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30 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
Limites
O problema da área
As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás,
quando áreas eram calculadas utilizando o chamado “método da exaustão”. Naquela
época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em
triângulos e, em seguida, somando as áreas obtidas.
Para encontrar a área de uma figura curva, o método da exaustão consistia em
inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados
deles.
Se An é a área do polígono inscrito com n lados, à medida que aumentamos n, An
ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o
limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos
𝐴 = lim𝑛→∞
𝐴𝑛
Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites.
Limite de uma sequência
O segundo paradoxo de Zenão (filósofo grego – V a.C) diz respeito a uma corrida
entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial.
Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma
posição a1 e a tartaruga em t1, quando ele atingisse o ponto a2 = t1 a tartaruga estaria
adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga
estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a
tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia o senso comum.
31 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições
sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, ...) e (t1, t2, t3, ...),
conhecidas como sequências.
Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem
definida. A sequência {1,1
2,
1
3,
1
4,
1
5, … } pode ser descrita pela fórmula 𝑎𝑛 =
1
𝑛.
Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real.
Observe que os termos da sequência an = 1/n tornam-se cada vez mais próximos de
0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto
desejarmos, bastando tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limite da
sequência é 0 e indicamos isso por:
lim𝑛→∞
1
𝑛= 0
Em geral, a notação lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 é usada se os termos an tendem a um número L
quando n torna-se grande.
As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências {an} e {tn},
em que an < tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo
limite:
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑝 = lim𝑛→∞
𝑡𝑛
É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.
Soma de uma série
Outro paradoxo de Zenão diz: “Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode
caminhar até a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distância, depois a
metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim
por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim”.
Como naturalmente sabemos que, de fato, a pessoa pode chegar até a parede, isso
sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada
vez menores:
1 =1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ ⋯ +
1
2𝑛+ ⋯
32 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
Se sn é a soma dos n primeiros termos da série. Temos:
𝑠1 =1
2= 0,5
𝑠2 =1
2+
1
4= 0,75
𝑠3 =1
2+
1
4+
1
8= 0,875
𝑠4 =1
2+
1
4+
1
8+
1
16= 0,9375
𝑠5 =1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32= 0,96875
...
𝑠10 =1
2+
1
4+
1
8+ ⋯ +
1
1024≈ 0,99902344
...
𝑠16 =1
2+
1
4+
1
8+ ⋯ +
1
216≈ 0,99998474
À medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais
próximas de 1. Logo, é razoável dizer que a soma da série infinita é 1. A razão de a soma
da série ser 1 é que
lim𝑛→∞
𝑠𝑛 = 1
Entretanto, Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de
números.
Porém, há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo,
na notação decimal, o símbolo, 0, 3 = 0,3333 … significa
3
10+
3
100+
3
1000+
3
10000+ ⋯
O problema da tangente
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma
tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Em outros termos, uma reta tangente
deve ter a mesma direção que a curva no ponto de contato.
Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo
uma única vez.
Para as curvas mais complicadas essa definição é inadequada. Na figura a seguir, as
retas, l e t, passam pelo mesmo P em uma curva C. A reta l intersecta (cruza) C somente
33 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
uma vez, mas certamente não se parece com uma tangente. A reta t, parece ser uma
tangente, mas intercepta C duas vezes.
Para compreendermos o problema da tangente, vamos encontrar uma equação da
reta tangente à parábola y = x2 no ponto que P (1, 1).
Solução:
Podemos encontrar uma equação da reta tangente t se soubermos sua inclinação m.
A dificuldade está no fato de conhecermos somente o ponto P, em t, quando precisamos
de dois pontos para calcular a inclinação.
Para calcular uma aproximação de m escolhemos um ponto próximo Q (x, x2) sobre
a parábola e calculamos a inclinação mPQ da reta secante PQ.
(a palavra secante vem do latim secans, significando corte, é uma linha que corta (intersecta) uma curva
mais de uma vez.)
Escolhendo x ≠ 1 para que Q ≠ P, temos 𝑚𝑃𝑄 =𝑥2−1
𝑥−1
As tabelas mostram os valores de mPQ para vários valores de x próximos a 1.
x mPQ
2
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
3
2,5
2,1
2,01
2,001
2,0001
x mPQ
0
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
1
1,5
1,9
1,99
1,999
1,9999
Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1 e mPQ estará
próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deve ser m = 2.
