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1
LIMITES
O estudo dos Limites objetiva conceituar intuitivamente limite, definir
limites laterais, aplicar as propriedades, calcular limites de funções e
verificar a continuidade de uma função.
Introdução Antes de iniciar os estudos sobre Limites, vamos observar um exemplo
prático do nosso cotidiano.
- Seja S(t) = 3t2 + 5t + 2 a função que representa a posição (em km) de
um certo tipo de veículo em um determinado instante t (0 t 10).
Suponha que desejamos determinar a velocidade do veículo no
intervalo de tempo t = 3 horas. Para encontrar essa solução devemos
calcular a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [3, t].
3
4253
3
44)253(
4423.53.3)3(
253)(
)3(3
)3()(
var
var
2
2
2
2
t
ttVm
t
ttVm
S
tttS
tt
StSVm
tempodoiaçãot
espaçodoiaçãoSVm
Verificando que t = 3 não está definido no domínio da função
velocidade média (Vm), podemos calcular as velocidades médias do veículo
quando o valor de t aproxima-se cada vez mais de 3 (Tabela).
2
Note que, quando mais próximo de 3 o intervalo de tempo se
encontrar, a Velocidade Média do veículo aproxima-se do valor 23, logo,
podemos sugerir que a velocidade instantânea do móvel em t = 3 horas é
de 23 km/h.
Após esse exemplo vamos começar os estudos de Limites de uma
Função através da Definição Intuitiva.
1.0- DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Inicialmente, analisemos os gráficos das funções abaixo:a)
Verificamos que, quando os valores de x se aproximam tanto pela
esquerda, como pela direita do valor 3, os resultados correspondentes a f(x)
(imagem) estão se aproximando do valor 4. Então, podemos dizer que o
limite da função y = f(x), quando x tende a 3, é igual a 4, e indicamos:
3
4)(
x
xfLim
3
Analisando o quadro, verificamos que, quando os valores de x se
aproximam tanto pela esquerda, como pela direita do valor 1, os resultados
correspondentes a y(imagem) estão se aproximando do valor 3. Então,
podemos dizer que o limite da função y, quando x tende a 1, é igual a 3, e
indicamos:
1
3)(
x
xgLim
Em regra geral, dizemos que:
- Limite de uma função, quando x tende a k, é igual a q (k e q constantes).
kx
qxfLim
)(
Após esses exemplos sobre a noção intuitiva de limite, podemos voltar ao
exemplo prático citado inicialmente, no qual mostramos que quanto mais
próximo de 3 horas for o valor do tempo, a velocidade média se aproxima
de 23 km/h, então, podemos dizer que a velocidade instantânea do veículo
em t = 3 horas é igual a 23 km/h, em outras palavras, podemos dizer que o
limite da velocidade média quando o tempo t se aproxima de 3 é igual a 23.
Observemos.
3
)mindet(0
0
33
423.53.3
3
4253 22
t
açãoerint
ttLim
Levantando a indeterminação, temos:
4
3
)3(
)3)(3
14(3
t
t
tt
Lim
3
23)143(
t
tLim
2.0- LIMITES LATERAIS
Observe a função f : RR definida por f(x) =
1,3
1,12
xx
xx.
Determinemos, com auxílio das tabelas e do gráfico abaixo, o limite de f(x)
quando x tender a 1 tanto pela esquerda (1-), como pela direita (1+).
5
Observando as tabelas e o gráfico acima, verificamos que o limite de f(x),
quando x tende a 1, não existe, pois, o limite de f(x), quando x tende a 1 pela
esquerda vale –2 e o limite de f(x), quando x tende a um, pela direita, vale 2,
logo,
1
2)(
x
xLimf e
1
2)(
x
xLimf são chamados limites laterais.
Notamos que a existência dos limites está relacionada diretamente com
os limites laterais, pois, se os mesmos apresentam resultados iguais quando
estão se aproximando de um determinado ponto, dizemos que o limite, nesse
ponto, tem solução, caso contrário, não.
Agora, observamos os exemplos abaixo para fixarmos melhor, como
devemos determinar limite lateral.
