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CálculoI3ªListadeExercícios–Limites
1) Calcule os limites:
2 ) 5
39 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46232 lim)
34353 lim)
45332 lim)
43523 lim)
3532 lim))574( lim)
3
2
2 3
23
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1
−
−++
++−−
−−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−
−−−
−++−
→−→−→
→−→→
fedcba
xxxf
xxxxe
xxxd
xxxxc
xxxbxxa
xxx
xxx
2) Calcule os limites abaixo:
3) Calcule:
58x4xx46x3xx lim f)
x4x8 lim e)
1x1x lim d)
25x2x35x2x limc)
x2x4 limb)
1x1x lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
21 x
2
2 x
2
1 x
−+−
−+−
−
+
−
−
+−
−++−
−−
→−→→
→−→→
1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba −
∃∃∃∃∞+∞−∞+∞+
−−
−
−
+
++−
−
−
−
+
−
−
→→
→−→→
→→→
) ) ) ))))):.Resp
11 lim)
11 lim)
321 lim)
24 lim) 253 lim)
)1(31 lim)
)1(32 lim )
)2(43 lim)
1 1
3 2 2
2
0
21 21 22
hgfedcba
xh
xg
xxf
xxe
xxxd
xxc
xxb
xxa
xx
xxx
xxx
4) Calcule os limites:
5) Calcule os limites:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
+∞→ 7532)lim x
xex
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+
−∞→ 12211) 3lim x
xcx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
+−
−∞→ 103274) 2
3
lim xxxxb
x
( )253) 2lim +−+∞→
xxax
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−+
+∞→ 1213) 2
3
lim xxxxd
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−
−∞→ 124121) 2
3
lim xxf
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
+∞→ 8463)
2
lim xxxg
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
+−−
−∞→ xxxxxh
x 533322) 23
3
lim
3/2 ) ) )
5/2 ) ) 0 ) ) ):.Resp
−∞∞
∞∞∞
hgf
edcba
∞−∞−∞+∞+∞+
−−
+−−+
∞−→∞+→
∞+→∞−→∞+→
) ) ) ) ):.Resp
)43(lim) )4(lim)
)345(lim) )54(lim) )32(lim)
3
2
2
edcba
xexd
xxcxbxa
xx
xxx
ExercíciosComplementares
1. Calculando-se , obtém-se
a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 6.
2. O é igual a
a) 1/9. b) 1/27. c) 1/243. d) 1/243. e) 1/54.
3. O valor de é
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) ∞.
4. vale
a) 7e b) e7
c) 7 – e d) 7 + e e) 7e
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
a) I, II e III são falsas. b) Apenas as afirmações I e II são falsas. c) I, II e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e III são falsas. e) Apenas as afirmações II e III são falsas.
6. Calculando-se , obtém-se
a) 1/4.
b) 1/5. c) 1/6. d) 1/7. e) 1/8.
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é
a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).
d)
e) 9. é igual a
a) ∞. b) 0. c) 1. d) - ∞. e) 4.
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:
a)
b)
c)
d)
e) f(1) = 2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 2)
Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E E B D E C D C A C
3) 4) Não existe pois e
5) 6) 7)
EXERCÍCIOS ESPECIAIS
a) RESP 0 b) RESP -2
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP 2
13Aa− f) RESP 3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
i) RESP 3 j) RESP 1
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP 2X : x
q) RESP 3 2
13 x
r) RESP -1/3
LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS
Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0
( ) nnx x
Lim f x Lima x→±∞ →±∞
= Para o cálculo de limite com x→ ±∞ toma-se o termo de maior grau da função
e aplica-se o limite .
Exemplos : 2 2(2 3) 2
x xLim x x Lim x→∞ →∞
+ − = =∞
Exercícios complementares:
1) 3 2
4
2 4 13 2 2x
x xLimx x→∞
+ −
+ − R 0
2) 4
4 3
4 33 1x
x xLimx x→∞
+ +
+ − R 4/3
3) 3 2
2
4 2 32 3 8x
x x xLimx x→∞
+ − +
+ − R ∞
4) 4
2
2 12 1x
x xLimx→∞
+ −
− R ½
LIMITES DE FUNÇÕES Seja ( )xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número ""a , exceto possivelmente no próprio ""a . Então, diz-se que o limite de ( )xf quando x tende a ""a ( )ax→ é L , e representa-se por ( ) Lxf
ax=
→lim
se δ<−< ax0 para todo 0>ε há um número correspondente 0>δ tal que ( ) ε<− Lxf sempre que
δ<−< ax0 , isto é, se ( ) ε<−⇒δ<−< Lxfax0 .
