Limites de Funções de Variáveis .lim z!z 0 f(z) lim z!z 0 g(z) = f 0 g 0 seg 0 6= 0 PRÓXIMA AULA

Embed Size (px)

Text of Limites de Funções de Variáveis .lim z!z 0 f(z) lim z!z 0 g(z) = f 0 g 0 seg 0 6= 0 PRÓXIMA AULA

AULA

2Limites de Funesde Variveis ComplexasMETA:

Introduzir o conceito de limite de funes de variveis complexas.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Definir limites de funes de variveis complexas e

determinar o limite de algumas funes de variveis complexas.

PR-REQUISITOS

Aula01 de Variveis Complexas e os conhecimentos bsicos, da dis-

ciplina Clculo II.

Limites de Funes de Variveis Complexas

2.1 Introduo

Caros alunos o tema de nossa aula de hoje Limites de Funes

de Variveis Complexas. Antes de entrarmos no tema central

no entanto, faremos um pequeno passeio pela topologia do plano

complexo. A rigor, as noes topolgicas aqui expostas no se

restringem ao plano complexo. Estes conceitos, em especial o de

bola aberta sero usados nas definies de limite e continuidade de

funes complexas.

2.2 Topologia do Plano Complexo

Vamos iniciar nossa aula com as definies, com alguns pequenos

comentrios, de alguns conceitos topolgicos. Comeando por:

Definio 2.1. Sejam z0 C um ponto do plano complexo e r > 0

um real positivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r

por:

Br(z0) = {z C||z z0| < r}

OBS 2.1. Apesar do nome bola aberta, a representao geomtrica

de uma bola aberta de centro em z0 C e raio r > 0 (ver figura

2.1), no plano complexo C, o interior um disco cujo centro z0

e cujo raio r.

Podemos definir tambm, a bola fechada incluindo as bordas i.e.

Definio 2.2. Sejam z0 C um ponto do plano complexo e r > 0

um real positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio

r por:

Br(z0) = {z C||z z0| r}

26

Variveis Complexas AULA

2

x

y

z0r1

Br(z0)

Figura 2.1: Bola Aberta no Plano Complexo

Definio 2.3. Seja D C um subconjunto do plano complexo.

Dizemos que D um conjunto aberto se, somente se: Para todo

z D, existe > 0 tal que B(z) D.

OBS 2.2. Em un conjunto aberto cada ponto centro de alguma

bola aberta inteiramente contida no conjunto. Em particular cada

bola aberta em C por sua vez um conjunto aberto. Tambm

aberto o plano complexo C. E o conjunto vazio aberto, pois

satisfaz a definio de conjunto vazio.

Definio 2.4. Seja D C um subconjunto do plano complexo.

Dizemos que D um conjunto fechado se, somente se se comple-

mentar {C(D) em relao a C for aberto.

OBS 2.3. Bolas fechadas so conjuntos fechados. Tambm

fechado o plano complexo C, visto que seu complementar, o con-

junto vazio , um conjunto aberto.

Definio 2.5. Sejam D C um subconjunto do plano complexo

e z D. Dizemos que z um ponto interior de D se, somente se

existe > 0 tal que B(z) D.

27

Limites de Funes de Variveis Complexas

OBS 2.4. Todos os pontos de um conjunto D aberto so pontos

interiores de D.

Definio 2.6. Sejam D C um subconjunto do plano complexo

e z C. Dizemos que z um ponto exterior de D se, somente se

existe > 0 tal que B(z) {C(D).

Definio 2.7. Sejam D C um subconjunto do plano complexo

e z C. Dizemos que z um ponto de fronteira de D se, somente

se para todo > 0, B(z) D 6= e B(z) {C(D) 6= .

Definio 2.8. Sejam D C um subconjunto do plano complexo

e z C. Dizemos que z um ponto de acumulao de D se,

somente se para todo > 0 tal que B(z) D 6= .

OBS 2.5. Todos os pontos de um conjunto D aberto so pontos

de acumulao. Todos os pontos de fronteira de um conjunto D

so pontos de acumulao.

2.3 Funes de Variveis Complexas

Consideraremos aqui funes de variveis complexas, que questo

de economia sero chamadas simplesmente funes complexas.

Seja D C um subconjunto do plano complexo. Uma funo

complexa f uma regra que associa cada ponto z de D a um

nmero complexo denotado w. O nmero w chamado de o valor

de f no ponto z ou imagem de z por f e denotado f(z) i.e.

w = f(z)

OBS 2.6. Adotaremos tambm, a notao usual de funes i.e.

para indicar uma funo f de domnio D C em C usamos f :

D C 7 C.

28

Variveis Complexas AULA

2Tambm, com o objetivo de simplificao e a menos que seja indi-cado o contrrio, o domnio de D de f ser um conjunto aberto.

OBS 2.7. Desde que a imagem de uma funo complexa um

nmero complexo, podemos ter uma forma alternativa de repre-

sentar funes complexas pondo z = x+ y e

f(z) = f(x+ y) = u(x, y) + v(x, y)

onde as funes u : D C 7 R e v : D C 7 R so ditas

componentes real e imaginria de f respectivamente.

