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8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
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PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 13
[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre asuperfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenhoesquemático do problema com a respectiva solução.
Dados:
Escoamento Laminar
2
6)(
Rr
s
mr u
=
=
Determine:
?=V
2
R
−=
2
max 1)( Rr ur u
−=
2
max21)(
R
Rur u
−=
2
max 2
11)( ur u
−=
4
11)( maxur u
4
3)( maxur u =
3
4)(max r uu =
3
46max s
mu =
3
46max s
mu =
s
mu 8
max =
V u 2max =
2
8s
m
V =
s
mV 4=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 14
[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20mde comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas natabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial .
Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3
Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3
Pa.sPosição Radial Velocidade )(r u (m/s) Tensão de cisalhamento )(r τ (N/m2)
r=0 2,48 0r=4,0mm 2,29 5r=10mm 0,0 12,5
Dados:
m LsmV
C T
mm D
20
0,2
20
20
=
=
°=
=
sPa x
m
kg
mm
.1002,1
³1000
02,0
3−
=
=
=
µ
ρ
ε
Determinar:
?)(
?)(
=
=
r
r u
τ
µ
ρ DV =Re
31002,1
02,0.0,2.³
1000Re
−=
x
ms
m
m
kg
TURBULENTO⇒= 39216Re 2
9,0Re74,5
7,3log25,0
−
+= D f ε
2
9,039216
74,5
7,320
02,0log25,0
−
+= f
2
9,039216
74,5
7,320
02,0log25,0
−
+= f
( )[ ]2
0004214,000027,0log25,0 −
+= f 025,0= f
96,1Relog85,1 −=n 54,6=n
( )( )1212 2
max ++=
nn
n
u
V
( )( )( )154,6.2154,6
54,6.2 2
max ++=
u
V
V u 241,1max =
8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
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PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 15
s
mu 48,2max =
n
R
r ur u
1
max 1)(
−=
54,61
10148,2)(
−=
r
s
mr u
r = 0
54,61
10
0148,2)(
−=
s
mr u
48,2)( =r u
r = 4 mm54,6
1
10
4148,2)(
−=
s
mr u
s
mr u 29,2)( =
r = 10 mm
54,61
10
10148,2)(
−=
s
mr u
0)( =r u
2.
4
2V f ρ τ ω =
( )2
2.1000
4025,0
2
3s
m
mkg=ω τ
25,12 m N =ω τ
R
r r max)( τ τ =
r = 00)( =r τ
r = 4 mm
mm
mmm
N r 10
45,12)( 2=τ
25)( m N r =τ
r = 10 mm
25,12)( m N r =τ
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 16
[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida comalguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 aUniversidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de300 mm de diâmetro e velocidade V=18 m/s e glicerina a 200C.Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m 2) (c) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura dasubcamada viscosa (mm).Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s
Dados:
Tubo liso
s
mV
mm D
18
300
=
=
³
1260
.5,1
)(20
m
kg
sPa
glicerinaC T
=
=
°=
ρ
µ
Determinar:
?
?
?
?
*
=
=
=
=
y
u
f
ω τ
Na sub-camada viscosa y+ = 5;
µ
ρ DV =Re
sPa
ms
m
m
kg
.5,1
3,018³
1260Re =
4536Re =
41
Re
316,0= f
41
4536
316,0= f
0385,0= f
2.4
2V f ρ τ ω =
2
18.
³1260
40385,0
2
= s
m
m
kgω τ
² / 7,1964 m N ≅ω τ
21
*
= ρ
τ ω u
smu 25,1* ≅
ν
* yu y =+
*u y y ν +
=
ρ
µ *u
y y
+
=
³126025,1
5..5,1
m
kg
s
msPa
y =
mm y 76,4=
8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
9/37
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 17
[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzidopela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; TriplicaráQuadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16
Dados:
Escoamento laminar
CTE L
CTE Q
D D
=
=
=2
Determinar:
?= Lh
Resposta:
A perda de carga aumentará por umfator de 16.
Re64
= f
ν
DV =Re
ν π ..
.4Re 2 D
QD=
ν π ..
.4Re
D
Q=
AV Q .=
2..4 DQV
π =
g D
V L f h L .2.
. 2=
g DV L
g D
V L
.22
.
Re
64
.2.
.
Re
64 22=
Re
2
Re
22 V V =
( )Re
2
4.2
Re.
.4
2
2
2
2
=
D
Q
D
Qπ π
=
ν π ν π
.
2
.
.4
16.2
..
.41
DQ
D
Q
161=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 18
[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de2,0m/s. Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa
Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3
e ν=1,46x10-5
m2
/sDados:
m L
mb
smU
0,1
0,3
/ 0,2
=
=
=°°
3
25
/ 23,1
/ 1046,1
mkg
sm x
=
= −
ρ
ν
Determinar:
?)(
?)(
?)(
?
*
=
=
=
=
x
x
x
F D
θ
δ
δ
ν
LU L
°°=Re
s
m x
msm
L 251046,1
0,12Re
−
=
LAMINAR x x L ⇒
8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 19
[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidadeconstante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos:
(i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga.(ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição.
Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equaçõesapropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s
Dados:
m L
mbs
mU
0,1
0,2
5,1
=
=
=°°
³1000
105,12
6
m
kgs
m x
=
= −
ρ
ν
Determinar:
?(%)
?
?
)(
)(
=
=
=
Erro
F
F
ii D
i D
ν
LU L
°°=Re
s
m x
ms
m
L ²105,1
0,15,1Re
6−=
56 105101Re x x L >=
OBS: Considerando 0,1%L para escoamento com laminar anterior
ν c
c
xU °°=Re
s
m x
xs
m
xc
26
5
105,1
5,1105
−
=
m xc 5,0=
⇒>= L L
xc%1,0%50%100. TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
i)5
1Re
074,0
L
DC =
( ) 51
6101
074,0
xC D =
004669,0= DC
D D C AU F .
2
1 2°°= ρ
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 20
004669,0).0,2.0,1.(25,1³
10002
12
mms
m
m
kgF D
=
N F D 21=
ii) L L
DC Re1700
Re
074,05
1 −=
( )6
51
6 101
1700
101
074,0 x x
C D −=
002969,0= DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
002969,0).0,2.0,1.(25,1³
100021 2 mm
sm
mkgF D
=
N F D 36,13=
%38,36%100.21
36,1321=
−=
N
N N ERRO
[ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
−= ∞
3
2
1
2
3
δ δ
y y
U u onde a espessura da camada limite é ∞= U
vx
x 64,4)(δ
Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:
x
f
Ac
Re=
Onde A é uma constante do resultado numérico
L
D
Bc
Re=
onde B é uma constante do resultado numérico
−= ∞
3
2
1
2
3δ δ
y yU u
°°
=U
x x
ν δ 64,4)(
0
2
),(2
=°° ∂
∂=
y
f y
y xu
U C
ν
−= °°
°°
2
2
1
2
32δ δ
ν yU
U C f
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 21
−=
°°
21
2
32δ δ
ν y
U C f
−=
°°
2
01232
δ δ ν
U C f
δ
ν
°°
=U
C f 3
x
U
U C f
ν
ν °°
°°
=64,4
13
xU
U C f
ν
ν 2
2
64,41
3°°
°°=
xU C f °°= ν 646,0
21
Re
646,0
x
f C =
∫= L
f D dx xC LC
0
)(1
∫
=
°°
L
D dx xU LC
0
646,01 ν
∫
=°°
L
D dx xU LC
0
646,01 ν
∫ −
°°
= L
D dx x LU C
0
211
646,0 ν
2
11
646,02
1 x
LU C D
°°
= ν
L
D x
LU
C 0
212
646,0°°
= ν
212
646,0 L LU
C D°°
= ν
2646,0.2 LU L
C D°°
= ν
LU C D
°°
= ν
646,0.2
L
DC Re
292,1=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 22
[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailerinstalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de
diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicionalnecessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanqueestiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejamvoltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo.Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3.
Dados:
hkmU
m D
m L
95
5,0
0,2
=
=
=
°°
sm
hkmU
m
kg
39,2636001000.95
³035,1
==
=
°°
ρ
Determinar:
?
?
=
=
B
A
W
W
&
&
4= D
L
9,0= DC
5≅ D
L
8,0= DC
Tab. 11.1 e Tab.11.2 livro Cengel eCimbala.
(a) D D C AU F .21 2
°°= ρ
9,0.4
39,26035,12
1 22
3
=
D
s
m
m
kgF D
π
( )9,0.
4
5,039,26035,1
2
1 22
3
=
m
s
m
m
kgF D
π
N F D 7,63=
V F W D .=&
s
m N W 39,26.7,63=&
kW W 68,1=&
(b) D D C AU F .21 2°°= ρ
( ) 8,0..39,26035,12
12
3 D Ls
m
m
kgF D
=
( ) 8,0.5,0.239,26035,12
12
3 mms
m
m
kgF D
=
N F D 32,288=
V F W D .=& s
m N W 39,26.32,288=& kW W 61,7≅&
8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 23
[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimentoe 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e aestrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais.
Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombarlateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente.Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entrerodas é de 1,8m.
Dados:
mb
m L
m D
kgm
2
2
8
5000
=
=
=
=
Distância entre assoalho e estradamd 8,0= ;
Distância entre rodas mr 8,1=
315,1
m
kg= ρ
Determinar:
?=°°U
25,08
2==
D
L
2,2= DC (Tab.11.2)
0=∑ M
sF M AF .=
02.
=− r W sF A
s
r W F A
1.
2. =
8,1
1.
2
8,181,9.5000
2.
=
s
mkgF A
N F A 24525. =
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
D
A
C A
F U
..
.2
ρ =°°
( ) 2,2.2.8.15,1
24525.2
3 mm
m
kg N
U =°°
s
mU 81,34=°°
h
kmU 3,125=°°
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 24
[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente desustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com
ρ=1,205 kg/m3
. (b) Potência necessária para manter uma velocidade decruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeirode 0,035.