6
1- Dadas as funções f(x) e g(x), representadas pelos gráficos.
y y
f(x) 4 g(x)
1
2
23
0 2 x 0 2 x
Determine:
a) 2
)(
x
xfLim b)
2
)(
x
xfLim c)
2
)(
x
xfLim
d)
2
)(
x
xgLim e)
2
)(
x
xgLim
f)
2
)(
x
xgLim
g) x
xgLim )( h) x
xgLim )( i)
x
xgLim )(
Solução:
a) 2
)(
x
xfLim
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quando x tende a dois, pela
esquerda, y se aproxima de 4, logo,
2
4)(
x
xfLim
b) 2
)(
x
xLimf
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quanto x tende a dois, pela direita,
y se aproxima de 1, logo,
2
1)(
x
xfLim
c) Como, os limites laterais são diferentes
2
)(
x
xfLim
2
)(
x
xfLim, podemos
afirmar que 2
)(lim
x
xfnão existe.
7
d)
2
)(
x
xgLim
e)
2
)(
x
xgLim
f) Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
2
)(
x
xgLim não
existe.
g)
x
xgLim 0)(
h)
x
xgLim 0)(
i) Como os limites laterais são iguais, podemos afirmar que
x
xgLim )( existe e
vale 0 (zero). 3.0- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS A partir de agora, vamos estudar as Propriedades Operatórias dos Limites.
- Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas pelo domínio D, tais que
ax
LxfLim
1)( e
ax
LxgLim
2)( com L1, L2 .
1ª) Limite de uma constante (k) é a própria constante.
ax
kkLim
2ª) Limite da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) dos limites dessas funções.
ax
xgxfLim
)()( =
ax
xfLim
)(
ax
xgLim
)( = 21 LL
3ª) Limite do produto de funções é o produto dos limites dessas funções.
ax
xgxfLim
)()( =
axax
LLxgLimxfLim
21)()(
8
4ª) Limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções.
2
1
)(
)(
)(
)(
L
L
ax
xgLim
ax
xfLim
xg
xfLim
ax
xxgLim ,0)(
5ª) Limite da potência de uma função é a potência do limite dessa função.
ax
xfLimn
)( = nn
Lax
xfLim1
)(
6ª) Limite da raiz de uma função é a raiz do limite dessa função.
ax
Lax
xfLimxfLim nnn
1
)()(
7ª) Limite do logaritmo de uma função é o logaritmo do limite dessa função.
ax
LLogax
xfLimLogxfLogLim bbb
1
)()]([
4.0- LIMITE DE FUNÇÕES 4.1- Limite de uma Função Polinominal Polinômio: É uma expressão algébrica racional e inteira representada pela seguinte forma:
01
2
2
1
1 ... axaxaxaxa n
n
n
n
n
n
em que
teindependenecoeficienta
polinômiodoescoeficientossãoaaa
Nn
polinômiodoiávelaéx
nn
0
01 ...,,,
var
Exemplos:
a) 3x b) 5x + 3 c) 4x2 – 3x + 4 d) 5
4 x2 – 3xy +y
9
Nota: As expressões 5
453432
2
x
xexx não representam polinômios,
pois, na 1ª expressão, a incógnita x encontra-se no radicando, logo, temos uma expressão irracional e na 2ª, a variável encontra-se no denominador, então, temos uma expressão racional.
Função Polinomial: É toda função de grau n (n N) do tipo P: dado
por P(x) = 01
2
2
1
1 ... axaxaxaxa n
n
n
n
n
n
, em que an, an-1, an-2, ..., a1, a0
são números reais (). Após as definições de polinômio e de função polinomial, vamos resolver o seguinte exemplo: - Determine os limites das funções polinomiais:
a)
5
)23(
x
xLim b) 1
5473 2811
x
xxxxLim
Solução:
a)
5
)23(
x
xLim = 3.5 – 2 = 15 – 2 = 13
Isto significa que, quando x está se aproximando tanto pela esquerda, como pela direita de 5, o limite da função f(x) = 3x – 2, está se aproximando de 13.
