Lista 2010 - Escoamentos Viscosos

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    PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos

    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 13

    [ 1]  No escoamento laminar   completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre asuperfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenhoesquemático do problema com a respectiva solução.

    Dados:

    Escoamento Laminar

    2

    6)(

     Rr 

    s

    mr u

    =

    =

     

    Determine:

    ?=V   

    2

     R 

        

    −=

    2

    max 1)(  Rr ur u 

     

     

     

     −=

    2

    max21)(

     R

     Rur u  

     

      

     −=

    2

    max 2

    11)(   ur u  

    −=

    4

    11)( maxur u  

    4

    3)( maxur u   =  

    3

    4)(max   r uu   =  

    3

    46max s

    mu   =  

    3

    46max s

    mu   =  

    s

    mu 8

    max =  

    V u 2max   =  

    2

    8s

    m

    V   =  

    s

    mV  4=  

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    [ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20mde comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas natabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial .

    Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3

     Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3

     Pa.sPosição Radial Velocidade )(r u  (m/s) Tensão de cisalhamento )(r τ   (N/m2)

    r=0 2,48 0r=4,0mm 2,29 5r=10mm 0,0 12,5

    Dados:

    m LsmV 

    C T 

    mm D

    20

    0,2

    20

    20

    =

    =

    °=

    =

     

    sPa x

    m

    kg

    mm

    .1002,1

    ³1000

    02,0

    3−

    =

    =

    =

     µ 

     ρ 

    ε 

     

    Determinar:

    ?)(

    ?)(

    =

    =

    r u

    τ  

     µ 

     ρ   DV =Re  

    31002,1

    02,0.0,2.³

    1000Re

    −=

     x

    ms

    m

    m

    kg

     

    TURBULENTO⇒= 39216Re  2

    9,0Re74,5

    7,3log25,0

     

     

     

      +=   D f  ε   

    2

    9,039216

    74,5

    7,320

    02,0log25,0

     

     

     

     += f   

    2

    9,039216

    74,5

    7,320

    02,0log25,0

     

     

     

     += f   

    ( )[ ]2

    0004214,000027,0log25,0  −

    += f   025,0= f   

    96,1Relog85,1   −=n  54,6=n  

    ( )( )1212 2

    max   ++=

    nn

    n

    u

    V  

    ( )( )( )154,6.2154,6

    54,6.2 2

    max   ++=

    u

    V  

    V u 241,1max =  

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    s

    mu 48,2max  =  

    n

     R

    r ur u

    1

    max 1)(    

      

     −=  

    54,61

    10148,2)(  

     

      

     −=

      r 

    s

    mr u  

    r = 0

    54,61

    10

    0148,2)(  

     

      

     −=

    s

    mr u  

    48,2)(   =r u  

    r = 4 mm54,6

    1

    10

    4148,2)(  

     

      

     −=

    s

    mr u  

    s

    mr u 29,2)(   =  

    r = 10 mm

    54,61

    10

    10148,2)(  

     

      

     −=

    s

    mr u  

    0)(   =r u  

    2.

    4

    2V  f  ρ τ ω  =  

    ( )2

    2.1000

    4025,0

    2

    3s

    m

    mkg=ω τ   

    25,12 m N =ω τ   

     R

    r r  max)(   τ τ    =  

    r = 00)(   =r τ   

    r = 4 mm

    mm

    mmm

     N r 10

    45,12)( 2=τ   

    25)( m N r   =τ   

    r = 10 mm

    25,12)( m N r   =τ   

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    [ 3 ]  A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida comalguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 aUniversidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de300 mm de diâmetro e velocidade V=18 m/s e glicerina a 200C.Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m 2) (c) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura dasubcamada viscosa (mm).Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s

    Dados:

    Tubo liso

    s

    mV 

    mm D

    18

    300

    =

    =

     ³

    1260

    .5,1

    )(20

    m

    kg

    sPa

    glicerinaC T 

    =

    =

    °=

     ρ 

     µ   

    Determinar:

    ?

    ?

    ?

    ?

    *

    =

    =

    =

    =

     y

    u

     f 

    ω τ  

    Na sub-camada viscosa y+ = 5;

     µ 

     ρ   DV =Re  

    sPa

    ms

    m

    m

    kg

    .5,1

    3,018³

    1260Re =  

    4536Re =  

    41

    Re

    316,0= f   

    41

    4536

    316,0= f   

    0385,0= f   

    2.4

    2V  f  ρ τ ω  =  

    2

    18.

    ³1260

    40385,0

    2

     

      

     

    =  s

    m

    m

    kgω τ   

    ² / 7,1964   m N ≅ω τ   

    21

    *  

      

     =  ρ 

    τ ω u  

    smu 25,1* ≅  

    ν 

    * yu y   =+  

    *u y y  ν +

    =  

     ρ 

     µ *u

     y y

    +

    =  

    ³126025,1

    5..5,1

    m

    kg

    s

    msPa

     y =  

    mm y 76,4=  

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    [ 4 ] Considere um escoamento laminar  completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzidopela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; TriplicaráQuadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16

    Dados:

    Escoamento laminar

    CTE  L

    CTE Q

     D D

    =

    =

    =2

     

    Determinar:

    ?= Lh  

    Resposta:

    A perda de carga aumentará por umfator de 16.

    Re64

    = f   

    ν 

     DV =Re  

    ν π  ..

    .4Re 2 D

    QD=  

    ν π  ..

    .4Re

     D

    Q=  

     AV Q .=  

    2..4 DQV 

    π =  

    g D

    V  L f h L .2.

    . 2=  

    g DV  L

    g D

    V  L

    .22

    .

    Re

    64

    .2.

    .

    Re

    64 22=  

    Re

    2

    Re

    22 V V =  

    ( )Re

    2

    4.2

    Re.

    .4

    2

    2

    2

    2  

     

     

     

     

    =

     

      

      D

    Q

     D

    Qπ π 

     

     

     

     

     =

     

      

     

    ν π ν π 

    .

    2

    .

    .4

    16.2

    ..

    .41

     DQ

     D

    161=  

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    [ 5 ]  Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de2,0m/s. Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa

    Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3

     e ν=1,46x10-5

     m2

    /sDados:

    m L

    mb

    smU 

    0,1

    0,3

     / 0,2

    =

    =

    =°°

      3

    25

     / 23,1

     / 1046,1

    mkg

    sm x

    =

    =   −

     ρ 

    ν  

    Determinar:

    ?)(

    ?)(

    ?)(

    ?