Exemplo: Provar que ( ) 754lim
3=−
→x
x
Solução: (a) Encontrar um valor para δ : Uma análise preliminar do problema indica que se 0>ε , deve encontrar-se um δ tal que
( ) ε<−− 754x sempre que δ<−< 30 x , mas
( ) ε<−⇒−=−=−− 3434124754 xxxx sempre que δ<−< 30 x , isto é,
43 ε
<−x sempre que δ<−< 30 x , logo 4ε
=δ .
(b) Prova:
Por tanto, dado 0>ε , escolhe-se 4ε
=δ , e se δ<−< 30 x , então,
( ) ε=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ε=δ<−⇒−=−=−−
4443434124754 xxxx
Assim ( ) ε<−− 754x sempre que δ<−< 30 x ,
por tanto ( ) 754lim3
=−→
xx
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 3→x donde ( ) 751253454lim
3=−=−⋅=−
→x
x
Exemplos:
a) 93lim 22
3==
→x
x
b) ( ) 2774575lim
4=+×=+
→x
x
c) Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função
( )2443 2
−
−−=
xxxxf , com 2→x , isto é,
( )00
2443lim
2
2=
−
−−=
→ xxxxf
x Indeterminação,
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de ( )xf abrange todos os números reais, com exceção de
2=x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,
⇒=++ 02 cbxaxa
acbbx
242−±−
= .
Assim,
⎩⎨⎧
−=
=⇒
±=
+±=
322
684
648164
2
1
xx
x
( ) 232
)2)(23(2443 2
+=−
−+=
−
−−= x
xxx
xxxxf
Desta forma, tem-se que
( ) 823lim2
)2)(23(lim2443lim
22
2
2=+=
−
−+=
−
−−=
→→→x
xxx
xxxxf
xxx,
Exercícios:
00
416lim
2
4=
−
−→ xx
x Indeterminação,
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
48)4(lim)4()4)(4(lim
44+=⇒=+=
−
+−→→
xyxxxx
xx
Em ( ) 4+= xxf , o ponto ( )8,4 deve ser excluído do gráfico, pois 4≠x , pois o domínio de ( )xf é: ( ) ( ){ }∞∞−ℜ∈ ,44,/: ∪xD e tem como imagem ( ) ( ){ }∞∞−ℜ∈ ,88,/: ∪yI .
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , ( )xf se aproxima de 8 , mas se substituir-se 2=x na 1a expressão, ( )xf não está definida naquele ponto.
( ) 223 ≠+= xxxf Ponto ( )8,2 deve ser excluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida.
X
2
8 Y
x ( )xf
300,8100,2030,8010,2003,8001,2000,8000,2997,7999,1970,7990,1700,7900,1
Y
8
3.1 - Propriedades dos Limites 1) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )xvvexuuparavuvu
axaxax==±=±
→→→limlimlim
2) ( )[ ] ( ) ( )xuuparauCuC
axax==
→→limlim e C é uma constante
3) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )xvvexuuparavuvu
axaxax==⋅=⋅
→→→limlimlim
4) ( )( )
( )( )
( ) ( )xvvexuuparav
u
vu
ax
ax
ax===⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
→
→
→ lim
limlim
5) ( ) ( )[ ] ( )xuuparauu m
ax
m
ax==
→→limlim
6) ( ) ( )xuuparauu max
m
ax==
→→limlim
7) ( ) ( )[ ] ( )xuuparauuaxaaax
==→→limlogloglim
8) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xvvexuuparauu v
ax
v
axax === →
→→
limlimlim
9) ( ) ,,0,00,00+∞=∞++∞===
∞∞+∞−∞+ e ( ) ( ) ( ) 0,,0 =∞±±∞=∞±=∞+ −+−∞ kk
10) Indeterminações de limites: ∞±∞∞
∞×∞∞−∞ 1,0,,,
00,0, 00
Exemplos:
1) 23
49
3lim
18lim
318lim
1
1
1==
+
+=
+
+
→
→
→ x
x
xx
x
x
x
2) 00
134lim 2
2
1=
−
++−→ x
xxx
Indeterminação
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,
⇒=++ 0342 xx2
12164 −±−=x (Baskara)
⎩⎨⎧
−=
−=⇒
±−=
31
224
2
1
xx
x
( )( ) ( )( )3134221
2 ++=++⇒−−=++ xxxxxxxxcbxax donde,
)1()3)(1(lim 21 −
++−→ z
zzz
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,
( )( )1111101 222 +−=−⇒±=⇒=⇒=− zzzzzz
assim,
122
)1()3(lim
)1)(1()3)(1(lim
11−=
−=
−
+=
+−
++−→−→ zz
zzzz