b) 1
5473 2811
x
xxxxLim = 3.(-1)11 – 7.(-1)8 + 4.(-1)2 – 5.(-1) = 3.(-1) –
7.(+1) +4.(+1) – 5.(-1) = -3 –7 + 4 +5 = -1 4.2- Limite de uma Função Racional Função Racional: É toda função que apresenta a incógnita no denominador. Exemplos
a) x
xxf
52
53)(
b)
xx
xxxf
2
14)(
2
2
Observamos que as funções acima apresentam elementos que não pertencem ao domínio da função. No caso do item a, o número 2/5 torna nulo o denominador e no item b, os elementos que anulam o denominador são 0 e 2. Em decorrência dessa observação, encontremos o limite de cada função racional abaixo:
10
a)
3
5
122
x
x
xLim
b)
2
4
442
2
x
x
xxLim
c)
2
4
342
2
x
x
xxLim
d)
3
64
92
2
x
xx
xLim
e)
2
25
43 2
x
x
xLim
f)
1
1
)4( 2
x
x
xLim
g)
2
3
652
x
x
xxLim
h)
2
4
652
2
x
x
xxLim
i)
3
3
92
x
x
xLim
Solução:
a)
3
5
122
x
x
xLim
= 4
5
53
13.22
b)
2
4
442
2
x
x
xxLim
= 0
8
0
44
484
42
42.422
2
c)
2
4
342
2
x
x
xxLim
=
0
1
44
384
4)2(
3)2.(4)2(2
2
)( existenão
Demonstração
Vamos, inicialmente, estudar o sinal da função 4
34)(
2
2
x
xxxf .
11
4
34)(
2
2
x
xxxf
4)(
34)(
2
2
2
1
xxf
xxxf
34)( 2
1 xxxf 04
4)(
2
2
2
x
xxf
x2 + 4x + 3 = 0
2"
2'
x
x
3"
1'
x
x
f1(x) +++++++++++++++
‘-3 ------- ------------- -1+++++++++++++ + x
f2(x) +++++++++++++++++++++++
’-2 ------------------ 2+++++++++ x
f1/f2)
+++++++++++++++ -3 ------ -2 +++++ -1------ 2 +++++++++ x
Observando o gráfico, temos:
2
4
34,log,0,2
2
4
34,log,0,2
2
2
2
1
2
2
2
1
x
x
xxLimo
f
fxpara
x
x
xxLimo
f
fxpara
Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
2
4
342
2
x
x
xxLim
não existe.
d)
3
027
0
63.43
93
64
92
2
2
2
x
xx
xLim
e)
3
)mindet(0
0
93
93
3
9 22
x
açãoerinx
xLim
Este limite será resolvido durante o estudo sobre limites Indeterminados. 4.3- Limite de uma Função Exponencial
12
Função Exponencial: É toda função do tipo f(x) = bx, sendo b a base (1 b >
0) e x o expoente (x ). Observe os gráficos de f(x) = bx, quando:
1) (b > 1) f(x) = bx função crescente 2) (0 < b < 1) f(x) = bx função decrescente.
Após identificarmos uma função exponencial, vamos calcular o limite de
cada função abaixo:
a)
4
3
x
Lim x
b)
3
2
x
Lim x
c)
41
81
x
Lim x
d)
2
3
2
x
Lim
x
Solução
a)
4
3
x
Lim x
= 34 = 81
b)
3
2
x
Lim x
= 2-3 = 8
1
2
13
n
n
aa
1
c)
4
1
81
x
Lim x
= 4
1
81 = 3814
c bc
b
aa
d)
2
3
2
x
Lim
x
= 4
9
2
3
3
222
nn
a
b
b
a
4.4- Limite de uma Função Logaritmica Função Logarítmica: É toda função do tipo f(x) = Log b x , sendo b a base do
logaritmo (1 b > 0) e x o logaritmando ou antilogaritmo (b > 0) Observe os gráficos de f(x) = Log b x, quando: 1) f(x) = Log b x (b > 1) função crescente 2) f(x) = Log b x (0 < b < 1) função decrescente.
13
bx
xfLim
)(
bx
bLogxLogLim aa
cx
xfLim
)(
cx
cLogxLogLim bb
Após identificarmos a maneira de determinar limite de uma função logarítmica, vamos calcular o limite de cada função abaixo:
a) 2
)5(
x
xLogLim b)
2
64
x
x
xLogLim
c) 0
3
x
xLogLim d)
0
3
1
x
xLogLim
Solução
a)
2
1102
5)5(
x
Logx
xLimLogxLogLim
b)
2
64
x
x
xLogLim
=
2
64
x
x
xLim
Log 01)2(
6)2.(4
LogLog
c) 0
)( 3
x
xLogLim = , observe no gráfico ao lado
que quando x tende a zero pela direita, o limite tende a menos infinito.
