31
30 Cálculo I Profa. Adriana Cherri ________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1James Stewart e Cálculo A Flemming e Gonçalves Limites O problema da área As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando áreas eram calculadas utilizando o chamado “método da exaustão”. Naquela época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos e, em seguida, somando as áreas obtidas. Para encontrar a área de uma figura curva, o método da exaustão consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados deles. Se An é a área do polígono inscrito com n lados, à medida que aumentamos n, An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos = lim →∞ Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites. Limite de uma sequência O segundo paradoxo de Zenão (filósofo grego V a.C) diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma posição a1 e a tartaruga em t1, quando ele atingisse o ponto a2 = t1 a tartaruga estaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

Limites - fc.unesp.bradriana/calculol/Limites.pdf · Se aproximarmos a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o breve ... Limites laterais Dizemos que o limite à

Embed Size (px)

Citation preview

30 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Limites

O problema da área

As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás,

quando áreas eram calculadas utilizando o chamado “método da exaustão”. Naquela

época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em

triângulos e, em seguida, somando as áreas obtidas.

Para encontrar a área de uma figura curva, o método da exaustão consistia em

inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados

deles.

Se An é a área do polígono inscrito com n lados, à medida que aumentamos n, An

ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o

limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos

𝐴 = lim𝑛→∞

𝐴𝑛

Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites.

Limite de uma sequência

O segundo paradoxo de Zenão (filósofo grego – V a.C) diz respeito a uma corrida

entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial.

Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma

posição a1 e a tartaruga em t1, quando ele atingisse o ponto a2 = t1 a tartaruga estaria

adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga

estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a

tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

31 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições

sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, ...) e (t1, t2, t3, ...),

conhecidas como sequências.

Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem

definida. A sequência {1,1

2,

1

3,

1

4,

1

5, … } pode ser descrita pela fórmula 𝑎𝑛 =

1

𝑛.

Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real.

Observe que os termos da sequência an = 1/n tornam-se cada vez mais próximos de

0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto

desejarmos, bastando tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limite da

sequência é 0 e indicamos isso por:

lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

Em geral, a notação lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 é usada se os termos an tendem a um número L

quando n torna-se grande.

As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências {an} e {tn},

em que an < tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo

limite:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝑝 = lim𝑛→∞

𝑡𝑛

É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.

Soma de uma série

Outro paradoxo de Zenão diz: “Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode

caminhar até a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distância, depois a

metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim

por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim”.

Como naturalmente sabemos que, de fato, a pessoa pode chegar até a parede, isso

sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada

vez menores:

1 =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ⋯ +

1

2𝑛+ ⋯

32 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Se sn é a soma dos n primeiros termos da série. Temos:

𝑠1 =1

2= 0,5

𝑠2 =1

2+

1

4= 0,75

𝑠3 =1

2+

1

4+

1

8= 0,875

𝑠4 =1

2+

1

4+

1

8+

1

16= 0,9375

𝑠5 =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32= 0,96875

...

𝑠10 =1

2+

1

4+

1

8+ ⋯ +

1

1024≈ 0,99902344

...

𝑠16 =1

2+

1

4+

1

8+ ⋯ +

1

216≈ 0,99998474

À medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais

próximas de 1. Logo, é razoável dizer que a soma da série infinita é 1. A razão de a soma

da série ser 1 é que

lim𝑛→∞

𝑠𝑛 = 1

Entretanto, Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de

números.

Porém, há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo,

na notação decimal, o símbolo, 0, 3 = 0,3333 … significa

3

10+

3

100+

3

1000+

3

10000+ ⋯

O problema da tangente

A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma

tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Em outros termos, uma reta tangente

deve ter a mesma direção que a curva no ponto de contato.

Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo

uma única vez.

Para as curvas mais complicadas essa definição é inadequada. Na figura a seguir, as

retas, l e t, passam pelo mesmo P em uma curva C. A reta l intersecta (cruza) C somente

33 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

uma vez, mas certamente não se parece com uma tangente. A reta t, parece ser uma

tangente, mas intercepta C duas vezes.

Para compreendermos o problema da tangente, vamos encontrar uma equação da

reta tangente à parábola y = x2 no ponto que P (1, 1).

Solução:

Podemos encontrar uma equação da reta tangente t se soubermos sua inclinação m.

A dificuldade está no fato de conhecermos somente o ponto P, em t, quando precisamos

de dois pontos para calcular a inclinação.

