LISTA 1 - 2008-1 - villapouca.com.br¡lculo-I... · Lista 2 Cálculo I -A- 2008-1 3 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática GMA - Departamento de Matemática

Lista 1 Calculo I -A- 2008-1 1

Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica

GMA - Departamento de Matematica Aplicada

LISTA 1 - 2008-1Revisao: inequacoes, raiz e modulo

Funcao: domınio, imagem e paridadeGraficos que envolvem retas, conicas e modulo

Resolva as inequacoes dos exercıcios 1. a 12.

1. −3x + 1 < 2x + 5

2. x2 − 5x + 6 < 0

3. 2x2 − x− 10 > 0

4. 3x2 − 7x + 6 < 0

5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0

6.2x− 11− x

< 0

7.x

2x− 3≤ 3

8. (2x− 1)2 < 16

9. x +1x

> 2

10.x2 − 7x + 10−x2 + 9x− 18

≤ 0

11.x + 12− x

<x

x + 3

12. x2 + x < x3 + 1

Nos exercıcios 13. a 20. resolva para x e represente a solucao na reta numerica.

13. |x− 2| = 4

14. |x + 3| = |2x + 1|

15. |2x + 3| = 2x + 3

16. |3 + 2x| ≤ 2

17. |2x + 5| > 3

18. |3− 4x| > x + 2

19.!!!!

1x− 2

!!!! ≤!!!!

52x− 1

!!!!

20.!!x2 − 5x

!! < |x|2 − |5x|

Nos exercıcios 21. a 24. a funcao real de variavel real e definida por sua expressao analıtica. Determineo seu domınio.

21. f(x) =1"

|x|− x

22. y =1

3√

x + 1

23. f(x) ="

1−√

1− x2

24. g(x) =x"

|x|− 1

25. f(x) =√

1− x2 +√

x2 − 1

Estude a variacao do sinal das funcoes dos exercıcios 26. a 29.

26. f(x) = (2x− 3)(x + 1)(x− 2)

27. f(x) =x(2x− 1)

x + 1

28. g(t) =2t− 3

|1− t|(1− 2t)

29. F (x) = 2− 1x− x

30. Sejam x, y e z os lados de um triangulo retangulo, onde x e a hipotenusa. Se o triangulo tem perımetroigual a 6, indique a area deste triangulo em funcao da hipotenusa.

Nos exercıcios 31. a 46. esboce o grafico da funcao, especificando o domınio, a imagem e, quando possıvel,a paridade (par ou ımpar).

31. f(x) = (2− x)|3− x|

32. f(x) =3− x

|3− x|

33. f(x) = (x− 2)(x + 1)

34. g(x) =!!x2 − x− 2

!!

35. f(x) = |3− x| + |x− 1|

36. f(x) ="

x(x− 2)

37. f(x) =

#−√

3− 2x se x < 32√

2x− 3 se x ≥ 32

38. y = | |x|− 2 |

39. f(x) ="

|x2 − 16|

40. g(x) =$

4 +√

25− x2 se −5 ≤ x ≤ 54 se x < −5 ou x > 5

41. f(x) =√−x

42. f(x) = x%"

|x|&2

43. f(x) =

!!x2 − 4x + 3!!

x− 1

44. y =

!!x3 − 5x2 + 2x + 8!!

x− 2

45. 21. y =$

1− x2 , −1 < x < 1x2 − |x| , x ≤ −1 ou x ≥ 1


RESPOSTAS

1. x > − 45

2. 2 < x < 3

3. x < −2 ou x > 52

4. ∅5. −1 < x < 2

3ou x > 1

6. x < 12

ou x > 1

7. x < 32

ou x ≥ 95

8.(− 3

2, 5

2

)

9. (0, 1) ∪ (1,∞)

10. (−∞, 2] ∪ (3, 5] ∪ (6,∞)

11. (−∞,−3) ∪ (2,∞)

12. (−1, 1) ∪ (1,∞)

13. {6,−2}14.

{2,− 4

3

}

15.[− 3

2,∞

)

16.[− 5

2,− 1

2

]

17. (−∞,−4) ∪ (−1,∞)

18.(−∞, 1

5

)∪

(53,∞

)

19.(−∞, 1

2

)∪

(12, 11

7

]∪ [3,∞)

20. ∅21. x < 0

22. x &= −1

23. −1 ≤ x ≤ 1

24. x < −1 ou x > 1

25. x = −1 ou x = 1

26. f(x)

< 0 se x < −1 ou 32

< x < 2= 0 se x = −1 ou x = 3

2ou x = 2

> 0 se −1 < x < 32

ou x > 2

27. f(x)

< 0 se x < −1 ou 0 < x < 12

= 0 se x = 0 ou x = 12

> 0 se −1 < x < 0 ou x > 12

28. g(t)

< 0 se t < 12

ou t > 32

= 0 se t = 32

> 0 se 12

< t < 1 ou 1 < t < 32

29. F (x)

< 0 se 0 < x < 1 ou x > 1= 0 se x = 1> 0 se x < 0

30. Seja S = S(x) a area do triangulo. Como y e z sao os catetos, S = 12

yz, que denotamos por (eq. 1).

Foi dado o perımetro P = x + y + z = 6, logo y + z = 6 − x. Elevando ambos os lados dessa ultima equacao aoquadrado, obtemos a equacao y2 + 2yz + z2 = 36− 12x + x2 , que denotamos por (eq. 2).

Como x e a hipotenusa, sabemos que x2 = y2 + z2 , que denotamos por (eq. 3).

Na (eq. 2), substituindo-se o valor de x2 dado pela (eq. 3), obtemos y2 + 2yz + z2 = 36− 12x + y2 + z2.

Simplificando essa equacao, 2yz = 36− 12x, explicitando o produto yz =12(3− x)

2= 6(3− x).

Agora, substituindo-se o produto yz na (eq. 1), obtemos S = 12· 6(3− x), logo S(x) = 3(3− x).

31. 32. 33. 34. 35.y

x0

2

4

6

2 4 6

dom = R;im = R

x

y

–2–1

12

1 2 3 4

dom = R− {3};im = {−1, 1}

y

x

–2

0

2

–2 –1 1 2

dom = R;im =

[− 9

4,∞

)

y

x

–2

2

4

–2 –1 1 2 3

dom = R;im = [0,∞)

y

x0

2

4

–1 1 2 3 4

dom = R;im = [2,∞)

36. 37. 38. 39. 40.

y

x

2

4

–2 2 4dom = (−∞, 0] ∪ [2,∞);im = [0,∞)

y

x

–2

0

2

–2 2 4

dom = R;im = R

y

x0

2

4

–4 –2 2 4dom = R;im = [0,∞)e par

x

y

2468

–6 –4 –2 2 4 6dom = R;im = [0,∞)e par

y

x0246810

–8 –6 –4 2 4 6 8

dom = R;im = [4, 9]e par

41. 42. 43. 44. 45.

y

x

2

–3 –2 –1dom = (−∞, 0];im = [0,∞)

y

x–4 –2 2 4

dom = R;im = Re ımpar

x

y

–4

–2

0

2

dom = R− {1};im = (−∞,−2) ∪ [0,∞)

x

y

–6

–4

–2

2

4

6

–2 2 4 6 8

dom = R− {2};im = R

x

y

2

4

–2 2dom = R;im = [0,∞)e par




LISTA 2 - 2008-1Operacoes com funcoes

Funcao compostaTransformacoes em graficos

1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =1

3x + 2, determine:

(a) (f + g)(x)

(b) (f(x))−1

(c) (f · g)(x)

(d)!

f

g

"(x)

(e)!

g

f

"(x)

(f) (f ◦ g)(x)

2. Seja f(x) =3− x

x. Determine:

(a) f#x2

$− (f(x))2 (b) f

!1x

"− 1

f(x)(c) (f ◦ f)(x)

3. Dadas f(x) =%−x , x < 0x2 , x ≥ 0

e g(x) =

& 1x

, x < 0√

x , x ≥ 0, determine:

(a) (f ◦ g)(x)(b) (g ◦ f)(x)

Nos exercıcios 4. a 11., a partir do grafico da funcao y = f(x) dado abaixo, esboce o grafico dafuncao dada.

4. y = f (|x|)

5. y = |f(x)|

6. y = f(−x)

7. y = −f(x)

8. y = f(x + 2)

9. y = f(x) + 3

10. y =f(x) + |f(x)|

2

11. y =f(x)− |f(x)|

2

x

y = f(x)

–4

–20

2

4

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

Esboce os graficos das funcoes dos exercıcios 12. a 17.

12. f(x) = 8− 3'

x2 − 1

13. f(x) ='

2|x|− 6

14. f(x) = |x− 1|3

15. f(x) = 1 + 3√

1− x

16. f(x) = (|x|− 1)3

17. f(x) =((x2 − 4|x| + 3

((

Nos exercıcios 18. a 21. determine o domınio, a imagem e esboce o grafico da funcao dada.

18. f(x) = 3 sen (2πx)

19. f(x) = tan)x

2

*

20. f(x) =(((( sen

)x

2

*− 1

2

(((( , 0 ≤ x ≤ 4π

21. f(x) =12

sec)x− π

3

*


RESPOSTAS

1. (a) y =9x3 + 6x2 + 6x + 5

3x + 2, x &= −3

2

(b) y =1

3x2 + 2

(c) y =3x2 + 23x + 2

, x &= −23

(d) y = 9x3 + 6x2 + 6x + 4, x &= −23

(e) y =1

9x3 + 6x2 + 6x + 4, x &= −2

3

(f) y =18x2 + 24x + 119x2 + 12x + 4

, x &= −23

2. (a) y =6x− 2x2 − 6

x2(b) y =

9x− 3x2 − 33− x

(c) y =4x− 33− x

3. (a) (f ◦ g)(x) =

&− 1

x, x < 0

x , x ≥ 0(b) (g ◦ f)(x) =

% √−x , x < 0x , x ≥ 0

4.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

5.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

6.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

7.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

8.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

9.y

x–20

246

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

10.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

11.y

x

–4–2

24

–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14

12.y

x–2

2468

10 20

13.y

x0

2

4

6

8

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10

14.

x

y

1

2

–2 2 4

15.y

x

–2

0

2

–4 –2 2 4 6

16.

x

y

–1

1

2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

17.y

x

2

4

–6 –4 –2 2 4 6

18.y

x

–2

0

2

–6 –4 –2 2 4 6

19.y

x

–10

10

–10 10

20.

x0123

5 10

21.y

x

–10

–5

5

10

–15 –10 –5 5 10 15




LISTA 3 - 2008-1Limite e limites laterais

Continuidade

1. Os graficos de g e h sao dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.

f(x) = g(x) · h(x)ef(x) = (h ◦ g)(x)

ambas no ponto x = 1

g

y

x

–10

12345

–3 –2 –1 1 2 3 4

hy

x

–2

2

4

–3 –2 –1 1 2 3 4

2. Dadas as funcoes f(x) ={

x2 + 3 se x ≤ 1x + 1 se x > 1 e g(x) =

{x2 se x ≤ 12 se x > 1 ,

(i) Esboce o grafico de f e g;

(ii) Calcule limx→1

f(x) e limx→1

g(x);

(iii) De a expressao da funcao F (x) = f(x) · g(x)

e verifique se existe limx→1

F (x).

3. De um exemplo no qual limx→0

|f(x)| existe, mas limx→0

f(x) nao existe.

4. Se f(x) > 0 para todo x #= 2 e f(2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo sao verdadeiras ou falsas.Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.(a) lim

x→2f(x) nao existe (b) lim

x→2f(x) = −3 (c) Se existir, lim

x→2f(x) e positivo

5. Sabe-se que limx→2

f(x) = 5 e f e definida em R. Todas as afirmativas abaixo sao falsas. Tente desenhar umcontra-exemplo para cada uma delas.(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e positivo

Nos exercıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.