Dados:
kgm
C
m A
L
2800
45,0
²30
=
=
=
035,0
34,83300
³205,1
=
≅=
=
DC
s
m
h
kmV
m
kg ρ
Determinar:
?
?
=
=∞
W
U
&
(a) L L C AU F .2
1 2°°= ρ
W F L =
L
L
C A
F U
..
.2
ρ =°°
45,0².30.205,1
²81,9.2800.2
3 mmkg
s
mkg
U
=°°
s
mU 11,58=°°
h
kmU 2,209=°°
(b) D D C AU F .2
1 2°°= ρ
035,0².30
²
34,83
²
205,1
2
12
m
s
m
s
mF D
=
N F D 23,4393=
V F W D.=&
²34,83.23,4393
s
m N W =&
kW W 1,366=&
8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 25
[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m 2 eforma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão nalinha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a
direção do vento. Identifique a força de sustentação earrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h,determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação.Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cadaforça (sustentação e arrasto) adotar a área projetada comosendo a área de referência. Considere massa especifica doar igual a 1,2 kg/m3.
Dados:
°==
=
30 ²8,0
1
α m A
N W p
³2,1
1036
45
30
m
kgs
m
h
kmU
N F R
=
==
°=
=
∞
ρ
β
Determinar:
?
?
=
=
L
D
C
C
Obs.: Área projetada.
0=+−=∑ D R X F F F X
β cos. R R F F X =
β senF F R R y .=
. X R D F F =
°= 45cos30 N F D N F D 21,21=
0=−+−=∑ W F F F L RY Y
W F F Y R L
+=
N sen N F L 145.30 +°=
N F L 21,22=
α sen A A X P .= °= 30²8,0 .senm A X P
²4,0 m A X P =
α cos. A A yP =
°= 30cos²8,0 .m A yP
²693,0 m A yP =
DP D
C AU F X
.2
1 2°°
= ρ
FL
FD
=30N =wy
x
FL
FD
=30N =wy
x
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 26
X P
D D
AU
F C
2
2
1°°
=
ρ
²4,010³
2,12
121,21
2
ms
m
m
kg N C D
=
884,0= DC
LP L C AU F Y .2
1 2°°= ρ
Y P
L L
AU
F C
2
2
1°°
=
ρ
²693,010³
2,12
121,22
2
ms
m
m
kg N C L
=
53,0= LC
[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kgdescendo em uma estrada com uma inclinação de 12 0 sem pedalar nembrecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente dearrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando
a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine avelocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere amassa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3.
Dados:
°=
=
=
12
15
80
α
kgm
kgm
b
c
³
25,1
9,0
²4,0
1,1
²45,0
m
kg
C
m A
C
m A
C
V
D
C
D
V
=
=
=
=
=
ρ
Determinar:
?
?
=
=
∞
∞
c
v
U
U
gmW C C .=
²81,9.80
s
mkgW C =
N W C 785=
gmW bb .=
²81,9.15
s
mkgW b =
N W b 15,147=
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°= 12.senW F T D
°= 1215,932 .sen N F D
°= 1215,932 .sen N F D
N F D 8,193=
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
V DV
D
C A
F U
..
.2 ρ
=°°
1,1².45,0.²
25,1
8,193.2
mm
kg N
U =°°
s
mU 25=°°
h
kmU 90=°°
c Dc
D
C A
F U
..
.2 ρ
=°°
9,0².4,0.²25,1
8,193.2
mm
kg N
U =°°
s
mU 3,29=°°
h
kmU 65,105=°°
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[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm daparede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, densidade d=0,827. Use essa
informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizandocomo auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas nasolução de Blasius:
)(´ η f U
u= e
2 / 1
=
x
U y
ν η
Dados:
s
mU
atmP
C T d
mmh
20
1
20827,0
16
=
=
°==
=
∞
m ysm x
m
kg
002,0
²1051,1
³205,1
5
=
=
=
−ν
ρ
Determinar:
?= x
água
fluidod ρ
ρ =
d aguaoleo . ρ ρ =
827,0.³1000mkgoleo = ρ
³827
m
kgoleo = ρ
hgPm .. ρ =
ms
m
m
kgPm 016,0.²
81,9.³
827=
PaPm 81,129=
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2.2
1V Pv ρ =
mv PP =
2.³
205,12181,129 V
mkgPa =
³205,1
81,129.2
m
kgPa
V =
s
mV 68,14=
Na tabela com 5,2734,020
68,14≅⇒==
∞η
U
V
2 / 1
=
x
U y
ν η
x
U
y ν
η =
2
ν η
2
=
y
U x
s
m x
m
s
m
x ²1051,1
002,0
5,2
20
5
2
−
=
m x 85,0=
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[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensadae coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h.
(a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com oluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ?(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se acamada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrastosobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com ocaso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m eb=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs.ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s.
