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Lista de exercıcios - Aula de Revisao - Prof. Carlos Gomes - 25/02/2012

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1. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu supri-mento de agua potavel permite a cada pessoa dispor de 3, 5 litros de agua por dia (e e o queos tripulantes fazem). Apos 12 dias de viagem, o barco encontra 3 naufragos numa jangada eos acolhe. Pergunta-se:

(a) Quantos litros de agua por dia caberao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir comoantes?

(b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3, 5 litros de agua cada um, emquantos dias, no maximo, sera necessario encontrar uma ilha onde haja agua?

2. (a) Quais sao os valores de y para os quais existe uma funcao quadratica f : R → R tal quef(1) = 3, f(2) = 5 e f(3) = y?

(b) Tome y = 9 e determine a funcao quadratica correspondente. Justifique seus argumentos.

3. (a) Seja f : A → B uma funcao. De as definicoes de f(X) e f−1(Y), para X ⊂ A e Y ⊂ B. Sef : R → R e dada por f(x) = 2x2 + 3x+ 4, determine os conjuntos f (R) e f−1(3).

(b) Seja f : A → B uma funcao. Prove que f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y), quaisquer que sejamX, Y ⊂ A. De um exemplo em que f(X ∩ Y) 6= f(X) ∩ f(Y).

4. (a) Se r 6= 0 e um numero racional, prove que r√2 e irracional.

(b) Dado qualquer numero real ε > 0, prove que existe um numero irracional α tal que0 < α < ε.

(c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, contem algum numero irracional.

5. Sejam m e n numeros naturais primos entre si.

(a) Mostre que mn

e equivalente a uma fracaoo decimal (isto e, com denominador potencia de10) se, e somente se, n nao tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.

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(b) Mostre que se n tem outros fatores primos alem de 2 ou 5 entao a expansao decimal einfinita e, a partir de um certo ponto, periodica.

6. Considere a sequencia (an)n≥1 definida como indicado abaixo:

a1 = 1

a2 = 2+ 3

a3 = 4+ 5+ 6

a4 = 7+ 8+ 9+ 10

· · ·

(a) O termo a10 e a soma de 10 inteiros consecutivos. Qual e o menor e o qual e o maior dessesinteiros?

(b) Calcule a10.

(c) Forneca uma expressao geral para o termo an.

7. Um comerciante, para quem o dinheiro vale 5% ao mes, oferece determinado produto por 3prestacoes mensais iguais a R$100, 00, a primeira paga no ato da compra.

(a) Que valor o comerciante deve cobrar por esse produto, no caso de pagamento a vista?

(b) Se um consumidor desejar pagar o produto em tres prestacoes mensais iguais, mas sendo aprimeira paga um mes apos a compra, qual deve ser o valor das parcelas?

Utilize, se desejar, os seguintes valores para as potencias de 1, 05 : 1, 052 = 1, 1025; 1, 05−1 =

0, 9524; 1, 05−2 = 0, 9070.

8. Considere o conjunto dos numeros escritos apenas com os algarismos 1, 2 e 3, em que o algarismo1 aparece uma quantidade par de vezes (por exemplo, 2322 e 12123). Seja an a quantidadedesses numeros contendo exatamente n algarismos. (a) Liste todos esses numeros para n = 1

e n = 2, indicando os valores de a1 e a2.

(b) Explique por que an satisfaz a equacao de recorrencia an+1 = (3n − an) + 2an, para n ≥ 1(note que 3n e o numero total de numeros com n algarismos iguais a 1, 2 ou 3).

(c) Resolva a equacao de recorrencia em (b).

9. (a) Mostre, por inducao finita, que

1.30 + 2.31 + 3.32 + · · ·+ n.3n−1 =(2n− 1).3n + 1

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(b) Seja (an)n≥1 progressao geometrica com termo inicial a1 positivo e razao r > 1, e Sn asoma dos n primeiros termos da progressao. Prove, por inducao finita, que Sn ≤ r

r−1.an, para

qualquer n ≥ 1.

10. Seja (an)n≥1 sequencia definida pela relacao de recorrencia xn+1 = 2xn + 1, com termo inicialx0 ∈ R

(a) Encontre x0 tal que a sequencia seja constante e igual a um numero real a.

