UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS

ESCOLA NORMAL SUPERIOR Disciplina: Cálculo III

Professora: Geraldine Silveira Lima http://matematica-no-mundo.webnode.com

Livro: Cálculo B – Mirian Buss Gonçalves/Diva Marília Flemming 28. Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

a) 2 5 b) 1 sin 1 cos c) d) 3 2 2 e) 10 sin sin 5 f) 2 3

29. Encontrar uma função potencial para o campo , no domínio especificado: a) , , , ,

em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem

b) , , , , em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem

c) , , em . Respostas: 28. a) não; b) sim cos c) não; d) é conservativo em domínios simplesmente conexos que não contém pontos da reta ; ln3 ² ² ; e) Sim; 5 ² cos ; f) Sim; 2 3 29. a) ⁄ b) ln c) Cap. 5, Exercícios 5.2 Nos exercícios de 5 a 19, calcular as integrais curvilíneas.

3.z xe 9z²y² x²ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds z)-y(x 5 ∫

=+=++C.C

4.z e 9y²x²z ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds y)(x 6 ∫

==+=+ C.C

).3(1, a (2,0) de 4y² x²nciacircunferê da arco o é onde , ds2xy 7 ∫

=+C.

C

quadrante. 1 0,a, ay xdehipociclói da arco o é onde , ds x8 323232

2∫ °>=+C.C

.C.C

^^^

3 jcost)-(12isent)-2(t(t).r ciclóide da arco1 o é onde , ds y 9 ∫ +=°

2y e 116

z9y

16x ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds )zy(x 10

222

222∫

==++++ C.

C

(0,0,1). e(0,1,1)(1,1,1),(1,0,1), vérticesde quadrado o é onde , ds z)y(x 11 ∫

C.

C++

. 1by

axelipse a é onde , ds xy 12 2

222

∫ =+C.C

).121B(

até A(0,1) de y² Gauss de crva da parte a é onde , ds )2x-(1 xy13 2-x

22∫e,

,eC.C

=

(1,1/2). a (0,1) de x11ypor dada curva a é onde , ds x41

xy 14 2 42

2∫ ,Cy. C +=+

1.y e -1y4,x0, xretas pelas formado retângulo o é onde , ds yx 15 ∫

====+ C.

C

5z plano do abaixo está que1y e yxz ssuperfície das ointersecçã da parte a é onde , ds 1)-y(x 16 22

∫

==+=+ C.

C

4z e 8 xssuperfície das ointersecçã a é onde , ds z)-y(x 17 222

22∫

==+++ zzyC.

C

5.17. figura da triânguloo é onde , ds y)-(x 18 ∫

C.C

5.18. figura da ferênciasemicircun a é onde , dsy 19 ∫

2 C.

C

Exercícios 5.4

Q(-1,0). até P(3,4) ponto do reta linha em partícula umadeslocar para )3y

1,2x1( força pela realizado trabalhooCalcular 1 ++=

→f.

(2,1/2). ponto ao (1,1) ponto do x1y curva da longo ao partícula

umadeslocar para )y1,x

1(y)(x, força pela realizado trabalhoo Determinar 2 →

==f.

5.34. figura na mostrado é C onde C, de longo ao partícula uma sobre kzi2 força pela realizado trabalhooCalcular 6→→→→ ++= jxf.

).B(2,0,4 ponto ao A(2,0,0) ponto do nt,2t)(2cost,2se(t).rpor dada hélice da longo ao partícula umadeslocar para )zx,(y,z)y,(x, força pela realizado trabalhoo Determinar 7

^2→

==f.

3

2 2

- r8. Um campo de força é dado por (x,y) , onde r (x,y). Sob a ação dessecampo, uma partícula desloca-se sobre a curva x 4 16, no sentido anti-horário,do ponto A(4,0) ao ponto B(0,2). Deter

f ry

minar o trabalho realizado por nesse deslocamento.

f

quadrante. 1 no está que 4 x circulo do parte quarta a horário, sentido no descreve, material ponto um quandocampo, desse trabalhooAchar x.dos positivo eixo-semi no direção a temque força, de unidades 4 a igual modulo de , força umapor formado é campo Um.9

22

→

°=+ ,y

f

quadrante. 1 no 1164x elipse da parte a

horário,-anti sentido no descreve, força dessa aplicação de ponto o se s,coordenada das origem a relação em ponto do oafastament ao lpropociona é grandeza cuja s,coordenada das origem à dirigida variável,força uma de trabalhooAchar .10

22 °=+ y Nos exercícios de 11 a 17 determinar a integral curvilínea do campo vetorial →f , ao longo da curva C dada.

horário-anti sentido no (1,-1)(1,1),(-1,1),(-1,-1), vérticede quadrado o é C ; y),x(y)(x, 11→ =f.