Para calcular uma aproximação de m escolhemos um ponto próximo Q (x, x2) sobre

a parábola e calculamos a inclinação mPQ da reta secante PQ.

(a palavra secante vem do latim secans, significando corte, é uma linha que corta (intersecta) uma curva

mais de uma vez.)

Escolhendo x ≠ 1 para que Q ≠ P, temos 𝑚𝑃𝑄 =𝑥2−1

𝑥−1

As tabelas mostram os valores de mPQ para vários valores de x próximos a 1.

x mPQ

2

1,5

1,1

1,01

1,001

1,0001

3

2,5

2,1

2,01

2,001

2,0001

x mPQ

0

0,5

0,9

0,99

0,999

0,9999

1

1,5

1,9

1,99

1,999

1,9999

Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1 e mPQ estará

próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deve ser m = 2.

34 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Supondo que a inclinação da reta tangente seja 2, podemos escrever a equação da

tangente no ponto (1, 1) como:

y – 1 = 2(x – 1) ou y = 2x – 1

Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das retas secantes.

Simbolicamente escrevemos:

lim𝑄 → 𝑃

𝑚𝑃𝑄 = 𝑚 e lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1= 2

Graficamente, podemos observar quando Q se aproxima de P pela direita:

E pela esquerda:

O problema da velocidade

Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre,

450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos (no instante 5).

Solução:

Desprezando a resistência do ar, a distância percorrida por qualquer objeto em

queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Se a distância percorrida após

t segundos for chamada s(t) e medida em metros, então:

s (t) = 4,9t 2

A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um

único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo.

Se aproximarmos a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o

breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, a partir de t = 5 até t = 5,1, temos:

Δ𝑚 =𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜⟹

𝑠(5,1) − 𝑠(5)

0,1=

4,9(5,1)2 − 4,9(5)2

0,1= 49,49 𝑚/𝑠

35 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Resultados de cálculos da velocidade média em períodos de tempo cada vez

menores:

Intervalo de tempo Velocidade média (m/s)

5 ≤ t ≤ 6

5 ≤ t ≤ 5,1

5 ≤ t ≤ 5,05

5 ≤ t ≤ 5,01

5 ≤ t ≤ 5,001

53,9

49,49

49,245

49,049

49,0049

À medida que encurtamos o período do tempo, a velocidade média fica cada vez

mais próxima de 49 m/s.

A velocidade instantânea quando t = 5 é definida como o valor limite dessas

velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, começando em t = 5.

Logo, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é v = 49 m/s.

Limite de uma função – noções intuitivas

Seja f (x) = x2 – x + 2. Analisando o comportamento da função para valores de x

próximos de 2, temos:

x mPQ

1

1,5

1,8

1,9

1,95

1,99

1,995

1,999

2,000000

2,750000

3,440000

3,710000

3,852500

3,970100

3,985025

3,997001

x mPQ

3,0

2,5

2,2

2,1

2,05

2,01

2,005

2,001

8,000000

5,750000

4,640000

4,310000

4,152500

4,030100

4,015025

4,003001

Pelas tabelas e pelo gráfico de f, vemos que quanto mais proximo x estiver de 2 (de

qualquer lado de 2, esquerda ou direita), mais proximo f(x) estará de 4. Ainda, podemos

tornar os valores de f (x) tão próximos de 4, quanto quisermos, ao tornar x suficientemente

próximo de 2.

Expressamos isso dizendo que “o limite da função f (x) = x2 – x + 2 quando x tende a

2 é igual a 4”, ou seja:

lim𝑥 → 2

(𝑥2 − 𝑥 + 2) = 4

36 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Intuitivamente, dizemos que “o limite de f (x), quando x tende a a, e igual a L”, se é

possível tornar f (x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x ≠ a,

porém, suficientemente próximos de a. Então, escrevemos:

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

No cálculo de um limite, considerar x a significa que ao procurar o limite de f (x)

quando x tende a a, nunca consideramos x = a. Na verdade, f (x) não precisas sequer estar

definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está definida próximo de a.

Exercícios:

1) Estime o valor de lim𝑥 → 1

𝑥−1

𝑥2−1.

2) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑥) = {

𝑥−1

𝑥2−1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1

2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1.

3) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑡) = { 0, 𝑠𝑒 𝑡 < 01, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0

.

37 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Limites laterais

Dizemos que o limite à esquerda de ƒ(x) quando x tende a a (ou o limite de ƒ(x)

quando x tende a a pela esquerda) é igual a L se pudermos tornar os valores de f (x)

arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a.

