Line Ariza Cao

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experimental I

Text of Line Ariza Cao

  • 1

    LINEARIZAO DE GRFICOS

    Fsica Bsica Experimental I

    Departamento de Fsica / UFPR

    Processo de Linearizao de Grficos

    O que linearizao ?

    procedimento para tornar uma curva que no uma reta em uma reta.

    encontrar uma relao entre duas variveis, que satisfaa a equao da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ).

    Por que linearizar ?

    A anlise de uma reta mais simples que a anlise de uma curva.

    O processo de linearizao facilita a determinao das leis fsicas que governam o experimento que gerou os dados.

    ax b y +=

  • 2

    Mtodos de Linearizao

    tt

    1) Troca de variveis

    A equao que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida.

    A troca de variveis permite converter uma equao de uma curva numa equao de reta.

    Exemplo:

    onde

    Obs: Nem todas as equaes podem ser convertidas de forma til.

    bax y 2 += bxa y += xx 2=

    Mtodos de Linearizao

    2) Uso de papis especiais: mono-log e di-log

    Quando um grfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim possvel obter, em casos especficos, grficos lineares usando papis mono e di-log.

    Este mtodo se aplica quando a equao que governa o comportamento dos dados no conhecida.

    Funciona por tentativa e erro. Os softwares matemticos permitem a troca das escalas linear para logartmica facilitando o processo.

  • 3

    Mtodos de Linearizao

    Tipos de Papis:

    milimetrado mono-log di-log

    Es

    cala

    log

    ar

    tmic

    a

    Es

    cala

    log

    ar

    tmic

    a

    Escala logartmica

    1) Mtodo das mudanas de variveis: Exemplo 1

    Grfico das funes do tipo:

    cbxax (x)y 2 ++=

    2

    2

    2

    2

    x2 (x)y:)d(

    20x2 (x)y:)c(

    x10x2 (x)y:)b(

    20x10x2 (x)y:)a(

    =

    +=

    =

    +=

    linearizao

    Mudana de varivel

    2x x =

    x2 (x)y)d( =

    20x2 (x)y)c( +=

    0 20 40 60 80 100

    0

    5 0

    1 00

    1 50

    2 00

    2 50

    Y (

    cm)

    X' (cm2)

    c' d'

    0 2 4 6 8 10

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    Y (

    cm)

    X (cm)

    (a) (b) (c) (d)

    (x) bxay +=

  • 4

    Mudana de variveis: Exemplo 2

    Grfico das funes do tipo:

    X/a (X)Y =

    X/10 (X)Y =

    linearizao

    Mudana de varivel

    X1

    X =

    X10 )X(Y =

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

    2

    4

    6

    8

    10

    Y (

    cm)

    X' (cm-1)

    0 2 4 6 8 100

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Y (c

    m)

    X (cm)

    bXaY += (X )

    ?

    Mudana de variveis: Exemplo 3

    Grfico da funo: Grfico linearizado

    onde

    Br

    10X2 Y = 10X2 Y =

    X X =

    Linearizao

    0 20 40 60 80 100-10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Y (

    cm1

    /2)

    X (cm)

    0 2 4 6 8 10-10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Y (

    cm

    1/2)

    X' (cm1/2

    )

    bXaY += (X )

  • 5

    2) Uso de Papis especiais: Monolog e Dilog

    Os papis com escala logartmica so utilizados para linearizar funes exponenciais

    2.1) Papel monolog

    Ae Y BX=

    e2 Y X8,0=

    Papel milimetrado Papel monolog

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

    5

    10

    15

    20

    25

    Y (

    cm)

    X (cm)

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01

    10

    100

    (X1,Y

    1)

    (X2,Y2)

    Y (c

    m)

    X (cm)

    No Papel monolog:

    O coef. Angular (A) obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) do grfico

    O coef. Linear lido diretamente no grfico para X = 0:

    12

    12

    XX

    YY

    X

    YA

    =

    =

    )0(YB =

    )Yln(Y =

  • 6

    Papel monolog (cont.)