6. limx→ 1

2

2x2 + 5x− 32x2 − 5x + 2

7. limx→1

3(1− x2

)− 2

(1− x3

)

(1− x3) (1− x2)

8. limx→0

√1− 2x− x2 − (x + 1)

x

9. limx→0

√x + 2 +

√x + 6−

√6−

√2

x

10. limx→0

1− 3√

1− x

1 + 3√

3x− 1

11. limx→1

x2 − 5x + 4|x− 1|

Nos exercıcios 12. a 14. verifique se a funcao dada e contınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

12. f(x) =

√x− 1

x− 1, x #= 1

2 , x = 1em x = 1

13. f(x) =√

x2 + 1x6 + x2 + 2

em qualquer x ∈ R

14. f(x) =12(x− 1)

[|x|

], para −2 ≤ x ≤ 2,

onde[|x|

]= maior inteiro que nao supera x.

Pontos x = 0 e x = 1.

(Sugestao: esboce o grafico de f)

15. Para a funcao f definida por f(x) =

−√

2− x , x < 1ax + b , 1 ≤ x < 2∣∣x2 − 7x + 12

∣∣ , x ≥ 2

(a) Determine os valores de a e b para que f seja contınua em R (b) Esboce o grafico de f .

16. De um exemplo com duas funcoes f e g tais que f seja contınua em x = 0, g seja descontınua em x = 0 eno entanto f · g seja contınua em x = 0.


RESPOSTAS

1. limx→1−

g(x) · h(x) = 4 limx→1+

g(x) · h(x) = −6 limx→1−

(h ◦ g)(x) = −2 limx→1+

(h ◦ g)(x) = 0

2. i)

fy

x

–1

123456

–2 2 4

g

x

y

–1

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2 3

ii) limx→1−

f(x) = 4 limx→1−

g(x) = 1

limx→1+

f(x) = 2 limx→1+

g(x) = 2

iii) F (x) ={ (

x2 + 3)x2 , x ≤ 1

2(x + 1) , x > 1limx→1

F (x) = 4

3. f(x) =x

|x|

4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f(x) ={

|x− 2| se x #= 2−3 se x = 2 lim

x→2f(x) = 0

6. −73

7.12

8. −2 9.√

6 +√

24√

310.

13

11. f(x)→ 3 se x→ 1− e f(x)→ −3 se x→ 1+, portanto o limite nao existe

12. Nao, pois limx→1

f(x) =12#= 2 = f(1)

13. Sim, e contınua em R.

O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicandoy = x2 + 1 > 0. Logo o domınio de f e igual a R.

Assim basta verificar se as funcoes do numerador e denominador sao contınuas para todo x ∈ R, poissabemos que o quociente de funcoes contınuas e uma funcao contınua.

Verificando:

A funcao do denominador e contınua em R pois e uma funcao polinomial (qualquer funcao polinomial econtınua em R). A funcao do numerador e a composicao de duas funcoes: a funcao raiz e uma funcaopolinomial. Como a funcao raiz e contınua em [0,∞), em particular e contınua em (0,∞), isto e, nestecaso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0,∞)⇒ √

y e contınua em (0,∞) . Como a a composta decontınuas e contınua, a funcao do numerador e contınua.

14.

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

e contınua em x = 1 e descontınua em x = 0

15. (a) a = 3 e b = −4

y

x

–2–10

123

–2 2 4

16. f(x) = |x| e g(x) =

{ x

|x| , x #= 0

0 , x = 0


Universidade Federal Fluminense

EGM - Instituto de Matematica


LISTA 4 - 2008-1Limite infinito e no infinito

Teoremas do confronto e anulamentoLimites trigonometricos

Nos exercıcios 1. a 4. os graficos de g e h sao dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.

1. f(x) =g(x)h(x)

, no ponto x = 2 h

gy

x

–20

2

4

–2 2 4 6 8

2. f(x) =g(x)h(x)

, no ponto x = 3

gy

x

–2

2

4

–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8

hy

x

–100

0

100

200

300

–2 2 4 6 8

3. f(x) =g(x)h(x)

, no ponto x = 2 g

y

x

–1

123456

–2 2 4

hy

x

–300

–200

–100

0

100

200

300

–2 2 4 6 8

4.f(x) =

g(x)h(x)

e f(x) = (g ◦ h)(x)

ambas no ponto x = 4

h

g

y

x

–2

2

4

6

8

–2 2 4 6 8

Nos exercicıos 5. a 10. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.

5. limx→+∞

(xn − xn−1

)

6. limx→+∞

(x + 1)(x + 2) · · · (x + 10)(x2 + 1)5

7. limx→−∞

√x2 − 2x + 2

x + 1

8. limx→−∞

(x +

√x2 + 3x + 2

)

9. limx→−1

(3

x + 1− 5

x2 − 1

)

10. limx→5

(√25− x2

x− 5

)

11. Seja f definida por f(x) =

x3 + 2x2 + x

x3 + 5x2 + 7x + 3se x $= −3, x $= −1

0 se x = −3−1/2 se x = −1

(a) A funcao f esta definida em R? Justifique.

(b) De os pontos onde f e contınua. Justifique.

(c) De os pontos onde f e descontınua. Justifique.

(d) A funcao f e contınua em R? Justifique.

Nos exercıcios 12. a 15. determine as equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico da funcaodada.

12. f(x) =3x

x− 113. f(x) =

2x√x2 + 4

14. f(x) =2x2 + 12x2 − 3x

15. f(x) =x√

x2 − 4

16. A funcao f e tal que para x $= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x + 9. Calcule limx→2

f(x).


17. Seja f uma funcao limitada. Use o teorema do anulamento (e o corolario do teorema do confronto) paraprovar que lim

x→0x2f(x) = 0.

18. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 <(x2 − 1

)· f(x) < (x + 1)2, calcule lim

x→+∞f(x).

Nos exercıcios 19. a 27. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.

19. limx→0

senx3

x

20. limx→0

tan(πx)tan x

21. limx→0

sen 2(ax2

)

x4

22. limx→0

1− cos(ax)x2

23. limx→0

1− sec x

x2

24. limx→0

sen (x) sen (3x) sen (5x)tan(2x) tan(4x) tan(6x)

25. limx→0

√1 + tan x−

√1 + sen x

x3

26. limx→0

(x cos

1x

)

27. limx→−2

(x2 − 4

)sen

(1

x + 2

)

28. limx→+∞

x− cos x

x

29. limx→−∞

1 + x senx

x

30. limx→−∞

x2 senx

Nos exercıcios 31. a 33. verifique se a funcao dada tem extensao contınua a toda reta R.

31. f(x) =sen 24x

x32. f(x) =

−1 + sen x

x− π/2 33. f(x) =sen

(x2 − 4

)

x + 2

RESPOSTAS

1. limx→2−

f(x) = +∞; limx→2+

f(x) = −∞

2. limx→3−

f(x) = 0; limx→3+

f(x) = −∞

3. limx→2−

f(x) = 0; limx→2+

f(x) = 0

4. limx→4−

g(x)

h(x)= lim

x→4+

g(x)

h(x)= −∞

limx→4−

(g ◦ h)(x) = limx→4+

(g ◦ h)(x) = 5

5. !, pois quando x→ +∞ a funcao → +∞

6. 1 7. −1 8. −3

2

9. !, pois a funcao → −∞ se x→ −1−

(ou, a funcao → +∞ se x→ −1+)

10. !, pois a funcao→ −∞ se x→ 5−.

Obs.: % ∃x; x→ 5+, pois neste caso −5 ≤ x < 5.

11. (a) Sim, pois a unica restricao da expressao e o denominador nao nulo, os unicos pontos que anulam o denominadorsao x = −1 e x = −3 e nestes pontos a funcao foi definida por outras expressoes, a saber f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0.

(b) Em R − {−3,−1} a funcao e contınua pois e o quociente de funcoes polinomiais e toda funcao polinomial e

contınua. Em x = −1 a funcao e contınua pois limx→−1

f(x) = −1

2= f(−1).

(c) A funcao e descontınua em x = −3 pois f(x)→ +∞ se x→ −3− (outra justificativa seria f(x)→ −∞ se x→−3+, basta nao ter um dos limites laterais).

(d) Nao, pois nao e contınua em x = −3.

12. V: x = 1; H: y = 3

13. V: nao tem; H: y = −2, y = 2

14. V: x = 0, x =3

2; H: y = 1

15. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1

16. 5

17. (i) Para g(x) = x2 e a = 0, temos limx→a

g(x) = limx→0

x2 = 0

(ii) f e limitada, isto significa que ∃M ; |f(x)| ≤M .

Assim, as duas hipoteses (i) e (ii) do teorema do anula-mento se verificam. Logo vale a tese do teorema, a saberlimx→a

g(x)f(x) = 0⇒ limx→0

x2f(x) = 0.

18. 1

19. 0

20. π

21. a2

22.a2

2

23. −1

2

24.5

16

25.1

426. 0

27. 0

28. 1

29. !, oscila entre −1 e 1

30. !, oscila entre −∞ e +∞

31. Sim, g(x) =

sen 24x

x, x %= 0

0 , x = 0

32. Sim, g(x) =

−1 + sen x

x− π/2, x %= π/2

0 , x = π/2

33. Sim, g(x) =

sen(x2 − 4

)

x + 2, x %= −2

−4 , x = −2




LISTA 5 - 2008-1Limite e continuidade: miscelanea

Teorema do valor intemediario

Nos exercıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando possıvel. Caso conclua que o limite nao existe,justifique.

1. limx→−∞

(xn − xn−1

)

2. limx→−∞

x3√

1− x3

3. limx→+∞

√x +

√x√

x + 1

4. limx→1

3x3 − 2x2 − 3x + 2(2x− 2)2

5. limx→0

(1 + x)5 − (1 + 5x)x5 + x2

6. limx→ 1

2

2√

6x− 3√

4x

4x2 − 4x + 1

7. limx→1

x100 − 2x + 1x50 − 2x + 1

8. limx→−2

3√

x− 6 + 2x3 + 8

9. limx→0

sen (x) + sen (3x) + sen (5x)tan(2x) + tan(4x) + tan(6x)

10. limx→0

(x− sen (ax))(x + tan(bx))1− cos(cx)

, a, b, c #= 0

11. limx→0

1− cos3 x

x senx cos x

12. limx→1

sen (πx)1− x2

13. limx→π

sen (tanx)tanx

14. limx→π

2

sen (x)− 1x cos x

15. limx→0+

cos(

1√x

)sen

(√x + 1− 1√

x

)

16. limx→+∞

x− senx

x + senx

17. limx→−∞

x2 sen (x)− 1x3 + 1

18. Achar as constantes a e b de modo que limx→+∞

(ax + b− x3 + 1

x2 + 1

)= 0.

19. Calcule os limites laterais de f(x) =g(x)senx

em x = 0, se g(x) ={

cos(x) + 3 , x < 0x2 − 9 , x ≥ 0

Nos exercıcios 20. e 21. verifique se a funcao e contınua no ponto indicado. Justifique a resposta.

20. f(x) =

x3 cos

(1x

)se x #= 0

1 se x = 0em x = 0

21. f(t) =

1−√

t

1− 3√

tse t #= 1

3/2 se t = 1em t = 1

22. Verifique se existe a ∈ R tal que f(x) ={

1 + ax , x ≤ 0x4 + 2a , x > 0

seja contınua em R.

23. Seja f : R −→ R, tal que x2 cos2 x ≤ f(x) ≤ x senx, ∀x ∈(−π

2,π

2

). Verifique se f e contınua

em x = 0.


Para cada funcao dos exercıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual estalocalizado pelo menos um zero dessa funcao.

24. f(x) = x3 + x− 1 25. f(x) = x3 + 3x− 5 26. f(x) = 1 + x cosπx

2

27. Mostre que os graficos de y = 1 e y = x2 tanx tem intersecao em pelo menos um ponto dointervalo

(−π

2,π

2

).