Escrevemos:

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos “o limite à direita

de ƒ(x) quando x tende a a é igual a L”, e escrevemos:

lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

A notação “x 0–” indica que estamos considerando somente valores de t menores

que 0. Da mesma forma, “t 0+” indica que estamos considerando somente valores de t

maiores que 0.

lim

𝑥 → 𝑎−𝑓(𝑥) = 𝐿 lim

𝑥 → 𝑎+𝑓(𝑥) = 𝐿

Considerando os limites laterais, temos que lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿.

Exercício:

Utilize o gráfico da função g(x) para estabelecer os valores (caso existam) dos

limites:

a) lim𝑥 → 2−

𝑔(𝑥)

b) lim𝑥 → 2+

𝑔(𝑥)

c) lim𝑥 → 2

𝑔(𝑥)

d) lim𝑥 → 5−

𝑔(𝑥)

e) lim𝑥 → 5+

𝑔(𝑥)

f) lim𝑥 → 5

𝑔(𝑥)

38 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Limites infinitos

Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em

a. Então

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = ∞

significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x

suficientemente próximo de a, mas não igual a a.

Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em

a. Então

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = −∞

significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos,

tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.

Definições similares são dadas no caso de limites laterais:

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = −∞

39 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Definição: A reta x = a e chamada assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos

uma das seguintes condições estiver satisfeita:

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = −∞

A função tg (x) possui várias assíntotas verticais.

Exercício:

Encontre lim𝑥 → 3+

2𝑥

𝑥−3 e lim

𝑥 → 3−

2𝑥

𝑥−3. Verifique se existe assíntota vertical.

Cálculo dos Limites

Propriedades operatórias

Seja c uma constante e suponha que lim ( )x a

f x

e lim ( )x a

g x

existem. Então:

a) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

]

b) lim ( ) lim ( )x a x a

cf x c f x

c) lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

d) lim ( )( )

lim , desde que lim ( ) 0( ) lim ( )

x a

x a x a

x a

f xf xg x

g x g x

40 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

e) lim𝑥 → 𝑎

𝑐 = 𝑐

f) lim𝑥 → 𝑎

𝑥 = 𝑎

g) lim ( ) lim ( ) para qualquer inteiro positivo n

n

x a x af x f x n

h) lim ( ) lim ( ), se lim ( ) 0 e inteiro ou

se lim ( ) 0 e é um número inteiro positivo ímpar

n nx a x a x a

x a

f x f x f x n

f x n

i) lim ln ( ) ln[lim ( )], se lim ( ) 0x a x a x a

f x f x f x

j) lim cos ( ) cos lim( ( ))x a x a

f x f x

k) lim ( ) lim( ( ))x a x a

sen f x sen f x

l) lim ( )

( )lim x af x

f x

x ae e

Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a

estiver no domínio de f, então:

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Exercícios

1) Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g para calcular os seguintes

limites, se eles existirem.

a) lim𝑥 → −2

[𝑓(𝑥) + 5𝑔(𝑥)] b) lim𝑥 → 1

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] c) lim𝑥 → 2

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

2) Encontre os limites:

a) lim𝑥 → 2

(3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

b) lim𝑥 → 5

(2𝑥2 − 3𝑥 + 4)

41 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

c) lim𝑥 → −1

𝑥2+2𝑥−3

4𝑥−3

d) lim𝑥 → 5

√3𝑥2 − 4𝑥 + 93

Expressões Indeterminadas

São expressões que, a priori, nada pode-se afirmar sobre o valor de seus limites.

Neste caso, é necessário um trabalho algébrico para transformar a expressão em uma

equivalente a ela e, para a qual, seja possível o cálculo do limite.

• Forma indeterminada do tipo 𝟎

𝟎: ocorre se tivermos um limite da forma lim

𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥),

em que f (x) 0 e g (x) 0 quando x a.

• Forma indeterminada do tipo ∞

∞: ocorre quando temos um limite da forma

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), em que f (x) ∞ (ou - ∞) e g (x) ∞ (ou -∞) quando x a.

• Forma indeterminada do tipo 0×∞: ocorre quando temos um limite da forma

lim𝑥 → 𝑎

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)], em que lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 0 e lim𝑥 → 𝑎

𝑔(𝑥) = ∞ (ou -∞) quando x a.