    *

    =

    =

    =

    =

     x

     x

     x

    F  D

    θ 

    δ 

    δ  

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    msm

     L 251046,1

    0,12Re

    =  

     LAMINAR x x L   ⇒

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    [ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidadeconstante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos:

    (i)  Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga.(ii)  Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição.

    Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equaçõesapropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s

    Dados:

    m L

    mbs

    mU 

    0,1

    0,2

    5,1

    =

    =

    =°°

     

    ³1000

    105,12

    6

    m

    kgs

    m x

    =

    =   −

     ρ 

    ν 

     

    Determinar:

    ?(%)

    ?

    ?

    )(

    )(

    =

    =

    =

    Erro

    ii D

    i D

     

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²105,1

    0,15,1Re

    6−=  

    56 105101Re   x x L   >=  

    OBS: Considerando 0,1%L para escoamento com laminar anterior

    ν c

    c

     xU °°=Re  

    s

    m x

     xs

    m

     xc

    26

    5

    105,1

    5,1105

    =  

    m xc 5,0=  

    ⇒>=   L L

     xc%1,0%50%100.  TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR

    i)5

    1Re

    074,0

     L

     DC    =  

    ( ) 51

    6101

    074,0

     xC  D  =  

    004669,0= DC   

     D D   C  AU F  .

    2

    1 2°°=   ρ   

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 20

    004669,0).0,2.0,1.(25,1³

    10002

    12

    mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 21=  

    ii) L L

     DC  Re1700

    Re

    074,05

    1   −=  

    ( )6

    51

    6 101

    1700

    101

    074,0 x x

    C  D   −=  

    002969,0= DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    002969,0).0,2.0,1.(25,1³

    100021 2 mm

    sm

    mkgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 36,13=  

    %38,36%100.21

    36,1321=

     

      

        −=

     N 

     N  N ERRO  

    [ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:

     

     

     

     

    −= ∞

    3

    2

    1

    2

    3

    δ δ 

     y y

    U u   onde a espessura da camada limite é ∞= U 

    vx

     x 64,4)(δ   

    Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf   e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:

     x

     f 

     Ac

    Re=  

    Onde A é uma constante do resultado numérico

     L

     D

     Bc

    Re=  

    onde B é uma constante do resultado numérico

     

      

     −= ∞

    3

    2

    1

    2

    3δ δ 

     y yU u  

    °°

    =U 

     x x

      ν δ  64,4)(  

    0

    2

    ),(2

    =°°  ∂

    ∂=

     y

     f   y

     y xu

    U C 

      ν  

     

      

     −= °°

    °°

    2

    2

    1

    2

    32δ δ 

    ν    yU 

    U C  f   

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 21

     

      

     −=

    °°

    21

    2

    32δ δ 

    ν    y

    U C  f   

      

       −=

    °°

    2

    01232

    δ δ ν 

    U C  f   

    δ 

    ν 

    °°

    =U 

    C  f 3

     

     x

    U C  f 

    ν 

    ν    °°

    °°

    =64,4

    13 

     xU 

    U C  f 

    ν 

    ν 2

    2

    64,41

    3°°

    °°=  

     xU C  f  °°=   ν 646,0  

    21

    Re

    646,0

     x

     f C   =  

    ∫= L

     f  D   dx xC  LC 

    0

    )(1

     

    ∫  

    =

    °°

     L

     D   dx xU  LC 

    0

    646,01   ν 

     

    ∫  

    =°°

     L

     D   dx xU  LC 

    0

    646,01   ν   

    ∫  −

    °°

    = L

     D   dx x LU C 

    0

    211

    646,0  ν 

     

    2

    11

    646,02

    1 x

     LU C  D

    °°

    =  ν 

     

     L

     D   x

     LU 

    C 0

    212

    646,0°°

    =  ν 

     

    212

    646,0   L LU 

    C  D°°

    =  ν 

     

    2646,0.2  LU  L

    C  D°°

    =  ν 

     

     LU C  D

    °°

    =  ν 

    646,0.2  

     L

     DC Re

    292,1=  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 22

    [8]  Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailerinstalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de

    diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicionalnecessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanqueestiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejamvoltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo.Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3. 

    Dados:

    hkmU 

    m D

    m L

    95

    5,0

    0,2

    =

    =

    =

    °°

     

    sm

    hkmU 

    m

    kg

    39,2636001000.95

    ³035,1

    ==

    =

    °°

     ρ 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

     B

     A

    &

    &

     

    4= D

     L 

    9,0= DC   

    5≅ D

     L 

    8,0= DC   

    Tab. 11.1 e Tab.11.2 livro Cengel eCimbala.

    (a)   D D   C  AU F  .21 2

    °°=   ρ   

    9,0.4

    39,26035,12

    1 22

    3    

      

      

      

     =

      D

    s

    m

    m

    kgF  D

    π  

    ( )9,0.

    4

    5,039,26035,1

    2

    1 22

    3    

      

      

      

     =

      m

    s

    m

    m

    kgF  D

    π  

     N F  D 7,63=  

    V F W    D .=&  

    s

    m N W  39,26.7,63=&  

    kW W  68,1=&  

    (b)  D D   C  AU F  .21 2°°=   ρ   

    ( ) 8,0..39,26035,12

    12

    3  D Ls

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

    ( ) 8,0.5,0.239,26035,12

    12

    3  mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 32,288=  

    V F W    D .=&   s

    m N W  39,26.32,288=&   kW W  61,7≅&  

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    12/37

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    [9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimentoe 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e aestrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais.

    Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombarlateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente.Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entrerodas é de 1,8m.

    Dados:

    mb

    m L

    m D

    kgm

    2

    2

    8

    5000

    =

    =

    =

    =

     

    Distância entre assoalho e estradamd  8,0= ;

    Distância entre rodas  mr  8,1=  

    315,1

    m

    kg= ρ   

    Determinar:

    ?=°°U   

    25,08

    2==

     D

     L 

    2,2= DC   (Tab.11.2) 

    0=∑ M   

    sF  M    AF  .=  

    02.

      =−   r W sF  A  

    s

    r W F  A

    1.

    2. =  

    8,1

    1.

    2

    8,181,9.5000

    2.    

      

     =

    s

    mkgF  A  

     N F  A 24525.  =  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

     D

     A

    C  A

    F U 

    ..