28. De um exemplo de uma funcao tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a funcao temsinais contrarios, f nao e contınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermediarioe verdadeira.

29. De um exemplo de uma funcao tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a funcao temsinais contrarios, f nao e contınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermediarioe falsa.

30. Se uma funcao f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2, existiraobrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a funcao f se anula? Justifique sua resposta.

RESPOSTAS

1. Se n for par, ! pois a funcao → +∞e se n for ımpar, ! pois a funcao → −∞

2. −1 3. 1

4. ! pois se x → 1− a funcao → −∞(ou se x → 1+ a funcao → +∞)

5. 10

6. ! pois se x → 12

−a funcao → −∞

(ou se x → 12

+

a funcao → −∞)

7.4924

8.1

144

9.34

10.2(1− a)(1 + b)

c2

11.32

12.π

213. 1

14. 0

15. 0

16. 1

17. 0

18. a = 1, b = 0

19. limx→0−

f(x) = −∞ limx→0+

f(x) = −∞

20. Nao, pois limx→0

f(x) = 0 #= 1 = f(0)

21. Sim, pois limt→1

f(t) =32

= f(1)

22.12

23. Sim

24. f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1),

f e contınua em [0, 1].

Pelo Teorema do Valor Intermediario (TVI), existeum c; 0 < c < 1; f(c) = 0, isto e, existe um zeroda funcao no intervalo [0, 1].

25. Idem ao ex. 24. para o intervalo [1, 2]

26. Idem ao ex. 24. para o intervalo[12 , 3

2

]

27. Aplicando o TVI em f(x) = −1 + x2 tan x no in-tervalo [0,π/3], mostra-se que f tem um zero nointervalo [0,π/3].

Isto e, ∃c; c ∈ [0,π/3]; f(c) = 0.

Como [0,π/3] ⊂ (−π/2,π/2), temos que

∃c; c ∈ (−π/2,π/2); −1 + c2 tan c = f(c) = 0.

Isto e, ∃c; c ∈ (−π/2,π/2); c2 tan c = 1.

28. f(x) =(x + 1)2

1− xem [−2, 2];

29. f(x) =1x

em [−1, 1]

30. Nao. Ver exemplo 29.




LISTA 6 - 2008-1Derivada por definicao

Regras basicas de derivacaoDiferenciabilidade × continuidade

Nos exercıcios 1. a 3. use a definicao de derivada de uma funcao para calcular f ! (x0) e determinea equacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto (x0, f (x0)).

1. f(x) =√

x2 + 4, x0 =√

5 2. f(x) =x + 4x + 2

, x0 = 0 3. fx) =1x

, x0 =12

4. Quantas retas tangentes ao grafico de y = x3 + 3x sao paralelas a reta y = 6x + 1? Determineas equacoes dessas tangentes.

5. Seja f(x) =

3− x

2, x < 1

1√x

, x ≥ 1f e diferenciavel em x = 1? f e contınua em x = 1?

6. Seja f(x) =

−x

2, x < 1

1√x

, x ≥ 1f e diferenciavel em x = 1? f e contınua em x = 1?

7. Determine a e b de modo que f(x) ={

x2 se x < 1ax + b se x ≥ 1

seja diferenciavel.

8. Seja f tal que |f(x)| ≤ x2, ∀x ∈ R. Mostre que f e diferenciavel em x = 0.

Derive cada funcao dos exercıcios 9. a 17. (se possıvel, simplifique a funcao e/ou a derivada dafuncao)

9. f(x) = 2(x2 + 2x + 1

)tanx

10. f(x) = cos2 x

11. f(x) =√

x senx + x1/3

12. f(x) = 2x cos x tanx

13. f(x) =x sec x

x2 + 2x + 3

14. f(x) =

(x2 − 2x + 2

)2

x4 + x2 + 1

15. f(x) =1

(x2 + 2)2

16. f(x) ={

x3 sen (1/x) , x (= 00 , x = 0

17. f(x) = |2x− 8|, x (= 4

Nos exercıcios 18. a 21. use o grafico da funcao para determinar os valores de x em que a funcaoe diferenciavel e indique os valores de x em que a derivada e (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

18. f(x) = |x + 3| 19. f(x) = |x2 − 9| 20. f(x) =√|x| 21. f(x) =

{x2 − 4 , x ≤ 04− x2 , x > 0

RESPOSTAS

1. f ′(√

5)

= limx→

√5

√x2 + 4− 3x−

√5

=√

53

; reta tangente: y − 3 =√

53

(x−

√5)

2. f ′(0) = −12; reta tangente: y = −x

2+ 2 3. f ′

(12

)= −4; reta tangente: y = −4x + 4

4. Duas retas tangentes: y = 6x− 2 e y = 6x + 2


5. f e diferenciavel em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; f e contınua em x = 1, pois tem um teorema que garanteque toda funcao diferenciavel num ponto e contınua nesse ponto.

6. f nao e contınua em x = 1, pois limx→1−

f(x) = −12(= lim

x→1+f(x) = 1; f nao e diferenciavel em x = 1 pois se

fosse, f seria contınua em x = 1 (tem um teorema que garante que toda funcao diferenciavel num pontoe contınua nesse ponto) e ja provamos que f nao e contınua em x = 1.

7. a = 2 e b = −1 8. Use o teorema do sanduıche para calcular a derivada pela definicao

9. f ′(x) = 2(x2 + 2x + 1

)sec2 x + 2(2x + 2) tan x = 2(x + 1)

[(x + 1) sec2 x + 2 tan x

]

10. f ′(x) = −2 cos x senx = − sen 2x

11. f ′(x) =1

2√

xsenx +

√x cos x +

13x−2/3 =

senx + 2x cos x

2√

x+

13 3√

x2

12. f(x) = 2x cos x tan x = 2x senx ⇒ f ′(x) = 2( sen x + x cos x)

13. f ′(x) =

(x2 + 2x + 3

)(x sec x tan x + secx)− [x(sec x)(2x + 2)]

(x2 + 2x + 3)2=

[3− x2 +

(x3 + 2x2 + 3x

)tanx

]sec x

(x2 + 2x + 3)2

14. f ′(x) =

(x4 + x2 + 1

) [2

(x2 − 2x + 2

)(2x− 2)

]−

(x2 − 2x + 2

)2 (4x3 + 2x

)

(x4 + x2 + 1)2=

=2

(x2 − 2x + 2

) (2x4 − 3x3 − 2

)

(x4 + x2 + 1)2

15. f ′(x) = −2(x2 + 2

)−3 (2x) =−4x

(x2 + 2)316. f ′(x) =

{−x cos

1x

+ 3x2 sen1x

, x (= 0

0 , x = 0

17. x (= 4, f(x) = |2x− 8| ={−2x + 8 se x < 42x + 8 se x > 4 ⇒ f ′(x) =

{−2 se x < 42 se x > 4 =

2(x− 4)|x− 4|

18.

y

x

–2

2

4

–6 –4 –2 2

f(x) = |x+3| nao e diferenciavel em x = −3 pois o grafico tem um bico no ponto(−3, f(−3)) = (−3, 0). E diferenciavel em R− {−3}.

(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3)

19.

y

x

–2

2

4

6

8

10

12

–6 –4 –2 2 4 6

f(x) = |x2 − 9| nao e diferenciavel em x = ±3 pois o grafico tem um bico nospontos (−3, f(−3)) = (−3, 0) e (3, f(3)) = (3, 0) . E diferenciavel em R−{−3, 3}.

(i) f ′(x) = 0: x = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 3)

20.

y

x

–1

123

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

f(x) =√|x| nao e diferenciavel em x = 0 pois o grafico tem um bico no ponto

(0, f(0)) = (0, 0). E diferenciavel em R− {0}.

(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (0,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0)

21.

y

x

–4

–2

0

2

4

–4 –3 –2 1 2 3 4

f(x) ={

x2 − 4 , x ≤ 04− x2 , x > 0 nao e contınua em x = 0 pois o grafico tem um

salto em x = 0, logo f(x) nao e diferenciavel em x = 0. E diferenciavel em R−{0}.

(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) ( ∃x tal que f ′(x) > 0 (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞)




LISTA 7 - 2008-1Algumas aplicacoes de derivada

Regra da cadeia

1. Uma partıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equacao s =√

t, sendo s a distancia (emmetros) da partıcula ao seu ponto de partida, apos decorridos t segundos da partida.

(a) Calcule a velocidade media da partıcula de t = 9 ate t = 16(b) Calcule a velocidade instantanea da partıcula quando t = 9.

2. Calcule a taxa de variacao do volume de um balao esferico em relacao ao seu raio, quando o raio do balaofor igual a 5 cm.

3. Um projetil e lancado verticalmente para cima e t segundos apos o lancamento esta a s metros do solo,onde s = s(t) = 256 t− 16t2. Calcule:

(a) A velocidade do projetil t segundos apos o lancamento;(b) O tempo necessario para o projetil atingir a altura maxima;(c) A altura maxima atingida pelo projetil.

4. No instante t horas um veıculo esta 16√

t3 − 24t + 16 quilometros a leste de um ponto de referencia naestrada.

(a) Qual a velocidade no instante t = 14 e qual e o sentido do movimento em relacao ao ponto de

referencia?(b) Onde esta o veıculo quando a velocidade e zero?

Nos exercıcios 5. a 10. derive a funcao (se possıvel, simplifique antes e/ou depois de derivar).

5. f(x) =4√

2x4 + 2x

cos2 x

6. f(x) = ( sen 2x)!x3 + 2x

"2/3

7. F (u) =u3 − 3u2

(u4 + 1)5/2

8. G(r) = 5

#2r2 − 2r − 1

9. M(x) =$

x +%

x +√

x

10. f(x) =

&x3 sen

1x4

se x #= 0

0 se x = 0

11. Sejam f(x) =√

2x + 1 e g(x) =√

tan x. Calcule (f ◦ g)!'π

4

(.

12. Considere f uma funcao diferenciavel e g definida por g(x) = f2(cos x).

Sabendo que f(0) = 1 e f !(0) = −12, calcule g!

'π

2

(.

13. Seja g : R −→ R diferenciavel; g(0) =12

e g!(0) = 1.

Calcule f !(0), onde f(x) = (cos x)g2

)tan

x

x2 + 2

*.

14. Sejam g diferenciavel e f(x) = x g!x2

".

(a) Mostre que f !(x) = g!x2

"+ 2x2g ! !x2

";

(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g!(4) = 1 e f !(2) = −1.

15. Considere as funcoes g(x) =+

1 se x < −1|x| se x ≥ −1 e f(x) =

+1 se x < 01− x2 se x ≥ 0

(a) Encontre (f ◦ g)(x); (b) Usando (a), encontre (f ◦ g)!(x) e determine seu domınio D;(c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular (f ◦ g)!(x);(d) Usando a regra da cadeia, encontre (f ◦ g)!(x), ∀x ∈ C;(e) Compare (b) e (d); (f) Esboce os graficos de g, f e f ◦ g;(g) Indique nos graficos os pontos onde g, f e f ◦ g nao sao diferenciaveis.


RESPOSTAS

1. (a)

√16−

√9

16− 9; (b) lim

∆t→0

√9 + ∆t−

√9

∆t= s′(9) =

1

6m/seg.

2. Sendo V = volume, V ′(5) = 100π cm3/cm. 3. (a) 128 m/seg; (b) 8 seg (c) 1024 m

4. (a) s′(1/4) = −12 < 0 ⇒ sentido: veıculo se aproxima da referencia, rumo oeste, com velocidade escalar de 12km/h; (b) 8 km a leste da referencia.