• Forma indeterminada do tipo ∞ - ∞: ocorre quando temos um limite da forma

lim𝑥 → 𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)], em que lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = ∞ e lim𝑥 → 𝑎

𝑔(𝑥) = ∞ quando x a.

• Forma indeterminada do tipo 00, ∞0, 1∞: essas indeterminações surgem do limite

lim𝑥 → 𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥), quando x a.

Exercícios

1) Encontre os limites:

a) lim𝑥 → 1

𝑥2−1

𝑥−1

b) lim𝑥 → 3

𝑥2−9

𝑥−3

c) lim𝑥 → 9

√𝑥−3

𝑥−9

42 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

d) lim𝑥 → −2

𝑥3−3𝑥+2

𝑥2− 4

e) limℎ → 0

(𝑥+ℎ)2−𝑥2

f) lim𝑡 → 0

√𝑡2+9−3

𝑡2

Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então:

lim𝑥 → 0+

1

𝑥𝑛 = ∞ e lim

𝑥 → 0−

1

𝑥𝑛 = {

∞, se 𝑛 é par−∞, se 𝑛 é ímpar

Exercício:

Encontre lim𝑥 → 0+

1

𝑥2 e lim𝑥 → 0−

2𝑥2

𝑥5 .

Teorema: lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿.

Exercícios

1) Mostre que lim𝑥 → 0

|𝑥| = 0

43 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

2) Demonstre que lim𝑥 → 0

|𝑥|

𝑥 não existe.

3) Se 𝑓(𝑥) = { √𝑥 − 4, 𝑠𝑒 𝑥 > 48 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4

, determine se lim𝑥 → 4

𝑓(𝑥) existe.

4) Se 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 2

2, 𝑠𝑒 𝑥 = 2

9 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

, determine se lim𝑥 → 2

𝑓(𝑥) existe.

5) Se 𝑓(𝑥) = {|𝑥−5|

𝑥−5, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 5

5, 𝑠𝑒 𝑥 = 5, determine se lim

𝑥 → 5𝑓(𝑥) existe.

6) Verifique se o limite lim𝑥 → 3

(1 + √𝑥 − 3) existe.

44 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Teorema: Se f (x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os

limites de f e g existem quando x tende a a, então

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) ≤ lim𝑥 → 𝑎

𝑔(𝑥)

Teorema do confronto: Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto

possivelmente em a) e lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐿, então, lim𝑥 → 𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿

Exercício:

Mostre que lim𝑥 → 0

𝑥2𝑠𝑒𝑛1

𝑥 = 0.

Definição de Limites

A definição intuitiva de limite é inadequada para alguns propósitos, pois, frases

como “x está próximo de a” e “f (x) aproxima-se cada vez mais de L” são vagas.

Para chegar à definição precisa de limite, considere a função:

𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 36, 𝑠𝑒 𝑥 = 3

45 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

É intuitivamente claro que quando x está

próximo de 3, mas x ≠ 3, então f (x) está

próximo de 5 e, sendo assim,

lim𝑥 → 3

𝑓(𝑥) = 5.

Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo

de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deve estar x para que f (x) difira de

5 por menos que 0,1?

A distância de x a 3 é |x – 3| e a distância de f(x) a 5 é |f (x) – 5|, logo, o problema

consiste em achar um número tal que

|f(x) – 5| < 0,1 se |x – 3| < mas x ≠ 3

Como |x – 3| > 0 e x ≠ 3, uma formulação equivalente do problema é achar um

número tal que

|f(x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| <

Se assumirmos = (0,1)/2, então:

0 < |x – 3| < (0,1)/2 = 0,05, então |f (x) – 5| = | (2x – 1) – 5 |

= |2x – 6| = 2| x – 3 | < 2(0,05) = 0,1

Ou seja,

|f (x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| < 0,05.

Assim, uma resposta para o problema é = 0,05; isto é, se x estiver a uma distância

de no máximo 0,05 de 3, então f ( x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5.

|f(x) – 5 | < ε se 0 < |x – 3 | < = ε/2

Observe que 0 < |x – 3|< pode ser reescrita como 3 – < x < 3 + (x 3), assim

como |f (x) – 5| < ε por 5 – ε < f (x) < 5 + ε.

Definição: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número

a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f (x) quando x

tende a a é L, e escrevemos

46 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

se para todo numero ε > 0 houver um número > 0 tal que

seMM0 < |x – a| < então |f(x) – L| < ε

Podemos também reformular esta definição em termos de intervalos, observando

que a desigualdade |x – a| < é equivalente a – < x – a < , que pode ser escrita como

a – < x < a + . Além disso, 0 < |x – a| é válida se, e somente se, x – a 0, isto é, x a.