14
d) 0
)(31
x
xLogLim= , observe no gráfico ao lado
que quando x tende a zero pela direita, o limite
tende a mais infinito.
5.0- LIMITES TENDENDO PARA O INFINITO
O nosso estudo sobre limite de uma função, até esse momento, baseou-se
quando a variável se aproxima de um único número. Porém, há situações em
que necessitamos saber o valor do limite de uma função quando a variável
cresce (ou decresce) infinitamente, ou seja, quando a variável se aproxima de
um valor infinitamente grande (ou pequeno). Em decorrência desse fato, vamos
estudar limites de funções quando a tendência da variável está direcionada ao
infinito.
Antes de começarmos a resolver limites no infinito, vamos verificar algumas
operações que envolvam .
15
1ª) (+)n =
0,0
0,
n
n
2ª) (-)n =
0,0
,
,
n
parn
ímparn
3ª)
0,
0,
n
n
n ou
0,
0,
n
n
n
4ª) 0,00
nn
oun
5ª)
0,
0,
n
nn ou
0,
0,
n
nn
6ª)
10,0
1,
n
nn ou
10,
1,0
n
nn
Após essa verificação, vamos resolver limites de funções quando a variável
independente, nesse caso x, tende para o infinito.
5.1) Limite de uma Função Polinomial quando x
O limite de uma função polinomial em x, para x tendendo a , é igual ao
limite do termo de maior grau do polinômio.
x
xpLim )(
x
axaxaxaLim n
nnn ...2
2
1
10 =
xx
xaLimxaLim
xxx
xa
a
xa
a
xa
aLimxaLim
xa
a
xa
a
xa
axaLim
nn
n
nn
n
nn
00
0
2
0
2
0
10
0
2
0
2
0
10
1.
...1....1
16
Exemplo:
1) determine os limites abaixo:
a)
x
xxxxLim 12323 3456
b)
x
xxLim 134 2
Solução:
a)
x
xxxxLim 12323 3456
x
xxxxLim 12323 3456
=
x
xLim .33366
b)
x
xxLim 134 2
=
x
xLim ).(4).(44 22
5.2) Limite de uma Função Racional quando x
O limite de uma função racional, para x tendendo a , é igual ao limite
do quociente entre os termos de maior grau do numerador e do denominador
dessa função.
x
xQLim )(
x
bxbxb
axaxaLim
m
mm
n
nn
...
...1
10
1
10
=
x
ouxb
xaLim
m
n
0
0
x
xb
aLim mn
0
0
Exemplo:
1- Determine os limites abaixo:
a)
x
xx
xxLim
532
7432
35
b)
x
xx
xxxLim
365
864153
23
c)
x
xx
xxLim
64
43457
2
17
Solução:
a)
x
xx
xxLim
532
7432
35
=
x
x
xLim
2
5
2
3
=
x
xLim
22
)(3
2
)(3
2
3 33
b)
x
xx
xxxLim
365
864153
23
=
xx
Limx
xLim 33
5
153
3
c)
x
xx
xxLim
64
43457
2
=
x
x
xLim
7
34
=
x
xLim 0
44444
5.3) Limite de uma Função Exponencial quando x
O limite de uma função exponencial, para x tendendo a , é igual a + ou a
zero, dependendo do tipo de função:
1) Se a função é crescente (a > 1), temos:
1.1)
x
aLim x
1.2)
x
aLim x 0
18
2) Se a função é decrescente (0 < a< 1), temos:
2.1)
x
aLim x 0
2.2)
x
aLim x
Exemplo 1) Resolva os limites abaixo:
a)
x
Lim x7 b)
x
Lim
x
2
1
c)
x
Lim x2 d)
x
Lim
x
4
3
Solução:
a)
x
Lim x7 = 7+ = + b)
x
Lim
x
2
1
= 02
1
19
c)
x
Lim x2 = 2- = 0
1
2
1
d)
x
Lim
x
4
3
=
3
4
4
3
5.4) Limite de uma função logarítmica quando x
O limite de uma função logarítmica, para x tendendo a +, é igual a + ou
a -, dependendo do tipo de função:
1) Se a função logarítmica é crescente (b > 1), temos:
x
xLogLim b
2) Se a função logarítmica é decrescente (0 < b < 1), temos:
x
xLogLim b
* A variável tende apenas para +, em virtude do domínio da função
logaritma ser *
.