Dados:
mb
m Ls
m
h
km
V
0,2
5,256,1556
=
===
C T s
m xm
kg
°=
=
=
−
20
²1051,1³
2,1
5ν
ρ
Determinar:
?)(?)(
?)(
=
=
=
TURBF LAM F
x
D
D
δ
ν
LU L
°°=Re
s
m x
ms
m
L ²1051,1
5,256,15Re
5−=
61058,2Re x L =
ν c
c
xU °°=Re
s
m x
xs
m
xc
25
5
1051,1
56,15105
−
=
m xc 485,0=
Obs.: 20% da placa possui camada limite laminar.
(a)
−=
L L
x xRe
10256
Re
381,0)(
51δ
( )
−=
65
16 1058,2
10256
1058,2
381,05,2)(
x xm xδ
mm x 40)( =δ
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(b)2
1Re
328,1
L
DC =
( ) 2161058,2
328,1
xC D =
0008,0= DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 0008,0.5,2.0,2.256,15³
2,12
12
mms
m
m
kgF D
=
N F D 16,1=
(c) L L
DC Re
1700
Re
074,05
1 −=
( )6
51
6 1058,2
1700
1058,2
074,0
x xC D −=
0032,0= DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 0032,0.5,2.0,2.256,15³2,121
2
mmsmmkgF D
=
N F D 6,4=
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[15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui umaseção de teste de 30 cm de diâmetro e comprimento de 30 cm. A
velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnelvaria de 1,0 m/s a 8,0 m/s. O projeto será otimizado para umavelocidade de 4,0 m/s através da seção de teste. Para o caso deescoamento aproximadamente uniforme a 4,0 m/s na entrada daseção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste.(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em quepercentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar paratornar o escoamento mais uniforme na seção de teste.Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.
Dados:
cm L
cm DsmV
30
30
0,4
=
=
=
s
m x
m
kg
²1051,1
³2,1
5−=
=
ν
ρ
Determinar:
?%?=∆
=V
V fim
ν
LU L
°°=Re
s
m x
ms
m
L ²1051,1
3,0,4Re
5−
=
LAMINAR x L ⇒≅4108Re
fim fiminicioinicio AV AV =
L
x x
Re
73,1)(* =δ
4108
3,0.73,1)(*
x
m x =δ
m x x 31083,1)(* −=δ
(a) fim fiminicioinicio AV AV =
fim
inicioinicio fim A
AV V =
*)(
²
δ π
π
−=
R
RV V inicio fim
( )
)1083,115,0(
²15,00,4
3
m xm
m
s
mV fim −
−
=
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s
mV fim 1,4=
(b) %5,2%100.0,4
0,41,4=
−
s
msm
sm
(c) Se o raio fosse projetado de a aumentar com )(* xδ ao longo do comprimento da seção de teste, o efeito dedeslocamento da camada limite seria eliminado, e a velocidade do ar na seção de teste permaneceriarazoavelmente constante.
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitotintroduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as
expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y apartir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente avelocidade média da tubulação.
Laminar
−=
2
max 1)( R
r U r u
Turbulento (n=7)n
R
r U r u
/ 1
max 1)(
−=
ESCOAMENTO LAMINAR
−=
2
max 1)( R
r U r u , SABE-SE QUE ur u =)( E QUE uU .2max = , ENTÃO:
−=
2
1.2 R
r uu
2
121
−= Rr
R
r =
−
21
2
11
707,0= R
r
E QUE r R y −=
R
r R
R
y −
=
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R
r
R
y−= 1
293,0= R
y
ESCOAMENTO TURBULENTO
7n1)( / 1
max =⇒
−=
n
R
r U r u
( )( )1.212 2
max ++=
nn
n
U
u
( )( )17.2177.2 2
max ++=
U
u
8166,0max
=U
u
uU .224,1max =
PARA ur u =)( E SABENDO QUE PARA ESCOAMENTO TURBULENTO uU .8166,0max =
n
R
r uu
1
1224,1
−=
ENTÃO:
R
r
R
y−= 1
n
R
yuu
1
224,1
=
71
224,11
=
R
y
R
y=
7
224,1
1
2429,0= R
y
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[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre dofluido é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força dearrasto na placa devido a esta alteração da velocidade.
ν LU L °°=1Re
ν
LU L
°°=2
Re 2
11 Re2Re L L =
L
DC Re
328,1=
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
21 D D F F =
( ) ( ) 22
212
1 .2
1.
2
1 D D C AU C AU °°°° = ρ ρ
( ) ( ) L L
AU AU Re.2
328,1.2
2
1
Re
328,1.
2
1 22°°°° = ρ ρ
L L
AU AU Re.2
328,1.4
21
Re
328,1.
21 22
∞°° = ρ ρ
2
41 =
122
4 D D F F =
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[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidademedia igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidadesexponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número
de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: 96,1log(Re)85,1 −=n
Determine:(a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um
manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial.(b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.
Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10 -3 Pa.s
Dados:
mmr
mm Ds
mV
5
20
0,2
=
=
=
sPa xm
kg
.1002,1³
1000
3−=
=
µ
ρ
Determinar:
?
?
?