Analogamente, a desigualdade |f(x) – L| < ε é equivalente ao par de desigualdades

L – ε < f(x) < L + ε.

Portanto, em termos de intervalos, a definição pode ser enunciada como:

Pela definição de limite, se for dado qualquer intervalo pequeno (L – ε, L + ε) em

torno de L, então podemos achar um intervalo (a – , a + ) em torno de a, tal que f leve

todos os pontos de (a – , a + ) (exceto possivelmente a) para dentro do intervalo

(L – ε, L + ε).

Graficamente, temos:

Se lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, então podemos achar um número > 0 tal que, limitando x ao

intervalo (a – , a + ) e x a, a curva y = f(x) ficará entre as retas y = L – ε e y = L + ε.

Se um destes tiver sido encontrado, então qualquer outro menor também servirá.

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 se para todo ε > 0 (não importa quão pequeno ε for) podemos

achar > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a – , a + ) e x a, então

f (x) estará no intervalo aberto (L – ε, L + ε).

47 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Exercício

1) Seja f(x) = 2x + 1. Determine o intervalo que x deve pertencer, de modo que f(x)

assuma valores com afastamento máximo de 0,001 de L = 3 quando a = 1.

2) Mostre que lim𝑥 → 3

(4𝑥 − 5) = 7.

48 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

3) Mostre que lim𝑥 → 1

(5𝑥 + 1) = 6.

Definição de Limites Laterais

As definições intuitivas de limites laterais podem ser reformuladas com mais

precisão da seguinte forma.

Definição de limite à esquerda:

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que

se a – < x < a então |f (x) – L| < ε

Definição de limite à direita:

lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que

se a < x < a + então |f (x) – L| < ε

Definição de Limites Infinitos

Os limites infinitos podem também ser definidos de maneira precisa.

Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número

a, exceto possivelmente no próprio a. Então

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = ∞

49 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

significa que, para todo número positivo M, há um número positivo tal que

se 0 < |x – a| < então f (x) > M

Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número

a, exceto possivelmente no próprio a. Então

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = − ∞

significa que, para todo número negativo N, há um número positivo tal que

se 0 < |x – a| < então f (x) < N

Limites no Infinito

Seja 𝑓(𝑥) =𝑥2− 1

𝑥2+ 1 . Vamos analisar o comportamento da função f quando x assume

valores arbitrariamente grandes (positivos ou negativos).

x f(x)

± 0

± 1

± 2

± 3

± 4

± 5

± 10

± 50

± 100

± 1000

-1

0

0,600000

0,800000

0,882353

0,923077

0,980198

0,999200

0,999800

0,999998

50 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Quanto maior o valor de x, mais próximos de 1 ficam os valores de f(x). De fato,

temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto

quisermos se tonarmos um x suficientemente grande. Essa situação é expressa

simbolicamente escrevendo

lim𝑥 → ∞

𝑥2 − 1

𝑥2 + 1 = 1

Em geral, usamos a notação lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, para indicar que os valores de f (x) ficam

cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior.

Exercício

Encontre lim𝑥 → ∞

1

𝑥 e lim

𝑥 → −∞ 1

𝑥 .

Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então:

lim𝑥 → ∞

1

𝑥𝑛 = 0 e lim

𝑥 → −∞

1

𝑥𝑛 = 0

Exercício

Encontre os limites:

a) lim𝑥 → ∞

3𝑥2−𝑥−2

5𝑥2+4𝑥+1

51 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

b) lim𝑥 → ∞

2𝑥−5

𝑥+8

c) lim𝑥 → −∞

2𝑥3−3𝑥+5

4𝑥5−2

Definição: A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se

lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 ou lim𝑥 → −∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Exercícios

1) Determine a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥2 + 1 − 𝑥.

2) Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥2+1

3𝑥−5:

52 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

3) Calcule lim𝑥 → 0−

𝑒1𝑥

4) Calcule lim𝑥 → ∞

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Limites Infinitos no Infinito

Para indicar que os valores de f (x) tornam-se grandes quanto x se torna grande,

usamos a notação lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = ∞. Significados análogos são dados pelos símbolos:

lim𝑥 → −∞

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → −∞

𝑓(𝑥) = −∞

Exercícios

Encontre os limites:

a) lim𝑥 → ∞

𝑥3

b) lim𝑥 → −∞

𝑥3

c) lim𝑥 → ∞

(𝑥2 − 𝑥)

d) lim𝑥 → ∞

𝑥2+𝑥

3−𝑥

53 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ∞). Então lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que

se x > N MMentãoMM|f (x) – L| <

Graficamente:

Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (-∞, a). Então lim𝑥 → −∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que

se x < N MMentãoMM|f (x) – L| <

Graficamente:

Exercícios

Use a definição para mostrar que lim𝑥 → ∞

1

𝑥= 0.