Exemplo: 1) Resolver os limites abaixo:
20
a)
x
xLogLim 3 b)
x
xLogLim3
1
Solução:
a)
x
xLogLim 3 b)
x
xLogLim3
1
* Observe os gráficos acima. Aplicação: 1- Um empresário da área de informática estima que o custo (reais/ano) na
produção de uma quantidade q de determinado produto é representado por
C(q) = 250 + 320q. Sendo o custo médio calculado pelo quociente do custo da
produção pela quantidade produzida, determine:
a) O custo na produção de 30 e 70 unidades.
b) A função custo médio.
c) O custo médio na produção de 25 unidades.
d) q
mCLim e interprete graficamente.
Solução: a) C(q) = 250 + 320q
C(40) = 250 + 320x30 = 9.850,00
C(70) = 250 + 320x70 = 22.650,00
320250
)(
320250)()()
qqmC
q
q
q
qCqmCb
00,33032025
250)25(
320250
)()
mC
qqmCc
21
qLimqmCLimd 00,3203200320
250320
250)()
Observe que, a medida que cresce o nível de produção, o custo fixo
q
250 por
unidade produzida tende a zero, logo, o custo médio se aproxima de 320,00
por unidade produzida.
6.0- LIMITES INDETERMINADOS
Ao tentarmos resolver alguns limites, verificamos que os mesmos não
apresentam soluções de imediato, pois recaem em uma indeterminação. Para
resolvermos esses limites, devemos utilizar os nossos conhecimentos básicos
de matemática.
A fim de entendermos melhor as palavras acima, observemos a resolução
do limite abaixo.
3
3
92
x
x
xLim
.
3
0
0
33
99
33
93
3
9 22
x
x
xLim
22
O resultado 0
0 é uma indeterminação (não é definido), logo, devemos
utilizar conhecimentos básicos de matemática, no caso, fatoração, para
levantarmos essa indeterminação, ou seja, encontrarmos o resultado do limite.
333
633)3(3
33
3
9*2
xxx
xLimx
xxLim
x
xLim
* x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3).(x – 3) diferença de dois quadrados.
Nota: os gráficos das funções f(x) =
3
92
x
x e g(x) = x + 3 são idênticos
exceto quando x assumir valor 3. Esse fato indica que podemos calcular o
limite da função f(x) calculando o limite da função g(x) quando x tende a 3.
Agora, observemos os símbolos de indeterminação ou formas
indeterminadas que irão surgir durante os nossos estudos.
Por que esses símbolos são denominados de símbolos de indeterminação?
Para responder essa pergunta, observemos as igualdades abaixo:
1) nn .000
0 (n )
00 ,1,0,.0,,,0
0
23
2) nn .
(n )
3) nn (n )
4)
n
oun
n 00
.0 (n )
00).(0
0.0
)(0
)log(0)5
0
0
nnLog
nLog
nLogLog
potênciadaepropriedadnLogLog
aritmoaplicandon
000.
1.
)(1
)log(1)6
nnLog
nLog
nLogLog
potênciadaepropriedadnLogLog
aritmoaplicandon
00.0
.0
)(
)log()7
0
0
nnLog
nLog
nLogLog
potênciadaepropriedadnLogLog
aritmoaplicandon
Para que cada igualdade acima seja verdadeira, n pode assumir vários valores
reais. Em decorrência disso, denominamos esses símbolos de indeterminação.
A partir desse momento, utilizando nossos conhecimentos básicos de
matemática, vamos calcular limites que apresentam símbolos de
indeterminação.