=
=
=
w
V P
V
τ
(a) ρ
µ ν =
s
m X
²1002,1 6−=ν
ν
LU L
°°=Re
s
m x
ms
m
L ²1002,1
02,00,2Re
6−
=
TURBULENTO L ⇒= 7,39215Re
96,1log(Re)85,1 −=n
96,1)7,39215log(85,1 −=n 54,6=n
( )( )1.212 2
max ++=
nn
n
U
u
( )( )( )154,6.2154,6
54,62 2
max ++=
U
u
806,0max
=U
u
uU 24,1max =
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s
mU 0,2.24,1max =
s
mU 48,2max =
n
R
r U r u
/ 1
max 1)(
−=
54,6 / 1
10
5148,2)(
−=
mm
mm
s
mr u
s
mr u 23,2)( =
2
.2
1
uPv ρ = 2
23,2.³
10002
1
=
s
m
m
kgPv
PaPv 45,2486=
(b) Tubo liso
41
Re
316,0= f
( ) 41
7,39215
316,0= f
02246,0= f
2.
4
2V f ρ τ ω =
2
0,2.
³1000
4
02246,0
2
= s
m
m
kgω τ
²23,11
m
N =
ω τ
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[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura move-se a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar asequações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a
posição de transição (x cr itico) é menor que 10% do comprimento total.No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamentoturbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine:
(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa.
(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm.
Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s.
Dados:
mb
cm Ls
m
h
kmV
4
50
2,1451
=
=
≅=
mm
s
m x
m
kg
3,0
²1002,1
³10006
∈=
=
=
−ν
ρ
Determinar:
?
?
=
=
Drug
Dlisa
F
F
ν
LU L
°°=Re
s
m x
m
s
m
L ²1002,1
5,02,14
Re6−
=
TURBULENTO x L ⇒=61096,6Re
ν C
C
xU °°=Re
s
m x
xs
m
xC
²1002,1
2,14105
6
5
−
=
m xc 0354,0=
TURBULENTOm
m⇒
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00316,0= DC
(a) D D C AU F .
2
1 2°°= ρ
( ) 00316,0.4.5,0.22,14³
10002
12
mms
m
m
kgF D
=
N F D 36,1274=
5,2
log62,189,1−
∈+= L
C D
5,2
0003,0
5,0log62,189,1
−
+=
m
mC D
00742,0= DC
(b) D D C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 00742,0.4.5,0.22,14³
10002
12
mms
m
m
kgF D
=
N F D 34,2992=
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[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quandoimersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura.
Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de açocom massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidadeU=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda.
Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2 /s.
Dados:
mm D
s
mV
30
40
=
=
s
m x
m
kgm
kgesfera
²1051,1
³
204,1
³7860
5−=
=
=
ν
ρ
ρ
Determinar:
?=θ
D RX X F F F ==∑
W F F RY Y ==∑
W senF R =θ
θ sen
W F R =
³3
4 Resfera π =∀
( )³015,03
4mesfera π =∀
³10414,1 5m xesfera−=∀
gW esferaesfera .. ρ ∀=
²81,9.³7860³.10414,15
smmkgm xW esfera−=
N W esfera 1,1=
ν
LU L
∞=Re
s
m x
ms
m
L ²1051,1
03,040Re
5−
=
2,79470Re = L
W
FDFRX
FRY FR
W
FDFRX
FRY
W
FDFRX
FRY FR
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4108Re x L ≅
Na Fig.1, gráfico para esfera lisa 5,0= DC
D D C AU F .21 2
°°= ρ
( ) 5,0015,0.40³
204,12
1 22
ms
m
m
kgF D π
=
N F D 34,0=
N F R 34,0cos =θ
N sen
W 34,0cos =θ
θ
N
W
tg 34,0=θ
N
N tg
34,0
1,1=θ
°= 82,72θ
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[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro àvelocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a áreasuperficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:
a) O coeficiente de sustentação nestas condições.b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força dearrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a).c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrastodo avião é igual a 0,05
Dados:
²5,16
700
78,52190
m A
kgmsm
hkmV
=
=
≅=
³2,1
05,0
m
kg
C D
=
=
ρ
Determinar:
?
??
=
=∆=
W
F C L
&
(a) L L C AU F W .2
1 2°°== ρ
LC AU s
mkg .
2
1
²81,9.700 2°°= ρ
LC ms
m
m
kg
N ².5,1678,52³2,12
1
6867
2
= 249,0= LC
(b) D D C AU F .2
1 2°°= ρ
05,0².5,1678,52³
2,12
12
ms
m
m
kgF D
=
N F D 9,1378=
N
N
F
F
D
L9,1378
6867=
98,4= D
L
F
F vezes maior que a LF
(c) V F W D .=&
s
m N W 78,52.9,1378=&
kW W 8,72=&
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[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado comcombustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é iguala 100 kg. Utilize ar padrão.
Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quandocarregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesmaconfiguração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).
Dados:
t mkgm
s
m
h
kmV
boeing
passageiro
290100
5,62225
==
≅=
N xW s
mkgW
gmW
sPassageiro
boeing
610845,2 ²
81,9.1000.290
.
