Universidade de BrasıliaDepartamento de Matematica

Calculo 2

Exercıcios de Fixacao – Semana 6

Temas abordados : Revisao

1) Determine se cada uma das sequencias abaixo e convergente ou divergente. No caso deconvergencia, determine ainda o limite da sequencia.

(a) an =n+ (−1)n

n(b) an = nπ cos(nπ)

(c) an =ln(n+ 1)√

n(d) an =

√n+ 1−√

n

2) Estude a convergencia de cada uma das series abaixo. No caso de convergencia, calculeo valor da soma.

(a)∞∑

n=0

(

1

2n+

(−1)n

5n

)

(b)∞∑

n=1

−n

2n + 5

(c)

∞∑

n=1

2

10n(d)

∞∑

n=0

( e

π

)n

3) Verifique se as series convergem ou divergem. Justifique cada uma das respostas.

(a)

∞∑

n=1

n2

n!(b)

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2)

(c)∞∑

n=1

lnn

n(d)

∞∑

n=1

2n2 − 1

n2 + 1

(e)

∞∑

n=1

n

1 + 2n(f)

∞∑

n=1

|sen(n)|n√n

4) Determine se cada uma das series abaixo e absolutamente convergente, condicionalmenteconvergente ou divergente.

(a)∞∑

n=2

(−1)n

ln(n)(b)

∞∑

n=1

(−1)nn

5 + n

(c)

∞∑

n=1

sen(n)

n√n

(d)

∞∑

n=1

(−1)ncos3(n)

n3.

5) Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada uma das series abaixo. Para quaisvalores de x a serie converge absolutamente? Para quais valores de x a serie convergecondicionalmente?

(a)∞∑

n=0

3nxn

n!(b)

∞∑

n=1

xn

√n2 + 3

(c)

∞∑

n=0

nxn

4n(n2 + 1)(d)

∞∑

n=1

(lnn)xn

(e)∞∑

n=1

xn

n lnn

Lista de Fixacao da Semana 6 - Pagina 1 de 4

6) Encontre a serie de Taylor em torno de x = 0 das funcoes abaixo.

(a) f(x) = x2 sen(x)

(b) f(x) = cos2(x)

(c) f(x) =x2

1− 2x

(d) f(x) = xex.

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RESPOSTAS

1) (a) converge para 1

(b) diverge

(c) converge para 0

(d) converge para 0

2) (a)∞∑

n=0

(

1

2n+

(−1)n

5n

)

= 17/6

(b)

∞∑

n=1

−n

2n + 5diverge

(c)

∞∑

n=1

2

10n= 2/9

(d)∞∑

n=0

( e

π

)n

= π/(π − e)

3) (a)∞∑

n=1

n2

n!converge pelo Teste da Razao

(b)∞∑

n=1

1

n(n + 1)(n+ 2)converge por comparacao com a p-serie

∞∑

n=1

1

n3

(c)

∞∑

n=1

lnn

ndiverge por comparacao com a serie harmonica

∞∑

n=1

1

n

(d)∞∑

n=1

2n2 − 1

n2 + 1diverge porque o termo geral nao vai para zero

(e)∞∑

n=1

n

1 + 2nconverge por comparacao com a serie

∞∑

n=1

n

2n

(f)

∞∑

n=1

|sen(n)|n√n

, converge por comparacao com a serie p-serie

∞∑

n=1

1

n3/2

4) (a)

∞∑

n=2

(−1)n

ln(n), condicionalmente convergente (Teste da Serie Alternada)

(b)∞∑

n=1

(−1)nn

5 + n, divergente (termo geral nao vai para zero)

(c)∞∑

n=1

sen(n)

n√n

, absolutamente convergente (Teste de Comparacao)

(d)

∞∑

n=1

(−1)ncos3(n)

n3, absolutamente convergente (Teste de Comparacao)

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5) Vamos usar a seguinte notacao nas respostas abaixo:

R: raio de convergenciaIC: intervalo de convergenciaCA: pontos onde ocorre convegencia absolutaCC: pontos onde ocorre convergencia condicional

(a) R = ∞; IC: −∞ < x < ∞; CA: para todo x; CC: nenhum

(b) R = 1; IC: −1 ≤ x < 1; CA: −1 < x < 1; CC: x = −1

(c) R = 4; IC: −4 ≤ x < 4; CA: −4 < x < 4; CC: x = −4

(d) R = 1; IC: −1 < x < 1; CA: −1 < x < 1; CC: nenhum

(e) R = 1; IC: −1 ≤ x < 1; CA: −1 < x < 1; CC : x = −1

6) (a) x2 sen(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+3

(2n+ 1)!

(b) observe que cos2(x) = 1

2cos(2x) + 1

2, logo

cos2(x) =1

2+

∞∑

n=0

(−1)n22n−1x2n

(2n)!

(c)x2

1− 2x=

∞∑

n=0

2nxn+2

(d) xex =∞∑

n=0

xn+1

n!

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