34 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Supondo que a inclinação da reta tangente seja 2, podemos escrever a equação da
tangente no ponto (1, 1) como:
y – 1 = 2(x – 1) ou y = 2x – 1
Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das retas secantes.
Simbolicamente escrevemos:
lim𝑄 → 𝑃
𝑚𝑃𝑄 = 𝑚 e lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1= 2
Graficamente, podemos observar quando Q se aproxima de P pela direita:
E pela esquerda:
O problema da velocidade
Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre,
450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos (no instante 5).
Solução:
Desprezando a resistência do ar, a distância percorrida por qualquer objeto em
queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Se a distância percorrida após
t segundos for chamada s(t) e medida em metros, então:
s (t) = 4,9t 2
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um
único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo.
Se aproximarmos a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o
breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, a partir de t = 5 até t = 5,1, temos:
Δ𝑚 =𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜⟹
𝑠(5,1) − 𝑠(5)
0,1=
4,9(5,1)2 − 4,9(5)2
0,1= 49,49 𝑚/𝑠
35 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Resultados de cálculos da velocidade média em períodos de tempo cada vez
menores:
Intervalo de tempo Velocidade média (m/s)
5 ≤ t ≤ 6
5 ≤ t ≤ 5,1
5 ≤ t ≤ 5,05
5 ≤ t ≤ 5,01
5 ≤ t ≤ 5,001
53,9
49,49
49,245
49,049
49,0049
À medida que encurtamos o período do tempo, a velocidade média fica cada vez
mais próxima de 49 m/s.
A velocidade instantânea quando t = 5 é definida como o valor limite dessas
velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, começando em t = 5.
Logo, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é v = 49 m/s.
Limite de uma função – noções intuitivas
Seja f (x) = x2 – x + 2. Analisando o comportamento da função para valores de x
próximos de 2, temos:
x mPQ
1
1,5
1,8
1,9
1,95
1,99
1,995
1,999
2,000000
2,750000
3,440000
3,710000
3,852500
3,970100
3,985025
3,997001
x mPQ
3,0
2,5
2,2
2,1
2,05
2,01
2,005
2,001
8,000000
5,750000
4,640000
4,310000
4,152500
4,030100
4,015025
4,003001
Pelas tabelas e pelo gráfico de f, vemos que quanto mais proximo x estiver de 2 (de
qualquer lado de 2, esquerda ou direita), mais proximo f(x) estará de 4. Ainda, podemos
tornar os valores de f (x) tão próximos de 4, quanto quisermos, ao tornar x suficientemente
próximo de 2.
Expressamos isso dizendo que “o limite da função f (x) = x2 – x + 2 quando x tende a
2 é igual a 4”, ou seja:
lim𝑥 → 2
(𝑥2 − 𝑥 + 2) = 4
36 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Intuitivamente, dizemos que “o limite de f (x), quando x tende a a, e igual a L”, se é
possível tornar f (x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x ≠ a,
porém, suficientemente próximos de a. Então, escrevemos:
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
No cálculo de um limite, considerar x a significa que ao procurar o limite de f (x)
quando x tende a a, nunca consideramos x = a. Na verdade, f (x) não precisas sequer estar
definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está definida próximo de a.
Exercícios:
1) Estime o valor de lim𝑥 → 1
𝑥−1
𝑥2−1.
2) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑥) = {
𝑥−1
𝑥2−1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1.
3) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑡) = { 0, 𝑠𝑒 𝑡 < 01, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0
.
37 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Limites laterais
Dizemos que o limite à esquerda de ƒ(x) quando x tende a a (ou o limite de ƒ(x)
quando x tende a a pela esquerda) é igual a L se pudermos tornar os valores de f (x)
arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a.