    .2

     ρ =°°  

    ( ) 2,2.2.8.15,1

    24525.2

    3  mm

    m

    kg N 

    U    =°°  

    s

    mU  81,34=°°  

    h

    kmU  3,125=°°  

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    [10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente desustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com

    ρ=1,205 kg/m3

    . (b) Potência necessária para manter uma velocidade decruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeirode 0,035.

    Dados:

    kgm

    m A

     L

    2800

    45,0

    ²30

    =

    =

    =

     

    035,0

    34,83300

    ³205,1

    =

    ≅=

    =

     DC 

    s

    m

    h

    kmV 

    m

    kg ρ 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =∞

    (a)  L L   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    W F  L  =  

     L

     L

    C  A

    F U 

    ..

    .2

     ρ =°°  

    45,0².30.205,1

    ²81,9.2800.2

    3   mmkg

    s

    mkg

    U  

      

     

    =°°  

    s

    mU  11,58=°°  

    h

    kmU  2,209=°°  

    (b)  D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    035,0².30

    ²

    34,83

    ²

    205,1

    2

    12

    m

    s

    m

    s

    mF  D  

     

     

     

     =  

     N F  D 23,4393=  

    V F W    D.=&  

    ²34,83.23,4393

    s

    m N W  =&  

    kW W  1,366=&  

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    [11]  Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m 2 eforma um ângulo de α=300  com a horizontal. A tensão nalinha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a

    direção do vento. Identifique a força de sustentação earrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h,determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação.Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cadaforça (sustentação e arrasto) adotar a área projetada comosendo a área de referência. Considere massa especifica doar igual a 1,2 kg/m3. 

    Dados:

    °==

    =

    30 ²8,0

    1

    α  m A

     N W  p

     

    ³2,1

    1036

    45

    30

    m

    kgs

    m

    h

    kmU 

     N F  R

    =

    ==

    °=

    =

     ρ 

     β 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

     L

     D

    C  

    Obs.: Área projetada.

    0=+−=∑   D R X    F F F   X   

     β cos. R R   F F  X  =  

     β senF F    R R y .=  

    . X  R D  F F   =  

    °= 45cos30 N F  D   N F  D 21,21=  

    0=−+−=∑   W F F F    L RY    Y   

    W F F Y  R L

      +=  

     N sen N F  L 145.30   +°=  

     N F  L 21,22=  

    α sen A A  X P .=  °= 30²8,0 .senm A  X P  

    ²4,0   m A X P  =  

    α cos. A A  yP   =  

    °= 30cos²8,0 .m A  yP  

    ²693,0   m A yP  =  

     DP D

      C  AU F  X 

    .2

    1 2°°

    =   ρ   

    FL

    FD

    =30N   =wy

    x

    FL

    FD

    =30N   =wy

    x

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 26

     X P

     D D

     AU 

    F C 

    2

    2

    1°°

    =

     ρ 

     

    ²4,010³

    2,12

    121,21

    2

    ms

    m

    m

    kg N C  D

     

      

     =  

    884,0= DC   

     LP L   C  AU F  Y  .2

    1 2°°=   ρ   

    Y P

     L L

     AU 

    F C 

    2

    2

    1°°

    =

     ρ 

     

    ²693,010³

    2,12

    121,22

    2

    ms

    m

    m

    kg N C  L

     

      

     =  

    53,0= LC   

    [12]  Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kgdescendo em uma estrada com uma inclinação de 12 0 sem pedalar nembrecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2  e um coeficiente dearrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando

    a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine avelocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere amassa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3.

    Dados:

    °=

    =

    =

    12

    15

    80

    α 

    kgm

    kgm

    b

    c

     

    ³

    25,1

    9,0

    ²4,0

    1,1

    ²45,0

    m

    kg

    m A

    m A

     D

     D

    =

    =

    =

    =

    =

     ρ 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

    c

    v

    U  

    gmW    C C  .=  

    ²81,9.80

    s

    mkgW C  =  

     N W C  785=  

    gmW    bb .=  

    ²81,9.15

    s

    mkgW b  =  

     N W b 15,147=  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 27

    °= 12.senW F    T  D  

    °= 1215,932 .sen N F  D  

    °= 1215,932 .sen N F  D  

     N F  D 8,193=  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    V  DV 

     D

    C  A

    F U 

    ..

    .2 ρ 

    =°°  

    1,1².45,0.²

    25,1

    8,193.2

    mm

    kg N 

    U    =°°  

    s

    mU  25=°°  

    h

    kmU  90=°°  

    c Dc

     D

    C  A

    F U 

    ..

    .2 ρ 

    =°°  

    9,0².4,0.²25,1

    8,193.2

    mm

    kg N 

    U    =°°  

    s

    mU  3,29=°°  

    h

    kmU  65,105=°°  

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    [13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm daparede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, densidade d=0,827. Use essa

    informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizandocomo auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas nasolução de Blasius:

    )(´ η  f U 

    u=   e

    2 / 1

     

      

     =

     x

    U  y

    ν η   

    Dados:

    s

    mU 

    atmP

    C T d 

    mmh

    20

    1

    20827,0

    16

    =

    =

    °==

    =

     

    m ysm x

    m

    kg

    002,0

    ²1051,1

    ³205,1

    5

    =

    =

    =

    −ν 

     ρ 

     

    Determinar:

    ?= x  

    água

     fluidod  ρ 

     ρ =  

    d aguaoleo . ρ  ρ    =  

    827,0.³1000mkgoleo = ρ   

    ³827

    m

    kgoleo  = ρ   

    hgPm .. ρ =  

    ms

    m

    m

    kgPm 016,0.²

    81,9.³

    827=  

    PaPm 81,129=  

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    15/37

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 29

    2.2

    1V Pv   ρ =  

    mv   PP   =  

    2.³

    205,12181,129   V 

    mkgPa =  

    ³205,1

    81,129.2

    m

    kgPa

    V  =  

    s

    mV  68,14=  

    Na tabela com 5,2734,020

    68,14≅⇒==

    ∞η 

    V  

    2 / 1

     

      

     =

     x

    U  y

    ν η   

     x

     y   ν 

    η =

     

      

     2

     

    ν η 

    2

     

      

     =

     y

    U  x  

    s

    m x

    m

    s

    m

     x ²1051,1

    002,0

    5,2

    20

    5

    2

    − 

      

     =  

    m x 85,0=  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 30

    [14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensadae coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h.