100
=
=
=
=
Determinar:
?=∞U
gmW passags passageiro ..=
²81,9.100
s
mkgW s passageiro =
N W s passageiro 981=
N xW T 610846,2=
L L C AU F W .2
1 2°°== ρ
LC As
m
m
kg N x .5,62
³2,1
2
110846,2
26
=
²3,1214. mC A L =
372W W W T TOTAL +=
²81,9.100.37210846,2 6
s
mkg N X W TOTAL +=
N xW TOTAL610211,3=
c L
L
C A
F U
..
.2
ρ =°°
²3,1214.³
2,1
10211,3.2 6
mm
kg N x
U =°°
h
km
s
mU 2394,66 ≅=°°
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 44
[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y eapresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine:
a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50 b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica.
Dados:
²10
56,55200
m As
m
h
kmV
=
≅= ³
2,1
5,12
m
kg=
°=
ρ
θ
Determinar:
?
?
?
=
=
=
D
L
F
F
θ
(a) Para o ângulo de ataque 12,5°
25,1= LC
1,0= DC
L L C AU F .2
1 2°°= ρ
25,1².1056,55³
2,12
12
ms
m
m
kgF L
=
N F L 85,23151=
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
1,0².1056,55³
2,12
12
ms
m
m
kgF D
=
N F D 15,1852=
(b) O gráfico indica o ângulo de °= 25θ para manter a mesma força de sustentação.375,0= DC
D D C AU F .
2
1 2°°
= ρ
375,0².1056,55³
2,12
12
ms
m
m
kgF D
=
N F D 56,6945=
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[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimentodetermine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão decisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m).água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s
Dados:
mb
m Ls
mV
0,1
5,1
0,8
=
=
=
s
m x
m
kg
m x
²1002,1
³998
75,0
6−=
=
=
ν
ρ
Determinar:
?
?
?)(*
?)(
=
=
=
=
D
W
F
x
x
τ
δ
δ
b L A .= mm A 0,1.5,1=
²5,1 m A =
ν
L xcc =Re
∞
=U
x ccRe.ν
s
m
xs
m x
xc0,8
105.²
1002,1 56−
=
m xc 064,0=
⇒>== %1,0%25,4%100.5,1
064,0
m
m
L
xc TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
ν
xU X
∞=Re
s
m x
ms
m
X ²1002,1
75,08Re
6−
=
61088,5Re x X =
(a)( ) x x x
x
Re
10256
Re
381,0)(5
1 −=δ
( )6
51
6 1088,510256
1088,5
381,075,0
)( x xm
x−=
δ
mm x 34,11)( =δ
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8
)()(* x
x δ
δ =
8
34,11)(*
mm x =δ
mm x 42,1)(* =δ
(b)
( ) 51
Re
0594,0)(
x
f xC =
51
6
1088,5
0594,0)(
=
x
xC f
00263,0)( = xC f
)(2
1 2 xC U f W °°= ρ τ
00263,00,8³
9982
12
=
s
m
m
kgW τ
PaW 84≅τ
(c)
ν
LU L
∞=Re
s
m x
ms
m
L ²1002,1
5,10,8Re
6−=
71017,1Re x L =
( ) L L DC Re
1700
Relog
455,058,2 −=
( )758,27
1017,1
1700
1017,1log
455,0
x x
C D −=
002784,0= DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
002784,0².5,10,8³
9982
12
ms
m
m
kgF D
=
N F D 4,133=
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[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por umelemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica umatensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule:
(d) A velocidade de corrente livre (m/s)(e) A espessura da camada limite (mm) no pontoonde se encontra o elemento.
(f) A velocidade em (m/s) a 5mm acima doelemento.
Ar 200C:Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
Dados:
³204,1
21,2
m
kg
m xPaW
=
==
ρ
τ
s
m x
mm y
²1051,1
5
5−=
=
ν
Obs.: Escoamento turbulento
Determinar:
?)(
??)(
=
==
∞
xu
U xδ
(a)0=
∂
∂=
y
W y
uuτ
)(2
1 2 xC U f W °°= ρ τ
( ) 51
Re0594,0)( x
f xC =
2,02 .0594,0
2
1 −
∞°°
=
ν ρ τ
xU U W
2,0
5
2
²1051,1
0,2.0594,0
³204,1
2
11,2
−
−
∞°°
=
s
m x
mU U
m
kgPa
8,1
2,0
³00338,01,2
°°
= U sm
mkgPa
8,18,1
00338,0
1,2
=°° s
mU
=°° s
mU 63,35
(b)ν
xU x
∞=Re
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s
m x
ms
m
x ²1051,1
263,35Re
5−=
61072,4Re x x =
( ) 51
Re
381,0)(
x x
x=
δ
( ) 51
61072,4
381,0
2
)(
xm
x=
δ
mm x 25,35)( =δ
(c)7
1
)(
=
∞ x yU u δ
71
25,35
0,563,35
=
mm
mm
s
mu
s
mu 0,27≅
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[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:
=
∞ δ
π ysen
U
u
2
Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão:)(2 x
U wδ
πµ τ ∞=
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: x
x Re
8,4=
δ
determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessurada camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de correntelivre igual a 2,0m/s.
Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
Obs. Apresentar nas principais equações as unidades no SI.
Dados:
m x
m Lm
kg
4,0
8,0³
204,1
=
=
= ρ
s
m x
s
mU
²1051,1
0,2
5−
∞
=
=
ν
Obs.: Escoamento laminar
Determinar:
?)(
?)(
?
=
=
=
xu
xW
W
τ
τ
(a)
=
∞ )(2 x
ysenU
u
δ
π
)(2 xuU
W δ
π τ ∞=
0=∂
∂=
y
W y
uuτ
∂
∂=
∂
∂
)(2 x
ysen
y y
u
δ
π
=
∂∂ ∞
)(2cos
)(2 x y
xU
yu
δ π
δ π
0)(2
cos)(2
=
∞
=
y
W x
y
x
uU
δ
π
δ
π τ
( )0cos)(2 x
uU W
δ
π τ ∞=
)(2 x
U w
δ
πµ τ ∞=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 50
(b) ν
xU x
∞=Re
s
m x
m
s
m
x ²1051,1
4,00,2
Re5−
=
4103,5Re x x =
x
f xC Re
664,0)( =
002884,0)( = xC f
)(2
1 2 xC U f W °°
= ρ τ
002884,00,2³
204,12
12
=
s
m
m
kgW τ
PaW 00695,0=τ
x x
x
Re
8,4)(=
δ
4103,5
8,4
4,0
)(
xm
x=
δ
mm x 34,8)( =δ
= ∞ 2
12
)( π senU xu
=
2
1
20,2)( π
sens
m xu
s
m xu 41,1)( =
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ν
DU ∞=Re
s
m x
m
s
m
²1002,1
074,03,13
Re5−
=
5,01065,9Re 4 =⇒= DC x
D Desfera C AU F .2
1 2°°= ρ
( )5,0.
4
074,03,13
³2,1
2
1 22
=
π
s
m
m
kgF Desfera
N F esfera D 228,0=
=
4
LU barra ω
s
mm
s
rad U barra 88,54
560,042 =
=
D Dbarra C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 2,1.280,0007,088,5
³
2,1
2
12
m
s
m
m
kgF Dbarra
=
N F Dbarra 0488,0=
barra Dbarraesfera Desfera r F r F Torque .2.2 +=
m N m N Torque 14,0).0488,0.(2317,0).228,0.(2 += NmTorque 1582,0=
ω .TorqueW =&
s
rad NmW 42.1582,0=&
W W 65,6=&
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 58
[ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e eraum biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dosirmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do
Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada.
Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de áreaplana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto totalconsiderando as asas como sendo placas planas.
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.
Dados:
s
mU
m A
mb
14
²7,23
3,12
=
=
=
∞
s
m x
m
kg
²1046,1
³225,1
5−=
=
ν
ρ
Determinar:
?
?
. =
=
DT
DF
C
cb A .=
m
mc
3,12
²7,23=
mc 93,1=
ν
cU ∞=Re
s
m x
ms
m
²1046,1
93,114Re
5−
=
61085,1Re x=
ν c xU ∞=Re
s
m x
xs
m
xc
²1046,1
141055
5
−
=
m xc 52,0=
⇒>== %1,0%23,4%100.3,12
52,0
m
m
L
xc TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
Re
1700
Re
074,05
1 −= DC
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( )6
51
6 1085,1
1700
1085,1
074,0
X X C D −=
0032,0= DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
0032,0².7,2314³
225,12
12
ms
m
m
kgF D
=
N F D 1,9=
4.1,9 N F DT =
N F DT 4,36= (um lado)
N F DT 4,36.2= N F DT 8,72= (dois lados)
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 60
[ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estruturamostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m euma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o
momento na base considerando as duas alternativas de estruturas.
Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 ena convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura éigual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto iguala 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3
Dados:
s
mU
cm D
mbm L
30
20
22
=
=
==
∞
³
2,1
2,1 3,2
2,1
m
kg
C C
C
Dconc
Dconv
Dplaca
=
==
=
ρ
Determinar: ?=T M
Dplaca placa D C AU F .2
1 2°°= ρ ( ) 2,1.2.230³
2,12
12
mms
m
m
kgF Dplaca
= N F Dplaca 2592=
Dconc Dconc C AU F .2
1 2°°= ρ ( ) 2,1.9.2,030³
2,12
12
mms
m
m
kgF conc D
= N F conc D 4,1166=
Dconv Dconv C AU F .2
1 2°°= ρ ( ) 3,2.9.2,030³
2,12
12
mms
m
m
kgF Dconv
= N F Dconv 6,2235=
( )2
hF H F M Dconc DplacaT +=
( ) 2
9
4,1166102592
m
N m N M T += kN M T 17,31=
( )2
hF H F M Dconv DplacaT +=
( )2
96,2235102592
m N m N M T +=
kN M T 36=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 63
2
1
−=
∞U
U C P
PC U
U −=
∞1
2
( )5,012
−−=
∞U
U
5,11,15
2
=
s
mU
s
mU 1,15.5,1=
s
mU 5,18=
PARA O CASO TEÓRICO
4,1−=PC 2
1
−=
∞U
U C P
PC U
U −=
∞
12
( )4,112
−−=
∞U
U
4,21,15
2
=
s
mU
s
mU 4,23=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 64
[ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de90kN. Se a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a larguradeterminada como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?.
