔ ∨

∨ ⇔ ∧

∼ ∼ ∼

∼ ∼ ∼

7. Negação da condicional. ( ) p q p q→ ⇔ ∧∼ ∼

8. p q p q→ ⇔ ∨∼

9. p q q p→ ⇔ →∼ ∼

Observação sobre a condicional. A condicional p q→ não satisfaz as propriedades

idempotente, comutativa e associativa.

10. Negação da bicondicional. ( ) ( ) ( ) p q p q p q↔ ⇔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼

11. 5) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ →

Observações sobre a bicondicional

i. A bicondicional p q↔ não goza da propriedade idempotente, pois é óbvio que as

proposições p p↔ e p não são logicamente equivalentes.

ii. A bicondicional goza das propriedades associativa e comutativa.

Nota. Todas as equivalências continuam sendo válidas quando substituímos as

proposições simples por proposições compostas.


28 Exemplos

1 – Utilizando as propriedades das operações lógicas simplifique as seguintes proposições:

a) ( )p q q∧ ∨ ∼

( )

( ) ( )

( )

p q q

p q q q

p q V

p q

∧ ∨⇔ ∨ ∧ ∨⇔ ∨ ∧⇔ ∨

∼∼ ∼∼∼

b) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

p p q p q

p p q

p p p q

F p q

p q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇔ ∧ ∨

⇔ ∧ ∨ ∧⇔ ∨ ∧⇔ ∧

∼∼ ∼∼ ∼

∼∼

c) ( )p p q→ ∧∼ ∼

( )

( ) ( )

p p q

p p q

p p q

V q

V

→ ∧⇔ ∨ ∧⇔ ∨ ∨⇔ ∨⇔

∼ ∼∼ ∼ ∼∼ ∼∼

d) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤∨ → ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

p p q p q

p p q p q

p p q q

p p F

p p

V

⎡ ⎤∨ → ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⇔ ∨ ∨ ∧ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⇔ ∨ ∨ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦

⇔ ∨ ∨⇔ ∨⇔

∼∼ ∼ ∼∼ ∼∼∼

2 – Mostre que p q p∧ → . Basta mostrar que p q p T∧ → ⇔ .

Demonstração. ( ) ( ) ( ) ( )p q p p q p p q p p p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤∧ → ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼

( )( ) p p q T q T⎡ ⎤∨ ∨ ⇔ ∨ ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼ .


29 3 – Mostre que ( )p q p q F→ ⇔ ∧ →∼ .

Demonstração. ( ) ( ) p q F p q F p q p q p q∧ → ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ⇔ →∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ .

4 – Mostrar que p q p q q→ ⇔ ∨ → .

5 – Mostre que a condicional ( )p q p q⎡ ⎤→ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦ (modus ponens) é logicamente verdadeira.

Demonstração.

( ) p q p q⎡ ⎤→ ∧ → ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

( )p q p q⎡ ⎤⇔ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼

( ) ( )p p q p q⎡ ⎤⇔ ∧ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼

( )F q p q⎡ ⎤⇔ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) q p q V⇔ ∧ → ⇔

6 – Este exemplo mostra como as equivalências são utilizadas nas demonstrações em

Matemática. Considere o seguinte

Teorema: Dadas três retas distintas , e r s t do plano, se r s e s t então r t .

Demonstração. Provaremos usando redução ao absurdo, isto é, e e r s s t r t F→ .

i) r t r t→ ∩ ≠ ∅

ii) r t∩ ≠ ∅ e r s e s t → r t= (axioma das paralelas)

iii) r t= é uma contradição, pois por hipótese as retas são distintas.

5. IMPLICAÇÃO LÓGICA

Implicação. Diz-se que uma proposição P implica logicamente (ou simplesmente, implica)

uma proposição Q , se Q é verdadeira sempre que P for verdadeira.

Indicamos a implicação lógica por P Q⇒ .


30 Como consequência imediata da definição temos que P Q⇒ significa que a condicional

P Q→ é tautológica, isto é, P Q V→ ⇔ .

De fato, pela definição, se temos que P Q⇒ , então não ocorre a situação ( )V P V=

e ( )V Q F= que é o único caso em que a condicional é falsa. Logo, P Q→ é uma tautologia.

Observação. Os símbolos ⇒ e → são distintos!

O símbolo → indica uma operação lógica.

O símbolo ⇒ indica que a condicional P Q→ é tautológica. É uma “relação” e não

operação.

Exemplos em tabela-verdade

1) Sejam : P p q∨∼ e :Q p q→ , temos que:

p q p q∨∼ p q→ P Q→

V V V V V

V F V

F V V V V

F F V V V

2) Mostre que a proposição : ( )P p p q→ ∧ implica logicamente à proposição :Q p q→ .

p q ( )p p q→ ∧ p q→ P Q→

V V V V V

V F V

F V V V V

F F V V V

3) Verifique se a proposição :R p q→ implica logicamente a proposição :S p q∨ ∼ .


31 p q p q→ p q∨ ∼ R S→

V V V V V

V F

F V V F F

F F V V V

Observe a terceira linha da tabela-verdade, a verdade de R não implica a verdade de S .

Portanto a proposição R , não implica logicamente a proposição S .

Para demonstrar uma implicação, P Q⇒ , podemos também utilizar o método dedutivo,

que neste caso consiste em mostrar que P Q V→ ⇔ .

Outros Exemplos

a) O pássaro canta ⇒ O pássaro está vivo.

b) x é par ⇒ 2x é par.

c) x é um número primo ⇒ 2x = ou x é ímpar.

d) p q p q∧ ⇒ ∨ .

e) Se 2 2x = então x ∉ .

f) ( ) ( )0 0x x y x y x≠ → = ∧ ≠ ⇒ = .

g) ( ) ( )4 4 x y x x x y= ∨ < ∧ ≥ ⇒ = .

Propriedades da implicação

Reflexiva: P P⇒

Transitiva: Se P Q⇒ e Q R⇒ então P R⇒ .


32 Regras de inferência (mais propriedades da implicação). Algumas implicações lógicas se

destacam por terem papel importante nas demonstrações matemáticas. Tais implicações

são chamadas de Regras de Inferência. Vejamos alguns exemplos

1) Regra da Adição (AD)

p p q

q p q

⇒ ∨⇒ ∨

2) Regra da Simplificação (SIMP)

p q p

p q q

∧ ⇒∧ ⇒

3) Regra do Modus Ponens (MP) ( ) p q p q→ ∧ ⇒

4) Regra do Modus Tollens (MT) ( ) p q q p→ ∧ ⇒∼ ∼

5) Regra do Silogismo Hipotético (SH) ( ) ( ) p q q r p r→ ∧ → ⇒ →

Exemplos

a)

b)

c)

6. ARGUMENTOS

Nosso objetivo agora é investigar os processos que serão aceitos como válidos na derivação de

uma proposição, chamada de conclusão, a partir de proposições dadas chamadas

premissas.