1- Resolva os limites abaixo:
24
a)
2
4
442
2
x
x
xxLim
b)
x
xxLim 22
c)
x
xx
xLim
13
32 d)
3
3
3
x
x
xLim
e)
2
2
233
x
x
xLim
Solução:
a)
2
4
442
2
x
x
xxLim
2
)mindet(0
0
42
42.42
4
442
2
2
2
x
açãoerinx
xxLim
Vamos levantar a indeterminação utilizando fatoração:
1) f(x) = x2 – 4x + 4
x2 – 4x + 4 = 0
4
4
1
c
b
a
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
2"
2'
x
x
Utilizando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”) y = 1(x – 2)(x - 2)
2) g(x) = x2 - 4
x2 – 4 = 0
2"
2'
x
x
25
Aplicando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”) y = 1(x – 2)(x + 2)
Substituindo no limite
2
)(
)(
x
xg
xfLim
=
2
)2).(2(
)2).(2(
x
xx
xxLim
=
2
04
0
2
2
x
x
xLim
b)
x
xxLim 22
x
xxLim 22 = - (indeterminação)
Para levantarmos essa indeterminação, devemos o termo de maior grau.
x
xxLim 22 =
x
xLim22 .22
c)
x
xx
xLim
13
32
x
xx
xLim
13
32 =
(indeterminação)
Levantando a indeterminação
- Separa-se o termo de maior grau tanto do numerador, como do denominador.
x
xx
xLim
13
32 =
x
x
xLim
2 =
x
xLim
1
01
d)
3
3
3
x
x
xLim
26
3
)mindet(0
0
33
33
3
3
x
açãoerinx
xLim
Para levantarmos essa indeterminação, multiplica-se tanto o numerador, como
o denominador por x3 .
3
3
3
x
x
xLim
3
3
3
3
3
x
x
x
x
xLim
3
33
33
x
xx
xxLim
3
3
3322
x
x
xxLim
3
3
33
x
x
xxLim
3
32333
x
xLim
e)
2
2
233
x
x
xLim
= 0
0
Levantando a indeterminação
2
2
233
x
x
xLim
=
2
2
2 3
1
3
1
x
x
xLim
Substituindo 1/3 por n, temos:
2
2
2
x
x
xLim
nn
2
2
2...2.2 121
x
x
xxxLim
nnn
2
2...2. 121
x
xxLim nnn
= 111121 2...222...2.22 nnnnnn
3
3
23
21
3
1
1
4.3
1
2.3
12.
3
12.
3
12.
nn
27
* nn ba = 12321 ..... nnnn bbabaaba
- Aplicação
- Calcule os limites abaixo:
1)
2
357
x
xLim 2)
2
12
32 2
x
x
xxLim
3)
2
2
r
rLim
4) 1
532 23
x
xxLim 5)
0
3354 26
x
xxxLim 6)
2
123 2
x
xxLim
7)
5
2 4
x
Lim x
8)
1
4
9 2
1
x
Lim
x
9)
4
53
x
xLogLim
10)
2
95153
x
xLim 11)
0
123
235
23
x
xxx
xxxLim
12)
3
4
3
3
r
rLim
13)
4
4
42
x
x
xxLim
14)
1
1
12
x
x
xLim
15)
1
1
13
x
x
xLim
16)
1
1
323
2
x
x
xxLim
17)
4
4
822
x
xx
xLim
18)
2
4
232
2
x
x
xxLim
19)
2
2
24
x
xLim
20)
2
42
x
xLim 21)
3
3
3
x
x
xLim
22)
x
xLim 53 23)
x
xLim
42
3
24)
x
xLim
3
4 2
28
25)
x
xxLim 443 4
26)
x
xx
xxxLim
2
3633
25
27)
x
Lim x4
28)
x
Limx
43
29)
x
xxLogLim 22
2
1 30)
x
x
xxLogLim
32
62
2
7.0- CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Observemos a função
3
34)(
23
x
xxxxf (x 3). Ela está definida para
qualquer valor de x, excetuando o valor 3. Isso indica que o seu gráfico dá um
salto no ponto (3, 6), confirmando que ela não está definida nesse ponto.
Em decorrência disso, denominamos Função Contínua a toda função f(x)
em que, o resultado de seu limite, quando x tende a k, for igual ao valor
numérico da função f(x) para x = k.
kx
kfxfLim
)()(
Exemplo:
01- Construir o gráfico da função
5
152)(
2
x
xxxf com x 5 e
verifique se ela é contínua no ponto x = 5.