Considere ar ρ = 1,204 kg/m3
ν=1,51x10-5
m2
/s.
Dados:
s
m
h
kmU
kN F
mh
D
28,40145
90
50
≅=
=
=
∞
³204,1
²1051,1 5
m
kgs
m x
=
= −
ρ
ν
Determinar:
?
?
=
=
DF
D
CONSIDERAR ESCOAMENTO TURBULENTO 1,210Re 4 =⇒> DC
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 1,2..5028,40³
204,12
190000
2
Dms
m
m
kg N
=
m D 88,0=
ν
DU ∞=Re
s
m x
ms
m
²1051,1
88,028,40Re5−
=
5,0103,2Re 6 ≅⇒= DC x
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) 5,0.88,05028,40³
204,12
12
mms
m
m
kgF D
=
N F D 21488=
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 65
[ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados para formar quadrados de 1cmpor 1 cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual apotência em kW necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede ? Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
Dados:
s
mU
m A
cmb L
mm D
3
²0,1
1
1
=
=
==
=
∞
s
m x
m
kg
m A
²1002,1
³998
²37
6
2
−=
=
=
ν
ρ
Determinar:
?
?
=
=
W
F D&
(a) DF PARA 1m² DE FIO
ν
DU ∞=Re
s
m x
ms
m
²1002,1
001,03Re
6−
=
1,12,2941Re ==⇒⇒= DC GRÁFICO LAMINAR
L D
AREA2
4=
1000
10
1000
5,04
mmmm AREA =
²
²00002,0
cm
m AREA =
²1.²
²00002,0 m
cm
m AREA =
²2,0 m AREA =
D D C AU F .2
1 2°°= ρ
1,1².2,03
³
998
2
12
m
s
m
m
kgF D
=
N F D 988= PARA 1m² DE REDE
PARA 37m² DE REDE N F D 36556=
∞= U F W D .&
s
m N W 3.36556=&
kW W 110≅&
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 66
[ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico dediâmetro D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindosobre o corpo é calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através dasuperfície) resultando em 4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera.
Dados:
N F
cm D
N F
DP
DT
9,4
12
2,5
=
=
=
³
269,1
5
1
m
kg
C T
atmP
=
°=
=
ρ
Determinar:
?= Df F
Df DP DT F F F +=
DP DT Df F F F −=
N N F Df 9,42,5 −=
N F Df 3,0=
UTILIZANDO A TABELA 11-2 (CIMBALA) 2,0= DC
D DT C AU F .2
1 2°°= ρ
( )2,0.
4
12,0.
³269,1
2
12,5
22
= ∞
mU
m
kg N
π
s
mU 2,60=∞
D Df C AU F .2
1 2°°= ρ
( ) DC
m
s
m
m
kg N .
4
12,0.2,60
,³269,1
2
13,0
22
=
π
0115,0= DC
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Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 73
=
+=
s
mu
xu
R
R
742,0
)5,5073,75,2(032,0
2 /
2 /
(b) A distância a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação.
Velocidade média
sm x A
QV media / 677,0
4
097,0
)3600 / 18(2 =
==
π
Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:
5,5ln5,2 += ++ yu
Devemos achar y em que mediaV r u =)(
smu / 032,0* =
15,21032,0
677,0*
===+
u
V u media
22,523
26,65,2
65,15ln
5,515,215,5ln5,5ln5,2
=
==
−=−=+=
+
+
++
++
y
y
u y yu
v
yu y
*
=+
m
x x
u
yv
y 01073,0032,0
1056,632,523 7
* ===
−
mm y 73,10=
ou numa posição radial:
mm y Rr 8,3773,105,48 =−=−=
A espessura da subcamada laminar.
++ = yu para 5≤+ y
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos
Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 74
v
yu y
*
=+ *u
uu =+
ρ
τ W u =*
smu / 032,0* =
mm x x
u
v y 103,0
032,0
1056,655 7
* ==≤
−
mm x x
u
v y 103,0
032,0
1056,655 7
* ==≤
−
Desta forma a espessura da subcamada viscosa e igual a:
mmscv 103,0=δ
A espessura da Camada de Transição.
305*
≤
<
v
yu
mm x x
u
v y 615,0
032,0
1056,630305
7
* ==≤<
−
mmmm tra 615,0103,0 ≤< δ
A espessura na Camada de Turbulenta.
A espessura do núcleo turbulento vai desde o limite da camada de transição ate o centro da tubulação.
mmmm tra 70615,0 ≤< δ