LIBRO DE TEXTO HIDRAULICA I.doc

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES

PAGE 16

LIBRO DE TEXTO DE LA MATERIA:

H I D R A U L I C A I

En cumplimiento del periodo sabtico concedido a partir del 25 de Agosto del 2008 al 24 de agosto del 2009.

P R E S E N T A

ARTURO JIMENEZ DORIA

Docente del Dpto. de Ingeniera Civil

H. Nogales, Sonora, Mxico Agosto del 2009

INDICE Pgina

PROLOGO .. 4

INTRODUCCION .. 5

UNIDAD I. HIDROSTATICA . . 6

I.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso especfico, tensin superficial,

viscosidad, mdulo de elasticidad volumtrica, presin de vaporizacin,

capilaridad). 6

1.2 Presin hidrosttica 25

1.2.1 Ecuaciones bsicas de la esttica de los fluidos 29

1.2.2 Distribucin de presin hidrosttica 33 1.2.3 Dispositivos de medicin .37 1.3 Empujes hidrostticos . 42

1.3.1 Resultante de la cua de presiones 42

1.3.2 Centro de presiones .43

1.3.3 Empuje en superficies planas . 44

1.3.4 Empuje en superficies curvas . 51

1.4 Flotacin 53

1.4.1 Principio de Arqumedes 53

1.4.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotacin 53

UNIDAD II. HIDRODINAMICA 58

2.1 Cinemtica de fluidos 58

2.1.1 Campos vectoriales 58

2.1.2 Velocidad, aceleracin y rotacin 59

2.1.3 Definicin y clasificacin de flujos. 63

2.1.4 Lnea de corriente, trayectoria y vena lquida 66

2.2 Conservacin de la masa 70

2.2.1 Ecuacin de continuidad 70

2.2.2 Ecuacin de gasto . 73

2.3 Conservacin de la energa 76

2.3.1 Ecuacin de energa .. 76

2.3.2 Solucin para una vena lquida 76

2.3.3 Lnea de energa y lneas de cargas piezomtricas 81

2.3.4 Ecuaciones de potencia en bombas y turbinas 83

2.3.5 Aplicaciones 83

Pg.

2.4 Conservacin de la cantidad de movimiento 86 2.4.1 Impulso y cantidad de movimiento 86

2.4.2 Fuerza hidrodinmica . 87

2.4.3 Aplicaciones .. 89

UNIDAD III. FUNDAMENTOS DE HIDRAULICA EXPERIMENTAL 93

3.1 Modelos hidrulicos 93

3.1.1 Similitud geomtrica, cinemtica y dinmica 95

3.1.2 Leyes de similitud 105

3.1.3 Planeacin y construccin de modelos 107

3.2 Orificios, compuertas y vertedores 115 3.2.1 Coeficientes de velocidad, contraccin y gasto 119

3.2.2 Aplicaciones 131

UNIDAD IV. FLUJO EN CONDUCTOS A PRESION .. 138

4.1 Resistencia al flujo en conductos a presin 138

4.1.1 Prdidas de energa por friccin . 140

4.1.2 Prdidas de energa por accesorios 150

4.2 Clculo del flujo en tuberas 159

4.2.1 Conductos sencillos 160

4.2.2 Tuberas en paralelo 164

4.3 Redes de Tuberas 169

4.3.1 Redes abiertas 169

4.3.2 Redes cerradas . 171

4.3.3 Golpe de ariete 177

BIBLIOGRAFIA . . 189

P r o l o g oEste libro de texto ha sido concebido con la nica finalidad de apoyar la enseanza de Mecnica de Fluidos e Hidrulica, de los estudiantes de Ingeniera Civil del Instituto Tecnolgico de Nogales y siguiendo los planes de estudio de la retcula actualizados. Y que comprendan mejor los conceptos y leyes fundamentales de la Hidrulica. Hoy es fundamental que el Ingeniero Civil pueda construir y disear Obras Hidrulicas, ya que representan una fuente necesaria para controlar los lquidos. De esta manera las Obras Hidrulicas contribuirn para lograr un desarrollo econmico y social de la comunidad.

El libro de texto consta de cuatro unidades. En la primera unidad, se estudia la Hidrosttica, es decir el estudio de los lquidos en reposo o en equilibrio. En la segunda unidad se analiza los lquidos en movimiento es decir la Hidrodinmica. En la tercera unidad, se trata de comprender los fundamentos de la hidrulica experimental, para que el alumno pueda realizar algn modelo hidrulico en el de laboratorio de Hidrulica de Ingeniera Civil. Y en la ltima unidad el objetivo es que el alumno adquiera conocimientos fundamentales de una Red de Abastecimiento de agua, y as pueda aplicar los conocimientos tericos ms adelante en materias que requieren algn proyecto de Abastecimiento de Agua Potable. Cada unidad consta de un desarrollo terico y problemas resueltos. Tambin al final de cada captulo se dan una serie de problemas propuestos y la solucin para que el alumno trate de resolverlos. Deseando que encuentren interesante la lectura de este texto y que les sirva en sus estudios de Mecnica de Fluidos e Hidrulica. Agradeciendo con sumo gusto sus comentarios, sugerencias y crticas.

Arturo Jimnez Doria INTRODUCCION:

HIDRULICA.- Aplicacin de la Mecnica de fluidos en Ingeniera, para construir y disear dispositivos y estructuras que funcionan con fluidos, por lo general agua. La hidrulica resuelve problemas como el flujo de fluidos por conductos o canales abiertos y el diseo de presas de embalse, vertedores, bombas y turbinas. En otros dispositivos como boquillas, vlvulas, medidores se encarga del control y utilizacin de lquidos.

MECANICA DE FLUIDOS.- Parte de la fsica que se ocupa de la accin de los fluidos en reposo o en movimiento. La mecnica de los fluidos puede dividirse en dos campos fundamentales: la esttica de fluidos, o hidrosttica que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinmica de los fluidos o hidrodinmica que estudia los fluidos en movimiento.

FLUIDO.- Es una sustancia (lquido o gas ), que se deforma continuamente cuando se le sujeta a un esfuerzo cortante, y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene.

DISTINCION ENTRE UN SOLIDO Y UN FLUIDO.- Las molculas de un slido tienen entre s mayor cohesin que las de un fluido. En un slido las fuerzas de atraccin entre sus molculas, son tan grandes que ste tiende a mantener su forma, mientras que en un fluido las fuerzas de atraccin molecular son ms pequeas, por lo que se adaptan al recipiente que los contiene.

DISTINCION ENTRE UN GAS, UN VAPOR Y UN LIQUIDO.- Se considera fluido a un gas o un lquido indistintamente. En un gas, sus molculas se encuentran muy separadas entre si, por lo tanto, es un fluido muy compresible y adems, cuando la presin externa desaparece tiende a expandirse indefinidamente. As pues, un gas est en equilibrio slo cuando se encuentra confinado. Un lquido es relativamente incompresible. Un vapor es un gas cuyas condiciones de presin y temperatura son tales que se encuentra cercano a la fase lquida. Dado que el volumen de un gas o vapor- es ms afectado por las variaciones en la presin y la temperatura, al tratar con un gas, es necesario tomar en cuenta estos factores.

En resumen, las diferencias esenciales entre un lquido y un gas son: los lquidos son prcticamente incompresibles en tanto que los gases son compresibles y un lquido ocupa un volumen definido y tiene una superficie libre, mientras que una masa dada de gas se expande hasta ocupar todas las partes del recipiente que las contiene.

UNIDAD I

TEMA: HIDROSTATICA

1.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso especfico, tensin superficial, viscosidad,

mdulo de elasticidad volumtrica, presin de vaporizacin, capilaridad).

DENSIDAD ( )

La densidad de una sustancia o de un material homogneo, se define como la masa contenida en la unidad de volumen y se designa con la letra griega ( ):

= m a s a / volumen = m/v (I.1)

Cuando el material es no homogneo la densidad vara de un punto a otro, quedando definida en un determinado punto por: lm = m/ V = d m/ d V (I.2)

V 0

La densidad de los lquidos generalmente se expresa en : gm / cm3 y en lb/ pie3.

La densidad del agua es: = 1 gm / cm3 = 62.4 lb/ pie3PESO ESPECIFICO ( )

El peso especfico de un material homogneo sujeto a la accin de la gravedad, se define como la relacin entre su peso por unidad de volumen, y se designar con la letra griega ( ) :

= p e s o / volumen = W / V (I.3)

sus unidades sern: N /m3 o kN/ m3Por otra parte, la densidad y el peso especfico, se relacionan de la siguiente manera;

sabemos que el peso de un cuerpo o liquido est dado por.

W = masa x aceleracin de la gravedad = m g (I.4)

Donde sustituyendo el valor de la masa (m) de la expresin (I.4), en la expresin (I.1):

= W/g V = / g (I. 5 )

por lo tanto obtenemos una expresin final que nos da la densidad en funcin del peso especfico de la sustancia o lquido y el valor de la gravedad.

En el caso del agua su densidad ser, segn ( I.5 ):

= / g = 9.7982 kN / m3 / 9.81 m/seg2 = 998.80 kg/ m3 ( I.6 )

considerando que 1 kN = 102.0592 kg (I.7 ) DENSIDAD RELATIVA (Dr)

La densidad relativa de un cuerpo (slido o lquido), es un nmero adimensional que est dado por la relacin del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia; en este caso casi siempre se refiere al agua en condiciones normales, al nivel del mar y a una temperatura de 4 0 C.

Dr = peso especifico de la sustancia/ peso especifico del agua

= densidad de la sustancia / densidad del agua

por lo tanto para el agua en condiciones normales y al nivel del mar la densidad relativa vale, Dr = 1

para sustancias o lquidos con Dr > 1 sern ms pesados que el agua

para sustancias o lquidos con Dr < 1 sern menos pesados que el agua

TABLA NO. I.1 DENSIDAD RELATIVA DE ALGUNOS MATERIALES.

ALUMINIO2.7MERCURIO13.6

COBRE8.9ALCOHOL ETILICO0.81

ORO19.3BENCENO0.90

PLATA10.5GLICERINA1.26

ACERO7.8HIELO0.96

TABLA NO. I.2 DENSIDAD RELATIVA DEL AGUA A DIFERENTES TEMPERATURAS.