B(0,2,2) ponto ao A(2,1,0) ponto o une que reta de segmento o é C ; xz)y,,(xz)y,(x, 122→ =f.

(4,2) ponto ao (0,0) ponto do ,y xparábola da arco o é C ; xy)y,(xy)(x, 13 22→ ==f. (4,2) ponto ao (0,0) ponto o une que reta de segmento o é C ; xy)y,(xy)(x, 14 2→ =f.

horário.-anti sentido no orientada yz e 02y-y xssuperfície das ointersecçã a é C ; z)y,(x,z)y,(x, 1522→ ==+=f.

[-1,1]∈ t, it(t)por dada curva a é C ; y)(x,y)(x, 16 →3→2→→ jtrf. +==horário.-anti sentido no orientado 2,z plano no 369 xelipse a é C ; xy)xz,(-yz,z)y,(x, 17

22→ ==+= yf. Nos exercícios de 18 a 25 calcular as integrais curvilíneas dadas:

horário.-anti sentido no(1,1)(0,1),(0,0), vérticesde triânguloo é onde , ydy][xdx 18 ∫

C.

C+

B(1,1).ponto ao A(-3,-1) ponto do 1-2y xreta de segmento o é onde ,dy x 19 ∫

=C.

C

].[0,2 t, nt,8t)(4cost,4se(t)por dadocircular hélice de arco o é onde , dz]zdyydx[x 20

→ 222∫

∈=++

rC.

C

percurso. de sentido possíveis dois osCosiderar 0.8z- e 8zy ssuperfície das ointersecçã a é onde , xdz]-ydy[zdx 21

222 ∫

=++=++

zyxC.

C

B(-2,5,0). ponto ao A(2,5,0) ponto do x-4 e 5zy ssuperfície das ointersecçã a é onde , dz]dy[dx 22

2 ∫

==+++

zC.

C

,4).12B(2, ponto ao ,4)12A(2,- ponto do 2 e xz ssuperfície das ointersecçã a é onde , dz]dy[xdx 23 22

∫

=+=++

xyCzy.

C

].[0,2 x; 4z ;senx ypor dado é onde , xydz]-zdy[ydx 24 ∫

∈==+ C.C

].0[-1, ∈ x; xypor dado é onde ,dx y 25 2 ∫ =Ce.C

xy

(-1,-2). a a(0,1) (0,0) de poligonal a c)(-1,-2). a (0,0) de -2xy parabólica a tragetória b)

(-1,-2); a (0,0) de reta de segmento o a): é onde , 2y)dy](x-dx[x I integral aCalcular 26

2

∫

=

+= Ce.C

x

(3,3,1)C onde B, CA poligonal )y; xe z ssuperfície das ointersecçã b)

pontos; dois os une que reta de segmento a):caminhos seguintes dos longo ao B(1,1,2) ponto ao A(0,0,0) ponto do , ,3z)x(2xy, vetorialcampo do integral aCalcular 27

22

2→

==+=

=

cyx

f.

5.37. e 5.36 5.35, figuras nasmostrado é , de longo ao dz]cosy dy zdx[ I integral aCalcular 31 ∫

Ce.

Cx ++=

Exercícios 5.6

∫c)b,(a,

(0,0,0)

→→→ R ∈ cb,a, onde integral da valor o e para potencial função umadeterminar positivo, caso Em vo.conservati é vetorialcampo o seVerificar 2

,rd.ff.

xy)8y,xz(yz, z)y,(x, a) → +=f)z)y(x,z)y(x,z)y((x z)y,(x, b) 343434→ ++++++=f

2x,8xy)y,4y(3x z)y,(x, c) 22→ ++=fcosz)seny,senz),-(cosy( z)y,(x, d) → xxx eeef +=

.(2x,2y,2z) z)y,(x, e) → =f

B(1,2,-1). ponto ao A(1,1,0) ponto o une que caminhoqualquer de longo ao dado, vetorialcampo o é onde , integral aCalcular 3 →

C

→→ frd.f. ∫^^^→ kysenz)-(z jcosz)(2x i2y)(senx a) ++++=f

^^^→ ky)(2xz jz)( i)( b) 22 +++++= zyzx eeeef^^23^22→ k2yz)(x j)z2xyx3

2( iz)y(2x c) +++++++= yf

valores.seus determinar e integração de caminho do tesindependen são integrais as queVerificar 3.