zz
3) ( )( ) ( ) 12lim323lim
00
365lim
33
2
3=−=
−
−−⇒=
−
+−→→→x
xxx
xxx
xxx
4) 0024lim
0=
−+→ x
xx
Indeterminação
Neste caso, para eliminar a indeterminação 00 , se deve racionalizar o numerador , isto é,
( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+ . Desta forma, tem-se:
[ ][ ]2444lim
242424lim24lim
000 ++
−+=
++
++−+=
−+→→→ xx
xxx
xxxx
xxx
41
24lim1
241lim
24lim
000
=++
=++
=++
→
→→ xxxxx
xxx
3.2 - Limites Notáveis Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) α tende a diminuir, o valor do ( )asen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite notável no caso é 3.2.1 - Limite do seno 6) Calcular
( ) 1senlim0
=→ α
αα
s
( )αsen
α
( )arS sen>= α , se ( )aSr sen;1 ⇒== α
( )xx
x
5senlim0→
faz-se 5
5 txtx =⇒= , para 00 →⇒→ tx
( ) ( ) ( ) ( ) 515senlim5sen5lim5
senlim000
=⋅===→→→ t
ttt
tt
ttt
7) ( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( ) 3
23121
333sen
222sen
lim3sen2senlim
00=
⋅
⋅=
×
×=
→→ xx
xxx
xxx
xx
xx
8) ( ) ( )( )
( )( )
( ) 1111
cos1limsenlim
cos1senlimtanlim
0000=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
→→→→ xxx
xxx
xx
xxxx
Limite que define o número “e ” O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.
ex
yx
x=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=∞→
11lim
x y 1 2 10 5937,2 100 7048,2 1000 7169,2 10000 7181,2 ∞→x …7182818,2=e
Exemplo:
ax
xe
xa
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞→1lim põe-se azx
zxa
=⇒=1 para ∞→⇒∞→ zx
a
az
z
az
z
x
xe
zzxa
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞→∞→∞→
11lim11lim1lim
Limites infinitos de funções racionais Se a função for do tipo [ ])()(lim xQxPy
x ∞→= , isto é,
∞
∞=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++++
++++++=
−−
−−
−−
−−
∞→01
22
22
11
012
22
21
1limbxbxbxbxbxbaxaxaxaxaxa
y mm
mm
mm
nn
nn
nn
x !! ,
que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se mn > , tem-se:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++
=−
−−
−
−−
−−
∞→
n
mm
mm
mm
n
nn
nn
nn
x
xbxbxbxbxbxb
xaxaxaxaxaxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!
,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−
−−
−−
−−
∞→
nnnn
mm
n
mm
n
mm
nnnn
nn
n
nn
n
nn
x
xb
xxb
xxb
xxb
xxb
xxb
xa
xxa
xxa
xxa
xxa
xxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−+−−
+−−
−
−−−−
∞→
nnnmnm
mnm
mnm
nnnnn
n
x
xb
xb
xb
xb
xb
xb
xa
xa
xa
xa
xa
ay
011
22
22
11
011
22
221
lim!
!,
e passando ao limite, tem-se:
∞==++++++
++++++=
000000000000 nn aa
y!! .
Se nm > , tem-se: ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++
=−
−−
−
−−
−−
∞→
m
mm
mm
mm
m
nn
nn
nn
x
xbxbxbxbxbxb
xaxaxaxaxaxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!
,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−
−−
−−
−−
∞→
mmmm
mm
m
mm
m
mm
mmmm
nn
m
nn
m
nn
x
xb
xxb
xxb
xxb
xxb
xxb
xa
xxa
xxa
xxa
xxa
xxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−−−
−−+−−
+−−
−
∞→
mmmmm
m
mmmmnn
mnn
nm
nn
x
xb
xb
xb
xb
xb
b
xa
xa
xa
xa
xa
xxa
y0
11
22
221
011
22
22
11
lim!
!,
e passando ao limite, tem-se:
0000000000000
==++++++
++++++=
mm bby
!! .
Se mn = , tem-se:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++
=−
−−
−
−−
−−
∞→
n
mm
mm
mm
n
nn
nn
nn
x
xbxbxbxbxbxb
xaxaxaxaxaxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!