    Para linearizar em papel milimetrado

    Comparando com a equao da reta

    Ae Y BX= ( ) ( ) BXBX elnAln Aeln Yln +==

    ( ) BXAln Yln +=

    XAB Y +=

    Y)(ln Y =

    linear coef.Aln B ==

    angular coef.B A ==

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,5

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    ln(Y

    )

    X (cm)

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

    5

    10

    15

    20

    25

    Y (

    cm)

    X (cm)

    Uso de papis especiais:

    2.2) Papel dilog

    AX Y B=

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    0,0

    0,5

    1,0

    1,5

    2,0

    Y (

    cm)

    X (cm)

    Papel milimetrado Papel dilog

    0,01 0,1 11E-5

    1E-4

    1E-3

    0,01

    0,1

    1(X

    2,Y

    2)

    (X1,Y1)

    Y (

    cm)

    X (cm)

    X2 Y 4,2=

  • 7

    No Papel dilog:

    O coef. Angular (A) obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) no grfico

    O coef. Linear obtido aps a linearizao da eq. exponencial:

    Comparando com a equao da reta

    Assim:

    Para achar o coef. linear

    12

    12

    XX

    YY

    X

    YA

    =

    AX Y B=

    ( ) ( ) ( ) ( ) XlogAlogAXlog Ylog BB +==

    ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=

    XAB Y +=

    ( )YlogY =

    ( ) Xlog X =

    ( ) Alog B =

    B A = ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog 11 +=

    )Yln(Y = )Xln(X =

    Papel dilog (cont.)

    Para linearizar em papel milimetrado:

    Aps a linearizao:

    ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=

    XAB Y +=

    ( )YlogY =

    ( ) Xlog X =

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    0,0

    0,5

    1,0

    1,5

    2,0

    Y (

    cm)

    X (cm)

    -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0-5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    log

    (Y

    )

    log (X)

    ( ) Alog B =

    B A =

    Papel milimetradoPapel milimetrado

  • 8

    Exemplo de confeco de grfico, linearizao e ajuste de reta

    Dados obtidos: Objetivo: Determinar a acelerao a partir das medidas de V e X.

    X (cm) 0 15 30 45 60 75 90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

    1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades

    Por exemplo, no SI.

    2) Fazer o grfico: V versus X

    X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    0,5

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    V (

    m/s

    )

    X (m)

    No reta!!!

  • 9

    3) Fazer a linearizao:

    necessrio conhecer a equao que relaciona as variveis V e X

    Anlise: Este problema um problema tpico de cinemtica, que envolve

    acelerao constante, ou seja, MRUV.

    As equaes do MRUV so:

    A equao que relaciona V com X :

    como

    2

    attVX X

    2

    00 ++=

    atV V 0 +=

    Xa2V V 202

    += 0XX X =

    aX2V V 202 += 0X0 =

    X X =

    3) Fazer a linearizao (cont):

    Comparar com a equao da reta e fazer a mudana de varivel.

    Assim:

    coef. linear:

    coef. angular:

    aX2V V 202

    +=

    XAB Y +=

    X X =

    20VB =

    a2A =

    BV0 =

    2A

    a =

    2V Y =

  • 10

    4) Montar uma tabela com as variveis linearizadas V2 e X.

    5) Fazer o grfico linearizado, isto , o grfico de V2 versus X

    X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Y (

    m2 /

    s2)

    X (m)

    2V Y =

    6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ

    Calculando o coeficiente angular:

    X V2 Xi Yi Xi

    2 XiYi 0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035

    3,15 38,53761 2,04750 24,54164

    ( )

    =2

    i

    2

    i

    iiii

    XXN

    Y.XY.XN A

    22 m/s 42813,11)15,3(04750,2753761,3815,354164,247

    A =

    =

  • 11

    6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)

    Calculando o coeficiente linear B:

    Comparar os coeficientes e

    calcular a acelerao:

    calcular a velocidade inicial V0:

    XAB Y +=NY

    Y i

    =NX

    X i

    =

    7/)15,342813,1153761,38(XA YB ==

    22 /sm 36271,0B =

    2/42813,112/Aa == 2m/s 71407,5a =

    36271,0BV0 == m/s 60225,0V0 =

    7) Desenhar a melhor reta no grfico

    Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equao da melhor reta calcular Y1 e Y2

    Exemplo:

    pontos da melhor reta: Grfico com a melhor reta

    X42813,1136271,0 Y +=

    20,0 X1 =

    0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Pontos da melhor reta

    Y =0,36271+11,42813 X

    Y (m

    2 /s2 )

    X (m)

    64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1 =+=

  • 12

    FIM