Escrevemos:
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos “o limite à direita
de ƒ(x) quando x tende a a é igual a L”, e escrevemos:
lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
A notação “x 0–” indica que estamos considerando somente valores de t menores
que 0. Da mesma forma, “t 0+” indica que estamos considerando somente valores de t
maiores que 0.
lim
𝑥 → 𝑎−𝑓(𝑥) = 𝐿 lim
𝑥 → 𝑎+𝑓(𝑥) = 𝐿
Considerando os limites laterais, temos que lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Exercício:
Utilize o gráfico da função g(x) para estabelecer os valores (caso existam) dos
limites:
a) lim𝑥 → 2−
𝑔(𝑥)
b) lim𝑥 → 2+
𝑔(𝑥)
c) lim𝑥 → 2
𝑔(𝑥)
d) lim𝑥 → 5−
𝑔(𝑥)
e) lim𝑥 → 5+
𝑔(𝑥)
f) lim𝑥 → 5
𝑔(𝑥)
38 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Limites infinitos
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em
a. Então
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞
significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x
suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em
a. Então
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = −∞
significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos,
tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
Definições similares são dadas no caso de limites laterais:
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞
39 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Definição: A reta x = a e chamada assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos
uma das seguintes condições estiver satisfeita:
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞
A função tg (x) possui várias assíntotas verticais.
Exercício:
Encontre lim𝑥 → 3+
2𝑥
𝑥−3 e lim
𝑥 → 3−
2𝑥
𝑥−3. Verifique se existe assíntota vertical.
Cálculo dos Limites
Propriedades operatórias
Seja c uma constante e suponha que lim ( )x a
f x
e lim ( )x a
g x
existem. Então:
a) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x
]
b) lim ( ) lim ( )x a x a
cf x c f x
c) lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x
d) lim ( )( )
lim , desde que lim ( ) 0( ) lim ( )
x a
x a x a
x a
f xf xg x
g x g x
40 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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e) lim𝑥 → 𝑎
𝑐 = 𝑐
f) lim𝑥 → 𝑎
𝑥 = 𝑎
g) lim ( ) lim ( ) para qualquer inteiro positivo n
n
x a x af x f x n
h) lim ( ) lim ( ), se lim ( ) 0 e inteiro ou
se lim ( ) 0 e é um número inteiro positivo ímpar
n nx a x a x a
x a
f x f x f x n
f x n
i) lim ln ( ) ln[lim ( )], se lim ( ) 0x a x a x a
f x f x f x
j) lim cos ( ) cos lim( ( ))x a x a
f x f x
k) lim ( ) lim( ( ))x a x a
sen f x sen f x
l) lim ( )
( )lim x af x
f x
x ae e
Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a
estiver no domínio de f, então:
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Exercícios
1) Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g para calcular os seguintes
limites, se eles existirem.
a) lim𝑥 → −2
[𝑓(𝑥) + 5𝑔(𝑥)] b) lim𝑥 → 1
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] c) lim𝑥 → 2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
2) Encontre os limites:
a) lim𝑥 → 2
(3𝑥2 − 5𝑥 + 2)
b) lim𝑥 → 5
(2𝑥2 − 3𝑥 + 4)
41 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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c) lim𝑥 → −1
𝑥2+2𝑥−3
4𝑥−3
d) lim𝑥 → 5
√3𝑥2 − 4𝑥 + 93
Expressões Indeterminadas
São expressões que, a priori, nada pode-se afirmar sobre o valor de seus limites.
Neste caso, é necessário um trabalho algébrico para transformar a expressão em uma
equivalente a ela e, para a qual, seja possível o cálculo do limite.
• Forma indeterminada do tipo 𝟎
𝟎: ocorre se tivermos um limite da forma lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥),
em que f (x) 0 e g (x) 0 quando x a.
• Forma indeterminada do tipo ∞
∞: ocorre quando temos um limite da forma
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥), em que f (x) ∞ (ou - ∞) e g (x) ∞ (ou -∞) quando x a.
• Forma indeterminada do tipo 0×∞: ocorre quando temos um limite da forma
lim𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)], em que lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 0 e lim𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ (ou -∞) quando x a.
• Forma indeterminada do tipo ∞ - ∞: ocorre quando temos um limite da forma
lim𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)], em que lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ e lim𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ quando x a.
• Forma indeterminada do tipo 00, ∞0, 1∞: essas indeterminações surgem do limite
lim𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥), quando x a.