Argumento. Sejam 1 2, , ..., nP P P e Q proposições quaisquer. Chama-se argumento toda

afirmação de que as proposições 1 2, , ..., nP P P têm como consequência (ou acarretam)

uma proposição final Q .

1 2, , ..., nP P P são chamadas de premissas e Q de conclusão.

Indicaremos um argumento de premissas 1 2, , ..., nP P P e conclusão Q por:

1 2, , ..., nP P P Q


33 e se lê de uma das seguintes maneiras:

Q é conseqüência de 1 2, , ..., nP P P .

Q deduz-se de 1 2, , ..., nP P P .

Q infere-se de 1 2, , ..., nP P P .

1 2, , ..., nP P P implicam Q .

Nota. Um argumento que contém duas premissas é chamado de silogismo.

Exemplos de argumentos

a) 1 :P Se chove então fica nublado.

2 :P Choveu.

Conclusão: Está nublado.

b) 1 :P Se fizer sol então irei à praia.

2 :P Não fui à praia.

:Q Não fez sol.

c) 1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.

2 :P Não sou cantora.

:Q Não sou artista.

d) 1 :P Todo professor de Matemática é licenciado em Matemática.

2 :P Todos os cursistas do PARFOR são professores de Matemática.

:Q Todos os cursistas são licenciados em Matemática.

Analisando os exemplos a), b) e d) acima, podemos observar que as conclusões são deduzidas

a partir das premissas assumindo a veracidade das mesmas, o mesmo não acontecendo com o


34 exemplo c). Note que uma conclusão pode ser deduzida a partir de sentenças falsas. Isto pode

conduzir a conclusões não necessariamente verdadeiras, como no Exemplo d) acima.

Argumento válido. Um argumento 1 2, , ..., nP P P Q diz-se válido se, e somente se, a

conclusão Q é verdadeira sempre que as premissas 1 2, , ..., nP P P forem todas verdadeiras.

Um argumento que não é válido diz-se um sofisma.

Teorema (Critério de validade de um argumento). Um argumento 1 2, , ..., nP P P Q é válido

⇔ 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é uma tautologia ⇔ 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ ⇒ .

Demonstração. As premissas 1 2, , ..., nP P P são todas verdadeiras se e somente se a

proposição 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ é verdadeira. Logo, o argumento 1 2, , ..., nP P P Q é válido

se e somente se a conclusão Q é verdadeira sempre que 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ é verdadeira,

ou seja, se e somente se a proposição 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ implica logicamente a conclusão

Q , o que é equivalente a afirmar que a condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é tautológica.

Comentário. Dado um argumento 1 2, , ..., nP P P Q , chamamos 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ →

de condicional associada a este argumento.

Exemplos

a) 1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.



O argumento 1 2, P P Q não é válido, pois podemos ter a situação ( )V Q F= com

1 2( )V P P V∧ = . De fato, Fernanda Montenegro é artista mas não é cantora.

“Tipos” de argumentos. Em todo argumento válido, não pode acontecer que, a partir de

premissas verdadeiras, inferir de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos

resumir os possíveis “tipos” de argumentos em na tabela abaixo.


35 Premissa Conclusão Inferência Argumento

p q p q→

Falsa Falsa Verdadeira Verdadeiro inconsistente

Falsa Verdadeira Verdadeira Verdadeiro inconsistente

Verdadeira Falsa Falsa Falso (ilógico)

Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeiro consistente

Desse modo, o fato de um argumento ser verdadeiro não significa necessariamente que sua

conclusão seja verdadeira (V), pois pode ter partido de premissas falsas. Argumentos

consistentes obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras.

Exemplos

b) Conclusão verdadeira.

Todo ser humano é mortal.

Pedro é humano.

Portanto, Pedro é mortal.

c) Conclusão falsa.

Toda ave voa.

O avestruz é ave.

Portanto, o avestruz voa.

d) Conclusão verdadeira.

Todo número com exatamente dois divisores é primo.

O número 4 não tem exatamente dois divisores.

Portanto, 4 não é primo.


36

e) Conclusão falsa.

Todo múltiplo de 4 é par.

O número 5 é múltiplo de 4.

Portanto, 5 é par.

7. MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE UM ARGUMENTO

7.1 Tabela–verdade. Dado o argumento 1 2, , ..., nP P P Q a este argumento corresponde

a condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → chamada de condicional associada ao argumento

dado, cujo antecedente é a conjunção das premissas e o consequente é a conclusão. Para

testarmos a validade do argumento, pelo critério de validade, temos que verificar se a

condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é tautológica. A tabela-verdade é, portanto, o método

mais geral para se testar a validade de um argumento.

Exemplos

a) 1 2 3, , P P P Q

1 :P João vai ao cinema ou vai ao clube.

2 :P Se João vai ao clube, então telefona.

3 :P João não telefonou.

:Q João foi ao cinema.

Consideremos: :p João vai ao cinema; :q João vai ao clube; :r João telefona.

O argumento reescrito em linguagem simbólica é dado por

1

2

3

:

:

:

:

P p q

P q r

P r

Q p

∨→

∼.

Construindo a tabela-verdade para este argumento, temos


37 p q r p q∨ q r→ r∼ ( ) ( ) ( )p q q r r∨ ∧ → ∧ ∼ ( ) ( ) ( )p q q r r p∨ ∧ → ∧ →∼

V V V V V F F V

V V F V F V F V

V F V V V F F V

V F F V V V V V

F V V V V F F V

F V F V F V F V

F F V F V F F V

F F F F V V F V

Usando o critério de validade verificamos, pela tabela-verdade, que a condicional

( ) ( ) ( )p q q r r p∨ ∧ → ∧ →∼ é tautológica. Logo, o argumento é válido.

b) 1 2, P P Q

1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.



Consideremos: :p Sou cantora; :q Sou artista.

O argumento em linguagem simbólica: , p q p q→ ∼ ∼ .

Construindo a tabela-verdade da condicional ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼ ∼ .

p q p q→ p∼ ( ) ( )p q p→ ∧ ∼ q∼ ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼ ∼

V V V F F F V

V F F F F V V

F V V V V F F

F F V V V V V


38 Vemos pela tabela que a condicional não é tautológica, logo, a condicional é um sofisma!

Analisando a quarta linha da tabela verdade observamos que os valores lógicos ( )V p F= ,

( ) ( )V q V r V= = nos mostram a situação em que temos 1 2( )V P P V∧ = e ( )V Q F= . Isto

mostra a não-validade do argumento.

De uma maneira geral mostrar a não-validade de um argumento consiste em encontrar

uma atribuição de valores lógicos às proposições simples, componentes do argumento, que

torne todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

O método da tabela-verdade permite demonstrar ou testar a validade de qualquer argumento,

mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o número de

proposições simples componentes dos argumentos. Assim, vamos buscar outros métodos mais

eficientes para a análise da validade de um argumento.

7.2 Regras de Inferência. Neste método utilizamos as propriedades (regras) da implicação

lógica para analisar os argumentos.

1) Regra da Adição (AD)

p p q

q p q

∨∨

2) Regra da Simplificação (SIMP)

p q p

p q q

∧∧

3) Regra da Conjunção (CONJ) , p q p q∧

4) Regra do Modus Ponens (MP) , p q p q→

5) Regra do Modus Tollens (MT) , p q q p→ ∼ ∼

6) Regra do Silogismo Hipotético (SH) , p q q r p r→ → →

Pode-se enunciar mais regras ainda.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras

novas. Se a inferência for válida (no sentido de ser tautológica), a nova proposição também

deve ser aceita. Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.


39 Assim, inicialmente apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao

longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas

aumenta.

Exemplos resolvidos – Utilize as Regras de Inferência para analisar a validade dos argumentos.

Argumento 1

1 :P Estudo.

2 :P Trabalho.

3 :P Se estudo e trabalho então não tiro férias.

:Q Não tiro férias.

Analisando as premissa por inferências

(1) p [premissa]

(2) q [premissa]

(3) p q r∧ → [premissa]

(4) p q∧ [de 1 e 2 por CONJ]

(5) r [de 3 e 4 por MP] ... Note que obtemos a conclusão.

Argumento 2: , ( ), ( ) p q p r s t r s t∧ → ∨ → ∧∼ ∼ ∼

(1) p q∧ [premissa]

(2) ( )p r s→ ∨ [premissa]

(3) ( )t r s→ ∧∼ ∼ ∼ [premissa]

(4) p [de 1 por SIMP]

(5) r s∨ [de 2 e 4 por MP]

(6) t [de 3 e 5 por MT]

Argumento 3: , ( ) ( ), , p p q r s s t q t q∨ → ∧ → →∼ ∼


40 (1) p [premissa]

(2) ( ) ( )p q r s∨ → ∧ [premissa]

(3) s t→∼ [premissa]

(4) q t→ [premissa]

(5) p q∨ [de 1 por AD]

(6) r s∧ [de 2 e 5 por MP]

(7) s [de 6 por SIMP]

(8) t∼ [de 3 e 7 por MP]

(9) q∼ [de 4 e 8 por MT]

Argumento 4: Considere (1) a (4) proposições que constituem um argumento

(1) x y x z= → = [premissa]

(2) 1x z x= → = [premissa]

(3) 0 1x x= → ≠ [premissa]

(4) x y= [premissa]

(5) x z= [de 1 e 4 por MP]

(6) 1x = [de 2 e 5 por MP]

(7) 0x ≠ [de 3 e 6 por MT]

Argumento 5: Provar que ( ) ( ) ( )A B C A B D C B D⎡ ⎤∧ → ∧ ∧ → ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼ .

(1) A [premissa]

(2) B C→ [premissa]

(3) ( ) ( )A B D C∧ → ∨ ∼ [premissa]

(4) B [premissa]

(5) A B∧ [de 1 e 4 por CONJ]

(6) C [de 2 e 4 por MP]


41 (7) D C∨ ∼ [de 3 e 5 por MP]

(8) ( )C∼ ∼ [de 6 por DN]

(9) D [de 7 e 8 por SD]

Regras de inferência aplicadas quando a conclusão é uma condicional. O que fizemos até

agora foram demonstrações de argumentos do tipo 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → , onde

partimos das hipóteses 1 2 3, , ,..., nP P P P para deduzirmos a conclusão ou tese Q . Este

processo chama-se dedutivo, e fizemos demonstrações diretas que são aquelas que partem

diretamente das hipóteses para a tese. O método de dedução também pode ser estendido

para proposições do tipo ( )1 2 3 nP P P P Q R∧ ∧ ∧ ∧ → → , onde a conclusão é também um

condicional. Podemos simplesmente partir das hipóteses 1 2 3, , ,..., nP P P P para deduzir a tese

Q R→ , ou podemos de forma equivalente, incluir Q como uma das hipóteses, passando a

ser R a tese. Isto é possível, pois

( )1 2 3 1 2 3 n nP P P P Q R P P P P Q R∧ ∧ ∧ ∧ → → ⇔ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ →

Demonstração. Para facilitar a notação chamemos o conjunto das hipóteses

1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ , simplesmente de P . Logo, queremos provar que

( ) P Q R P Q R→ → ⇔ ∧ → .

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) .

P Q R P Q R

P Q R

P Q R

P Q R

P Q R

→ → ⇔ ∨ →⇔ ∨ ∨

⇔ ∨ ∨⇔ ∧ ∨⇔ ∧ →

∼∼ ∼∼ ∼∼

Exemplos

Argumento 1: Provar R → ~P, dadas as hipóteses P → Q e R → ~Q. Neste caso, aplicando

a equivalência demonstrada acima, transformemos o teorema (P → Q) ∧ (R → ~Q) → (R

→ ~P) na sua forma equivalente (P → Q) ∧ (R → ~Q) ∧ R → ~P.

1. P → Q hip

2. R → ~Q hip

3. R hip

4. ~Q 2,3,mp

5. ~P 1,4,mt


42 Argumento 2 – Provar o silogismo hipotético: (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R).

1. P → Q hip

2. Q → R hip

3. P hip

4. Q 1,3,mp

5. R 2,4,mp

Argumento 3 – Provar que (~A → ~B) ∧ (A → C) → (B → C)

1. ~A → ~B hip

2. A → C hip

3. B hip

4. ~(~B) 3,dn

5. ~(~A) 1,4,mt

6. A 5,dn

7. C 2,6,mp

É claro que também podemos optar por considerarmos B → C a tese. Desta forma a prova

poderia ser:

1. ~A → ~B hip

2. A → C hip

3. B → A 1,cont

4. B → C 3,2,sh.

Argumento 4 – Provar que (~A ∨ B) ∧ (B → C) → (A → C).

1. ~A ∨ B hip

2. B → C hip

3. A hip

4. A → B 1,imp

5. B 3,4,mp

6. C 2,5,mp

ou

1. ~A ∨ B hip

2. B → C hip

3. A → B 1,imp

4. A → C 2,3,sh


43 7.3 Regras de inferência e equivalências. Neste método, utilizamos as regras de inferência

concomitante com as propriedades (ou regras) de equivalência para testar a validade de

argumentos .....