5. f ′(x) =

!cos2 x

"(1/4)

!2x4 + 2x

"−3/4(8x + 2)−

!2x4 + 2x

"1/4(2 cos x)(− sen x)

cos4 x=

!4x3 + 1

"cos x + 8

!x4 + 1

"sen x

2 (2x4 + 2x)3/4 cos3 x

6. f ′(x) = ( sen 2x)(2/3)!x3 + 2x

"−1/3 !3x2 + 2

"+ (cos 2x)(2)

!x3 + 2x

"2/3=

2!3x2 + 2

"( sen 2x) + 6

!x3 + 2x

"(cos 2x)

3 (x3 + 2x)1/3

7. F ′(u) =

(u4 + 1

)5/2 (3u2 − 6u

)−

(u3 − 3u2

)(5/2)

(u4 + 1

)3/2)(4u3

)

(u4 + 1)5=−7u6 + 24u5 + 3u2 − 6u

(u4 + 1)7/2

8. G′(r) =1

5(2r + 2)−4/5(2) =

2

5 5√

(2r + 2)49. f ′(x) =

1 +

1 +1

2√

x

2√

x +√

x

2

√x +

√x +

√x

10. f ′(x) =

{3x2 sen

1

x4− 4

x2cos

1

x4, x $= 0

0 , x = 011.

√3

312. 1 13.

1

214.

9

7

15. (a) (f ◦ g)(x) =

{0, x < −11− x2, x ≥ −1

(b) (f ◦ g)′(x) =

{0, x < −1−2x, x > −1

$ ∃(f ◦ g)′(−1) pois (f ◦ g)′−(−1) = 0 $= (f ◦ g)′+(−1) = 2

D = dom(f ◦ g)′ = R− {−1}

(c) g′(x) =

0, x < −1−1, −1 < x < 01, x > 0

$ ∃ g′(−1) pois g′−(−1) = 0 $= g′+(−1) = −1 e$ ∃ g′(0) pois g′−(0) = −1 $= g′+(0) = 1Logo dom (g′) = R− {−1, 0}

f ′(x) =

{0, x < 0−2x, x ≥ 0

Logo dom (f ′ ◦ g) = {x ∈ (dom g) = R; y = g(x) ∈ (dom f ′) = R} = R

Como C = (dom (f ′ ◦ g)) ∩ (dom (g′)), temos C = R− {−1, 0}.

(d) Visando aplicar a regra da cadeia, vamos calcular primeiro f ′(g(x)) em C = R− {−1, 0}:

Como g(x) =

1, x < −1|x|, −1 < x < 0|x|, x > 0

temos f ′(g(x)) =

f ′(1) = −2, x < −1f ′ (|x|) = −2|x| = 2x, −1 < x < 0f ′ (|x|) = −2|x| = −2x, x > 0

.

Aplicando a regra da cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) =

−2× 0 = 0, x < −1(2x)× (−1) = −2x, −1 < x < 0(−2x)× (1) = −2x, x > 0

(e) (f ◦ g)′(x) sao iguais nos pontos comuns de D e C, mas nao e possıvel aplicar a regra da cadeia para calcular(f ◦ g)′(0).

(f)

y = g(x)y

x

–4

–2

0

2

4

–4 –3 –2 1 2 3 4

y = f(x)y

x

–4

–2

0

2

4

–4 –3 –2 1 2 3 4

y = (f ◦ g)(x)y

x

–4

–2

0

2

4

–4 –3 –2 1 2 3 4




LISTA 8 - 2008-1Aproximacao linear

DiferencialDerivada de ordem superior

1. Encontre a equacao da reta que melhor aproxima o grafico de y = f(x) = x19/3 para valores de x proximosde −1. Usando a equacao desta reta, encontre um valor aproximado para (−1, 06)19/3.

2. Calcule, por diferencial, o valor aproximado de: (a)√

35, 99 (b)1

3, 09(c)

!cos

"π

3

#$1/3

3. A altura e o raio de um cilindro reto sao iguais, de modo que o volume desse cilindro e dado por V =πh3. O volume deve ser calculado com erro nao maior que 1% em relacao ao valor real. Determine,aproximadamente, o maior erro que pode ser tolerado na medida de h, expressando-o como porcentagemde h.

4. Calcule f !! para a funcao do ex. 8. da Lista 7.

5. Calcule f !! para a funcao do ex. 10. da Lista 7.

6. Calcule f !!, f !!! e seus respectivos domınios para f(x) =

%x2 cos

1x

, x #= 0

0, x = 0

7. Seja h(x) =&&x2 − 4

&& , x ∈ R.

(a) De os pontos onde h e duas vezes diferenciavel e determine h!(x) e h!!(x);(b) Esboce o grafico de h.

8. Seja y = u cos2 u3. (a) Calculedy

du; (b) Se u = u(x), calcule

dy

dxe

d2y

dx2.

9. Prove: se y = cos√

x− sen√

x entao 4xy!! + 2y! + y = 0.

10. Considere g(x) = cos x×f2(x), onde f : R −→ R e duas vezes diferenciavel, f(0) = −1 e f !(0) = f !!(0) = 2.Calcule g!!(0).

RESPOSTAS

1. y =19

3x +

16

3; valor aproximado = −1, 38 2. (a) ∼= 5, 9992 (b) ∼= 0, 3233

2. (c) como cos!π

3

"=

1

2,

#1

2

$1/3

∼= 0, 8333, e uma aproximacao grosseira, foi usado que1

2esta perto de 1;

#1

2

$1/3

∼= 0, 79375, e uma aproximacao melhor, foi usado que1

2esta perto de 0, 512 = (0, 8)3

3.1

3% 4. G′′(r) = −16

25(2r + 2)−9/5

5. Para x #= 0, f ′′(x) =

#6x− 16

x7

$sen

1

x4− 4

x3cos

1

x4; # ∃f ′′(0) pois f ′ nao e contınua em x = 0.

6. dom f ′′ = dom f ′′′ = R− {0}; # ∃f ′′(0) pois f ′ nao e contınua em x = 0 e # ∃f ′′′(0) pois # ∃f ′′(0);

f ′′(x) =

#1− 1

x2

$cos

1

x+

2

xsen

1

x; f ′′′(x) = − 1

x4sen

1

x.

7. (a) h e duas vezes diferenciavel para ∀x ∈ R; x #= −2 e x #= 2;

h′(x) = (2x)x2 − 4

|x2 − 4| =

%−2x se −2 < x < 2

2x se x < −2 ou x > 2

h′′(x) = (2)x2 − 4

|x2 − 4| =

%−2 se −2 < x < 2

2 se x < −2 ou x > 2

(b)

y

x0

2

4

6

8

10

12

–4 –2 2 4

8. (a)dy

du= cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3 (b)

dy

dx=

&cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3

' du

dxd2y

dx2=

&cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3

' d2u

dx2+ 6u2

&3u3 sen 2u3 − 4 sen u3 cos u3 − 3u3 cos2 u3

' #du

dx

$2

9. Basta calcular y′ e y′′, substituir na expressao do lado esquerdo da equacao e verificar que se anula.

10. 3




LISTA 9 - 2008-1Funcao implıcita

Taxas relacionadas

1. Determine a expressao de pelo menos duas funcoes y = y(x) definidas implicitamente pelaequacao xy2 + x + y = 1. Explicite seus domınios.

2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equacao sec2(x + y) − cos2(x + y) =32. Calcule

f ′!π

4

", sabendo que f

!π

4

"= 0.

3. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equacao x2−x√

xy+2y2 = 10. Encontre o coeficienteangular da reta normal ao grafico da funcao f no ponto (4, 1).

4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0) , sabendo quef(x) > 0, ∀x ∈ R.

5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cissoide de Dioclescuja equacao e (2− x)y2 = x3.

(a) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico da curva em (1, 1);

(b) Obtenha as equacoes das retas tangentes ao grafico da curva nos

pontos em que x =32.

y

x

–4

–2

0

2

4

–1 1 2

6. Considere a lemniscata de equacao#x2 + y2

$2 = x2−y2 (figura ao lado).Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes saohorizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes saoverticais.

y

x

–1

0

1

–1 1

7. Cascallho esta caindo e formando uma pilha conica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, demodo que o raio do cone e sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variacao da altura dapilha quando a altura e de 3 m.

8. Uma camara de televisao no nıvel do solo esta filmando a subida de um onibus espacial queesta subindo verticalmente de acordo com a equacao s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. Acamara esta a 600 m do local de lancamento. Encontre a taxa de variacao da distancia entre acamara e a base do onibus espacial, 10 seg apos o lancamento (suponha que a camara e a basedo onibus estao no mesmo nıvel no tempo t = 0).

9. Num determinado instante, um controlador de trafego aereo ve doisavioes na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetoriasortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante,um dos avioes esta a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450milhas por hora, enquanto o outro esta a 200 milhas do ponto P e semovendo a 600 milhas por hora, tambem em direcao ao ponto P .

150

200

P

(a) Antes do ponto P , a distancia entre os avioes esta diminuindo? a que taxa?

(b) Os avioes correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tempara fazer com que um dos avioes mude a sua trajetoria?


10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 +4y2 = 1. A abscissa x esta variando a uma velocidadedx

dt= sen 4t. Mostre que (a)

dy

dt= −x sen 4t

4y(b)

d2y

dt2= − sen 24t + 16xy2 cos 4t

16y3.

11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferencia x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponhadx

dt> 0. Determine

o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.

12. Uma escada de 8 m esta encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastadado pe da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidadesuperior estara descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?

13. Enche-se de agua um reservatorio, cuja forma e de um cone circular reto(veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3/seg. O vertice esta a 15 m dotopo e o raio do topo e de 10 m. Com que velocidade o nıvel h da aguaesta subindo no instante em que h = 5 m?

agua

10 m

15 m

h

14. O raio de luz de um farol, que esta situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotacoes porminuto). Considere a altura do farol desprezıvel em relacao a sua distancia ate a praia. Ache avelocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um angulo de 45◦

com a linha da praia.

RESPOSTAS

1. y = f(x) =−1−

√1 + 4x− 4x2

2x

y = g(x) =−1 +

√1 + 4x− 4x2

2x;

domınio =!

1−√

22 , 0

" %!0, 1+

√2

2

"

2. −1

3. 0

4.14

5. (a) y = 2x− 1

(b) y = 3√

3x− 3√

3 e y = −3√

3x + 3√

3

6. Tangentes horizontais em:

x =√

64

e y =√

24

;

x =√

64

e y = −√

24

;

x = −√

64

e y =√

24

;

x = −√

64

e y = −√

24

.

Tangentes verticais em:

x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0.

7. 10, 6 cm/min

8. 278, 54 m/seg

9. (a) esta diminuindo a velocidade escalar de 750mi/h

(b) 20 min

11. (−2, 1)

12. velocidade escalar de6√55

m/seg ∼= 80, 9

cm/seg

13.0, 9100π

m/seg ∼= 0, 2865 cm/seg

14. 96π ∼= 301, 6 km/min ∼= 5, 03 km/h




LISTA 10 - 2008-1Funcoes inversas

Teorema da Funcao InversaFuncoes trigonometricas inversas

1. Seja f(x) =1x− x3, x > 0.

(a) Mostre que f tem inversa em (0,∞); (b) Calcule f−1(0) e!f−1

"′ (0);

(c) Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f−1 no ponto!0, f−1(0)

".

2. Sendo f uma funcao invertıvel, derivavel, tal que f(1) = 2, f(2) = 7, f ′(1) = 3 e f ′(2) = 4, calcule!f−1

"′ (2).

3. Seja f(x) =#

1− x3, x ≤ 01− x2, x > 0 . Se f−1 existir, calcule

!f−1

"′ (x) e esboce os graficos de f e f−1.

Resolva as equacoes dos exercıcios 4. a 11.

4. senx =√

32

5. cos x = 0

6. senx = − 12

7. cos x = −1

8. tan x = 0

9. tan x = 1

10. tan x = −1

11. sec x = −2

Nos exercıcios 12. a 19. encontre o valor de x.