Exercícios
1) Encontre os limites:
a) lim𝑥 → 1
𝑥2−1
𝑥−1
b) lim𝑥 → 3
𝑥2−9
𝑥−3
c) lim𝑥 → 9
√𝑥−3
𝑥−9
42 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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d) lim𝑥 → −2
𝑥3−3𝑥+2
𝑥2− 4
e) limℎ → 0
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ
f) lim𝑡 → 0
√𝑡2+9−3
𝑡2
Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então:
lim𝑥 → 0+
1
𝑥𝑛 = ∞ e lim
𝑥 → 0−
1
𝑥𝑛 = {
∞, se 𝑛 é par−∞, se 𝑛 é ímpar
Exercício:
Encontre lim𝑥 → 0+
1
𝑥2 e lim𝑥 → 0−
2𝑥2
𝑥5 .
Teorema: lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Exercícios
1) Mostre que lim𝑥 → 0
|𝑥| = 0
43 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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2) Demonstre que lim𝑥 → 0
|𝑥|
𝑥 não existe.
3) Se 𝑓(𝑥) = { √𝑥 − 4, 𝑠𝑒 𝑥 > 48 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
, determine se lim𝑥 → 4
𝑓(𝑥) existe.
4) Se 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
9 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
, determine se lim𝑥 → 2
𝑓(𝑥) existe.
5) Se 𝑓(𝑥) = {|𝑥−5|
𝑥−5, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 5
5, 𝑠𝑒 𝑥 = 5, determine se lim
𝑥 → 5𝑓(𝑥) existe.
6) Verifique se o limite lim𝑥 → 3
(1 + √𝑥 − 3) existe.
44 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Teorema: Se f (x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os
limites de f e g existem quando x tende a a, então
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) ≤ lim𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥)
Teorema do confronto: Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto
possivelmente em a) e lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿, então, lim𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿
Exercício:
Mostre que lim𝑥 → 0
𝑥2𝑠𝑒𝑛1
𝑥 = 0.
Definição de Limites
A definição intuitiva de limite é inadequada para alguns propósitos, pois, frases
como “x está próximo de a” e “f (x) aproxima-se cada vez mais de L” são vagas.
Para chegar à definição precisa de limite, considere a função:
𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 36, 𝑠𝑒 𝑥 = 3
45 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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É intuitivamente claro que quando x está
próximo de 3, mas x ≠ 3, então f (x) está
próximo de 5 e, sendo assim,
lim𝑥 → 3
𝑓(𝑥) = 5.
Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo
de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deve estar x para que f (x) difira de
5 por menos que 0,1?
A distância de x a 3 é |x – 3| e a distância de f(x) a 5 é |f (x) – 5|, logo, o problema
consiste em achar um número tal que
|f(x) – 5| < 0,1 se |x – 3| < mas x ≠ 3
Como |x – 3| > 0 e x ≠ 3, uma formulação equivalente do problema é achar um
número tal que
|f(x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| <
Se assumirmos = (0,1)/2, então:
0 < |x – 3| < (0,1)/2 = 0,05, então |f (x) – 5| = | (2x – 1) – 5 |
= |2x – 6| = 2| x – 3 | < 2(0,05) = 0,1
Ou seja,
|f (x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| < 0,05.
Assim, uma resposta para o problema é = 0,05; isto é, se x estiver a uma distância
de no máximo 0,05 de 3, então f ( x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5.
|f(x) – 5 | < ε se 0 < |x – 3 | < = ε/2
Observe que 0 < |x – 3|< pode ser reescrita como 3 – < x < 3 + (x 3), assim
como |f (x) – 5| < ε por 5 – ε < f (x) < 5 + ε.
Definição: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número
a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f (x) quando x
tende a a é L, e escrevemos
46 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
se para todo numero ε > 0 houver um número > 0 tal que
seMM0 < |x – a| < então |f(x) – L| < ε
Podemos também reformular esta definição em termos de intervalos, observando
que a desigualdade |x – a| < é equivalente a – < x – a < , que pode ser escrita como
a – < x < a + . Além disso, 0 < |x – a| é válida se, e somente se, x – a 0, isto é, x a.