(b) Resolva a recorrencia com a substituicao xn = yn+a, em que a e valor encontrado em (a).

(c) Para que valores de x0 a sequencia e crescente? Justifique.

11. A figura abaixo mostra uma sequencia de circunferencias de centros C1, C2, · · · , Cn com raiosr1, r2, · · · , rn, respectivamente, todas tangentes as retas s e t, e cada circunferencia, a partir dasegunda, tangente a anterior. Considere r1 = a e r2 = b.

(a) Calcule r3 em funcao de a e b.

(b) Calcule rn em funcao de a e b.

12. O triangulo equilatero ABC esta inscrito em uma circunferencia e P e um ponto qualquer domenor arco BC. Prove que PA = PB + PC (isto e, que a distancia de P ao ponto A e igual asoma das distancias de P aos pontos B e C). Sugestao: Considere um ponto D sobre PA talque PD = PB.

13. Na figura abaixo, a circunferencia de centro I e tangente em D ao lado BC do triangulo ABC ee tangente em E e F aos prolongamentos dos lados AB e AC, respectivamente. (a) Mostre queAE e igual ao semiperımetro do triangulo ABC.

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(b) Mostre que o angulo AIB e a metade do angulo ACB.

14. Dado um paralelogramo ABCD construa no seu exterior os triangulos equilateros BCE e CDF.Mostre que o triangulo AEF e equilatero.

15. No triangulo ABC, B = 68o e C = 40o, AD e BE sao alturas, M e medio de BC e N e mediode AC. Calcule os angulos DNM e EDN.

16. (a) Determine o maior numero natural que divide todos os produtos de tres numeros naturaisconsecutivos.

(b) Responda a mesma questao no caso do produto de quatro numeros naturais consecutivos.

Em ambos os itens, justifique a sua resposta.

17. (a) Determine os possıveis restos da divisao de a3 por 7, onde a e um numero natural.

(b) Prove que se a e b sao naturais e a3 + 2b3 e divisıvel por 7, entao a e b sao divisıveis por7.

18. (a) Determine todos os valores possıveis para (n+ 1, n2 + 4).

(b) Sabendo que o resto da divisao de n por 5 nao e 4, determine [n+ 1, n2 + 4].

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19. Determine todos os numeros naturais que, quando divididos por 18, deixam resto 6 e, quandodivididos por 14, deixam resto 4.

20. Sejam p e q dois numeros naturais, com 1 < p < q e (p, q) = 1. Sabemos que existem numerosnaturais nao nulos u e v tais que up− vq = 1.

(a) Mostre que existem dois numeros naturais p1 e q1, nao nulos, com p1 < p tais que q1p −

p1q = 1. Conclua que (p1, q1) = 1 e que q1 < q. Sugestao: Divida v por p, usando o algoritmoda divisao, para encontrar p1.

(b) Mostre que n1 = qq1 e tal quep

q=1

n1+p1

q1

conclua que p1 < q1.

(c)Prove que para quaisquer numeros naturais p e q com 1 < p < q e com (p, q) = 1, existeum numero natural r > 0 e numeros naturais n1 > n2 > · · · > nr > 1 tais que

p

q=1

n1+1

n2+ · · ·+ 1

nr

21. Calcule as seguintes expressoes:

(a)logn

[logn

n

√n√

n√n

].

(b)xloga/logx, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos e fixada arbitrariamente.

22. (Como caracterizar a funcao exponencial a partir da funcao logaritmo.) Seja f : R → R umafuncao crescente, tal que f(x + y) = f(x).f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintesafirmacoes:

(a)f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.

(b) Pondo a = f(1) a funcao g : R → R definida por g(x) = logaf(x) e linear. (Use o TeoremaFundamental da Proporcionalidade.)

(c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g e a funcao definida no item (b).

(d) f(x) = ax para todo x ∈ R.

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23. (a) Usando as formulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que

tg(x− y) =tg(x) − tg(y)

1+ tg(x).tg(y)

(desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).

(b)Levando em conta que um angulo e maximo num certo intervalo quando sua tangente emaxima, use a formula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo defutebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversario ao longo de uma retaparalela a lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes dameta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador ve a metasob angulo maximo quando sua distancia x ao fundo do campo e igual a

√ab.

