Linearização GRAFICOS

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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Apostila de Física Experimental A – Prof. Paulo César de Souza

http://fisica.uems.br

2 Representação Gráfica

Quando temos que manipular grande quantidade de informação é

necessário o uso de gráficos. Isso se torna mandatário para a correta análise e

compreensão das grandezas envolvidas. Note que uma grande quantidade de

informação seja ele na forma de dados experimentais ou em qualquer outra

forma implica em conhecimento. Necessitamos analisar essa coleção de

dados e, para isso, utilizamos a representação por gráficos. Assim, a relação

entre quaisquer grandezas envolvidas pode ser facilmente detectada.

2.1 Escala

O primeiro passo a ser determinado na construção de um gráfico é a

escala de representação dos dados. Toda escala possui um passo, ou seja,

um segmento de reta delimitado entre dois traços perpendiculares ao

segmento.

Figura 2-1 Definição de passo e degrau num gráfico de representação de uma grandeza

física, i.e. a massa.

Na Figura 2-1 apresentamos a definição de passo que é a menor distância

real entre duas marcas seqüentes no segmento de reta. Como visto na figura

0 10 20 30 m (g)

passo = 1cm

degrau = 5g

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em questão existe uma grandeza física associada a escala, assim esses dois

traços consecutivos dá-se o nome de degrau. Desta feita temos:

passo 1 cm 1 cm

gdegrau 5 g 5M = = = (1.3)

Figura 2-2 Exemplo de gráfico linear e logarítmico. Note que no gráfico linear o passo e

o degrau são facilmente determinados. Na escala logarítmica o degrau pode ser

determinado facilmente, mas o passo segue geometricamente uma função do tipo log.

17




1 10 2 3 4 5 6 7 8 9

Assim, a cada variação de distância no papel temos uma variação na grandeza

física medida – a cada 1 cm tem-se 5 g. Na parte inferior da Figura 2-2

apresentamos um gráfico do movimento de um móvel em função do tempo

onde é assinalado os passos e degraus de cada eixo coordenado.

O passo de uma escala pode ser linear ou não. Os tipos mais comuns

de escalas são a linear e logarítmica mostrados na Figura 2-2 nas partes

inferior e superior, respectivamente. Observe que na escala logarítmica o

degrau pode ser determinado facilmente,mas o passo segue geometricamente

uma função do tipo log, veja Figura 2-3.

Para facilitar a construção gráfica a leitura dos valores numa escala

logarítmica é direta ao invés dos seus logaritmos, conforme Figura 2-3. Veja

que uma unidade corresponde ao intervalo entre duas potências sucessivas de

dez† (log10[10n]-log10[10n-1]=n-n+1=1).

Na Figura 2-4 podemos averiguar com mais detalhe como as escalas se

relacionam entre si. No eixo das ordenadas temos uma escala linear cujo

espaçamento é linear nas divisões apresentadas inclusive nos números

delimitando cada ordenada, e.g. 0,8 0,7 0,1− = . No eixo das abscissas os

espaçamentos seguem uma função logarítmica (geometricamente) e os

números que delimitam cada divisão não. Observe que cada ponto do gráfico o

número apresentado na abscissa tem seu logaritmo correspondente na

ordenada.

† Pela simplicidade os gráficos log utilizam a potência 10. Mas você pode inventar a sua.

Figura 2-3 Exemplo de uma escala log. Observe que os espaçamentos seguem uma

função log. A escala começa em 1, pois log(1) = 0. Observe que a distância entre dois

números no eixo é proporcional à diferença dos seus logaritmos.

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Abscissa

(Log)

Ordenada

(Linear)

0,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

Escala

Lin

ear

Escala Logarítimica

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,30103

0,47712

0,60206

0,69897

0,77815

0,8451

0,90309

0,95424

1

Figura 2-4 Comparação entre as escalas linear e logarítmica (base 10). Ao lado temos

uma tabela de comparação dos valores na escala logarítmica (abscissa) e linear

(ordenada). Observe que na escala linear os resultados assinalados são resultados da

aplicação da função log nos números da escala logarítmica.