    (a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com oluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ?(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se acamada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrastosobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com ocaso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m eb=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs.ρ=1,2 (kg/m3)  ν=1,51 x 10 -5 m2/s. 

    Dados:

    mb

    m Ls

    m

    h

    km

    0,2

    5,256,1556

    =

    ===

     

    C T s

    m xm

    kg

    °=

    =

    =

    20

    ²1051,1³

    2,1

    5ν 

     ρ 

     

    Determinar:

    ?)(?)(

    ?)(

    =

    =

    =

    TURBF  LAM F 

     x

     D

     D

    δ 

     

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²1051,1

    5,256,15Re

    5−=  

    61058,2Re   x L  =  

    ν c

    c

     xU °°=Re  

    s

    m x

     xs

    m

     xc

    25

    5

    1051,1

    56,15105

    =  

    m xc 485,0=  

    Obs.: 20% da placa possui camada limite laminar.

    (a)

    −=

     L L

     x xRe

    10256

    Re

    381,0)(

    51δ   

    ( )  

    −=

    65

    16 1058,2

    10256

    1058,2

    381,05,2)(

     x xm xδ   

    mm x 40)(   =δ   

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    16/37

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 31

    (b)2

    1Re

    328,1

     L

     DC    =  

    ( ) 2161058,2

    328,1

     xC  D  =  

    0008,0= DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 0008,0.5,2.0,2.256,15³

    2,12

    12

    mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 16,1=  

    (c) L L

     DC  Re

    1700

    Re

    074,05

    1   −=  

    ( )6

    51

    6 1058,2

    1700

    1058,2

    074,0

     x xC  D   −=  

    0032,0= DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 0032,0.5,2.0,2.256,15³2,121

    2

    mmsmmkgF  D    

      

     =  

     N F  D 6,4=  

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    [15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui umaseção de teste de 30 cm de diâmetro e comprimento de 30 cm. A

    velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnelvaria de 1,0 m/s a 8,0 m/s. O projeto será otimizado para umavelocidade de 4,0 m/s através da seção de teste. Para o caso deescoamento aproximadamente uniforme a 4,0 m/s na entrada daseção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste.(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em quepercentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar paratornar o escoamento mais uniforme na seção de teste.Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.

    Dados:

    cm L

    cm DsmV 

    30

    30

    0,4

    =

    =

    =

     s

    m x

    m

    kg

    ²1051,1

    ³2,1

    5−=

    =

    ν 

     ρ   

    Determinar:

    ?%?=∆

    =V 

    V  fim  

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²1051,1

    3,0,4Re

    5−

    =  

     LAMINAR x L   ⇒≅4108Re  

     fim fiminicioinicio   AV  AV    =  

     L

     x x

    Re

    73,1)(*   =δ   

    4108

    3,0.73,1)(*

     x

    m x   =δ   

    m x x 31083,1)(*   −=δ   

    (a)  fim fiminicioinicio   AV  AV    =  

     fim

    inicioinicio fim  A

     AV V    =  

    *)(

    ²

    δ π 

    π 

    −=

     R

     RV V    inicio fim  

    ( )

    )1083,115,0(

    ²15,00,4

    3

    m xm

    m

    s

    mV  fim   −

    =  

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    17/37

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 33

    s

    mV  fim 1,4=  

    (b) %5,2%100.0,4

    0,41,4=

    s

    msm

    sm

     

    (c) Se o raio fosse projetado de a aumentar com )(*   xδ   ao longo do comprimento da seção de teste, o efeito dedeslocamento da camada limite seria eliminado, e a velocidade do ar na seção de teste permaneceriarazoavelmente constante. 

    [16]  Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitotintroduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as

    expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y apartir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente avelocidade média da tubulação.

    Laminar

     

     

     

      

      

     −=

    2

    max 1)(  R

    r U r u  

    Turbulento (n=7)n

     R

    r U r u

     / 1

    max 1)(    

      

     −=  

    ESCOAMENTO LAMINAR

     

     

     

      

      

     −=

    2

    max 1)(  R

    r U r u , SABE-SE QUE ur u   =)( E QUE uU  .2max   = , ENTÃO:

     

     

     

      

      

     −=

    2

    1.2 R

    r uu  

    2

    121

      

      −= Rr   

     R

    r =

     

      

     −

    21

    2

    11  

    707,0= R

    r  

    E QUE r  R y   −=  

     R

    r  R

     R

     y   −

    =  

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     R

     R

     y−= 1  

    293,0= R

     y 

    ESCOAMENTO TURBULENTO

    7n1)( / 1

    max   =⇒ 

      

     −=

    n

     R

    r U r u  

    ( )( )1.212 2

    max   ++=

    nn

    n

    ( )( )17.2177.2 2

    max   ++=

    8166,0max

    =U 

    uU  .224,1max  =  

    PARA ur u   =)(  E SABENDO QUE PARA ESCOAMENTO TURBULENTO uU  .8166,0max   =  

    n

     R

    r uu

    1

    1224,1    

      

     −=  

    ENTÃO:

     R

     R

     y−= 1  

    n

     R

     yuu

    1

    224,1    

      

     =  

    71

    224,11    

      

     =

     R

     y 

     R

     y= 

     

     

     7

    224,1

    2429,0= R

     y 

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    18/37

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    [ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre dofluido é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força dearrasto na placa devido a esta alteração da velocidade.

    ν  LU  L °°=1Re  

    ν 

     LU  L

    °°=2

    Re 2  

    11 Re2Re   L L   =  

     L

     DC Re

    328,1=  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    21   D D   F F    =  

    ( ) ( ) 22

    212

    1 .2

    1.

    2

    1 D D   C  AU C  AU    °°°°   =   ρ  ρ   

    ( ) ( ) L L

     AU  AU Re.2

    328,1.2

    2

    1

    Re

    328,1.

    2

    1 22°°°°   =   ρ  ρ   

     L L

     AU  AU Re.2

    328,1.4

    21

    Re

    328,1.

    21 22

    ∞°°   =   ρ  ρ   

    2

    41 =  

    122

    4 D D   F F    =  

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    [ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidademedia igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidadesexponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número

    de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: 96,1log(Re)85,1   −=n  

    Determine:(a)  Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um

    manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial.(b)  A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.

    Água: ρ =1000 kg/m3  µ = 1,02x10 -3 Pa.s

    Dados:

    mmr 

    mm Ds

    mV 

    5

    20

    0,2

    =

    =

    =

      sPa xm

    kg

    .1002,1³

    1000

    3−=

    =

     µ 

     ρ   

    Determinar:

    ?