12. x = arcsen√

32

13. x = arccos 0

14. x = arcsen − 12

15. x = arccos−1

16. x = arctan 0

17. x = arctan 1

18. x = arctan−1

19. x = arcsec − 2

Deduza as formulas dos exercıcios 20. a 22.

20. arcsec x− arccos1x

= 0 21. (arctanx)′ =1

1 + x222. cos( arcsen x) =

√1− x2

Nos exercıcios 23. e 24. derive a funcao.

23. f(x) = arcsen 3!(x + 1)2

"+ arccos

1√x2 + 1

24. g(x) = arctan$

1− cos x

1 + cos x

Nos exercıcios 25. e 26. encontre y′, se y = y(x) e definida implicitamente pela equacao dada.

25. x arctan y = x2 + y2 26. arcsen (xy) = x + y

Nos exercıcios 27. a 29. verifique a igualdade.

27.d

dx

%x3

3arcsen x +

x2 + 29

√1− x2

&= x2 arcsen x

28.d

dx

%arctan

x

1 +√

1− x2

&=

12√

1− x2

29.d

dx

%arctan

2 tanx

1− tan2 x

&= 2

30. Seja f(x) = 2!x2 + 1

"arctan x, x ∈ R.

(a) Mostre que f e invertıvel;

(b) Verifique que f(−1) = −π e calcule!f−1

"′ (−π);


RESPOSTAS

1. (a) Como f ′(x) = −1 + 3x4

x2< 0 em (0,∞),

f satisfaz as hipoteses do TFI

(teorema da funcao inversa).

Logo f e invertıvel em (0,∞);

(b) f−1(0) = 1 e(f−1

)′(0) = −1/4;

(c) x + 4y = 4

2.1

3

3.(f−1

)′(x) =

−1

3 3√

(1− x)2, x > 1

−1

2√

1− x, x < 1

–1f f

–1ff

y

x

–1

0

1

–1 1 2

4. x =π

3+ 2kπ ou x =

2π

3+ 2kπ, k ∈ Z

5. x =π

2+ kπ, k ∈ Z

6. x = −π

6+ 2kπ ou x = −5π

6+ 2kπ, k ∈ Z

7. x = π + 2kπ , k ∈ Z8. x = 2kπ , k ∈ Z

9. x =π

4+ kπ, k ∈ Z

10. x = −π

4+ kπ, k ∈ Z

11. x =2π

3+ 2kπ ou x = −2π

3+ 2kπ, k ∈ Z

12. x =π

3

13. x =π

2

14. x = −π

615. x = π

16. x = 0

17. x =π

4

18. x = −π

4

19. x =2π

3

20. Sabemos que y = arcsec x ⇔ sec y = x, 0 ≤ y < π2

ou π2

< y ≤ π ⇔ 1

cos y= x, 0 ≤ y < π

2ou π

2< y ≤ π ⇔

1

x= cos y. Substituindo a primeira e a ultima relacao na equacao dada, obtemos y − arccos (cos y) = y − y = 0.

21. Deduzida em aula.

22. Sabemos que y = arcsen x ⇔ sen y = x, −π2≤ y ≤ π

2. Por outro lado, cos y = ±

√1− sen 2y, mas no intervalo

considerado cos y ≥ 0, logo cos( arcsen x) = cos y =√

1− sen 2y =√

1− x2.

23. f ′(x) = 3 arcsen 2!(x + 1)2

" 2(x + 1)#

1− (x + 1)4+

−1$

1−1

x2 + 1

·−1

2

!x2 + 1

"− 32 (2x) =

=6(x + 1) arcsen 2

!(x + 1)2

"#

1− (x + 1)4+

x

(x2 + 1)√

x2

24. g′(x) =1

1 +1− cos x

1 + cos x

×1

2

$1− cos x

1 + cos x

×(1 + cos x)( sen x)− (1− cos x)(− sen x)

(1 + cos x)2=

sen x

2| sen x|

25.dy

dx=

!1 + y2

"(2x− arctan y)

x− 2y (1 + y2)=

!1 + y2

" !x2 − y2

"

x2 − 2xy (1 + y2)

26.dy

dx=

#1− x2y2 − y

x−#

1− x2y2

30. (a) f ′(x) = 2 + 4x arctan x (= 0 pois (i) f ′(0) = 2; (ii) x > 0 ⇒ arctan x > 0 ⇒ x arctan x > 0 ⇒ f ′(x) > 2⇒ f ′(x) > 0; (iii) x < 0⇒ arctan x < 0⇒ x arctan x > 0⇒ f ′(x) > 2 ⇒ f ′(x) > 0.

Logo aplicando o Teorema da Funcao Inversa, f possui inversa f−1.

(b) f(−1) = 4 arctan(−1) = −π;(f−1

)′(−π) =

1

2 + π.




LISTA 11 - 2008-1Teorema de Rolle

Teorema do Valor Medio - TVM

Nos exercıcios 1. a 6. verifique se o Teorema de Rolle pode ser aplicado a f nos intervalosindicados.

1. f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2]

2. f(x) = x2 − 2x, x ∈ [−1, 3]

3. f(x) = (x− 3)(x + 1)2, x ∈ [−1, 3]

4. f(x) = x− x13 , x ∈ [0, 1]

5. f(x) = x− x13 , x ∈ [−1, 1]

6. f(x) =

x2 − 4x2

, x #= 0

0, x = 0I = [−2, 2]

grafico do ex. 6

x

y

–40

–30

–20

–10

10

7. A altura de uma bola, t segundos apos o lancamento, e dada por f(t) = −16t2 + 48t + 32.

(a) Verifique que f(1) = f(2);

(b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante dointervalo [1, 2]? Enuncie o Teorema de Rolle;

(c) Encontre a velocidade media da bola durante os dois primeiros segundos;

(d) Em que instante a velocidade instantanea e igual a velocidade media acima? Enuncie oteorema que nos garante isso.

8. Seja f : [−1, 2] −→ R contınua em [−1, 2], diferenciavel em (−1, 2), com f(−1) = −1 e f(2) = 5.Prove que existe um ponto no grafico de f em que a reta tangente e paralela a reta y = 2x.

9. Seja p(x) = Ax2 +Bx+C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existenciae garantida pelo Teorema do Valor Medio (TVM), e o ponto medio do intervalo.

10. Se a > 0 e n e um inteiro nao negativo qualquer, prove que p(x) = x2n+1 + ax + b nao pode terduas raızes reais.

11. Mostre que g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x + 10 admite uma unica raiz no intervalo (−3,−2).

12. Seja P uma funcao polinomial nao constante.

(a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ! (isto e, dois valores de x que anulam aderivada e tal que entre eles nao existe outro valor que anula a derivada), existe no maximouma raiz de P .

(b) Se P tem tres raızes distintas em [a, b], prove que P !!(c) = 0, para algum valor c ∈ (a, b).


RESPOSTAS

1. Nao, a hipotese f diferenciavel em (0, 2) falha, pois f nao e diferenciavel em x = 1 ∈ (0, 2).

2. Sim 3. Sim 4. Sim

5. Nao, f diferenciavel em (−1, 1) nao se verifica, pois f nao e diferenciavel em x = 0 ∈ (−1, 1).

6. Nao, a hipotese f contınua em [−2, 2] nao se verifica, pois f nao e contınua em x = 0 ∈ [−2, 2].

7. (a) f(1) = f(2) = 64 (b) v = 0 (c) 16 m/seg (d) t = 1 seg

8. Existe uma reta tangente ao grafico e paralela a reta y = 2x ⇐⇒ ∃x ∈ [1, 2] tal que f !(x) = 2 (coefi-cientes angulares iguais). Calcule o coeficiente angular da reta secante ao grafico que contem os pontos(−1, f(−1)) e (2, f(2)), depois aplique o Teorema do Valor Medio (TVM).

9. (i) p e contınua em [a, b] pois p e uma funcao polinomial; (ii) p e diferenciavel em (a, b) pois p e umafuncao polinomial. Se valem as hipoteses (i) e (ii) do TVM, entao vale a tese : ∃c ∈ (a, b) tal que

p!(c) =p(b)− p(a)

b− a=

(Ab2 + Bb + C

)−

(Aa2 + Ba + C

)

b− a=

A(b2 − a2

)+ B(b− a)

b− a=

=A(b− a)(b + a) + B(b− a)

b− a=

(b− a)[A(b + a) + B]b− a

= A(b + a) + B.

Alem disso, como p!(x) = 2Ax + B, temos que p!(c) = 2Ac + B.

Igualando as duas expressoes de p!(c) e simplificando, chegamos a c =a + b

2.

10. Suponha, por absurdo, que p(x) tem duas raızes reais x1 e x2 com x1 < x2. As hipoteses do Teorema deRolle para p em [x1, x2] sao verdadeiras: (i) e (ii) p e contınua em [x1, x2] e diferenciavel em (x1, x2) poisp e uma funcao polinomial; (iii) p (x1) = p (x2) = 0 pois x1 e x2 sao raızes de p(x).Aplicando o Teorema de Rolle: ∃c ∈ (x1, x2) tal que p!(c) = 0 (*)

Por outro lado, p!(x) = (2n + 1)x2n + a = (2n + 1) (xn)2 + a.

Como, (2n + 1) (xn)2 ≥ 0, ∀x ∈ R e por hipotese a > 0, temos que p!(x) > 0, ∀x ∈ R (**)As conclusoes (*) e (**) sao contraditorias, logo nao e possıvel supor que existem duas raızes reais.

11. 1a parte: Como a funcao polinomial g e contınua em [−3,−2], g(−3) = −8 < 0 e g(−2) = 18 > 0, peloTeorema do Valor Intermediario, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2.

2a parte: Suponha, por absurdo, que g admite duas raızes c1 e c2 tal que −3 < c1 < c2 < −2. Logog(c1) = g(c2) = 0. Como a funcao polinomial g e contınua em [−3,−2] e diferenciavel em (−3,−2),pelo Teorema de Rolle, ∃c entre c1 e c2 tal que g!(c) = 0. (*)Por outro lado, g!(x) = 24x2 + 60x + 24 = 12(x + 2)(2x + 1), analisando o sinal de g!(x), temosg!(x) > 0 quando −3 < x < −2, logo g!(c) > 0, que contradiz com (*). Conclusao: g nao admiteduas raızes entre −3 e −2.

Pela 1a parte, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2 e pela 2a parte, g nao admite duas raızesentre −3 e −2, consequentemente g possui uma unica raiz entre −3 e −2.

12. (a) Suponha que x1 e x2 sao dois zeros consecutivos de P !. Suponha, por absurdo, que entre x1 e x2

existem duas raızes de P . Sejam x3 e x4, com x3 < x4 essas raızes de P . Assim, (x3, x4) ⊂ (x1, x2).Aplicando o Teorema de Rolle para a funcao P em [x3, x4]: [(i)P (x3) = P (x4) = 0], verifique asoutras duas hipoteses, afirmamos que ∃ c ∈ (x3, x4) ⊂ (x1, x2) tal que P !(c) = 0 =⇒ ∃ c ∈ (x1, x2)tal que P !(c) = 0, o que contradiz com a hipotese de que x1 e x2 sao dois zeros consecutivos de P !.

(b) Sejam x1, x2 e x3 as tres raızes, com x1 < x2 < x3. O Teorema de Rolle aplicado a P nos intervalos[x1, x2] e [x2, x3] nos garante (verifique as hipoteses) que ∃ c1 ∈ (x1, x2) e ∃ c2 ∈ (x2, x3) tais queP ! (c1) = P ! (c2) = 0. Agora, o Teorema de Rolle aplicado a P ! no intervalo [c1, c2] nos garante(verifique as hipoteses) que ∃ c ∈ (c1, c2) tal que P !! (c) = 0.





LISTA 12 - 2008-1Funcao logarıtmicaFuncao exponencial

1. Seja f(x) =ln

!x2 − 3

"#

(x− 1)(x + 3). Determine o domınio de f , os valores de x onde a f se anula e

os intervalos onde a f e positiva e onde a f e negativa.