∫ +(5,3)(1,1)

ydy)(xdx a)

∫(2,1)

(0,0)dy)seny dx cosy (- b) xx ee +

∫ ++(1,0,1)(0,1,1)

2 dz 2 dx xdx2xy c)

∫ +(2,2,3)(-1,0,0)

dz)(dy d)

∫(1,2,3)

(1,1,1)223 3(x )dy -(z dx 2xsenz [ e) ]dz)yzzcose y +++

dz)eeeedxe zyzyy 2-(1,1,1)

(-1,0,0)2-(y)dy(x f) +++∫

)dysenxedxxcose yy (g)

,1)(

(0,0)∫ +

22

7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa (yz,xz,xy 1)nos seguintes deslocamentos:a) ao longo da elipse x 9 , no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) ao 4B(0,6);b) ao longo d

f

y

2

2 2

o arco de parábola x y -1 , z 2, do ponto A(-1,0,2) ao pontoB(3,-2,2)c) ao longo do caminho fechado pelas curvas y x e x y , no sentidoanti-horário.

2 2 2 2Cx y8. Calcular [ ], ao longo dos seguintes caminhos:x x

a) circunferência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário ;1b) (t) (t, ) , t [1,4];t

c) circunferêcia de centro na orig

dx dyy y

r

em e raio 1, no sentido anti-horário.

? B atéA de reta linha em partícula umadeslocar para força mesma pela realizado trabalhoao igualou menor maior, é trabalhoEste .B(-2,-1,0) ao

A(-1,-2,0) ponto do x2y curva da longo ao particula umadeslocar para

1)xy,,(yz força pela realizado trabalhoo Determinar 12

→

→

f

,eeef. xzxzxz

=+=

5.49. e 5.47,5.48 Figuras nas dada é C onde x

x xy-[ Calcular 14 22

C22∫ ],dyydxy. +++

Exercícios 5.8 Nos exercícios de 1 a 11 calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.

horário.-anti sentido no(2,0) e (1,2)(0,0), vérticesde triângulodo longo ao , y)dy](4x [x 1

C2∫ ++dx.

horário.-anti sentidono 19 xelipse da longo ao (2x2y)dx-[lnx 2. C

22 ,y]dy)e y =+++∫

horário.-anti sentido no (0,2), e (3,2) (3,0),(0,0), vérticesde retângulo do longo ao4x)]dx -(lny dx )x-4[(y 3.

C22∫ ++

horário. sentido no D(1,2), e C(3,2)B(2,0),A(0,0), vérticesde amaparalelogr do longo ao 2)ln(y-8 (-2x 4.

C2 )dyydx∫ ++

horário.-anti sentido no D(2,3) e (4,4)B(3,2),A(1,1), vérticesde amaparalelogr do longo ao xydy),dx(x 5.

CC∫ +

horário.-anti sentido no04yy xnciacircunferê a é C e )3xy y,(-3x onde 6. 2222→→→ =++=∫ f,rd.f

C

horário.-anti sentido noC(2,2) e B(3,1)A(0,1), vérticesde triânguloo é C e (y,0) onde 7.

C

→→→∫ =f,rd.f

horário.-anti sentido no164 xelipse a é C e )224(x onde 8. 22222→

C

→→ =++++=∫ yyxx,xyf,rd.f

horário.-anti sentido no xy parábola a e1 x0,y retas pelas formado contorno o é C onde dy) x dx y( 9.

2C ===+∫

horário.-antisentido no C(1,0) e B(-3,1)A(-1,2), triânguloé C onde )dy]1( 10.

C++∫ yy edxe[

horário.-anti sentido no (0,1) e (1,1)(1,0),(0,0), vérticesde quadrado o é C onde dy] )y1(x dx )y [( 11.

C223∫ ++++xe

.2seny , 6cos xelipse da área aCalcular 12. ==5.56. Figura da área aCalcular 13.

2 22 2

2 2 2 2

14. Determinar a área entre as elipses:x ya) 4x 4 e 19 4

) x 9 -2 -18 1 0 e x -2 4 -8 4 0y

b y x y x y y

Respostas: