~.~.• li'

-'!th"'" -, -- • -•.

•t

--

Aofazer a presente apostila não tenho porfinalidade apresentar algo novo, :mass6mente facili_tar a prática de exerc:!cios compat:!veis como ni've1da matéria lecionada no 2Qano do Curso de F:l'-.'ICAdaEscola Nacional de Engenharia.

Imprimi inicialment e os problemasde Corrente Cont:fnuae Corrente Alternada, estando os demaisassuntos ainda emconclusão.

No começode cada capitulo é feita umará-pida recarit~ão, mas torna-se imprêscind!vel o C2nhecimento perfeito de todos os conceitos básicos.Apensamos,também,os formul~ios fornecidos duranteas provas .•

....:....•... C'LWlpr~t=l.crese'fn1tafqllt;}~e~s.m0~in~.finaldÍ!l.~post:i.la,as ·r~sposta~ .dO$,1f:r.o~.1~s'pioRf>t3tos,oque facilitarl bEistante o estup.oincli.vi4ual~.

Finalizo êstes coIJientlriósdeixa.'1do·regis-trado o meudesejó que a presente· apoE.'ltilaseja dereal proveito para. os colegas daE.N.E., comos quaisestudo e luto para umfuturo cada vez mais brilhantede nossa Escola.

flltRafl-HILTON AN~ DEMELLO

l11onitorde F!sica

•-2-

CORP.ENTE CONTnrnA

Comentários:

o aesunt.o em questão é do avnbito do pro~mado vestibular, sendo apenas: apresentadas algumasnoções complementares, comoo método das correntesdE' malhas (de lvj(U"'GoTell),método êste que devidamenteaplicado e operado (pelo Algorítmo de Richardson) ,conduz a uma solução bastante rápida das rêdes elé-tricas.

Obs.: O Algorítmo de Richardson, é estudado na Cadej.ra de Distribuição do 4º ano do Curso de Ele_tricista.s.

Resumoteóric~1- Intensidade da corrente elétrica:

i= gg,d'Z'

onde i = intensidade da corrente elétricaq ;:;carga elétricaz ;:; tempo

Unidades:CGSES i em static = stat A

seg

l<1KS i em C ;:; Amp~reseg

2 - Difãrença de Potencial

VA-VB== ?:)ABq

UA diferença de potencial entre 2 pontosé o trabalho para deslocar a unidade decarga entre os 2 pontos .consideradosu•A

-3-

Unidades:

CGSES V em stat voltIv1KS V em volt

1 stat V ::: 300 volt,

3 - Lei de ObmR

~A 8,

4 - Variação da resistência com as dimensões do con-dutor:

R:::'p 1s

onde 1 :::comprimento do condutors :::área da secção transversal

J> ::: resistividade do material

Unidades:CGSES R em .!à.tat vÇ>lt _ = st.at;Ohn :::stat..n.

stat ampêr'e

/ MKS R em vQ..:t~__ ::: ohm :::.n..••ampere

1 stat.n :::9 x 10tf.Jl

Múltiplos de 0h..':1; Submúltip10s de Obro:

KJ2-103.n.1'11l.- 106.J1.

m.n.__10-3..Q

fLJJ..--10..6 .n

5 - Resistividade~P :::R §.

1

- .--... ..••-

-4-Unidades:

CGSES- j> em stat.ll x em

1<11\.S-.p em Jl. x fi

6 _ Condutância de um condutor: é o inverso de suaresistência.

Unidades:

CGSES - C em st at mho

NKS - C em mho

7 - Condutividade de um condutor: é o inverso de suaresistividade •

r IP

• c ...l.. -ª- =: t .a,• • = • •y I I

Unidades:

CGSES - ct- em st at mho x em-I

1-1K8 -Ir em mho x m-1

8 _ Variação da resistência comaf;erilperatura:

::: coeficiente de temperatura (depende do ma-l • 1 '.1;' - "'I ..J.,.mat erl3._ e 1..unçao na vempe_t eria1 ~ e para 1JIil mesmo

rat.ura ""0)Q.Vu;. .•. v' • ..R = Resistência a t.emperat.urao to.

-5-9 - Energia absorvida:

'1 V'Z a·2'j'Vi: ~ =.~4.J

onde V = dãf'er-ença de potenciali :intensidade da correrleZ = tempoR = resistência

Unidades:

OGS ~1 em erga

11[5 \<1em Joule

10 - Potência absorvida:

P = Vi = Ri2

Unidades:

CGS P em ergs/seg

}lliS P em watts

11 - Lei de Joule

Q = 0,24 ViZ = 0,24 i2 RZ

onde V = diferença de potenciali = corrent eZ = tempo

-I- = A = 0,24 calorias1 Joule

J = 4,lS JouJ...~_caloria

12 _ Fôrça eletromotriz de um gerador

Um gerador é um dispositivo que tr~~srorma qualquer forma de energia emenergia elétrica. Se numtempo dZ o gerador forneceu a quantidade de energiad\-le produziu a quantidade de eletricidade gg, deno.,

,mina_se força el6tromotriz do mesmo a relação:

E = fllidq

Unidades: aS mesmas da d.d.p.

13 - Energia fornecida pelo gerador:

dw = E dq = E idZ14 = Potência fo~rtecida pelo gerador:

P = ili! = EidZ

15 - Associação de Geradores:\ , .a) em ser~e

resistência interna equivalente:R = rI + r2 + 1'3

b) em paralelo"7\

·--4--~~E7IE

f'em E = e

(Geradoresiguais )

o

resistência internada equivalente; R = ~n

16 _ Leis de Kirchhoff:a) Lei dos nós

1:t.=Ol

convenção: correntes que chegam ao nó: +n II saem do nó:

no caso: ilb) Lei das maL~s1: Ei::: z: Ri I i

Atribuimos sentidos arbitrários às correntes nosdiversos braços do cí.r-cuât.o , Percorremos a ma.lha emqualquer sentido; quando o sentido de percurso coincide com o sentido da corrente que a fonte de tensãotende a enviar, esta fem é positiva, sendo negativaem caso contrário; quando o sentido de percurso coincide com o sentido da corrente arbitrado, a queda detensão correspondente é positiva, sendo negativa em·caso cont rário.

...8-

-'ma.lha1 (percorrendo no sentido dós ponteiros dos r~

lógios)

17 .• Gorrent es de malhas

Suponhamosum circuito sãmp'Les para exemplif'icar ométodo emanalise.

eonsãder-eaos agora correntes ftfictlciasU i1 e i2.1 quepercorram as L1alhas1 e 2 do circuitoo

Apliquemos agora a.J.J,.eide Kirchhoff' às malhas emque.2tão$ tendo o cuid~ de verificar que na resistênciaRZpassam as duas correntes de aaâhas i1 e i2-

Assim quando estivermos percorrendo a malha l~ consideramos i

2negat.ãvaj , quand~ esti.vermos 'percorrendo

a malha 2, 11 sera. negatlva •.

Temosent.ão s

Ordenandog

':'9-

Analizemos agora a matriz formada pelos coeficientesdas correntes:

Esta matriz que é chamada de matriz de resitência,tem propriedades interessantes:a) Todos os têrrnos da diagonal principal sãc,.~"

vosob) Os têrmos fóra da diagonal principal são negati_

voSoc) A mtriz é simétrica em relação à diagonal princ,i

paI •.d) Cada têrmo da diagonal principal é a resistência

total da malha correspondente. (Resistência pró-pria da malha). De fato, a resistência total damalha 1 é:

A resistência total da malha 2 é: R2 + &3

e) Os têmos negativos são as resistências comuns àsmalhas do circuito (Resistências m~uas).De fato RZ é a resistência comum às malhas 1 e 2.

Conclusão: Arbit'rando o mesmo sentido para as. cor=rentes de malhas (por exemplo o sentido dos pontei_ros dos relógios), podemos escrever d:iretamente a l!lã.

triz de resistência do circuitoeApós êste passo podemos calcular as corren

tes ~ ' e i2 por exemplo pelo emprêgo dedeterminantes e

_10-Richardson eet-udando as cor-rentes de naIha,

elaborou um algorítmo que permite o cálculo rápid0 4

das correntes de malha, evitando o trabaâho aigébri~co introduzido pelos det ermãnant.es , Has o algorítmos6 é realmente vantajoso para rêdes elétricas e nãopara os circuitos sL~ples com ~ue iremos lidar nocurso.

P ...•• 1· t'~ara Ilna lzar cumpre acresceu ar que o m~todo mais comum é considerar correntes em todos OS -braços do circuito, diferenciando-se então o ~8tKYJOde 14.a."{\fellpor admitir não correntes de braços, - mascorrentes de "ma.Ihaa't , Após calculadas estas correntas de ma.lhas, a corrente em cada braço do circuitoé obtida, fazendo_se a conveniente superposição dascorrentes de malhas.

Por exemplo, no circuito dado:corrent e em Rl i1

11

11

~emRl0 numéricoNo circuito abaL~o, calcular as correntes que circ~Iam nas três resistências, a saber:

R = 4.112IOV

-11-

SQ.lu~ão: Considerando as correntes de ma'lhas i1 ei2 podemos escrever diretanlente a matriz

de resistência:

RI + R2 - R2A= -

- R2 R2+R3.: 20

7,2 - 4

-4 5

fôrças eletromotrizes: maLha1: Emalha 2: O

Então:- R2R2+R3

A

= 2,5 ..~

Identificação das corrent es;

= E{Rz..+R3) = 10 (4+1) =A 20

= 10 x,* = 2 A

20

corrente em RI = i1 = 2,5 Acorrente em R2 = i1 - i2 = 2,5 - 2 = 0,5 Acorrenlla em R) = 1) = 2 A

Exercícios R~§'Qlvido§1) Determine o comprimento 1: e o diâmepro fI de um ci_

,_ ..__.----.----_.-._-_ ....

-12-

lindro de cobre em~unção do volune ~ , da resistividade.J> e da resistência entre os terminais R.

Solução

R =.p 1s

masS=&1

:. R =.1' .ix

Portanto:

. Temostambém:

s =~ = _ ...•x:;::... __ = ·lr~1 1 4

~~]2• d

2 =•• 4 x

2) A corrente em umfio varia como tempo de acôrdecoma relação: i = 4 + 2 t2 onde i é expresso emamperes e t em segundos. Determinar quant.os coulombsatravessam a seção reta do fio no interialo compre-endido entre t = 5 seg e t = 10 seg , Qual én:> me,imo intervalo de tempo o valor médio da corrente?Qual o valor eficaz?

Soluçãog

-13-

Sabemos que dq = idt:. q = 1~dt

+.&.3 =

1:.1 == 5 seg

1:.2= 10 seg.

,:. q = 4 (10-5) + Z (10.3 - 5.3) = 6Qjj3 eoulombs.3

Por definição o valor médio de umafunção ,:f{t) em.um intervalo t2 - t1 é:

r t2.lt f(t) dt

:fm = -,I=-_~_1:.2 - tI

no caso temos:

= 4 + ~ (t~ - t1t;!.+ ti.> =Y .

;;: 4. + g (102 - 5 x 10 + 52) = L...?fJ,7 8lll~re5.3

Cálculo da integral.:

Então:

:No casog

-15:'

i;" = 16 + 1S lQ3 _ ~3 + I. 105 _ ~~ = 15606-.J. 310-5 510-5

:. i =V 15606'= 125 ampêr-esmq

3) Quer-se utilizar a 800 metros da geradora uma po-tência de 45 CV.. A diferengt de potencial aos bornesda geradora é 220 volt s• Qual deve ser o diâmetrodo condutor de cobre a utilizar, se a perda de pot~cãa admissivel na linha é de 10%da potência fornecida pela geradorao

Solução:

+2Z0V 45CV

----'OOm IA perda na linha sendo de 10% da potência

fornecida pela geradora3 a potência da geradora deveser:

p = 1QQ x 45 = 50 ev~O

Gomo 1CV = 736 wattsp = 50 x 736 = 36.800 wattsmas P = VI :0 I = r = 369800 = 167,3 A

V 220Esta é a. eorrent e que sai da geradora, A

perda na linha é de 5 ev ou seja de:Perda = 5 GV = 5 x 736 = 30680 watts

-16..

Devemoster:. 2. .RI ==3.680

R= 3,680 :::O,1315Jl

167,32

ComoR =pls

. S =PlR

S ::: 0,0172 x 1600 ::: 209 mm20,1315

Sendo:R = O,1315.f2. "TI" d2 ::: 209 J!JIIl2

4.p::: 0,0172;U.Jl- m (cobre)

S emmm2 •• d::: 16,3 mm

1 = 2 x 800 ::: 1600 (ida e volta da corrente)

4) A potência fornecida por um aproveitamento hidr.2elétrico é 75 CV. Deseja-se utilizar a energãa f'oJ:necida a 1500 m da queda d'água e a queda admissívelde tensão é de 8%. Qual o diâmetro do :fio de cobrea utilizar, para efetuar êste transporte, sob uma diferença de potencial de 600 volts.

Solução:

A potência emwatts é:P = 736 x 75 = 55.200 waiíB

sendo V = 600 volts: I = 1: ::: ,,25.200 ::: 92 AV 600

"'![f

a queda de tensão ég

-17-

ti- = .JL x 600 = /,;1 volts100

então: li = !& .n.92

R=.!'ls .

oe s = ~ 1 = 0,0172 x 3000 =R 1&

92

= 99mm.'2.p = 0,,0172)lJl- m

'2S emmm

Rem.Jl

1 = 2 x 1500= 3000 m d =Vii- = 11,2 mm

Observação: Caso tivéssemos uma tensão mais eleva-da para a transmissão, teríamos para umamesmaper_da de tensão umdiâmetro menor. Domesmomodo, qua:ndo temos umdiâmetro f'Lxado , a perda de tensão é m~nor para a tensão mais elevada. Da! o emprêgo daslimhas de transmissão de alta tensão.

5) Umacorrent e percorre um condut-or- mergulhado emuma cuba com300 litros de água a 15ºC. Pedem-se:

a) A potência dissipada para que a temperatura seeleve a 6020 emmeia horao

b) A intensidade da corrente se V = 110 volts.

+110 V So]:uçoo:

A quantidade de calorque deve ser desenvolvida ég

-18-I

......,.1

AQ = me Ai:. =

= 300 x 103 x {60-15} = 135 x 105 calorias

300 1 = 300 kg

C = 103cal/kg 20

necer por segundo

Comoemmeia-hora temos 1800 s~gundos, o nº de calorias B. for-,

e:

1:2, JÇ.J ..Ji = 7500 calorias/seg1800

Mas1 cal = 4g18 Joules, a r~tência emwatts é:Potência = 7500 x 4,18 = 31350\Tatts = 31,35 K'vI

Cilculo da corrente:

I = f = 210350 = 285 AV 110

6) Umabateria de aeuaufador-ea de 60 elementos emsérie, deve alimentar um.circuito situado a 60 m, -

A 1 Acom25 lãrllpadasemparale o" tendo cada lâmpadas aresistência de 250.n ; tendo cada elemento umafemde 2jll V e umaresistência mt.erna de 0,9003..fi. , p.§dem-se:

a) a intensidade da corrente se o condutor da li-nha (cobre), tem 3mm de diâmetroo

b) a potência perdida na bateria e nos condutore~

c) a potência absorvida pelas lâmpadaso

a) o rendimento da instalação e

Solução::Seja. R a resistência total {bateria +. condutores +

\\,\

-19- , \\..c/

+·lâ.mpadas)

Temos: I =~ = 4,11(J?~ = 126R R R

Resistência da bateria = 60 x 09003 = 0,18 11.

Resistência dos condutores ::::0,018 -Ã... Z x 60 ::::O,305.fl.

...!!:._ x 32

4.p :; 0,018 ,u.fi- m

", 1 :;::2 x 60 lid =3nun

Obeervaçâos ~estamos usando nêste problema'p:;::0,018un-: m

Resistência total das lâmpadas emparalelo :;::250 :;::25

::::10.n..

Então: R::::0$18 + 0$305 +.' 10 :;::10,485.Jl.

Então: I:;:: 126 = 12 A10,485

Potência perdida na bateria:

2 2Pb = rb x I ::::0918 X 12 = 26 1jlatts

Potência perdida nos condutores:

Pc ::::r'ei x 12 ::::0,305 x 122 ::::44 watts

Potência. absorvida pelas lâmpadas:PL ::::r x 12 = 10 x ~2 :;::11:40 watts

Rendimento da instalaçãog

p:;::pot Q utilizada nas 1âmpadaA:;::~ =pot , da bateria Ex I

I lI

II

=~ = 0,95 = 95%126 x 12

-20-

7) Considere o circuito indicado p~ figura. Dispõe--sede UW~ bateria de 30 V, de resistência internadesprez{vel. Esta bateria é lig~a sucessivamenteaos pontos a e b e em seguida aos pontos c e d , Noprnaeiro caso a bateria é atravessada por uma corren

~ -te de o A e no 2Q caso por uma corrente de S A. De-ter.~inar as resistência x e y.(SABATINA)

Cl b

Solução:Caso a:

A B

30v ~A

Req = (x + 5) (10 + y) = 1Q = 5x+5+10+y 6

os. I x:y + 5}:: :: 25 ]

Resistência e-quivalente entreA e B:

A

B

Req = (5 ± 10) (x ± y)5. ± 10 ± x ± y

-21-

Resistência equivalente entre A e B:

= .JQ =. 3,758

o. x+y= 5.

Temoso sistema: xy ± 5x = 25x+y=5

x = 5.A•• y=O.Jl.

8) Um gerador de resistência interna 0,25Jl e f'em9Vé Lãgado a um circuito constituído de três resistên-eãas ligadas em paralelo de valores 2, 5. e 10Jl. •Calcular:

1) A cor'rent e nos diversos braços •.2) A energia f'ornecida pelo gerador durante

meia hora •

. Solução:

R,

E=9Vr = 0,25.Jl.R= 2 .n1

R = 5Jl.2

R = lOA·3

·-22-

Vamosresolver pelo método das malhas, para ilustrarmais o método. As eq.uações são:

II ( r + RI) - l2~ + O:: - E.

- lIRl + l2 (RI + R2 ) - l3 R2:-J'

O - l2 R2 + l3 (R2 + R3):: O

Matriz de resistência:

A=

o

-1\ 00

Observe que:' podãaaoa escrever diretamente tendo emvista que: .

r + ~ :: ~esistêneia própria ~~ w81haRl + R

2:: li fi 11 a

R2 + R3 = li n D n

RI :: Comum.ás malhas 1 e 2!li = U 11 li 2 3 ~ te:rmos2 . e . ) negativos0= 11 n 11 1e3

Então:

O

2,25 -2 o

~}cliagona1principal

3 ..

.a = -2 7

-5-5 = 120

15

'0

-23-

- 2 O

7 -5- 5 15 = :....72Q = -6A 120

-9 O

O -5O 15 = :...%lQ = -2,25

A 120

- 2 -97 O

= :......2.Q = - 0,75A 1~0

-9o

2,25-2

2,25

Identificação das corrertes:c,orrem.e na bateria = - II = - (_6) = 6 A

" ti resistência. RI = 12 - 11 = -2,25 _(_6)== 3,75 A

li fi n R2 = 13 - I2 = -O,75-(-2,25}:"= 1,5 A

&3 = -I3 = - (-O,75) =

== 0,75 Â

ff 11 It '

"-

-24-

9) No circuito dado calcular:

1) As correntes nos diversos ramos.

2) A energia absorvida pelo circuito externo d1.1-rante 10 minutos.

3) A quar~idade de calor que seria libertada en-tre A e B se tôda a energia elétrica absorvidanêste trecho fôsse transformada em calor (I

r-- __ %_V-llo.'Jl.· 3yl s, O,.!.Il..~ RI = 2,8.1l..

~ R = 4JLRz . .-/'i, :2

R3 = lJ1.

R,

A

Matriz de resistência:

7,2 -4 { ma.Iha 1-+ 10 VA= = 20 fem (

-4 5 ( malha 2-- O

10 -41. - o 2 = t2.l1 = 2,5 A1 .ó 20

7,2 10

i = -4 O = MJ = 2A:2~ 20

Identificação das correntes:Na resistência RI = i1 = 2,5 A

-25-

Na.resistênciaR2 == I1 - I2 = 2,5 - 2:= 0,5 A·.

" li R) = I = 2 A. 2·

Energia fornecida pela associação durante 10 minutos:

Z = 10 mãn , = 600 segundos.

W = Eit = 10 x 2,5 x 600 = 15.000 Joules. .

Energia absorvida no circuito externo

.l8.n.:. ~+.n. ..

Req = 3,6Jl. .LJL

We= 3,6 x 2~52x 600 = 13.500 Joules

Quantidade de calor:

W = 600 (0,52 x 4+ 22 x 1) = 3000 Jou1esABJ = 4,18 Joules

caloria

o = 1QQQ = 720 calorias4,18

EXERctCIOS PROPOSTOS1) Qual é a OQG a resistência de um.fio de resis"ti_

vidade 0íl0964p.Jl- m~ de 4mm de diâ.'1letro e 680metros de comprimento?

2) Qual deve ser a secção de um fio demaillechort. devendo ter urnaresistência de 0,75.fl.. e possuiDdo umcomprimentode 60 metros, a oge.

-26-.

. .

3) A'quetemperat-lira: ~a bobina de fio de latão 'temuma resistência' de 1,25 li , sabendo que a r~,sistência medida a 151fO,ê de 1,05 Jl • CoefL

. ciente de, temperatura. Ó( =.,Q,0025,,,

4) ,Para fazer reostatos dispom~s'de fios de 2mm,._, 5Iilin. e 4,,5mm de diâmetro. Qual o compriJnento.quase deVe':ad.ótar.em~ada casol paraterresi5-t~ÍlCiasr:éspectivament'e.igua.is a sn, ,2 .n, j'

,5 Jl 'e Q,5 RaOl:lC.

'Resist.ivida4,e ~OQ GiA ::O'o;f64,f11l.-m ,

, ", 5) c~coJimp?-das't.endo' cáda'Uma"~resistênei8.,de5Jl. são, co'loeadasiea série;··.estas,.·.lâm,pa.dll.Sdiatâmentre si 30 m, á prfmeiràdisté.250,lÍl' da geradora.8 a Última distá. 280,m..: Se admitirmos que a r~'sistência doscondutórés ·de cobre ~ .,10%da re$ip...tência daslâmp8Q;~S" qual deve ser o diâmetro' dos, coruluJ-ores? '.f'= O;018;i4 ....m ' ,

tiO_30m,

'----~_'~~~,~----~~ao9O,".>

91No'~ircuit(}abaix~,.procure a condição para quea 'corrente no. ramoABseja nula.

-Zl-

7) Calcule a corrente na bateria, a corrénteern cadaramoe a diferença de potencial VAB po,çírcuito:

/8,A

8) Gonsidereo circuito da figura:

chave ao'érta ,v= 1,52 volts, (v= 1,37 voLts(A = 1$5 ampêre'chave f'echada

D~terminara fem e a resistência interna da pilha.

As pilhas têm as9) Gonsidere o circuito ao lado.têm .de 1, ·2e J volts, eresistências internas de1, 2 e 3 .n. .r-éepect âva.,mente. Pedem_seos valQrés e os 'sentidosdas

, ','correntes', e a potência.recebida ou libel"adapor'ead.apilha. '

-28-

10) Considere o Umotor shuntll indica.dona figura"Z-

v

R ::: Res. do campo = 240.n.c

R = Res , da armadura = 3.Jl.aV = tensão na linha = 120 VI = corrent e na linha = 4,5 AQuando o motor gira, a armadura desenvolve uma fcemê cujo sentido é indicado.

Determinar: a) corrente no campob) corrente na armadurac) a fcem

11) Calcule a potência dissipada em cada ramo do ci~vuito.

8~ ~~~ ~C

liA

12 v a n

-29-

12) No circuito aba.ízo, calcule a corrente i:

4-v

13) Para o circuito dado, calcular o titlorcia co~ellte emcada braço eo valor da resistência desco-·nhecida R, quandoo valor da corrente total é de2,25A.

10 v

14) NoCircuito, calcule a correm,e emtodos os bra-ços do mesmo.

(ver desenho na página seguinte)

-30•.

IOOV Co,CoZA 4.Sl.-

BOV

Q,UA. 90V ..3-!l ~t-----I

s.n.0,3.11.

6.Jl

15) Um capacitor de 10,.u.F de capacidade se descar-rega sôbre umaresistência de R = 1000.J1. • Qualo tempo necessário para que o SeU potencial seja~5 do potencial inicial?

16) Calcular a intensidade da corrente fornecida porumabateria de pilhas cuja fem é de 4,2 V e re-sistência interna 2,1.Jl , se a corrert e é envi-ada a umvoltâmetro cuja fcem é de 1,48 V e a r~sistência de 1,9Jl (incluindo condutores).

17) Urr~bateria de acumuladores de 60 elementos, tendo cada um. umafem de 2 volts e O,0008.Jl. de re-sistência interna, debita. umacorrente de 20 AsÔbre um motor situado a 300 m de distância. Alinha se compõede 11,')1 fio de cobre de 4mm de dijmetro e a resistência interna do motor é de0,5.J1.. • Calcular:

a) a resistência do condutor.b) a queda de tensão nos condutores AC e BD.c) a tensão nos bornes da bateria.d) a tensão nos bornes do motor.e) a fcem do motor~

Para o cobre: ..p = O,018}U2- m

A

-31-

c ----I u---~D

18) Calcule a diferença de potencial entre os pontosA e B do circuito:

A tE----j

,n. 5Jl.

1O.Jl.

4.1).>----A6

.3J'L

+soov

19) No circuito da figura, pedem..ser

a) as coz-rentes 110S diversos braços.b) a quantidade de calor desprendida em 2 h e 30

mãmrt cs na resistência de 10 Jl •) d t"d " . tA •C conservanro '0 as as ae~s~s res~s enclas, po~que valor se deveria subst ituir a resistênciade 10.n.. a fim de anular a corrente no braçoda bat eria de 20 V.

( , - ,rver desenho na pagana seguinte).

-32-

lO.1l t,- S.l1.

.to v •.n.1J2.

20) Umaresistência R é ligada emsérie comumcon-junto de 2 resistências eI'1 paral.elo de 8 e l2Az-especttvarsent e , A ddp nos terminais do circuj.to é de 20 VoA energia transformada emcalorem30 minutos é de 35 vlatt-hora.. Calcule R.

21) Emumcircuito de Cede 3 condutores de mesmocomprimento, a secção do condutor positivo é deigual a do negativo e esta é igual ao dobro dasec~ão do condutor neutro. A corrente no positáva e de 120 A e no negativo é de 100 A. -;Apotêllcia total convertida emcalor nos condutores éde 1100 1lIatts. Calcular a resistência do condj;tor positivo.

120A-

eorgo

Caf'9°

neutro

------dJ100 A

-33-22) Para determinar umaresis:.ê'ncia desconhecida uti- .

liza-seun circuito empotenciômetro Wicado nafigura o Coloca-se entre A e B uma. resistênciapadrão de 1 A J sendo a leitura do galvanômetroreduzida a zero~ quandoa resistência variávelvale 5...n. G Colocando-se entre A e B a resistên-cia a det ermínar , a leitura do galvanômetro é r~duzida a zero quandoa resistência variável vale10 -'l. G Sabendoque as resistência internas dasbaterias são desprezíveis, qual éo valor da re-sistência desconhecida? \SABATINA) .. . ..

I-----e A 6 o------.-'\N\AAA

23) No circuito ini icado na figura, pedemcae sa) as corrert es que percorrem as ta terias,b) as resistências que deveriam ter os trechos. AGe BO,para que seja nula a correrte que·atravessa a bateria de 8 V,

c) a potência útil consumidano circuito no casodo item anterior"

A••• A~ A

~Jl. C s n:

10 S .Jl.,

Formulário nº 19 - CorrenteContínua

-34-

u, V

zQ

I, i

Z;Ir

r, R

E

diferença de potencial - voltfôrça eletromotriz - volt

q _ quantidade de aletricidade - coulomb_ tiempo- segundo

- quantidade de calor = caloria•...•;;l'- a.!:J.tIere =...;L"lt ensidade da correni:. e

couJ.omb/segundo_traba'lho - j oul,e = volt x coulomb_ potência _ watt = joule/seg = volt x..ampere

. t"" , ,. / •._ reSlS enCl9. - oom= vOJ.:c{ ampere

2 - Lei d~...Qbm

A ---Vv'\..,--- BR

= + iR A-------~------BE r••i

VA - VB = + E + III (receptor)

3 - Res?~t.;i.:1Tidade(ver tabela)

R =~J...s

jJ = resistividade - (obn-cm)..f'i: = A (1 + o( t)

-35-1; s _ oompr-íment o e se:~ão elo condutor 2(em, em )

, S' .a) --ê..D--Sl

- r2"-ii

b) Paralelo

i

.J....= 1: -l..R r

c) Muiyalência Triângulo - Estrêla.L

R~ = R12+ R23 + R31

RR12 =-LR)

R R23 = t--

1

Ry = R1R2+ R2RJ+ RJRl

RI =R12 .~.11...RA

"R RR2:;: 14"_~_R "A

5 - Leis de Kirchoffa) Lei dos Nós. .

%1. = O••

Sendo n o nÚl11erode nós do circuito, esta leidará n _1 equações independentes.b) Lei das Malhas' i,3

L i-r= ~ E

exemplo:à. f 1I.+ ilr i2r2 = _E3+E4 .-'t.

1

~-_L+

A lei das malhas deve ser utiliz.ada o nmnero devezes necess~ias para completar o sistema de equa-ções. Deve_se observar que cada uma das f.e.m. fi-gure, pelo menos una vez, em alguma das equações r~sultantes desta lei.6- Ligação do AmpermetrP

dJe do Voltmetro

R

-J!-

7) Lei de Joule

Q = 0,24 Uiz = 0,24 R i2z

i. -A ---~'\I'VVVV\..,..---'--B

R

8) Aquecimento ,ª~umC.o.n.d'!:!to+:

T = t + A i2 RS K

S - superfície externa do condutorK - coef .• global de t.ransm, de calorA_ equivalente t.ermodãnâmí.co = 0,24 caJ./joulet _ temperatura ambiente;T _ temperatura de regime

9) ~fei.to~.termo-elétrico (Seebeck)

eu _ Fe - 2.3 milivolts/gráu

Bi_ eu _ 21.8 ,,- ~.

Bi - Sb Z1,3

10) E1ectrolise

14 = K i t = Kq K = 1000 A _ rng/coulomb.96540 V

A - massa atômicaV _ valênciaK _ equivalente eletroqu!mico

-38-

Valores de K .(rog/coulomb)

Alumínio ..... 0,0932 Níquel •••••••••• 0,3041Cloro ........ 0,3&74 Oxigênio •••••••• 0,0829Gobre (1) •••• 0,6588 Prata ........... 1,llBO

(2) .... 0,3294 Estanho • •••••••• 0,3075Ouro (1) •••• 2,0436 Tungstênio ...... 0,3180

(3) •••• "0 0,6812 Hidrogênio •••••• 0,0104RESISTIVIDADE

'-:eta1liga

A1umí.71lCarbono_ amoxf- graflCobreHercttrJ.Platina

I P:::~a_LatãoC01'lCtro(Cu_H

Hanganãr(CuJJ.l.

l'1ai11e(Ctl-Zn

Nichrom(F'e-1'h

ou T;:'~OQ-c---'-l-;~efiCiente demicro-ohm-cro temperatura-

" o 2~83 0,0039o 3.800 a 4.100 -"te 720 a 812 - I1"7? 0,0039-,/~o 94,Cf1 0,0007

10 96 0,00301~63 0,0038-- --_.'"'•.._-_ .._._...-.. .._~_.•. -7,0 0,0020

1t@ L~9,O 0,000 005i)"m 4l~,0 0,000 006.! ••••'1n)chort 30,0 0,000 400.-tIi)e 109,0 0,000 200.-Cr) . ... --

-39-

1) R = 5,22 .1l.

2) 8 = 32 lllln2

3) t = 942 C

4) Para o 19: 254,47mPara o 22: B2ti45m

5) d = 2,4 rmn6) -I = rI ~:'1+2

-2 R2

7) i1::: 1,303 Ai ::: 0,96 A2i3::: 0,343 Â

VAB:::0,14 volts8) • = 1,52 V

r :::0,1.Jl.9) i :;:..::L P = ~g \m.ti:is

11 12111 = ....i... Pl= ...2.Q \latts

11 . 121i =...z.. p=~ \.:ratts2 11 2 121

10) a :::0,5 .Ab =4AC :: 108 V

.---_._--- . ------- -------------;

11) AB = 1,65 WCD = 2,61 \~BD = 7 ,40 ~f

12)

13)

14)

15)16)

17)

BC = 2,18 v~DA = 4,96 lã

i = 35,2 mAI - li .1-12 = 1,25 AR :::.3 Jl.

i1 = 6,21 A i2 = 4,95 Ai.3 = 1,15 A I = 12,.31AZ =16 x 10-.3 segundosi = 0,68 Aa :::0,82 Jl:c :::119,04 Ve = 92,64 V

b ::: 16, 4 V

d = 102,64 V

-.40-

18) VAB :::.35,51 V19) a) i1 :::2,5 A i2 :::2,5 A i :::5 A

b) 1.35.000 caloriasc) 3,75fl

20) R = 0,912 .n:

21) R = 0,0436 J'l.

22) R = 2 .ri:

-41-

Q.Q~NTE ALTERNADAComElntário~:

Nêste capítulo é que surgem alguns concei-tos novos, e vários fenômenosrequerem umainte:;pret,ãção mais cuidadosa que no caso da corrente contmua ••

Temosa salientar um fato importante, queé o da existência de diversos modosde resolver osproblemas de CA, tais comoo vetorial, o simbólico,e o probl~~ principal é exatamente a escôlha do mé-todo adequado para a solução do problerr~ emfÓCQ.

tste discernimento só se t orna possívelpela solução de um grande númerode problemas, sendoque êste motivo dá origem a que resolvamos alguns e-xercícios aplicando todos os ~étodos, pois os própri_os alunos verificarão o métodomais conveniente.

Comono capítulo anterior, segue apenso oformulário correspondente fornecido pela cadeira ••

-*-*-*-*-*-ResumoTeóriço

1) Fun~ão Periódica ~ Se temos uma.função f(t) talque f(t) é idêntica a f(t+T}

para qualquer valor de i, dizemos que f(t) é una fu,nção periódica de períodO igual a T••

r(t)"!5 t(t+T)

Em particular quando temos uma função períodica talque f(t} = - t{t + 1):1 temos a chamadafun~ão alter-nativa" 2

( d nh P. °t)veruese o na pagaria eeguan e

i .

I11'- T -..I1 2 II.. T----II I

Umcaso particular de função alternativa é a funçãosenoida1: .

Ht)

t

f(t) = A sen t

J{t-)

2) Consideremos uma ~ senoidal e = E sen V tmax .'-

. chamamoae

E = valor máximomax111 - pW..sação= 2 11' = 2 11" r

T

e = valor L'I1.stal'ltâneo

.•.._.

3) Valor m~io emumdado intervalo

Jt 2 edt

e = 1med '--'=---:--t2 - tI

-43~

Durante umperíodo o valor médio é nulo.

Durante meio ciclo, o valor médio é:T

=1 ~t1'.2

= .2 Emaxrr

4) Valor ttédio quadrático (eficaz)

J2e2dt I

E = ~ .~t2 - tI

Para a função senoidal o valor médio quádratico du-rante Um ciclq é:

)

EE = max

{2 r-

Obs.: as expr-easêes vistas são gera":i1,valendo paratôdas as funçõe~ senoidais:

corrente ti

e = E sen w tmaxi = I sen "1 t

max

u = ti sen w tmax

.fem senoidal --,-

tensão II

5) Comportamentodos Resistores, capacitores e indu_tores.5•..1) Resistor .

L i = I sen 111 tmax

U =R I sen w tmax

1',.,.

..,..------- -----

Não há mudançade f'orma , nem defasagem entre a ten.,são aplicada e a corrente que circ~la no resistor.

5-2) Indutor l U=LÇJ.dt

LU = U' seu \.J t

Illax

u

i=lfudt=U- ~L vI L

sen (wt _1T )2

Não há mudançayde forma, mas a corrente fica atraz]ãda de 90º emrelação a tensão aplicadaó

5-3) Capacitor L i=Cgy.dt

U = U sen li tma.x

i = C H U sen (wt + ....:!!.Jmax: 2

Não há mudançade forma., mas a corrente fica avanÇl!da de 902 em relação a tensão.

NOTA IHPORT~: As conclusões que chegamossão def~ndamental importância no estudo

da corrente alternada.

Resistor : --- tensão e corrente coma mesmafase.Indutor : - tensão avançada de 9012 emrelação

a corrente.

Capacitor : --- tensão at razada de 909 em relaçãoa corr-ent e ,

-45-

Representando por exemplo a corrente porumvet~irante de módulo igual a I ,a. tensãopor umVel'},.:2i1~emódulo igual à ma.x Umax' ••• ,podemos esquemât.Lcament e representa.r o que .dissemos anteriormente do seguinte modo:

Resistor Indutor

k:m.~~,\+90°. - -

Capaeãt er-

r.!....mmaaxx ..~~

~UITIQ"

,.'"0_"

.ImQ,c tJrna"

(em fase) (tensãoavançada)

(correnteavançad,a),

Em qualquer instante temos as defasagenaindicadas. Assim sendo podemos ter o indutor em umcerto instante com a representação:

~~n1.XVImOA.•~a representação que fizemos,' ovalorins~'

tantâneo é a-_projeção sôbre o eixo vertical: ','

Imax~I ,

i = Imax sen wt

6) Lei de Ohm

6-l) -Resistor

U ::;:U sen w tmax

_._._-_._~..~ ---

-46-Umax .i ":;!""".. ,;,;,;..;;;=--- sen wt

R .iI

I =+ (ef'icazes )6-2) Indutor

1 _Uinax sen (w t - -t-)WL c::

I . ~ax I = r:r-"'F. U (eficazes)max ::;:-wr:- w .J.J

WL = reatência indutiva211' f' L := XL

f ..-.ciclos/segf4 ..KS L Henry

XL~Ohrn

6-3) Capacitor

i = C \'1 tImax sen (wt + ..:L. )2

I - r (eficazes)Wc

1 .z:z ReSistência ca.pa.citiva.... 1 z: Xc-wc 2Y :r C

[

~...,... ciclos/ seg..M K se....,. f'arad

X --'f> Obroc ..

7) Associaq;ão de elementos

-47-7-1) Circuito série R L C~.. ~~. .u.. u; ..f ~y;;;::rco

Como sabemos a posiçãó relativa dos vetores tens~o e corrente para cada um dos elementos, podemos ràcilmente construir o diagrama vetoria1 dõcircuito, observando-se que:

......• ---- - .....--".U = UR .•. UL •.•. Uc

No caso tomaremos como referência a correntepois é a ~esma para os três elementos .•

Observe~ 1) UL adiantado de 900 em relação a I92) Uc atrazada de 900 em relação a 103) UR em fase com 10

Temos: ~_~ax·:: I~ax [H2 -Ç (~- \VL)r I!ax Z2

.•.•.~'IIç,'".

(Xp';":: fL'J r J impedlncla do circuito

-- ---- ---~-------- ----, ..•_-'_. -

-IJ3-

..l.... - li L

R R

-7-2) Circuito paralelo R L C.:t~ ~-

11

~~~

XL. L.- •••••:te

IIC-- 11

- U--o --G --o .•..•

temos: I = Ia + IL + Ia

diagranía vetorial, considerando_tJ' comó-referên~ia:

I&.

I~ = U;,ax [ "'21.,.+ (\{ G - ~lJ2] = U~ Z~-2R ir L -. , -~'

Z= ;::==:::l=====:; = imp6dância do ciXcuit~

..1... + ( vI C _ •.•J•.J2R2 iU.

;

-49 ....

lP' vi C _ ....l.. --L -lU L X XLtg 'f = 'i_= --x,c __ -=-_..l

R R

8) Ressonânciao circuito está em ressonância quando a

corrente está em fase com a tensão, ou seja quandoo ângulo te é nulo. Para os circuitos apresentados,a condição de ressonâncias é:

~{L= l..vI C

•••2\.J LO=l

< 9) PotênciaPotência média: coa 'f

eficazescos f= fator de pot~nciasen 1f = 11 %'Eiativo

A componenc e de I segundo V é a única quefornece potência; daí os nomes:I cos ~ = componentevattada ou ativaI sen'e = ti desVIattada ou reativa.10) Volt-Ampere (potência apar-em e) :t. o produto da

tensão eficaz pela corrente eficaz.PVA == ,V .:lf I,. efJ.cazes

mÚltiplo muito usado: quilovolt-ampere-KVA.

~- ,...--_._--~---_._ .._----:-----------_.- ..

-50-

Representa~ão retangular•Imaginário A=a+biDizemos.que o com-plexo A é o afixodo ponto Ado pla-no.

AA

,//Ib,/ I,/ o( I

a. Real

a = part e real de  = Re [  ]b = parte imaginária de  = I[Ã]

• • _/2 2'A = m6dulo de A = I A I =Va + b ~l1e12resenta~ãopolar•A =tg Q( = l

a

cos o( = -ª- =A·

a

Representaáo eJSpoll.6...1l.ci<:ãJ-• 'o(A = A eJ

Fórmula de Euler: ).jOC = cos o( + j sen o(

"o(e-J = cos o( _ j seno(

-51-

sen c( :: j o( -jc(~. -.....§L.2 j

••A :: A cosoo( + A j seita(Complexos conjugado~•A= a+bj

•O conjugado de A é represerlado por A•

A :: conjugado A :: a - b j (retangular)A:: A 1_<'( (polar)A:: A (exponencial)

Sejam dois complexos: • ••A :: a + b j :: A~:: A eJ

B = c +dj :: B~ :: B ejj9. .'Soma: A +B :: (a +,~\ê) + (b + d) j•• •~rQ~utQ; A x B :: (ac - bd) + (ad - bc) j

A~xBlfi.:: ABIC<+ft

.:c( • Q (<< + /.l) .A eJ x B eJ.I'" :: A B e ~ J

DivisãQ: A!. B = ~c + bd + bc - a.d j• 0

2 + d2 02 + d2

Ak.:. B ~= -Â- Io(-fic B

A eO( j .!" B e fi j :: ..A... e(O( -;9)jB

-52-Elevação a um expoent~:

•• , "o(Sendo A = A ~ = A eJ

(Ã)n = An I no( = An ejnoc

Complexos conjugados (operações)•• I -JA = a + bj = A ~

A == a _ bj == A 1-o(

Som~: A + A == 2 li (real)-:..

Diferens;a.: ••A - A == 2 b j (complexo)

 xA == A2 l.s.,Ã:'A=A~

A~

Produto:Divisão:

•

OPERADORESOperador j: é o operador que aplicado a um vetor,

dá-lhe uma rotação de 90Q no sentidopositivo. I ..1I.

2j == 1

Se aplicamos ao vetor  ::A ~j A = 1190 x A~:

::AIO<+-90•.\

J ,,,•A

Apliquemos agora as noções vistas aos circuitos decorrente alternada••

-53-

Usaremos a notação:

j = operador (j2 =-1)•Z = L~pedância simbólica• « •

Y = adl1litância simbólica (Y= _l.J.z

G :: condutância = ....l...11

B =suscetância = ...1.... (+ nos Circuitos capacãt.ávesX (_" fi in,dutivos

Circuito série R LO,I 2 . 21Vimosque: Z =VR + (...1.... - vI L)=-

liC

=VR2+ (Xc_XL)2 I

tg·"(: = Xc - XLR

Representaremos a impedância do seguinteroodo:."Z = R+ j XL - j Xc (retangular)

Z = Z LL (polar)

Z = Zej"f (exponencial)

-54-

Circuito Paralelo R L C

z = -:=========~..J ~2

1 ,+ ( li C- - ..•LJ2

\1 L

tg"'f = li. Llo... - -1....)X x,C L

Ch t~ . -1\ •iama-cse adroi ancia ao inverso da J1Uped.al1c~a;no câso:

y =-1.... =z

...l- + (~ C ~ -1-)2a2 vI L

Representaremos a admitância simbólica:

Y=...l--....L+.....i..= G-BLj+B jR v «r . C

.•.L AC

BLe Bc são as suscetêJlcias

•Y = G + j (Bc ...BL)

Ix, (polar)

(retangular)

•

(exponencia.l)

Compor-t-ament-o dos Elementos siIuples ;. umatensãocontÍnua •

Estudamos o que ocorre quando excitamosum resistor, indutor ou capacitor comuma tensãoalternadao Verificamos que o indutore o ca.pacitora.presentam para a corrente alternada uma certa rea_tância z-espect.ãvamence indutiva e capacitiva •.

Agora vámosveri~icar o que acontece q'illL~

do fazemos a excitação não comtensão alt ernada,mas comtensão contínua.

-55-

a· ., . , 1• d tud ri deS:l:.~lj..Qr:J8. amÜ:lzmJlOS CjUan•.o os . amos a pa "e . eC.C.

Inicialmente estando o capâcitar descarregado, ê1e co-meça a se carregar com.a c01.:rente fornecida pela bate-ria, até que est~o total-mente carregado ( q = cV),.;t_~1'~ mais passagemde c01.:rente; ora acontece que ocarregamento dá-se em poucotempo e assim sendo a cor-

rente é imediatamente ccr't ada, Da:!o fato do capac,itor "baz-rar- a corrente cont.fnua"; .

Ca,pacitor:

il.,.

v

Quandoo capacitor é excitado por tensãoalternada, tal não acontece, pois o capacitor se c~rega ·e descarrega,' conforme a tensão mudade polari-dade, circulando pois permanentemente a corrente.

r

Indutor: O indutor (id~al), sendo um. eiemento in-Lteira.mente sem resistênoia, -não oferece nel'ihuníobst,ãculo à circu..1açãoda correnteoontll,iua, por-t.andocse- .~.comose estivesse emcurto •. ·DaJ.se ~Jrigarmosuma ba-teria aos bomes de um indutor (ideal), est.amos co1.,2cando emcurto a bateria •

......., ..

L bateria em curto

Equivale a:

+ +

O . d t ,. .._. ~"',. an U or 80 exerce sua açao quanao ne.i,ecircula umaC••A.,poisa1 entra em ação a sua rea-tâ..'Ylciaipdutiva( li L) que, aumenta.conforme aumen-.taa :frequência da excitação.

'.. Cumpre~gora salientar o f'ato.da não exl..§t êneia de eleIllEmtosPuramenteinduti vos e capaciti-.vos, possuindo os capacitores·sempré umacerta cor-rente de fuga fre·sistência.°finita e não infinita) e·osindutores sempreuma cert-a resistência ôbm:ica•

-.Exercícios Resolvido~

1) Um circuito indutivo de,5.n de resistência é peIcorrido poruíl1acorrente alternada sob umadife;...rença dépotencial de 250 V •

O Bngulode defasage.."né,de 282. Calcule:

a) a rea,tânciadoeircuitob)a impedânéia . . ...c) .valordacorI'ente (sempre que não houver

outra referência, trata-se do valor ef'icaz)a) a femdea-m,o-induçãoe

Sqluç,iQY' .

a) 'Sabernos que tg V=-_ "'-L =' - tg 28.\ 11

=5x 0,532 :;; 2,660.n...

1:

b) Z =-/nZ + X~i =V52 + 2,662':5,66 Jl

c) I ~ -Y- (eficazes)z

•..57-

d) E = I XL.= 2,66 x 4L}!J25 = 117,5 V

Obs.: o ângulo 1f é sempre contado a partir do~. ../" vetor U.

2) Um circuito tem em paralelo, uma bobina de S./},.deresistência e coeficiente de auto-indução 0,2 Henry, e um capacãt oc de 10,f.LF •. Aplica-se umatensão de 120 V e 50 c/s. Calcular:

..a) as int ensidades das cor-rene es nos diversos br,ãr" ços~ •.... ,'

b) a defasagem

c) o diagrama vetorial do circuito.

Soluç~

o

I

®IC

. .Zl = H + j XL = 8 + 62,8 j

..Il = -+- = 1

Zl S + 62,8 j

11étodo simbólico

XL= Vl L = 211" x 50 x 0,2=

= 62,8..52.

Xc = ~?C =

= 1 =21r x 50 x 10 x 10..6

= lQQQ.Jlir

= L- 62,8...i = _L- -82 + 62,82 4007,84

: .

-58-

- 62,,840r:J7,84

j = 0,00198 - -0,0156 j

•I -,= ....L... = j = 0,00314 j2 X --""--

c lW.Q

Admitância total:· .. .Y = I1 + Y2 = (0,00198 - 0,0156 j) + 0,00314 j =

= 0,00198 - 0,01246 jtomando U como origem:•

TI = 120• ••I = U Y = -120 (0,00198 - 0,01211-6j) =

= 120 x 0,00198 - 120 x 0,0~~6 j

I =V(120 x 0,00198)2 +(120 XP,Ol2L;.6)2'= 1,52 Adefasagem:

tg 'f = - 1.~Q.2~O,OJ.,Z42 = - 6,33120 x 0,00198

:. y= - 81Q 2'

Cálculo de II· ..II = U I1 = 120- (0,00198 - 0,0156 j)

II =1/(120 x 0,00198)2 + (120 x 0,0156)2 ~ 1,9 A• • •I2 = U Y2 = 120 x 0,00314_ j = 0,38 j

-59-

== corrente correspondente a resistência ôhmicada bobãna,

~Ir;x == n eor-r-espondent e a reatância indutiva

da bobina.~ --o ~IL == 11 na bobina (total) == ILR + IlX--o

10 == 11 no capacitor

-<>I == n total do gerador

j

U(orl~m)

-60-

!.....Çl;!,J;:gQ..JlQ. .•alm!,Q: verifique se a so'lucâo vetorial. é de maã.s rápida aplicação que a

simbólicaapresentada... Caso seja, confira os resu.1tados pelo método vetorial.

3) Col~c~":'se emsérie duas bobinas de indução ten-do a la 5.Jl. e 0,0107 HerJX'lJ e a segunda ZO..n.. e0,5 HenrJ; circula umacorrente alternadª de100 A, 50 c/seg. Calcular:

a) a impedância de cada bobinab) a. impedância do conjuntocJ.-as tensões nos bor-nesdas duas bobinas e a-. tensão ,t'otald) ocossêno do ângulo de defasagem entre a cor_

rente e a tensão nos bornes da lª bobinae) idam para a 2ª bobinaf) o eoaseno do ângulo de defasagem entre a cor-

z-ent e e a tensão totalg} a potência utilizada na lª bobinah) 11 11 11 n 212: ui) 11 11 total utilizada

a) Z1 :=1/ .Ri+= pll

z2=.J •.....R--~-+-·-(H-.L-2)-2-':'~Y20~.+(2ltX50 x O,5)i =

Solução:j V~----'----Yj

2 2 ·2(UL1) :: 5 + (2lTx 50 x 0,01(7) =

= 158 n.

b) Z =Y (5 + 20) 2 +

.:= 162.fL

2'[2 rr x 50 (0,0107 + 0,5)] =

.:::

". c) Na~§.obina1;~U1= I Zl = 100 x 6 = 600 V

-61-

Total: TI:;: I Z = 100 x 162 :;: 16.200 V

d)

UR,

cos 0(,

e) cos o< 2

f) cos 0\::: UIU~_+"._~12_= RI +.l:~ = .i....t.2.Q:: 25U Z 162 162

g) Pl ::: U1I cos 'f,:;: 600 x 100 x ~ ::: 50.000 i'Jatts6

h) P2 = U21 CoS r~== 15•.800 x 100 x ~ == 200.000 1·m.ttS158

i) P :::U I cosf :;:16e200 x 100 x ~ :;:250.000 T~tts162

-1>2-

Caso tivesse sido pedida a potência aparente:

N1 = U11 = 600 x 100= 60.000 VA = 60 KVAN2= U21 = 15800 x 100 = 1580.000 VA = 1580 IrvAN = U I = 16.200 x 100 = 1.620.000 = 1620 KVA

Observe que para a potência aparente nãovale a relação:

1620 =F 60 + 1580'-j--4} FaZ-se passar numabobina contendo umnúcleo de

aço d~e, ttmacorrente contínua de 6 A sob UVA

diferença 'de potencial de 15 volts. Substituin-do-se a fonte de tensão cont fnua por uma de ten-são alternada de frequência 25 ciclos/seg, obtém-se sob umadiferença de potencial de 15 voltsuma intensidade de 1,5 A. Pedern-se:

a) a resistência Ôhmicada bobL~ab) a impedânciiada bobinac) o coeficiente de auto_indução para I = 1,5 Ad) o ângulo de defasagem

Solução:

a) Quandose usa a CC, teríamos umcurto se não fô,ªse a resistência ôhmicada bobina:

R = .JL = ..1í... = 2,5JlI 6

b) Impedância:

u= I Z •.•. z ;: .JL = -fi.. = 1011I 1,5

...63-

C)

,.

VZ,52 + 4 rr 2 x 252 L2 I = 10 :. L = 0,0165 Henry

d) Defasagem

'fg Y = ~.-: ~LR

No caso não há capacitância:

2 Ir x 25 x 0,01652,5

= - 3,FY73

:. y = - 75231'(Lembreque o ângulo y é contado a partir de U)

U

Nota.:..seo efeito da resist~ncia da bobãna, pois senão fôsse esta, o ângulo de defasagem seria de 90º_ ".

~/ ·5) Paz-ao circu:ito da figura" ca1cul.ar;

a) Xt e Xc

o";~' .

b) Impedâncãac) Corrente eficazd) Diagra~ vetorial

R ::: 10 .a:L =0,02 HC ::: 0,001 Ff :::i 50 c/segU ::: 21!-Ü volts

Solução:

.-64-

R C

~u:JL

a) XL ::: W L = 2 rr f L :;: 21r x 50 x 0,02 = 6,28J2..

x =-1..-= 1C

WC 21TrC

b e c) Método anal:!tiqq -'

::: 1 ::: 3,1.8.fl.

2 1rx 50 x 0,001

u = 240

z :::-Vr-R-2~-+-.-(X-'-·L-'-~-X-c-)2-":::"102 + (6,28 -:3,18 )2' ==

::: 10,42..Jl.

I = .JL::: UQ::: 23,1 A _Z 10,42

Método simbóJJ.ço Gª-~es~"U :;: 2L~O (origem)•Z :;: R + j (XL - Xc) == 10 + 3,1 j

e e.U ::: Z I

. .I = .JL ::: ?AO . = 240 (10 - 3,1 j) --

i 10 + 3,1 j 102 + 3,12

-65-

= 22 - 6,8 j....1 2 2'-I = V 22 + 6,8 := 23, 1 A

HétogQ"S~bó1iCQ Po1~

ú = 240 Ls.,z = 10 + 3,1 j :1,/I02 + 3,12', ang tg lfo -

= 10,42 I 17220'

2L&_1 O _:= 23,1 1_ 17Q 20'

10,42117Q20f

I = 23,1 A

I := U :=•Z

Hétodo Silnbó1icQ Exponencia1o O"U=240eJ

-' i 17Q20rjZ =10 + 3,1 j =V 102 + 3,12 e ::::

17220 fJ":= 10,42 e

23,1 e-17 Q20 f j• •I=Q=•Z

~-~~-_:=10,/~2 e 171220 r j

I = 23,1 A

tgf = Xo, - XL = 67,_2_.g_:.__~ =R

0,31

10

cos~ 0,955ta = li eos 'f = 21{-0 x 0,955

• ~~ 0,955 = 23,1 A10

.r

" ,1 ,r ~ • d'.i-\.presencamos aqua 08 cllversos mo os ce re-solver o prob.Lema, Cabe ao aluno a tarefa de est.u.,clá-Ios E!V61'):tficar por si mesmoo que apr'eserrba ma.,io1"vant agem para o prob.Lena em questão. Fizemostambém questão de apresentar o método s:i.!nbólico sobos seus diversos aspectos para que possa haver um• Á . t' t·-(,e1"r'1O compara J..vo en r-e OS mesmos•.

Só a prática intensa dos prob Lemas de CA éque permãt e a escolha imediata do m~()do mais conv.§nd.ent e ,

6) Um circuito possui associados em série, l:UU capa-citor de 30pF e urna bobina de 5Jl de resistência

o s • . ~ '.11 ~ N ., '1 t: "'I l:'"e um coerj.ca.ent e ue auto-ln0.UçaO ue G,-;;J uenry , i-,a,n. , " 'I'" .~ ~. d 110lJ 01'1-8 e aos oo1"11e8ao CITCUJJ.-,o urna ddp er rcaz ~evoãt s , Pederrr-se ca.Lcu..Lar- para. uma f-:cecn.1ên.cia de,. - ...60 c/seçso

a) Q, intensidade da corrente,b) &. tensão aplicada a bobina e ao capacitar.

..67-

Solução:!:L~togq ~n_a1!t;..QQ

a) I = U = U =Va2 + (Xc -' XL)2' VR2: eL. _W L}2 I

IdO

__ . 110, .•,_- '

52 . (.. _. 1V T 21r x 60 x 30 x 10..6

='.',.. -To- 21T x 60 x 0,5)

= 110 . _ = 11Q =V25 + (88,4 - lS8,4)·2'. 1/ 10.025

= 1,1 A

b) , 1f X - XL 88,4 - 188,4tg = <c ••• =---- =a 5

- 20

y = _ 8728' (ãndut ívo)

c) nos bOrl1es da. bobina:E.' = Z_ I =~IR2 + \ol~ 2 I X I =L L :V .

nos bornes do capacitor:

-68-

;:: L_____ x 1,1;:: CJ7 ,25 V-6

27r x 60 x 30 x 10

Hé-t.odoSimbólico (Polar)' ..

a) XT

;:: H L = 21f x 60 x 0,5 ;:: W8,4.J1...J.J '

x ::: 1 ::: 1 _ = 88,4...a.c HC- . . . 6

21f x 60 x 30x 10-

, R= sn,': ,;

'.'

Então: Z = R + j -,XL- j Xc = 5 + (188,4 -88,4) r== 5 + 100 j =..j 52 + 1002' I'~tg .1f =

= ,,10025'.1,87 Q8t... .'

U = 110Lº-- (origem)•

zl2...

V 10025' I87Q8/

I;:: U::: 110.. --_.

E ::: (...j X ) I ::: - j 88,4 x 1,1 -8728' =c c

Obs.: lembre-se sempre que o operador +j faz girarde 90º no sentido contrário ao dos ponteiros

-69-

dos relógios, e o operador -j faz girar de 902 nosentido dos ponteiros.

Dia~ama Vetoria1

I

Solu~ão vetori~:Para facilitar, tomemoso diagrarra ant erã.,

01' e coloquemosa corrade comoreferência:

I

x.L = Vi L = 188,4Jl

X =...J..... = SS,4Jl.c \{C

-70-

1f =.$70 8'

cos 1f = 0,049URL =_ I ~ = U cos" (vide diagrama)

I = n co~ = 110 x Q,Q42 = 1,1 ARL 5

A queda só na indutância é:

I XL = 1,1 x 188,4 VA queda na bobina é:UL =\1 (IR)2 + (IXL)2

1=1I (110 x 0,49)2 +(1,1 x188,4)2=

= 2(J7,3 V

Queda no capacitor:

U = I X = 1,1 x 88,4 = 97,25 VC C

7) Considere o circuito indicado na figura onde aindutância é 0,1 Henry, a capacitância 100p.F e aresistência em série com a indutâDcia é 1 da re-sistência exterior ao trecho em 2,5paralelo. Sujeito o circuito a uma dd12 de 70 volts,

t tI 'f' tA ,correm- e con anua; verJ. a.ca-sse que a po encaa cons'ymida é 140 watts.

Submete_se em seguida o circuito a umaddp alternada de 70 volts com a frequência de 100ciclos/seg e nestas condições pergunta_se: 1r

a) os módulos e fases das três correntes do cir-cuito

b) a pot~ncia eonsumãda no circuito de CAd) que va~or deveria ter a capacitância para que

'.

-71-

o circtüto fôsse resson~!te?26/11/1959 )

(~ova Parcial -.

Solução:R~~~.... '....,.

l,5R 0,1 U~~-•.

••11 '00'"'t:"

•'10 V

com.tensão cont fnua temos:

2,5R - .R-

--- JO V

.3,5 R

n+ 70V -

p = L = 140 watts3,5R

~ = 140 R = 4900 _ = 10Jl.3,5R 3,5 x 140

o circuito é então: lOA 0 L.

~5Jl slx,- O,, liA A ••••• C..!

xtQ) Ix.t- ª'I;

c ~ loo'p-F ~~"

~--------~----~-U ~o---------------~

------------,--,-'---~------ .-----~._._~---------_.

-72-

. U =·",70 V

f = 100 ciclos7r seg,.~

XL :: \.J L = 21T x .lQQ. ."., Xc :: --.J..... :: --. -. -...--:I=------..iJ"'!""'".. = 50..n.

WC 21Tx 1QQ x 100 x 10tt

• 0,1 :: 20 .Jl:

Método simbólico•

bl'§.S(Q1: ZI =10 + 20 j

·Yl': 1 = 10 - 20 j = 0,02 - 0,04 j

10 + 20 j 102 + 202

•• i~. braço.2: Z2 = :...50 j

•Y2 =-1-- ::0,02 j50

• • •Y12 :: Y1+ Y2 = 0,02 - 0,04 j + 0,02 j = 0,02 - 0,02j

•1 . :: Q•..02 + 0,.02 j ::

0,02 - 0,02 j 4x 10~+ 4x 10-4

'~ -- 25 + 25. JO

~•

bra00 J: Z - 25'" 3 -

Então:

Z123 = Z3 + z12 =25 +[ 25 + 25j] :: 50 + 25 j

-73-

Tomando U para referência:.. ..lJ :::70 1 = JL = 70

•z 50 + 25 j

:::1,12 - 0,56 j1 = V1,122 + 0,562' =

= Z1L(50 - 25j) =502 + 252

Tg"'f = - ~ =-0,51,12

1,25 A:. tf = - 26º 30 I

Sabemos que:.. .,U ::: UAB+ UBC

· ".UAS = 23 I = 25 (1,12 - 0,56 j) = 28 - 14 j

logo: ÚBC ::: U - ÚAB :::7O - (28 - .'i4 j) = 42 + 14 j

Temos ent ão :• •Il = ~BC = 42 + 14 j = (42 + 14 j) (10 - 20" j) =

Zl 10 + 20 j 102 + 202

= 1,4 - 1,4 j

11 =v 1,42 + 1,42' = 1,98 A

Tg y, = - J...,k_ = -11,4· " .12 = 1 - 11 = (1,12 - 0,56 j) - (1,4 - 1,4 j) =

-74-

'_I 2 . 2'I2 =v 0,28 + 0,84 = 0,88 A

tg"f 2 = - ~ = - 30,28 .

Y 2 = - 712 30'

2) Potência

p = U I cos 'f = 70 x 1,25 x cos 26Q30' == 70 x 1,25 x 0,899 = 78,3 watts

3) Ressonância

Sabemos que o circuito está em ressonância quan-do --<> -o ••• • tIJUe I est-ao em fase, ou seja 1. = O •

•.Vimos que: Zl= 10 + 20 j•

S~ja X a reatância que conduz à ressonância, então:c••y = j2 -Xc

• __ .L ._ = __ Jh.fg_. _2 20,02 + (...l..- - 0,04) j 0,02 +(1.. - 0,04)

X Xc c

-75-

...1.. - 0,,04X .- ..5t-__ ------ J

0,022 + (-1- - 0,04)2Xc .

...l.. - 0,04X__ c~-· j

0,022+ (1- _0,04)2!I:~.'c

Tomando U como origem:•• •I = U

•Z 12.3

= ---2-fL•z 12.3

Para que I esteja em fasecomU,I nãodeVe ter componente complexa.; consequentemente••Z12.3 não deve ter tambémta.lcomponente.

•• Para que se anule a parte imagimfria deZ12.3.' devemos ter: v -_ 1~ - 0,04 =0 A =X c 0,04e

::: 25..fl.

..1-..= 25wo 1 =25 x 211 x lQ.Q

1T"

1 :::200}L~5000

Obs.: Com a prática ter:!aIr.osvisto diretamente que•Zl2 não devia ter parte imagirL~ia, o que con-

duziria à condição anterior: -1- - 0,04 =0X

cmas preferimos seguir todo o raciocínio para ficarmais claro.

Observa~õesre1ativas ao problema

1) O método vetoria! apresenta às vezes uma inter-t - .,"-.p" '1 ',- d . b '1'pr-e açao maxs U..u.J.CJ. que o meto o Sl.TIl o a.co , o

qual é completamente "mecânico", embora conduzaem muitos casos a soluções traba'lhosae e

2) Confira o diagrama vetorial _~.)sentado a seguire procure resolver o problema baseado no mesmo.

,

....- .••. .••.

:r,

A , • • tUR1 = queda na resistencia em serJ.e com o ~du-oron no indutor

-77-

3) 'i'ome muat a atenção no caso da ressonância; A

condição LC"W2= 1 vale apenas para os circuitossimples que indicamos. No caso de um problemaque não se encaixe nos casos estudado~J temosque verificar a condição que f'ornece 1 = Oi poisesta sim é que é a condição geral de ressonancia.

E~{ERCrCIOS PROPOSTOS'><::-1) As rem de dois alternadores são 60 e 80 volts, e

defasadas de JOQ. Qual a !Qm que resulta quandoas duas :ruáquina.ssão colocadas emsérie?

,2) Um capacitar de 15).lF é ligado a umaflonte de tel1são de 110 volts. Calcular a intensidade da c0l:rente se a frequência é 40 c/sega

9) Oa.Lcul.ar- emp.. F a capacidade de umcapacitar queligado a umafonte de 110 V, 60c/seg é percorridopor uma corrente de 0,25 A.

Urr~bobina tem umaresistência de 3Jl e um coef'i-ciente de atrt o-dnduçâode 0,03 Henry , Que corre,!,l-te circulará se a mesmaé excitada pcr· umafontealter-nada de 40 volts e 50 c/sego

Para determL~ar o coeficiente de auto-indução deumabobina, aplica-se à mesmaumatensão alterna-da de 50 cl seg e verifica-se que a corrent e é de6 A. A resistência da bobina é de 3ft. Qual ovalor de L?

"/ 6) Uma bobina de resistência 20n e coeficiente deaut o-dnduçâo 0,06 FI, é ligada a umafonte de ten-são a'l.t ernada de 50 c/seg., sendo percorrida poruma.corrente de 0,6 A. Calcular:

\ . dA •a) a lffipe anClab) a teneâoc) ° cosseno do âl'lg'tÜO de def'asagem

-78-

-I 7) CalCl.ll.a.ra dIf'er-enca de potencial a ap.Lí.car- a08

bornes de uma bobir;a de 10 Jl. de resistência,tendo um coeficiente de aut.c-dnduçâo de 0,02henry~ para que circule uma corrente de 4 A, defrequencia de 50 c/seg.Calcule a defasag~n elltre a corrente e a tensão.

8) Numcí.rcuí.t.o sem indutância, de resistência250..n. , faz-se passar urra CA de 50 c/seg. Afem disponível às extremidades do circuito J de120 V. P8Iem-se:

a) a intensidade da corrente antes e após a in-troducão no circuito de um condensador de20 p.-f •

b) O,valor do ângulo de defasagem no Últ:lln.oca.so.

9) Dispõe-se de uma bobina de resistência ôh.'llica0,05 Jl e de coeficiente'de aut.o-dnduçâo 0,006hellry. 1~bobâna é alimentada por uma cor.•...céntealternada de valor 8 A ede 40 c/sego . Calcular:

a) a queda de tensão na bobinab) a queda de tensão na bobina quando esta é pe.,t

corrida por uma CGde mesma intensidade

10) Um"cí.r-cuât;o não indutivo tem uma resistência de300Jl •

a} C8.1cu1a1'a intensidade da corrente que o per-corre se é conectado a uma fonte de 120 V.Intercala-se em seguida no circuito um capac~tal' de 2fLF. A frequência sendo 50 c/seg,calcular:

b) a nova corrente

c) a de:fasagem

11) Umabobina é ligada a Th~a Ionte de CAde 40

-79-

C/S. Oonstat.a-.ae que I ::: 12 A, U = 150 V eP :::1125 'W'8:ttS. Calcular:

a) a resistência ôhrrácada bobina.b) a impedância da bobinac) .(),coeficiente de auto-induçãod)atensãode auto~indução

12) Umalâmpadade arco, trabaThacom 10 A e umatellsão de 30 V nosbornes. Para poder ligar a lâm-pada a umafonte de 100 V e 50 c/seg, deve-se ligar em série comela na bobina de 0,2st de resi~tência interna. Calcular:

a) a fem de self da bobin~b) seu coeficiente de autp-induçãóc) a tensão nos bornes da bobinad) a potência absorvida pela bobina

13) Umcircuito possui associados emsérie umabobi-'nade 5...0. e 0,45 H e um capacãt.cr- de' 20 fL F •Hantém"'senos bornes do circuito umaddn eficazde 110 V, é 50 clseg"CalcuJ.ar: . ~

a) a corrert eb) as tensões nos bornesda bobina e do capaci-

tar.c) a frequência que produziria ressonância no

circuito.

14) Uma corl'~nt ealt ernada<de 25 c/seg alimenta umabobina de resistência igUala O,4JL " A dife-rença de potencial aplicada sendo 220 V e a cor-rEm!;e 12 A, pedem-se:

a) a defasagemb) o coeficiente de auto-indu~ão da bobina, se

umwattmetro acusa umapotencia de 1800 vat.ts ,

15) U~a corrente alternada de 40 c/seg alimenta. sob

-80-

umadiferença de potencial de 110 voLt.alW'1 bo-bina de L = 0,08 H e resistência i~Jal a 1511 o

Calcular:

a) a corrent eb) a rem de auto-L~dução e a defasagemc) a potência real fornecida a bobina e a potê.u

cia aparente

"'Á. 16) Umcapacitorproduz a ressonância no circuitocujo coeficiente de "self-induction" é 0,5 H ea resistência 10.n.. , quando a f'em eficaz apli-cada é 120 volts e a frequência 50 c/sego Cal-cular:

a) a capacidade emp.,F do capacãt.or ,b) a intensidade da corrente.c) a tensão nos bornes do capacitar

17) No circuito abatxo , qua.L a tensão que deve seraplicada entre A e B para que o condensador se-ja percorrido pela corrente de 10 A.

AS.Jl. 0,0'''' H I--"V __ -'l~""*-****-*

1 Considere o circuito indicado na f'Lgura, Dentrod . d i.s't i .,A. inda caL~a po e eXlS-lr una resls~encla, una ~tA • 't ,. - ri ,.anc a.a , um capaca or ou uma COI!lDlL"1açaO •.•.e a01S

. d + .•. • ..• , •quaa.squer esues e.íenerrcos ; I:1SS0Cll).Q.OO emserae ,Aplicando-se aos tel~liriais a e b do circU±to nogerador de CCde 100 V, o ~perl~etro indica20 A ~ Se entre-tanto o gorador fôr de CAcom ame~~~ ddp e a !requência 100 ciclos/seg., nota-se que o circ~o. está 1T emressonâ.>1ciae

• d' -, "., Ll, A D tque a an lca.çao ao ersper-imet ro e 1. • • e er-minar as características dos elementos contidos. .," ., '-'-na calXa e a capac~~8nclu ao capaci~or 6Ãverno.

(ver deaen ...ho na página seguinte).

..$1-

.OJl.

a.2 - Dado o circuito indicado no esquema, pedem-se:

a) a fem de umgerador deCC com0,5Jl de resis_tênciainterna, capaz de manter enl;,re .ã e12umaddp de 100 volts.. Sabe-se que nesta co11diçã.o a resistência li poderá aquecer em10minutos 1 litro deagua entre 28QC e 100ºC.

s) O valor eficaz da tensão que aplicada entreA e B seja capaz de dar lugar ao mesmoefei-to Joule na resistência li, quando o geradorpassa a ser de CAcoma frequência de 50Hertz ••

c)Umdiagram.a eequemátdco , cotado das tensõesdo circuito de CA. c

L.A_---I"jrnrn---.a. Lb4--~.r Jn'lr~_ B

R

G

-S2- .

L = 0,1 Henryrr

C = ~OºfLF11

r 50 . 1 I= ca,c 08/ aeg

3) No cí.rcurto indicado na figura, a indutância é0,064;.:I1enry e a capacitância 3JJ3,5J..lF • O cir-d1P.tOéCsubI'1etido a umaddp de 100 volts e 50c/seg~ Nestas condições pede-ae determinar osvalores instantâneos dae correntes que atraves-s&~respectivmnente a indutância e a capacitân-c.La, no momento emque o valor instantâneo dacorrente total do 'circuito é igual ao seu valoreficaz. Pede-se ainda indicar no diagrama docircuito, o sentido destas correntes, supondoque a corrente total do circuito atravesse o ge-radorde A para B. . .

11

A B

-83-

CO~~TE A~f~ATIVA Formulário nQ 2-].

1- Conven~ões

máxima - Umaxefieaz - Umédia - Umed.:L""lstant.- u

cor-rerf e

máxima -Imax

eficaz -- I

médja - Imedinstant.- i

tensão

R = -resistência; L = indutâricia; C = capa-,citância

XL = L "til - reatância indutiva

= -1-- reatância capacitivaC \'1

Z = impedância

y = -1- = admitâneia;Z

G = -1- = eondutâDcia;R

B = -1.. suscetâneiaX

, VI = 2 Tr ! = pulsação

! = !requência .

P· TI I "tO t #. • 00"= ... cos"\ = po enela m .la

"f = ângulo de defasagem (a origem de f é-sempre U )

cos" = fatcr de potência

2 - Valores Instgntâneos -u = li sen v tmax

i = lmax sen 'W t

'---

/

3 - Extensão da Lei deOhm

I =..1Lz

4 ~ Circuito em.-- s-érie

Z 4R2+ (XC -XL)2

tg1f= Xc -XLR

t

G:SSJ" .;. - ... - _.

, .,'. . I ..... '..

• R··. XL ••..• ~c. .

a origem do ângulo 1('é sempre o vetor Uy > O - circuito capacitivo

\'< O - circuito indutivo

Quandoo circuito nãotiver R, L, ou C, fa-zer respectivamente:

R = O, XL = Oou XC=O

Ua = I R

UL = I XLUc = I Xc I

..$5-

5 - Oircuitos ~mPar~lelo

...L =' ICl-)2 + ( ~. _ 1 )4'.Z 'VR X TC Ltgy= R ( ..J.... -- ...lJ

Xc XL

-. ..

a origem do ângulo.·1(' {~ .-.Zõ .

sempre ovetor U I----...,wvv~-...,.......,___,R

circuitocapacitivo

Y< O - circuitoindutivo

Quandoo circuito nãotiver R, L, ou G fazer,respectivamente;

L....---.u

6 ~Ressol1~g,:ia

A condição geral de Ressonância é •.1f" = O

Nos circuitos simples, indicados em (4) e (5) ,

isto se obtém quando:

L eU) 2 : 1

Nos circuitos Série (Ressonância - lmax : i.' .. "R

.'(seR =O .. I..·· :=. 00)' Ó, -a- .' .. ' •. JnaX'

.:Nos circuitos Paralelo' (a.nti~~éssonânci8.)

I. =.JLIDJ.n R

(seR: CX) ; I • '. = O )IDJ.n

7 - Q.oID:gQ~i~ãode Vetpres

a2 ;::: A2:1-

..•~ ..

A

tg e =J. senI~A.+B60s l

I sen (90 +0<) :::;:0060(I cos. (90 + o{) .=- seno("

-.-.-.-.-.-II ., mODO SD1Bc1LI.QQ

1 - Convem§~es". ? .

j - operador (j- :=: - 1; -1.....;::: -j )j

-Z7-

•Z • ed'" lmb '1'- 1I1lP' aneaa SJ.l!l o a.ea•y - admitância s:L"'1lbólica

G, g - eondutância ( ~ )R

B~ b = ~ suseetâneia (Dnos eirc. capaci-.x. tivos e'

Gnos circulos indy.···tivos

2 ••.Circuitos elementaresR L

~~• • •

Z = -j.x c..y=...L =+B j

X c. c

Z=R•

Z = + j XL•Y = - ...L =-BLj. XL'

Y =G= .J..-R

.3··..;. Circuito 'em S~rie

Z = R + jXL - JX. = R +J (XL-Xc), .' c

• RY =G +j ( Bc - BL ) .----"VVV1VV'--..,

'-.0, _" '. -.'- -.>;.,"- -.

L

c

'..... ~.

5 ...;Potência

',' ti = 111+,j tLZ.

I == I1+ j,,~z

P =U1 11+ U2 lZ

..$8-

o

Os sinais dos produt-os ~'ãodados .eonsãde.,randomes;ist enteoopeI"ádorj •

6,-Operª&õesa) 1

a + bj= a.-·hj

2 ,2a +be .

b)A = a + bj

- -.-.-.- .....•~.-, 'RESPOSTAS

GorrerIteAlt ernad,ª'

1 - 135,4 volts

2 - I = 0,4125 A

:3 -G =6p..F

4 - I = 4,04A

'tgl{'= ..lLa

-<t9- .

5) L = 0,0235 H6) a) Z1 ,11-2..fL b ) 16.\1452V c) 0,729

.7) u = 47,2 V; 1{'= - 322 7t (indutivo)8) a) antes: 0,48 A; depois: 0,403 A

b) 1('= + 32' 301 (capacitivo)9) a) 12,3 V b) 0,4 V10) a) 0,40 A· b) 0,74 A c) "l{' = + 792 40' (capg

citivo)11) a) 7/3..fJ.. b) 12,5 .n, c) L = 0,039 H d) 117V

12) a) 90,6V b) 0,0289 H c)"91,3V d) 120 watts13) a) 5,9 A b) 836~6V e 94V c) 53 c/seg14) a) "'f= - 472 (dndut ãvo) b) 0,0027 H

15) a) 4,4A b) 88V e -532 7' c) 290,4 watts e$4 VA

16) a) 20pF b) 12 A

17) 288V

c) 1884V