Eng. de Produo/Pesquisa Operacional - Lista 01

1. A tabela abaixo mostra uma escolha de mistura para raes. Formule um problema de programao linear para obter uma rao que tenha um custo mnimo.

Gro 1 Gro 2 Gro 3 Necessidades mnimas Nutriente A 2 3 7 1250 Nutriente B 1 1 0 250 Nutriente C 5 3 0 900 Nutriente D 0,6 0,25 1 232,5

$/kg 41 35 96 --- 2. A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produo de incensos. Os incensos

requerem dois tipos de recursos: mo de obra e materiais. A empresa fabrica trs tipos de incenso, cada qual com diferentes necessidades de mo de obra e materiais, conforme tabela abaixo:

Modelo A B C

Mo-de-obra (horas/unidade) 7 3 6 Materiais (g/unidade produzida) 4 4 5 Lucro ($/unidade) 4 2 3

A disponibilidade de materiais de 200 g/dia. A mo de obra disponvel por dia de 150 horas. Formule um problema de programao linear para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado.

3. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de raes: Tobi e Rex. Para a manufatura das raes so utilizados cereais e carne. Sabe-se que:

A rao Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a rao Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;

O pacote de rao Tobi custa $ 20 e o pacote de rao Rex custa $ 30; O kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; Esto disponveis por ms 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais.

Deseja-se saber qual a quantidade de cada rao a produzir de modo a maximizar o lucro.

4. A Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado vendido por $27 e utiliza $10 de matria-prima e $14 de mo de obra. Duas horas de acabamento e 1 hora de carpintaria so demandadas para produo de um soldado. Cada trem vendido por $21 e utiliza $9 de matria-prima e $10 de mo de obra. Uma hora de acabamento e 1 h de carpintaria so demandadas para produo de um trem. A Politoy no tem problemas no fornecimento de matrias-primas, mas s pode contar com 100 h de acabamento e 80 h de carpintaria. A demanda semanal de trens ilimitada, mas no mximo 40 soldados so comprados a cada semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemtico a ser utilizado nessa otimizao.

5. Uma determinada pessoa forada pelo seu mdico a fazer uma dieta alimentar que fornea, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas: A = 80 mg/dia, B = 70 mg/dia, C = 100 mg/dia e D = 60 mg/dia. A dieta dever incluir leite, arroz, feijo e carne, os quais contm os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma de suas unidades de medidas:

Vitaminas Alimentos Leite (copo) Arroz (100 g) Feijo (100 g) Carne (100 g)

A 10 5 9 10 B 8 7 6 6 C 15 3 4 7 D 20 2 3 9

Os custos unitrios desses alimentos so os seguintes: leite = $ 1,00/copo; arroz = $ 0,80/100g; feijo = $ 1,20/100 g; carne = $3,50/100g. Deseja-se

saber o consumo dirio de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaa as prescries mdicas e seja a de menor custo possvel.

6. Um alfaiate tem, disponveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodo, 11 metros de seda e 15 metros de l. Para um terno so necessrios 2 metros de algodo, 1 metro de seda e 1 metro de l.Para um vestido, so necessrios 1 metro de algodo, 2 metros de seda e 3 metros de l. Se um terno vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peas de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Modele o problema de forma a encontrar a soluo tima do problema, e interprete sua resposta.

7. Uma companhia de aluguel de caminhes possua-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cbicos de espao refrigerado e 4 metros cbicos de espao no refrigerado e o tipo B com 3 metros cbicos refrigerados e 3 no refrigerados. Uma fbrica precisou transportar 90 metros cbicos de produto refrigerado e 120 metros cbicos de produto no refrigerado. Quantos caminhes de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminho A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programao linear.

8. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 1 u.m. Contratos com vrias lojas impem que sejam produzidos no mnimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O mercado s capaz de consumir at 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As mquinas de preparao do sorvete disponibilizam 180 horas de operao, sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema.

9. A indstria Alumilndia S/A iniciou suas operaes em janeiro de 2001 e j vem conquistando espao no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lminas de alumnio que fabrica: espessuras fina, mdia ou grossa. Toda a produo da companhia realizada em duas fbricas, uma localizada em So Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lminas finas, 6 toneladas de lminas mdias e 28 toneladas de Lminas grossas. Devido qualidade dos produtos da AlumiLndia S/A., h uma demanda extra para cada tipo de lminas. A fbrica de So Paulo tem um custo de produo diria de R$ 100.000,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lminas finas, 1 tonelada de lminas mdias e 2 tonelada de Lminas grossas por dia. O custo de produo dirio da fbrica do Rio de Janeiro de R$ 200.000,00 para cada produo de 2 toneladas de lminas finas, 1 tonelada de lminas mdias e 7 tonelada de Lminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fbricas dever operar para atender aos pedidos ao menor custo possvel? Elabore o modelo.

10. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele j transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por ms. Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo?

11. Uma rede de televiso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama ateno de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mnimo, 5 minutos para sua propaganda e que no h verba para mais de 80 minutos de msica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o nmero mximo de telespectadores? Elabore o modelo.

12. A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energtica muito consumida pelos frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparao da bebida so solues compradas de laboratrios terceirizados soluo Red e soluo Blue e que proveem os principais ingredientes ativos

do energtico: extrato de guaran e cafena. A companhia quer saber quantas doses de 10 militros de cada soluo deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer s exigncias mnimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaran e 12 gramas de cafena e,ao mesmo tempo, minimizar o custo de produo. Por acelerar o batimento cardaco, a norma padro tambm prescreve que a quantidade de cafena seja de, no mximo, 20 gramas por lata.Uma dose da soluo Red contribui com 8 gramas de extrato de guaran e 1 grama de cafena,enquanto uma dose da soluo Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaran e 2 gramas de cafena. Uma dose de soluo Red custa R$ 0,06 e uma dose de soluo Blue custa R$ 0,08

13. Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contm uma mistura com metade do peso dos bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote contm uma mistura de um tero de bombons de cereja e dois teros de menta e vende por R$12,50 por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim de maximizar seu lucro nas vendas?

14. Uma mulher tem R$ 10.000,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois ttulos, A e B.O ttulo A bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o ttulo B bastante seguro, com um lucro anual de 7%. Depois de algumas consideraes, ela resolve investir no mximo R$ 6.000,00no ttulo A, no mnimo R$ 2.000,00 no ttulo B. Como ela dever investir seus R$ 10.000,00 a fim de maximizar o rendimento anual?

15. Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos qumicos A, B e C, respectivamente, para o seu jardim. Um produto contm 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, respectivamente, por vidro; um produto em p contm 1, 2 e 4 unidades de A, B e C respectivamente por caixa. Se o produto lquido custa $3,00 por vidro e o produto em p custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades?

16. Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitrio do produto P1 de 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 de 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual o plano de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programao linear para esse caso.

17. Um carpinteiro dispe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto Brequer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A vendido por $120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto mximo? Elabore o modelo.

18. A Esportes Radicais S/A produz paraquedas e asas-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponveis para a fabricao dos produtos, ea segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado est disposto a comprar toda a produo da empresa e que o lucro pela venda de cada paraquedas de R$60,00 e para cada asa-delta vendida de R$40,00, encontre a programao de produo que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo.

19. No programa de produo para o prximo perodo, a empresa Beta Ltda., escolheu trs produtos: P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produo.

Produto Contribuio (lucro por unidade)

Horas de trabalho

Horas de uso de mquinas

Demanda mxima

P1 2100 6 12 800 P2 1200 4 6 600 P3 600 6 2 600

Os preos de venda foram fixados por deciso poltica e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preos. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o perodo de processamento e pressupe-se usar trs mquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa timo de produo para o perodo. Faa a modelagem desse problema.

20. Uma refinaria produz trs tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que so disponveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificaes de cada tipo so: Um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28

litro de aditivo; Um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro

de octana e 0,14 litro de aditivo; Um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro

de octana e 0,06 litro de aditivo.

Como regra de produo, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mnimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no mximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum d uma margem de contribuio para o lucro de $0,30,$0,25 e $0,20 respectivamente, e seu objetivo determinar o programa de produo que maximiza a margem total de contribuio para o lucro. Construa o modelo do problema.

21. Uma empresa de componentes automotivos conduz um programa de treinamentos para seus operadores. Operadores treinados so utilizados como instrutores no programa, na proporo de um para cada dez trainees. O programa de treinamento conduzido durante um ms. Sabe-se que de cada dez trainees contratados, somente sete completam o programa (aqueles que no completam o programa de treinamento so dispensados). Os operadores treinados tambm devem cumprir suas funes usuais de operador. O nmero de operadores treinados necessrios para atender produo nos prximos trs meses vem apresentado abaixo:

Janeiro: 100 Fevereiro: 150 Maro: 200

Alm disso, a empresa necessita de 250 operadores treinados para Abril. Existem 130 operadores treinados no incio do ano. As despesas mensais com salrios so as seguintes:

Cada trainee: $400 Cada operador treinado (trabalhando nas mquinas ou realizando

treinamento): $700 Cada operador treinado ocioso (por fora de acordo sindical, maquinistas

ociosos recebem uma frao do seu salrio normal, no podendo, entretanto, ser demitidos): $500

Deseja-se modelar o problema acima. O objetivo minimizar os custos com pessoal, atendendo demanda de pessoal da empresa.