Nos exercıcios 2. a 5. esboce o grafico da funcao.

2. f(x) = ln |x− 4|

3. y = | ln |x + 1| |

4. F (x) = e|x+2|

5. g(t) = 12 − e−t

Derive as funcoes dos exercıcios 6. a 16. (se for conveniente, use derivacao logarıtmica)

6. f(x) =e sen 2x√x

ecos 3x

7. f(x) = e√

x ln√

x

8. f(x) = ln$x√

x2 + 1%

9. f(x) = (ex)x

10. f(x) = exx

11. f(x) = (xx)x

12. f(x) = log2x2

13. f(x) = ( senx) arcsen x

14. f(x) = xπ + πx

15. f(x) = (lnx)x xln x

16. ln√

x + 1(x− 1)3

Calcule y′ nos exercıcios 17. a 19.

17. ln&

x

y+

y

x

'= 5 18. sen exy = x 19.

y2 cos x

ex= 2ln y, para x = 0 e

y = 1

RESPOSTAS

1. Domınio = (−∞,−3) ∪!√

3,∞";

f = 0 em x = 2f > 0 para x < −3 ou x > 2;f < 0 para

√3 < x < 2

2. x

y

–3

–2

–1

0

1

2

3.

y

x0

1

2

–2 –1 1 2 3 4

4.

y

x

–2

0

2

4

6

8

10

–5 –4 –3 –2 –1 1

5.

x

y

–5

–4

–3

–2

–1

1


6. f ′(x) =(1 + 4x cos 2x + 6x sen 3x)e sen 2x

2ecos 3x√

x

7. f ′(x) ==e√

x (1 +√

x ln√

x)2x

8. f ′(x) =2x2 + 1

x (x2 + 1)

9. f ′(x) = 2xex2

10. f ′(x) = xxexx

(1 + lnx)

11. f ′(x) = (xx)x (x + 2x lnx)

12. f ′(x) =2

x ln 2

13. f ′(x) = ( sen x) arcsen x

&cot x arcsen x +

ln ( senx)√1− x2

'

14. f ′(x) = πxπ−1 + (lnπ)πx

15. f ′(x) = (ln x)x!x ln x

"&1

lnx+ ln (ln x) +

2 ln x

x

'

16. f ′(x) =−(5x + 7)2 (x2 − 1)

17. y′ =y

x

18. y′ =1− yexy cos exy

xexy cos exy

19. y′ =1

2− ln 2




LISTA 13 - 2008-1

Regra de L’Hopital

Calcule os limites dos exercıcios 1. a 10.

1. limx→0

cos2x− 1ex2 − 1

2. limx→1+

(lnx)x−1

3. limx→+∞

!x2 − 1

"e−x2

4. limx→+∞

ln (lnx)lnx

5. limx→0+

ln( arcsenx)cotx

6. limx→0

x

arctanx

7. limx→+∞

!2π arctanx

"x

8. limx→+∞

#cos

2x

$x2

9. limx→0+

#tan

π

x + 2

$x

10. limx→0

%1e (1 + x)

1x

& 1x

Nos exercıcios 11. e 12. encontre o valor de a que satisfaz a igualdade.

11. limx→+∞

#1 + e2x

2

$ ax

=√

e 12. limx→+∞

#x + a

x− a

$x

= 4

Nos exercıcios 15. a 22. encontre, se existirem, as assıntotas horizontais e verticais do graficoda funcao.

13. f(x) =x

lnx

14. f(x) =e−

1x2

x

15. f(x) = e1x

16. f(x) = x2 lnx

17. f(x) = e−x2

18. f(x) = xe−x

19. f(x) = πx3

RESPOSTAS

1. −1

2. 1

3. 0

4. 0

5. 0

6. 1

7. e−2π

8. e−2

9. 1

10. e−12

11. 14

12. ln 2

13. Assıntota vertical: x = 1

14. Assıntota horizontal: y = 0

15. Assıntota vertical: x = 0

Assıntota horizontal: y = 0

16. Nao tem assıntotas







LISTA 14 - 2008-1Crescimento e decrescimento de funcoes

Maximos e mınimos relativosMaximos e mınimos absolutos

1. Aproxime f(x) = ex em a = 0 com um polinomio de Taylor de grau tres e com um polinomio degrau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproximacoes em x = 0.2 e x = 1.0 e compare comos valores corretos.

2. Use o polinomio de Taylor de ordem dois de f(x) = x3/2 no ponto a = 4 para obter uma aproximacaode (4.2)3/2.

3. Calcule os polinomios de Taylor de ordem um, dois e tres da funcoes y = f(x) =√

x + 1 em a = 0 eda funcao y = g(x) = ln(x) em x = 1. A seguir, calcule os valores destas aproximacoes em x = 0.2e x = 1.0 e compare com os valores corretos.

4. Seja f(x) = arctanx.

(a) Determine o polinomio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0;

(b) Usando (a), calcule arctan(0, 3) e estime o erro;.

(c) Determine o polinomio de Taylor de grau 14 de g(x) = arctanx2 em torno de x = 0.(Sugestao: use o polinomio de Taylor de f(x) = arctanx.)

5. Prove que se f e uma funcao par, entao o polinomio de Taylor de grau n em torno de x = 0 contemapenas potencias pares de x. (Sugestao: prove que f par =⇒ f ′ ımpar =⇒ f ′′ par =⇒ f ′′′ ımpar⇒ · · · =⇒ f (2k) par =⇒ f (2k+1) ımpar.)

Nos exercıcios 6. a 8. de os intervalos em que a funcao e crescente e em que e decrescente.

6. f(x) = x +3x2 7. g(t) =

3t2 + 4t

1 + t28. F (u) =

u2 − u + 12(u− 1)

9. Seja f uma funcao tal que f(0) = 0 e f ′(x) =x2

1 + x2, ∀x ∈ R. Mostre que 0 < f(x) < x,∀x > 0.

10. Mostre que senx < x, ∀x > 0.

(Sugestao: para x ≥ π/2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < π/2, use derivada)

11. Prove a desigualdade cosx > 1− x2

2, x '= 0.

(Sugestao: prove para x > 0 e depois use o fato de que as funcoes de ambos os lados sao pares)

12. Prove, para x > 0, a desigualdade x− x3

6< senx.

13. Mostre que: (a) ex > x, ∀x ∈ R (b) ex >x2

2, ∀x ≥ 0

Nos exercıcios 14. a 16. localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funcoes nosintervalos dados.

14. f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3]

15. f(x) = 2 cos x + sen 2x, x ∈ [0, 4π]16. f(x) =

x5

5− x3

3+ 2, x ∈ [−2, 2]

17. Mostre que f(x) =lnx

xtem maximo absoluto em x = e. Conclua que πe < eπ.


18. Ache a inclinacao maxima da curva y = x3 − 3x + 3 no intervalo!−3

2 , 52

".

19. Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo deamplitude maxima 1.

20. Mostre que f(x) = x2− x senx− cos x tem exatamente duas raızes reais e localize-as em intervalosde amplitude maxima π/2.

21. Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade: x +1x≥ 2.

(Sugestao: estude o crescimento da expressao do lado esquerdo e determine o mınimo absolutodessa expressao no intervalo dado).

22. A concentracao C de certa substancia quımica no fluxo sanguınio em t horas apos ter sido injetado

no musculo e dada por C =3t

54 + t3. Em que instante a concentracao e maxima? Qual e a

concentracao maxima?

RESPOSTAS

1. p3(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 e p4(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24. p3(0.2) = 1.221333333 . . .,p3(1.0) = 2.6666666 . . ., p4(0.2) = 1.2214 e p4(1.0) = 2.70833333 . . ..

2. p2(x) = 8 + 3 (x− 4) + 3 (x− 4)2/16 e p2(4.2) = 8.6075.

3. Para f(x) =√

1 + x temos p1(x) = 1+x/2, p2(x) = 1+x/2−x2/8, p3(x) = 1+x/2−x2/8+x3/16,p1(0.2) = 1.1, p2(0.2) = 1.095, p3(0.2) = 1.0955. Para g(x) = ln(x) temos p1(x) = x − 1, p2(x) =(x − 1) − (x − 1)2/2, p3(x) = (x − 1) − (x − 1)2/2 + (x − 1)3/3, p1(1.2) = 0.2, p2(1.2) = 0.18 ep3(1.2) = 0.182666666 . . ..

4. (a) arctanx ∼= x− 13x3 +

15x5 − 1

7x7 (b) arctan(0, 3) ∼= 0, 291454757 erro ≤ 10−4

(c) arctanx2 ∼= x2 − 13x6 +

15x10 − 1

7x14

5. Primeiro vamos provar duas afirmacoes gerais sobre funcoes:

(i) F e par =⇒ F ′ e ımpar. De fato, se F e par entao F (−x) = F (x), derivando os dois lados dessaequacao, obtemos F ′(−x) · (−1) = F ′(x), ou ainda F ′(−x) = −F ′(x), que significa que F ′ e ımpar.

(ii) F e ımpar =⇒ F ′ e par. De fato, se F e ımpar entao F (−x) = −F (x), derivando os dois ladosdessa equacao, obtemos F ′(−x) · (−1) = −F ′(x), ou ainda F ′(−x) = F ′(x), que significa que F ′ epar.

Agora, considere o polinomio de Taylor Pn(f(x)) = f(0) +f ′(0)

1!x1 +

f ′′(0)21!

x2 + · · · +f (n)(0)

n!xn.

De (i) e (ii) temos f par =⇒ f ′ ımpar =⇒ f ′′ par =⇒ f ′′′ ımpar ⇒ · · · =⇒ f (2k) par =⇒ f (2k+1)

ımpar. Assim, quando f e par, todas as derivadas de ordem ımpar e uma funcao ımpar, isto e,f2k+1(−x) = −f2k+1(x). Quando x = 0, obtemos f2k+1(0) = −f2k+1(0). Mas o unico numeroigual ao seu simetrico e o numero zero, logo f2k+1(0) = 0, isto e, todos os termos de ordem ımpardo polinomio de Taylor sao nulos. Concluımos que o polinomio de Taylor so tera termos de ordempar.

6. Crescente em (−∞, 0) ∪#

3√

6,∞$, decrescente em

#0, 3√

6$.

7. Crescente em#−1

2 , 2$, decrescente em

#−∞,−1

2

$∪ (2,∞).


8. Crescente em (−∞, 0) ∪ (2,∞), decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2).

9. Primeiro vamos mostrar que f(x) > 0, ∀x > 0.

(i) f ′(x) =x2

1 + x2> 0, ∀x '= 0 =⇒ f e crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);

(ii) A funcao f e contınua em R pois f e diferenciavel em R.

Por (i) e (ii) concluımos: f e crescente em (0,∞) e contınua em [0,∞) =⇒ f(x) > f(0), ∀x > 0.

Finalmente, como por hipotese f(0) = 0, concluımos que f(x) > 0, ∀x > 0.

Agora vamos mostrar que f(x) < x, ∀x > 0. Mas f(x) < x, ∀x > 0 ⇐⇒ x − f(x) > 0, ∀x > 0.Considerando F (x) = x− f(x) temos que provar que F (x) > 0, ∀x > 0. Provando:

(i) F ′(x) = 1− x2

1 + x2=

11 + x2

> 0, x '= 0 =⇒ f e crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);

(ii) A funcao F e contınua em R pois e a diferenca de funcoes contınuas em R.

Por (i) e (ii) concluımos: F e crescente em (0,∞) e contınua em [0,∞) =⇒ F (x) > F (0), ∀x > 0.

Como F (0) = 0− f(0) = 0, concluımos que F (x) > 0, ∀x > 0.

10. Para x ≥ π

2. Como 1 <

π

2e senx ≤ 1, temos que senx ≤ 1 <

π

2≤ x. Logo senx < x.