Analogamente, a desigualdade |f(x) – L| < ε é equivalente ao par de desigualdades
L – ε < f(x) < L + ε.
Portanto, em termos de intervalos, a definição pode ser enunciada como:
Pela definição de limite, se for dado qualquer intervalo pequeno (L – ε, L + ε) em
torno de L, então podemos achar um intervalo (a – , a + ) em torno de a, tal que f leve
todos os pontos de (a – , a + ) (exceto possivelmente a) para dentro do intervalo
(L – ε, L + ε).
Graficamente, temos:
Se lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, então podemos achar um número > 0 tal que, limitando x ao
intervalo (a – , a + ) e x a, a curva y = f(x) ficará entre as retas y = L – ε e y = L + ε.
Se um destes tiver sido encontrado, então qualquer outro menor também servirá.
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se para todo ε > 0 (não importa quão pequeno ε for) podemos
achar > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a – , a + ) e x a, então
f (x) estará no intervalo aberto (L – ε, L + ε).
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Exercício
1) Seja f(x) = 2x + 1. Determine o intervalo que x deve pertencer, de modo que f(x)
assuma valores com afastamento máximo de 0,001 de L = 3 quando a = 1.
2) Mostre que lim𝑥 → 3
(4𝑥 − 5) = 7.
48 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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3) Mostre que lim𝑥 → 1
(5𝑥 + 1) = 6.
Definição de Limites Laterais
As definições intuitivas de limites laterais podem ser reformuladas com mais
precisão da seguinte forma.
Definição de limite à esquerda:
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que
se a – < x < a então |f (x) – L| < ε
Definição de limite à direita:
lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que
se a < x < a + então |f (x) – L| < ε
Definição de Limites Infinitos
Os limites infinitos podem também ser definidos de maneira precisa.
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número
a, exceto possivelmente no próprio a. Então
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞
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significa que, para todo número positivo M, há um número positivo tal que
se 0 < |x – a| < então f (x) > M
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número
a, exceto possivelmente no próprio a. Então
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = − ∞
significa que, para todo número negativo N, há um número positivo tal que
se 0 < |x – a| < então f (x) < N
Limites no Infinito
Seja 𝑓(𝑥) =𝑥2− 1
𝑥2+ 1 . Vamos analisar o comportamento da função f quando x assume
valores arbitrariamente grandes (positivos ou negativos).
x f(x)
± 0
± 1
± 2
± 3
± 4
± 5
± 10
± 50
± 100
± 1000
-1
0
0,600000
0,800000
0,882353
0,923077
0,980198
0,999200
0,999800
0,999998
50 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Quanto maior o valor de x, mais próximos de 1 ficam os valores de f(x). De fato,
temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto
quisermos se tonarmos um x suficientemente grande. Essa situação é expressa
simbolicamente escrevendo
lim𝑥 → ∞
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1 = 1
Em geral, usamos a notação lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, para indicar que os valores de f (x) ficam
cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior.
Exercício
Encontre lim𝑥 → ∞
1
𝑥 e lim
𝑥 → −∞ 1
𝑥 .
Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então:
lim𝑥 → ∞
1
𝑥𝑛 = 0 e lim
𝑥 → −∞
1
𝑥𝑛 = 0
Exercício
Encontre os limites:
a) lim𝑥 → ∞
3𝑥2−𝑥−2
5𝑥2+4𝑥+1
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b) lim𝑥 → ∞
2𝑥−5
𝑥+8
c) lim𝑥 → −∞
2𝑥3−3𝑥+5
4𝑥5−2
Definição: A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se
lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ou lim𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Exercícios
1) Determine a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥2 + 1 − 𝑥.
2) Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥2+1
3𝑥−5:
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3) Calcule lim𝑥 → 0−
𝑒1𝑥
4) Calcule lim𝑥 → ∞
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Limites Infinitos no Infinito
Para indicar que os valores de f (x) tornam-se grandes quanto x se torna grande,
usamos a notação lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = ∞. Significados análogos são dados pelos símbolos:
lim𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = −∞
Exercícios
Encontre os limites:
a) lim𝑥 → ∞
𝑥3
b) lim𝑥 → −∞
𝑥3
c) lim𝑥 → ∞
(𝑥2 − 𝑥)
d) lim𝑥 → ∞
𝑥2+𝑥
3−𝑥
53 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ∞). Então lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que
se x > N MMentãoMM|f (x) – L| <
Graficamente:
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (-∞, a). Então lim𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que
se x < N MMentãoMM|f (x) – L| <
Graficamente:
Exercícios
Use a definição para mostrar que lim𝑥 → ∞
1
𝑥= 0.