    ?

    ?

    =

    =

    =

    w

    V P

    τ 

     

    (a) ρ 

     µ ν   =  

    s

    m X 

    ²1002,1 6−=ν   

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²1002,1

    02,00,2Re

    6−

    =  

    TURBULENTO L   ⇒= 7,39215Re  

    96,1log(Re)85,1   −=n  

    96,1)7,39215log(85,1   −=n  54,6=n  

    ( )( )1.212 2

    max   ++=

    nn

    n

    ( )( )( )154,6.2154,6

    54,62 2

    max   ++=

    806,0max

    =U 

    uU  24,1max  =  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 37

    s

    mU  0,2.24,1max   =  

    s

    mU  48,2max   =  

    n

     R

    r U r u

     / 1

    max 1)(    

      

     −=  

    54,6 / 1

    10

    5148,2)(  

     

      

     −=

    mm

    mm

    s

    mr u  

    s

    mr u 23,2)(   =  

    2

    .2

    1

    uPv   ρ =  2

    23,2.³

    10002

      

     =

    s

    m

    m

    kgPv  

    PaPv 45,2486=  

    (b) Tubo liso

    41

    Re

    316,0= f   

    ( ) 41

    7,39215

    316,0= f   

    02246,0= f   

    2.

    4

    2V  f  ρ τ ω  =  

    2

    0,2.

    ³1000

    4

    02246,0

    2

     

      

     

    =  s

    m

    m

    kgω τ   

    ²23,11

    m

     N =

    ω τ   

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    [ 19]  Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura move-se a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar asequações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a

    posição de transição (x cr itico) é menor que 10% do comprimento total.No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamentoturbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine:

    (a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa.

    (b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm.

    Água: ρ =1000 kg/m3   ν= 1,02x10-6 m2/s.

    Dados:

    mb

    cm Ls

    m

    h

    kmV 

    4

    50

    2,1451

    =

    =

    ≅=

     mm

    s

    m x

    m

    kg

    3,0

    ²1002,1

    ³10006

    ∈=

    =

    =

    −ν 

     ρ 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

     Drug

     Dlisa

     

    ν 

     LU  L

    °°=Re  

    s

    m x

    m

    s

    m

     L ²1002,1

    5,02,14

    Re6−

    =  

    TURBULENTO x L   ⇒=61096,6Re  

    ν C 

     xU °°=Re  

    s

    m x

     xs

    m

     xC 

    ²1002,1

    2,14105

    6

    5

    =  

    m xc 0354,0=  

    TURBULENTOm

    m⇒

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 39

    00316,0= DC   

    (a)   D D   C  AU F  .

    2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 00316,0.4.5,0.22,14³

    10002

    12

    mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 36,1274=  

    5,2

    log62,189,1−

     

      

     

    ∈+=  L

    C  D  

    5,2

    0003,0

    5,0log62,189,1

     

      

     +=

    m

    mC  D  

    00742,0= DC   

    (b)   D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 00742,0.4.5,0.22,14³

    10002

    12

    mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 34,2992=  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 40

    [ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quandoimersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura.

    Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de açocom massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidadeU=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda.

    Ar: ρ=1,204 Kg/m3   ν=1,51 x 10-5 m2 /s.

    Dados:

    mm D

    s

    mV 

    30

    40

    =

    s

    m x

    m

    kgm

    kgesfera

    ²1051,1

    ³

    204,1

    ³7860

    5−=

    =

    =

    ν 

     ρ 

     ρ 

     

    Determinar:

    ?=θ  

     D RX  X    F F F    ==∑  

    W F F    RY Y    ==∑  

    W senF  R   =θ   

    θ sen

    W F  R  =  

    ³3

    4 Resfera   π =∀  

    ( )³015,03

    4mesfera   π =∀  

    ³10414,1 5m xesfera−=∀  

    gW    esferaesfera .. ρ ∀=  

    ²81,9.³7860³.10414,15

    smmkgm xW esfera−=  

     N W esfera 1,1=  

    ν 

     LU  L

    ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²1051,1

    03,040Re

    5−

    =  

    2,79470Re   = L  

    W

    FDFRX

    FRY FR

    W

    FDFRX

    FRY

    W

    FDFRX

    FRY FR

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    21/37

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 41

    4108Re   x L   ≅  

    Na Fig.1, gráfico para esfera lisa 5,0= DC   

     D D   C  AU F  .21 2

    °°=   ρ   

    ( ) 5,0015,0.40³

    204,12

    1 22

    ms

    m

    m

    kgF  D   π 

     

      

     =  

     N F  D 34,0=  

     N F  R 34,0cos   =θ   

     N sen

    W 34,0cos   =θ 

    θ  

     N 

    tg 34,0=θ   

     N 

     N tg

    34,0

    1,1=θ   

    °= 82,72θ   

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    [ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro àvelocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a áreasuperficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:

    a) O coeficiente de sustentação nestas condições.b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força dearrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a).c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrastodo avião é igual a 0,05

    Dados:

    ²5,16

    700

    78,52190

    m A

    kgmsm

    hkmV 

    =

    =

    ≅=

     

    ³2,1

    05,0

    m

    kg

    C  D

    =

    =

     ρ 

     

    Determinar:

    ?

    ??

    =

    =∆=

    F C  L

    &

     

    (a)  L L   C  AU F W  .2

    1 2°°==   ρ   

     LC  AU s

    mkg .

    2

    1

    ²81,9.700 2°°=   ρ   

     LC ms

    m

    m

    kg

     N  ².5,1678,52³2,12

    1

    6867

    2

     

     

     

     

    =  249,0= LC   

    (b)  D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    05,0².5,1678,52³

    2,12

    12

    ms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 9,1378=  

     N 

     N 

     D

     L9,1378

    6867=  

    98,4= D

     L

    F  vezes maior que a  LF   

    (c) V F W    D .=&  

    s

    m N W  78,52.9,1378=&  

    kW W  8,72=&  

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    22/37

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    [22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado comcombustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é iguala 100 kg. Utilize ar padrão.

    Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quandocarregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesmaconfiguração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).

    Dados:

    t mkgm

    s

    m

    h

    kmV 

    boeing

     passageiro

    290100

    5,62225

    ==

    ≅=

       N  xW  s

    mkgW 

    gmW 

    sPassageiro

    boeing

    610845,2 ²

    81,9.1000.290

    .