,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++
=−
−−
−
−−
−−
∞→
n
nn
nn
nn
n
nn
nn
nn
x
xbxbxbxbxbxb
xaxaxaxaxaxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!
,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−
−−
−−
−−
∞→
nnnn
nn
n
nn
n
nn
nnnn
nn
n
nn
n
nn
x
xb
xxb
xxb
xxb
xxb
xxb
xa
xxa
xxa
xxa
xxa
xxa
y01
22
22
11
012
22
21
1
lim!
!,
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
++++++=
−−−−
−−−−
∞→
nnnnn
n
nnnnn
n
x
xb
xb
xb
xb
xb
b
xa
xa
xa
xa
xa
ay
011
22
221
011
22
221
lim!
!,
e passando ao limite, tem-se: n
n
n
n
ba
ba
y =++++++
++++++=
0000000000
!! .
Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++++
++++++=
−−
−−
−−
−−
∞→01
22
22
11
012
22
21
1limbxbxbxbxbxbaxaxaxaxaxa
y mm
mm
mm
nn
nn
nn
x !!
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
++++++= −
∞→∞→∞→
mn
m
n
xmm
nn
xmm
nn
xx
ba
xbxa
xbxa
y limlim0000000000
lim!! .
Assim, se ∞=⇒> ymn , se m
n
ba
ymn =⇒= e se 0=⇒> ynm .
Exemplos:
1) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−∞→ 325lim 2
2
xx
x, o resultado daria
∞
∞ (indeterminação)
Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem:
25
025
3lim2
532
5lim32
5
lim
2222
2
2
2
=−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−∞→
∞→∞→
xxxxxxx
x
xx ,
ou simplesmente
( )251lim
25lim
25
25lim
325lim 2
2
2
2
2
2
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− ∞→∞→∞→∞→ xxxx xx
xx
xx
2) Calcular o limite
∞==+
+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
∞→
∞→
∞→∞→∞→ 01
0001
11lim
1lim1
11
11lim
1
1
lim11lim
2
3
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
x
xx
x
xxx
xxx
xx
x
x
xxx
ou
∞==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+∞→∞→∞→x
xx
xx
xxxlimlim
11lim 2
3
2
3
3) Calcular o limite
( ) 3
33
3 33
3 33 3 75
3lim7
5
3715lim
371
5
lim37
5lim =
+
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+∞→
∞→∞→∞→
xx
xx
x
xx
xx
x
xxx
ou
( )
( )3333 333 33 3 751lim
75lim
75
75lim
75lim
375lim ==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ ∞→∞→∞→∞→∞→ xxxxx xx
xx
xx
xx
4) Calcular o limite
( ) ( )[ ]30lim37lim37lim37lim 333
3
3
2332 +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+
∞→∞→∞→∞→x
xx
xx
xxxxx
xxxx
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ∞=∞⋅===+
∞→∞→∞→3lim33lim30lim 333 xxx
xxx
ou simplesmente
( ) ( ) ( ) ∞=∞+∞=+=+∞→∞→∞→
3232 lim3lim737lim xxxxxxx
Limites Laterais a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de ( )xf quando x tende a a (ou que o limite de ( )xf quando x tende a a pela esquerda) é L e representa-se por
( ) Lxflim
ax=
−→
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax <
Exemplo: ( )[ ] ( )( )
∞+=+=+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
π→
π→
−− 01
01
2
2
22 cos
sen
xcosxsenlimxtanlim
xx
b) Definição: Diz-se que o limite direito de ( )xf quando x tende a a (ou que o limite de ( )xf quando x tende a a pela direita) é L e representa-se por ( ) Lxflim
ax=
+→
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax <
Exemplo: ( )[ ] ( )( )
∞−=−=−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+
+
π→
π→
++ 01
01
2
2
22 cos
sen
xcosxsenlimxtanlim
xx
EXERCÍCIOS: 2) Resolver os limites abaixo:
14. ( ) y
yy 1
01lim +
→
11. 265lim
2
2 −
+−→ x
xxx
12. 24lim
2
2 +
−→ xx
x
13. 11lim 2
3
1 −
−+→ xx
x
16. hh
h
9)3(lim2
0
−+−→
17. h
hh
−−→
42lim0
18. 3 23 264lim+−
−→ xx
x
19. ( ) y
yay 1
01lim +
→
15. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+∞→ 3 3 37
5limx
xx
20) ( )32 37lim xxx
+∞→