7.4 Demonstração Indireta. Um método utilizado para se mostrar a validade, ou não, de um

argumento 1 2, , ..., nP P P Q é o chamado método da demonstração indireta (ou

demonstração por absurdo) que consiste em negar a conclusão, isto é, supor ( )V Q V=∼ e

deduzir logicamente uma contradição qualquer, ou seja, a negação de alguma

premissa.

Este método está baseado na equivalência entre a condicional e a sua contrapositiva, isto é,

P Q Q P→ ⇔ →∼ ∼ . Assim,

1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → ⇔

( ) 1 2 3

Q P P P Pn

⇔ → ∧ ∧ ∧ ∧∼ ∼

1 2 3 nQ P P P P⇔ → ∨ ∨ ∨ ∨∼ ∼ ∼ ∼ ∼

Uma vez que as premissas são admitidas como verdadeiras, chegar à negação de uma delas é

uma contradição.

Exemplos – Use o método da demonstração indireta para analisar a validade dos

seguintes argumentos.

a) 1 2 3, , P P P Q

1 :P João vai ao cinema ou vai ao clube.

2 :P Se João vai ao clube, então telefona.

3 :P João não telefonou.

:Q João foi ao cinema.

Supondo que João não foi ao cinema, então por 1P ele vai ao clube. Segue de 2P que João

telefonou, o que contradiz 3P . Logo o argumento é válido. Esquematizando temos

:p João vai ao cinema; :q João vai ao clube; :r João telefona.


44 O argumento reescrito em linguagem simbólica:

1 :P p q∨

2 :P q r→

3 :P r∼

: Q p

Assumindo que ( ) ( )V Q V p F= = . De 1P temos que ( )V q V= .

Com este valor para q segue de 2P que ( )V r V= , o que contradiz 3P .

Logo, o argumento é válido.

b) 1 :P p q r→ ∨

2 :P p q∧

3 :P q r p∨ →

:Q p r∧

Suponhamos ( ) ( )V Q V p r F= ∧ = .

Temos duas alternativas: ( )V p F= ou ( )V r F= , que devemos analisar separadamente:

i) ( )V p F= . Neste caso temos uma contradição em 2P .

ii) ( )V r F= . Temos por 2P que ( ) ( )V p V q V= = .

Com estes valores temos 1 2 3( ) ( ) ( )V P V P V P V= = = e ( )V Q F= .

Então, podemos concluir que o argumento é um sofisma (não válido).

c) 1 :P p q∨∼ ∼

2 :P r s p∨ →

3 :P s q∨∼

4 :P r∼

: ( )Q r s∨∼


45 Suponhamos ( ) ( )( ) ( ) V Q V r s F V r s F= ∨ = ⇔ ∧ =∼ ∼ ∼ . Temos duas alternativas:

i) ( )V r V= . Este caso contradiz 4P .

ii) ( )V s V= . Daí, por 3P , ( )V q V= . Então ( )V q F= em 1P , o que contradiz 2P .

De i) e ii) podemos concluir que o argumento é válido.

d) 1 :P p q r→ ∨

2 :P r s↔

3 :P q p∨ ∼

:Q p q∧∼

Suponhamos ( )( )V Q V p q F= ∧ =∼ .

Temos duas alternativas: ( )V p V= ou ( )V q F= .

i) ( )V p V= . Temos que ( )V q V= , por 3P . Isto acarreta 1( )V P V= , independentemente do

valor de r . Basta atribuirmos os mesmos valores a r e s para obtermos 2( )V P V= . Temos

assim, valores lógicos para , , e p q r s tais que todas as premissas são verdadeiras e a

conclusão é falsa. Podemos, portanto, concluir que o argumento não é válido sem precisar

analisar a outra alternativa, ii) ( )V q F= .

Dos exemplos analisados podemos tirar as seguintes conclusões:

1) Para analisarmos a validade de um argumento pelo método da demonstração indireta,

negamos a conclusão. Se chegarmos à negação de uma das premissas então o

argumento é válido. Se conseguirmos valores lógicos para as proposições componentes que

tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa então o argumento é um sofisma.

2) Quando a negação da conclusão Q nos leva a mais de uma alternativa para ser analisada,

temos que analisar todas para concluir que o argumento é válido. Se ao analisarmos uma das

alternativas encontramos valores que tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa

já podemos garantir que o argumento é um sofisma e não precisamos analisar as outras

situações.

3) A prova da não validade de um argumento consiste em apresentar valores para as

proposições que tornem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. É óbvio que toda vez


46 que for possível encontrar essa atribuição de valores sem utilizar tabela-verdade evita-se

um bom trabalho. O método da demonstração indireta nos permite chegar a esses valores.

8. SENTENÇAS ABERTAS

O cálculo proposicional é insuficiente para a Matemática. Considere os seguintes

exemplos:

a) Existe triângulo retângulo.

b) Quaisquer que sejam os pontos A e B , existe uma reta a tal que ,A B a∈ .

O teorema em a) é um teorema de existência, que tem um quantificador existencial e o

teorema em b) apresenta um quantificador universal. Por este motivo faz-se necessário o

estudo do cálculo de predicados (proposições quantificadas).

Há expressões às quais não podemos atribuir os valores lógicos “falso” ou “verdadeiro”,

por exemplo,

a) 1 0x + = .

b) 1x y− = .

c) 2 2 2 0x y z+ + = .

A depender do valor atribuído a x , y e a z em cada caso, as expressões acima passam a

ter um valor lógico V ou F , tornando-se proposições.

Sentença aberta (função proposicional). Chama-se sentença aberta (ou função proposicional)

com uma variável em um conjunto A , uma expressão que indicaremos por ( )p x , tal que ( )p a

é verdadeira ou falsa para todo elemento a A∈ .

O conjunto A é chamado de conjunto universo.

O conjunto dos elementos a A∈ tais que ( )p a é verdade é chamado de conjunto-verdade

da sentença aberta e indicaremos por

( ){ } ; ( )pV a A V p a V= ∈ = .

Exemplo – Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas nos conjuntos

indicados.


47 a) ( ) : 2 1 5p x x − = em .

b) 2( ) : 1 0p x x − = em .

c) ( ) : 3p x x > em { }1,0,1,2,3, 4,5,6,7A = − .

Sentença aberta múltipla. Chama-se sentença aberta (ou função proposicional) com n variáveis

em 1 2 nA A A× × × a expressão ( )1 2, ,..., nP x x x que é verdadeira ou falsa para toda n –upla

( )1 2, ,..., na a a em 1 2 nA A A× × × que é o conjunto universo. Assim, o conjunto verdade é dado

por

( ) ( )( ){ }1 2 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,p n n nV a a a A A A V p a a a V= ∈ × × × =

Exemplos

a) ( , ) : 3p x y x y+ = em × . { }(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)pV = .

b) 2 2 2( , , ) : 0p x y z x y z+ + = em 3 . { }(0,0,0)pV = .