    100

    =

    =

    =

    =

     

    Determinar:

    ?=∞U   

    gmW    passags passageiro ..=  

    ²81,9.100

    s

    mkgW    s passageiro   =  

     N W    s passageiro 981=  

     N  xW T 610846,2=  

     L L   C  AU F W  .2

    1 2°°==   ρ   

     LC  As

    m

    m

    kg N  x .5,62

    ³2,1

    2

    110846,2

    26

     

      

     =  

    ²3,1214.   mC  A   L   =  

    372W W W    T TOTAL   +=  

    ²81,9.100.37210846,2 6

    s

    mkg N  X W TOTAL   +=  

     N  xW TOTAL610211,3=  

    c L

     L

    C  A

    F U 

    ..

    .2

     ρ =°°  

    ²3,1214.³

    2,1

    10211,3.2 6

    mm

    kg N  x

    U    =°°  

    h

    km

    s

    mU  2394,66   ≅=°°  

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    [23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y eapresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine:

    a)  A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50 b)  O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica.

    Dados:

    ²10

    56,55200

    m As

    m

    h

    kmV 

    =

    ≅=  ³

    2,1

    5,12

    m

    kg=

    °=

     ρ 

    θ 

     

    Determinar:

    ?

    ?

    ?

    =

    =

    =

     D

     L

    θ   

    (a) Para o ângulo de ataque 12,5°

    25,1= LC   

    1,0= DC   

     L L   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    25,1².1056,55³

    2,12

    12

    ms

    m

    m

    kgF  L  

     

      

     =  

     N F  L 85,23151=  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    1,0².1056,55³

    2,12

    12

    ms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 15,1852=  

    (b) O gráfico indica o ângulo de °= 25θ   para manter a mesma força de sustentação.375,0= DC   

     D D  C  AU F  .

    2

    1 2°°

    =   ρ   

    375,0².1056,55³

    2,12

    12

    ms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 56,6945=  

  • 8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos

    23/37

    PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Escoamentos Viscosos

    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 45

    [ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimentodetermine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão decisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m).água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3  Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s

    Dados:

    mb

    m Ls

    mV 

    0,1

    5,1

    0,8

    =

    =

    =

     s

    m x

    m

    kg

    m x

    ²1002,1

    ³998

    75,0

    6−=

    =

    =

    ν 

     ρ   

    Determinar:

    ?

    ?

    ?)(*

    ?)(

    =

    =

    =

    =

     D

     x

     x

    τ 

    δ 

    δ 

     

    b L A .=  mm A 0,1.5,1=  

    ²5,1   m A =  

    ν 

     L xcc  =Re  

    =U 

     x   ccRe.ν 

     

    s

    m

     xs

    m x

     xc0,8

    105.²

    1002,1 56−

    =  

    m xc 064,0=  

    ⇒>== %1,0%25,4%100.5,1

    064,0

    m

    m

     L

     xc  TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR

    ν 

     xU  X 

    ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     X  ²1002,1

    75,08Re

    6−

    =  

    61088,5Re   x X   =  

    (a)( )   x x x

     x

    Re

    10256

    Re

    381,0)(5

    1   −=δ 

     

    ( )6

    51

    6 1088,510256

    1088,5

    381,075,0

    )( x xm

     x−=

    δ  

    mm x 34,11)(   =δ   

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    8

    )()(*  x

     x  δ 

    δ    =  

    8

    34,11)(*

      mm x   =δ   

    mm x 42,1)(*   =δ   

    (b)

    ( ) 51

    Re

    0594,0)(

     x

     f   xC    =  

    51

    6

    1088,5

    0594,0)(

     

      

     =

     x

     xC  f   

    00263,0)(   = xC  f   

    )(2

    1 2  xC U    f W    °°=   ρ τ   

    00263,00,8³

    9982

    12

     

      

     =

    s

    m

    m

    kgW τ   

    PaW  84≅τ   

    (c)

    ν 

     LU  L

    ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

     L ²1002,1

    5,10,8Re

    6−=  

    71017,1Re   x L  =  

    ( )   L L DC  Re

    1700

    Relog

    455,058,2   −=  

    ( )758,27

    1017,1

    1700

    1017,1log

    455,0

     x x

    C  D   −=  

    002784,0= DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    002784,0².5,10,8³

    9982

    12

    ms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 4,133=  

  • 8/19/2019 Lista 2010 - Escoamentos Viscosos

    24/37

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    [ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por umelemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica umatensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule:

    (d)  A velocidade de corrente livre (m/s)(e)  A espessura da camada limite (mm) no pontoonde se encontra o elemento.

    (f)  A velocidade em (m/s) a 5mm acima doelemento.

    Ar 200C:Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s

    Dados:

    ³204,1

    21,2

    m

    kg

    m xPaW 

    =

    ==

     ρ 

    τ  

    s

    m x

    mm y

    ²1051,1

    5

    5−=

    =

    ν 

     

    Obs.: Escoamento turbulento

    Determinar:

    ?)(

    ??)(

    =

    ==

     xu

    U  xδ 

     

    (a)0=

    ∂=

     y

    W   y

    uuτ   

    )(2

    1 2  xC U    f W    °°=   ρ τ   

    ( ) 51

    Re0594,0)( x

     f   xC    =  

    2,02 .0594,0

    2

    1  −

    ∞°°  

     

      

     =

    ν  ρ τ 

      xU U W   

    2,0

    5

    2

    ²1051,1

    0,2.0594,0

    ³204,1

    2

    11,2

    ∞°°

     

     

     

     

    =

    s

    m x

    mU U 

    m

    kgPa  

    8,1

    2,0

    ³00338,01,2

    °°  

      =   U sm

    mkgPa  

    8,18,1

    00338,0

    1,2 

      

     =°° s

    mU   

     

      

     =°° s

    mU  63,35  

    (b)ν 

     xU  x

    ∞=Re  

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    s

    m x

    ms

    m

     x ²1051,1

    263,35Re

    5−=  

    61072,4Re   x x  =  

    ( ) 51

    Re

    381,0)(

     x x

     x=

    δ  

    ( ) 51

    61072,4

    381,0

    2

    )(

     xm

     x=

    δ  

    mm x 25,35)(   =δ   

    (c)7

    1

    )(     

      =

    ∞   x yU u δ   

    71

    25,35

    0,563,35  

     

      

     =

    mm

    mm

    s

    mu  

    s

    mu 0,27≅  

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    25/37

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    [ 26 ]  (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:  

      

     =

    ∞   δ 

    π   ysen

    u

    Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão:)(2   x

    U wδ 

    πµ τ    ∞=  

    (b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: x

     x Re

    8,4=

    δ  

    determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessurada camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de correntelivre igual a 2,0m/s.

    Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3  Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s

    Obs. Apresentar nas principais equações as unidades no SI.

    Dados:

    m x

    m Lm

    kg

    4,0

    8,0³

    204,1

    =

    =

    = ρ 

     s

    m x

    s

    mU 

    ²1051,1

    0,2

    5−

    =

    =

    ν 

     

    Obs.: Escoamento laminar

    Determinar:

    ?)(

    ?)(

    ?

    =

    =

    =

     xu

     xW 

    τ 

    τ 

     

    (a)  

     

     

     =

    ∞ )(2   x

     ysenU 

    u

    δ 

    π 

     

    )(2   xuU 

    W δ 

    π τ    ∞=  

    0=∂

    ∂=

     y

    W   y

    uuτ   

     

      

     

    ∂=

    )(2   x

     ysen

     y y

    u

    δ 

    π  

      

      =

    ∂∂   ∞

    )(2cos

    )(2   x y

     xU 

     yu

    δ π 

    δ π   

    0)(2

    cos)(2

    =

     

      

     =

     y

    W   x

     y

     x

    uU 

    δ 

    π 

    δ 

    π τ   

    ( )0cos)(2   x

    uU W 

    δ 

    π τ    ∞=  

    )(2   x

    U w

    δ 

    πµ τ    ∞=  

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    (b) ν 

     xU  x

    ∞=Re  

    s

    m x

    m

    s

    m

     x ²1051,1

    4,00,2

    Re5−

    =  

    4103,5Re   x x  =  

     x

     f   xC Re

    664,0)(   =  

    002884,0)(   = xC  f   

    )(2

    1 2  xC U   f W    °°

    =   ρ τ   

    002884,00,2³

    204,12

    12

     

      

     =

    s

    m

    m

    kgW τ   

    PaW  00695,0=τ   

     x x

     x

    Re

    8,4)(=

    δ  

    4103,5

    8,4

    4,0

    )(

     xm

     x=

    δ  

    mm x 34,8)(   =δ   

     

      

     =   ∞ 2

    12

    )(  π senU  xu  

     

      

     =

    2

    1

    20,2)(  π 

    sens

    m xu  

    s

    m xu 41,1)(   =  

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    ν 

     DU ∞=Re  

    s

    m x

    m

    s

    m

    ²1002,1

    074,03,13

    Re5−

    =  

    5,01065,9Re 4 =⇒=  DC  x  

     D Desfera   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( )5,0.

    4

    074,03,13

    ³2,1

    2

    1 22

     

      

      

      

     =

      π 

    s

    m

    m

    kgF  Desfera  

     N F  esfera D 228,0=  

     

      

     =

    4

     LU barra   ω   

    s

    mm

    s

    rad U barra 88,54

    560,042   =

     

      

     =  

     D Dbarra   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 2,1.280,0007,088,5

    ³

    2,1

    2

    12

    m

    s

    m

    m

    kgF  Dbarra  

     

     

     

     =  

     N F  Dbarra 0488,0=  

    barra Dbarraesfera Desfera   r F r F Torque .2.2   +=  

    m N m N Torque 14,0).0488,0.(2317,0).228,0.(2   +=   NmTorque 1582,0=  

    ω .TorqueW  =&  

    s

    rad  NmW  42.1582,0=&  

    W W  65,6=&  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 58

    [ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e eraum biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dosirmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do

    Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada.

    Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de áreaplana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto totalconsiderando as asas como sendo placas planas.

    Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.

    Dados:

    s

    mU 

    m A

    mb

    14

    ²7,23

    3,12

    =

    =

    =

     

    s

    m x

    m

    kg

    ²1046,1

    ³225,1

    5−=

    =

    ν 

     ρ   

    Determinar:

    ?

    ?

    .  =

    =

     DT 

     DF 

     

    cb A .=  

    m

    mc

    3,12

    ²7,23=  

    mc 93,1=  

    ν 

    cU ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

    ²1046,1

    93,114Re

    5−

    =  

    61085,1Re   x=  

    ν c xU ∞=Re  

    s

    m x

     xs

    m

     xc

    ²1046,1

    141055

    5

    =  

    m xc 52,0=  

    ⇒>== %1,0%23,4%100.3,12

    52,0

    m

    m

     L

     xc TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR

    Re

    1700

    Re

    074,05

    1   −= DC   

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    ( )6

    51

    6 1085,1

    1700

    1085,1

    074,0

     X  X C  D   −=  

    0032,0= DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    0032,0².7,2314³

    225,12

    12

    ms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 1,9=  

    4.1,9   N F  DT   =  

     N F  DT  4,36=  (um lado)

     N F  DT  4,36.2=   N F  DT  8,72= (dois lados)

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    [ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estruturamostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m euma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o

    momento na base considerando as duas alternativas de estruturas.

    Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 ena convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura éigual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto iguala 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3 

    Dados:

    s

    mU 

    cm D

    mbm L

    30

    20

    22

    =

    =

    ==

     ³

    2,1

    2,1 3,2

    2,1

    m

    kg

    C C 

     Dconc

     Dconv

     Dplaca

    =

    ==

    =

     ρ 

     

    Determinar: ?=T  M   

     Dplaca placa D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ    ( ) 2,1.2.230³

    2,12

    12

    mms

    m

    m

    kgF  Dplaca  

     

      

     =    N F  Dplaca 2592=  

     Dconc Dconc   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ    ( ) 2,1.9.2,030³

    2,12

    12

    mms

    m

    m

    kgF   conc D  

     

      

     =    N F  conc D 4,1166=  

     Dconv Dconv   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ    ( ) 3,2.9.2,030³

    2,12

    12

    mms

    m

    m

    kgF  Dconv  

     

      

      

      

     =    N F  Dconv 6,2235=  

    ( )2

    hF  H F  M    Dconc DplacaT    +=  

    ( ) 2

    9

    4,1166102592

      m

     N m N  M T    +=  kN  M T  17,31=  

    ( )2

    hF  H F  M    Dconv DplacaT    +=  

    ( )2

    96,2235102592

      m N m N  M T    +=  

    kN  M T  36=  

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    2

    1  

      

     −=

    ∞U 

    U C P  

    PC U 

    U −= 

      

     

    ∞1

    2

     

    ( )5,012

    −−= 

      

     

    ∞U 

    U  

    5,11,15

    2

    =

     

     

     

     

    s

    mU 

     

    s

    mU  1,15.5,1=  

    s

    mU  5,18=  

    PARA O CASO TEÓRICO

    4,1−=PC   2

    1  

      

     −=

    ∞U 

    U C P  

    PC U 

    U −=

     

      

     

    12

     

    ( )4,112

    −−= 

      

     

    ∞U 

    U  

    4,21,15

    2

    =

     

     

     

     

    s

    mU 

     

    s

    mU  4,23=  

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    [ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de90kN. Se a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a larguradeterminada como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?.