Exemplo 2.1. Para a funo f : C 7 C dada por f(z) = z3 suas

componentes so u(x, y) = x3 3xy2 e v(x, y) = 3x2y y3 i.e.

f() pode ser escrita como:

f(z) = f(x+ y) = (x+ y)3

= (x+ y).(x+ y).(x+ y)

= ((x2 y2) + 2xy).(x+ y)

= (x3 3xy2) + (3x2y y3)

2.4 Limites de Funes de Variveis Complexas

Comearemos diretamente pela definio de limite.

Definio 2.9. Seja f : D C 7 C uma funo complexa de

domnio D aberto e z0 D. Dizemos que L C o limite de f(z)

quando z tende a z0, denotado limzz0

f(z) = L se, somente se para

todo > 0, existe > 0 tal que para todo z B(z0){z0} temos

f(z) B(L)

OBS 2.8. A definio acima, traduzindo em palavras, quer dizer

que se L o limite de f(z) quando z se aproxima de z0 a imagem

29

Limites de Funes de Variveis Complexas

a imagem f(z) est em uma bola arbitrariamente pequena B(L)

de centro em L.

Para ilustrar o clculo de limites usando a definio, veremos o

seguinte exemplo:

Exemplo 2.2. Seja f : C 7 C dada por: f(z) =

z3 , z 6= 0 , z = .Determinar o limite de f(z) quando z tende a .

SOLUO: Como 3 = suspeitamos que limz

f(z) = . Va-

mos comprovar, usando a definio de limite.

Para cada real positivo > 0, existe um real positivo > 0 tal

que:

z B() {} temos: f(z) B().

Podemos, de forma mais conveniente, descrever a situao acima

em termos de mdulo da seguinte forma:

z|0 < |z | < temos: |z3 + | < .

Para ter isso escrevermos:

|z3 + | = |z3 3|

= |(z )(z2 + z+ 2)|

|z |.|z2 + z+ 2| <

(2.2)

Se, temporariamente, limitarmos z de modo que |z| < 1 teremos:

|z| || |z | < 1

|z| 1 < 1

|z| < 2

(2.3)

30

Variveis Complexas AULA

2Da, teremos a seguinte limitao:|z2 + z+ 2| < |z2 + |z|+ |2|

< |z|2 + |z|||+ ||2

< 7

(2.4)

Bom, agora podemos provar o limite:

>, > 0, = min{1, /7}|z, 0 < |z | < .

Como |z | < e = min{1, /7} temos que valem ao mesmo

tempo as seguintes desigualdades:

|z | < 1 e |z | < /7.

Da primeira desigualdade garantimos a desigualdade eqn 2.3.3

que por sua vez garante a desigualdade eqn 2.4.3.

Por outro lado, da segunda desigualdade temos:

|z | < 7

|z |.7 < (2.5)

Das desigualdades eqn 2.5 e eqn 2.4.3 temos:

|z |.|z2 + z+ 2| <

|(z ).(z2 + z+ 2)| <

|z3 3| <

(2.6)

Da, temos:

>, > 0, = min{1, /7}|z, 0 < |z | < |z3 + | <

Que podemos sintetizar como:

limz

f(z) =

Teorema 2.1. Sejam D C um aberto de C, f : D C 7 C uma

funo complexa e z0 D. Se limzz0

f(z) = w0 e limzz0

f(z) = w1

ento w0 = w1.

31

Limites de Funes de Variveis Complexas

OBS 2.9. O teorema acima garante que se existe o limite de f()

em um ponto z0 ento este limite nico.

Teorema 2.2. Sejam D C um aberto de C, f : D C 7 C

uma funo complexa de componentes f(z) = f(x+y) = u(x, y)+

v(x, y), z0 = x0 +y0 D e w0 = u0 +v0 C. Ento limzz0

f(z) =

w0 se, somente se: limxx0yy0

u(x, y) = u0 e limxx0yy0

v(x, y) = v0.

Temos tambm o seguinte teorema que sintetiza algumas das pro-

priedades referentes a operaes com limites.

Teorema 2.3. Sejam D C um aberto de C, f, g : D C 7

C duas funes complexas e z0 D tais que limzz0

f(z) = f0 e

limzz0

g(z) = g0 ento:

i) limzz0

(f + g)(z) = limzz0

f(z) + limzz0

g(z) = f0 + g0

ii) limzz0

(f g)(z) = limzz0

f(z) limzz0

g(z) = f0 g0

iii) limzz0

(f.g)(z) = limzz0

f(z). limzz0

g(z) = f0.g0

iv) limzz0

(f

g

)(z) =

limzz0

f(z)

limzz0

g(z)=f0g0

se g0 6= 0

OBS 2.10. As propriedades dos limites de funes complexas re-

sumida no teorema 2.3 nostra basicamente que limites de funes

complexas tm as mesmas propriedades que funes de valores reais

quanto a operaes com limites.

2.5 Continuidade de Funes complexas

E vamos definio de imediato.

32

Variveis Complexas AULA

2Definio 2.10. Sejam D C um aberto de C, F : D C 7 Cuma funo complexa e z0 D. Dizemos que f() contnua se,

somente se:

limzz)

f(z) = f(z0)

OBS 2.11. A equao da definio acima sintetiza trs requisitos

para a continuidade de uma funo em um ponto. Primeiro a

funo tem que ser definida no ponto. Segundo o limite limzz)

f(z)