Operações Lógicas com sentenças abertas. As operações lógicas sobre proposições se

estendem naturalmente às sentenças abertas. Assim, dadas as sentenças abertas ( )p x e ( )q x

podemos obter novas sentenças como:

1) ( )p x∼

2) ( ) ( )p x q x∧

3) ( ) ( )p x q x∨

4) ( ) ( )p x q x→

5) ( ) ( )p x q x↔

Admite-se todas as regras e propriedades dos conectivos para estes casos.

Exemplos – Para cada uma das sentenças abertas, determine o conjunto verdade em

{ }1,0,1A = − .


48 1) ( ) : 1 1p x x + = , temos { }0pV = .

( ) : 1 1p x x + ≠∼ e { }1,1pV = −∼ .

Observe que p pV A V= −∼ .

Generalizando, se ( )p x é uma sentença aberta em A então p pV A V= −∼ .

2) ( ) ( ) : ( 1 1) ( 1)p x q x x x∧ + = ∧ ≥− , temos que { }0p qV ∧ = .

Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V∧ = ∩ .

3) 2( ) ( ) : ( 1) ( 1 1)p x q x x x∨ = ∨ + = , temos { }1,0,1p qV ∨ = − .

Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V∨ = ∪ .

4) ( ) ( ) : ( 1 ) ( 1 0)p x q x x A x→ + ∈ → + = .

Lembremos que p q p q→ ⇔ ∨∼ , logo { }1,1p qV → = − .

Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V→∨ = ∪∼ .

5) ( ) ( ) : ( é par) ( 0)p x q x x x↔ ↔ ≥

Lembremos que ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ → , assim { }1,0p qV ↔ = − .

Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p q q pV V V↔ → →= ∩ .

9. QUANTIFICADORES

Podemos transformar sentenças abertas em proposições usando expressões como “para

todo”, “qualquer que seja”, “existe um”, etc.

Exemplos


49 1) Consideremos a sentença aberta ( ) : 1 1p x x + = . A partir desta sentença podemos

formar as seguintes proposições:

i) Existe x pertencente a ; 1 1x + = .

ii) Para todo x pertencente a , 1 1x + = .

2) Existex ∈ tal que x ∈ .

3) Para todo x ∈ , x ∈ .

4) Qualquer que seja o número natural ele é inteiro.

5) Existe um número primo par.

Notamos as expressões “qualquer que seja”, “existe”, “para todo”. Estas expressões são

chamadas de quantificadores.

É importante notar que uma sentença aberta com todas as variáveis quantificadas é uma

proposição, pois ela assume um dos valores lógicos F ou V .

Quantificador Universal. Seja ( )p x uma sentença aberta em um conjunto A e seja pV o

seu conjunto-verdade. Considere as seguintes proposições:

Qualquer que seja x A∈ , ( )p x , ou

Para todo x A∈ , ( )p x .

Simbolicamente, representamos , , ( )x x A p x∀ ∈ .

Se pV A= então a proposição , , ( )x x A p x∀ ∈ é verdadeira.

Se pV A≠ então a proposição , , ( )x x A p x∀ ∈ é falsa.

Em outras palavras, dada a sentença aberta ( )p x em A , o símbolo ∀ referido à variável x

representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta ( )p x numa proposição. A


50 esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo de

quantificador universal.

Exemplos

a) ; 0x x∀ ∈ ≥ .

b) , .x x∀ ∈ ∈

Quantificador existencial. Seja ( )p x uma sentença aberta em um conjunto A e seja pV o

seu conjunto-verdade. Considere a seguinte proposição

Existe x A∈ , ( )p x ou

Existe pelo menos um x A∈ , ( )p x .

Simbolicamente, escrevemos , , ( )x x A p x∃ ∈ .

Se pV ≠ ∅ então a proposição , , ( )x x A p x∃ ∈ é verdadeira.

Se pV = ∅ então a proposição , , ( )x x A p x∃ ∈ é falsa.

Em outras palavras, dada a sentença aberta ( )p x em A , o símbolo ∃ referido à variável x

representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta ( )p x numa proposição. A

esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo de

quantificador existencial.

Exemplos

a) ; 1 3x x∃ ∈ + < .

b) ; 2 1 0x x∃ ∈ + = .

Negação de proposições com quantificadores. Os quantificadores existencial e universal

podem ser precedidos do símbolo de negação (∼ ). Por exemplo,

negar a proposição “Todo número primo é ímpar”

é afirmar “Nem todo número primo é ímpar”


51 ou afirmar “Existe um número primo que não é ímpar”.

Simbolicamente: ( ) primo, é ímpar primo, não é ímpar.x x x x∀ ⇔ ∃∼

De uma maneira geral temos:

i. ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∀ ⇔ ∃∼ ∼ .

ii. ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∃ ⇔ ∀∼ ∼ .

Exemplos – Determine a negação das seguintes proposições:

a) 2 ; 1x x∀ ∈ = .

b) 2 ; 1x x∃ ∈ ≠ .

c) ; é par 2x A x x∃ ∈ → ≠

Nota. Mostrar que uma proposição do tipo “ ; ( )x A p x∀ ∈ ” é falsa é mostrar que

“ ( )0 0 ; ( )x A V p x F∃ ∈ = ”. Um elemento 0x de A que satisfaz a condição anterior é dito

um contra-exemplo.

Exemplos de contra-exemplos

a) 2 ; 0x x∀ ∈ > .

b)

Quantificação múltipla. Toda sentença aberta com n variáveis precedidas de n quantificadores

(um para cada variável) torna-se uma proposição.

Exemplos

1) ( , ) : 1p x y x y+ = em 2 . (sentença aberta em duas variáveis)

; ; 1x y x y∃ ∈ ∃ ∈ + = é uma proposição.


52

2) Considere o conjunto { }1,2,3A = . Determine o valor lógico de cada uma das seguintes

proposições.

a) ; ; 0x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + = .

b) ; ; 0x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥ .

c) ; ; x A y A x y A∃ ∈ ∃ ∈ − ∈ .

3) Seja 1,0A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e { }1,0,1B = − . Determine o valor lógico de cada uma das seguintes

proposições.

a) , , x A y B x y∀ ∈ ∃ ∈ > .

b) ; ; 1x A y B x y∀ ∈ ∀ ∈ ≤ + .

c) 2, , x A y B y x∃ ∈ ∀ ∈ ≥ .

d) , , 1x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + = − .

Negação com quantificação múltipla

Lembrando que

( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∀ ⇔ ∃∼ ∼ e ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∃ ⇔ ∀∼ ∼ .