Solução
29
Como 5
)5()(
x
fxLimf, concluímos que a função é descontínua no ponto x=5.
Existe casos que é mais cômodo determinar a continuidade de uma
função num ponto através dos limites laterais. Nesses eventos utilizamos as
seguintes condições:
1ª) existe o valor numérico da função f(x) para x = k.
2ª) os limites laterais kx
xLimf )( e
kx
xLimf )( existem e são iguais.
3ª) kx
kfxLimf
)()(
Nota:Se alguma condição acima falhar, a função passa a ser descontínua
no ponto x = k.
02- Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados.
a)
2,3
2,1)(
xpara
xparaxxf (x = 2)
0
0)5(
5
152)(
)5(
55
85
)5)(3(
5
152
5)(lim
2
2
fx
xxxf
fdeCálculo
xx
x
xxLim
x
xxLim
xquandoxfdoCálculo
30
b)
2,5
2,2
4
)(
2
xpara
xparax
x
xf (x = 2)
c)
3,1
3,3
65
)(
2
xpara
xparax
xx
xf (x = 3)
Solução:
a)
2,3
2,1)(
xpara
xparaxxf
2
)(
22
1)1()(
22
33
x
existenãoxfLim
xx
xLimxfLim
xx
LimxfLim
Como não existe 2
)(
x
xfLim, concluímos que a função é descontínua em x = 2.
31
b)
2,5
2,2
4
)(
2
xpara
xparax
x
xf
2
)5(
5)2(
22
42
2.2
x
fxfLim
f
xx
x
xxLimxfLim
Como
2
)5(
x
fxfLim, concluímos que a função é descontínua em x = 2.
c)
3,1
3,3
65
)(
2
xpara
xparax
xx
xf
32
1)3(
3
1)(
333
13
23
3
65)(
33
11
2
f
x
xfLim
xxx
x
xxLim
x
xxLimxfLim
xx
LimxfLim
Como 3
)()(
x
xfxfLim, concluímos que a função é contínua em x = 3.
Exercícios:
01- Seja a função f, definida por
2,,2
12,1
1,1
)(
2
xpara
xparax
xparax
xf :
a) construir o gráfico,
b) verificar se f(x) é contínua em x = -1 e x = -2.
02- Seja a função
2,.
2,2
2
)(
2
2
xparaxp
xparax
x
xf , determine p para que
exista
2
)(
x
xfLim.
03) Determine o valor de p nas funções abaixo para que elas sejam
contínuas nos pontos indicados.
a) 4
4,
4,4
4
)(
2
xem
xparap
xparax
xx
xf
33
b) 2
1
2
1,4
2
1,
2
1
384
)(
2
xem
xparap
xpara
x
xx
xf
04-Dadas as funções f e g, definidas por
4
1,
1,1
1
)(
2
xem
xparap
xparax
x
xf e
2
2,63
2,2
8
)(
3
xem
xparap
xparax
x
xg .
Determine:
a) 1
),(lim
x
xf
1
)(lim
x
xf e
1
)(lim
x
xf.
b) O valor de p para que f(x) seja contínua no ponto x = -1.
c) 2
),(lim
x
xg
2
)(lim
x
xg e
2
)(lim
x
xg.
d) O valor de p para que g(x) seja contínua no ponto x = 2.
e) Construa os gráficos das funções f(x) e g(x).
05- Verifique algebricamente e graficamente se as funções são contínuas nos
pontos indicados.
a) 4
4,3
4,93)(
xem
xpara
xparaxxf
34
b) 2
2,4
2,2
107
)(
2
2
xem
xparax
xparax
xx
xf
c) 1
1,43
1,2
1,1
)(
3
xem
xparaxx
xpara
xparax
xf
d) 32
32
23,42
2,22
)(
2
xexem
xpara
xparax
xparaxx
xf
SINTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você definiu limite; aprendeu a resolver limites laterais,
estudou as propriedades dos limites e verificou a continuidade de uma função.
Logo, você está apto a começar o estudo das Derivadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise
Matemática. Moscou: Mir, 1978.
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES: IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v.
35
LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.