2.1.1 Regras práticas de construção de um gráfico

Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável

representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma

escala conveniente para a qual o gráfico represente bem o intervalo medido

para cada variável. A regra prática para esta definição é dividir a faixa de

variação de cada variável pelo número de divisões principais disponíveis é:

Arredondar para o múltiplo mais próximo 1, 2 ou 5.U

xC

∆= →

∆ (1.4)

aqui U∆ é a variação de unidades dos dados e C∆ é a variação na escala

disponível. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil

leitura. Estes valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer

múltiplo ou submúltiplo de 10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a

faixa de variação dos dados for de 35 unidades e o número de cm disponíveis

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for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 unidades para cada divisão do

gráfico, pois Múltiplo mais próximo353,5 5

10= → .

Apresentamos abaixo um exemplo de um gráfico:

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4520

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220V

elo

cid

ad

e (

km/h

)

Tempo (s)

Figura 2-5 Velocidade de um automóvel acelerando. Aqui ∆∆∆∆C= 10 cm e ∆∆∆∆U= 35 s, portanto

Múltiplo mais próximo3,5 5U

C

∆= →

∆.

Na Tabela 2-1 estão dispostos os pontos experimentais apresentados no

gráfico na Figura 2-5. Observe que na coluna das velocidades há uma

incerteza em cada medida. E essa incerteza é apresentada no gráfico anterior

como uma barra vertical indicando valores acima e abaixo do valor da

velocidade.

20




Tabela 2-1 Velocidade (v) medida em função do

tempo (t), para um automóvel acelerando.

t(s) v(km/h)

0 42 ± 7

5 67 ± 7

10 101 ± 7

15 134 ± 7

20 161 ± 7

25 183 ± 7

30 196 ± 7

35 200 ± 7

2.2 Análise Gráfica

O gráfico cartesiano é composto de duas retas ortogonais ou

perpendiculares. O ponto de intersecção das retas ou semi-retas é o ponto de

origem do gráfico que nem sempre se identifica com a origem das escalas. A

escala horizontal é chamada de eixo das abscissas e a vertical de eixo das

ordenadas. Através de um par de coordenadas um ponto é estabelecido no

gráfico. Esse ponto pode representar a medida de duas grandezas físicas.

Uma reta, conforme mostrado na Figura 2-6, é caracterizada pela

relação linear entre um par de pontos no gráfico cartesiano, isto é

y a bx= + (1.5)

a é o coeficiente linear e b é o coeficiente angular da equação. O coeficiente

angular é numericamente igual a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo

das abscissas:

numericamente igual2 1

2 1

tany yy

bx x x

θ−∆

= = →∆ −

(1.6)

21




e quando a abscissa se anula temos o coeficiente linear:

0x y a= → = (1.7)

O coeficiente linear também pode ser obtido da equação (1.5) com um ponto

qualquer da reta, e.g. (x1, y1):

1 1a y bx= − (1.8)

Figura 2-6 Elementos no plano cartesiano necessários para a determinação de uma reta.

2.3 Linearização

Analisar uma grande quantidade de pontos experimentais é uma tarefa

árdua e dispor esses pontos experimentais num gráfico facilita a compreensão

da situação.

∆y=y2-y1

∆x=x2-x1

x1 x2

y1

y2

θ

Eixo y

(Ordenada)

Eixo x

(Abscissa)

22




2.3.1 Linearização de polinômios

É comprovado cientificamente que nosso cérebro facilmente identifica uma

curva de uma reta; funções do tipo x2 e x4 não são perceptíveis.

Para funções polinomiais do tipo:

( ) By x Ax C= + (1.9)

Resulta numa reta se fazemos a seguinte substituição de variáveis:

( )Bz x y z Az C= → = + (1.10)

Assim, fazendo-se o gráfico da função da equação (1.10) os coeficientes A e

C são determinados prontamente.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0

50

100

150

200

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0

50

100

150

200

h (

cm)

z (s2)

θ

h(c

m)

t(s)

Figura 2-7 Gráfico linearizado de um objeto em queda livre com a mudança de variável

z=t2. No gráfico interior podemos observar o gráfico dos pontos originais.

23




Tabela 2-2 Altura (h) em

função do tempo (t) para

um objeto em queda livre.

t(s) h(cm) z=t2 (s

2)

0,01 200 0,0001

0,225 173 0,051

0,319 151 0,102

0,390 124 0,152

0,450 99 0,203

0,504 76 0,254

0,552 48 0,305

0,596 26 0,355

0,637 1 0,406

Na Tabela 2-2 apresentamos os pontos experimentais da Figura 2-7. A

partir desse gráfico podemos determinar os coeficientes da reta, isto é

2

2-4,9 10 cms

A = × e 22,0 10C cm= × .