Temos

i) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∀ ∃ ⇔ ∃ ∀∼ ∼ .

ii) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∀ ∀ ⇔ ∃ ∃∼ ∼ .

iii) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∃ ∃ ⇔ ∀ ∀∼ ∼ .


53 Comutatividade dos quantificadores

A) Os quantificadores de espécies diferentes, em geral, não podem ser comutados.

Exemplo – ( , ) :p x y y x> , ,x y ∈ . Temos

a) ( ),( ), x y y x∀ ∃ > . (V)

b) ( ),( ), y x y x∃ ∀ > . (F)

B) Quantificadores de mesma espécie podem ser comutados, ou seja,

( ),( ), ( , ) ( ),( ), ( , )x y p x y y x p x y∃ ∃ ⇔ ∃ ∃ .

( ),( ), ( , ) ( ),( ), ( , )x y p x y y x p x y∀ ∀ ⇔ ∀ ∀ .


54 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – LÓGICA MATEMÁTICA

1 – Das frases seguintes, assinale quais são proposições, atribuindo-lhes o valor lógico

correspondente:

a) Brasil e Argentina.

b) Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982.

c) As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais.

d) O triplo de 6.

e) Que horas são?

f) Todo quadrado é um retângulo.

g) 2 2 2( )a b a b+ = + .

h) 2 5− <− .

j) sen sen2

x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

k) Quadrados e triângulos.

l) 5, 0 e 5− são raízes da equação 3 25 0x x+ = .

m) 21 3 5 9 (2 1)n n+ + + + + − = .

n) Todo triângulo é um polígono.

2 – Considere as proposições : .p Está frio e : .q Está chovendo Traduza para linguagem

corrente as seguintes proposições:

a) p∼ b) p q∧ c) p q∨

d) p q↔ e) p q→∼ f) p q∨ ∼

g) p q∧∼ ∼ h) p q↔∼ i) ( )p q p∧ →∼

j) p q↔∼ ∼ k) p q↔∼ ∼ l) ( ) ( )p q q p∨ ↔ ∧∼ ∼


55 3 – Considere as proposições

: .p A Terra é um planeta : .q A Terra gira em torno do Sol

Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.

b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.

c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.

d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.

e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

(Expressões da forma “não é nem p e nem q ” devem ser vistas como “não p e não q ”)

4 – Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:

a) Se 0x > então 3y = .

b) Se 6x y+ = então 0z < .

c) Se 6x = ou 5x = , então 2 11 30 0x x− + = .

d) Se 2 11 30 0x x− + = então 6x = ou 5x = .

e) Se 5z > então 1x ≠ e 2x ≠ .

f) Se 4y = e x y< então 5x < .

5 – Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições:

a) ( )p q∧∼

b) p q∨∼ ∼

c) p q q∧ ∧ ∼

6 – Verificar se cada expressão representa: tautologia, contradição ou contingência.

a) p p q→ ∧∼


56 b) ( ) ( ) ( )p q q r p r→ → → → →

c) ( )p p q∧ ∨∼

d) ( )p p q→ ∨∼

7 – Escrever a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível:

a) Ele é alto, porém elegante.

b) Se as ações caem aumenta o desemprego.

c) Nem Luis nem João são ricos.

d) Ele tem cabelos louros se e somente se tiver olhos azuis.

e) Se Lucas é rico, então João e Maria são ambos felizes.

f) A condição suficiente para ser um bom matemático é saber lógica.

8 – Dada a condicional “Se p é primo então, 2p = ou p é impar.”. Determinar

a) a contrapositiva;

b) a contrária (inversa);

c) a recíproca;

d) a contrária da recíproca;

e) a recíproca da contrária.

9 – Sem utilizar tabelas verdade mostre as seguintes equivalências:

a) p p p→ ⇔∼ b) ( ) p p q p∨ ∧ ⇔

c) ( ) p p q p∧ ∨ ⇔ d) ( ) p q q p q→ → ⇔ ∨

e) ( ) ( ) ( ) p q p r p q r→ ∧ → ⇔ → ∧ f) ( ) ( ) p q r p q r→ ∨ ⇔ ∧ →∼

10 – Resolva os problemas:


57 a) Supondo ( )V p q r s F∧ ↔ ∨ = e ( )V r s V∧ =∼ ∼ , determine ( )V p r s→ ∧ .

b) Sabe-se que ( )( )V p q r V∧ ∨ = e ( )V p r q F∨ → = , obtenha ( ), ( ) e ( )V p V q V r .

c) Dado que ( )V p q V→ = , determine ( )V p r q r∧ → ∧ e ( )V p r q r∨ → ∨ .

d)

e)

11 – Utilize as propriedades das operações lógicas e equivalências para simplificar as

seguintes proposições:

a) ( )p q p∨ ∧ ∼

b) ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼

c) ( ) ( )p p q p q∧ → ∧ →∼

d) ( ) ( )p p q p q q∧ ∨ → ∨ ∧

e) ( ) ( ) ( )p q p q p q⎡ ⎤→ ∧ ∧ ∨ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼

f) ( )p p p q⎡ ⎤→ ∨ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼

g) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦ ∼

h) ( ) ( ) ( )p q r p p q p p r⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∧ ∨ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼

i) ( )p q→∼ ∼ ∼

j) ( )p p q→ ∧∼ ∼

k) ( ) ( )p q p q∨ ∨ ∧∼ ∼

l) ( )p q∨∼ ∼ ∼

12 – Utilize as regras de inferências (e equivalências) para verificar a validade dos

argumentos:

a) lkmef

b) mçre


58 c) sdfgwq

d) 2 2 21 1, 1 ( 1 0), ( 1 0 2) ( 1 0),

1 0 2

x x x x x x x x x

x x

≠ ∧ = ≠ → = ∨ < + = → >− → ≠ ∧ </+ = >−

∼

13 – Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos utilizando o método indireto

(contradição):

a) , p q r q p r∨ ∨ ∼ →∼ ∼ ∼

b) , ( ) p q p r s q s∨ ∨ ∧ →∼ ∼

c) ( ), , ( )p q r q p s r p s→ ∨ → → ∼ ∧∼ ∼

d) ( ) ( ), ( ), , p q s r p t s r t q→ ∨ → ↔ ∨∼ ∼ ∼ ∼

e) , , p q r s p s q r→ → ∨ ∨

f) ( ), ( ) ( ), p q p q r s s r r∧ ∧ → ∧ →∼ ∼ ∼

g) ( ) , ( ), ( ) , p q r r s t s t u u p q→ → → ∨ → → →∼

h) 6 , ( 5 6), 5 x x y y x y x y x y= → > > ∧ ≠ >/ → > >∼

14 – Sendo { }1,2,3A = , determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) ( )( )2 6 0x A x x∃ ∈ + − =

b) ( )2 ; 3 1 0x A x x∃ ∈ + + =∼

c) 2 ; ( 6)y A y y∃ ∈ ∼ + =

d) 2 ; 3 1x A x x∀ ∈ + ≠

e) ( )2 ; 6x A x x∀ ∈ + =∼

15 – Determine a negação das proposições:

a) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∀ ∈ ∧ ∃ ∈

b) ( ) ( ), ( ) , ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∨ ∀ ∈∼ ∼

c) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ → ∀ ∈ ∼


59 d) Existem pessoas inteligentes que não sabem nem escrever.

e) Toda pessoa culta é sábia se e somente se for inteligente.

f) Qualquer que seja a pessoa, é necessário ser pobre para ser feliz.