24. (a) 24h apos sua administracao, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% dainicial. Que percentagem resta 12h apos a administracao? Justifique sua resposta, admitindoque o decaimento da quantidade de droga no sangue e exponencial.

(b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?

(c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, quale a quantidade presente no organismo apos 24h da primeira dose?

25. Definicao: Dado um segmento AB, o plano mediador desse segmento e o plano perpendiculara AB que contem o seu ponto medio.

(1a parte)Prove que um ponto P equidista de dois pontos A e B se, e somente se, pertence ao plano

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mediador de AB.

(2a parte)A figura abaixo mostra o cubo ABCD-EFGH de aresta a. Sejam M,N, P,Q, R e S os pontosmedios das arestas AB,BF, FG,GH,HD e DA.

(a)Mostre que esses seis pontos sao coplanares.Sugestao: Mostre que qualquer um deles per-tence ao plano mediador da diagonal EC do cubo (a propriedade enunciada na primeira parteda questao pode ser utilizada mesmo que voce nao a tenha demonstrado).

(b) Mostre que o hexagono MNPQRS e regular.

(c) Calcule o volume da piramide de vertice E e base MNPQRS.

(3a parte)A figura abaixo mostra o cubo ABCDEFGH de aresta a.

(a) Mostre que as retas DB e EC sao ortogonais.

(b) Calcule o comprimento da perpendicular comum entre DB e EC.

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26. A figura abaixo mostra um triangulo equilatero e suas circunferencias inscrita e circunscrita.A circunferencia menor tem raio 1. Calcule a area da regiao sombreada.

27. O poliedro P que inspirou a bola da Copa de 70 e formado por faces pentagonais e hexagonais,e e construıdo da seguinte forma:

• Considere um icosaedro regular de aresta a (Fig. 1 abaixo).

• A partir de um vertice e sobre cada uma das 5 arestas que concorrem nesse vertice,assinale os pontos que estao a uma distancia de a

3desse vertice. Esses 5 pontos formam

um pentagono regular (Fig. 2).

• Retirando a piramide de base pentagonal que ficou formada obtemos a Fig. 3.

• Repetindo a mesma operacao para todos os vertices do icosaedro obtem-se o poliedro P.

(a) Determine quantas sao as faces pentagonais e quantas sao as faces hexagonais de P.

(b) Determine os numeros de arestas, faces e vertices de P.

(c) Sabendo que uma diagonal de um poliedro e todo segmento que une dois vertices que naoestao na mesma face, determine o numero de diagonais de P.

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28. Sejam a e b dois numeros naturais tais que (a, b) = pq, em que p e q sao dois numeros primosdistintos. Quais sao os possıveis valores de:

(a) (a2, b)?

(b) (a3, b)?

(c) (a2, b3)?

29. Ache o resto da divisao por 17 do numero

S = 116 + 216 + 316 + · · ·+ 8516

30. E possıvel repartir exatamente(2357528

)objetos entre 49 pessoas?

31. Dispomos de uma quantia de x reais menor do que 3000. Se distribuirmos essa quantia entre11 pessoas, sobra um real; se a distribuirmos entre 12 pessoas, sobram dois reais, e se adistribuirmos entre 13 pessoas, sobram 3 reais. De quantos reais dispomos?

Sugestao: Pode ser util utilizar o seguinte fato: c e solucao da congruencia ay ≡ b(modm) se,e somente se, c e solucao da congruencia ry ≡ b(modm), onde r e o resto da divisao de a porm.

32. Sabendo que 74 = 2401, ache os algarismos da dezena e da unidade do numero 799999.

33. Considere Zm para m > 2.

(a) Mostre que Zm tem sempre um numero par de elementos invertıveis. Sugestao: Analise aparidade de ϕ(m), quando m > 2.

(b) Mostre que se [a] e invertıvel em Zm, entao −[a] = [m− a] e invertıvel e [a] 6= −[a].

(c) Mostre que a soma de todos os elementos invertıveis de Zm e igual a 0.

(d) Mostre que a soma de todos os elementos de um sistema reduzido qualquer de resıduosmodulo m e sempre multiplo de m.

Observacao: em cada item, pode-se usar a afirmacao cuja demonstracao e pedida em um itemanterior sem necessariamente te-la demonstrado.

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34. (a) Prove isto: Se um numero natural nao e o quadrado de um outro numero natural, sua raizquadrada e irracional.

