UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II

Lista 20 1. Resolva as equações diferenciais abaixo:

1.1.

€

dydx

= 5y 1.2.

€

dydx

+ 2y = 0 1.3.

€

dydx

+ y = e3x

1.4.

€

3 dydx

+12y = 4 1.5.

€

y'+3x 2y = x 2 1.6.

€

y'+2xy = x 3

1.7.

€

x 2y'+xy = 1 1.8.

€

y'= 2y + x 2 + 5 1.9.

€

x dydx

− y = x 2sen x

1.10.

€

x dydx

+ 2y = 3 1.11.

€

x dydx

+ 4y = x 3 − x 1.12.

€

(1+ x) dydx

− xy = x + x 2

1.13.

€

x 2 ʹ′ y + x(x + 2)y = ex 1.14.

€

x ʹ′ y + (1+ x)y = e−xsen 2x 1.15.

€

ydx − 4(x + y 6)dy = 0

1.16.

€

ydx = (yey − 2x)dy 1.17.

€

cos x dydx

+ ysen x = 1 1.18.

€

cos2 x sen x dydx

+ (cos3 x)y = 1

1.19.

€

(x +1) dydx

+ (x + 2)y = 2xe−x 1.20.

€

(x + 2)2 dydx

= 5− 8y − 4 xy 1.21.

€

drdθ

+ r secθ = cosθ

1.22.

€

dPdt

+ 2tP = P + 4t − 2 1.23.

€

x dydx

+ (3x +1)y = e−3x 1.24.

€

(x 2 −1) dydx

+ 2y = (x +1)2

2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:

2.1.

€

xy'+y = ex; y(1) = 2 2.2.

€

y dxdy

− x = 2y 2; y(1) = 5

2.3.

€

L didt

+ Ri = E; L, R, E e i0 constantes e i (0) = i0 2.4.

€

dTdt

= k(T −Tm ); T (0) =T0, sendo k, Tm , T0 constantes

2.5.

€

(x +1) dydx

+ y = ln x; y(1) = 10 2.6.

€

ʹ′ y + (tg x)y = cos2 x; y(0) = −1

RESULTADOS LISTA 20 1. 1.1.

€

y = Ce5x 1.2.

€

y = Ce−2x

1.3.

€

y =14e3x +Ce−x

1.4.

€

y =13

+Ce−4x

1.5.

€

y =13

+Ce−x3

1.6.

€

x = 12 x

2 − 12 +Ce−x

2

1.7.

€

y =1xln x +

Cx

1.8.

€

y = − 12 x2 − 1

2 x −114 +Ce2x

1.9.

€

y = Cx − x cos x 1.10.

€

y = 32 +Cx−2

1.11.

€

y = 17 x

3 − 15 x +Cx−4

1.12.

€

y = −x 2

x +1− 3+

Cex

x +1

1.13.

€

y =ex

2x 2+Ce−x

x 2

1.14.

€

y = −e−x

2xcos 2x +

Ce−x

x

1.15.

€

x = 2y 6 +Cy4

1.16.

€

x = ey − 2ey

y+2ey

y 2+Cy 2

1.17.

€

y = sen x +C cos x 1.18.

€

y = sec x +C cosec x

1.19.

€

y =x 2e−x

x +1+Ce−x

x +1

1.20.

€

y =5(x + 2)−1

3+C (x + 2)−4

1.21.

€

r(secθ + tg θ ) =θ − cosθ +C

1.22.

€

P = 2+Cet− t2

1.23.

€

y = e−3x +Ce−3x

x

1.24.

€

y =x(x +1)(x −1)

+C (x +1)(x −1)

2.

2.1.

€

y =ex

x+Cx⇒ y =

ex

x+2− ex

2.2.

€

x = 2y 2 +Cy⇒ x = 2y 2 − 495y

2.3.

€

i =ER

+Ce−Rt /L ⇒ i =ER

+ i0 −ER

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ e−Rt /L

2.4.

€

T (t) =Tm +Cekt ⇒T (t) =Tm + (T0 −Tm )ekt

2.5.

€

y =x

x +1ln x − x

x +1+

Cx +1

⇒ y =x

x +1ln x − x

x +1+21x +1

2.6.

€

y = sen x cos x +C cos x⇒ y = sen x cos x − cos x