Para 0 < x <π

2. Como senx < x⇐⇒ x− senx > 0, considere F (x) = x− senx.

Como F e a soma de funcoes contınuas em R, concluımos que F e contınua em R. (*)

F ′(x) = 1− cos x e sabemos que cosx < 1, ∀x ∈%0,

π

2

&. Logo F ′(x) = 1− cosx > 0 ∀x ∈

%0,

π

2

&.

Assim concluımos que F e crescente em%0,

π

2

&. (**)

Pelas conclusoes (*) e (**), temos que F (x) = x− senx > F (0) = 0, ∀x ∈%0,

π

2

&.

11. Como ∀x > 0, cos x > 1− x2

2⇐⇒ ∀x > 0, (cosx)−1+

x2

2> 0, considere F (x) = (cosx)−1+

x2

2.

Como F (0) = 1 − 1 + 0 = 0, se provarmos que (i) F e contınua em [0,∞) e (ii) F e crescente em(0,∞) concluiremos que F (x) > F (0) = 0, ∀x > 0. Provando (i) e (ii):

(i) F e contınua em R pois e a soma, diferenca e quociente de funcoes contınuas em R.

(ii) Para provar que F e crescente em (0,∞) basta provar que F ′(x) > 0, ∀x > 0. Mas F ′(x) =− senx + x.

Logo basta provar que − senx + x > 0, ∀x > 0, isto e, senx < x, ∀x > 0, ja provado no exercıcio5.

Agora, seguindo a sugestao, x < 0 ⇒ −x > 0 ⇒ F (−x) > 0 (provado acima). Mas F (−x) =

(cos(−x))− 1 +(−x)2

2= F (x). Logo ∀x < 0, F (x) = F (−x) > 0.

12. Considere G(x) = ( senx)−x+x3

6. Temos G′(x) = (cosx)−1+

x2

2. Esta e a funcao F do exercıcio

6. e ja provamos que (cosx)−1+x2

2> 0, ∀x > 0. Assim, concluımos que G e crescente em (0,∞).

(*)

Como G e a soma de funcoes contınuas em R, concluımos que G e contınua em R. (**)

Pelas conclusoes (*) e (**), temos que G(x) = ( senx)− x +x3

6> G(0) = 0, ∀x > 0.


13. (a) Vamos analisar cada possibilidade.

(i) Supondo x < 0. Sabemos que ex > 0, ∀x, em particular quando x < 0 temos que ex > 0 > x.

(ii) Supondo x ≥ 0. Para x = 0, e0 = 1 > 0. Considere a funcao f(x) = ex−x, contınua em [0,∞).Derivando, f ′(x) = ex − 1. Mas x > 0 ⇒ ex > 1 ⇒ f ′(x) > 0 ⇒ f e estritamente crescente em[0,∞) ⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x > 0⇒ ex > x.

(b) Considere a funcao f(x) = ex− x2

2, contınua em [0,∞). Derivando f ′(x) = ex−x. Foi mostrado

no item anterior que ex > x,∀x, logo f ′(x) > 0. Mas f ′(x) > 0 ⇒ f e estritamente crescente em

[0,∞)⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x2

2> 0 ⇒ ex >

x2

2.

14. A funcao polinomial f(x) = x3 − 3x2 e contınua no intervalo fechado e limitado [−1, 3], logo fsatisfaz as hipoteses do Teorema dos Valores Extremos (e o teorema de Weierstrass). Aplicandoesse teorema, comparamos os valores f(−1) e f(3) com os valores de f nos pontos crıticos que estaono interior de [−1, 3]. Concluımos que: mın f = f(−1) = f(2) = −4 e max f = f(0) = f(3) = 0.

15. A funcao f(x) = 2 cosx + sen 2x e contınua em R pois e a soma de produto e composta de funcoescontınuas em R, logo f e contınua no intervalo fechado e limitado [0, 4π]. Assim, pelo Teoremade Weierstrass, comparamos os valores f(0) e f(4π) com os valores de f nos pontos crıticos queestao em (0, 4π). Concluımos: mın f = f(5π/6) = (17π/6) = −3

√3/2 e max f = f(π/6) =

(13π/6) = 3√

3/2.

16. A funcao polinomial f(x) =x5

5− x3

3+ 2 e contınua no intervalo fechado e limitado [−2, 2]. Assim,

pelo Teorema dos Valores Extremos, comparamos os valores f(−2) e f(2) com os valores de f nos

pontos crıticos que estao em (−2, 2). Concluımos: mın f = f(−2) = −2615

e max f = f(2) =8615

.

17. Domınio de f = (0,∞). Derivando, f ′(x) =1− lnx

x2. Analisando o sinal de f ′(x), temos f ′(x) > 0

quando 0 < x < e; f ′(x) < 0 quando x > e ⇒ f e crescente quando 0 < x < e; f e decrescentequando x > e. Logo f tem um maximo relativo no unico ponto crıtico x = e. Como f e contınuaem x = e, concluımos que f tem um maximo absoluto em x = e.

Provando a desigualdade: f tem maximo absoluto em x = e ⇒ f(π) < f(e) =ln e

e=

1e⇒

f(π) =lnπ

π<

1e. Como e > 0 e π > 0, temos: e lnπ < π. Aplicando a propriedade de logaritmo

de potencia, temos e lnπ = lnπe, logo lnπe < π. Sabemos que a funcao exponencial e estritamentecrescente, logo eln πe

< eπ. Sabemos que eln x = x,∀x > 0, em particular eln πe= πe. Logo, πe < eπ.

18. Max f ′ = f ′(5/2) = 63/4.

19. Estudando o crescimento de f e aplicando o Teorema do Valor Intermediario, conclui-se que a unicaraiz esta em (−2,−1).

20. Idem anterior, uma raiz esta em (−π/2, 0) e a outra em (0,π/2).

21. No intervalo (0,∞), o mınimo absoluto de f(x) = x +1x

e igual a f(1) = 2. Logo f(x) ≥ f(1) = 2.

22. No instante t = 3. A concentracao maxima e19

= 0, 1111... = 0, 1.




LISTA 15 - 2008-1

Esboco de graficos

Nos exercıcios 1. a 8. esboce o grafico da funcao f e de explicitamente o que se pede:

• domınio D de f ; • paridade de f ; • equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico;• intervalos de D em que f e contınua; • pontos de D em que a tangente ao grafico e vertical;• intervalos de D onde f e crescente e onde f e decrescente;• extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;• intervalos onde a concavidade do grafico e para cima, onde e para baixo e os seus pontos de inflexao;• extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem; • imagem de f .

1. f(x) =x3 − 2

x

2. f(x) =16− x2

(x− 2)2

3. f(x) = (x− 1)x2/3

4. f(x) =3x + 1√

x2 − 2x− 3

5. f(x) =3x2

4− 4x + x2

6. f(x) = −1− 1x

+1x2

7. f(x) = x + senx

8. f(x) = x− 5 arctanx

9. Seja f : R∗ −→ R duas vezes diferenciavel e tal que• f(x) $= 0, ∀x ∈ R∗, f(−1) = −2 e f(1) = 3;• lim

x→0−f(x) = −∞, lim

x→0+f(x) = 0, lim

x→−∞f(x) = −∞, lim

x→∞f(x) = 0,

• f ′′(x) < 0 se {x $= 0 e x < 2}, f ′′(x) = 0 se x = 2 , f ′′(x) > 0 se x > 2;• o grafico de f ′ esta dado ao lado.Nestas condicoes,

(a) prove que f(x) > 0, ∀x > 0

(b) prove que f(x) < 0, ∀x < 0

(c) esboce um possıvel grafico de f .

Grafico de y = f !(x)y

x

–4

–2

0

2

4

–2 1 2 3 4 5 6 7 8

Esboce os graficos dos exercıcios 10. a 16.

10. f(x) =x

lnx

11. f(x) =e−

1x2

x

12. f(x) = e1x

13. f(x) = x2 lnx

14. f(x) = e−x2

15. f(x) = xe−x

16. f(x) = πx3


RESPOSTAS

1.

x

y

–10

10

20

–2 –1 1 2 3 4

D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 0, nao tem assıntota horizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−1, 0) ∪ (0,∞), decrescente em (−∞,−1); mınimo relativo = f(−1) = 3, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0)∪

!3√

2,∞", para baixo em

!0, 3√

2",

ponto de inflexao =!

3√

2, f!

3√

2""

=!

3√

2, 0"; nao tem mınimo absoluto pois lim

x→0+f(x) =

−∞, nao tem maximo absoluto pois limx→0−

f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).

2.

y

x

–2

0

2

4

6

8

–20 –12 –8 4 8 12 16 20

D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 2, assıntota horizontal: y = −1; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−∞, 2) ∪ (8,∞); decrescente em (2, 8); mınimo relativo = f(8) = −4/3, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 2) ∪ (2, 11), para baixo em (11,∞),ponto de inflexao = (11, f(11)) = (11,−35/27); mınimo absoluto = f(8) = −4/3, naotem maximo absoluto pois lim

x→2f(x) = ∞ ; imagem = [−4/3,∞).

3.

y

x

–1

1

–3 –2 –1 1 2 3 4

D = (−∞,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao temassıntota horizontal; reta tangente vertical: x = 0; crescente em (−∞, 0) ∪ (2/5,∞);decrescente em (2, 2/5); mınimo relativo = f(2/5) =

!−3 3√

20"/25, maximo relativo

= f(0) = 0; concavidade para cima em (−1/5, 0) ∪ (0,∞), para baixo em (−∞,−1/5),ponto de inflexao =

!−1/5,−6 3

√5/25

"; nao tem mınimo absoluto pois lim

x→−∞f(x) = −∞,

nao tem maximo absoluto pois limx→∞

f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).

4.

y

x

–6

–4

–2

2

4

6

8

–10 –5 5 10

D = (−∞,−1) ∪ (3,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntotas verticais:x = −1 e x = 3, assıntotas horizontais: y = −3 e y = 3; nao tem reta tangentevertical; crescente em (−∞,−2); decrescente em (−2,−1) ∪ (3,∞); nao tem mınimorelativo, maximo relativo = f(−2) = −

√5; concavidade para cima em (−∞,−3)∪(3,∞),

para baixo em (−3,−1), ponto de inflexao =!−3,−4

√3/3

"; nao tem mınimo absoluto

pois limx→−1−

f(x) = −∞, nao tem maximo absoluto pois limx→3+

f(x) = ∞ ; imagem

=!−∞,−

√5#∪ (3,∞).

5.

y

x0

10

20

30

–10 –5 5 10 15

D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 2, assıntota horizontal: y = 3; nao tem reta tangente vertical; crescente em (0, 2);decrescente em (−∞, 0)∪ (2,∞); mınimo relativo = f(0) = 0, nao tem maximo relativo;concavidade para cima em (−1, 2) ∪ (2,∞), para baixo em (−∞,−1), ponto de inflexao= (−1, 1/3); mınimo absoluto = f(0) = 0, nao tem maximo absoluto pois lim

x→2f(x) = ∞

; imagem = [0,∞).

6.

y

x

–2

2

4

6

–10 10

D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 0, assıntota horizontal: y = −1; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−∞, 0) ∪ (2,∞); decrescente em (0, 2); mınimo relativo = f(2) = −5/4, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0) ∪ (0, 3), para baixo em (3,∞),ponto de inflexao = (3,−11/9); mınimo absoluto = f(2) = −5/4, nao tem maximoabsoluto pois lim

x→0f(x) = ∞ ; imagem = [−5/4,∞).

7.

y

x

–20

–10

0

10

20

–20 20

D = (−∞,∞); e ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao tem assıntotahorizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em D; nao tem mınimo relativo,nao tem maximo relativo; concavidade para cima em (π + 2kπ, 2π + 2kπ), k ∈ Z, parabaixo em (2kπ, π +2kπ), k ∈ Z, pontos de inflexao (x, y) = (2kπ, f(2kπ)) = (2kπ, 2kπ) e(x, y) = (π+2kπ, f(π+2kπ)) = (π+2kπ, π+2kπ), k ∈ Z, nao tem mınimo absoluto poislim

x→−∞f(x) = −∞, nao tem maximo absoluto pois lim

x→∞f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).

8.

y

x

–10

0

10

–20 20

D = (−∞,∞); e ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao tem assıntotahorizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em (−∞,−2)∪ (2,∞), decrescenteem (−2, 2); mınimo relativo = f(2) = 2−5 arctan 2 ∼= −3, 55, maximo relativo = f(2) =−2+5 arctan 2 ∼= 3, 55; concavidade para cima em (0,∞), para baixo em (−∞, 0), pontode inflexao = (0, 0); nao tem mınimo absoluto pois lim

x→−∞f(x) = −∞, nao tem maximo

absoluto pois limx→∞

f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).


9. Primeiro observe que por hipotese, ∃f ′′(x), ∀x )= 0 =⇒ ∃f ′(x), ∀x )= 0 =⇒ f e contınua ∀x )= 0.

O grafico de y = f ′(x) e os outros dados conduzem ao seguinte quadro:

−∞← x x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x → 0− 0+ ← x 0 < x < 1 x = 1 1 < x x →∞f ′(x) + 0 − − + + 0 −f(x) −∞ cresce −2 decresce −∞ 0 cresce 3 decresce 0

(a) Como limx→0+

f(x) = 0 , f e crescente no intervalo (0, 1), e contınua no intervalo (0, 1], f(1) = 3 > 0, podemos

concluir que f(x) > 0 no intervalo (0, 1].

Como f(1) = 3 > 0, f e contınua no intervalo [1,∞), decrescente no intervalo (1,∞), limx→∞

f(x) = 0,

podemos concluir que f(x) > 0 no intervalo [1,∞).

(b) Como limx→−∞

f(x) = −∞, f e crescente no intervalo (−∞,−1), e contınua no intervalo (−∞,−1], f(−1) =

−2 < 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo (−∞,−1].

Como f(−1) = −2 < 0, limx→0−

f(x) = 0, f e contınua no intervalo [−1, 0), decrescente no intervalo (−1, 0),

limx→0−

f(x) = 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo [−1, 0).

(c) Como f ′(1) = 0, f e contınua no intervalo (0,∞), f e crescente no intervalo (0, 1),f e decrescente no intervalo (1,∞), podemos concluir que f tem um maximorelativo em x = 1, onde o grafico de f tem reta tangente horizontal.Como f ′(−1) = 0, f e contınua no intervalo (−∞, 0), f e crescente no intervalo(−∞,−1), f e decrescente no intervalo (−1, 0), podemos concluir que f tem ummaximo relativo em x = −1, onde o grafico de f tem reta tangente horizontal.Analisando a concavidade do grafico:f ′′(x) < 0 se x < 0 ou 0 < x < 2 =⇒ o grafico e concavo para baixo nos intervalos(−∞, 0) e (0, 2).f ′′(x) > 0 se x > 2 =⇒ o grafico e concavo para cima no intervalo (2,∞).

x

y

–4

–3

–2

–10

1

2

3

4

–3 –2 –1 1 2 3

10. 11. 12. 13.y

x0 2 4 6 8 10

Mınimo relativo de f= f(e) = elimx→0

f(x) = 0

limx→∞

f(x) = ∞lim

x→1−f(x) = −∞

limx→1+

f(x) = ∞Assıntota vertical: x = 1

x

y

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

–10 –5 5 10

Mınimo absoluto de f

= f (−√

e) = −e−12

√2

Maximo absoluto de f

= f (√

e) =e−

12

√2

limx→−∞

f(x) = limx→∞

f(x) = 0

Assıntota horizontal y = 0

x

y

1

2

3

4

5

–10 10

limx→−∞

f(x) = 1

limx→∞

f(x) = 1

limx→0−

f(x) = 0

limx→0+

f(x) = ∞Assıntota horizontal y = 1Assıntota vertical x = 0

x

y

0

1

1

Mınimo absoluto de f

= f!

1e

"= − 1

e2

limx→0

f(x) = 0

limx→∞

f(x) = ∞

14. 15. 16.

yx

1

–4 –2 2 4Maximo absoluto de f= f(0) = 1lim

x→−∞f(x) = 0

limx→∞

f(x) = 0


y

x1 2 3 4

Maximo absoluto de f

= f(1) =1

elim

x→−∞f(x) = −∞

limx→∞

f(x) = 0


y

x0

2

4

6

–2 –1 1

limx→−∞

f(x) = 0

limx→∞

f(x) = ∞Assıntota horizontal: y = 0




LISTA 16 - 2008-1

Problemas de otimizacao

1. Quais sao as dimensoes do retangulo de maior area que pode ser inscrito em um semi-cırculo de raio r?

2. Uma pagina deve conter 60 cm2 de area impressa. As margens superior e inferior devem ter 3 cm, enquantoas laterais tem 2 cm cada. Encontre as dimensoes da pagina que consomem a menor quantidade de papel.

3. Constroi-se uma janela normanda colocando-se um semicırculo em cima de uma janelaretangular (figura ao lado). Encontre as dimensoes da janela de area maxima, sabendo-seque seu perımetro e de 5 m.

4. Uma ilha situada a 40 km da costa deve ter um servico de barcos parauma cidade A (figura ao lado). Se os barcos tem velocidade media de15 km/h e os carros uma velocidade media de 45 km/h, onde devera estarsituada a estacao de barcos na costa, a fim de tornar a via a mais rapidapossıvel?

40 km

100 kmA

ilha

costa

5. Considere os triangulos retangulos no 1o. quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coorde-nados e em uma reta que contem o ponto (2, 3). Encontre o triangulo de area mınima.

6. Encontre as dimensoes do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r.Calcule o volume desse cone.

7. Um oleoduto tem a forma da curva y = 1 − x2 com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em quilometros. Seraconstruıda uma cerca tangente a curva y = 1 − x2 no ponto P #= (0, 1). Determine as coordenadas doponto P de modo que a area da regiao triangular formada pela cerca e pelos eixos seja mınima.

8. Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I, a luminosidade do objetoe igual a I/x2. Dois focos, F1 e F2 de intensidades I1 e I2, respectivamente, encontram-se separados por dunidades. Em que ponto do segmento de reta que liga F1 a F2, a luminosidade e mınima? Qual deve sera razao entre I1 e I2 para que o ponto de luminosidade mınima entre os dois focos esteja a uma distanciade d/3 unidades da fonte de luminosidade I1?

9. Um quadro de altura H esta pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior esta auma altura h do raio de visao horizontal de um observador. A que distancia da parede deve colocar-seo observador para que a sua posicao seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto e, para que oangulo de visao seja maximo?

10. Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preco de venda e de p unidadesmonetarias por tonelada do produto e esta relacionado com x por 5x = 375−3p, p ≥ 0. O custo de producaoe de C(x) = 500 + 15x + x2

6 unidades monetarias. Determine x para que o lucro (=venda−custo) sejamaximo. Determine, tambem, o lucro maximo.

RESPOSTAS

1. Base (no diametro) = r√

2 e altura = r√

2/2. 2. Sao 6 + 3√

10 ∼= 15, 49 cm e 4 + 2√

10 ∼= 10, 32 cm.

3. Retangulo: base =10

π + 4∼= 1, 4m, altura =

5

π + 4∼= 0, 7m. 4. A 100− 10

√2 ∼= 85, 86 km de A.

5. Vertices: (0, 0); (4, 0); (0, 6). 6. Raio =2√

2

3r, altura =

4

3r, volume =

32π

81r3.

7. Distancia do ponto a F1 e3√

I1 d3√

I1 + 3√

I2

, razao = 8. 8. P =

!√3

3,2

3

".

9. Distancia =√

hH + h2. 10. x = 30 toneladas e lucro = 1150 unidades monetarias.




LISTA 17 - 2008-1

Funcoes hiperbolicas

1. Se senhx = −14, encontre: (a) cosh x (b) tanhx (c) senh 2x

2. Determine x tal que tanh x = −14.

Nos exercıcios 3. a 5. mostre que as igualdades se verificam.

3. tanh(lnx) =x2 − 1x2 + 1

4. coshx + senhx = ex

5. (coshx + senhx)n = cosh nx + senhnx (sugestao: use o exercıcio 4.)

Derive as funcoes dos exercıcios 6. a 8.

6. f(x) = tanh( sen x)

7. f(x) = senh (ln 2x) + cosh(ln 2x)

8. f(x) = xcosh x

9. Mostre que cot (π cosh (ln 3))− arcsen (tan (π senh (ln 2))) =π

2−√

33

.

Calcule os limites dos exercıcios 10. e 11.

10. limx→0

!1 + ex

2

"coth x

11. limx→0+

!senh x

x

" 1x

12. Encontre, se existirem, as assıntotas horizontais e verticais do grafico da funcao f(x) = x coshx e esboceo seu grafico.

RESPOSTAS

1. (a)√

174

(b) −√

1717

(c) −√

178

2.12

ln35

3. tanh(lnx) =12

#eln x − e− ln x

$

12 (eln x + e− ln x)

=x− 1

x

x + 1x

=x2 − 1x2 + 1

4. coshx + senhx =ex − e−x

2+

ex + e−x

2=

2ex

2= ex

5. coshnx + sen nx = enx = (ex)n = (cosh x + senhx)n

6. f ′(x) = cos x sech2( sen x)

7. f ′(x) = 2

8. xcosh x

!senhx lnx +

coshx

x

"

10. e12

11. 1

12. Nao tem assıntotasy

x–2 –1 1 2

limx→−∞

f(x) = −∞

limx→∞

f(x) =∞





LISTA 18 - 2008-1Anti-derivada

Integral indefinidaProblema de valor inicial

Calcule as integrais dos exercıcios 1. a 16.

1.! "

( 3√

t )2 − 2#

dt

2.!

x−√

x

3dx

3.! $

3x2− 1

%dx

4.! &

2x

dx

5.!

(2− s)√

s ds

6.!

x9 − x3

x4dx

7.!

sen 2θ

cos θdθ

8.!

cos x

1− cos2(x)dx

9.!

tan2 u du

10.!

1 + x2 +1

1 + x2dx

11.!

e2x − 3ex

exdx

12.!

x2

1 + x2dx

13.! √

1− x2

1− x2dx

14.!

11 + senh 2y

dy

15.! '

et − e−t(

dt

16.!

x'1− tanh2 x

(cosh2 x dx

17. Encontre a expressao que define a funcao f , cujo grafico contem o ponto'4, 5

3

(e cuja derivada

e f ′(x) =√

x (2√

x− 1).

Resolva os problemas de valor inicial dos exercıcios 18. a 20.

18.

)y′ =

1x2− 1

x3

y(1) = 32

19.

)y′ =

1x− 1

x3

y(1) = 220.

*f ′(x) = 2 cosx− 3 csc2 xf

'π2

(= 8

21. Uma funcao tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x − 6. Encontre a expressao da f ,sabendo que seu grafico contem o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente tem equacao3x− y − 5 = 0.

RESPOSTAS

1. 35 t

53 − 2t + C

2.x2

6− 2√

x3

9+ C

3. − 3x− x + C

4. 2x

&2x

+ C

5. 43 s

32 − 2

5 s52 + C

6.x6

6− ln |x| + C

7. −2 cos θ + C

8. − csc x + C

9. −u + tanu + C

10. x +x3

3+ arctanx + C

11. ex − 3x + C

12. x− arctanx + C

13. arcsenx + c

14. tanh y + C

15. 2 cosh t + C = et + e−t + C

16.x2

2+ C

17. f(x) = x2 − 43

√x3 − 9

18. y = 2− 1x

+1

2x2

19.32

+1

2x2+ ln |x|

20. 6 + 2 sen x + 3 cotx

21. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1

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