Linguagem Matemática: Em Roma, Fale como Os Romanos ......Linguagem Matemática: Em Roma, Fale como Os Romanos; Em Matemática, Fale como Os Matemáticos Anne Michelle Dysman Gomes

Linguagem Matemática:Em Roma, Fale como Os Romanos;

Em Matemática, Fale como Os Matemáticos

Anne Michelle Dysman Gomes e Humberto José Bortolossi

Instituto de Matemática e Estatística

Universidade Federal Fluminense

VI Bienal da Sociedade Brasileira de MatemáticaUNICAMP

5 a 7 de dezembro de 2012

UFF Linguagem Matemática 1

Origem

Disciplina de Pré-Cálculo do Departamento de Matemática daPUC-Rio:

Gilda PalisIaci MaltaSinésio PescoHélio Lopes


Parte 1


Elementos de Lógica e LinguagemMatemáticas


O significado das palavras

linguagem do cotidiano6=

linguagem matemática


O significado das palavras

linguagem do cotidiano6=

linguagem matemática


Exemplo

João disse que:

Se

eu viajar para a região Sul do Brasil

,

então

eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.

A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!


Exemplo

João disse que:

Se

eu viajar para a região Sul do Brasil,

então




Exemplo

João disse que:

Se


então




Exemplo

João disse que:

Se


então

eu visitarei o estado do Paraná

oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.



Exemplo

João disse que:

Se


então

eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina

oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.



Exemplo

João disse que:

Se


então

eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul

oueu visitarei o estado da Bahia.



Exemplo

João disse que:

Se


então




Exemplo

João disse que:

Se


então




Exemplo

João disse que:

Se


então




Exemplo

João disse que:

Se


então




Exemplo

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?

Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.

Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!


Exemplo





Exemplo





Exemplo


Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar.

Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é falsa!


Exemplo





Exemplo





Exemplo

O pai de João disse que:

Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.

Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?

Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.

Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença


é verdadeira, então também é verdadeira a sentença

Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.


Exemplo










Exemplo










Exemplo










Exemplo










Se A, então B: hipótese e tese



Na sentença

Se A, então B.

A é denominada hipótese e B é denominada tese.

Exemplo:

Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.

Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.



Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:

Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.

Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.



Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:

Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.

Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.



Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:

Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.

Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.



Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:





Na sentença

Se A, então B.


Exemplo:




Se A, então B: exemplo econtraexemplo


Se A, então B: exemplo e contraexemplo

Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.

Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.


Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.

Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.






























































Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.

Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.









































Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.

Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.









































Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.

Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.


























































Se A, então B: verdadeira ou falsa?



Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:

(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.

(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.

(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.

Regras do Jogo







Regras do Jogo







Regras do Jogo





Logo a sentença (proposição) é falsa!













Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.

Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.















Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese:n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.















Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n éinteiro par e satisfaz a tese.

Logo a sentença (proposição) é verdadeira!












A recíproca de “Se A, então B.”



A recíproca de uma sentença na forma

Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)

Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)




Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)

Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)




Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)

Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)




Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.






Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.




Parte 2


Se A, então B: notações



Notação Exemplo

Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.

A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.

A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.

A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.

B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.



Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.





Demonstrações: direta e por absurdo


Demonstração direta

Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,mostramos que todas os objetos matemáticos que satisfazem a hipótese Atambém satisfazem a tese B. Se fizermos isso, teremos mostrado quea sentença “se A, então B” não possui contraexemplos, uma vez que umcontraexemplo é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A, mas nãosatisfaz a tese B.

Demonstração direta


Demonstração direta: exercício resolvido

Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.

Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,

m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).

Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.






m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).



Demonstração por absurdo

Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.

Demonstração por absurdo


Demonstração por absurdo: exercício resolvido


Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.

Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que

m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.

Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!






m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.



A se, e somente se, B



Dizemos que uma sentença


é verdadeira quando as sentenças

“se A, então B” e “se B, então A”

são simultaneamente verdadeiras.

Regras do Jogo


A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?

m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.

A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças

se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par

e

m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par

são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).






e








e








e








e








e





m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.

A sentença é falsa, pois a sentença

se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares

é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).





















m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.


se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9





















A se, e somente se, B: notações

Notação Exemplo

A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.

A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.

A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.

Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.

Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente

para que m seja par.



Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo








Quatro observações


Observação 1



Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?

Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.


Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 2

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.


Observação 2





Observação 2





Observação 2





Observação 2





Observação 3


Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.


Observação 3





Observação 3





Observação 3





Observação 3





Observação 4

Proposição é sinônimo de sentença.

Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.

Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.

Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.

Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.


Observação 4







Observação 4







Observação 4







Observação 4







Uma demonstração por absurdo famosa



Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional

Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.






































































Parte 3


Implicações e Teoria dos Conjuntos


Exemplo

Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}

T = {x | x satisfaz a tese } = {1}

Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}

T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo


x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}


Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).


T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo


1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[

T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[

Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.


T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Moral

Verdadeira ou falsa?

Se A, então B.

Sejam:

H = {x | x satisfaz a hipótese A},

T = {x | x satisfaz a tese B}.

Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .


Moral


Se A, então B.

Sejam:





Moral


Se A, então B.

Sejam:





Moral


Se A, então B.

Sejam:





Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅

T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}

Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!

Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?


Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Conectivos Lógicos


Conectivo “ou” (∨)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p ou q

(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.

Regras do Jogo

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?

Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).




p ou q


Regras do Jogo






p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 ou x2 = 4 .





p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

ou x2 = 4︸︷︷︸q

.





p ou q


Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},

então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.




p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo





Conectivo “e” (∧)


p e q

(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo


Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.




p e q


Regras do Jogo






p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 e x2 = 1 .





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q

(a conjunção entre p e q)se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo



então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.




p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo





Conectivos e o uso de parêntesis

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

(x > 0 ou x < 2) e x > 1 .

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.

Moral: os parêntesis são importantes!




(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.

Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.


x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.



Parte 4


Negação


Negação


∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo


x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo


x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo


x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo


A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo




conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo




conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo




conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo




conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.


Contrapositiva


Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .


Contrapositiva


∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo



é a sentença



Contrapositiva


∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo



é a sentença



Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.


Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Teorema


Demonstração.



Corolário:



Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.













































































Quantificadores


Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .






Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .






Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.






Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo




Quantificador existencial (∃)


∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0







Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0







Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0







Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0







Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.






Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).






Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo








Regras do Jogo




Quantificador existencial de unicidade (∃!)


∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo




∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo



Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.



Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4


(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.



Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.





1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.





1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.





1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.



Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2


(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2



Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!




∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)





∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)





∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)





∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)



Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a



∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))


Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a


Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]


Parte 5


Argumentos


Argumentos

Argumento é uma sequência de proposições que começa compremissas e termina com conclusões obtidas por implicações lógicasdecorrentes das premissas.

Quando todas as implicações lógicas que levam a conclusão sãocorretas, dizemos que o argumento é válido. Caso contrário, dizemosque não é válido.

Exemplos:Argumento válido:Premissas: Se chover fico em casa; Choveu;Conclusão: Fiquei em casa.Argumento não válido:Premissas: Se chover fico em casa; Fiquei em casa;Conclusão: Choveu.


Argumentos





Argumentos





Argumentos





Argumentos

Decida se o argumento é ou não válido.

Premissas:1) Se a água é igual ao fogo, a Terra é o Sol2) A água é igual ao fogo.

Conclusão:A Terra é o Sol.


Argumentos

Decida se o argumento é ou não válido.

Premissas:Se Márcia é rica, Pedro é milionário.Se Pedro é milionário, João é o dono do mundo.Pedro é milionário.

Conclusão:João é o dono do mundo e Márcia é rica.


Argumentos

Forme um argumento válido acrescentando como conclusão tudoo que você puder concluir sobre o conjunto A a partir das premissasdadas.

Premissas1) A ⊂ N;2) Para quaisquer x e y pertencentes a A, x − y é múltiplo de 10;3) 11 ∈ A se e somente se {12,13,14, . . . ,18,19} ∩ A 6= ∅;4) Existe x ∈ A tal que 11 ≤ x ≤ 20;5) Para todo x ∈ A temos que 0 < x < 40;6) Se 25 /∈ A, então A possui exatamente 3 elementos.


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Linguagem Matemática: Em Roma, Fale como Os Romanos ......Linguagem Matemática: Em Roma, Fale como Os Romanos; Em Matemática, Fale como Os Matemáticos Anne Michelle Dysman Gomes