2.3.2 Linearização de funções especiais

Se a função for do tipo xy C eβ= ⋅ (‡) é facilmente linearizada pela função ln,

i.e. a função logaritmo natural ou neperiano:

( )ln ln lnxy C e C xβ β= ⋅ = + (1.11)

Um outro tipo de função pode ser By A x= ⋅ que pode ser linearizada pela

aplicação da função log:

( )log log log logBy A x A B x= ⋅ = + ⋅ (1.12)

Após a aplicação da função ln ou log nas funções acima os pontos passam

a descrever uma reta.

‡ O numero transcendental e equivale a: 2,7182818284590452353602874713527...e =

24




Na equação (1.11) os dados do eixo das ordenadas descrevem uma

função ln e o eixo das abscissas descrevem uma função linear em x. Se

colocamos os pontos dessa função num papel do tipo mono-log teremos uma

reta.

Tabela 2-3 Exemplo de valores de uma função

exponencial.

x(cm) T/T0 ln (T/T0) 0,0 1,0 0 0,4 0,801 −0,222 1 0,606 −0,501

1,4 0,473 −0,749 2,0 0,341 −1,076 4,0 0,127 −2,064 4,4 0,102 −2,280 7,5 0,0165 −4,104

Na Tabela 2-3, apresentamos os dados para um decaimento

exponencial, e na mesma tabela já incluímos os valores do logaritmo da

ordenada.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 80,01

0,1

1

T/T

0

x (cm)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

0

∆x=-7,4

ln(T

/T0)

x (cm)

∆ln(T/T0)=4

Figura 2-8 Gráfico dos dados da Tabela 2-3 da transmissão normalizada. A esquerda a

transmissão T/T0 (segunda coluna) é graficada diretamente na escala mono-log e a

direita temos o gráfico linearizado ln (T/T0) (terceira coluna) em papel milimetrado.

Graficando-se os dados desta tabela (Figura 2-8) podemos verificar a

linearização da curva, indicando que a exponencial é uma boa aproximação

25




para estes pontos. Os parâmetros β e ln C são dados, respectivamente, pelo

coeficiente angular e pelo termo constante da reta. Do gráfico (a direita),

obtemos:

β = −0, 54 cm−1 e C = 1. (1.13)

Podemos obter os mesmos valores diretamente do gráfico da Figura 2-8

(esquerda) lembrando que o papel é log na base 10. Para que possamos obter

o mesmo resultado tomamos (por exemplo) dois pontos (1º. e o ultimo), então o

coeficiente angular β´ nessa escala será:

-1log1 log 0,0165´ 0,2377...cm

7,5 0β

−= ≅ −

− (1.14)

Essa discrepância com o valor apresentado na equação (1.13) é devido ao log

ser na base 10, portanto:

-1´0,54 cm

log e

ββ = = (1.15)

Na Tabela 2-4 temos os pontos apresentados no gráfico da Figura 2-8.

Um exemplo muito ilustrativo na obtenção do coeficiente de atenuação

de um gráfico exponencial é mostrado na Figura 2-9. Nesse gráfico temos

todos os passos para a obtenção desse coeficiente e sua correção devida a

Tabela 2-4 Comprimento (L)

e período (T) do pêndulo.

L(cm) ±0,1 T(s) ±0,01

10,0 0,72

40,0 1,13

70,0 1,75

100,0 1,95

130,0 2,42

160,0 2,46

190,0 2,82

26




escala logarítmica ser na base 10. Uma outra forma de encontrar o resultado

da expressão log logf

Y Y− é medir Y∆ e L (medida de uma década) com uma

régua, a razão Y

L

∆ é o resultado quisto, conforme mostrado na Figura 2-9.

Figura 2-9 Gráfico exemplo de obtenção do coeficiente b de atenuação da função

bXY A e= ⋅ . Note que o coeficiente deve ser corrigido conforme equação (1.15). O

resultado logb e⋅ pode ser obtido através da razão Y

L X

∆

⋅ ∆com as medidas de Y∆ e L

obtidas através de uma régua.

1

20

30

4

50

100

200

30

0 10 20 30 40 50 60 70 t (s)

T (oC)

f iX X X∆ = −

f iY Y Y∆ = −

bXY A e= ⋅

-1

-1

log loglog

log 20 log100

71 10

0,012 s

0,027s

f i

f i

Y YYb e

X X X

b

−∆⋅ = =

∆ −

−=

−

≅ −

∴ ≅ −

A=160º

L

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