16 – Seja { }1,2,3,...,9,10A = , determine o valor lógico de cada uma das seguintes

proposições:

a) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∃ ∈ + =

b) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + <

c) ( )( )( )( 14x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + >

d) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + =

17 – Seja { }1,2,3A = e 1,1B ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ , determine o valor lógico das seguintes proposições:

a) 2, , 1x A y A x y∃ ∈ ∀ ∈ < +

b) , ; 1x A y B y x∀ ∈ ∀ ∈ ≤ −

c) 2, ;

3x A y B x y∃ ∈ ∃ ∈ − =

d) , ; 0y

x A y Bx

∀ ∈ ∃ ∈ =

e) , ; x A y B y x∃ ∈ ∀ ∈ <

f) , ; x A y B x y∀ ∈ ∀ ∈ ≥

18 – Escreva a negação das seguintes proposições:

a) ( )( )( )( ) ( )x y p x q y∀ ∃ ∨

b) ( )( )( )( ) ( )y x p x q y∃ ∃ ∧ ∼

c) ( )( )( )( , ) ( , )x y p x y q x y∀ ∃ →

d) ( )( )( )( , ) ( , )x y p x y q x y∀ ∀ ↔

APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

1

APÊNDICE

SUGESTÕES E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

PARTE I – ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA

1)

b) Proposição Falsa

c) Proposição Falsa

f) Proposição Verdadeira

h) Proposição Falsa

n) Proposição Verdadeira

Os outros itens não são proposições.

2)

a) Não está frio.

b) Está frio e chovendo.

c) Está frio ou chovendo.

d) Está frio se e somente se estiver chovendo.

e) Se está frio então não está chovendo.

f) Está frio ou não está chovendo.

g) Não está frio e não está chovendo.

h) Está frio se e somente se não está chovendo.

i) Se está frio e não chove, então está frio.

j) Não está frio se e somente se não está chovendo.

l) idem j)

l) Está frio ou não chove se, e somente se, está chovendo e não está frio.


2

3)

a) ( )p q∨∼

b) p q→

c) ( )p q∨∼ ∼

d) q p↔∼

e) p q∧∼ ∼

4)

a) 0 3x y> → =

b) 6 0x y z+ = → <

c) 2( 6 5) ( 11 30 0)x x x x= ∨ = → − + =

d) 2( 11 30 0) ( 6 5)x x x x− + = → = ∨ =

e) 5 ( 1 2)z x x> → ≠ ∧ ≠

f) ( 4 ) 5y x y x= ∧ < → <

5)

a) Ele não é alto ou não é elegante.

b) As ações caem e não aumenta o desemprego.

c) Luis ou João não são ricos.

d) Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele não tem cabelos louros e tem

olhos azuis.

e) Lucas é rico e João não é feliz ou Maria não é feliz.

f) Sabe lógica e não é bom matemático.

6)

a) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.

b) Se p não é primo então, 2p ≠ e p é par.

c) Se 2p = ou p é impar então p é primo.


3

d) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.

e) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.

7)

a) Supondo ( )V p q r s F∧ ↔ ∨ = (1) e ( )V r s V∧ =∼ ∼ (2). De (2) temos que

( ) ( )V r V s F= = . Usando estes resultados em (1) obtemos: ( ) ( )V p V q V= = . Assim,

( )V p r s F→ ∧ = .

b) Supondo ( )V p q r V⎡ ⎤∧ ∨ =⎢ ⎥⎣ ⎦ (1) e ( )V p r q F∨ → = (2). De (1) concluímos que ( )V p V=

e ( )V q r V∨ = e de (2) temos que ( )V q F= , logo ( )V r V= .

c) Sabendo que ( )V p q V→ = , determine ( )V p r q r∧ → ∧ e ( )V p r q r∨ → ∨ .

Vamos supor ( )V p r q r F∧ → ∧ = . Temos assim que ( )V p r V∧ = e ( )V q r F∧ = , o que

nos permite concluir que ( ) ( )V p V r V= = e ( )V q F= , o que contradiz ( )V p q V→ = . Logo,

( )V p r q r V∧ → ∧ = .

Analogamente, pode-se mostrar que ( )V p r q r V∨ → ∨ = .

8)

a) ( ) ( ) ( ) ( )p q p p p q p F q p q p∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧∼ ∼ ∼ ∼ ∼

( ) ( )

( ) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p q p q p q p q p q p p q q

p p p q q p q q F p q q p q

p q q q p q q p q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∧ → ⇔ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇔ ∧ ∨ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ⇔

∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼

∼ ∼

( ) ( )c) ( ) ( ) ( )

( )

p p q p q p p q p q p p q q

p p F p p F

⎡ ⎤∧ → ∧ → ⇔ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔

∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼

d) ( ) ( )p p q p q q p q∧ ∨ → ∨ ∧ ⇔ →

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p q p q p q p q p q p q

p q p q q p q p V F q F

⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∧ ∧ ∨ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ⇔ ∧ ⇔⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼

f) ( ) ( ) ( ) ( )p p p q p p p q p p q V p q p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼

9)

a) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha ( )V p r F→ =∼ ∼ e

obtenha a falsidade em uma das premissas.


4

b) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha ( )V q s F→ = e obtenha a

falsidade em uma das premissas.

c) Válido. Pelo método indireto, temos que ( )V p s F⎡ ⎤∼ ∧ =⎢ ⎥⎣ ⎦ que é equivalente a

( )V p s V∧ = .

d) Não válido (sofisma). Se fizermos ( )V q F= , ( )V r V= , ( )V t F= , ( )V p V= e

( ) ou V s V F= , teremos a conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras.

e) Não válido (sofisma). Fazendo ( ) ( ) ( )V p V q V r F= = = e ( )V s V= , todas as

premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, o que configura argumento não válido.

f) Não válido (sofisma). Basta fazer ( )V p V= e ( ) ( ) ( )V q V s V r F= = = e teremos

todas as premissas verdadeiras com a conclusão falsa.

g) Não válido (sofisma). Com ( )V p q F→ = , ( ) ( ) ( )V r V u V s t V= = → = temos a

conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras.

h) Válido, pelo método indireto.

i) Válido. Utilizando as regras de inferência (abaixo).