(b) Mostre que√2+√5 e irracional.

35. No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviuo som de seu choque com a agua no fundo do poco decorreram S segundos. Calcular a profun-didade do poco. Dar a resposta em funcao da aceleracao g da gravidade e da velocidade v dosom. Usar a formula s = 1

2gt2 do espaco percorrido no tempo t por um corpo em queda livre

que partiu do repouso.

36. Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distancia d = AB em direcao a base inacessıvelde um poste CD, nota-se (com o auxılio de um teodolito) que os angulos CAD e CBD medem,respectivamente, α e β radianos. Qual e a altura do poste CD?

37. Um reservatorio contem uma mistura de agua com sal (uma salmoura), que se mantem ho-mogenea gracas a um misturador. Num certo momento, sao abertas duas torneiras, com igualcapacidade. Uma despeja agua no reservatorio e a outra escoa. Apos 8 horas de funciona-mento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura reduziu-se a 80% do que era antes queas torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecera na salmoura apos 24hde abertura das torneiras?

38. Considere a funcao f : [1; +∞) → R, definida por f(x) = x3 − x2.

(a) Defina funcao crescente e prove que f e crescente.

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(b) Defina funcao ilimitada e prove que f e ilimitada.

39. A sequencia 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, · · · e formada a partir do numero 0 somando-se alternadamente3 ou 4 ao termo anterior, isto e: o primeiro termo e 0, o segundo e 3 a mais que o primeiro, oterceiro e 4 a mais que o segundo, o quarto e 3 a mais que o terceiro, o quinto e 4 a mais queo quarto e assim sucessivamente.

(a) Qual e o centesimo termo dessa sequencia?

(b) Qual e a soma dos 100 primeiros termos dessa sequencia?

(c) Algum termo desta sequencia e igual a 2000? Por que?

40. Seja Rn o numero maximo de regioes determinadas no plano por n cırculos. (a) Quais sao osvalores de R1 e R2?

(b) Explique por que Rn+1 = Rn + 2n, para todo n ≥ 1.

(c) Mostre por inducao que Rn = n2 − n+ 2.

41. Suponha que o dinheiro valha 10% ao mes para um comerciante que vende determinado produtopor R$4200, 00 a vista.

(a) Se o comerciante deseja oferecer o produto para compra em duas prestacoes iguais, aprimeira no ato da compra, qual deve ser o valor dessas prestacoes?

(b) Suponha que ele deseja oferecer o produto em 10 prestacoes iguais, a primeira no ato dacompra. Escreva uma expressao que permita calcular o valor da prestacao.

42. Uma senha de banco e formada por 4 digıtos de 0 a 9.

(a) Quantas sao as senhas em que aparecem exatamente tres dıgitos diferentes?

(b) Quantas sao as senhas em que nao ha dıgitos consecutivos iguais?

43. Joao, ao partir para uma viagem, ficou de enviar um cartao postal para sua mae. A probabil-idade de que ele envie o cartao e igual a 0, 7. Por outro lado, a probabilidade de um cartaopostal se extraviar e 0, 1.

(a) Qual e a probabilidade de que a mae de Joao receba um cartao postal dele?

(b) Se ela nao receber um cartao de Joao, qual e a probabilidade de que ele o tenha enviado?

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44. Considere um quadrado ABCD de lado a e seja E o ponto do lado CD tal que AE = BC+CE.

(a) Calcule o comprimento de CE.

(b) Calcule o seno do angulo CAE.

45. Um trapezio ABCD tem altura h e bases AB = a e CD = b. Seja F o ponto de intersecao dasdiagonais. (a) Calcule as distancias de F as duas bases.

(b) Calcule as areas dos triangulos ADF e BCF.

46. Seja ABC um triangulo qualquer. Desenhe exteriormente a ABC os triangulos equilateros ABDe ACE.

(a) Mostre que DC = BE. Sugestao: use congruencia de triangulos.

(b) Sendo F o ponto de intersecao de DC e BE, mostre que o quadrilatero ADBF e inscritıvel.

(c) Mostre que AFB = BFC = CFA = 120o.