    Considere ar ρ = 1,204 kg/m3

     ν=1,51x10-5

      m2

    /s.

    Dados:

    s

    m

    h

    kmU 

    kN F 

    mh

     D

    28,40145

    90

    50

    ≅=

    =

    =

     

    ³204,1

    ²1051,1 5

    m

    kgs

    m x

    =

    =   −

     ρ 

    ν   

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

     DF 

     D

     

    CONSIDERAR ESCOAMENTO TURBULENTO 1,210Re 4 =⇒>  DC   

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 1,2..5028,40³

    204,12

    190000

    2

     Dms

    m

    m

    kg N   

     

      

     =  

    m D 88,0=  

    ν 

     DU ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

    ²1051,1

    88,028,40Re5−

    =  

    5,0103,2Re 6 ≅⇒=  DC  x  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) 5,0.88,05028,40³

    204,12

    12

    mms

    m

    m

    kgF  D  

     

      

     =  

     N F  D 21488=  

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    [ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados para formar quadrados de 1cmpor 1 cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual apotência em kW necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede ? Considere água com: ρ = 998 kg/m3  ν=1,02x10-6  m2/s.

    Dados:

    s

    mU 

    m A

    cmb L

    mm D

    3

    ²0,1

    1

    1

    =

    =

    ==

    =

     

    s

    m x

    m

    kg

    m A

    ²1002,1

    ³998

    ²37

    6

    2

    −=

    =

    =

    ν 

     ρ   

    Determinar:

    ?

    ?

    =

    =

    F  D&

     

    (a)  DF   PARA 1m² DE FIO

    ν 

     DU ∞=Re  

    s

    m x

    ms

    m

    ²1002,1

    001,03Re

    6−

    =  

    1,12,2941Re   ==⇒⇒=  DC GRÁFICO LAMINAR  

     L D

     AREA2

    4=  

    1000

    10

    1000

    5,04

      mmmm AREA =  

    ²

    ²00002,0

    cm

    m AREA =  

    ²1.²

    ²00002,0   m

    cm

    m AREA =  

    ²2,0   m AREA =  

     D D   C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    1,1².2,03

    ³

    998

    2

    12

    m

    s

    m

    m

    kgF  D  

     

     

     

     =  

     N F  D 988=  PARA 1m² DE REDE

    PARA 37m² DE REDE   N F  D 36556=  

    ∞=   U F W    D .&  

    s

    m N W  3.36556=&  

    kW W  110≅&  

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    [ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico dediâmetro D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindosobre o corpo é calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através dasuperfície) resultando em 4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera.

    Dados:

     N F 

    cm D

     N F 

     DP

     DT 

    9,4

    12

    2,5

    =

    =

    =

     ³

    269,1

    5

    1

    m

    kg

    C T 

    atmP

    =

    °=

    =

     ρ 

     

    Determinar:

    ?= Df F  

     Df  DP DT    F F F    +=  

     DP DT  Df    F F F    −=  

     N  N F  Df  9,42,5   −=  

     N F  Df  3,0=  

    UTILIZANDO A TABELA 11-2 (CIMBALA) 2,0= DC   

     D DT    C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( )2,0.

    4

    12,0.

    ³269,1

    2

    12,5

    22

     

      

     = ∞

    mU 

    m

    kg N 

      π  

    s

    mU  2,60=∞  

     D Df    C  AU F  .2

    1 2°°=   ρ   

    ( ) DC 

    m

    s

    m

    m

    kg N  .

    4

    12,0.2,60

    ,³269,1

    2

    13,0

    22

     

      

      

      

      

      

     =

      π  

    0115,0= DC   

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     =

    +=

    s

    mu

     xu

     R

     R

    742,0

    )5,5073,75,2(032,0

    2 / 

    2 / 

     

    (b) A distância a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação.

    Velocidade média

    sm x A

    QV media  / 677,0

    4

    097,0

    )3600 / 18(2  =

     

      

     ==

    π  

    Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:

    5,5ln5,2   +=   ++  yu  

    Devemos achar y em que mediaV r u   =)(  

    smu  / 032,0* =  

    15,21032,0

    677,0*

      ===+

    u

    V u   media  

    22,523

    26,65,2

    65,15ln

    5,515,215,5ln5,5ln5,2

    =

    ==

    −=−=+=

    +

    +

    ++

    ++

     y

     y

    u y yu

     

    v

     yu y

    *

    =+  

    m

     x x

    u

     yv

     y 01073,0032,0

    1056,632,523 7

    *   ===

     

    mm y 73,10=  

    ou numa posição radial:

    mm y Rr  8,3773,105,48   =−=−=  

    A espessura da subcamada laminar.

    ++ = yu   para 5≤+ y  

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    Prof. Jorge Villar Alé Lista de Exercícios 2010 74

    v

     yu y

    *

    =+  *u

    uu   =+  

     ρ 

    τ W u   =*  

    smu  / 032,0* =  

    mm x x

    u

    v y 103,0

    032,0

    1056,655 7

    *  ==≤

     

    mm x x

    u

    v y 103,0

    032,0

    1056,655 7

    *  ==≤

     

    Desta forma a espessura da subcamada viscosa e igual a:

    mmscv 103,0=δ   

    A espessura da Camada de Transição.

    305*

    ≤ 

      

     <

    v

     yu 

    mm x x

    u

    v y 615,0

    032,0

    1056,630305

    7

    *  ==≤<

     

    mmmm   tra 615,0103,0   ≤< δ   

    A espessura na Camada de Turbulenta.

    A espessura do núcleo turbulento vai desde o limite da camada de transição ate o centro da tubulação.

    mmmm   tra 70615,0   ≤< δ