Definição (limite infinito no infinito): Seja f uma função definida em algum intervalo

(a, ∞). Então lim𝑥 → ∞

𝑓(𝑥) = ∞ significa que para todo positivo M existe um correspondente

número positivo N tal que

se x > N MMentãoMMf (x) > M

54 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Graficamente:

Limites Fundamentais

Os limites fundamentais são utilizados para a solução de inúmeros problemas.

Exercícios:

Encontre os limites:

a) lim𝑥 → 0

𝑠𝑒𝑛 9𝑥

𝑥

b) lim𝑥 → 0

𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

c) lim𝑥 → 0

𝑡𝑔 𝑥

𝑥

lim𝑥 → 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥= 1

55 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Exercício:

Encontre lim𝑥 → ∞

(1 +1

𝑥)

𝑎𝑥+𝑏

Exercício:

1) Utilize limites laterais para mostrar que lim𝑥 → 0

(1 + 𝑥)1

𝑥 = 𝑒

2) Determine lim𝑡 → 0

𝑙𝑛(1 + 𝑡)1

𝑡

lim𝑥 → ±∞

(1 +1

𝑥)

𝑥

= 𝑒

lim𝑥 → 0

(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒

56 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Exercícios:

Encontre os limites:

a) lim𝑥 → 0

𝑎𝑥−𝑏𝑥

𝑥

b) lim𝑥 → 2

5𝑥− 25

𝑥 − 2

c) lim𝑥 → 0

23𝑥− 1

3𝑥

Continuidade

O limite de uma função quando x ao tende a a pode muitas vezes ser encontrado

simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são

chamadas de contínuas em a.

Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou

mudanças abruptas.

Definição: Uma função f é contínua em um número a se

lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

lim𝑥 → 0

𝑎𝑥 − 1

𝑥= ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

57 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Esta definição requer três verificações para a continuidade de f em a:

1. f (a) está definida (isto é, a está no domínio de f );

2. lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) existe;

3. lim𝑥 → 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um

intervalo, como uma função cujo gráfico não se quebra.

No gráfico, há uma descontinuidade quando a = 1, pois, nesse ponto, o gráfico tem

um buraco, ou seja, em 1 f (1) não está definida.

O gráfico também tem uma quebra em a = 3. A razão para a descontinuidade nesse

ponto é que f (3) está definida, mas limx3 f (x) não existe (os limites esquerdo e direito

são diferentes). Logo f é descontínua em 3.

Em a = 5 a função está definida e limx5 f (x) existe (pois o limite esquerdo e o

direito são iguais), porém, lim𝑥 → 5

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5). Logo f é descontínua em 5.

Exercícios

Verifique se as funções são contínuas:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑥−2

𝑥−2

b) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1

𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1

58 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

c) 𝑓(𝑥) = {𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

d) 𝑓(𝑥) = {𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

e) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 12 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1

59 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

f) 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥2+1

Definição: Uma função f e contínua à direita em um número a se

lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

e f e contínua à esquerda em a se

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Definição: Uma função f e contínua em um intervalo se for contínua em todos os

números do intervalo.

Teorema: Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes

funções também são contínuas em a:

1. f + g

2. f – g

3. cf

4. fg 5.

𝑓

𝑔 se g(a) ≠ 0

Teorema:

(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em ℝ = (-∞, ∞).

(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua

em seu domínio.

Exercício

Encontre lim𝑥 → −2

𝑥3+2𝑥2−1

5−3𝑥.

60 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Teorema: Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f g dada por

(f g)(x) = f (g(x)) é contínua em a.

Exercício

Verifique se a função sen(x2) é contínua.

Teorema do valor intermediário: Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado

[a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) ≠ f (b). Então existe um

número c em (a, b) tal que f (c) = N.

O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os

valores intermediários entre os valores da função f (a) e f (b).

Nos gráficos podemos observar que o valor N pode ser assumido uma ou mais

vezes.

Exercício

Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 - 6x2 + 3x – 2 = 0 entre 1 e 2.