47. Seja Π um plano horizontal. A reta r e perpendicular a Π e sejaA o ponto de intersecao de r e Π .A reta s esta contida em Π e nao passa por A. O ponto B da reta s e tal que AB e perpendiculara reta s. Seja M um ponto de r e N um ponto de s. Dados: AM = a, BN = b,AB = c.

(a) Faca um desenho da situacao descrita no enunciado.

(b) Calcule a distancia entre os pontos M e N.

(c) Calcule a tangente do angulo que a reta MN faz com o plano Π .

(d) Calcule a tangente do angulo entre as retas AB e MN.

48. (a) Descreva os numeros naturais que possuem 15 divisores naturais.

(b) Determine o menor numero natural com 15 divisores.

49. Determine a maior potencia de 15 que divide 150!.

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50. Quando um macaco sobe uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau, quando sobede tres em tres degraus, sobram dois degraus e quando sobe de cinco em cinco degraus, sobramtres degraus. Quantos degraus possui a escada, sabendo que o numero de degraus esta entre150 e 200 ?

51. (a) Determine os elementos invertıveis de Z24 e mostre que cada um e o seu proprio inverso.

(b) Calcule a soma de todos os elementos invertıveis de Z24.

(c) Calcule o produto de todos os elementos invertıveis de Z24.

52. (a) Seja dado um numero natural m = pα11 · · ·pαr

r decomposto em fatores irredutıveis. Sejan um numero natural tal que ϕ (pαi

i ) divide n, para todo i = 1, · · · , r. Mostre que m dividean − 1 para todo numero natural a primo com m. (b) Mostre que a12 − 1 e divisıvel por 4095sempre que (a, 1365) = 1.

53. Considere os caminhos no plano iniciados no ponto (0, 0) com deslocamentos paralelos aos eixoscoordenados, sempre de uma unidade e no sentido positivo dos eixos x e y (nao se descarta apossibilidade de dois movimentos unitarios seguidos na mesma direcao, ver ilustracao mostrandoum caminho que termina em (5, 4)).

(a) Explique por que o numero de caminhos que terminam no ponto (m,n) e(m+nm

).

(b) Quantos sao os caminhos que terminam no ponto (8, 7), passam por (2, 3) mas nao passampor (5, 4)?

54. Os professores de seis disciplinas (entre as quais Portugues e Matematica) devem escolher umdia, de segunda a sexta, de uma unica semana para a realizacao da prova de sua disciplina.Suponha que cada professor escolha o seu dia de prova ao acaso, sem combinar com os demaisprofessores.

(a) Qual e a probabilidade de que as provas de Portugues e Matematica sejam realizadas no

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mesmo dia?

(b) Qual e a probabilidade de que os alunos facam provas em todos os dias da semana?

55. Em um jogo, uma moeda honesta e jogada seguidamente. Cada vez que sai cara, o jogadorganha 1 real; cada vez que sai coroa, o jogador ganha 2 reais. O jogo termina quando o jogadortiver acumulado 4 ou mais reais.

(a) Qual e a probabilidade de que o jogador ganhe exatamente 4 reais?

(b) Qual e a probabilidade de que no ultimo lancamento saia cara?

(c) Dado que o jogador ganhou exatamente 4 reais, qual e a probabilidade de que tenha saıdocara no ultimo lancamento?

56. Uma prova de concurso e formada por questoes de multipla escolha, com 4 alternativas porquestao. Admita que nenhum candidato deixe questoes sem responder.

(a) Qual e o numero mınimo de candidatos para que seja possıvel garantir que pelo menos 3deles darao exatamente as mesmas respostas nas 5 primeiras questoes?

(b) Qual e o valor maximo de n para o qual e possıvel garantir que, em um concurso com 1000candidatos, pelo menos 2 darao as mesmas respostas nas primeiras n questoes?

57. Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z (veja figura, onde as linhastracejadas indicam segmentos de arestas obstruıdos por alguma face).

(a) Exprima a area e o volume da caixa em funcao de x, y e z.

(b) Use a desigualdade das medias para mostrar que, se o volume da caixa e igual a 32, entaosua area e maior ou igual a 48.

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(c) Determine as medidas das arestas da caixa de area mınima com volume igual a 32.

58. As bases de um tronco de piramide regular sao quadrados de lados 12 e 4. Sabe-se que a arealateral e igual a soma das areas das bases.

(a) Calcule a altura do tronco.

(b) Calcule o volume do tronco.

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