(1) 21 1x x≠ ∧ = [premissa]

(2) 21 ( 1 0)x x x≠ → = ∨ < [premissa]

(3) 2( 1 0 2) ( 1 0)x x x x+ = → >− → ≠ ∧ </∼ [premissa]

(4) 1 0x + = [premissa]

(5) 1x ≠ [de 1 por SIMP]

(6) 2 1 0x x= ∨ < [de 2 e 5 por MP]

(7) ( ) ( )21 0 2 1 0x x x x+ = → >− → = ∨ <∼ ∼ [equivalência em 3]

(8) 1 0 2x x+ = → >− [de 6 e 7 por MT]

(9) 2x >− [de 4 e 8 por MP]

10) Todos os ítens tem valor lógico Verdade.

11)

a) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∨ ∀ ∈∼ ∼


5

b) ( ) ( ), ( ) , ( )x A p x x A q x∀ ∈ ∧ ∃ ∈

c) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∧ ∃ ∈

d) Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever.

e) Existem pessoas cultas sábias e não inteligentes ou pessoas cultas não sábias ou

inteligentes.

f) Podemos “ver” a frase como “qualquer que seja a pessoas, se é feliz então é pobre”.

Cuja a negação é “Existe pessoa feliz que não é pobre”.

12)

a) Falsa. Contra-exemplo: para 2x A= ∈ , y A/∃ ∈ tal que 14x y+ = .

b) Falsa. Contra-exemplo: 10x y A= = ∈ .

c) Verdade.

d) Falsa.

13) a) F b) F c) V d) V e) V f) V

14)

a) ( )( )( )( ) ( )x y p x q y∃ ∀ ∧∼ ∼

b) ( )( )( )( ) ( )y x p x q y∀ ∀ ∨∼

c) ( )( ) ( , ) ( , )x y p x y q x y⎡ ⎤∃ ∀ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦∼

d) ( )( ){ }( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y p x y q x y p x y q x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤∃ ∃ ∧ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼

Parte II – Conjuntos

Parte III – Conjunto dos Números Reais

Parte IV – Relações e uma definição de Função


6

REFERÊNCIAS

Parte I – Lógica Matemática

[1] ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, 1984.

[2] DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole, 3ª. edição. São Paulo, Atlas, 1990.

[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.

Atual, 2005.

[4] MACHADO, Nilson José. Lógica? é Lógico! – Coleção Vivendo a Matemática.

Scipinoe, 2000.

[5] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,

1972.

[6] MACHADO, Nilson José & CUNHA, Marisa Ortega. Lógica e linguagem cotidiana –

Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica Editora, 2005.

[7] CRUZ, Angela & MOURA, José Eduardo. A Lógica na Construção dos Argumentos

– Notas em de Matemática Aplicada 14. SBMAC, 2004.

[8] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções

computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,

2006.

[9] FOSSA, John. Introdução às Técnicas de Demonstração em Matemática. Editora

Livraria da Física, 2009.

[10] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4ª. edição. Editora

Gradiva, Lisboa, 2002.

[11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Editora Ciência Moderna,

Rio de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

[12] STEWART, Ian. Mania de Matemática: diversão e jogos de Lógica matemática. Rio

de Janeiro, Jorge Zahar editora, 2005.

Parte II e IV – Conjuntos e Relações


7

[1] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,

1972.

[2] LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.

[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.

Atual, 2005.

[4] HALMOS, Paul. Teoria Ingênua dos Conjuntos – Coleção Clássicos da Matemática.

Livro de 1960 reeditado pela Ciência Moderna, 2001.

[5] LIMA, Elon L. Meu professor de matemática e outras histórias. Coleção do professor

de matemática. SBM, 1991.

[6] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática. 4a edição, Gradiva,

Lisboa, 2002.

[7] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções

computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,

2006.

[8] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

Parte III – Conjunto dos Números Reais (ou Números e Conjuntos Numéricos)

[1] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.

[2] RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, José Francisco P. Números

Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 2006.

[3] LIMA, Elon L. Análise Real, vol 1 – Coleção Matemática Universitária. Rio de

Janeiro, IMPA, 1997.

[4] AVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blücher, 2006.

[5] MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática.

EdUSP, 2001.

[6] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Atual Editora, 1991.


8

[7] FERNANDES, Ângela Maria V. [et al.]. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG,

2005.

[8] NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais. SBM, 1984.

[9] FIGUEIREDO, Djairo G. Números irracionais e transcendentes. Coleção iniciação

cientifica. SBM, 2002.

[10] MENDES, Iran Abreu. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo,

Editora Livraria da Física, 2006.

[11] CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4a edição,

Gradiva, Lisboa, 2002.

[12] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

Artigos e revistas

[1] Geraldo Ávila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos. RPM, número 43, páginas 6–14,

2000.

[2] Christian Q. Pinedo. História da Teoria dos conjuntos. Monografias em Ensino da

Matemática vol. 1(2002), No. 01, pp. 139-150. IFBA (Pato Branco, PR).

[3] Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educação Matemática:

pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba

(organizadores). São Paulo, Cortez editora, 2004.

[4] Ana Catarina P. Hellmeister. Lógica através de exemplos: vamos usar a RPM?.

RPM, número 47, páginas 32–37, 2001.

[5] Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemática in Disciplinas Matemáticas em cursos

superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora).

EDPUCRS, Porto Alegre, 2004.

[6] As diferentes faces do infinito – Edição especial, Cientific American Brasil, n° 15.

[7] RPM – Revista do Professor de Matemática, diversos números, SBM.

[8] Desvendando os números reais. Cristina Cerri, USP.


9

[9] A construção dos números reais nos ensinos fundamental e médio. Cydara C. Ripoll,

UFRGS.

[10] João Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mágicas, Matemáticas e outros

Mistérios – III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - UFGO

Divulgação e História da Matemática

[1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Unicamp, 2002.

[2] IFRAH, Georges. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª edição. Globo,

1989.

[3] BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª. Edição. Edgard Blücher, 1998.

[4] GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de

aula: Números e numerais e Computação. Atual editora, 1998.

[5] MAOR, Eli. e : a história de um número. Record, 2003.

[6] AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. SBM, 2002.

[7] KAPLAN, Robert. O nada que existe – uma história natural do zero. Editora Rocco,

2001.

[8] ACZEL, Amir O. O Mistério de Aleph – A Matemática, a cabala e a procura pelo

infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 2003.

[9] GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da Matemática. São Paulo, Editora Livraria da Física, 2006.

[10] NETZ, Reviel & NOEL, William. Códex Arquimedes – como um livro de orações

revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade. Rio de Janeiro,

Record, 2009.

Documents

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