Temperatura en 0 CDENSIDAD RELATIVA

51.000

101.000

150.999

200.998

250.997

300.995

350.993

400.991

500.990

650.980

TENSION SUPERFICIAL ( )

La tensin superficial hace que la superficie de un lquido se comporte como una finsima membrana elstica. Este fenmeno se presenta debido a la atraccin entre las molculas del lquido. Cuando se coloca un lquido en un recipiente, las molculas

interiores se atraen entre s en todas direcciones por fuerzas iguales que se contrarrestan unas con otras; pero las molculas de la superficie libre del lquido slo son atradas por las inferiores y laterales ms cercanas. Por lo tanto la resultante de las fuerzas de atraccin ejercidas por las molculas prximas a una de la superficie, se dirige hacia el interior del lquido, lo cual da origen a la tensin superficial (ver Fig. No.I.1).

Ahora bien, la formacin o aumento de una superficie de frontera exige el paso de un determinado nmero de molculas interiores a la superficie, realizndose un trabajo en contra de las fuerzas que se oponen al ascenso de las molculas. De donde se deduce que en la superficie libre existe una energa superficial que dio origen al concepto de tensin superficial, la cual se define como el trabajo que realizan las molculas por unidad de superficie y que evidentemente conduce a una fuerza por unidad de longitud.

La tensin superficial se designar con la letra griega ( ).En el sistema c.g.s. de unidades absolutas la tensin superficial se mide en dinas/cm.

FIG. No. I.1 Tensin Superficial

Una molcula (A) en el interior de un lquido est sujeta a fuerzas de atraccin en todas direcciones y por lo tanto se encuentra en equilibrio. Y otra molcula superficial (B), debido a la asimetra de las fuerzas de atraccin, existe una fuerza resultante normal a la superficie como se muestra en la Figura No.I.1.

A continuacin se da una tabla con algunos valores de la tensin superficial en dinas/cm a la temperatura de 20 0 C aproximadamente.

TABLA No. I.3 TENSION SUPERFICIAL

LIQUIDOSAIREAGUAMERCURIO

AGUA72.80.00392

PETROLEO29.728.90271

MERCURIO513.0392.00

PROBLEMAS RESUELTOS

I.1 Si 8 m3 de un aceite pesan 620.52 N, calcular su peso especfico , densidad y densidad relativa Dr .

Solucin:

Peso especfico: = W/V= 620.52 N / 8 m3 = 77.565 N /m3 = 0.077565 kN/m3Densidad: = / g = 77.565 N/m3 / 9.81 m/seg2 = 7.9067 kg/ m3 Densidad relativa = ace / agu = 7.9067 / 9.7982 = 0.807I.2 Un tubo de vidrio cuyos dimetros exterior e interior son 3 cm. y 2.5 cm., respectivamente se introduce verticalmente en agua. Determinar la fuerza debida a la Tensin superficial.

Solucin: De la definicin de tensin superficial , se tiene:

Fuerza debida a la tensin superficial = x Longitud total de contacto

en donde la tensin superficial segn la Tabla No. I.3 , tiene un valor de:

72.8 dinas / cm , y la longitud total de contacto en este caso ser:

d1 + d2 = ( d1 + d2 ) = ( 3.0 + 2.5 ) x 3.1416 = 17.28 cm.

Fuerza debida a la tensin superficial = 1258 dinas / cm.I.3 Si 10 m3 de un aceite pesan 52 kN, calcular su peso especfico ( ), densidad ( ) y densidad relativa (Dr ).

Solucin: Segn la expresin (I.3), tenemos: = W/V,

aceite = W/V = 52 kN / 10 m3 = 5.2 kN / m3

Segn la expresin (I.5), tenemos que la densidad es : = /g

y como sabemos que : 1kN=1000 N y tambin que por definicin 1N = 1Kg . 1m/seg2 aceite = aceite/g = (5 200 N/m3 ) / (9.81 m/seg2 ) = 530.07 kg/ m3 Dr = aceite / agua = 5.20 kN/m3 /9.79 kN/m3 = 0.531VISCOSIDAD ( )

En los lquidos reales la fluidez se manifiesta en mayor o menor grado. As algunos fluyen con mucha facilidad como es el caso del agua, mientras que otros lo hacen con gran dificultad como son los aceites pesados.

Se puede definir un fluido ideal como aquel en el cual no existe friccin entre sus partculas, o sea sin viscosidad ( = 0 ). Un fluido como ste solamente es una idealizacin, puesto que todos los fluidos, de una forma u otra, son viscosos y compresibles. En un fluido real, siempre actan fuerzas tangenciales o cortantes cuando existe movimiento, dando lugar a las fuerzas de friccin y que se deben a la propiedad de los fluidos llamada viscosidad.

El hecho que unos lquidos sean ms o menos fluidos se debe a la viscosidad y es la propiedad en virtud de la cual el lquido se opone a las fuerzas deformantes y mide la resistencia del lquido al esfuerzo tangencial.

Ahora imaginemos un lquido alojado entre dos grandes placas paralelas, cuya rea es A, y separadas por una distancia muy pequea y, ver Fig. No.I.2. Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo, en el tiempo t=0, a la placa superior se le aplica una fuerza constante F y se pone en movimiento en la direccin del eje x, con una velocidad constante U, conforme transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y, finalmente el fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindose a la misma velocidad U, mientras que la placa fija permanecer en reposo. Si la separacin y y la velocidad U no son muy grandes, la variacin de las velocidades (gradiente) estar representada por una lnea recta. Experimentalmente se a demostrado que esta fuerza F, es proporcional al rea A y a la velocidad U, e inversamente proporcional a la distancia de separacin y entre las placas paralelas.

F ~ AU/y es decir F ~ A dv/dy por lo tanto, para establecer una igualdad de esta expresin anterior es necesario introducir una constante de proporcionalidad llamada viscosidad absoluta o dinmica del fluido y se representa por la letra griega , por lo que queda:

F = A dv /dy ( I.8 )

El esfuerzo cortante que se ejerce en la direccin x, sobre la superficie del fluido-fuerza por unidad de rea- situada a una distancia constante y, por el fluido existente en la regin donde y es menor, se designa por xy = F / A (I.9)

Entonces: xy = dv/dy (I.10)

= viscosidad absoluta o dinmica

Las unidades de son kg seg/ m2

Los fluidos que siguen la relacin ( I.10 ) se denominan FLUIDOS NEWTONIANOS.

VISCOSIDAD CINEMATICA ( )

En muchos problemas de hidrulica, en los que interviene la viscosidad absoluta, frecuentemente aparece la viscosidad dividida por la densidad; este cociente se define como la viscosidad cinemtica, y se representa por la letra griega ( ). Por lo que queda la viscosidad cinemtica: = / ( I.11 )

Las unidades ms utilizadas de la viscosidad cinemtica ( ), son m2 / seg .

TABLA No. I.4 VISCOSIDAD CINEMATICA DEL AGUA.

* viscosidad cinemtica valor de la tabla x 10-6TEMPERATURA 0 C VISCOSIDAD CINEMATICA( m2 / seg. ) *

51.520

101.308

151.142

201.007

250.897

300.804

350.727

400.661

500.556

650.442

FIGURA No. I.2 GRADIENTE DE VELOCIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELAS PRESION DE VAPORIZACION

La presin de vapor se define como la menor presin a la que un lquido se evapora. Todos los lquidos tienden a evaporarse o volatizarse, efecto que se lleva a cabo por la expulsin de sus molculas hacia el espacio sobre la superficie. Si es un espacio confinado, la presin parcial ejercida por sus molculas aumenta hasta que la proporcin de molculas que salen del lquido es igual a las que vuelven a entrar. Para esta condicin de equilibrio, la presin de vapor se conoce como presin de saturacin.

La actividad molecular aumenta con la temperatura y por lo tanto, la presin de saturacin aumenta tambin con la misma. A un temperatura dada, la presin en la superficie de un lquido puede ser mayor o igual que este valor, pero no puede ser --

menor , ya que, con una pequea disminucin en la presin se crea una rpida evaporizacin, conocida como ebullicin . Por esto, la presin de saturacin se conoce tambin como presin de ebullicin para una temperatura dada. Ya que el mercurio tiene una baja presin de saturacin, se hace adecuado su uso en hidrulica de dispositivos denominados barmetros. En la Tabla No. I.5 se dan valores para el agua de la presin de vapor para diferentes temperaturas.

CAPILARIDAD

La capilaridad se representa cuando existe contacto entre un lquido y una pared slida, especialmente si son tubos muy delgados (casi del dimetro de un cabello) llamados capilares. Al introducir un tubo de dimetro muy pequeo en un recipiente con agua se observa que el lquido asciende por el tubo alcanzando una altura mayor que la de la superficie libre del lquido. La superficie del lquido contenido en el tubo no es plana, sino que forma un menisco cncavo, ver Figura No. I.3 a. Si se introduce un tubo capilar en un recipiente con mercurio, se observa que el lquido desciende debido a una depresin. En este caso se forma un menisco convexo ( Fig. I.3 b).

Figura No.I.3 a Figura No. I.3 b MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD ( E )

El mdulo volumtrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relacin de la variacin de presin a la variacin de volumen por unidad de volumen. Ver Tabla No. I.5.

E = d p / -dv/v = kg / cm2 / m3 / m3 = kg / cm2 ( I.12 )

Cuando se tiene un incremento en la presin dp, se producir una disminucin de la variacin de volumen por unidad, dV/V, por lo que se le antepone un signo negativo, ( ver problema I.8).

TABLA No. I.5 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA A LA PRESION

ATMOSFERICA.

Temperatura0 C DensidadUTM/ m3ViscosidadDinmica

Kg seg/m2Tensin Superficial

Kg/m Presinde vapor

kg/cm2

Mdulo de elasticidadVolumtrico

Kg / cm2

0101.9618.27x10-50.007710.005620 200

5101.9715.500.007640.008820 900

10101.9513.340.007560.012021 500

15101.8811.630.007510.017622 000

20101.7910.250.007380.023922 400

25101.67 9.120.007350.032722 800

30101.53 8.170.007280.043923 100

35101.37 7.370.007180.040123 200

40101.18 6.690.007110.078023 300

50100.76 5.60x10-50.006930.124923 400

PROBLEMAS RESUELTOS

I.4 Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya densidad relativa es 0.850 y su viscosidad absoluta es = 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 .