Definição (limite infinito no infinito): Seja f uma função definida em algum intervalo
(a, ∞). Então lim𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = ∞ significa que para todo positivo M existe um correspondente
número positivo N tal que
se x > N MMentãoMMf (x) > M
54 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Graficamente:
Limites Fundamentais
Os limites fundamentais são utilizados para a solução de inúmeros problemas.
Exercícios:
Encontre os limites:
a) lim𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛 9𝑥
𝑥
b) lim𝑥 → 0
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
c) lim𝑥 → 0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
lim𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥= 1
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Exercício:
Encontre lim𝑥 → ∞
(1 +1
𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
Exercício:
1) Utilize limites laterais para mostrar que lim𝑥 → 0
(1 + 𝑥)1
𝑥 = 𝑒
2) Determine lim𝑡 → 0
𝑙𝑛(1 + 𝑡)1
𝑡
lim𝑥 → ±∞
(1 +1
𝑥)
𝑥
= 𝑒
lim𝑥 → 0
(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒
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Exercícios:
Encontre os limites:
a) lim𝑥 → 0
𝑎𝑥−𝑏𝑥
𝑥
b) lim𝑥 → 2
5𝑥− 25
𝑥 − 2
c) lim𝑥 → 0
23𝑥− 1
3𝑥
Continuidade
O limite de uma função quando x ao tende a a pode muitas vezes ser encontrado
simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são
chamadas de contínuas em a.
Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou
mudanças abruptas.
Definição: Uma função f é contínua em um número a se
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
lim𝑥 → 0
𝑎𝑥 − 1
𝑥= ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
57 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Esta definição requer três verificações para a continuidade de f em a:
1. f (a) está definida (isto é, a está no domínio de f );
2. lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) existe;
3. lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um
intervalo, como uma função cujo gráfico não se quebra.
No gráfico, há uma descontinuidade quando a = 1, pois, nesse ponto, o gráfico tem
um buraco, ou seja, em 1 f (1) não está definida.
O gráfico também tem uma quebra em a = 3. A razão para a descontinuidade nesse
ponto é que f (3) está definida, mas limx3 f (x) não existe (os limites esquerdo e direito
são diferentes). Logo f é descontínua em 3.
Em a = 5 a função está definida e limx5 f (x) existe (pois o limite esquerdo e o
direito são iguais), porém, lim𝑥 → 5
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5). Logo f é descontínua em 5.
Exercícios
Verifique se as funções são contínuas:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
b) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
58 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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c) 𝑓(𝑥) = {𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
d) 𝑓(𝑥) = {𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
e) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 12 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
59 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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f) 𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥2+1
Definição: Uma função f e contínua à direita em um número a se
lim𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
e f e contínua à esquerda em a se
lim𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Definição: Uma função f e contínua em um intervalo se for contínua em todos os
números do intervalo.
Teorema: Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes
funções também são contínuas em a:
1. f + g
2. f – g
3. cf
4. fg 5.
𝑓
𝑔 se g(a) ≠ 0
Teorema:
(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em ℝ = (-∞, ∞).
(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua
em seu domínio.
Exercício
Encontre lim𝑥 → −2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥.
60 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
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Teorema: Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f g dada por
(f g)(x) = f (g(x)) é contínua em a.
Exercício
Verifique se a função sen(x2) é contínua.
Teorema do valor intermediário: Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado
[a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) ≠ f (b). Então existe um
número c em (a, b) tal que f (c) = N.
O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os
valores intermediários entre os valores da função f (a) e f (b).
Nos gráficos podemos observar que o valor N pode ser assumido uma ou mais
vezes.
Exercício
Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 - 6x2 + 3x – 2 = 0 entre 1 e 2.