Solucin: Sabemos que su densidad relativa del lquido vale:

Dr = liq / agu = 0.850 ; liq = 0.850 x 9.7982 kN/ m3 = 8.328 kN/ m3

y sabemos que la relacin: g =

por lo que la viscosidad cinemtica vale: = g /

= 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 x 9.81 m/seg2 / 8 328 N/ m3 = 5.886 x 10-5 m2 / seg

I.5 De las Internatacional Critical Tables (ver Tabla No. I.4 ), la viscosidad del agua a 25 0 C es de 0.00894672 poises. Calcular (a) la viscosidad absoluta en N. seg/m2 (b) Si la densidad relativa a 25 0 C es de 0.997, obtener el valor de la viscosidad cinemtica en m2 / seg.Solucin: Sabemos que el poise est medido en dinas seg /cm2

Como 1 kg = 9.81 x 105 dinas y 1 m= 100 cm, obtenemos:

1 kg seg/m2 = 9.81 x 105 dinas seg/104 cm2 = 98.1 poises

1N= 0.1020592 Kg 1 poise= 0. 09988 N.seg /m2

(a) = 0.00894672 poises x 0.09988 = 8.936 x 10-4 N. seg / m2(b) = g / = 8.936 x 10-4 x 9.81 / (0.997x9798.2) = 0. 897 x 10-6 m2/ seg

I.6 Con referencia a la Figura No. I.6, el fluido tiene una viscosidad absoluta de 5.546 x 10-2 N. seg /m2 y una densidad relativa de 0.858. Calcular el gradiente de velocidades y el mdulo de la tensin cortante en el contorno y en los puntos situados a 20 mm. 40 mm y 60 mm del contorno, suponiendo (a) una distribucin de velocidades lineal.

FIGURA No. I.4 VISCOSIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELASSolucin:

(a) Para la hiptesis de distribucin lineal, la relacin entre la velocidad V, y la distancia y es : d V=16 dy , y el gradiente de velocidades es dV/dy = 16. Para y = 0, V = 0, dV/ dy = 16 seg-1 , = ( dv / dy ) = 5.546 x 10-2 N. seg /m2 x 16 seg-1 y la tensin cortante es: = 0.8874 N/m2 Anlogamente, para los otros valores de y, tambin se obtiene el mismo valor de ., ya que el valor del gradiente de velocidades se mantiene constante.

I.7 Dos placas paralelas de 80 cm x 20 cm estn separadas por una capa de aceite de 0.1 cm de espesor e inclinadas 30 0 con respecto a la horizontal como se muestra en la Figura No. I.5 .Calcular la viscosidad del aceite, suponiendo que la placa inferior permanece fija mientras que la superior que pesa W= 39.20 N se mueve con una velocidad de 10 cm/seg.

FIGURA No. I.5 VISCOSIDAD DE ACEITE EN PLACAS PARALELASSolucin:

De la expresin ya conocida, = F/A = dv/ dy

se tiene = F dy / A dv

en donde:

F = W sen 300 = 39.20 N x 0.5 = 19.60 N

y = 0.01 cm

A = 80 X20 = 1 600 cm2= 0.16 m2v = 10 cm/seg = 0.10 m/segsustituyendo valores se obtiene:

= (19.60 N / 0.16 m2 ) / ( 0.10 m/seg/0.0001 m )= 0.1225 N .seg/m2 = 1.23 poisesI.8 a) Determinar la variacin de volumen de 1.5 m3 de agua a 25 o C al aumentar la presin en 26.5 kg/ cm2. b) A partir de los siguiente datos experimentales calcular el modulo de elasticidad volumtrico del agua a 30 kg/cm2 el volumen era de 30 dm3 y a 280 kg/ cm2 , de 29.68 dm3 .

Solucin:a) De la tabla No. I.5 , a una temperatura de 25 o C el E= 22800 kg/cm2 .

Mediante la expresin (I.12):

dV = ( - 1.5 x 26.5 x 104 ) / 22.8x 108 = - 1.74 x 10-4 m3 b) E = dp / (dV/ V) = - (280 30 ) x 104 / (29.68-30)x10-3 /30x10-3 E= 23.44 X 107 Kg/ m2 1.2 PRESION HIDROSTATICA.

Concepto de Presin.- La intensidad de la presin media se define como la fuerza normal que acta sobre una superficie, es decir indica la relacin entre una fuerza aplicada y el rea sobre la cual acta.

Si F representa la fuerza total en un rea finita A, entonces, dF representa la fuerza sobre un rea infinitesimal dA y por lo anterior, la expresin en ese punto ser: P = dF / dA (I.13)

Si la presin est uniformemente distribuida sobre el rea total, se tiene:

P = F / A (I.14)

Por lo tanto las unidades de la presin pueden ser: lb /plg.2 , y tambin se utiliza: p = Newton/ m2 = N / m2 = 1 pascal

Debido a la posibilidad de que existan esfuerzos tangenciales entre las partculas adyacentes en un slido, el esfuerzo en un punto dado puede ser diferente en direcciones distintas; pero en un fluido en reposo no existe el esfuerzo tangencial y las nicas fuerzas, entre superficies adyacentes, son fuerzas normales a las superficies. Por consiguiente, la presin en un fluido en reposo es la misma en todas direcciones, principio que se conoce en Hidrulica como Principio de Pascal.

PRESION HIDROSTATICA ( P ).

Para definir este concepto de presin hidrosttica vamos a suponer que tenemos un prisma rectangular lleno de un lquido (agua), ver Figura No. I.6.

El cual tiene de dimensiones una base cuadrada de 1.0m x 1.0 m ; y tiene una altura: h=10m. FIGURA No. I.6 PRISMA RECTANGULAR LLENO DE AGUA

Por lo tanto el volumen lquido contenido en este prisma ser:

Volumen lquido = V = Area de Base del prisma x altura del prisma = A x h

V = 1.00m x1.00m x 10.00 m = 10.00 m3

Y ahora obtenemos el peso del lquido contenido en el prisma, aplicando la expresin vista anteriormente ( I.3 ):

W = V = 9.7982 kN / m3 x 10.00 m3 = 97982 N , por lo tanto este valor es el peso total o la fuerza total ejercida por el agua sobre el fondo del recipiente rectangular.

Como la presin est aplicada uniformemente sobre el rea del fondo de prisma, aplicamos la expresin (I.14): P = F / A = 97982 N / 1.0 m2 = 97982 N / m2 , este valor de la presin tambin se puede representar como: P = 9.7982 N / cm2

Si ahora aumentamos las dimensiones de la base del prisma rectangular a un valor de 10.m x 10.0 m , y la altura la mantenemos constante es decir h= 10.0 m. y procedemos de la misma forma, tenemos:

V = 10.0m x 10.0m x 10.0m = 1000 m3 ; W = 9798.2 N/m3 x 1000 m3 = 9798200 NY la presin ser: P = F / A = 9798200 N /100 m2 = 97982 N /m2 = 9.7982 N /cm2CONCLUSION: No damos cuenta que la presin fue la misma aunque se aument el valor del rea del prisma, pero se mantuvo la altura constante. Es decir que la presin hidrosttica es funcin nicamente de la altura h o profundidad del lquido y nunca de la forma del recipiente. PRESION HIDROSTATICA ( P )

Haciendo un resumen de lo visto anteriormente tenemos: P = F / A = peso del agua / area del fondo prisma = W / A Pero sabemos que: W = V ; P = V / A ; Y el volumen de un prisma es: V = Area de la base x altura = A h

Y por lo tanto finalmente la presin hidrosttica queda: P = A h / A = h

P = h ( I.15 )

La expresin (II.15), es una ecuacin fundamental en Hidrulica, pues es muy utilizada en Ingeniera. Podemos de la expresin (II.4), despejar el valor de la altura h, y queda: h = P / ( I.16 )

La expresin ( I.16 ), nos indica que las presiones hidrostticas las podemos representar tambin en metros columnas de agua ( m.c.a.).Para el ejemplo anterior tenemos: h = 97982 N /m2 / 9798.2 N/m3 = 10.0 m

es decir que una presin : p = 97982 N /m2 = 9.7982 N / cm2 , equivale a una presin denominada ATMOSFERA METRICA, ingenieril, y se define como el peso de una columna de agua de 10.00m actuando sobre un rea de 1 cm2, es decir que la atmsfera mtrica al nivel del mar vale: 1 Atmsfera= 9.7982 N / cm2 . Es comn expresar la presin como una altura de columna de fluido y se le conoce como carga de presin .

1.2.1 Ecuaciones bsicas de la esttica de los fluidos.

Ecuacin fundamental de la hidrosttica.

En la figura No. I.7, se muestra un recipiente donde consideramos una porcin de lquido AB, como un cuerpo libre de seccin transversal dA y longitud L, y con un ngulo con respecto a la horizontal de .

Ahora bien, considerando que el lquido est en equilibrio, tratemos de establecer las condiciones de equilibrio de la seccin lquida A B, suponiendo adems que el peso especfico del lquido es . Por otra parte, observando el diagrama de cuerpo libre del elemento (ver Figura No. I.7 ), observamos que las nicas presiones que actan sobre la seccin lquida A B, corresponden a sus extremos.

En estas condiciones, considerando el equilibrio segn el eje X se obtiene:

FX = P2 dA P1 d A L dA Sen = 0 ( I.17 )

Simplificando: P2 P1 = L Sen ( I.18 )

Obsrvese que segn la Fig. No. II.2 , se tiene:

L Sen = ( h2 - h1) = h (I.19 )

que es la diferencia de elevaciones entre las dos secciones en los puntos A y B,Por lo que queda: P2 - P1 = (h2- h1 ) = h ( I.20 )

La expresin (I.20), ES LA ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA, y lo que indica es que la diferencia de presin entre dos puntos en el seno de un fluido es igual al producto entre su peso especifico y el desnivel existente entre estos dos puntos.

FIGURA No. I.7 ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICAPRESION ATMOSFERICA (Patm )

La tierra est rodeada por una capa de aire llamada atmsfera. El aire, que es una mezcla de 20 % de oxgeno, 79 % de nitrgeno y 1 % de gases raros, debido a su peso ejerce una presin sobre todos los cuerpos que estn en contacto con l, la cual es llamada presin atmosfrica.

La presin atmosfrica vara con respecto a la altitud con respecto al nivel del mar, por lo que al nivel del mar tiene su mximo valor o presin normal equivalente a:

1 atmsfera = 760 mm de Hg = 1.01 x 105 N/ m2

A medida que es mayor la altura sobre el nivel del mar, la presin atmosfrica disminuye. En la ciudad de Mxico su valor es de 586 mm de Hg equivalente a:

0.78 x 105 N/m2.

Barmetro de mercurio, experimento de Torricelli.

La presin atmosfrica se puede obtener experimentalmente utilizando un barmetro de mercurio, instrumento ideado primeramente por Toricelli. Para ello, llen de mercurio un tubo de vidrio de casi un metro de longitud cerrado por un extremo, tap con su dedo el extremo abierto, invirti el tubo y lo introdujo en la superficie de mercurio contenido en un recipiente. Al retirar su dedo observ que el lquido descenda del tubo hasta alcanzar un equilibrio a una altura de 760 mm sobre la superficie libre del mercurio. Es decir, que la fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio en el tubo, es la que ejerce la presin atmosfrica sobre la superficie libre del mercurio, y es la misma que recibe el tubo por su extremo abierto.

Por lo expuesto anteriormente, se tiene:

h = P / ( I.16 )

P = h = ( 13.6 x 9.7982 kN/ m3 ) x 0.760 m = 101.274 kN/ m2 = 1.013 x 105 N/m2el valor P= 1.013 x 105 N/m2 (I.21), se denomina atmsfera estndar.

FIGURA No. I.8 EXPERIMENTO DE TORRICELLI1.2.2 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA

Considerando dos puntos cualesquiera, uno coincidiendo con la superficie libre del lquido h1 y otro a cualquier elevacin h2 ( Fig. No. I.9), resulta: Patm / + h1 = p/ + h2 (I.22)

La presin absoluta en el punto considerado es:

Pabs= Patm + ( h1 h2 ) (I.23)

donde Patm representa la presin atmosfrica sobre la superficie libre del lquido y ( h1 h2 ) la profundidad del punto considerado. En la expresin (I.23), Pabs corresponde a la presin absoluta del punto de que se trata y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La presin atmosfrica local depende de la elevacin sobre el nivel del mar del lugar en que se encuentra el lquido. Es ms comn medir la presin hidrosttica utilizando como valor cero de referencia a la atmosfrica local. La presin as medida se llama manomtrica o simplemente presin y las unidades ms usuales son kg/cm2 , kg/m2., o bien en N/m2.

FIGURA NO. I.9 DISTRIBUCION DE PRESIONES HIDROSTATICAS EN UN LIQUIDOPRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA.

Cuando la presin se expresa como una diferencia entre su valor real y el vaco completo, se le llama presin absoluta, esto es, si se mide con respecto al cero absoluto de presin. Cuando se mide tomando como base la presin atmosfrica local, se le denomina presin manomtrica. Lo anterior se debe a que prcticamente todos los medidores de presin marcan cero cuando estn abiertos a la atmsfera, y al medir la presin en un fluido, lo que hacen es registrar la diferencia que tiene la presin en un punto, por encima de la atmosfrica.

Si la presin est por debajo de la atmosfrica se le designa como un vaco y su valor manomtrico es a partir de la atmosfrica. Un vaco perfecto corresponde al cero absoluto de presin. La presin manomtrica es positiva cuando est por encima de la atmosfrica y negativa si es un vaco, Figura No. I.44., y segn esta figura se puede ver que: Pabs = Pman + Patm ( I.24 )

FIGURA NO. I.10 RELACION ENTRE PRESIONESPROBLEMAS RESUELTOS

I.9. Determinar la presin en N/m2 , sobre una superficie sumergida a 11 m de profundidad en una masa de agua.

Solucin:

Utilizando el valor medio para el agua de 9.7982 kN/m3 para , se obtiene lo siguiente:P = h = 9.7982 kN/m3 x 11 m = 107780.2 N /m2 = 10.78 N/ cm2

I.10. Determinar la presin en N/m2 a una profundidad de 20 m en un aceite de densidad relativa de 0.850. Solucin:

Dr = aceite/ agua = 0.850 aceite = 0.850 x 9.7982 kN/m3 = 8328.47 N/m3

Pman = h = 8328.47 N/m3 x 20 m = 166569.4 N/ m2 = 16.66 N / cm2 I.11. Determinar la presin absoluta en N/m2 del problema I.9 si la lectura baromtrica es de 76.10 cm de mercurio ( densidad relativa 13.57 ). Solucin:

Presin absoluta = presin atmosfrica + presin manomtrica debida a los 11 m de agua

Patm = mercurio x h = ( 13.570 x 9798.2 N/m3 ) x 0.7610 m = 101183.76 N/m2Pman = 107780.2 N /m2 (ver problema No.I.9) Pabsoluta = 101183.76 N/m2 + 107780.2 N /m2 = 208963.96 N/m2 I.12. A qu profundidad de un aceite, de densidad relativa de 0.840, se producir una presin de 66.63 N / cm2 ? A cul si el liquido es agua ?

Solucin: aceite = 0.840 x 9798.2 N/ m3 = 8230.49 N/m3haceite = p/aceite = ( 666300 N / m2 ) / 8230.49 N/m3 = 80.95 mhagua = p/ agua = 666300 N / m2 / 9798.2 N/ m3 = 68.00 m I.13 (a) convertir una altura de presin de 6.5 m de agua en una altura de aceite (densidad relativa de 0.845), (b) convertir una altura de presin de 65 cm de mercurio en una de aceite (densidad relativa de 0.800).

Solucin:

(a) haceite = ( 6.5 m x 9.7982 kN/ m3 ) / (0.845 x 9.7982 kN/ m3 ) = 7.69 m(b) haceite = (13.57 x 9.7982 kN/ m3 ) x0.65 m / (0.800 x 9.7982 kN/ m3 ) = 11.025 m1.2.3 Dispositivos de medicin

Se han utilizado varios dispositivos para la medicin de las presiones producidas por un lquido en reposo, llamados comnmente manmetros. Los manmetros que se usan con ms frecuencia en hidrulica son los denominados de lquidos, con los cuales la medicin de presiones se reduce, en ltimo anlisis, a medir la carga de presin equivalente que produce una columna lquida contenida en un tubo.

Los manmetros de lquidos se pueden clasificar en:

Tubos piezomtricos

Manmetros abiertos propiamente dichos

Manmetros diferenciales

Tubos piezomtricos.- Entre los manmetros de lquidos el ms elemental recibe el nombre de tubo piezomtrico. El piezmetro est constituido por un simple tubo graduado vertical, con un dimetro mayor de 13 milmetros para evitar los efectos de la tensin superficial. El extremo superior ordinariamente est abierto y el inferior conectado en el punto donde se quiere conocer la carga de presin, la cual se lee directamente en el tubo. Los tubos piezomtricos se emplean en la medicin de presiones moderadas, para las cuales las cargas de presin no rebasan los lmites que se indican en los piezmetros. Los piezmetros tambin se utilizan para medir presiones en los tubos por los que circulan lquidos. En este caso la direccin del tubo piezomtrico debe ser normal a la direccin de la corriente y adems que el extremo conectado quede al ras con la superficie interior de la superficie interior de la tubera.

a).- Para presiones mayores que la atmosfrica.

El piezmetro se coloca como se muestra en la Figura No. I.11, de manera que el lquido del recipiente llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel ( M-M ). La presin total en A se obtiene aplicando la expresin:

PA = Patm + h ( I. 24 )

Figura No. I.11 PIEZOMETRO (para presiones mayores que la atmosfrica)

La altura h recibe el nombre de altura piezomtrica y su valor se obtiene de la expresin: h = PA / ( I. 25)

b).- Para presiones menores que la atmosfrica.

El tubo piezomtrico debe tener la forma como se indica en la Figura No. I.14, y por lo tanto la presin en N ser:

PN = Patm = PA + h ( I.26)

y la presin en A ser: PA = Patm - h (I.27)

Figura No. I.12 PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICAManmetros abiertos propiamente dichos.- Estos manmetros se utilizan para medir presiones comparativamente grandes que rebasan los lmites que pueden indicar un piezmetro, emplendose para tal fin un tubo en forma de U con mercurio.

a).- Para presiones mayores que la atmosfrica.- Suponemos que la columna mercurial por el extremo abierto alcanza el nivel B sobre la que acta la presin atmosfrica, ver Figura No. I.13. El problema se reduce a determinar la presin en el punto A, la cual se obtiene estableciendo las presiones en C y D que debern ser iguales por estar a un mismo nivel.

En efecto, la presin en D tiene el valor de:

PD = Patm + m hm ( I.28)

en donde m es el peso especfico del mercurio. Por otra parte, la presin en C tiene el valor: PC = PA + h (I.29)siendo el peso especfico del lquido cuya presin se trata de determinar.

Figura No. I.13 MANOMETRO PARA PRESIONES MAYORES A LA ATMOSFERICAPA + h = Patm + m hm De donde: Pa = Patm + m hm h (I.30)b).-Para presiones menores que la atmosfrica.

Siguiendo un razonamiento anlogo se establecen las presiones:

PB = Patm

PD = PA + h + m hm

las cuales deben ser iguales, resultando:

PA + h + m hm = Patm

PA = Patm - m hm - h (I.31)

Figura No. I.14 PARA PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICA1.3 EMPUJES HIDROSTATICOS

1.3.1 RESULTANTE DE LA CUA DE PRESIONES.

Una manera de determinar la fuerza hidrosttica o empuje hidrosttico sobre un rea plana es usando el concepto del prisma de presiones, ver Figura No. I.24.

Supongamos que queremos determinar el empuje hidrosttico, sobre un muro vertical, cuya altura del agua es H. Consideremos a una profundidad h, un rea elemental dA = L dh sobre la cual acta una fuerza total cuyo valor es:

dE = p dA = h L dh ( I.32) Integrando de 0 hasta H, el empuje o fuerza total del lquido ser.

E = d E = L h dh = L H2 / 2 ( I.33)

Es decir que la expresin (I.33), nos representa el volumen total del prisma o cua de presiones. Y donde el valor de es constante por tratarse de un solo lquido. Por otra parte, el momento de la fuerza dE alrededor de un eje que pasa a travs de un punto P, es:

d Mp = dE (H-h ) = L ( H-h ) h dh ( I.34)

y el par total ser: Mp = dMp = L ( H-h) h dh = L H3 / 6 (I.35)

FIGURA NO. I.15 PRISMA O CUA DE PRESIONES1.3.2 CENTRO DE PRESIONES

Para determinar la lnea de accin del empuje se considera que el momento producido por E, debe ser igual al momento dado por la expresin ( I.35) ,es decir:

( L H2 / 2 ) y = L H3 / 6

de donde: y = 1/3 H

es decir que la fuerza resultante estar aplicada a 1/3 H , o bien esta fuerza estar aplicada a 2/3 H, a partir desde la superficie libre del lquido.

1.3.3 EMPUJE EN SUPERFICIES PLANAS

Como se mencion anteriormente, cuando un fluido est en reposo no existen esfuerzos tangenciales dentro del mismo; entonces, las fuerzas son normales a la superficie en cuestin. El ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder disear las estructuras que los contienen.

La fuerza P ejercida por un lquido sobre un rea plana A es igual al producto del peso especfico del lquido por la profundidad hcg del centro de gravedad de la superficie y por el rea de la misma. La expresin es:

P = h A (I.36)

y esta fuerza estar aplicada en un punto denominado centro de presiones, como se ver a continuacin.

Desarrollar (a) la ecuacin (I.36) que da la fuerza hidrosttica que acta sobre un rea plana y (b) localizar dicha fuerza.

a) Vamos a suponer una superficie plana AB sumergida en el seno de un lquido cualquiera (puede tratarse de una compuerta sumergida), y que forma un ngulo de inclinacin con la horizontal, como se muestra en la Figura No. I.16 , y tambin se puede ver la proyeccin de esta superficie.

Considerando una franja diferencial de rea dA. Por lo tanto, la fuerza que acta sobre esa rea elemental es igual al producto de la presin por el rea dA:

dP = p dA = h dA (I.37)

Sumando todas las fuerzas elementales que actan sobre la superficie, y segn la figura: h= y Sen , se tiene:

P = h dA = ( y Sen ) dA = ( Sen ) y d A = ( Sen ) y A

donde y son constantes y, por esttica sabemos que y dA= y A. , y segn la figura: h = y Sen

P = h A ( I.38 )

Y obtenemos la expresin fundamental para obtener el empuje hidrosttico sobre una superficie plana sumergida.

FIGURA NO. I.16 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE UN AREA PLANA(b) Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos. El eje OX se escoge como la interseccin del plano que contiene la superficie libre del agua. Todas las distancias y se miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por yc.p., que mide la distancia al centro de presin. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto del eje OX = al momento de la resultante, se obtiene: (dp x y ) = P x yc.p.

Pero dP = h dA = ( y sen ) dA y P= ( sen ) y A

( sen ) y2 dA = ( sen ) (y A) yc.p.

Pero sabemos que y2 dA = al momento de inercia del rea plana respecto del eje OX, Io / y A = yc.p.

A partir del teorema de Steiner,

Yc.p. = Ic.p. + A y2 / y A = I / (y A) + y ( I.39)Se observa que la posicin del centro de presin estar siempre por debajo del centro de gravedad de la superficie o bien ( yc.p. - y ) es siempre positivo. Y este punto ( Yc.p. ), es muy importante ya que representa el punto donde est aplicada la fuerza o empuje total hidrosttico.

PROBLEMA RESUELTO:

I.14 Una presa de mampostera de gravedad de seccin trapezoidal con una cara vertical, tiene un espesor de 0.80 m en la corona y 4.00 m en la base. La cara vertical est sujeta a la presin hidrosttica del agua almacenada, la cual llega a 5.40 m arriba de la base; la altura del muro es de 6.00m y su peso volumtrico de la mampostera es de: 21556.04 N/m3 . Determinar:

a) La fuerza hidrosttica total actuando sobre la presa, b) el punto de aplicacin de esta fuerza, c) el momento total de volteo, d) el momento total resistente,e) el coeficiente de seguridad contra el volteamiento.

FIGURA NO. I.17 De problema I.14

Solucin:

a) Aplicando la I.36, se tiene:

P = h A = 9.7982 kN/ m3 x 2.7m x (5.40m x 1.00m) = 142.8577 kN = 142857.756 Nb) Para obtener su punto de aplicacin, aplicamos la I.39: Yc.p. = I / ( y x A) + y

I = b h3 /12 = 1.00 x (5.40)3 / 12 = 13.122 m4 ( en este caso se est considerando un 1 m de ancho de presa).

y = h = 5.40 / 2 = 2.70m (por ser un muro vertical, en este caso, estas dos alturas sern iguales). A= 5.40 X 1.00 = 5.40 m2

Yc.p.= 3.60 m es decir que la fuerza hidrosttica estar actuando a 1/3 del fondo de la presa., o a 2/3 desde la superficie libre del agua.c) el momento de volteo es aquel que trata de producir un volteo a la presa, y se obtiene con el momento producido al pie de la presa por la fuerza hidrosttica, punto D.(Fig. I.17).

Mvolteo = 142857.756 N x 1.80 m = 257143.96 N.m

d) El momento resistente es el que produce el peso propio de la presa para que resista la fuerza hidrosttica y no exista volteo. Para lo cual se divide la seccin trapecial en dos reas una rectangular y otra triangular, y se obtiene los momentos que producen sus pesos, con respecto al pie de la presa, tambin en el punto D.

W1 = ( 0.80 x 6.00 x 1.00 ) x 21556.04 N/m3 = 103468.992 NM1 = 103468.992 N x 3.60 m = - 372488.37 N.m W2 = ( 3.20 x 6.00)/2 x 21556.04 N/m3 = 206937.984 NM2 = 206937.984 N x 2/3 ( 3.20) = - 441467.70 N.mMR = M1 + M2 = - 813956.07 N.m ( el signo menos es por que se est considerando que producen un giro contrario a las manecillas del reloj).

e) finalmente el coeficiente de seguridad contra el volteo ser:

C.S. = MR / Mvolteo = 3.17 , este resultado quiere decir que la presa no tiene problemas con respecto a su estabilidad por volteo, ya que el valor es mayor de uno. En este caso se tendra que reducir el valor de la base de la presa.

I.3.4 EMPUJE EN SUPERFICIES CURVAS.Para explicar el empuje hidrosttico que acta sobre una superficie curva, se analiza el siguiente problema:

I.15 Determinar y situar las componentes de la fuerza hidrosttica sobre la compuerta de sector circular AB (ver Figura No. I.18) por metro de longitud de la compuerta.

FIGURA NO. I.18 EMPUJE HIDROSTATICO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVASolucin: Aplicando la expresin I.36:

PH = fuerza sobre la proyeccin vertical de CB = h ACB = 9.79 kN/ m3 x (6 m ) (2 mx1m)= 117.48 kN, que actan a : Yc.p. = Ic.p. + A y2 / y A = I / (y A) + y segn la ( I.39)

I = b h3 /12 = 1 x 23 /12 = 0.66667 m4 (considerando un ancho unitario de compuerta de 1 m )

I / (y A) + y = 0.66667/ ( 6x 2 ) + 6 = 6.05555 m ( distancia desde la superficie libre del agua )

PV = peso del agua sobre sector circular AB = 9.79 kN/ m3 ( 22 /4 x 1 ) m3 + 9.79 kN/ m3 (5x2x1 ) m3 ( que viene siendo el empuje vertical del agua sobre el sector circular AB).

PV = 128.66 kN ( nota: = 9.79 kN/ m3 peso especfico del agua en el Sistema Internacional SI )Que pasa por el centro de gravedad del volumen del lquido, en este caso se trata de una rea compuesta. El centro de gravedad del volumen lquido del cuadrante de un crculo est situado a una distancia de 4/3 x r/ de cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto se tiene: Xc.p. = 4/3 x 2/ = 0.8488 m a la derecha del radio BC. Y el centro de gravedad del volumen lquido rectangular, estar situado a la mitad del lado del rectangulo. Por lo que es necesario encontrar el centro de gravedad de la seccin compuesta ( rectngulo y sector circular)., por lo que se tiene:

97.9 kN x 1m + 30.76 kN x 0.8488 m = ( 128.66 kN ) X X = 0.96385 m , a partir del radio CB hacia la derecha ( ver Fig. No. III.18 )Por lo tanto la Fuerza Resultante Total que est actuando sobre la superficie curva sumergida ser la suma vectorial de las dos fuerzas obtenidas.

Ftotal = ( PH2 + PV2 ) = 174.23 kNNota: Cada una de las fuerzas elementales (dF ) estarn actuando normal a la compuerta AB, y por lo tanto, su lnea de accin pasa por el eje C. Y la fuerza resultante tambin pasar por C. Todo esto se puede comprobar, si se toman momentos respecto a C:

MC = - 117.48 kN ( 1.0555 m ) + 128.66 kN ( 0.96385 ) 0

EMBED Equation.3 1.4 FLOTACION

1.4. 1 PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido, sufre un empuje vertical de abajo hacia arriba, y cuyo valor es igual al peso del volumen de lquido desalojado. Y el punto de aplicacin de dicho empuje coincide con el centro de gravedad del volumen desalojado y se conoce con el nombre de centro de flotacin o de carena.

1.4.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION. Pueden existir 3 casos:

a) Si W= peso del cuerpo, E= empuje, si W= E existe equilibrio, y el cuerpo puede estar flotando con una parte sumergida y otra fuera de la superficie.

Vcuerpo cuerpo = V liquido (I.40 )

b) Si W> E , es decir que cuando el peso del cuerpo es mayor que el empuje ejercido por el lquido, el cuerpo se sumergir.

c) Si W < E , es decir que cuando el empuje es mayor que el peso de dicho cuerpo, este flotar y no se sumergir.

Para obtener el valor del empuje E, sabemos que es igual al peso del volumen lquido desalojado: E= liq V (I.41)donde : lq = peso especfico del lquido (N /m3)

V = volumen del lquido desalojado o desplazado (m3 )

PROBLEMAS RESUELTOS.

I.16 Una piedra pesa 529.10 N en el aire y 235.16 N, cuando est sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.

Solucin:

En este caso se tiene que el empuje que recibe la piedra ser: E = 529.10 N 235.16 N = 293.94 NPero sabemos que el empuje es igual al peso del lquido desalojado:

E = lq V = 293.94 N agua = 9798.2 N /m3

V = 293.94 N / 9798.2 m3 = 0.030 m3 (en este caso equivale al volumen de la piedra)

Densidad Relativa (Dr ) = cuerpo / agua , cuerpo = 529.10 N / 0.030 m3 = 17636.67 N/ m3Dr = 17636.67 N/ m3 / 9798.2 N/ m3 = 1.80Esto nos indica que como la densidad relativa de la piedra en este caso es un valor mayor que 1, Dr > 1 , por lo tanto el cuerpo es 1.80 veces ms pesado que el agua y el cuerpo se sumergir en el agua.I.17 Un objeto prismtico de 20 cm de espesor por 20 cm de ancho y 40 cm de longitud se pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando un peso de 49.0 N. Cunto pesa en el aire y cul es su densidad relativa ?

E = Waire - Wagua = peso del volumen desalojado = lquido V = 9798.2 N /m3 x ( 0.20 mx 0.20 m x 0.40 m) = 156.77 Npor lo tanto: 156.77 N = Waire 49.0 N Waire = 205.77 N.Dr = 205.77 N / 0.016 m3 / 9798.2 N /m3 = 1.31 , Dr > 1 es ms pesado que el agua y se sumergir en el lquido.

PROBLEMAS PROPUESTOSI.1 Un determinado lquido tiene un volumen de 0.50 m3 , y tiene un peso de 6.0 kN. Determinar a) peso especfico en kN/m3, b) densidad en kg/ m3 , c) densidad relativa.Solucin: 12 kN/m3 , 1223.24 kg/ m3 , 1.22I.2 Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya viscosidad absoluta es de 20.60 poises y su densidad relativa es de 0.875, dando el resultado en m2 /seg.

Solucin: 2.35 x 10-3 m2 /segI.3 Obtener la presin manomtrica (N/m2 ), de una columna de agua de h= 42.50 m. Qu altura se deber tener para obtener la misma presin, si el lquido en cuestin tiene una densidad relativa de 0.675?. Solucin: 416423.5 N /m2 , 62.96 mI.4 Obtener la presin absoluta en ( N / m2 ) del problema I.3. Si la lectura baromtrica es de 75.8 cm de mercurio (densidad relativa del mercurio 13.57).

Solucin: 517208.37 N / m2 I.5 Un barmetro registr una columna mercurio de 752.60 mm. Obtener la presin en, a) kg/m2 , b) kg/ cm2

Solucin: 100066.88 N /m2 , 10.01 N /m2 .I.6 A qu profundidad de un aceite de densidad relativa de 0.890, se producir una presin de 69.57 N/cm2 ? A cul si el lquido es agua?.Solucin: 79.76m, 71.0 m.I.7 Un recipiente contiene agua y posee un manmetro, (ver Fig. I.11, pag.38 ). Si la presin atmosfrica de la regin es de 10.102 N /cm2 . Determinar la presin absoluta en el punto A, si sabemos que h= 60 cm.

Solucin: 10.69 N /cm2I.8 Si el mismo recipiente del problema I.7, contiene glicerina. Determinar la presin absoluta en A. (densidad relativa de la glicerina es de 1.26).

Solucin. 10.844 N/ cm2I.9 Determinar la presin absoluta en A, debido a la columna de mercurio (densidad relativa 13.57) en el manmetro en U, mostrado en la Fig. No. I.13 (pag.40). Sabiendo que la presin atmosfrica es de 10.1215 N./cm2 y h= 60 cm de agua y la columna de mercurio es hm = 80 cm

Solucin: 21.346 N / cm2 I.10 Determinar la presin manomtrica en A, con los mismos datos del problema I.9. Solucin: 10.050 N /cm2 I.11 Un depsito tiene una longitud de 10 m, y la seccin recta mostrada segn figura , el agua llega hasta el nivel AE. Determinar: a) la fuerza total que acta sobre el lado BC y b) el mdulo y la posicin de la fuerza total sobre el extremo ABCDE. Solucin: 1934.042 kN, 607.488 kN, 3.845m

Figura del Problema I.11I.12 Una compuerta vertical rectangular AB de 5.0 m de altura y 1.90 m de ancho, puede girar alrededor de un eje situado a 21 cm., por debajo de su centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 9.0 m. Qu fuerza P horizontal deber aplicarse en el fondo de la compuerta para mantenerla en equilibrio?Solucin: 29.063 kN

Figura del Problema I.12

I.13 Un cuerpo pesa 298.845 N. en aire y 193.22 N sumergido en un aceite de densidad relativa de 0.785. Determinar su volumen y su densidad relativa.

Solucin: 0.01373 m3 , 2.22I.14 Un cubo de aluminio de 16.30 cm de arista pesa 59.083 N sumergido en agua. Qu peso aparente tendr al sumergirlo en un lquido de densidad relativa de 1.18?

Solucin: 51.636 N I.15 Una pieza de oro y plata, aleados con cierta ley, pesa 54.65 gr. fuera del agua y 51.35 gr. dentro de ella. Si el peso especfico del oro puro es 19.25 gr/cm3 y el de la plata es de 10.3 gr/cm3. Determinar los porcentajes a que se han ligado dichos metales.

Solucin: 70% oro, 30 % plata

UNIDAD II TEMA: HIDRODINAMICA2.1 CINEMATICA DE FLUIDOS

La cinemtica de los fluidos estudia el movimiento y trayectoria de las partculas en un determinado fluido, sin tener en cuenta las fuerzas que producen este movimiento. Y nicamente en base al conocimiento de las magnitudes cinemticas: velocidad, aceleracin y rotacin.

2.1.1 CAMPOS VECTORIALES

Se denomina campo de flujo a una regin en el espacio donde se localiza un fluido en movimiento. En un campo de flujo existen una infinidad de puntos donde es posible determinar una serie de magnitudes fsicas, ya sea escalares, vectoriales o tensoriales y que stos pueden formar campos independientes o dependientes dentro del flujo.

Un campo escalar queda definido nicamente en funcin de la magnitud de la cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplos: peso especfico, presin, densidad y viscosidad, etc.

En cambio para una magnitud vectorial, adems de la magnitud, se necesita definir una direccin y un sentido para el vector al que corresponde; esto es, tres valores escalares. La velocidad, la aceleracin y la rotacin son ejemplos de campos vectoriales.

2.1.2 VELOCIDAD, ACELERACION Y ROTACION

El campo de velocidades.-

Segn la Cinemtica, el anlisis del movimiento y la trayectoria de una partcula del fluido que sigue una trayectoria curva en el espacio se puede analizar de la siguiente forma:

a) si conocemos el vector de posicin r, de un punto P sobre una curva, como una funcin vectorial del tiempo t (ver Figura No. II.1).Cualquier punto en el espacio quedar definido por: r = r ( t) = x i + y j + z k ( II.1) donde i, j, k representan los vectores unitarios respecto a los tres ejes de coordenadas ortogonales cualesquiera; y (x,y,z) las proyecciones de r segn dichos ejes. Estas proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo: x = x(t ) ; y = y (t) ; z = z (t)

b) Como sabemos que la partcula lquida sigue una trayectoria curva y esto en funcin del camino recorrido-tiempo. Es decir en este caso la posicin de la partcula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la trayectoria curva (a partir de un punto origen O), como una funcin escalar del tiempo (Figura No. II.2); esto es:

s = s ( t ) ( I.2)

El vector velocidad de una partcula fluida se puede definir como la variacin de rapidez temporal del cambio en su posicin con respecto al tiempo. Si la partcula P de la Fig. No. II.3 se desplaza siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector de posicin de la partcula (segn la expresin II.1), por lo tanto la velocidad ser la variacin de dicho vector de posicin con respecto al tiempo.

v = d r/dt = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k (II.3)donde dr representa el vector diferencial del arco sobre la curva C, que recorre la partcula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partcula segn la curva S, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posicin de la partcula y del tiempo:

FIGURA NO. II.1 Movimiento de una partcula, segn la curva r = r (t)

FIGURA NO. II.2 Movimiento de una partcula segn la curva s = s (t)

FIGURA NO. II.3 Posicin y componentes de la velocidad de una partcula.

El campo de aceleraciones.

La aceleracin es una magnitud vectorial derivado del de velocidades pues el vector aceleracin de una partcula en un punto se define como la variacin de la velocidad en ese punto con respecto al tiempo; esto es:

a = dv / dt = d2 r / d t2 ( II.4) As, pues, el vector velocidad v es tangente a la trayectoria del punto P.El vector aceleracin a es la variacin con el tiempo de v, es decir,

a = d v/dt = d2 r / d t2 = d2 x / dt2 i + d2 y/dt2 j + d2 z/dt2 (II.5)Por lo tanto la aceleracin tendr tambin componentes segn los tres ejes de coordenadas cartesianas, son:

ax = d vx /dt ; ay = d vy / dt ; az = d vz / dt (II.6)

Es necesario conocer tambin la magnitud de las componentes de la aceleracin en cualquier punto de la trayectoria. La distancia S medida desde un punto de origen O (ver Fig. II.4) , siguiendo la trayectoria curvilnea, a lo largo de la cual se pueden determinar las propiedades del flujo. En cada punto de la trayectoria hay una direccin n, normal a la tangente local.

a = as + an = ( dv/dt) et + ( v2 / ) en (II.7)

Si la trayectoria es curvilnea el vector unitario et gira conforme P se mueve. Donde en es un vector unitario normal a et , y = radio de curvatura

FIGURA NO. II.4 Trayectoria de una partcula y vectores unitarios.

El campo rotacional.

Adems del campo de aceleraciones existe otro campo vectorial derivado del de velocidades: el rotacional que evala la rotacin local de una partcula y se define por el determinante:

rot v = i j k

/x /y /z Vx Vy Vz cuyo desarrollo es:

rot v = ( Vz /y - Vy/ z ) i + (Vx / z - Vz /x ) j + ( Vy/ x - Vx/ y ) k

( II.8 )

que tambin es funcin, tanto de punto como de tiempo y es una medida de la rotacin o vorticidad de la partcula dentro del flujo.

2.1.3 DEFINICION Y CLASIFICACION DE FLUJOS.

En Mecnica de los Fluidos existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; tridimensional, bidimensional o unidimensional; laminar o turbulento; incompresible o compresible; rotacional o irrotacional; etctera. Estos son los flujos ms importantes que clasifica la ingeniera.

El flujo permanente, se refiere a la condicin segn la cual las caractersticas del flujo en un punto (velocidad, tirante, gasto, ect.) no varan con respecto al tiempo, es decir: v / t = 0, d / t = 0 , Q / t = 0, y en caso contrario si el flujo es no permanente no se cumplen las ecuaciones anteriores.

Se dice que el flujo es uniforme cuando el flujo se efecta de de tal manera que el gasto, la profundidad del agua, la velocidad, ect.,sern constantes de una seccin a otra con respecto a una longitud, esto se puede representar como: Q / x = 0 , V / x = 0 , en caso contrario, el flujo es no uniforme. El flujo puede tambin clasificarse en tridimensional, bidimensional y unidimensional. Es tridimensional cuando sus caractersticas varan en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres dimensiones; ste es el caso ms general de flujo. Es bidimensional cuando sus caractersticas son idnticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en direccin, perpendicular a dichos planos.

Es unidimensional cuando sus caractersticas varan como funciones del tiempo y de una coordenada curvilnea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conduccin.

La clasificacin de los flujos en laminar y turbulento est en funcin de la velocidad que lleva el fluido por una determinada conduccin, as como tambin de la viscosidad de fluido (esto se ver ms adelante en la Unidad IV).

En el movimiento laminar se observan velocidades pequeas y que las partculas lquidas siguen trayectorias uniformes y paralelas. Si se inyecta colorante ( de la misma densidad que el lquido) dentro de un flujo laminar, en este caso se observa como un filamento delgado que sigue las trayectorias del flujo. En el flujo turbulento, se caracteriza por velocidades ms grandes, y las partculas se mueven siguiendo trayectorias no paralelas, sin orden.

Un flujo se considera incompresible si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible.

Cuando en un flujo el campo rot v adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante el flujo se denomina rotacional. Por el contrario, si dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante, el flujo es irrotacional. PROBLEMA II.1

Demostrar que el flujo, cuyo campo de velocidades se indica en seguida, es irrotacional.

Vx = ( 2x + y + z ) t

Vy = ( x - 2y + z ) t Vz = ( x + y ) t

Solucin. Para que el flujo sea irrotacional se debe satisfacer que: rot v = 0

rot v = ( Vz /y - Vy/ z ) i + (Vx / z - Vz /x ) j + ( Vy/ x - Vx/ y ) krot v = ( t t ) i + ( t t ) j + ( t t ) k = o

lo cual demuestra que el flujo es, irrotacional.2.1.4 Lnea de corriente, trayectoria, y vena lquida.

Se supone que en un instante to se conoce el campo de velocidades v, de un flujo.

Figura. No. II.5 Concepto de lnea de corriente. Se define como lnea de corriente o de flujo toda lnea trazada idealmente en el interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la direccin del vector velocidad correspondiente al mismo punto. Por lo que no existe posibilidad de que dos lneas de corriente se intersequen, pues ello significara que en el punto de interseccin existieran dos vectores v distintos. Se observa que esta definicin se refiere a las condiciones de un flujo no permanente en un instante particular. Al cambiar de un instante a otro la configuracin de las lneas de corriente ser, por supuesto, distinta.

De la definicin de lnea de corriente, el vector diferencial de arco ds y el vector velocidad son paralelos, de manera que se puede escribir:

d s = v dt ; que representa la ecuacin diferencial de la lnea de corriente. Esta ecuacin, en trminos de sus componentes, es

d x = Vx d t

d y = Vy d t

d z = Vz d tO bien, para un instante to considerado, se pueden escribir de la siguiente forma:

d x = d y = d z Vx (x,y,z,to) Vy(x,y,z,to) Vz(x,y,z,to) ( II.9 )

que forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales.

FIGURA NO. II.6 Concepto de tubo de flujo.

Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. II.6 (que no sea lnea de corriente) y las lneas de corriente que pasan por cada punto de esa curva. La totalidad de stas lneas estn contenidas en una superficie que se denomina superficie de flujo o de corriente. Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada adquiere el nombre de tubo de flujo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de vena lquida o fluida. La trayectoria de una partcula es la lnea que une los puntos de posicin sucesivamente ocupados por dicha partcula en el transcurrir del tiempo (Fig. II.5).

PROBLEMA II.2. Determinar la ecuacin de las lneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional, simtrico respecto del eje y, ver Fig.II.6, que choca contra una placa horizontal contenida en el plano x-z, cuyo campo de velocidades est definido por las componentes:

Vx = 5 x

Vy = - 5 y

Vz = 0

Solucin. De acuerdo con las Ecs. (II.9), la ecuacin diferencial de las lneas de corriente es:

d x = d y

5 x -5 yCuya integracin conduce a la ecuacin:

l n x = - l n y + l n c o bien x y = c

que es la ecuacin de las lneas de corriente y corresponde a una familia de hiprbolas rectangulares, asintticas a los ejes x y y

2.2 Conservacin de la masa

2.2.1 Ecuacin de Continuidad.

Imaginemos una corriente lquida de seccin variable como se muestra en la Fig. II.7 y tracemos una seccin S normal a la direccin del movimiento.

Suponiendo que por la seccin S pasa un volumen lquido V en un intervalo de tiempo t, el Gasto o Caudal queda definido por:

Q = limt o V/ t

Por lo tanto queda: Q = d V / d t ( II.10 ) Por lo tanto, segn la expresin II.10, se denomina en Hidrulica GASTO o CAUDAL de una corriente al volumen lquido que est pasando por una seccin determinada en un coducto en la unidad de tiempo.

Q = Volumen lquido ( II.11)

tiempo

Ahora bien, el elemento d V de una corriente lquida que atraviesa a la seccin S recorrer una distancia :

d x = v dt ( II.12)

FIGURA II.7 CORRIENTE LIQUIDA DE SECCION VARIABLEY el volumen lquido, recorrido por una partcula ser igual al volumen del prisma.

Volumen del prisma = rea x Longitud

por lo cual dicho volumen dV, se puede escribir.

d V = As dx = As v dt ( II.13 )

Y sustituyendo (II.13) en ( II.10) se obtiene:

Q = As v dt / dt = As v ( II.14 )

esta expresin es una de las expresiones ms utilizadas en Hidrulica denominada Ecuacin de Continuidad, y se puede expresar de una manera ms prctica como:

Q = A V ( II. 15 )

y que nos indica que el Gasto o Caudal en una seccin determinada es igual al producto del rea normal al movimiento en la seccin ( m2 ) por la velocidad media en esa seccin en ( m/ seg).

Es decir las unidades del GASTO sern : m3 / seg o tambin en lts / seg, el caudal en peso en kN/seg, y el caudal msico en Kg/seg. (es decir kilogramos de agua, que estn pasando en una seccin por segundo).

2.2.2 ECUACION DEL GASTO

PRINCIPIO DE CONTINUIDAD.

Consideremos una corriente lquida, de seccin A, en general variable, como se indica en la Fig. II.8, con rgimen permanente entre las secciones sucesivas I-I y II-II normales a dicha corriente.

El volumen lquido que pasa por la seccin I-I tendr que ser igual al que pasa por II-II en el mismo tiempo dt, ya que el lquido es incompresible, esto es: d V1 = d V2 pues de lo contrario se contradice la hiptesis de rgimen permanente. Ahora bien, dividiendo ambos miembros de esta igualdad entre dt, se obtiene:

d V1 / dt = d V2 / dt

FIGURA NO. II.8 PRINCIPIO DE CONTINUIDADPero por definicin de GASTO,

Q1 = d V1 / dt y Q2 = d V2 / dt

y queda Q1 = Q2 , es decir :

Q = A1 V1 = A2 V2 = constante ( II.16 )

Este resultado denominado principio de continuidad expresa que, en un lquido perfecto con escurrimiento permanente, el gasto es constante a travs de cualquier seccin, o bien que el producto del rea por la velocidad media es constante

PROBLEMAS RESUELTOS II.3.- Que dimetro debe tener una tubera para transportar 2 m3 /seg a una velocidad media de 3 m/ seg ?

Solucin.Segn la ecuacin II.15, Q = V A

y despejamos el rea de la seccin, A = Q / V

A= 2 m3 /seg = 0.6666 m2 3 m/seg

y el rea es A = = D2/4 = 0.6666 m2

por lo que el dimetro queda: D2 = 4 x 0.6666 / = 0.848741

D = 0.92 m

II.4 Si la velocidad media en una tubera de 30 cm. de dimetro es de 0.55 m/seg. Cul ser la velocidad en el chorro de 7.5 cm de dimetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubera?

Solucin.

Por el principio de Continuidad, segn (II.16).

Q = A30 V30 = A7.5 V7.5= Constante

Obteniendo las reas correspondiente en las dos secciones.

(0.706869) x (0.55) = 0.004418 V7.5 V7.5 = 8.80 m/seg

II.5 A travs de una tubera de 200 mm. de dimetro est circulando agua a una velocidad media de 1.80 m/seg. Determinar a) el caudal en volumen, b) el caudal msico y c) el caudal en peso.

Solucin:

Segn la expresin de Continuidad (II.15).

a) Q = A V = 1.80 m/seg x ( 0.20)2 /4 = 0.0565 m3 /seg

b) Q = 0.565 m3 x 1000 kg/ m3 = 56.5 kg/seg

c) Q = 0.554 kN/seg ( ya que 1 kN = 224.81 lb = 102.0592 kg )*

* Segn libro: Mecnica de los Fluidos e Hidrulica ( Ranald V. Giles, Jack B. Evett, Cheng Liu), Tercera Edicin.2.3 CONSERVACION DE LA ENERGIA2.3.1 ECUACION DE ENERGIA

2.3.2 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA

Consideremos un tubo a travs del cual fluye un lquido perfecto con escurrimiento permanente y precisemos las caractersticas del lquido en las secciones I-I y II-II , como se muestra en la Fig. II.9, en la cual se ha elegido un plano horizontal de comparacin ( PHC ).

FIGURA NO. II.9 ECUACION DE ENERGIAEn efecto, consideremos que en un instante dt, se ha trasladado un volumen:

d V = Q dt ; desde I-I hasta II-II de acuerdo con el principio de continuidad. Si es el peso especfico del lquido, entonces el peso :

Q dt del volumen dV, ser la nica fuerza vertical que habr ejecutado trabajo mecnico:

1= Q dt ( z1 z2 ) a travs del desnivel ( z1 z2 ), produciendo tambin un cambio total de energa cintica:

m/2 ( v22 - v12 ) = Q dt ( v22 - v12 ) (II.17) 2 g

Adems, supongamos que las presiones hidrostticas que estn actuando en las secciones I-I y II-II se desplazaron magnitudes ds1 y ds2 segn el eje del conducto durante el intervalo de tiempo dt, efectundose un trabajo total igual a:

2 = p1 A1 ds1 - p2 A2 ds2 (II.18)

Obsrvese que mientras la presin en I-I favorece al movimiento, la presin en II-II se opone a el y de aqu los signos considerados.

Finalmente de acuerdo con el principio de trabajo y energa, el cambio de energa cintica del cuerpo en movimiento ser igual a la suma de los trabajos ejecutados por las fuerzas exteriores, esto es:

Q dt / 2g ( v22 - v12 ) = Q dt (z1 z2 ) +p1 A1 ds1 p2 A2 ds2

Dividiendo ambos miembros entre Q dt , se tienelo siguiente: v22/2g - v12/2g = z1- z2 + p1A1 ds1/ Qdt p2 A2 ds2/Qdt

Por definicin de volumen y aplicando el principio de continuidad,

queda: v22 /2g - v12/ 2g = z1 - z2 + p1/ - p2/

ordenando se obtiene para un flujo ideal:

z1 + p1/ + v12 /2g = z2 + p2/ + v22 / 2g (II.19)

Esta ecuacin (II.19), recibe el nombre de ECUACION DE ENERGIA O TEOREMA DE BERNOULLI., y es de fundamental importancia en Ingeniera Hidrulica.

Es decir que este Teorema de Bernoulli, consta de tres trminos denominados cargas o energas, es decir:

z1 = carga o energa de posicin en la seccin ( 1 )

p1 / = carga o energa de presin en la seccin ( 1 )

v12 / 2g = carga o energa de velocidad en la seccin ( 1 )

Cuando se trata de un flujo real, se introduce otro trmino denominado prdida de carga ( Hf ) y tiene su origen debido al rozamiento del fluido sobre las paredes del conducto y el Teorema de Bernoulli queda:

z1 + p1/ + v12 /2g = z2 + p2/ + v22 /2g + Hf ( II.20 )

Hf = Prdida de carga (debido a la friccin en las paredes del conducto)

PROBLEMAS RESUELTOS:II.6 El dimetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cm en A a 40 cm en B.

(Fig. II.10 ). Si la presin en A es de 0.70 kg/cm2 , y en B de 0.60 kg/cm2 , cuando est circulando un gasto de 105 lts/seg, determinar: a) el sentido de la circulacin del flujo, b) la prdida de carga entre las dos secciones.

Solucin:

Resumiendo los datos y convirtiendo todo en metros:

PA = 0.70 kg/ cm2 = 7000 kg/m2 , PB = 0.60 kg/ cm2 = 6000 kg/m2 Q = 105 lts/ seg = 0.105 m3 / seg AA = ( D20 )2 = 0.031416 m2 AB = ( D40 )2 = 0.125664 m2

Figura II.10 del problema II.6

El sentido de la circulacin del flujo quedar definido por la suma de las energas en cada seccin. Por lo que la circulacin ir del punto de mayor energa al de menor energa.

Obteniendo las velocidades en ambas secciones:

VA = Q/AA = 0.105 / 0.031416 = 3.34 m/seg

VB = Q/AB = 0.105/ 0.125664 = 0.835 m/seg

Calculando cada uno de los trminos de la Ecuacin de Bernoulli y sumando las energas:

Punto B: Punto A:

V 2B / 2g = 0.035 m V2A / 2g = 0.568 m

PB/ = 6.00 m PA/ = 7.00 m

ZB = 4.5 m ZA = 0.000

B = 10.535 m A = 7.568 m

Siendo 10.535m 7.568 m por lo tanto como la suma de energas en el punto B es mayor que en A, el flujo ir de B A

b) La prdida de carga o energa entre las dos secciones ser la diferencia entre la suma de las cargas, obtenidas anteriormente:

Hf = 10.535m 7.568m = 2.967 m

Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B A, se pierden 2.965 kg.m.

2.3.3 LINEA DE ENERGIA Y LINEAS DE CARGAS

PIEZOMETRICAS.

Para explicar este concepto del trazo de las lneas piezomtrica y de energa, se resolver el siguiente problema.

PROBLEMA II.7.- En la Figura No.II.11, estn circulando 0.370 m3/seg, de agua de A B, existiendo en A una altura de presin de 6.6 m. Suponiendo que no existen prdidas de carga o de energa entre A y B, determinar la altura de presin en B. Dibujar la lnea de alturas totales y la lnea de alturas piezomtricas.

FIGURA NO. II.11 DEL PROBLEMA II.7 Solucin:Si se aplica la ecuacin de Bernoulli ( II.19 ), entre las secciones A y B, y tomando como plano horizontal de comparacin (P.H.C.), el que pasa por D, segn la figura (II.10), por lo tanto queda:

pA/ + vA2/2g + zA = pB / + vB2/2g + zB (II.21)

donde VA = Q/AA = 0.370 m3 / seg/ 0.32/ 4 m2 = 5.24 m/seg

VB = Q/AB = 0.370 m3/ seg/ 0.62 / 4 m2 = 1.31 m/seg

Sustituyendo valores en la (II.21):

6.60 + (5.24)2 / 2g + 3.0 = pB / + (1.31 )2 / 2g + 7.5

10.9995 = pB / + 0.0875 + 7.5

y la altura de presin en B, pB / = 3.412 m de agua.

A continuacin se hace el trazo de la lnea piezomtrica. La cual es una lnea que une puntos con su altura de presin (ver Fig. II.10), y la lnea de alturas totales, representa grficamente la suma de las tres energas consideradas en el Teorema de Bernolli.

2.3.4 ECUACIONES DE POTENCIA EN BOMBAS Y TURBINAS.

La potencia en bombas se obtiene por la siguiente expresin:

P = Q Hm / 75 ( II.22 )

en donde:

P = Potencia en H.P. (horse power)

sabiendo que: 1 horse power(H.P.) = 0.746 kilovatios= 1.014 caballos de vapor (CV) = 76 kgm/seg., 1 caballo de vapor ( CV) = 75 kgm/seg= 0.986(HP ).

Q = Gasto o Caudal ( m3 /seg )

Hm = energa total comunicada al agua por la bomba (carga dinmica total).

= eficiencia del equipo de bombeo (est en funcin del tipo de bomba) 3.5 APLICACIONES

( PA/ + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ + V 2B/2g + ZB )

II.8 En el sistema mostrado en la Fig. II.12, la bomba MN debe conducir un caudal de 180 lts/ seg de un aceite, (Dr = 0.850 ), hacia un recipiente B. Suponiendo que la prdida de carga entre A y M es de 3.50 kgm/kg y entre N y B es de 8.25 kgm/kg, ( a ) qu potencia en CV debe tener la bomba para poder elevar el lquido hasta esa altura?, (b) cul sera el valor en HP ?, (c) Dibujar la la de alturas totales.

Solucin:

(a) La velocidad de las partculas en A y B es tan pequea que pueden despreciarse las crgas o alturas de velocidad. Por lo tanto se debe aplicar la ecuacin de Bernoulli (II.19) entre los puntos A y B, y adems tomando como plano horizontal de comparacin, el que pasa por MN, queda:

( PA/ + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ + V 2B/2g + ZB ),

en este caso Hf = suma de prdidas de carga o energa entre AN y NB, debidas a la friccin en los conductos.

( 0 + 0 + 15 ) + Hm - ( 3.5 + 8.25 ) = ( 0 + 0 + 65 )

Hm = 61.75 m ( o kgm/kg).

P = Q Hm / 75 = (850 x 0.180 x 61.75)/ 75(0.80)=157.46 CV

suponer que el equipo de bombeo tiene una eficiencia de: =0.80

b) 1 caballo de vapor = 0.986 HP , P= 155 HP

c) La lnea de alturas totales en A tiene una elevacin de 25.0 m sobre el plano horizontal de comparacin (cota cero). De A M la prdida de carga es de 3.5 m y la lnea de alturas totales bajar esta misma altura, lo que tenemos en M una elevacin de 21.5 m. La bomba comunica al fluido una carga de 61.75 m y la elevacin en N ser de 83.25 m. Y la prdida de carga entre N y B es de 8.25m, y la elevacin en B ser de 75 m.,(ver Fig. II.12).

FIGURA NO. II.12 Del Problema II. 82.4 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

2.4.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

El movimiento del agua est regido por las leyes de Newton, estas servirn de base en la deduccin.

De acuerdo a la segunda ley de Newton: F = m a ( II.22 )

En donde: F = fuerza que trata de mover el cuerpo ( N )

m = masa del cuerpo (kg masa ),

a = aceleracin que adquiere el cuerpo (m/seg2 )

Multiplicando los dos miembros de la ecuacin ( II.22 ) por el tiempo ( t ).

F t = m a t ( II.23 )

Y tambin se conoce que la aceleracin es la variacin de la velocidad ( V ) con respecto al tiempo ( t ).

a = ( Vf - Vo ) / t = V / t ( II.24 ) en donde: Vf = velocidad final Vo = velocidad inicial V = incremento de la velocidad

a producto de la fuerza por el tiempo se le llama CANTIDAD DE MOVIMIENTO o IMPULSO.

2.4.2 FUERZA HIDRODINAMICA

Si consideramos una masa lquida en movimiento, por ejemplo en una corriente natural o en un ro, de tal manera que en un periodo de tiempo la masa de agua se desplazar de una seccin ( 1 ) a otra seccin ( 2 ).

Si se considera que de la posicin en la seccin ( 1 ) a la posicin en la seccin ( 2), la masa de agua pierde mucha de su cantidad de movimiento y, en consecuencia, existe una reduccin de la velocidad. Esta reduccin de la velocidad de V1 V2 es producto de una prdida de impulso o cantidad de movimiento.

La fuerza externa que produce este cambio de impuso en un tiempo ( t ), de acuerdo a la expresin ( II.23 ).

Tambin se sabe que el peso de la masa lquida es: W = m g ( II.25 )

= W/ V m = V/ g ( II.26 )

en donde: m = masa del volumen de agua

= peso especfico del agua

V = volumen de lquido

g = aceleracin de la gravedad

W = peso de la masa lquida.

Pero sabemos segn la ( II.11 ), que el volumen lquido vale:

V = Q t (II. 27 ) V = volumen lquido

Q = gasto o caudal

t = tiempo

Sustituyendo la expres